Cálculos de Derivadas e Integrais

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Resposta: O limite de \( h(x) \) é 1. Explicação: Podemos usar a definição de derivada 
para encontrar esse limite, que é \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = \lim_{x \to 0} 
\frac{\frac{1}{x + 1}}{1} = 1 \). 
 
29. Problema: Encontre os pontos de inflexão da curva \( y = x^4 \). 
 Resposta: O ponto de inflexão é \( x = 0 \). Explicação: Para encontrar os pontos de 
inflexão, calculamos a segunda derivada e determinamos onde muda de concavidade. 
 
30. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) no 
intervalo \( 1 \leq x \leq e \). 
 Resposta: A área da região é \( e - 1 \). Explicação: A área entre as curvas é dada pela 
diferença entre as integrais definidas das duas funções. 
 
31. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{2}{x^3} \). Explicação: Usamos a regra 
da potência para derivar \( x^{-2} \) e obtemos \( -2x^{-3} \). 
 
32. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: A integral de \( g(x) \) é \( \int \ 
 
tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Explicação: Esta é 
a integral da função tangente, então usamos a propriedade dos logaritmos naturais. 
 
33. Problema: Determine o limite de \( h(x) = \frac{\cos(x)}{x} \) quando \( x \) se aproxima 
de 0. 
 Resposta: O limite de \( h(x) \) é 0. Explicação: Podemos usar a regra de L'Hôpital para 
resolver essa indeterminação, que nos leva a \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{1} = 0 \). 
 
34. Problema: Encontre os pontos críticos de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
 Resposta: O ponto crítico de \( f(x) \) é \( x = 3 \). Explicação: Os pontos críticos são onde 
a derivada se anula, então resolvemos \( f'(x) = 0 \). 
 
35. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = \ln(x) 
\).