teorema de Pitágoras

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42 2.4. Generalizações do Teorema de Pitágoras
Da propriedade das proporções
B
b2
=
C
c2
=
B + C
b2 + c2
e daí obtemos
A
a2
=
B + C
b2 + c2
.
Como, pelo Teorema de Pitágoras, a2 = b2 + c2, concluímos que A = B + C.
Logo, se figuras semelhantes são construídas sobre os lados de um triângulo
retângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas
das figuras construídas sobre os catetos.
Figura 2.22: Figuras semelhantes construídas sobre a hipotenusa e os catetos
Observação:
A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira, ou seja, vale a
afirmação:
“Se num triângulo a área do quadrado sobre um dos lados for igual à soma
das áreas dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o
ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto.”
A afirmação ainda pode ser escrita da seguinte maneira, cuja demonstração
pode ser provada utilizando a lei dos cossenos.
“Dado um triângulo com lados a, b e c tais que a2 + b2 = c2, então o ângulo
entre os lados a e b mede 90◦”.
Capítulo 3
Aplicações do Teorema de Pitágoras
O objetivo deste capítulo é apresentar aplicações do Teorema de Pitágoras
em Geometria e em outras áreas. Também apresentamos sugestões de softwares
matemáticos e oficinas que podem auxiliar no ensino deste teorema.
As figuras foram retiradas das seguintes páginas eletrônicas:
http://denifazendocomarte.blogspot.com.br/2011/03/teorema-de-pitagoras-e-o-origami.html
http://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos_eletronico/index.html
www.prof2000.pt/users/hjco/pitagora/pg000007.htm
www.history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_Pythagoras.html
http://www.reitoria.uri.br/∼vivencias/Numero010/artigos/artigos_vivencias_10/m1.htm
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2006
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAIXQAK/demonstracao-teorema-pitagoras
3.1 Aplicações em Geometria
3.1.1 Diagonal de um Quadrado
Uma das primeiras aplicações do Teorema de Pitágoras ocorreu ainda na escola
pitagórica. Este fato levou a muitas discussões entre os discípulos de Pitágoras,
pois os mesmos acreditavam só existirem e serem suficiente para a matemática, os
números inteiros.
Foi a partir desta aplicação feita em um quadrado de lado 1 que os pitagóricos
descobriram a existência do primeiro número irracional, o
√
2.
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