TEOREMA DE PITÁGORAS - PROVAS, DEMONSTRAÇÕES E APLICAÇÕES

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Universidade do Estado do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
Curso de Licenciatura Plena em Matemática 
 
 
 
 
ALYSSON WANDER SOUZA DOS SANTOS 
RAYANNA KAIONARA AVELAR DE BARROS 
 
 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS: PROVAS, 
DEMONSTRAÇÕES E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cachoeira Do Arari / PA 
2014 
ALYSSON WANDER SOUZA DOS SANTOS 
RAYANNA KAIONARA AVELAR DE BARROS 
 
 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS: PROVAS, 
DEMONSTRAÇÕES E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
ao Curso de Licenciatura Plena Em 
Matemática, oferecido pela Universidade 
Aberta do Brasil – UAB, através da 
Universidade do Estado do Pará – UEPA como 
quesito para a obtenção de título de 
graduados em licenciatura em matemática. 
 
 
 
 
ORIENTADOR: PROF. ANDREY PATRICK MONTEIRO DE PAULA. 
 
 
 
Cachoeira Do Arari / PA 
2014 
ALYSSON WANDER SOUZA DOS SANTOS 
RAYANNA KAIONARA AVELAR DE BARROS 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS: PROVAS, DEMONSTRAÇÕES E APLICAÇÕES 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de licenciatura plena 
em matemática, oferecido pela Universidade Aberta do Brasil – UAB através da 
Universidade do Estado do Pará – UEPA como quesito para a obtenção de título de 
graduados em licenciatura em matemática. 
 
Orientador: Prof. Msc. Andrey Patrick Monteiro de Paula. 
 
Aprovado em 15/08/2014 
COMISSÃO EXAMINADORA: 
 
 
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Cachoeira Do Arari / PA 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Á nós mesmos. 
À nossas famílias. 
Ao Professor Jaelson Moraes. 
Às amigas Éleni Moraes e Gildinha Mesquita. 
AGRADECIMENTOS – Alysson Wander 
 
Primeiramente agradeço ao nosso bom Deus, que permitiu essa realização, 
e aos amigos espirituais que me ajudaram á enfrentar as dificuldades enquanto 
universitário e ser vivente. 
Á minha mãe Marlene Souza, meu exemplo de vida, e ao meu padrasto 
Afonso Paraense, pela ajuda e incentivo incondicional, sem eles eu não chegaria até 
aqui. 
Á minha família, especialmente á minhas irmãs Pricila Maciel e Monica 
Santos, e á minha sobrinha Monique Paraense, pela compreensão da ausência 
durante os estudos, sabendo que o amanhã depende da constante dedicação do 
agora. 
Ao tutor presencial e amigo, professor Jaelson Moraes, por sua incansável 
dedicação, não apenas no sentido de nos propiciar seus ensinamentos, mas por 
todo esforço em nos fazer aprender, tornando-nos profissionais tão competentes 
quanto ele próprio. 
Aos colegas de turma, que venceram junto á mim todas as dificuldades 
enfrentadas durante a realização do curso. Em especial á Éleni Moraes, Gildinha 
Mesquita e Rayanna Kaionara, amigas de equipe e irmãs de amizade, que fizeram 
parte da minha formação e que continuarão presente em minha vida com toda 
certeza. 
Aos amigos, principalmente á Bruna Isabelle, Jaqueline Gama, Ruanna 
Santos, Tainah Azevedo, Tarcia Sousa e Thamyres Figueiredo, que sonharam 
comigo esta formação acadêmica, dentre as quais muito contribuíram para que ela 
se realizasse. 
Aos companheiros de trabalho durante o estágio realizado no Fórum de 
Cachoeira do Arari, por todo apoio e ajuda dedicada ao longo desses anos. 
Ao orientador, Andrey de Paula, pelo suporte no tempo que lhe coube, e por 
seus aconselhamentos, correções e incentivos. 
Agradeço á todos os professores que nos acompanharam durante o curso, 
compartilhando conosco seus conhecimentos. 
Á Universidade do Estado do Pará, sua direção e administração, que 
oportunizaram o vislumbre da janela da primeira graduação. Em especial á Débora 
Dias, por todo esforço direcionado ao bom desempenho dos graduandos. 
Á todo corpo funcional da Universidade Aberta do Brasil – Polo Dalcídio 
Jurandir, pelo trabalho dedicado durante a realização do curso. 
Por fim, á todos os demais que direta ou indiretamente contribuíram com 
minha formação acadêmica e profissional, meu muito obrigado! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS – Rayanna Avelar 
 
Primeiramente ao nosso Deus, que permitiu que eu realiza-se esse sonho, e 
enfrentar todas as dificuldades que passei enquanto universitária e vivente. 
Á minha mãe, meu exemplo de vida e meu porto seguro, e ao meu pai que 
me incentivou. 
Á minha família, pela compreensão das minhas ausências durante o período 
letivo da universidade. 
Ao tutor presencial, professor e acima de tudo amigo, por sua incansável 
dedicação e paciência, além de nos propiciar seus ensinamentos e todo seu esforço 
para que aprendêssemos, assim nos tornando profissionais competentes a altura do 
mesmo. 
Aos meus colegas, que compartilharam do mesmo sonho e que venceram 
junto a mim. Em especial: Alysson, Eleni e Gildinha, que continuarão presentes em 
minha vida. 
Aos meus amigos, principalmente Daniel e Eliene e aos demais que do seu 
jeito contribuíram para a realização desse sonho. 
Ao orientador Andrey de Paula, pelo suporte e por seus aconselhamentos. 
Agradeço á todos os professores que nos acompanharam durante o curso. 
Á Universidade do Estado do Pará, sua direção e administração. 
Á todo o corpo de funcionários da Universidade Aberta do Brasil - Pólo 
Dalcidio Jurandir. 
Por fim, á todos que participaram direta e indiretamente com minha 
formação. 
 Á todos, meu muito obrigada! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“É justamente a possibilidade de realizar um 
sonho que torna a vida interessante.” 
 
Paulo Coelho 
RESUMO 
 
Este trabalho apresenta-se como pesquisa bibliográfica acerca do Teorema de 
Pitágoras, e seu principal objetivo é realizar um estudo referente á esse teorema, 
para isso, traz em síntese, a história de Pitágoras e sua ordem pitagórica, bem 
como, o uso dos princípios do Teorema de Pitágoras por povos como babilônios e 
egípcios, e a relação existente entre os ternos pitagóricos e o Teorema de Pitágoras. 
De maneira enfática, elucida algumas demonstrações e provas para o Teorema de 
Pitágoras, apresentadas por matemáticos amadores como o entusiasta Henry 
Perigal e o ex-presidente norte americano James A. Garfield, e também por mentes 
brilhantes como Euclides, Bháskara e Pólya. Além disso, são aduzidas aplicações do 
Teorema de Pitágoras não apenas em ciências exatas como Matemática e Física, 
mas em áreas até então inimagináveis como Biologia, Construção civil e 
Transmissões de dados GPS. Ao final, fica indubitável a importância do Teorema de 
Pitágoras para a humanidade, uma vez que possui aplicabilidade em atividades 
cotidianas desde os tempos remotos até a atualidade. Sendo assim, diante das 
evidências, acredita-se que este trabalho possa servir como fonte de estudos para 
professores, alunos e interessados disposto á descobrir o encantamento do 
Teorema de Pitágoras. 
 
Palavras-chave: Teorema de Pitágoras. Demonstrações. Provas. Aplicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
This work presents itself as literature about the Pythagorean Theorem, and its main 
objective is to conduct a study regarding this theorem, for it brings in brief, the story 
of Pythagoras and Pythagorean your order, as well as the use of the principles 
Pythagoras Theorem by people like the Babylonians and Egyptians, and the 
relationship between the suits and the Pythagorean Theorem of Pythagoras. 
Emphatically, elucidates some demonstrations and proofs for the Pythagorean 
theorem, as presented by amateur mathematicians enthusiast Henry Perigal and the 
North American former President James A. Garfield, and also by brilliant minds like 
Euclid, Bhaskara and Pólya. In addition, the Pythagorean Theorem Applications are 
adduced not only in sciences like mathematics and physics, but hitherto 
unimaginable areas asbiology, Construction and Drives GPS data. At the end, is the 
undoubted importance of the Pythagorean theorem for humanity, since it has 
applicability in everyday activities from ancient times to the present. Thus, given the 
evidence, it is believed that this work can serve as a source of study for teachers, 
students and stakeholders willing will discover the enchantment of the Pythagorean 
Theorem. 
 
Keywords: Pythagorean Theorem. Demos. Proofs. Applications. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO...................................................................................................12 
1. SÍNTESE HISTÓRICA.......................................................................................14 
1.1. Pitágoras de Samos...........................................................................................14 
1.2. A Escola Pitagórica............................................................................................17 
1.3. O Teorema de Pitágoras....................................................................................20 
1.4. Ternos Pitagóricos.............................................................................................21 
2. DEMONSTRAÇÕES E PROVAS PARA O TEOREMA DE PITÁGORAS........23 
2.1. Prova 1. Uma generalização do Teorema de Pitágoras: O argumento de 
Polya..................................................................................................................24 
2.2. Prova 2. O problema de Hipócrates...................................................................25 
2.3. Demonstração Clássica: Através de quadriculações.........................................26 
2.4. Demonstração do quadrado chinês...................................................................27 
2.5. Demonstração do Teorema de Pitágoras através de triângulos isósceles........28 
2.6. Demonstração de Perigal..................................................................................29 
2.7. Demonstração de Bháskara..............................................................................30 
2.8. Demonstração de Leonardo Da Vinci................................................................32 
2.9. Demonstração de Euclides................................................................................33 
2.10. Demonstração de Papus...................................................................................34 
2.11. Demonstração do Teorema de Pitágoras através do Tangram.........................35 
2.12. Prova 3. A demonstração mais curta: Por semelhança de triângulos...............36 
2.13. Prova 4. Demonstração do presidente..............................................................37 
3. APLICAÇÕES PARA O TEOREMA DE PITÁGORAS.....................................39 
3.1. Em Matemática..................................................................................................39 
3.1.1. Geometria plana..............................................................................................39 
3.1.2. Geometria espacial..........................................................................................41 
3.1.3. Geometria analítica..........................................................................................43 
3.1.4. Trigonometria...................................................................................................45 
3.2. Em Física...........................................................................................................48 
3.2.1. Operações vetoriais: Cálculo do módulo do vetor soma.................................48 
3.3. Em Biologia........................................................................................................51 
3.3.1. O plano inclinado de um corpo em repouso....................................................51 
3.3.2. As alavancas promovidas pelos movimentos dos ossos do braço..................52 
3.4. Em construção civil............................................................................................53 
3.4.1. Na obtenção de ângulos retos.........................................................................54 
3.4.2. Na elevação do telhado...................................................................................55 
3.5. Em transmissões de dados GPS (via satélite)...................................................56 
CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................60 
REFERÊNCIAS.................................................................................................62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
INTRODUÇÃO 
 
Considerado um dos mais extraordinários teoremas da matemática, o 
Teorema de Pitágoras fundamenta-se na relação existente entre os lados de 
qualquer triângulo retângulo. Seu enunciado diz que: 
“Em qualquer triângulo retângulo á soma dos quadrados dos catetos é igual 
ao quadrado da hipotenusa.” 
Tal afirmação faz menção direta aos comprimentos dos lados do triângulo 
retângulo, contudo, podemos também enunciá-lo geometricamente da seguinte 
maneira: 
“Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a 
hipotenusa é igual á soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.” 
Ambos enunciados podem ser equacionados da seguinte maneira: 
a² = b² + c², onde a é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e b e c são as 
medidas dos catetos. 
Esse teorema, como o próprio nome diz, é atribuído ao grego Pitágoras, 
apesar de existirem documentos que comprovem sua utilização desde mil anos 
antes mesmo da existência do próprio Pitágoras. Tendo aplicações em importantes 
áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Engenharia, e outras; é na área de 
Matemática que impera sua aplicação como ferramenta crucial na solução de 
infinitos problemas, seja no ramo de Trigonometria, Geometria plana, Geometria 
espacial, Geometria analítica, etc. 
Nesse sentido, este trabalho apresenta-se como pesquisa bibliográfica e tem 
por objetivo principal, a realização de um estudo acerca do referido teorema, 
levando em conta dados históricos de Pitágoras; bem como, objetivos específicos, a 
verificação de aplicações para o Teorema de Pitágoras, sendo teóricas, práticas 
e/ou cotidianas; e ainda, analisar algumas das demonstrações existentes, 
apresentadas por matemáticos amadores como o ex-presidente norte americano 
James A. Garfield, á renomados estudiosos da área como Euclides e Bháskara. 
Para isso, o capítulo 1 traz uma breve abordagem histórica quanto á 
Pitágoras e os Pitagóricos, respectivamente; aborda o Teorema de Pitágoras e 
alguns dados ligados á utilização desse teorema ao longo da história, do mesmo 
modo que discute e apresenta uma definição para os ternos pitagóricos, que são 
trios de valores ligados diretamente ao Teorema de Pitágoras. 
13 
 
O capítulo 2 apresenta e analisa algumas demonstrações algébricas e 
geométricas para o Teorema de Pitágoras, trazendo inicialmente duas 
generalizações chamadas de “O argumento de Polya” e “O problema de Hipócrates”, 
seguido das seguintes demonstrações: Demonstração Clássica: Através de 
quadriculações; Demonstração do Quadrado Chinês; Demonstração através de 
triângulos isósceles; Demonstração de Perigal; Demonstração de Bháskara; 
Demonstração de Leonardo Da Vinci; Demonstração de Euclides; Demonstração de 
Papus; Demonstração através do Tangram; A demonstração mais curta: por 
semelhança de triângulos; finalizando com a Demonstração do Presidente. 
O capítulo 3, por sua vez, elucida aplicações para o Teorema de Pitágoras 
em Matemática, Física, Biologia, Construção civil e Transmissões de dados GPS; 
enfatizando a Matemática por ter esse teorema como ferramenta fundamental em 
inúmeras situações, e as Transmissões de dados GPS, por considerar interessante 
todo conhecimento matemático existente por trás dofuncionamento dessa 
tecnologia, principalmente no que refere ao Teorema de Pitágoras. 
Em encerramento, são apresentadas as considerações finais inferidas ao 
longo do desenvolvimento desta produção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
1. SÍNTESE HISTÓRICA. 
 
1.1 Pitágoras de Samos 
 
Figura 1. Pitágoras de Samos 
 
 Fonte: http://www.mundodafilosofia.com.br/page10.html 
 
Pitágoras de Samos foi um matemático grego que tem sua história envolta 
em mitos e lendas, uma vez que não há registros históricos de sua época que 
tenham sobrevivido até os dias de hoje. Pitágoras nasceu em Samos, uma das Ilhas 
do Dodecaneso (um grupo de ilhas gregas na extremidade leste do Mar Egeu, junto 
à costa sudoeste da Turquia), próximo á Mileto, atual Turquia, por volta de 
580 a.C. vindo a falecer aproximadamente no ano de 497/496 a.C em Metaponto, 
Luciana (região sul da Itália). 
Assim como Tales de Mileto, um exímio negociante pertencente á uma nobre 
família grega, é considerado como sendo o primeiro filósofo, bem como, o primeiro 
dos “Sete sábios da Grécia” (Tales de Mileto, Periandro de Corinto, Pítaco de 
Mitilene, Bias de Priene, Cleóbulo de Lindos, Sólon de Atenas e Quílon de Esparta), 
Pitágoras é habitualmente considerado o primeiro matemático. 
É importante ressaltar neste ponto que os dados da vida de Pitágoras e de 
seu trabalho, relatados a seguir, não podem ser afirmados com certeza, pois são 
objetos de fontes tardias registradas anos após sua vivência, bem como, a 
inexistência de documentos referentes á Pitágoras que tenham sido originados por 
sí próprio ou qualquer outro que tenha vivido em sua época. 
 
 
 
15 
 
[...] Várias biografias de Pitágoras foram escritas na Antiguidade, 
inclusive uma de Aristóteles, mas se perderam. Uma outra 
dificuldade para caracterizar claramente a figura de Pitágoras provém 
do fato de que a ordem que ele fundou era comunitária além de 
secreta[...] (BOYER, 2010, p.33). 
 
Pitágoras pertencia á uma modesta família que tinha o mercador Menesarco 
como patriarca; enquanto criança acompanhava seu pai em muitas de suas viagens 
de negócios. Conta-se que por conta dessas viagens, Pitágoras teria estado em 
Tires, onde tivera contato com caldeus (babilônicos) e os mestres da Síria. 
Entre seus 18 e 20 anos já era detentor de grandes conhecimentos 
matemáticos e filosóficos da época, período este em que procurou por Tales, de 
quem foi discípulo. Tales era considerado o maior sábio de seu tempo. Alguns 
historiadores duvidam de que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales, para BOYER 
(2010, p.33) “isto é improvável, dada a diferença de meio século entre as suas 
idades”. Por outro lado, a grande maioria daqueles que de se debruçam em estudar 
a misteriosa vida deste matemático aceita a hipótese de que realmente Pitágoras 
tenha tido contato direto com Tales, tendo sido o próprio Tales quem lhe aconselhou 
acerca de suas viagens em busca do conhecimento, principalmente no que diz 
respeito á matemática. 
Em suas viagens Pitágoras de certo passou pela Babilônia e Egito, 
provavelmente tenha estado até na índia. Sedo contemporâneo de Confúcio, Lao-
Tse e, inclusive, Buda, há quem acredite que Pitágoras o contatou e absorveu seus 
ensinamentos em sua possível passagem pela Índia. Ressalta-se que tais viagens 
foram fundamentais para que Pitágoras viesse a fundar sua doutrina esotérica no 
apogeu de sua vivência. 
Certamente maravilhado com a maneira que babilônicos e egípcios usavam 
conhecimentos matemáticos tão complexos, na construção de seus “prédios”, por 
exemplo, Pitágoras fixou-se no Egito por cerca de 20 anos. 
De acordo com MARQUES (2011, p.104), “em 525 a.C. o Rei da Pérsia 
invadiu o Egito e Pitágoras foi feito prisioneiro, sendo remetido para a Babilônia, 
lugar onde aperfeiçoou os seus conhecimentos[...].” 
De volta a Samos, Pitágoras a encontra sob o poder do tirano Polícrates, 
detentor de um governo intolerante e conservador. Polícrates era seguidor do 
orficismo, doutrina religiosa pela qual o homem deveria idolatrar o deus Dionísio 
16 
 
para que fosse liberto; contudo, Pitágoras fora um grande crítico, vez que para ele a 
libertação estava na compreensão do mundo através da matemática. 
Após anos acumulando experiências em suas viagens, Pitágoras sente a 
necessidade de difundir os conhecimentos obtidos, dessa forma, funda sua primeira 
escola chamada de semicírculo. Conta-se que Pitágoras teve apenas um aluno pelo 
qual pagava para que este estudasse; alguns relatos narram que certa vez Pitágoras 
chegou a dizer que não tinha mais condições de pagar o aluno e este por sua vez, 
tão interessado em aprender com Pitágoras acabou por aceitar seus estudos sem 
receber pagamento em troca. 
Polícrates insatisfeito com o modo de pensar de Pitágoras, que ia contra sua 
doutrina, tentou silenciá-lo convidando-o para fazer parte da corte, entretanto sua 
oferta fora recusada; desde então Pitágoras passou a ser perseguido. Alguns relatos 
contam que Pitágoras chegou a se esconder em uma caverna, onde estudava e 
ensinava seu único discípulo, contudo, considerando o desejo de ensinar livremente 
sobre suas experiências e ainda a situação política em que a ilha de Samos se 
encontrava, Pitágoras se vê obrigado a fugir com seu discípulo deixando a ilha e 
seguindo então para Crotona, sul da Itália, onde a linguagem grega era fortemente 
presente naquela época. 
Diferente de Samos, em Crotona Pitágoras recebe o apoio de um atleta 
chamado Milo, o homem mais rico e forte da cidade; tal homem que já era 
conhecedor da fama de Pitágoras lhe concedeu parte de sua casa para que 
fundasse uma escola, por muitos, também considerada como seita religiosa, 
conhecida como a Escola Pitagórica, tendo sido inclusive a filha de Milo, uma bela 
jovem de nome Tea ou Teano, aluna de Pitágoras, com quem acabara se casando 
tempos depois. É importante citar que os adeptos a seita de Pitágoras são 
conhecidos até hoje como pitagóricos. 
A Escola Pitagórica baseava seus estudos em filosofia, música, astronomia 
e matemática, e ao longo do tempo obteve uma forte ascensão política na cidade de 
Crotona, por tal motivo logo também atraiu alguns inimigos. Relata-se que um 
senhor muito rico chamado Cilon orquestrou um ataque á uma das casas onde se 
reuniam os pitagóricos e muitos foram assassinados. Dessa forma, Pitágoras 
mudou-se para Tarento e posteriormente para Metaponto, ambos ao sul da Itália, 
onde viveu o resto da vida até aproximadamente 497/496 a. C. 
17 
 
Mesmo com várias indagações á cerca da vida e até mesmo da própria 
existência de Pitágoras, a literatura tardia da antiguidade considera-o como um 
gênio único e pai fundador da matemática, da música e da astronomia. Suas 
contribuições, especialmente o teorema que lhe tem sido atribuído, são 
consideradas como cunho de ouro para muitas áreas de estudos e até hoje 
despertam o interesse de pesquisadores e matemáticos. 
 
1.2 A Escola Pitagórica 
 
A Escola Pitagórica, também conhecida por Irmandade ou Sociedade 
Pitagórica, mantinha uma dualidade em seus principais interesses. Por um lado, 
dedicada em questões espirituais, seus membros, chamados de pitagóricos, 
acreditavam na imortalidade e transmigração da alma; em contrapartida, a escola 
também prezava por ensinamentos filosóficos, matemáticos, astronômicos e 
musicais, que formavam o grupo de matérias da Escola, o qual veio a ser chamado 
de quadrivium. 
Fundada por Pitágoras em Crotona (sul da Itália), os membros da Escola 
obedeciam á um código de condutas extremamente rigoroso, onde um de seus 
deveres consistia em juramentar a não revelação de suas descobertas, que eram 
atribuídas ao seu fundador, Pitágoras. 
 
[...] O vegetarianismo era imposto aos seus membros, 
aparentemente porque o pitagorismo aceitava a doutrina da 
metempsicose, ou transmigração das almas. [...] Entre outros tabus 
da escola, haviao de comer feijões (ou lentilhas). (BOYER, 2010, 
p.33). 
 
Caracterizada por ser uma sociedade secreta, a ordem pitagórica mantinha 
o lema de que “tudo são números”, seus membros difundiam a ideia de que todas as 
coisas materiais e espirituais eram consequências de ordens numéricas, dessa 
forma, suas virtudes teologais justificavam-se no estudo da matemática e da filosofia 
como base para a moral e para a boa conduta. 
 
 
 
18 
 
 [...] Os números, segundo Pitágoras, não são simplesmente 
símbolos que exprimem grandezas ou valores, mas constituem a 
própria “essência” das coisas; são entidades reais, que por meio de 
combinações entre si, dão origem á tudo o que existe. [...] (CONTE, 
2010, p.112). 
 
Segundo historiadores, nas discussões teológicas e filosóficas da Escola 
Pitagórica participavam apenas membros seletos, e seus padrões sustentavam-se 
na fé através da matemática. Para eles, as investigações iam além da busca pelo 
crescimento intelectual, era um mecanismo para explicar e compreender o mundo. 
Abaixo são citados alguns pensamentos doutrinários pitagóricos que ficaram 
fortemente conhecidos: 
 
1 - Deus geometriza. 
2 - Tudo são números. 
3 - Não devemos ensinar tudo á todos. 
4 - Educai as crianças e não será preciso punir os adultos. 
5 - Nunca devemos querer exceder os outros, a não ser em justiça. 
6 - Não faça alarde de tuas alegrias na presença daqueles que estão 
sofrendo. 
7 - Cala-te ou, então, dize alguma coisa que seja mais valiosa que o 
silêncio. 
8 - As vítimas das injustiças devem consolar-se pensando que a 
verdadeira desgraça consiste em pratica-las. 
9 - A evolução é a lei da vida, o número é a lei do universo e a unidade é 
lei de Deus. 
10 - A melhor maneira de se atingir a perfeição é aproximar-se de Deus. 
 
Considerando que o Universo é regido por leis numéricas, os pitagóricos 
atribuíram significado exotérico para cada número. O um, por exemplo, não era visto 
como número, mas como o senhor da razão, a origem de todos os números, o início 
de tudo, o germe a partir do qual emanam todas as coisas, a essência de Deus. 
Partindo desse princípio, o símbolo com significado místico escolhido para 
representar a Escola Pitagórica foi o Pentagrama, também chamado de estrela de 
cinco pontas, estrela pentagonal, estrela flamejante, dentre outros nomes, visto que 
representava o número cinco, que por sua vez simbolizava o casamento, a união. 
19 
 
Figura 2. Pentagrama 
 
 Fonte: Desenhado pelos autores 
 
O número dois era a opinião, a dualidade essencial, tido como o primeiro 
número par (considerados femininos); por sua vez o número três representava a 
harmonia, a estabilidade, primeiro número impar (considerados masculinos); logo o 
número cinco era a junção do primeiro feminino com o primeiro masculino, 
simbolizando a união, o companheirismo, o casamento. 
Apesar de todo esoterismo presente, o legado deixado por Pítágoras e a 
Escola Pitágorica é de cunho incomensurável para a humanidade, na matemática, 
por exemplo, muitas descobertas alicerçam diversos conceitos. Posto isso, 
apresenta-se adiante, algumas descobertas que lhes são atribuídas. 
 
 Estabelecer a proporção de divisão da corda para se obter as notas 
musicais. 
 A classificação dos números em pares e impares; primos e compostos; 
figurados e perfeitos. 
 O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum. 
 A descoberta do primeiro número irracional, a raiz quadrada de 2. 
 A divina proporção ou proporção áurea. 
 Que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual á dois 
ângulos retos. 
 Que em um triângulo retângulo a área do quadrado da hipotenusa é 
igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos. 
 
Quanto aos numero irracionais, é relatado pelos historiadores, que não 
foram bem aceitos na Escola Pitagória, pois o pitagorismo acreditava que os 
números representavam a harmonia do universo, e os irracionais não eram inteiros, 
nem frações, nem decimais que seguem um padrão, e, portanto, não se encaixavam 
20 
 
nessa harmonia, em virtude disso, os alunos foram proibidos de estudarem e 
divulgarem a existência desses números. 
Ao longo da história foram fundadas diversas escolas que precederam a 
filosofia pitagórica em facções religiosas, hoje fortememente encontrada na 
Maçonaria. 
Salienta-se que a busca da Escola Pitagórica, pela harmonia entre 
conhecimentos científicos e religiosos através da espiritualidade matemática foi o 
princípio da liberdade do homem em investigar, conhecer e respeitar o universo e 
toda criação nele presente. Para BOYER (2010, p. 34), “nunca antes ou depois a 
matemática teve um papel tão grande na vida e na religião como entre os 
pitagóricos”. 
 
1.3 O Teorema de Pitágoras. 
 
Em um triângulo retângulo a área do quadrado da hipotenusa é igual à soma 
das áreas dos quadrados dos catetos. 
O Teorema de Pitágoras é indubitavelmente um dos grandes legados 
deixado por esse matemático, se por não dizer o maior de seus legados, certo de 
quão vasta é a aplicação de seus princípios em muitas áreas de estudos. 
Apesar de o teorema levar o nome de Pitágoras, existem diversos registros 
de civilizações babilônicas, chinesas, egípcias, entre outras, os quais provam que 
tais povos eram conhecedores dos princípios que regem esse brilhante Teorema. 
A plimpton 322 é uma tableta de argila provavelmente datada do século 
XVIII a.C. De origem babilônica, ela é considerada como sendo um importante 
registro histórico da matemática. 
 
Figura 3 . Plimpton 322 
 
 Fonte: http//scientificgems.wordpress.com/2013/11/20/plimpton-322-mathematics-3800-years-ago/ 
21 
 
Observando a placa (Figura 3), distinguimos quatro colunas contendo 
anotações numéricas e um cabeçalho de palavras no topo de cada uma delas. Por 
muito tempo, a plimpton esteve catalogada como sendo uma tableta de conteúdo 
comercial. Contudo, o historiador Otto Neugebauer foi um dos primeiros á perceber 
uma ligação entre os escritos das várias colunas. 
Marques (2011) relata que, de acordo com Neugebauer, a segunda coluna 
que traz a palavra “comprimento” no cabeçalho indica o comprimento do lado de um 
quadrado; na terceira coluna está a palavra “diagonal”, que seria o comprimento da 
diagonal do quadrado; e na quarta coluna encontra-se escrito “onde se lê”, que 
informa a enumeração das linhas de 1 á 15. 
Apesar da impossibilidade de se traduzir o cabeçalho da primeira coluna, 
devido o seu grau de danificação, Neugebauer associou seu conteúdo com os 
escritos das demais colunas e percebeu tratar-se de ternos pitagóricos (tópico 1.4), 
ou seja, das medidas dos lados de diferentes triângulos retângulos. Desse modo, 
admite-se que os babilônios eram detentores de conhecimentos de como construir 
ternos pitagóricos, concluindo que conheciam também o princípio fundamental do 
Teorema de Pitágoras, hoje descrito pelo enunciado “a soma dos quadrados dos 
catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 
Ainda que existam diversos registros acerca do Teorema de Pitágoras antes 
mesmo de sua época, relatos literários indicam que foi este filósofo e matemático 
quem apresentou a primeira demonstração que provara a veracidade do fato, sendo 
este o motivo pelo qual o teorema leva o seu nome. 
 
1.4 Ternos Pitagóricos. 
 
O triângulo de lados 2, 4 e é um retângulo? 
Sim, pois temo que ( )² = 2² + 4². 
Durante a história antiga e até a atualidade, muitos pesquisadores de 
interesses matemáticos despertam curiosidade em encontrar triângulos retângulos 
cujos lados possam ser mensurados por números inteiros. 
Já é praxe encontrarmos a demonstração do triângulo de lados 3, 4 e 5, 
sabendo que trata-se de um triângulo retângulo, sendo que tal afirmação pode ser 
confirmada através do Teorema de Pitágoras. Entretanto, será que o triângulo de 
22 
 
lados 372, 925 e 997 é retângulo? A resposta possivelmente seja desconhecida para 
a grande maioria, inclusivepara os autores, até pouco antes de estas linhas serem 
redigidas, mas sim, além de estarmos falando de um triângulo retângulo, ele é o que 
apresenta maior perímetro possuindo os lados menores que 1000. 
Curiosidades desta natureza nos remetem ao seguinte questionamento: 
“como encontrar triângulos retângulos cujos lados são medidas de números 
inteiros?” 
 
A resposta está nos ternos pitagóricos. 
 
Definição: Sendo a, b e c inteiros positivos com b < c < a dizemos que (b, c, 
a) é um terno pitagórico se a² = b² + c². 
Dessa forma, (3, 4, 5) e (5, 12, 13) são exemplos de ternos pitagóricos. 
Existe uma fórmula que gera ternos pitagóricos. 
 
Considerando m e n inteiros positivos, com m > n, temos que: 
a = m² + n²; b = m² - n²; e c = 2mn 
Sendo que (a, b, c) é um terno pitagórico, então: 
 
b² + c² = (m² - n²)² + (2mn)² 
b² + c² = – 2m²n² + + 4m²n² 
b² + c² = + + 2m²n² 
b² + c² = (m² + n²)² 
b² + c² = a² 
 
Assim, para qualquer escolha dos valores de m e n, o terno (a, b, c) será 
pitagórico. Por exemplo, se adotarmos m = 5 e n = 2 teremos o terno pitagórico (29, 
21, 20). Esta formula é atribuída á Platão (Sec. IV a.c.), mas existem outras ainda 
que determinam ternos pitagóricos. 
 
 
 
 
 
23 
 
2. DEMONSTRAÇÕES E PROVAS PARA O TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Ao longo da história, o Teorema de Pitágoras tem sido demonstrado das 
mais diversas formas por civilizações, matemáticos e estudiosos que vêm dando 
importância para este teorema. Atualmente existem por volta de 400 demonstrações 
que foram apresentadas tanto por mentes brilhantes, como Euclides, Bháskara e 
Pólya, quanto por matemáticos amadores como o entusiasta Henry Perigal e o ex-
presidente norte americano James A. Garfield. 
Considerando o enunciado mais simples: “O quadrado da hipotenusa é 
igual à soma dos quadrados dos catetos”, adotaremos a figura a seguir para 
representa-lo geometricamente. 
 
Figura 4. Representação geométrica do Teorema de Pitágoras 
 
Desenhado pelos autores 
 
Se adotarmos a como sendo a medida da hipotenusa e b e c como sendo as 
medidas dos catetos, e levando em conta o enunciado do teorema, temos que a² = 
b² + c², dessa forma podemos afirmar que a área sombreada em tom mais escuro é 
igual à soma das áreas sombreadas em tom mais claro, sendo assim, o Teorema de 
Pitágoras parece claro e evidente, contudo para nos convencer de sua veracidade 
apresentaremos a seguir algumas provas e demonstrações consideradas 
interessantes. 
Vale esclarecer o uso dos termos “prova” e “demonstração” como sendo 
para aplicações de ênfase algébricas (utilizando cálculos) e geométricas 
(comparando áreas) respectivamente. 
24 
 
2.1 Prova 1. Uma generalização do Teorema de Pitágoras: O 
argumento de Polya 
 
Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a área de um quadrado 
construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual á soma das áreas 
dos quadrados construídos sobre os catetos desse triângulo. Nesse contexto, 
apropriando-se de princípios acerca de figuras semelhantes, o matemático húngaro 
George Polya apresenta uma generalização inteligente para esse teorema. 
É importante lembrar que duas figuras A e A’ são ditas semelhantes quando 
para cada ponto P da figura A exista um ponto P’ em A’, dito homólogo de P e vice 
versa, portanto, se P e Q são pontos de A, P’ e Q’ serão seus homólogos em A’, de 
tal modo que a razão P’Q’/PQ resulte em uma constante k, chamada de razão de 
semelhança de A em A’. 
Assim, quaisquer que sejam as figuras construídas sob os lados do triângulo 
retângulo, sempre satisfarão o Teorema de Pitágoras, desde que apresentem 
semelhança entre si. 
Desse modo, para ROSA, em vez do Teorema de Pitágoras, Polya 
procurava provar uma proposição mais geral, já mencionada nos “Elementos” de 
Euclides: 
“Se F, F’ e F’’ são figuras semelhantes, construídas respectivamente sobre a 
hipotenusa c e sobre os catetos a, b de um triângulo retângulo então a área de F é 
igual à soma das áreas de F’ e F’’”. 
Sendo assim, consideremos figuras semelhantes quaisquer construídas 
sobre os lados de um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. Conforme 
mostra a figura 5: 
 
Figura 5. Generalização do Teorema de Pitágoras 
 
 Desenhado pelos autores 
25 
 
Sejam A, B e C as áreas dessas figuras semelhantes construídas 
respectivamente sobre os lados a, b e c de um triângulo retângulo, conforme mostra 
a figura 5. 
Pela propriedade da razão entre áreas de figuras semelhantes, sabemos 
que ela é igual ao quadrado da razão de semelhança. (OLIVEIRA, 2008, p. 12). 
Assim, temos que: 
 
 
 
 = 
 
 
 e 
 
 
 = 
 
 
 , ou seja, 
 
 
 = 
 
 
 e 
 
 
 = 
 
 
 , portanto, 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
. 
 
Dessa forma, levando em consideração a seguinte propriedade das 
proporções que afirma que “a soma dos antecedentes está para a soma dos 
consequentes”, temos: 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
, logo, 
 
 
 = 
 
 
. 
 
Como, pelo Teorema de Pitágoras a² = b² + c² concluímos que A = B + C. 
Portanto, se figuras semelhantes são construídas sobre os lados de um 
triângulo retângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa será 
correspondente á soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. 
 
2.2 Prova 2. O problema de Hipócrates 
 
A prova a seguir baseia-se num problema de aplicação do Teorema de 
Pitágoras, para cálculo de áreas, descrito por WAGNER (2009, p. 20. Ibid., p. 55.). 
 
Figura 6. O problema de Hipócrates 
 
Desenhado pelos autores 
26 
 
Dado um triângulo e três semicircunferências tendo os lados desse triângulo 
como diâmetro, conforme mostra a figura 6. Tem-se que a área do triângulo é igual à 
soma das áreas das lúnulas destacadas em azul. 
 
Verificação: 
 
Tomemos A como sendo a área do triângulo; B e C as áreas destacadas em 
azul; e D e F como sendo as áreas compreendidas entre as lúnulas destacadas e os 
catetos do triângulo, de acordo com o indicado na figura abaixo. 
 
Figura 7. Indicação de valores de áreas para problema de Hipócrates 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras apresentada na prova 1 
dizemos que a área do semicírculo construído sobre a hipotenusa é igual à soma 
das áreas dos semicírculos construídos sobre os catetos. Assim temos que: 
A + D + E = (B + D) + (C + E) 
A + D + E = B + D + C + E 
A = B + C 
 
Daí segue que a soma das áreas das duas lúnulas destacadas é igual á área 
do triângulo retângulo. 
 
2.3 Demonstração Clássica: Através de quadriculações 
 
Temos um triângulo retângulo cujas medidas dos catetos são 3 e 4, e 
consequentemente a medida da hipotenusa será 5. Construindo quadrados sobre a 
hipotenusa e os catetos e posteriormente realizando quadriculações nesses 
quadrados verificaremos a veracidade do Teorema de Pitágoras. 
 
27 
 
Figura 8. Demonstração do Teorema de Pitágoras através de quadriculações. 
 
 Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-teorema-pitagoras.htm 
 
Ao contarmos o número de quadradinhos encontrados em cada um dos 
quadrados maiores temos: 9, 16 e 25, distribuídos de tal forma que nos leva a 
verificar então que 9 + 16 = 25, ou seja, levando em conta a medida dos lados do 
triângulo retângulo tem-se que 3² + 4² = 5², satisfazendo assim o enunciado do 
Teorema de Pitágoras. 
Segundo LIMA (1991 apud TEXEIRA, 2003, p. 11), as verificações das 
relações do tipo 3² + 4² = 5² foram obtidas pela constatação das áreas de quadrados 
dos lados do triângulo retângulo, como apresentado na figura 8. 
 
2.4 Demonstração do Quadrado Chinês 
 
Baseada na demonstração realizada por KAMERS (2008, p. 21). 
Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A. Suponhamos que a 
hipotenusa meça a e que os catetos meçam b e c. 
 
Figura 9. Triângulo ABC, retângulo no vértice A 
 
 Desenhado pelos autores28 
 
 
Observemos agora a figura 10, em que ambas as imagens são quadrados 
de lados b + c. 
 
Figura 10. Demonstração do Teorema de Pitágoras no Quadrado Chinês 
 
 Desenhado pelos autores 
 
A primeira imagem é formada por quatro triângulos congruentes ao da figura 
10 e um quadrado de lado a. A segunda imagem também é formada pelos quatro 
triângulos congruentes, um quadrado de lado b mais um quadrado de lado c. 
Analisando podemos notar que os dois quadrados de lado b + c são iguais e 
ambos contêm os quatro triângulos congruentes, na cor azul, logo podemos concluir 
que o a parte em cor cinza num quadrado deve ser igual no outro, dessa forma, 
temos que o quadrado de a é igual ao quadrado de b mais o quadrado de c, de tal 
modo que a² = b² + c², satisfazendo assim o Teorema de Pitágoras. 
 
2.5 Demonstração do Teorema de Pitágoras através de triângulos 
isósceles 
 
Conforme apresentação realizada por SANTOS (2011, p. 12), observemos a 
figura a seguir constituída por nove triângulos retângulos isósceles e congruentes 
entre si. 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Figura 11. Demonstração do Teorema de Pitágoras através de triângulos isósceles. 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Podemos verificar que em volta do triangulo retângulo isósceles central 
existem três quadrados. Os menores formados pelos lados correspondentes aos 
catetos, sendo que um deles é constituído pelos triângulos isósceles 1 e 2 e o outro 
pelos triângulos 3 e 4, todos isósceles e congruentes ao triângulo central. Nota-se 
que o quadrado maior, correspondente ao lado da hipotenusa constitui-se pelos 
triângulos 1, 2, 3 e 4, logo podemos afirmar que área do quadrado da hipotenusa é 
igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos, conforme o enunciado do 
Teorema de Pitágoras. 
 
2.6 Demonstração de Perigal 
 
Henry Perigal (1801-1898) foi um livreiro, corretor da bolsa de valores em 
Londres. Tendo apreço pela matemática, publicou em 1873 uma elegante 
demonstração para o Teorema de Pitágoras baseada na bissecção de um quadrado. 
Fundamentada na representação feita por WAGNER (2009, p. 6), inicia-se o 
procedimento dividindo um quadrado em quatro partes através de duas retas 
perpendiculares que passam pelo centro seu centro (ponto de encontro das 
diagonais), de modo que se obtêm quatro quadriláteros congruentes. Posteriormente 
reagrupam-se os quadriláteros formando um quadrado maior que contém outro 
quadrado no seu interior. 
 
 
30 
 
Figura 12. Bissecção de Perigal e o reagrupamento das peças. 
 
 Desenhado pelos autores 
 
O quadrado médio dividido e reagrupado oculta outros dois quadrados, 
sendo um maior e outro menor. Isso nos mostra evidentemente que área do 
quadrado maior é equivalente á soma das áreas dos quadrados menores 
demonstrando então o Teorema de Pitágoras. 
Para confirmar a demonstração, podemos visualizar o agrupamento das 
peças envoltas ao triângulo retângulo. 
 
Figura 13. Demonstração de Perigal para o Teorema de Pitágoras. 
 
 Desenhado pelos autores 
 
2.7 Demonstração de Bháskara 
 
Bháskara foi um importante matemático hindu, para BOYER (2010, p. 151) 
“ele foi o mais importante matemático do século doze, [...] e sua obra representa a 
culminação de contribuições hindus anteriores”. 
Assim como muitos matemáticos, Bháskara também apresentou uma 
demonstração para o Teorema de Pitágoras, tal feito se deu de modo análogo á 
31 
 
figura que aparece no Chou Pei Suan Shing (um dos mais antigos e famosos textos 
chineses sobre matemática). 
 
Figura 14. Ilustração do livro Chou-Pei. 
 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Chou_Pei_Suan_Ching 
 
 De acordo com BARBOSA (1993 apud SANTOS, 2011, p. 17), “não foi 
oferecida nenhuma explicação quanto a sua demonstração, mas apenas uma 
palavra: “veja” ou “contemple””. 
 
Figura 15. Demonstração de Bháskara 
 
Desenhado pelos autores 
 
Observando a figura demonstrativa de Bháskara, podemos perceber que ele 
dividiu um quadrado a partir de bissetrizes dos ângulos, sendo que a semirreta que 
define cada bissetriz direciona-se ao ponto médio do lado oposto ao ângulo, dessa 
forma obtendo quatro triângulos retângulos congruentes e um quadrado menor ao 
centro. Vale considerar que não fica tão clara a natureza do Teorema de Pitágoras 
na demonstração de Bháskara, por tal motivo reorganizaremos as cinco peças que 
agora constituem o quadrado, a fim de facilitar a compreensão de tal demonstração. 
 
 
 
 
32 
 
Figura 16. Reorganização das peças para demonstração de Bháskara. 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Notemos que o quadrado original, ou o maior quadrado, tem como lado a 
medida da hipotenusa do triângulo retângulo, e os demais quadrados são referentes 
aos catetos, portanto, o quadrado da hipotenusa é exatamente igual à soma dos 
quadrados dos catetos, conforme mostrado na figura 16, dessa forma fica claro o 
Teorema de Pitágoras na demonstração de Bháskara. 
 
2.8 Demonstração de Leonardo Da Vinci 
 
Leonardo Di Ser Piero Da Vinci ou simplesmente Leonardo da Vinci, de 
origem Italiana, nasceu em 15 de abril de 1452, e é considerado por muitos como 
sendo o maior gênio da história devido á sua multiplicidade de talentos, foi cientista, 
engenheiro, inventor, escultor, anatomista, arquiteto, botânico, poeta, músico, pintor 
e matemático. “Monalisa” e “A última ceia”, duas das pinturas mais famosa do 
mundo, de autoria deste gênio da humanidade, trazem em seus traços grande 
conhecimento matemático, principalmente no que se refere á proporção áurea. 
Em relação ao Teorema de Pitágoras, Da Vinci também realizou uma bela 
demonstração utilizando a comparação de áreas de figuras geométricas. 
 
Figura 17. Demonstração de Leonardo Da Vinci 
 
Desenhado pelos autores 
33 
 
De acordo com a explicação dada por COELHO (2010, p. 38), notemos 
primeiramente, os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI, partindo do 
pressuposto de que sejam congruentes em virtude da medida de seus lados e seus 
ângulos internos, temos que os hexágonos ABCDEF e GFHIJE têm a mesma área. 
Dessa forma, a área do quadrado FHJE é igual à soma das áreas dos quadrados 
ABGF e GCDE. 
Nessa demonstração de difícil visualização, Da Vinci considerou a área de 
quadriláteros e hexágonos em uma figura mais complexa, formada a partir dos 
quadrados equivalentes aos lados de um triangulo retângulo, e comprovou a relação 
existente na qual se baseia o Teorema de Pitágoras. 
 
2.9 Demonstração de Euclides 
 
Euclides foi um matemático grego que não se sabe onde ou quando nasceu, 
apenas que viveu em Alexandria durante o século III a.C. Sua grande obra em 
registro foi intitulada “Os elementos”, conhecida como “Os elementos de Euclides”, é 
constituída por treze capítulos sobre aritmética, geometria e álgebra. 
No livro I dos Elementos, Euclides apresenta o Teorema de Pitágoras com o 
seguinte enunciado: 
Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado subtendendo o ângulo 
reto é igual aos quadrados sobre os lados contendo o ângulo reto. (MARQUES, 
2011, p.118) 
A figura a seguir mostra a demonstração que foi oferecida por Euclides: 
 
Figura 18. Demonstração de Euclides para o Teorema de Pitágoras. 
 
 Desenhado pelos autores 
34 
 
 
Seja o triângulo ABC retângulo em A e seja K a altura relativa á A. Têm-se 
os quadrados dos lados do triângulo com o prolongamento da altura de AK para AJ. 
Os triângulos ABH e GBC são congruentes, uma vez que AB = GB e BC = 
BH, logo as suas áreas são iguais, bem como, são iguais os respectivos dobros, ou 
seja, as áreas do quadrado ABGF e do retângulo BCIH. 
Em analogia, os triângulos BCD e ACI são congruentes, pois DC = AC e CI = 
BC, dessa forma, a área do quadrado ACDE é igual á do retângulo CIJK. Sendo 
assim, fica demonstrado que a área do quadrado da hipotenusa é igual à soma das 
áreas dos quadrados dos catetos. 
 
2.10 Demonstração de Papus 
 
Talvez nascido em Alexandria, Papus é consideradoo último grande 
geômetra da civilização antiga, seu grande livro, conhecido por “Coleção 
matemática” é composto por oito volumes que trazem demonstrações inéditas para 
feitos de importantes matemáticos anteriores, em um deles Papus apresenta 
também, uma demonstração para o Teorema de Pitágoras. 
Segundo Lima (1991 apud SANTOS, 2011, p. 21), “não se trata de uma 
nova demonstração, mas de uma generalização bastante interessante do Teorema 
de Pitágoras”. 
O Teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma 
das áreas dos paralelogramos ADFG e ACJI. 
Tomemos um triangulo arbitrário ABC; em vez de quadrados sobre os lados, 
construímos paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, e um terceiro que cumpra 
a condição de CD ser paralelo á AH, e com o mesmo comprimento (CD//AH e CD = 
AH). 
Figura 19. Demonstração do Teorema de Papus 
 
Desenhado pelos autores 
35 
 
A demonstração é baseada na observação de que dois paralelogramos com 
bases e alturas de mesmo comprimento possuem a mesma área. Assim, AHKB tem 
área igual á de ABFG que por outro lado é igual á área de BMNE. Logo segue-se 
que as área de BMNE e ABFG são iguais. Analogamente são iguais também as 
áreas de CDNM e CAIJ. Portanto, a área BCDE é igual á soma das áreas de ABFG 
e CAIJ. 
Para Lima (1991 apud SANTOS, 2011, p. 22), “o Teorema de Pitágoras é 
caso particular do de Papus. Basta tomar o triângulo retângulo ABC e três 
quadrados em lugar dos três paralelogramos”. 
 
2.11 Demonstração do Teorema de Pitágoras através do Tangram 
 
O tangram é um quebra cabeça chinês milenar, constituído por sete peças 
cortadas a partir de um quadrado e apresenta três formas geométricas em suas 
peças: 2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 2 triângulos pequenos, 1 quadrado e 
1 paralelogramo. 
 
Figura 20. Tangram 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Reorganizando suas peças é possível representar uma variedade de figuras, 
desde objetos e animais á figuras humanas. Dessa mesma forma, a demonstração 
do Teorema de Pitágoras encontrada no tangram consiste em reagrupar suas peças 
de modo a obter dois quadrados menores a partir do quadrado maior constituído 
pelas sete peças, conforme vemos na figura a seguir: 
 
 
 
 
36 
 
Figura 21. Demonstração no regrupamento das peças do tangram. 
 
Desenhado pelos autores 
 
Notemos que a soma dos quadrados dos catetos, ou seja, dos quadrados 
menores formados pelas peças do quebra cabeça, resultam no quadrado da 
hipotenusa (quadrado maior) constituído exatamente pelas sete peças que formam o 
tangram. Sendo assim, fica demonstrado e Teorema de Pitágoras. 
 
2.12 Prova 3. A demonstração mais curta: por semelhança de 
triângulos 
 
Para Lima (1991 apud SANTOS, 2011, p. 14), a prova para o Teorema de 
Pitágoras, mais curta e mais conhecida é baseada na semelhança de triângulos. 
Segundo Barbosa (1993 apud SANTOS, loc. cit.), esta demonstração é a 
mais empregada nos cursos tradicionais de geometria plana, como nos livros sem 
preocupação educacional. 
Vejamos: 
Seja ABC um triângulo retângulo em A e AD a altura desse triângulo, 
perpendicular ao lado BC, conforme mostra a figura seguinte: 
 
 
 
 
 
37 
 
Figura 22. Triângulo retângulo com as projeções dos catetos e a altura 
 
Desenhado pelos autores 
 
Temos que os triângulos ABC, DBA e DCA são semelhantes, em razão da 
congruência dos ângulos (BÂD = , complemento de ; CÂD = , complemento de 
 ). Dessa forma há proporcionalidade entre os lados homólogos do triângulo ABC 
para com os triângulos DBA e DCA. 
Tomando m e n respectivamente as projeções dos catetos b e c sobre a 
hipotenusa a, temos: 
 
 
 = 
 
 
  c² = an e 
 
 
 = 
 
 
  b² = am. 
Somando membro á membro, obtemos: 
an + am = b² + c²  a (m + n) = b² + c²  a . a = b² + c², então a² = b² + c². 
 
Esta prova demonstra o Teorema de Pitágoras de maneira bem simples e 
clara, além de encontrar outras relações métricas importantes do triângulo retângulo. 
 
2.13 Prova 4. Demonstração do Presidente. 
 
Advogado, general americano, vigésimo presidente estadunidense, tendo 
presidido por apenas 6 meses, em virtude de ter sido assassinado, e um entusiasta 
pela matemática, James Abram Garfield (1831-1881) desenvolveu em 1876, 
enquanto estava na câmara de representantes, um rabisco com uma interessante 
prova para o Teorema de Pitágoras usando o conceito de comparação de áreas de 
figuras planas. 
38 
 
De acordo com KAMERS (2008, p. 19), o New England Journal Of Education 
publicou esta demonstração que foi obtida pelo Presidente por meio dos seguintes 
procedimentos: 
Decompondo um trapézio de bases “b” e “c”, e altura “b + c” em três 
triângulos retângulos, sendo dois deles de lados a, b e c. Conforme mostra a figura a 
seguir. 
 
Figura 23. A prova do presidente para o Teorema de Pitágoras 
 
Desenhado pelos autores 
 
Temos a área do trapézio, dada pelo produto da soma das bases pela altura, 
dividido por dois: 
 
A = 
 
 
  A = 
 
 
 (I) 
 
Por outro lado, nota-se que a área do trapézio corresponde á soma das 
áreas dos triângulos retângulos. Sabendo que a área do triângulo é dada pela 
metade do produto da base pela altura, temos que: 
A = 
 
 
 + 
 
 
 + 
 
 
  A = 
 
 
 (II) 
Comparando as sentenças (I) e (II): 
 
 
 
 = 
 
 
  
 
 
 = 
 = 
 
Logo a² = b²+ c², o que conclui a demonstração para o Teorema de 
Pitágoras. 
39 
 
3. APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Conforme o enunciado, se a é a medida da hipotenusa de um triângulo 
retângulo e b e c são as medidas de seus catetos, então a² = b² + c², eis aqui, em 
linhas gerais o famoso Teorema de Pitágoras que fora provado das mais diversas 
formas no capítulo anterior. 
Tal princípio vem sendo utilizado de maneira eficiente ao longo dos séculos. 
Desse modo, apresentaremos a seguir uma pequena amostra de aplicações 
derivadas a partir de estudos do Teorema de Pitágoras em diversas áreas do 
conhecimento. 
 
3.1 Em Matemática 
 
A matemática é a área do conhecimento na qual está fundamentada a 
origem do Teorema de Pitágoras, dessa forma, veremos a seguir algumas das 
inúmeras sub áreas de aplicação para tal. 
Vale ressaltar que as aplicações do Teorema de Pitágora em geometria 
plana e geometria espacial, apresentadas adiante, foram baseadas na obra de IEZZI 
et al. 
 
3.1.1 Geometria Plana 
 
O Teorema de Pitágoras é uma ferramenta de ouro na geometria. 
Em geometria plana, conforme relata a história, sua aplicação está 
intimamente ligada á origem dos números irracionais, item “a”. 
 
a) Cálculo da diagonal do quadrado 
 
Seja o quadrado de lado l, decomposto em dois triângulos pela diagonal d, 
conforme a figura: 
 
 
 
 
40 
 
Figura 24. Quadrado decomposto em dois triângulos. 
 
Desenhado pelos autores 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
d² = l² + l² → d² = 2l² → d = 2l² → d = l 2 
 
Dessa forma, basta conhecer a medida do lado do quadrado para 
rapidamente se obter a medida de sua diagonal. Se por exemplo, o quadrado medir 
2 cm, automaticamente sua diagonal medirá 2 2 cm. 
Vale mencionar que se crê que foi através dessa aplicação do Teorema de 
Pitágoras, que Hipaso, membro da Escola Pitagórica, descobriu a existência dos 
números irracionais. 
Nota-se que 2 (raiz de dois pertence ao conjunto dos números 
irracionais). 
 
b) Cálculo da altura do triângulo equilátero 
 
A figura 25 mostra um triângulo equilátero ABC de lado l e altura h, 
decomposto em dois triângulos retângulos congruentes, cujos catetos medem h e 
 
 
, 
e a hipotenusa mede l. 
 
Figura 25. Triângulo equilátero decomposto em triângulos retângulos congruentes. 
 
 Desenhado pelos autores 
41 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras:l ² = h² + 
 
 
 ² → h² = l² - 
 
 
 → h² = 
 
 
 → h = 
 
 
 → h = 
 
 
 
 
Assim, temos que a medida da altura do triângulo equilátero é dada em 
função da medida de seu lado. Por exemplo, se o lado medir 6 cm automaticamente 
sua altura medirá 3 3 cm, pois: 
 
h = 
l 3
2
 → h = 
 3
2
 → h = 3 3 cm. 
 
A partir dessas demonstrações é fácil perceber através de aplicações do 
teorema de Pitágoras que se pode realizar o cálculo da altura de outros polígonos, 
como retângulos e trapézios; bem como, as diagonais de losangos, tendo por base 
apenas as medidas dos lados. 
Existe uma infinidade de situações problemas em geometria plana cujas 
resoluções mais eficazes são realizadas a partir da aplicação do Teorema de 
Pitágoras. 
 
3.1.2 Geometria Espacial 
 
De modo análogo, a aplicação do Teorema de Pitágoras em geometria 
espacial provém intimamente de sua aplicação em geometria plana. Vejamos: 
 
a) Cálculo da Diagonal do Cubo 
 
Um paralelepípedo retangular que apresenta congruência em suas arestas 
(a = b = c) é chamado de cubo, dessa forma, todas as suas faces são quadradas. 
A figura abaixo mostra um cubo de aresta a. Sendo d a diagonal de uma de 
suas faces quaisquer e D a diagonal do cubo. 
 
 
 
 
42 
 
Figura 26. Cubo de aresta a e diagonal D 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Como vimos anteriormente d = a 2 (diagonal do quadrado), então, 
aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado, temos: 
 
D² = a² + d² → D² = a² + (a 2)² → D² = a² + 2a² → D² = 3a² → D = 3a² → 
→ D = a 3. 
 
Notemos que dado um cubo de aresta a, sua diagonal será expressa por 
a 3. Assim sendo, por exemplo, se uma caixa cúbica apresentar aresta igual á 10 
cm, sua diagonal será 10 3 17,32 cm. 
 
b) Cálculo da Altura do Cone 
 
Dado um cone circular reto, de altura h, raio da base R e sendo g a sua 
geratriz, conforme mostra a figura 27: 
 
Figura 27. Cone 
 
 Desenhado pelos autores 
 
43 
 
Sua altura pode ser facilmente calculada aplicando o Teorema de Pitágoras 
no triângulo retângulo em destaque, cuja hipotenusa é a geratriz do cone, e seus 
catetos correspondem á altura e o raio da base do cone. Sendo assim, temos: 
 
g² = h² + R² → h² = g² - R² → h = g² - R² 
 
Desse modo, pode-se obter a medida da altura do cone a partir das medidas 
do raio de sua base e de sua geratriz. 
 
3.1.3 Geometria Analítica 
 
A Geometria analítica baseia seus estudos geométricos utilizando-se 
intrinsecamente da álgebra. E como em geometria de um modo geral, o Teorema de 
Pitágoras é ferramenta importante para as soluções de diversas situações 
problemas. 
 
a) Distância entre dois pontos através do sistema de coordenadas 
 
É possível calcular a distância entre dois pontos A e B em um plano 
cartesiano através do Teorema de Pitágoras. 
De acordo com a aplicação apresentada por COELHO (2010, p. 54), vemos 
na figura a seguir, um triângulo retângulo obtido através do prolongamento do 
segmento tracejado que determina a abscissa do ponto A até o segmento que 
determina a ordenada do ponto B, de modo que as medidas dos catetos sejam 
expressas por (x2 – x1) e (y2 – y1), e a medida da hipotenusa seja a distância d entre 
os pontos A e B. Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Figura 28. Distância euclidiana entre dois pontos 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado, temos: 
 
d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)² → d = (x2 – x1)² + ( 2 – 1)² 
 
Dessa forma, por exemplo, a distância entre os pontos A (1,3) e B (4,7) será 
d = 25 u.m. 
 
b) Cálculo do módulo de um vetor 
 
Considerando o vetor v = (a,b) no R², podemos facilmente calcular o seu 
comprimento através da aplicação do Teorema de Pitágoras. Observe: 
 
Figura 29. Vetor v = (a,b) no R² 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado, temos: 
│v│² = a² + b² → │v│ = a² + b² 
 
45 
 
Ressalta-se que │v│ representa o módulo de v, expresso dessa maneira por 
tratar-se de medida. 
Analogamente podemos calcular o módulo de um vetor por produto escalar. 
Segundo Machado (1982 apud COELHO, 2010, p. 56): “Chamamos produto 
escalar (ou produto interno) de dois vetores u (x1, y1) e v (x2, y2) do R² ao número 
real x1 x2 + y1 y2. Indicamos esse número pelo símbolo u.v cuja leitura é u escalar v”. 
 Desse modo, podemos obter o módulo do vetor v representado na figura 29 
através do produto escalar v.v. observe: 
 
v.v = (a,b) . (a,b) → v.v = a.a + b.b → │v│² = a² + b² → │v│ = a² + b² 
 
3.1.4 Trigonometria 
 
A trigonometria é uma área da matemática que trata dos estudos dos lados e 
dos ângulos de um triângulo. Considerada como sendo a área de estudo mais 
importante da matemática por ter aplicações diretas em Física, Engenharia, 
Navegação marítima e aérea, cartografia, topografia, astronomia, agrimensura, entre 
outras, e como em matemática de um modo geral, tem no Teorema de Pitágoras 
uma ferramenta impar na resolução de diversas situações. 
Vejamos á seguir, duas aplicações do Teorema de Pitágoras na 
Trigonometria fundamentadas em COLEHO (2010): 
 
a) Cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos de 30º, 45º e 60º 
 
Os estudos trigonométricos estão embasados em três relações métricas 
fundamentais: seno, cosseno e tangente. 
Seno = 
 
 
 
Cosseno = 
 
 
 
Tangente = 
 
 
 
 
46 
 
Considerando o triângulo ABC, formado a partir de um quadrado de lado l = 
1u.m., podemos obter os valores de seno, coseno e tangente de 45º. Observe: 
 
Figura 30. Triângulo retângulo formado por um quadrado de lado l = 1 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Vimos anteriormente, que aplicando o Teorema de Pitágoras teremos a 
medida da diagonal (hipotenusa) expressa por l 2. Nesse caso temos que d = 2. 
Então: 
Sen45º = 
 
 
 → Sen45º = 
 
 
 → Sen45º = 
 
 
. 
Cos45º = 
 
 
 → Cos45º = 
 
 
 → Cos45º = 
 
 
. 
Tg45º = 
 
 
 → Tg45º = 
 
 
 → Tg45º = 1. 
 
Analogamente, podemos calcular o seno, cosseno e tangente dos ângulos 
de 30º e 60º considerando agora o triângulo retângulo ABC formado a partir de um 
triângulo equilátero de lado l = 1u.m. Observe: 
 
Figura 31. Triângulo retângulo ABC 
 
 Desenhado pelos autores 
47 
 
Semelhante ao exemplo anterior, a aplicação do Teorema de Pitágoras 
expressará a medida da altura h como sendo 
 
 
. Sendo assim, temo que h = 
 
 
. 
Logo: 
Sen30º = 
 
 
 → Sen30º = 
 
 
 
 → Sen30º = 
 
 
. 
Cos30º = 
 
 
 → Cos30º = 
 
 
 
 → Cos30º = 
 
 
. 
Tg30º = 
 
 
 → Tg30º = 
 
 
 3
2
 → Tg30º = 
 3
3
. 
Veremos agora para o ângulo de 60º. 
Sen60º = 
 
 
 → Sen 0º = 
 
 
 
 → Sen60º = 
 
 
. 
Cos60º = 
 
 
 → Cos 0º = 
 
 
 
 → Cos60º = 
 
 
. 
Tg60º = 
 
 
 → Tg 0º = 
 3
2
 
 
 → Tg60º = 3. 
Vale observar as relações existentes entre as linhas trigonométricas, onde 
sen30º = cos60º e Sen60º = cos30º, do mesmo modo que tg60º = 
1
tg30 
. 
 
A recíproca é verdadeira para os ângulos complementares, tal como 30° e 
60°. 
 
b) Relação Fundamental da Trigonometria 
 
Considere o triângulo retângulo ABC e o ângulo x assinalado, como mostra a 
figura 32: 
 
 
 
48 
 
Figura 32. Triângulo retângulo ABC 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Temos que senx = 
b
a
 e cosx = 
c
a
. Então: 
 
sen²x + cos²x = 
b
a
 ² + 
c
a
 ² → sen²x + cos²x = 
b²+c²
a²
. 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² + c², logo: 
 
sen²x + cos²x = 
a²
a²
 → sen²x + cos²x = 1 
 
Obtida através de aplicações do Teorema de Pitágoras, tal relação é muito 
utilizada em todo o estudo trigonométrico.3.2 Em Física 
 
“O físico precisa de três coisas para o seu trabalho, matemática, 
matemática e matemática”, foi o que disse o primeiro Nobel de Física: Wilhelm 
Roentgen (1845 – 1923). Partindo desse princípio, podemos afirmar que a 
matemática é a linguagem de comunicação e condição de existência da Física. 
Pelo exposto, e como demonstração da veracidade da afirmação feita 
acima, abordaremos a seguir uma aplicação prática do Teorema de Pitágoras em 
situações fundamentadas na Física. 
 
3.2.1 Operações vetoriais: Cálculo do módulo do vetor soma 
 
De acordo com CALÇADA (1998 apud COELHO, 2010, p. 57), “Na Física 
são estudados dois tipos de grandezas: as escalares e grandezas vetoriais. A 
escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando se conhece apenas 
49 
 
sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como 
exemplos de grandeza física escalar há a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), 
[...]. Nas operações com grandezas escalares, seguem-se as regras de operações 
algébricas usuais (soma, subtração, multiplicação e divisão), e os cálculos são 
arredondados, quando necessário”. Por sua vez, as grandezas vetoriais se 
caracterizam pela intensidade (ou módulo) e pela orientação (direção e sentido). 
Como a grandeza vetorial exige orientação, podemos facilmente representa-
las e opera-las em vetores no plano, dessa forma, a geometria analítica torna-se 
fundamental na resolução de diversos problemas dessa natureza. Vejamos o 
exemplo a seguir: 
Um veículo que parte de uma cidade A e sofre um deslocamento no sentido 
leste (d1), chegando até uma cidade B e, em seguida, se desloca novamente no 
sentido norte, para chegar até a cidade C (d2). (COELHO, op. cit., p. 58). 
 
Figura 33. Triângulo retângulo ABC obtido no deslocamento de um veículo. 
 
Fonte: CALÇADA (1985 apud COELHO, 2010, p. 58). 
 
Temos que os deslocamentos d de A para C compreende á soma vetorial 
dos deslocamentos d1 de A para B e d2 de B para C, ou seja, d = d1² + d2² . 
Como nota de que d pode ser expresso como soma de d1 e d2, podemos 
usar o método do paralelogramo para soma vetorial, que nos diz que a soma de dois 
vetores (d1 e d2) corresponde ao vetor da diagonal (d) do paralelogramo formado 
entre eles. 
 
 
 
 
50 
 
Figura 34. Soma vetorial pelo método do paralelogramo. 
 
Desenhado pelos autores. 
 
Desse modo, para calcular o módulo (grandeza escalar) do vetor resultante, 
basta aplicar o Teorema de Pitágoras. Então: 
 
│d│² = d1² + d2² → │d│ = d1² + d2² 
 
Vale ressaltar que o módulo de d (│d│) equivale á distância percorrida pelo 
carro da cidade A até a cidade C. 
De maneira mais eficaz, o módulo do vetor soma pode ser calculado sob 
uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras. Vejamos: 
Duas forças agem sob um ponto material de massa m = 2 kg, conforme 
indicado na figura 35. Sabendo que F1 = 8N e F2 = 6N, calcule a aceleração 
adquirida pelo ponto material. 
 
Figura 35. Forças F1 e F2 agindo sobre um ponto material. 
 
Desenhado pelos autores. 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras obtemos o módulo da força resultante: 
 
F² = F1² + F2² → F² = 8² + ² → F² = 4 + 3 → F = 100 → F = 10N 
51 
 
 
Como a 2ª Lei de Newton diz que a força é diretamente proporcional ao 
produto da aceleração de um corpo pela sua massa, temos: 
 
F = m.a → 10 = 2a → a = 5 m/s² 
 
Assim, demonstra-se uma aplicação eficaz do Teorema de Pitágoras em 
Física para determinar o módulo de um vetor soma ou Força resultante. 
A seguir, as aplicações do Teorema de Pitágoras em Biologia (tópico 3.3), 
também utilizam o conceito de Força resultante. 
 
3.3 Em Biologia 
 
Conhecimentos matemáticos também podem ser aplicados em outras áreas 
de estudo além da matemática e da física, em que são explícitos. Na Biologia, por 
exemplo, a matemática sempre esteve interligada em diversos aspectos, como prova 
disso temos as proporções existentes entre as partes dos corpos dos seres; na 
quantidade de substâncias nocivas ou inócuas a determinado organismo; na 
quantidade de porções curativas; na contagem de certas partículas orgânicas 
presentes nos mais variados seres, enfim, em muitos procedimentos biológicos em 
que a matemática é fortemente presente. 
No livro Introdução á Matemática para Biocientistas, Batscheletet (1978) faz 
um resumo dos principais conhecimentos matemáticos aplicados na Biociência, 
dentre os quais destacamos o Teorema de Pitágoras. A seguir veremos duas 
aplicações citadas pelo autor nas páginas 462 e 463, respectivamente, do livro ao 
norte mencionado. 
 
3.3.1 O Plano inclinado de um corpo em repouso 
 
Na figura abaixo vemos um corpo em repouso num plano inclinado e as 
forças atuando sobre ele. 
 
 
 
52 
 
Figura 36: Representação do plano inclinado. 
 
 Fonte: BATSCHELETET, 1978, pag. 462. 
 
Sendo F a força gravitacional, também chamada de força peso; a 
componente F1 a força que empurra o corpo para baixo (horizontal da força Peso) e 
a componente F2 a força perpendicular ao chão (vertical da força Peso), temos que, 
a soma dos vetores F1 e F2, resulta na diagonal do paralelogramo formado a partir 
de F1 e F2, o que nesse caso seria a própria força gravitacional F, logo: 
 
F = F1 + F2 
 
Sendo assim, o módulo da força F é calculado através da aplicação do 
Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelos vetores F1, F2 e F: 
 
F² = F1² + F2² 
F = F1² + F2² 
 
3.3.2 As alavancas promovidas pelos movimentos dos ossos do braço 
 
A figura 37 mostra as forças que agem sobre um braço. Sendo F, a força 
decomposta em duas partes: 
 
 Componente F1, perpendicular ao antebraço; 
 Componente F2, paralela ao antebraço. 
 
A força F1 é chamada de força de cisalhamento. 
 
53 
 
Figura 37: Representação do movimento dos ossos do braço 
 
 Fonte: BATSCHELETET, 1978, pag. 463. 
 
Como no tópico anterior, para se calcular o módulo da força resultante F, 
aplica-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado pelas 
componentes F1 e F2 e a própria força F: 
 
F² = F1² + F2² → F = F1² + F2² 
 
Ressalta-se que as aplicações do Teorema de Pitágoras nos procedimentos 
descritos são unicamente com o objetivo de calcular a força resultante F, mostrando 
uma bela relação entre matemática, física e biologia. 
 
3.4 Em Construção Civil 
 
Os primeiros registros sobre a aplicação do Teorema de Pitágoras em 
construções, datam de mais de 1000 anos a.C. Historiadores matemáticos afirmam 
que no Egito Antigo, os agrimensores usavam uma corda de 12 nós (separados em 
3, 4 e 5) para fazer ângulos retos, permitindo construções civis eficientes e muito 
precisas, como as pirâmides de Guizé, uma das sete maravilhas do mundo antigo. 
 
Figura 38: Representação da agrimensura do Egito Antigo 
 
Fonte: http://www.artifexbalear.org/corda12.htm 
 
Note que o método de utilização da corda de 12 nós nada mais é que uma 
aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. 
54 
 
Nos dias atuais esse princípio é fundamental em construções civis. Na 
construção de uma casa, por exemplo, assim como no Egito Antigo, seu uso 
relaciona-se com a determinação de ângulos retos, bem como, na elevação do 
telhado. Vejamos a seguir, como acontece tal utilização do princípio do Teorema de 
Pitágoras: 
 
3.4.1 Na obtenção de ângulos retos 
 
Desde o início da obra, e em diversos momentos, o construtor precisa obter 
ângulos retos, e isso é feito através da aplicação do Teorema de Pitágoras, quase 
sempre sem que o tenha conhecimento da definição desse teorema. 
Na demarcação inicial, por exemplo, os ângulos retos são obtidos através da 
marcação de 30 cm e 40 cm nas laterais de onde se erguerão as paredes usando 
estacas fincadas, em seguida, o construtor faz uso de uma linha de náilon para obter 
50 cm na união dos pontos marcados. Conforme vemos na figura a seguir: 
 
Figura 39: Representação do métodode obtenção de ângulos retos 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Os pontos negros representam os pontos onde são fincadas as estacas, 
sendo que, se a distância entre um e outro não alcançar 50 cm, muda-se a 
inclinação das estacas para dentro ou para fora, até se obter essa medida, fator que 
confirma a precisão do ângulo em 90º. Tal procedimento, na linguagem dos 
trabalhadores é chamado de “deixar no esquadro”. 
Perceba que trata-se de uma aplicação prática do Teorema de Pitágoras, tal 
como utilizada pelos egípcios. 
55 
 
Vale mencionar que muitos pedreiros após conferir se todas as medidas 
“estão no esquadro” (ângulos retos), medem as diagonais para verificar a equidade 
entre elas. Esse processo é chamado por eles de “verificar o xis” ou “fazer o xis”. 
 
Figura 40: Representação do método de verificação do xis 
 
Desenhado pelos autores 
 
É importante lembrar que em geometria, se um paralelogramo possui 
diagonais congruentes, então ele é retângulo, ou seja, seus ângulos são retos. 
 
3.4.2 Na elevação do telhado 
 
Depois de erguida as paredes, pedreiro e carpinteiro trabalham juntos na 
construção do madeiramento para a cobertura da casa. É importante saber que a 
inclinação mínima do telhado depende do tipo de telha a ser usado. 
Após a escolha da telha, calcula-se a porcentagem de inclinação para a 
montagem da “tesoura”. A tesoura é uma estrutura de madeira que sustém o 
telhado, e tem a forma da figura a seguir: 
 
Figura 41: Representação de uma tesoura 
 
 Desenhado pelos autores 
 
56 
 
As telhas de barro cozido, por exemplo, exigem inclinação mínima de 30%. 
Essa inclinação é obtida pelo pedreiro considerando o triângulo retângulo ABH, 
representada na figura 41, assim, para cada metro (100 cm) na horizontal, sobe-se 
30% (30 cm) na vertical. Dessa forma, como a tesoura possui 6m de comprimento, o 
construtor considera a metade, que seria a base do triângulo, então realiza 
mentalmente o seguinte cálculo: 
 
3 x 30 = 90 
 
Ou seja, 30% de 3m é igual á 90 cm, logo a altura da tesoura, ou o lado BH 
do triângulo, deve ser de 90 cm. 
Como tem-se um triângulo retângulo de base medindo 3m e altura 0,9m, 
aplica-se o Teorema de Pitágoras para determinar o comprimento AH da viga da 
tesoura onde repousarão as telhas. Então temos: 
 
(AH)² = (AB)² + (BH)² → (AH)² = 3² + 0,9² → (AH)² = 9 + 0,81 → (AH)² = 9,81 
→ AH = 9,81 → AH 3,14m 
 
Ressalta-se que tal cálculo demonstra de maneira prática a utilização do 
Teorema de Pitágoras nesse estágio da obra, no entanto, geralmente, o cálculo 
realizado pelo construtor é feito segundo sua experiência, visto que poucos 
conhecem a definição do teorema. 
 
3.5 Em Transmissões De Dados GPS (Via Satélite) 
 
Toda e qualquer descoberta, seja matemática, científica, tecnológica, etc., 
quase sempre tem fundamento a partir de descobertas anteriores, desse modo, as 
transmissões de dados GPS, por exemplo, só foram possíveis graças á uma grade 
de satélites artificiais que circula o globo terrestre. Essa conquista tecnológica por 
sua vez, só pôde ser alcançada, devido os conhecimentos referentes á eletrônica, 
eletricidade, lançamento de mísseis e foguetes, órbitas de satélites naturais, dentre 
outras descobertas científicas e tecnológicas, além de conhecimentos matemáticos. 
57 
 
A Sigla GPS é uma abreviatura para Global Positioning System (Sistema de 
Posicionamento Global). Trata-se de um sistema de radionavegação iniciado em 
1973 pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos, que permite identificar a 
localização de qualquer ponto do globo terrestre com uma precisão notável. O 
projeto visou inicialmente o uso em operações militares, porém desde o ano 2000, 
também é utilizado em serviços civis, com menor precisão. 
 
Figura 42: Representação da rede de satélites do GPS 
 
 Fonte: http://www.gpscenter.com.br/index64.html 
 
Constituído por uma rede de 27 satélites que orbitam em torno da Terra, dos 
quais 3 são reservas e 24 estão em plena atividade, assegurando que qualquer 
ponto no planeta esteja “em vista” de pelo menos 4 desses satélites. Seu 
funcionamento está diretamente ligado á diversos conhecimentos, inclusive 
matemáticos, dentre os quais destacamos o Teorema de Pitágoras. 
Tudo se resume em medir o tempo que o sinal emitido por cada satélite 
demora á atingir o aparelho receptor. Sabendo que o sinal se propaga á velocidade 
de luz (aproximadamente 300.000 km/h) é possível calcular a distância entre o 
satélite e o aparelho receptor aplicando a trivial fórmula: v = 
e
t
. Onde “v” é a 
velocidade, “e” é o espaço ou distância entre os satélites e o receptor e “t” é o tempo 
gasto pelo sinal. 
Uma vez conhecida as distâncias, cada satélite calculará a coordenadas 
tridimensionais da posição do receptor. E para que possamos compreender sua 
base matemática de funcionamento, consideraremos um sistema de coordenadas 
cartesianas tridimensional com origem O no centro de massa da Terra. 
 
58 
 
Figura 43: Representação do sistema de coordenadas cartesianas com origem no 
centro da Terra 
 
 Fonte: http://www.guia4ventos.com.br/images/stories/gps3.gif 
 
Note os pontos R e S como sendo a localização do receptor na Terra e a 
localização do satélite no espaço, respectivamente. Para facilitar a visualização, 
iremos “retirar a Terra da frente” e projetar apenas os pontos R e S no sistema 
cartesiano tridimensional e suas variáveis de medidas. Observe: 
 
Figura 44: Sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da Terra 
 
 Desenhado pelos autores 
 
Inicia-se agora uma dupla aplicação do Teorema de Pitágoras para que se 
determinem as coordenadas do ponto R. 
Primeiramente, aplica-se o teorema no triângulo retângulo em destaque no 
plano XY (plano á nível do mar), para que se obtenha a distância d. Assim, temos: 
d² = (Xs – Xr)² + (Ys – Yr)² → d = s- r 
2
+ Ys-Yr 
2
 
59 
 
O passo seguinte consiste em uma nova aplicação do teorema, dessa vez 
no triângulo retângulo em destaque no espaço, conforme mostra a figura a seguir: 
 
Figura 45: Visualização do sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro 
da Terra. 
 
Desenhado pelos autores 
 
Como SR é a distância calculada em função do tempo gasto pela emissão e 
recepção do sinal, temos que SR = v(TR – TS) e como vimos anteriormente 
d = s- r 
2
+ Ys-Yr 
2
. Então: 
[v(TR – TS)]² = ( s- r 
2
+ Ys-Yr 
2
)² + (Zs – Zr)² 
[v(TR – TS)]² = (Xs – Xr)² + (Ys – Yr)² + (Zs – Zr)² 
v(TR – TS) = s- r 
2
+ Ys-Yr 
2
+ ( s- r)² 
 
Em que v = velocidade da luz; TS = tempo de emissão do sinal; TR = tempo 
de recepção do sinal; Xs, Ys, Zs = coordenadas de posição do satélite (reconhecida 
pelo próprio satélite) e Xr, Yr, Zr = coordenadas de posição do receptor. 
Vale mencionar que quanto maior o número de satélites em comunicação 
com o aparelho receptor maior será a precisão do posicionamento, bem como, que 
as coordenadas vetoriais dadas através de um sistema cartesiano são apresentadas 
ao receptor em coordenadas geográficas: altitude, latitude e longitude. 
 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
A realização deste trabalho indubitavelmente nos permite elucidar o 
Teorema de Pitágoras como sendo um dos mais importantes teoremas da 
matemática, não apenas por sua vasta utilidade na resolução de problemas em 
diversos ramos da área, principalmente no que diz respeito á Geometria plana; mas 
por toda sua empregabilidade ao longo da história da humanidade, em atividades 
diárias como agrimensura, edificação, arquitetura, urbanização, física, transmissão 
de dados tecnológicos, e outras. 
Partindo de uma investigação histórica acerca de Pitágoras, sua ordem e as 
obras que lhes são atribuídas, focando o teorema que carrega seu nome, 
prosseguiu-se com a apresentação de demonstrações comprobatórias para o 
teorema de Pitágoras e adiante com algumas aplicações desse teorema não apenas 
em ciências exatas