teorema de Pitágoras

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Capítulo 2
Demonstrações do Teorema de
Pitágoras
Neste capítulo apresentamos diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Iniciamos apresentando duas demonstrações que são consideradas as feitas pelos
pitagóricos. Em seguida apresentamos algumas demonstrações clássicas do teo-
rema, para então considerarmos demonstrações que aparecem no estudo de outros
temas da Geometria. Finalizamos apresentando demonstrações mais recentes que
mostram como este teorema tem sido uma inspiração no estudo de matemática
ainda nos dias de hoje.
As principais referências do capítulo são:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras
www.history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_Pythagoras.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br
Já as figuras foram retiradas das seguintes páginas eletrônicas:
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAIXQAK/demonstracao-teorema-pitagoras
www.prof2000.pt/users/hjco/pitagora/pg000007.htm
O Teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a
respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas
interpretações, e outras provas são baseadas na outra.
O teorema diz que:
“Em um triângulo retângulo a soma das áreas dos quadrados de lados
iguais aos lados menores do triângulo, os catetos, é igual à área do
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quadrado de lado igual ao lado maior do triângulo, a hipotenusa” .
Observemos que naquela época o significado do “quadrado de um número” era
interpretado como a área do quadrado (figura geométrica) de lado com essa medida
e não como o número multiplicado por si mesmo.
Atualmente, se enuncia o teorema simplesmente:
“Em um triângulo retângulo, a soma das áreas dos quadrados que têm como
lados cada um dos catetos é igual à área do quadrado cujo lado é a hipotenusa.”
Normalmente quando se lê ou se ouve falar deste teorema, nos vem a mente
uma figura como a seguinte:
Figura 2.1: Ilustração do Teorema de Pitágoras
Esta figura acima, aos olhos de um leigo não representaria muita coisa, a não
ser é claro, um desenho matemático elaborado!
Vamos considerar o triângulo amarelo no centro da figura como sendo retân-
gulo, e os dois quadrados menores, construídos sobre os catetos deste triângulo.
Então, pelo enunciado do Teorema de Pitágoras, o quadrado maior de cor ver-
melho, construído sobre a hipotenusa do triângulo retângulo central tem a mesma
área que a soma das áreas dos outros dois quadrados vindos dos catetos.
Para nos convencermos matematicamente da veracidade desta afirmação, pre-
cisamos de algumas demonstrações, o que torna o Teorema mais interessante ainda,
pois, desde o século 5 a.C., até o dias de hoje vários matemáticos e leigos têm se
dedicado a apresentar demonstrações desse teorema.