2018 2-AD2-MF-Gabarito

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
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AD 2 – MF - 2018/2 
Gabarito 
 
1) (0,8 pt.) Quando o preço da unidade de determinado produto diminui % 10 , o consumo desse produto 
aumenta % 20 durante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou a receita de venda 
desse produto. 
Solução: 
Sejam x o preço do produto e y a quantidade vendida desse produto. Sabe-se a receita pela venda de um 
produto é dada pelo produto da quantidade vendida pelo preço de uma unidade desse produto. Logo nesse 
caso a receita será dada por yx . O preço diminui % 10 ,ou seja, o preço do produto passou a ser dado por 
x90,0 . O consumo aumentou % 20 no período em que o preço diminui % 10 , logo nesse caso o consumo 
passou a ser dado por y20,1 . Portanto nesse período, a receita será dada por      xyxy  08,190,020,1 . 
Portanto a receita aumentou nesse período % 8 . 
Resposta: 8 % 
 
2,0) (1,2 pts) Um investidor aplicou 00,000.10 R$ em uma instituição financeira por quatro anos a um taxa 
nominal de juro composto de ano ao % 12 . Calcular o montante, sabendo-se que nos dois primeiros 
anos os juros foram capitalizados mensalmente; nos dois últimos anos, bimestralmente. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 12 é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que nos dois 
primeiros anos da operação é mensal, e nos dois últimos anos da operação é bimestral, logo as taxas efetivas 
em cada caso, serão proporcionais à taxa dada. Portanto, sabendo-se bimestres 6meses 12 ano 1  , então 
a taxa efetiva em cada caso será dada por: 
 bimestre ao % 2
6
12
 e mês ao % 0,1
12
12
 . 
Como meses 24 anos 2  , então o montante 
1
M nos dois primeiros anos da operação será dado por 
  35,697.12
1
2401,0100,000.10
1
 MM . 
 
 
2
2
Esta quantia é então aplicada por mais dois anos considerando a taxa de bimestre ao % 2 . Como 
bimestres 12 anos 2  , então, o montante 
2
M será dado por: 
  30,103.16
2
1202,0135,697.12
2
 MM . 
Resposta: R$ 16.103,30 
 
3) (1,0 pts.) Uma empresa deve pagar em seis meses, um título cujo valor nominal é 72.000,00 R$ . 
Contudo, prevendo problemas de caixa, propõe ao credor substituí-lo por dois títulos de mesmo valor 
nominal com vencimento para três e nove meses respectivamente. Determine o valor nominal desses 
títulos, sabendo-se que a taxa de juro da operação é de % 3 ao mês, que foi adotada na operação a data 
“zero” como data de referência e levando-se em consideração o critério do desconto: 
 a) comercial simples; 
 b) racional simples. 
Solução: 
 
dívida original 72.000,00 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  meses 
nova proposta de x x 
pagamento 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto de capitais da dívida original e as setas para 
baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são equivalentes, 
em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a data “zero” como data focal e a taxa de juro simples de 
mês ao % 3 . 
a) Sabemos que no desconto comercial simples, a relação entre o valor atual cA e o valor nominal N é 
dada por    ni
cA
NniNcA


1
1 Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de 
equivalência: 
      00,000.36603,0100,000.72903,01303,01  xxx 
 
 
 
3
3
b) Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor atual rA e o valor nominal N é dada 
por    ni
N
rAnirAN


1
1 . 
Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
      




 704833,1
01695.61
01695.61704833,1
603,01
00,000.72
903,01303,01
xx
xx
 
58,790.35x . 
 
Resposta: 



35.790,58 R$ b)
36.000,00 R$ a)
 
 
 
4) (0,8 pt.) Três títulos cujos valores nominais são 15.000,00 R$ , 18.000,00 R$ e 21.000,00 R$ , com 
vencimentos para dois, seis meses e dez meses, respectivamente, deverão ser substituídos por dois títulos 
de igual valor nominal com vencimento para quatro e oito meses respectivamente. Determine o valor 
nominal desses títulos, sabendo-se que foi adotada na operação uma taxa de ano ao % 24 , capitalizada 
mensalmente, 
Solução: 
divida original 00,000.21 
 18.000,00 
 15.000,00 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  meses 
proposta de 
pagamento x x 
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e as setas para 
baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são equivalentes, 
em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a taxa de ano ao % 24 , capitalizada mensalmente. Portanto, 
essa taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal, ou 
seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a 
taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, isto é, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i 
será dada por mês ao % 0,2
12
0,24
i . 
 
 
4
4
Sabe-se que no regime de juro composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-se assim 
escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar pela data “dez” 
como data focal. 
O problema não menciona o critério a ser utilizado na equivalência, nesses casos, considerando a taxa de 
juros da operação, trata-se simplesmente de capitalizar ou descapitalizar os capitais envolvidos, ou seja, o 
critério a ser utilizado na equivalência é o do desconto racional. 
 Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual rA é dada 
através da equação  
 ni
N
rAnirAN


1
1 . 
Nesse caso então, temos a seguinte equação de equivalência: 
        00,000.214020100,000.188020100,000.152020160201  ,,,x,x 
60,797.26
166562.2
67,058.58
67,058.58166562,2  xxx . 
Resposta: R$ 26.797,60 
 
 
5) (1,0 pt.) Um equipamento eletrônico foi comprado com % 40 de entrada e o restante financiado em vinte 
e quatro prestações mensais iguais e sucessivas de 206,81 R$ , vencendo a primeira prestação, trinta dias 
após a compra. Determine o valor à vista do automóvel, sabendo-se que a taxa nominal de juro composto 
foi de ano ao % 18 . 
Solução: 
A taxa da operação é nominal, e como os depósitos as prestações (termos da série) são mensais, então a 
capitalização é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as 
unidades dessas taxas, a taxa efetiva da operaçãoé proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , 
então a taxa efetiva i será dada por mês ao % 5,1
12
 18,0
i . 
Seja x o valor a vista do equipamento. 
Como o comprador pagou % 40 de entrada, então o valor financiado corresponde % 60 do valor do 
bem, ou seja, x60,0 e este é, portanto o valor atual P de uma série uniforme modelo básico em que os 
termos constantes R da série são iguais a 206,81 , o prazo n é igual a 24 meses e a taxa da operação é de 
 mês ao % 18 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
 
 
5
5
 xP 60,0 
 
 
 
 
 0 1 2 3...........22 23 24 (meses) 
 
 206,81 ...............................................206,81  RR 
 Sabemos que    niFVP
P
RniFVPRP
 ;
 ,  , nesse caso então temos que : 
   
60,0
24 %; 5,181,206
24 %; 5,181,20660,0
FVP
xFVPx

 . 
Utilizando a relação    
i
ni
niFVP


11
; ou uma tabela financeira, temos que: 
      030405,2024 %;5,1
015,0
24015,011
24 %;5,1 

 FVPFVP . 
Logo 00,000.7
60,0
00,200.4
60,0
030405,2068,209


 xxx . 
Resposta: R$ 7.000,00 
 
6) (1,0 pt.) Na compra de um equipamento eletrônico cujo valor a vista era de 6.250,00 R$ um 
consumidor assumiu o compromisso de pagar no ato da compra % 20 desse valor e financiar o saldo em 
doze prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira em trinta dias. Se o credor cobra uma 
taxa nominal de juro composto de ano ao % 30 , determine o valor da prestação. 
Solução: 
Como é pago no ato da compra uma entrada de % 20 sobre o valor à vista do equipamento, então o valor 
financiado será % 80 desse valor, ou seja, valor financiado será dado por 00,000.500,250.680,0  . 
A taxa de ano ao % 30 é nominal e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal. Logo, 
considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxa, a taxa efetiva mensal da operação é 
proporcional a taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva mensal i será dada por 
 % 5,2
12
30
i 
Trata-se de uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar o valor dos termos constantes 
(prestações) R da série, sabendo-se que o valor atual P é igual a 00,000.5 e o prazo n é igual a 12 meses. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
6
6
 00,000.5P 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4............... 11 12 ( meses) 
 RR .............................................................. 
Sabemos que      niFVP
PR
niFVP
P
RniFVPRP
 ;
1
 ;
 ,  . 
Logo, nesse caso temos então que  12 %;5,2
1
00,000.5
FVP
R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 ; , tem-se que: 
      097487,0257765,1012 %;5,2
025,0
12025,011
12 %;5,2 

 FVPFVP . 
Temos então que 43,487097487,000,000.5  RR . 
Resposta: R$ 487,43 
 
7) (1,0 pt.) Um investidor aplica hoje 15.000,00 R$ a juro composto capitalizado mensalmente e terá depois 
de dois anos a quantia de 19.972.09 R$ . Ele quer ter a mesma quantia, ao final do mesmo período, 
utilizando mesma taxa de juro composto, mas desembolsando vinte e quatro quantias iguais, mensais e 
consecutivas, efetuando o primeiro depósito em 30 dias. De quanto devem ser os depósitos efetuados pelo 
investidor? 
Solução: 
A taxa de juro composto mensal i da aplicação realizada pelo investidor será dada por: 
     1012,1124 331473,124
15.000,00
09,972.19
124115.000,0019.972,09 iiii 
mês ao 012,0i ou mês ao % 2,1i . Portanto esta também será a taxa de juro composto dos depósitos a 
serem realizados pelo investidor. 
Esses depósitos mensais constituem uma série uniforme modelo padrão em que o montante S é igual 
a19.972.09 , o prazo da operação é de dois anos, ou seja, meses 24n , e queremos determinar o valor dos 
termos R dessa série. 
 
 
 
 
 
7
7
O diagrama abaixo representa essa série: 
 19.972.09 S 
 
 
 
 
 0 1 2 3............22 23 24 (meses) 
 
 RR ........................................................ 
 . 
Sabemos que      niFVF
SR
niFVF
S
RniFVFRS
 ;
1
 ;
 ;  . 
Portanto, nesse caso tem-se que  24 ;% 2,1
1
19.972.09
FVF
R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVF
11
 ;

 , temos que 
        036202,0
24 ;% 2,1
1
622734,2724 ;% 2,1
012,0
1
24
012,01
24 ;% 2,1 


FVF
FVFFVF . 
Portanto, 03,723036202,009,972.19  RR . 
Resposta: R$ 723,03 
 
8) (0,8 pts.) Um investidor efetua um depósito inicial de 5.000,00 R$ em uma instituição financeira que 
remunera suas contas utilizando a taxa de ano ao % 21,0 , capitalizada bimestralmente. Após sessenta 
dias, efetua mais quinze depósitos bimestrais iguais e sucessivos de 1.000,00 R$ cada. Determinar 
quanto esse aplicador terá acumulado quando da realização do último depósito. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 21,0 é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é bimestral logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva bimestral da 
operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como bimestres 6 ano 1  , então a taxa efetiva bimestral i será 
dada por % 5,3
6
% 21,0
i . 
O depósito inicial de 5.000,00 renderá ao fim de quinze bimestres considerando a taxa bimestral de % 5,3 
um montante M dado por   74,376.815035,0100,000.5  MM . 
Por outro lado, os depósitos constituem uma serie uniforme modelo básico com quinze termos bimestrais e 
iguais a 00,500.2 e queremos determinar o montante S dessa série. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
8
8
 
 S 
 
 
 
 
 0 1 2 3............13 14 15 ( bimestres) 
 
 00,500.2 .................................................. 00,500.2 
 
 
Sabemos que  niFVFRS ; , onde    
i
ni
niFVF
11
 ;

 logo, nesse caso tem-se que: 
 15 %; 3,5 00,000.5 FVFS  . Utilizando uma tabela financeira ou a equação, temos que: 
      295681,1915 %; 3,5 
035,0
115035,01
15 %; 3,5 

 FVFFVF 
 Portanto 20,329.48295681,1900,500.2  SS . 
Logo ao final da operação, o investidor terá um montante dado por: 
94,615.5820,329.4874,376.8  . 
Resposta: R$ 58.615,94 
 
9) (1,2 pts.) Uma pessoa, visando a sua aposentadoria, planeja formar um pecúlio mediante depósitos 
mensais iguais e sucessivos durante 20 anos num investimento que paga uma taxa nominal de % 9,6 ao 
ano. Determine o porcentual do salário que essa pessoa deverá depositar de modo que ela retire 
mensalmente durante 15 anos um valor equivalente ao que recebe hoje. Considere que: o primeiro 
depósito será realizado em 30 dias, a primeira retirada 30 dias após o último depósito e que durante a 
operação não haverá alteração no salário dessa pessoa. 
Solução: 
A taxa de juros de % 9,6 ao ano é nominal, e como os termos das series são mensais, então capitalização 
que é mensal. Portanto, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa e efetiva 
mensal i da operação é proporcional à taxa dada, logo como meses 12ano 1  , então 
mês ao % 8,0
12
6,9
i . 
Os depósitos formam uma série uniforme modelo básico com 240 termos iguais a x e os saques formam 
outra série uniforme modelo básico com 180 termos iguais a y . Queremos determinar a relação porcentual 
de x em relação a y levando em consideração que y é o valor do salário dessa pessoa hoje. 
 
 
9
9
 
 PS  
 
 
 y y y ................ y 
 
 0 1 2 3 4 ........240 241 242 243.............420 (meses) 
 
 x x x x ...... x 
O montante da série dos depósitos é igual ao valor atual dos saques. 
 Sabemos que o valor atual P e o montante S de uma série uniforme modelo básico são dados por 
 niFVPRP ,  e  niFVFRS ; respectivamente com    
i
ni
niFVP


11
 ; e 
   
i
ni
niFVF
11
 ;

 
Temos então que nesse caso,  240 %; 0,8FVFxS  e  180 %; 0,8 FVPyP  . 
Como PS  tem-se que    180 %; 0,8 240 %; 0,8 FVPyFVFx  
 
 240 %; 0,8
180 %; 0,8
FVF
FVP
y
x
 . 
Por outro lado, temos que       213860,95180 %; 0,75
008,0
180008,011
180 %; 0,75 

 FVPFVP e, 
      131219,721240 %; 0,8
008,0
1240008,01
240 %; 0,8 

 FVFFVF . 
 Portanto, 132014,0
131219,721
213860,95

y
x
y
x
. 
 Logo o porcentual do salário a ser depositado de modo a alcançar os resultados desejados é de 
aproximadamente % 13,20 
Resposta: 13,20 % 
 
10) (1,2 pts.) Uma pessoa, precisando reformar a sua casa e não dispondo de dinheiro, abriu um crediário 
em uma loja, no valor de R$ 20.000,00. Por esta compra irá pagar mensalmente vinte e quatro prestações, 
iguais e sucessivas vencendo a primeira prestação um mês após o fim de um período de carência de um 
trimestre de duração, no qual o juro mensal devido não é pago, mas se acumulam no saldo devedor. 
Sabendo-se que a loja pratica uma taxa de juro nominal de juro composto de ano ao % 18 , determine o 
valor das prestações. 
Solução: 
 
 
10
10
A taxa dada é nominal, e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal, ou seja, a taxa 
efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva da 
operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por 
mês ao % 5,1
12
18
i . 
Neste problema, temos uma série de pagamentos uniforme de vinte e quatro termos mensais com o primeiro 
pagamento no 4º mês, isto é, três meses ou um trimestre de carência. Como durante a carência, os juros 
mensais não serão pagos então o valor a ser distribuído nos termos da série será dado pela capitalização do 
financiamento no período (mês) 3. Logo o valor atual desses pagamentos (termos da série) estará referido no 
3º mês e será determinado pela capitalização do valor inicial 00,000.200 P no 3º mês, que indicaremos 
por 3P .Portanto, temos que   20.913,563
3 0,0151 20.000,003  PP . 
Logo, considerando a taxa de mês ao % 5,1i , este será o valor que a ser distribuído numa série 
uniforme de 24 termos mensais. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 20.913,564 P 
 00,000.200 P 
 
 
 0 1 2 3 4 5..................... 25 26 27 (meses) 
 
 RRRRR ................... 
Sabemos que      niFVP
PR
niFVP
P
RniFVPRP
 ;
1
 ;
 ,  . 
Nesse caso então temos que  24 %; 1,5 
.1
20.913,56
FVP
R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 , temos que: 
         049924,0
24 %; 1,5 
1
030405,2024 %; 1,5 
015,0
24015,011
24 %; 1,5 


FVP
FVPFVP 
 Portanto, 09,044.1049924,020.913,56  RR 
Este resultado pode ser obtido considerando duas séries uniformes modelo básico: a primeira com vinte e 
sete termos mensais iguais a R e valor atual P . A segunda com três termos mensais iguais a R e valor 
atual P  . Então o valor atual 0P da série diferida dada, será obtido por PPP 0 
 
 
11
11
Abaixo os diagramas dessas séries; 
 P 
 
 
 
 0 1 2 3 .................25 26 27 (meses) 
 
 RRRRRR .................. . 
O valor atual P dessa série será dado por  27 %;5,1FVFRP  
 
 P  
 
 
 0 1 2 3 (meses) 
 
 . RRR 
 
O valor atual P  dessa série será dado por  3 %; 5,1FVFRP  . 
Como 00,000.200 P , temos então que: 
    3 %; 5,127 %; 5,100,000.20 FVFRFVFR
     3 %; 5,127 %; 5,100,000.20 FVFFVFR    3 %; 5,127 %; 5,1
00,000.20
FVFFVF
R

 . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 , temos que: 
       067617,2227 %; 1,5 
015,0
27015,011
27 %; 1,5 

 FVPFVP e 
      912200,23 %; 1,5 
015,0
3015,011
3 %; 1,5 

 FVPFVP . 
Portanto 09,044.1
155417,19
00,000.20
912200,2067617,22
00,000.20


 RRR 
Resposta: R$ 1.044,09