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Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
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7. Rendas Certas ou Anuidades 
 
Em operações financeiras podemos: 
• construir um capital em uma data futura (processo de capitalização) ou 
• resgatar uma dívida, depositando ou pagando certa quantia em datas distintas 
(processo de amortização). 
 
Basicamente temos dois tipos rendas ou anuidades: 
 
a) RENDAS CERTAS (ou Determinísticas ou Anuidades): Rendas cuja duração e 
pagamentos são predeterminados, não sofrem interferências externas. O valor dos 
termos, prazo, taxa de juro, etc., são fixos e imutáveis. 
 
b) RENDAS ALEATÓRIAS (ou Probabilísticas): Ocorre quando pelo menos um dos 
diversos parâmetros que compõe a operação não pode ser previamente determinado. 
Ex.: seguro de vida 
 
Observação: As rendas certas ou anuidades, serão calculadas levando em consideração o 
regime de capitalização composta, por ser este regime o que melhor retrata a nossa 
realidade. 
 
7.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES 
 
7.1.1 Referindo-se ao PRAZO 
a) Temporárias: quando a duração for limitada. 
b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada. 
 
7.1.2 Referindo-se ao VALOR DOS TERMOS 
a) Constante: se todos os termos são iguais 
b) Variável: se todos os termos não são iguais entre si. 
 
7.1.3 Referindo-se a FORMA DE PAGAMENTO OU RECEBIMENTO 
a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
• Postecipadas ou vencidas: Se os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
• Antecipadas: Se os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
b) Diferidas: Se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o 
primeiro período. 
• Postecipadas ou vencidas: Se os termos são exigíveis no fim do período. 
• Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
7.1.4 Referindo-se a PERIODICIDADE 
a) Periódicas: se todos os períodos são iguais 
b) Não-periódicas: se os períodos não são iguais entre si. 
 
 
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7.2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 
 
 Como já foi visto em Equivalência de capitais diferidos a juros simples, muitas 
vezes é conveniente buscar uma nova negociação de um título, a fim de adiar ou antecipar a 
sua data de vencimento. Operações similares ocorrem no regime de capitalização 
composta, onde a equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento e 
recebimento que são feitas considerando uma data base (data de comparação de valores 
diferidos). 
 
Equivalência de Dois Capitais: Consideremos dois capitais, R1 e R2 separados por n 
períodos de tempo. O primeiro capital na data zero e o segundo na data n. R1 e R2 são 
equivalentes em uma data focal se: 
 
( ) 21 1 RiR
n
=+ 
 
 Comparando a expressão acima com a fórmula do montante a juros compostos, 
podemos afirmar que MR =2 e que CR =1 . Logo: 
 
( )niRR += 112
 
( )niCM += 1 
 
 Substituindo M por N e C por A na fórmula do montante podemos reescrever esta 
expressão, e comparar os valores atuais em uma data focal. 
 
niAN )1( += (isolando A) 
 
 
 ou 
 
 
 
Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 6.400,00 vence daqui 30 dias. Não podendo 
saldar o título na data aprazada, o devedor propõe a troca por outro, a vencer daqui 2 
meses. Levando em consideração uma taxa de juros compostos de 3,8% a.m., determine o 
valor nominal do novo título, de forma que estes sejam equivalentes. 
 A comparação pode ser feita em uma data focal zero, comparando os valores atuais da 
divida inicial e divida que é proposta para o final de 2 meses. 
 
 
 
 6.400 N = ? 21 AA = 
 
 
 0 1 2 0 1 2 
n)i(
N
A
+
=
1
 n)i(NA −+= 1 
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Temos: 21 AA = onde: 
( )ni
N
A
+
=
1
 
Assim: 
( ) ( )20380103801
4006
,
N
,
.
+
=
+
  ( ) ( )N,,. 038103814006 2 =  
 
 ( ) N,. =03814006  =N R$ 6.643,20 
 
Na HP 12 C temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 R$ 6.643,20 
 
 
 
 Porém, como alternativa para calcular o valor do novo título, também poderia ser 
capitalizado R$ 6.400,00 por mais um mês, ou seja: 
 
Na HP 12 C temos: 
 
 
 
 
 
 R$ 6.643,20 
 
 
Assim, dois conjuntos de capitais são equivalentes se seus valores totais (valores 
datados) numa determinada data comum forem iguais. 
 Considerando uma única parcela S com valor atual, podemos calcular seus valores 
equivalentes para n períodos antecipados ou m períodos postecipados da seguinte forma: 
 
 
 ( ) niS −+1 S ( )mn iS +1 
 
 
 
 n 0 m 
 
< f > <CLX> 
6.400, <CHS>< FV> 
3,8 < i > 
1 < n > 
<PV> 
<CHS> <PV> 
2 < n > 
< FV > 
< f > <CLX> 
6.400, <CHS>< PV> 
3,8 < i > 
1 < n > 
<FV> 
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 Consideremos os capitais 0R , 1R , 2R ,  , nR , nos períodos 0, 1, 2,  , n 
respectivamente. Dizemos que este conjunto de valores é equivalente ao valor V, numa 
determinada época f (que chamaremos de data focal), se ambos apresentarem valores iguais 
quando avaliados nesta época para uma mesma taxa de juros composta i. 
Esquematicamente, teríamos: 
0R 1R 2R fR nR 
   
 
 
0 1 2 data focal = f n 
 
 A EQUAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA, para determinar o valor equivalente V, na data 
focal f, ao conjunto de capitais é dado pela expressão: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fnnfff
ff
iRiRRiRiRiRV
−−−
+−
−
++++++++++++= 11111
1
11
1
10  
 
onde: 1, 2, 3, . . . , n = períodos a que se refere o termo. 
 
Observação: Em juros compostos, quando dois conjuntos de capitais são equivalentes, a 
equação de equivalência pode ser verificada em qualquer data. 
 
Exemplos: 
1. Uma pessoa deve R$ 3.000,00 com vencimento em dois anos e R$ 4.500,00 com 
vencimento em 6 anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um único pagamento a 
ser realizado no final de 4 anos. Se a taxa de juros composta for de 10% a.a. , qual será o 
valor desse pagamento único? 
 
 3.000 4.500 V 
 
 
 0 2 4 6 0 2 4 6 
 
Assim o valor equivalente a ser pago será: ( ) ( ) 22 101005004101000003 −+++= ,,.,,.V 
ou seja: V = R$ 7.349,01 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 R$ 3.630,00 
 
 
 R$ 7.349,01 
< f > <CLX> 
3.000, <CHS>< PV> 
10 < i > 
2 < n > 
<FV> 
4.500, <CHS>< FV> 
<PV> 
< + > 
 
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2. Uma certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de R$ 
15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possui R$ 20.000,00 hoje. 
Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros 
compostos vigente no mercado, é de 2% a.m. pergunta-se: 
a) Quanto possui hoje? 
b) Quanto possuirá daqui um ano? 
c) Quantopossuirá daqui dois anos? 
Vamos considerar: 
X a quantia que possui na data zero. 
Y a quantia que possuirá na data 12 meses. 
Z a quantia que possuirá na data 24 meses. 
 Para respondermos a alternativa a, teremos que somar o capital que esta pessoa possui 
hoje, com o valor resultante da descapitalização de R$ 15.000,00 a uma taxa de 2% a.m, 
por 24 períodos. Já consideramos como fator de capitalização ( )ni+1 , e agora vamos 
considerar como fator de descapitalização ( ) ni −+1 , ou seja: 
 ( ) 2402,0100,000.1500,000.20 −++=X 
 82,325.29 $RX = 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 82,325.29 $RX = 
 
 
 Na alternativa b, teremos que capitalizar o valor que esta pessoa possui hoje, por 12 
períodos, a uma taxa de 2% a.m. e descapitalizar R$ 15.000,00, por 12 períodos a mesma 
taxa. 
 1212 )02,01(00,000.15)02,01(00,000.20 −+++=Y 
 23,192.37=Y 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23,192.37=Y 
< f > <CLX> 
20000 <enter> 
15000<CHS>< FV> 
2 < i > 
24 < n > 
<PV> 
< + > 
 
< f > <CLX> 
200000 <CHS>< PV> 
2 < i > 
12 < n > 
<FV> 
15000 <CHS>< FV> 
<PV> 
< + > 
 
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 Na alternativa c, capitalizamos R$ 20.000,00, por 24 períodos, à taxa de 2% a.m. e 
somamos os R$ 15.000,00 que esta tem para receber. 
 00,000.15)02,01(00,000.20 24 ++=Z 
 74,168.47=Z 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 74,168.47=Z 
 
3. Deseja-se substituir três títulos, um de R$ 14.000,00 para 30 dias, um R$ 12.000,00 para 
60 dias e outro de R$ 15.000,00 para 90 dias por dois outros de valores nominais iguais 
vencíveis em 90 e 120 dias respectivamente. Qual o valor nominal dos novos títulos, 
sabendo que a taxa de juros compostos de mercado é de 4,5% ao mês. 
 
 Temos: 54321 AAAAA +=++ onde: ni
N
A
)1( +
= 
 
ou seja: 
 
4332 )045,01()045,01()045,01(
,000.15
)045,01(
,000.12
)045,01(
,000.14
+
+
+
=
+
+
+
+
+
NN
  
 
 
 







 +
=
++
43
2
045,1
1045,1
045,1
,000.15,000.12.045,1,000.14.045,1
N  
 
 
045,1
045,2
35,828.42
N
=  N045,235,828.42.045.1 =  
 
 
63,755.44045,2 =N  
045,2
63,755.44
=N  
 
 
39,885.21$RN = 
 
 
< f > <CLX> 
200000 <CHS>< PV> 
2 < i > 
24 < n > 
<FV> 
15000 < + > 
 
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Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39,885.21=N 
 
 
Observação: Para resolvermos o problema na HP 12-C, utilizamos o seguinte princípio 
matemático: 
54321 AAAAA +=++ 
 
( ) ( ) 43321 045,1045,1
−−
+=++ NNAAA 
ou seja: 
( ) ( ) 43321 045,11045,11 −− +=++ NAAA  
 
( ) ( ) 43
321
045,11045,11
−−
+
++
=
AAA
N 
 
EXERCÍCIOS 7.1 
1. (aula) Uma empresa tem três títulos para pagar. O primeiro de R$ 50.000,00 vencível 
em dois meses; o segundo de R$ 75.000,00 exigível em cinco meses e o terceiro de R$ 
90.000,00 que deve ser pago em 8 meses. A empresa pretende substitui esses três 
últimos por um único de R$ 218.359,07. Considerando o regime de juros compostos e 
uma taxa de mensal de 3% ao mês, determine o prazo do novo título. 
2. (aula) Um jogo de sofás é vendido em uma loja por R$ 750,00 de entrada mais uma 
parcela de R$ 900,00, após sessenta dias. Um comprador propõe dar R$ 500,00 de 
entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal, sabendo-se que a loja opera 
a uma taxa de juros compostos de 5% a.m.? 
3. A loja Som Bacana vende um amplificador em três parcelas: R$ 350,00 de entrada mais 
duas parcelas de R$ 400,00, para 30 e 60 dias após a compra. O comprador propõe 
< f > <CLX> 
14000 <CHS>< FV> 
4,5 < i > 
1 < n > 
<PV> 
12000 <CHS>< FV> 
2< n > 
<PV>< + > 
15000 <CHS>< FV> 
3< n > 
<PV>< + ><enter> 
1 <CHS>< FV> 
3 < n > 
<PV> 
4< n > 
<PV>< + > 
<> 
 
 
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 83 
adiar o pagamento da primeira parcela por mais um mês. Considerando que a taxa de 
juros mensal cobrada é de 4% e o regime de capitalização composto, quanto deverá 
pagar a mais na entrada para que os planos sejam equivalentes? 
4. Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000,00 à taxa de 120% ao ano 
capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou R$ 6.000,00 ao final 
do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao 
final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: (AFTN 1996) 
5. (aula) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos 
capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e 
iguais de $ 1.000,00 daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se 
aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes 
dois pagamentos é: (AFTN 1996) 
6. Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias e R$ 
31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos 
necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim 
desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, 
considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. (AFRF 2001) 
7. A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim 
de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam 
ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento 
equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento 
considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo 
a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). (AFRF 
2002-2) 
8. A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto outra dívida no valor de R$ 
20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os dois compromissos não 
poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum levou ao acerto de um 
pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor do pagamento único 
considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, valendo a 
convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto mês. (SERPRO – 2001 – 
Analista de Finanças) 
 (A) 33.400,00 
 (B) 33.531,80 
 (C) 33.538,25 
 (D) 33.651,00 
 (E) 34.000,00 
9. Uma empresa tem uma dívida de R$ 220 000,00 e outra de R$ 242 000,00 vencendo 
daqui a 1 e 2 anos respectivamente. Para fazer frente a estas dívidas, ela deverá aplicar 
hoje, a juros compostos e à taxa de 10% a.a, um valor: (Fiscal do Mato Grosso do 
Sul/2000) 
 (A) menor que R$375 000,00 
 (B) entre R$375 000,00 e R$385 000,00 
 (C) entre R$385 000,00 e R$395 000,00 
 (D) maior que R$395 000,00 
10. Qual o capital hoje que é equivalente, a taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a 
um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 
que vai vencer daqui seis meses. (Auditor do Tesouro Municipal-Fortaleza – 2003) 
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 84(A) R$ 210.000,00 
 (B) R$ 220.000,00 
(C) R$ 221.000,00 
(D) R$ 230.000,00 
(E) R$ 231.000,00 
11. Lílian tem dois pagamentos a realizar. O primeiro é de R$ 11.000,00 daqui um mês e o 
segundo de R$ 12.100,00 daqui 2 meses. Lílian pretende juntar essas duas dívidas em 
uma só, com vencimento daqui três meses. A taxa de juros corrente é de 10% o mês. 
Qual o valor a ser pago?(Banco do Nordeste – 2004) 
 (A) R$ 23.100,00 
 (B) R$ 26.000,00 
 (C) R$ 30.746,10 
 (D) R$ 30.030,00 
 (E) R$ 26.620,00 
12. Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ 
30.000,00 vence em 6 meses. À taxa de juros compostos de 4% ao mês e considerando 
um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com 
vencimento ao fim de 3 meses, desprezando os centavos. (Auditor de Tributos 
Municipais – Fortaleza –1998) 
 (A) R$ 48.800,00 
 (B) R$ 49.167,00 
 (C) R$ 49.185,00 
 (D) R$ 49.039,00 
 (E) R$ 50.000,00 
13. (aula) José tem uma divida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 
980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser 
paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do 
nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, 
propõe a credor saldar a dívida ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma 
taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta 
única prestação o valor de: (Secretaria da Fazenda do Estado do Piauí – SEFAZ – 2001) 
 (A) R$ 1.214,91 
 (B) R$ 2.114,05 
 (C) R$ 2.252,05 
 (D) R$ 2.352,25 
 (E) R$ 2.414,91 
 
Respostas dos Exercícios 7.1 
1. 6 meses 
2. R$ 1.175,63 
3. R$ 29,02 
4. R$ 2.132,49 
5. R$ 2.121,60 
6. R$ 62.032,00 
7. R$ 1.577.440,97 
8. C 
9. D 
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 85 
10. C 
11. E 
12. B 
13. E 
 
7.3 VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS 
 
 Consideremos os capitais 0R , 1R , 2R ,  , nR nos períodos 0, 1, 2,  , n 
respectivamente. Chamamos de valor atual na data 0 (ou simplesmente valor atual) desse 
conjunto, a uma taxa de juros i, à soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0. 
 Esquematicamente, teríamos: 
 
0R 1R 2R 3R nR 
 
 
 
0 1 2 3 n 
 
O valor atual de um conjunto de capitais é dado pela expressão: 
 
 
( ) ( ) ( )n
n
i
R
i
R
i
R
RV
+
++
+
+
+
+=
111
2
21
0  , onde: 
 
• V = valor atual ou valor presente, 
• 0R = entrada, 
• 0R , 1R , 2R ,  , nR = termos, parcelas ou prestações, 
• i = taxa e 
• 1, 2, 3, . . . , n = períodos a que se refere os termos. 
 
 Esta expressão matemática nos permite calcular o valor atual de um conjunto de 
capitais com termos constantes ou variáveis, antecipados ou postecipados, periódicos ou 
não-periódicos. 
Exemplos: 
1. Uma dívida deverá ser saldada em 3 pagamentos sem entrada, sendo que o primeiro de 
R$ 480,00 vence em 60 dias, o segundo de R$ 520,00 vence em 90 dias e o terceiro de 
R$ 550,00 vence 105 dias. Se a taxa de mercado é de 3% a.m. determine o valor que 
teríamos de depositar hoje para fazer frente a estes compromissos. 
 
V = ? i = 3% a.m. 
( ) ( ) ( ) 5,332 03,01
00,550
03,01
00,520
03,01
00,480
+
+
+
+
+
=V 
 
 
Assim: V = R$ 1.424,26, será o valor a ser depositado hoje. 
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 86 
 Podemos ainda usar o teclado financeiro da HP 12-C da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R$ 1.424,26 
 
 
 
2. Caso os pagamentos do exercício anterior fossem efetuados no final de três meses 
consecutivos, calcule o valor que teríamos de depositar hoje para fazer frente a estes 
compromissos. 
V = ? i = 3% a.m. 
( ) ( ) ( )321 03,01
00,550
03,01
00,520
03,01
00,480
+
+
+
+
+
=V 
 
Assim: V = R$ 1.459,50 será o valor a ser depositado hoje. 
 
 Esse problema, pelo fato de possuir PARCELAS PERIÓDICAS (isto é, que possuem 
períodos iguais) pode ser resolvido diretamente através da HP. 
 A calculadora HP possui um programa interno específico que calcula o valor 
presente (Net Present Value – NPV) de um conjunto de capitais. Para utilizar este recurso 
é necessário saber representar o fluxo de caixa para alimentar a calculadora através das 
teclas CFo (Cash-Flow zero) que representa o fluxo de caixa no momento zero e CFj (Cash-
Flow de ordem j) que representam os demais valores do fluxo de caixa que são lançados um 
a um, se os termos forem variáveis. 
 Para o segundo exemplo estes comandos da HP-12C podem ser acionados conforme o 
conjunto de passos a seguir: 
 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 
R$ 1.459,50 
 
 
 
< f > <CLX> 
0 <g>< CFo> 
480 <g>< CFj> 
520 <g>< CFj> 
550 <g>< CFj> 
3 < i > 
< f ><NPV> 
 
< f > <CLX> 
480 <CHS>< FV> 
3 < i > 
2 < n > 
<PV> 
520 <CHS>< FV> 
3< n > 
<PV>< + > 
550<CHS>< FV> 
3,5< n > 
<PV>< + > 
 
 
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 87 
 Podemos ainda usar o teclado financeiro da HP 12-C da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R$ 1.459,50 
 
 
3. Uma empresa prevê o pagamento de R$ 300.000, daqui a um mês e R$ 450.000 daqui a 
três meses. Quanto deverá aplicar hoje a juros compostos à taxa de 15% a.m. para fazer 
frente a essas despesas? 
 
( ) ( )303,01
,000.450
03,01
,000.300
+
+
+
=V  
( ) ( )315,1
,000.450
15,1
,000.300
+=V  =V R$ 556.751,87 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 R$ 556.751,87 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 R$ 556.751,87 
 
 
 
 
 
4. Uma loja vende um determinado produto por R$ 200,00 de entrada mais cinco prestações 
mensais de R$ 40,00 cada uma. Se a loja aplica seus recursos à taxa de 0,5% a.m., qual 
deve ser seu preço à vista equivalente ao seu preço a prazo? 
 
< f > <CLX> 
480 <CHS>< FV> 
3 < i > 
1 < n > 
<PV> 
520 <CHS>< FV> 
2< n > 
<PV>< + > 
550<CHS>< FV> 
3< n > 
<PV>< + > 
 
 
< f > <CLX> 
0 <g>< CFo> 
300000 <g>< CFj> 
0 <g>< CFj> 
450000 <g>< CFj> 
15 < i > 
< f ><NPV> 
 
< f > <CLX> 
300000 <CHS>< FV> 
15 < i > 
1 < n > 
<PV> 
450000 <CHS>< FV> 
3< n > 
<PV>< + > 
 
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 88 
( ) ( ) ( )n
n
i
R
i
R
i
R
RV
+
++
+
+
+
+=
111
2
21
0   
( ) ( ) ( ) 5432 )005,01(
40
005,01
40
)005,01(
40
005,01
40
005,01
40
200
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+=V  
( ) ( ) ( ) 5432 )005,1(
40
005,1
40
)005,1(
40
005,1
40
005,1
40
200 +++++=V  
=V R$ 03,397 
 
Observação: Como o conjunto envolve uma seqüência de termos constantes no fluxo de 
caixa, não é necessário lançar os termos de ordem j um a um. Usaremos a tecla Nj para 
registrar as parcelas individuais CFj de mesmo valor e repetidas seqüencialmente. Cada 
valor Nj pode ser no máximo igual a 99. 
 
 Na HP 12- podemos proceder como segue: 
 
 
 
 
 
 
R$ 03,397 
 
 
EXERCÍCIOS 7.2 
1. (aula) Uma loja oferece televisores deplasma com 42’ com as seguintes alternativas de 
pagamento. 
Alternativa I : R$ 1.000,00 de entrada, mais três parcelas mensais de R$ 2.000,00 cada 
uma. 
Alternativa II : Sem entrada, 4 parcelas mensais de R$ 1.350,00 cada uma, mais uma 
quinta parcela de R$ 2.000,00. 
Se a taxa de juros de mercado for de 5,5% a.m. qual a melhor alternativa para o 
comprador? 
2. (aula) Uma empresa prevê pagamentos de R$ 150.000,00 daqui a um mês e R$ 
180.000,00 para dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de l2% a.m. para 
fazer frente a esses pagamentos? 
3. Um terreno está à venda nas seguintes condições de pagamento: 
I: À vista por R$ 56.000,00 
II: Três parcelas mensais iguais de R$ 22.000,00 cada uma, sem entrada. 
III: Entrada de R$ 22.000,00, mais quatro parcelas mensais de R$ 10.500,00 
Se o comprador consegue aplicar seus recursos à taxa de 8% a.m., qual sua melhor 
alternativa? 
 Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão 
4. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados. (AFRF 
– 1996) 
 
< f > <CLX> 
200 <g>< CFo> 
40 <g>< CFj> 
5 <g>< Nj> 
0,5 < i > 
< f ><NPV> 
 
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 89 
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA 
Fluxos\Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 
Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 
Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 
Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 
quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 
cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
4. Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. O fluxo de caixa, da tabela 
acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: 
 (A) Fluxo um 
 (B) Fluxo dois 
 (C) Fluxo três 
 (D) Fluxo quatro 
(E) Fluxo cinco 
5. Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000 à taxa de 120% ao ano 
capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou R$ 6.000 ao final do 
primeiro mês e R$ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final 
do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: (AFTN – 1996) 
 (A) R$ 3.250,00 
 (B) R$ 3.100,00 
 (C) R$ 3.050,00 
 (D) R$ 2.975,00 
 (E) R$ 2.750,00 
6. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o 
seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no 
momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao 
dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o 
mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de 
despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. (AFRF 1998) 
7. (aula) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do 
seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada 
pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do 
período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a 
taxa de desconto racional é de 4% ao período. (AFRF 2002-1) 
8. Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que 
mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa 
de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. (AFRF 2002-2) 
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1200 
 
9. Um guarda-roupa é vendido por R$ 3.000,00, à vista, ou, então, com uma entrada e mais 
três parcelas mensais de R$ 800,00 cada uma. Se a loja trabalha com uma taxa de juros 
compostos de 4,8% a.m., qual o valor da entrada? 
10. Uma firma deve fazer pagamentos ao fim de cada um dos próximos doze meses da 
seguinte maneira: R$ 4.000,00 ao fim de cada um dos três primeiros meses, R$ 3.000,00 
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 90 
ao fim de cada um dos três meses seguintes e R$ 2.000,00 ao fim de cada um dos seis 
últimos meses. Calcule o valor atual no início do primeiro mês dos pagamentos devidos, 
considerando uma taxa de 4% ao mês e desprezando centavos. (Fiscal de Tributos 
Estaduais – PA – 2002) 
 (A) R$ 26.787,00 
 (B) R$ 26.832,00 
 (C) R$ 27.023,00 
 (D) R$ 27.149,00 
 (E) R$ 27.228,00 
11. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e 
paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A 
instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados 
mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o 
valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: (AFTN 1996) 
 (A) R$ 70,00 
 (B) R$ 76,83 
 (C) R$ 86,42 
 (D) R$ 88,00 
 (E) R$ 95,23 
 
Respostas dos Exercícios 7.2 
1. Alternativa II 
2. R$ 405.543,91 
3. Melhor alternativa é o pagamento à vista 
4. C 
5. E 
6. R$ 2.646,71 
7. R$ 27.286,51 
8. R$ 2.248,43 
9. R$ 813,21 
10. A 
11. A 
 
 
7.4 MODELO BÁSICO COM PARCELAS POSTECIPADAS 
 
Neste modelo as anuidades são simultaneamente temporárias, constantes, imediatas, 
postecipadas e periódicas. 
 Seja um principal P a ser pago em n termos iguais a R, imediatas, POSTECIPADAS 
e periódicas. Seja também uma taxa de juros i referindo-se ao mesmo período dos termos. 
 
Esquematicamente, teríamos: 
 
 R R R ... R 
 
 
0 1 2 3 n 
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 91 
 A soma do valor atual dos n termos iguais a R na data 0 é dado pela expressão: 
( ) ( ) ( )ni
R
i
R
i
R
V
+
++
+
+
+
=
111
2
 
( ) ( ) ( ) niRiRiRV −−− ++++++= 111 21  
 
( ) ( ) ( ) niiiRV −−− ++++++= 111 21  (25) 
 
Chamaremos de i na  (a, n cantoneira i ) a soma dos n fatores de descapitalização, 
ou seja: 
 i na  = ( ) ( ) ( ) niii −−− ++++++ 111 21  
 
 O valor i na  é obtido a partir da soma dos n termos de uma progressão geométrica 
finita. 
A soma dos n termos de uma P.G. finita é dada pela seguinte expressão: 
 
 
( )
1
11
−
−
=
q
qa
Sn
n
 onde: 1a =1º termo = ( )
1
1
−
+ i e 
 q = razão = 
( )
( )
=
+
+
=
−
−
1
2
1
2
1
1
i
i
a
a
( ) 11 −+ i 
Assim: 
( ) ( )  
( ) 11
111
1
11
−+
−++
=
−
−−
i
ii
Sn
n
  
( ) ( ) 
( )
1
1
1
111
1
−
+
−++
=
−−
i
ii
Sn
n
  
( ) ( ) 
( )
( )i
i
ii
Sn
n
+
+−
−++
=
−−
1
11
111
1
  
( ) ( )  ( )
i
iii
Sn
n
−−
+−++
=
−−
11
1111
1
 
 
( )
i
i
Sn
n
−
−+
=
−
11
  
( )
i
i
Sn
n−
+−
=
11
 
 
Como: ni n Sa = , então: 
 
 
 
( )
i
i
a
n
i n
−

+−
=
11
 
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 92 
 Algumas bibliografias trazem : 
( )
( ) ii
i
a
n
n
i n
+
−+
=
1
11
 , resultado obtido ao se 
multiplicar ( )ni+1 no numerador e no denominador, simultaneamente. 
 
 Outra maneira de demonstrar o cálculo de ina  seria realizar a substituição 
( ) 11 −+= iu em (25), obtendo: 
( )nuuuRV +++= 2 (26) 
 
Multiplicando a última equação por ( )u obtemos: 
 
 ( )132 ++++= nuuuRuV  (27) 
 
 Subtraindo (26) de (27) obtemos: 
 
( )1+−=− nuuRuVV  ( ) ( )11 +−=− nuuRuV  ( )
( )u
uuR
V
n
−
−
=
+
1
1
 
 
 Substituindo novamente( ) 11 −+= iu temos: 
( ) ( ) 
( ) 1
11
11
11
−
−−−
+−
+−+
=
i
iiR
V
n
  
( ) ( )
( )




+
−






+
−
+
=
+
i
ii
R
V
n
1
1
1
1
1
1
1
1
  
( )
( )
( )
( ) 




+
−+






+
−+
=
+
i
i
i
i
R
V
n
n
1
11
1
11
1
  
( )
( )
( )





 +






+
−+
=
+ i
i
i
i
RV
n
n
1
1
11
1
  
( )
( )






+
−+
=
n
n
ii
i
RV
1
11
  
( ) ( ) 
( ) 





+
+−+
=
−
n
nn
ii
ii
RV
1
111
  
 
( )





 +−
=
−
i
i
RV
n
11
 
 
 de onde : 
( )
i
i
a
n
i n
−

+−
=
11
 
 
 
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 93 
 Desta forma, o VALOR ATUAL dos n termos iguais a R na data 0 pode ser calculado 
por: 
i naRV = ou 
( )





 +−
=
−
i
i
RV
n
11
 
 
 Na calculadora HP–12C, o mesmo valor atual, pode ser calculado diretamente 
utilizando-se teclas financeiras apropriadas e o seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
 Valor Atual 
 
Exemplos: 
 1. Um móvel é vendido a prazo, em três pagamentos mensais iguais de R$ 300, vencendo o 
primeiro um mês após a compra. Se a loja opera com uma taxa de juros de 6% a.m., qual 
o seu preço à vista? 
i naRV = ou 
( )





 +−
=
−
i
i
RV
n
11
 
( )





 +−
=
−
06,0
06,011
300
3
V  90,801 R$=V 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 R$ 801,90 
 
 
O VALOR DOS TERMOS (ou parcelas a serem pagas) pode ser calculado por: 
 
 ( ) 1i 
−
= naVR ou 
( )
1
11
−
−







 +−
=
i
i
VR
n
 
 
ou na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 Valor da Prestações 
Valor da prestação < CHS >< PMT > 
Número de parcelas < n > 
Taxa < i > 
<PV> 
 
< f > <CLX> 
300 < CHS >< PMT > 
3 < n > 
6 < i > 
<PV> 
 
Valor Atual < CHS >< PV > 
Número de prestações < n > 
Taxa < i > 
<PMT> 
 
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 94 
2. Um apartamento de R$ 45.000,00 foi financiado em 12 vezes, com a primeira parcela 
vencendo 30 dias após a assinatura do contrato. Se a taxa de mercado é de 2,4% a.m. 
determine o valor da parcela que deverá ser paga. 
 
( ) 1−= i naVR ou 
( )
1
11
.
−
−





 +−
=
i
i
VR
n
 
( )
1
12
024,0
024,011
000.45
−
−





 +−
=R  40,360.4 R$=R 
 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 R$ 4.360,40 
 
 
 
 O PERÍODO de duração da série de termos ou o número de parcelas pode ser 
calculado através da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
ou na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 Período ou número de prestações 
 
Observação: É recomendável resolver analiticamente problemas que envolvem o tempo n, 
uma vez que a HP 12-C fornece resultados em períodos inteiros fazendo o arredondamento 
para o maior inteiro, o que pode ocasionar um erro no cálculo do tempo. 
 
3. Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895,39, 
pagando prestações mensais de R$ 500,00 se a taxa de juros compostos cobrada for de 
10% a.m.? 
 
 
( )i
R
iV
n
+





 
−−
=
1log
1log
  
( )10,01log
,500
10,039,1895
1log
+





 
−−
=n  5=n 
( )i
R
iV
n
+





 
−−
=
1log
1log
 
< f > <CLX> 
45000 < CHS >< PV > 
12 < n > 
2,4 < i > 
<PMT> 
 
Valor Atual < CHS >< PV > 
Valor das parcelas < PMT > 
Taxa < i > 
<n> 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 95 
 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
EXERCÍCIOS 7. 3 
1. (aula) Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista é de R$ 57.000,00. Qual 
o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 60 meses, sem entrada, e a 
taxa de juros compostos contratada for de 1,9% a.m. 
2. (aula) Uma mercadoria que é vendida por R$ 13.500,00 a vista, pode ser também 
adquirido em prestações mensais de R$ 981,57, a juros de 3% a.m. . Sabendo-se que as 
prestações vencem a partir do mês seguinte a compra, pede-se para calcular o número 
de prestações. 
3. (aula) A Loja Fica Frio vende climatizadores em 12 prestações mensais de R$ 297,49 ou 
em 24 prestações mensais de R$ 194,50. Nos dois casos o cliente não dará nada de 
entrada. Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 4,5% a.m., pergunta-se: 
Qual a melhor alternativa para o comprador? 
4. (aula) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de 
R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros 
compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e 
que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra. (AFRF 2001) 
5. (aula) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade 
postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 
cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades 
financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% 
para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze 
semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. (AFRF 
2002-1) 
6. (aula) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, 
capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 
prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro 
trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se 
aproxima do valor unitário de cada prestação é: (AFTN – 1996) 
 (A) R$ 10.350,00 
 (B) R$ 10.800,00 
 (C) R$ 11.881,00 
 (D) R$ 12.433,33 
 (E) R$ 12.600,00 
7. Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em 24 prestações mensais 
fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do 
financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo 
devedor se dará no momento do vencimento da 12a prestação e que a taxa de juros é 
< f > <CLX> 
1895,39 < CHS >< PV > 
500 < PMT > 
10 < i > 
<n> 
 
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 96 
de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor 
da prestação que vence no dia e desprezando os centavos. (Auditor de Tributos 
Municipais – Fortaleza –1998) 
 (A) R$ 4.410,00 
 (B) R$ 5.000,00 
 (C) R$ 5.282,00 
 (D) R$ 5.872,00 
 (E) R$ 6.462,00 
8. Em uma série uniforme, o valor da prestação anual de um financiamentocom a taxa 
efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor do 
principal é R$ 1.000,00 e o prazo de operação é de quatro anos, é de: (Fiscal de 
Tributos – Pref. RJ – 2002) 
 (A) R$ 501,92 
 (B) R$ 401,92 
 (C) R$ 301,92 
 (D) R$ 201,92 
9. Uma dívida, no valor de R$ 9.159,40, vai ser paga em 5 prestações mensais iguais e 
consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 3 meses da data do contrato.Os 
juros são compostos, à taxa de 3% ao mês. O valor de cada uma das prestações deve ser: 
(Analista de Orçamento – 1998) 
10. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o 
saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira 
prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema 
de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da 
anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às 
prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. (AFRF 1998) 
11. (aula) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma 
pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a 
uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor 
total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 
200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, 
indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
(AFRF 2002-2) 
12. Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa 
dá uma entrada de 20% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma 
taxa de 3% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar junto com o carro, 
100% do valor de um seguro total que custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de 
crédito de R$ 100,00, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, 
indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
(SERPRO – 2001 – Analista de Finanças) 
 (A) R$ 1.511,23 
 (B) R$ 1.715,00 
 (C) R$ 1.800,00 
 (D) R$ 1.923,44 
 (E) R$ 2.000,00 
13. Uma loja utiliza taxa mensal de juros compostos de 3% no financiamento de produtos 
para seus clientes. A prestação do empréstimo de um televisor a cores, em 4 prestações 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 97 
mensais iguais, sem entrada, fica em R$ 300,00. O valor a vista do televisor é 
(BANRISUL – 2005) 
(A) R$ 1.115,13 
(B) R$ 1.148,58 
(C) R$ 1.200,00 
(D) R$ 1.344,00 
(E) R$ 1.350,61 
14. O preço à vista de um computador é R$ 2.200,00. Ele pode ser comprado a prazo com 
uma entrada de R$ 368,12 e o restante pago em 5 parcelas mensais, iguais e 
consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 30 dias após a data da compra. Se 
no financiamento, os juros são compostos à taxa de 3% ao mês, o valor de cada uma das 
prestações será: (Técnico Bancário – CEF 2004) 
 (A) R$ 380,00 
 (B) R$ 390,00 
 (C) R$ 400,00 
 (D) R$ 410,00 
 (E) R$ 420,00 
15. Um empréstimo de R$ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, 
capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 
prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro 
trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se 
aproxima do valor unitário de cada prestação é: (AFTN 1996) 
16. Uma operação de financiamento de capital giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser 
liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o 
primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada 
uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: 
(Secretaria da Fazenda do Estado do Piauí – SEFAZ – PI – 2001) 
 (A) R$ 5.856,23 
 (B) R$ 5.992,83 
 (C) R$ 6.230,00 
 (D) R$ 6.540,00 
 (E) R$ 7.200,00 
 
Respostas dos Exercícios 7.3 
1. R$ 1.600,31 
2. 18 Prestações 
3. 12 Prestações de R$ 297,49 
4. R$ 1.970,00 
5. R$ 147.375,38 
6. C 
7. D 
8. C 
9. R$ 2.121,80 
10. R$ 852,00 
11. R$ 1.418,39 
12. E 
13. A 
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 98 
14. C 
15. R$ 11.881,00 
16. B 
 
 
7.5 MODELO BÁSICO COM PARCELAS ANTECIPADAS 
 
 O VALOR ATUAL de um conjunto de capitais de n termos iguais a R, temporárias, 
constantes, imediatas, ANTECIPADAS e periódicas é dado pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Podemos utilizar estas expressões, sempre que o problema envolver 
pagamentos com entrada. 
 
 Esquematicamente, teríamos: 
R R R R ... R 
 
 
 
 
 Por um processo análogo ao utilizado anteriormente, chegaremos a seguinte 
expressão: 
 
 ou 
 
 
 Na calculadora HP 12-C, o valor atual de anuidades onde as parcelas são 
ANTECIPADAS, pode ser calculado diretamente utilizando-se teclas financeiras 
apropriadas através do seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
 Valor Atual 
 
 
 
 
( )
( )





 +−
+=
−
i
i
iRV
n
11
1 ( ) i naiRV += 1 
0 3 2 n-1 1 n 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
Valor da prestação < CHS >< PMT > 
Número de parcelas < n > 
Taxa < i > 
<PV> 
< g > < END > 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 99 
Observação: A diferença entre este procedimento e o anterior, para cálculo do valor atual, 
está em acionar as teclas < g > < BEG > e < g > < END >, indicando desta forma que as 
parcelas serão antecipadas. 
 
O VALOR DOS TERMOS (ou parcelas a serem pagas) pode ser calculado por: 
 
( )  11 −+= i naiVR 
 
ou na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 Valor da Prestações 
 
 
 
O PERÍODO de duração da série de termos ou o número de parcelas pode ser 
calculado através da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
ou na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 Número de parcelas ou período 
 
 
 
 
Observação: Com já foi comentado, é recomendável resolver analiticamente problemas que 
envolvem o tempo n, uma vez que a HP 12-C fornece resultados em períodos inteiros, 
fazendo o arredondamento para o maior inteiro, o que pode ocasionar um erro no cálculo do 
tempo. 
 
Exemplos: 
1. Um estudante comprou uma coleção de livros de matemática financeira por cinco 
parcelas constantes de R$ 92,76 cada, sendo que a primeira foi dada como entrada. Se a 
taxa de mercado é de 8% a.m. determine o valor que pode ser pago a vista pelos livros, sem 
que comprador e vendedor saiam no prejuízo. 
( )i
iR
iV
n
+






+

−−
=
1log
)1(
1log
 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
Valor Atual < CHS >< PV > 
Número de prestações < n > 
Taxa < i > 
<PMT> 
< g > < END > 
 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
Valor Atual < CHS >< PV > 
Valor das parcelas < PMT > 
Taxa < i > 
<n> 
< g > < END >Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 100 
 ( ) i naiRV += 1 ou ( )
( )





 +−
+=
−
i
i
iRV
n
11
1 
 ( )
( )





 +−
+=
−
08,0
08,011
08,0176,92
5
V  ( )
( )
08,0
08,11
08,176,92
5−
−
=V  
 
 99,399 R$=V 
 
ou pela HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 99,399 R$=V 
 
 
 
 
2. Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.748,00, 
pagando prestações mensais de R$ 500,00 se a taxa de juros compostos cobrada for de 10% 
a.m. e a primeira prestação for paga no ato do empréstimo? 
 
( )i
iR
iV
n
+






+

−−
=
1log
)1(
1log
  
( )10,01log
)04,1(500
10,000,1748
1log
+





 
−−
=n  401278292,4 =n 
 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 5 (Cuidado!!! Erro de arredondamento) 
 
 
 
EXERCÍCIOS 7.4 
1. (aula) Uma loja vende uma geladeira por R$ 800,00 à vista ou financiada em 18 meses, a 
juros de 3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se for dada entrada e a primeira 
prestação vencer após um mês? 
2. (aula) Um televisor cujo preço a vista é R$ 1.500,00, pode ser adquirido a prazo pagando 
prestações mensais de 129,72. Se a loja opera com uma taxa de juros compostos de 4% 
a.m., e a primeira prestação deve ser paga no ato da compra, quantas prestações ainda 
seriam necessárias para saldar o débito? 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
92,76 < CHS >< PMT > 
5 < n > 
8 < i > 
<PV> 
< g > < END> 
 
 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
1748 < CHS >< PV > 
500 < PMT > 
10 < i > 
<n> 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 101 
3. (aula)Um roupeiro está a venda em uma loja de móveis por 8 prestações mensais iguais 
a R$ 594,42, sendo que a primeira é paga no ato da compra. Se a loja opera com uma 
taxa de juros compostos mensal de 2,7% ao mês, que valor esta sendo cobrado a vista 
pelo roupeiro? 
4. Um aparelho de som custa R$ 900,00 e é vendido em 3 parcelas mensais iguais sem 
acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Se o pagamento for feito à vista, 
haverá um desconto de 20%. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de 
juros de mercado for 25% a.m.? 
5. Um trator pode ser comprado à vista por um preço V, ou pago em 3 parcelas anuais de 
R$ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos 
de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições o preço V é (CEF – 1998) 
 (A) R$ 75.000,00 
 (B) R$ 88.000,00 
 (C) R$ 91.000,00 
 (D) R$ 95.000,00 
 (E) R$ 97.000,00 
6. Calcular o preço à vista de uma mercadoria que é vendida a prazo em 10 prestações 
mensais, pagáveis nos dias primeiro de cada mês, de R$ 10.000,00 cada, considerando 
juros compostos capitalizados mensalmente à taxa de 9% ao mês e sabendo que a 
primeira prestação será paga 3 meses após a compra. Desprezar os centavos na resposta. 
(FTE – RS/1991) 
 
Respostas dos Exercícios 7.4 
1. R$ 58,60 
2. 14 Prestações (a entrada é considerado um pagamento a vista) 
3. R$ 4.340,06 
4. Melhor alternativa a vista, por R$ 720,00 (a Prazo: R$ 732,00) 
5. C 
6. R$ 54.016,00 
 
 
7.6 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
 
 O Valor Presente Líquido é uma das técnicas mais eficazes de análise de projetos. 
Pode-se afirmar que o objetivo da análise de um investimento pelo VPL é encontrar 
projetos ou alternativas de investimentos que tragam benefícios de entradas de caixa, que 
superem um investimento com base em uma taxa de custo de oportunidade (taxa de 
atratividade). 
 O VPL, explicado de uma forma mais simples, é a diferença existente entre o valor 
presente, das entradas ou saídas de caixa e, um investimento inicial. Se considerarmos um 
investimento inicial P0 que gera entradas de caixa R1, R2, R3,... , Rn, nos próximos n 
períodos, temos o VPL como sendo: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
03
3
2
21
1111
P
i
R
i
R
i
R
i
R
VPL
n
n −
+
++
+
+
+
+
+
=  
ou 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 102 
 
 
( )
0
1 1
P
i
R
VPL
n
n
n
j
−
+
=
=
 
 
 Se as entradas de caixa Rn formam uma seqüência uniforme, então, o VPL pode ser 
calculado pela seguinte expressão: 
 
 0. PaRVPL in −=  (28) 
 
 Os projetos analisados pelo VPL seguem alguns critérios de aceitação: 
 
- Se o VPL e maior que zero (VPL > 0), o projeto deve ser aceito; 
- Se o VPL e menor que zero (VPL < 0), o projeto deve ser recusado 
- Se o VPL é igual a zero (VPL = 0), o projeto não oferece riscos, não há ganho ou 
prejuízo. 
 
Observação: Um projeto pode ser classificado como Mutuamente Excludente ou 
Independente. Projetos Mutuamente Excludentes competem entre si, ou seja, a aceitação de 
um projeto desse tipo faz com que todos os outros sejam desconsiderados. Se o projeto for 
Independente, os fluxos de caixa não estão relacionados ou são independentes entre si, ou 
seja, aceitação de um projeto não exclui uma posterior análise de outros. 
 
Exemplo: Uma empresa deve escolher entre dois projetos A e B, mutuamente excludentes, 
que apresentam o seguinte fluxo de caixa: 
 
Ano Projeto A (R$) Projeto B (R$) 
0 - 75.000,00 - 85.000,00 
1 40.000,00 65.000,00 
2 38.000,00 40.000,00 
3 42.000,00 32.000,00 
 
Considerando que a taxa de atratividade é de 9% ao ano (capitalização anual), qual 
o projeto que mais favorece a empresa. 
Projeto A 
( ) ( ) ( )
,000.75
09,01
,000.42
09,01
,000.38
09,01
,000.40
32
−
+
+
+
+
+
=VPL  79,112.26 R$=VPL 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 79,112.26 R$=VPL 
< f > <CLX> 
75000 <CHS> <g>< CFo> 
40000 <g>< CFj> 
38000 <g>< CFj> 
42000 <g>< CFj> 
9 < i > 
< f ><NPV> 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 103 
Projeto B 
( ) ( ) ( )
,000.85
09,01
,000.32
09,01
,000.40
09,01
,000.65
32
−
+
+
+
+
+
=VPL  10,010.33 R$=VPL 
 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 10,010.33 R$=VPL 
 
 
Portanto, o projeto que deve ser aceito é o B. 
 
 
EXERCÍCIOS 7.5 
 
1. (aula) Duas alternativas distintas de expansão de uma empresa levaram aos dois fluxos 
de caixa líquidos apresentados abaixo, em reais. Considerando a taxa de atratividade de 
10% ao ano, o fluxo A possui um valor atual de R$ 6.711,00, no ano zero. Obtenha o 
valor atual do fluxo de caixa B, no ano zero, à mesma taxa de 10% ao ano, dispensando 
os centavos. (Analista, Planejamento e Execução Financeira – CVM/2000) 
 
 Ano 0 1 2 3 4-14 15 
Fluxo A -10.000 -8.800 -5.000 1.800 5.300 6.800 
Fluxo B -20.000 -8.800 -2.800 4.000 7.500 9.000 
 
(A) R$ 1.978,00 
(B) R$ 6.711,00 
(C) R$ 11.444,00 
(D) R$ 20.800,00 
(E) R$ 43.100,00 
 
2.(BB – 1999) 
 
Ano Projeto A (R$) Projeto B (R$) 
0 - 180.000,00 -125.000.00 
1 +30.000,00 -58.000,00 
2 +62.000,00 +32.000,00 
3 +138.000,00 +128.000,00 
4 +183.000,00 +263.000,00< f > <CLX> 
85000 <CHS> <g>< CFo> 
65000 <g>< CFj> 
40000 <g>< CFj> 
32000 <g>< CFj> 
9 < i > 
< f ><NPV> 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 104 
 Os projetos A e B têm seus fluxos de caixa representados na tabela acima. 
Considerados que a taxa de desconto para análise é de 25% ao ano, assinale a opção que 
apresenta, respectivamente, o projeto a ser escolhido e o seu VPL, em reais: 
(A) A ; R$ 22.340,80 
(B) A ; R$ 29.292,80 
(C) A ; R$ 37.280,00 
(D) B ; R$ 22.340,80 
(E) B ; R$ 29.292,80 
3. Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu 
valor atual em zero, a uma taxa de juros de 10% ao período. (SERPRO – 2001 – 
Analista de Finanças) 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
-1000 -800 300 300 300 300 300 300 300 300 1300 
 (A) R$ 222,44 
 (B) R$ 228,91 
 (C) R$ 231,18 
 (D) R$ 243,33 
 (E) R$ 250,25 
4. (aula) Uma empresa adquire um caminhão pelo preço de R$ 60.000,00. Esse caminhão 
será vendido, ao final de 3 anos de uso, pelo valor de R$ 36.000,00. A expectativa é que 
o caminhão gerará receitas líquidas anuais de R$ 20.000,00 nos próximos 3 anos. 
Considerando que a empresa trabalha com uma taxa de retorno de 20% ao ano para seus 
investimentos, qual será o valor presente líquido esperado para o investimento na 
compra do caminhão? (Banco Regional de Desenvolvimento do Extremo Sul 
ANALISTA DE PROJETOS /ÁREA: ADMINISTRAÇÃO/2001) 
 (A) R$ 17.870,37 
 (B) R$ 2.962,96 
 (C) R$ 18.129,63 
 (D) R$ 20.833,33 
 (E) R$ 36.000,00 
5. Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, 
que apresentam os seguintes fluxos de caixa: 
 
Ano Projeto X (R$) Projeto Y (R$) 
0 - D - 40.000,00 
1 10.800,00 16.200,00 
2 11.664,00 17.496,00 
 
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que os 
valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D 
referente ao projeto X é igual a (BB – 2006) 
(A) R$ 30.000,00 
(B) R$ 40.000,00 
(C) R$ 45.000,00 
(D) R$ 50.000,00 
(E) R$ 60.000,00 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 105 
Respostas dos Exercícios 7.5 
1. C 
2. B 
3. B 
4. C 
5. A 
 
 
7.7 FATOR OU COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO EM PRESTAÇÕES 
IGUAIS 
 
DEFINIÇÃO: É o número que, multiplicado pelo valor financiado, dá o valor da prestação 
a pagar. 
 
 É uma prática comum nas vendas a crédito principalmente no comércio varejista, o 
comprador tentar ajustar os valores das parcelas a serem pagas na aquisição de um bem 
qualquer ao seu orçamento. O vendedor quando indagado a respeito das formar de 
pagamento normalmente consulta uma tabela de coeficientes de financiamento por unidade 
de capital emprestado, que multiplicado pelo valor nominal do bem, estabelece o valor da 
prestação a ser paga . Por uma questão de praticidade, esta tabela normalmente está fixada 
atrás da sua calculadora o que permitem dar uma resposta rápida ao comprador. 
 
 Estes coeficientes de financiamento para termos constantes e periódicos, são 
calculados para parcelas postecipadas e antecipadas. 
 
7.7.1 Parcelas Postecipadas 
 
 Sabemos que nesse caso o valor atual é dado por : inaRV = . Assim se 
considerarmos V = 1 (uma unidade de capital) o valor das prestações será calculado por: 
( ) 11 −= inaR . R passa a ser igual ( )
1−
 ina sendo que desta forma, o fator ou 
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO pode ser calculado pela seguinte expressão: 
 
( ) ( )
1
1 11
−
−
−








 +−
=
i
i
a
n
in 
 
 Utilizando a HP 12 C, podemos obtê-los através do seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 Coeficiente de financiamento para 
 parcelas postecipadas (sem entrada) 
 
 
< f > <CLX> 
1 < CHS >< PV > 
Número de parcelas < n > 
Taxa < i > 
<PMT> 
 
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 106 
7.7.2 Parcelas antecipadas 
 
 Sabemos que nesse caso o valor atual é dado por : ( ) inaiRV += 1 . Assim o 
valor das prestações será calculado por: ( )  11 −+= inaiVR , e desta forma, o fator ou 
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO pode ser calculado pela seguinte expressão: 
 
( )  ( ) ( )
1
1 11
11
−
−
−








 +−
+=+
i
i
iai
n
in 
 
 Utilizando a HP 12 C, podemos obtê-los através do seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 Coeficiente de financiamento para 
 parcelas antecipadas (com entrada) 
 
 
 
Exemplos 
1. Construa uma tabela de coeficientes de financiamento, variando de 1 a 5 considerando 
uma taxa de juros de 0,5% a.m. 
 
a) Considerando parcelas postecipadas, seguindo o processo anterior de cálculo na HP, 
variando somente o n de 1 a 5, temos: 
 
 
 
 
 
 Fator de financiamento (n=1) = 1,005000 
 
 Fator de financiamento (n=2) = 0,503753 
 
 Fator de financiamento (n=3) = 0,336672 
 
 Fator de financiamento (n=4) = 0,253133 
 
 Fator de financiamento (n=5) = 0,203010 
 
 
 
 
 
< f > <CLX> 
< g > < BEG> 
1 < CHS >< PV > 
Número de parcelas < n > 
Taxa < i > 
<PMT> 
 
< f > <CLX> 
1 < CHS >< PV > 
1 < n > 
0,5 < i > 
<PMT> 
2 < n > 
<PMT> 
3 < n > 
<PMT> 
4 < n > 
<PMT> 
5 < n > 
<PMT> 
 
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 107 
 Obtém-se a seguinte tabela: 
 
n Coeficiente para Parcelas Postecipadas 
1 1,005000 
2 0,503753 
3 0,336672 
4 0,253133 
5 0,203010 
 
O coeficiente 0,336672, multiplicado pelo valor financiado, determina o valor das 
prestações a serem pagas em 3 meses consecutivos, sem entrada. 
 
b) Considerando parcelas antecipadas 
 Como já foi definido anteriormente, quando as parcelas são antecipadas consideramos 
que a primeira parcela é exigida no início do primeiro período, ou seja, uma fração do 
total da compra é paga como entrada. O comércio varejista estabelece estes pagamentos 
como sendo da forma 1 + 1 (uma mais uma), 1 + 2 (uma mais duas), 1 + 3 (uma mais três), 
. . . , 1 + n (1 mais n vezes) 
 Para construirmos uma tabela que envolve parcelas antecipadas vamos iniciar com 
n = 2, estabelecendo assim, o primeiro coeficiente de financiamento. O comprador estará 
pagando uma parcela de entrada e outra que irá vencer em um prazo compatível com a taxa 
de financiamento. 
Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 Fator de financiamento (n=2) = 0,501247 
 
 Seguindo este processo na calculadora HP 12-C fazendo n variar de 2 a 5 
determinamos a seguinte tabela: 
 
 n Forma de pagamento Coeficientes para parcelas antecipadas 
2 1 + 1 0,501247 
3 1 + 2 0,334997 
4 1 + 3 0,251873 
5 1 + 4 0,202000 
 
2. Considerando as tabelas do exemplo anterior, calcule o valor de cada prestação de um 
financiamento de R$ 6.000,00, em: 
a) 3 prestações postecipadas; 
valor das prestações = 0,336672 . 6.000 =R$ 2020,03 
b) 4 prestações antecipadas; 
valor das prestações = 0,251873 . 6.000 = R$ 1.511,24 
< f > <CLX> 
< g > < BEG> 
1 < CHS >< PV > 
2 < n > 
0,5 < i > 
<PMT> 
 
Matemática FinanceiraSANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 108 
EXERCÍCIOS 7.6 
1. O gerente de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento para compras 
sem entrada, por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do 
coeficiente pelo valor financiado e igual a prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de 
juros da loja é de 4% a.m., quais são os coeficientes unitários nas hipóteses de prazos de 
6, 12 e 18 meses? 
2. Uma rede de lojas de eletrodomésticos pretende em uma campanha de vendas vender 
suas mercadorias em até 6 parcelas iguais, sendo a primeira para 30 dias após a compra. 
Construa uma tabela de coeficientes por unidade de capital emprestado, sabendo que a 
taxa de juros compostos que a loja opera é de 3,5% ao mês. 
3. Quais são os coeficientes unitários de financiamento se a loja citada no exercício 
anterior manter o prazo máximo de 6 parcelas, porém exigir que a primeira seja paga 
como entrada? 
2. O gerente de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento para compras 
com entrada, por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do 
coeficiente pelo valor financiado e igual a prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de 
juros da loja é de 2,99% a.m., quais são os coeficientes unitários nas hipóteses de prazos 
de 3, 6 e 10 meses? 
 
Respostas dos Exercícios 7.6 
1. Para n = 6  Coeficiente = 0,190762 
 Para n = 12  Coeficiente = 0,106552 
 Para n = 18  Coeficiente = 0,078993 
 
2. 
n Coeficientes 
1 1,035000 
2 0,526400 
3 0,356934 
4 0,272251 
5 0,221481 
6 0,187668 
 
3. 
n Forma de pagamento Coeficientes 
2 1 + 1 0,508600 
3 1 + 2 0,344864 
4 1 + 3 0,263045 
5 1 + 4 0,213992 
6 1 + 5 0,181322 
 
4. Para n = 3  Coeficiente = 0,343201 
 Para n = 6  Coeficiente = 0,179179 
 Para n = 10  Coeficiente = 0,113769 
 
 
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 109 
7.8 TAXA INTERNA DE RETORNO 
 
DEFINIÇÃO. A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de desconto que iguala os fluxos 
de caixa ao investimento inicial, ou seja, é a taxa hipotética de desconto que faz com que o 
VPL seja igual a zero (VPL=0). 
 
Vamos partir da expressão do valor atual de um conjunto de capitais: 
 
 
( ) ( ) ( )n
n
i
R
i
R
i
R
RV
+
++
+
+
+
+=
111
2
21
0  (29) 
 
 Igualando a zero a equação (29), temos: 
 
 
( ) ( ) ( )n
n
i
R
i
R
i
R
VR
+
++
+
+
+
+−=
111
0
2
21
0  (30) 
 
 ( )if 
 
( ) ( ) ( )n
n
i
R
i
R
i
R
VRif
+
++
+
+
+
+−=
111
)(
2
21
0  (31) 
 
 Da equação (31) podemos afirmar que: 
 
a) ( )if é uma função contínua, para valores positivos de i, pois é uma função racional; 
 
b) ( )if é uma função estritamente decrescente de i ( para i positivo), pois a derivada ( )if  é 
sempre negativa. 
 
De fato: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) nn iRiRiRVRif
−−−
+++++++−= 111
2
2
1
10   
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 132
2
1 1121
−−−−
+−−+−+−=
n
n inRiRiRif   
 
( )
( ) ( ) ( ) 13
2
2
1
11
2
1
+
+
−−
+
−
+
−=
n
n
i
nR
i
R
i
R
if  
 
Como: ( )21 i+ , ( )31 i+ ,  , ( ) 11 ++ ni são parcelas positivas, bem como as 
parcelas R1, R2, . . . , Rn , segue que: ( )if  < 0 pata todo i  0. 
 
c) ( ) VRRRRf n −++++= 2100 
 
Como em geral VRRRR n ++++ 210 , segue-se que: ( ) 00 f 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 110 
i 
Desta forma conclui-se que o gráfico de ( )if intercepta o eixo ( )if num ponto acima da 
origem. 
 
 Assim: 
 
 ( )if 
 
 ( )0f 
 
 
 
 
 
d) Quando i tende para o infinito, ( )if tende para ( )VR −0 , pois: 
( )
0
1
lim =
+→
j
j
i i
R
, para qualquer 1j , e, portanto: ( ) VRif
i
−=
→
0lim . 
Como, em geral, R0 ( entrada) < V ( valor atual ou valor dos pagamentos à vista), 
então 00 −VR e, conseqüentemente o gráfico ( )if tem como assíntota a reta horizontal 
( ) VRif −= 0 . 
 Resumindo o que vimos em (a), (b), (c), (d), podemos concluir que o aspecto do 
gráfico da função ( )if é o seguinte: 
 
 
 ( )if 
 
 ( )0f 
 
 
 i 
 
*i 
 VR −0 ------------------------------------------- 
 
 
 
 
 O valor da abscissa 
*i , quando ( ) 0* =if é o VALOR APROXIMADO DA TAXA 
INTERNA DE RETORNO. 
 Como podemos observar, não é possível isolar i nas expressões matemáticas que 
determinam o valor atual de um conjunto de capital. A raiz 
*i ,da equação ( )if = 0, pode 
ser obtida atribuindo-se valores sucessivos a i até que ( )if se torne negativo. Tendo-se 
este valor de i que tornou a ( )if negativa (ponto A) e o imediatamente anterior (ponto 
B), procede-se uma interpolação linear ( vamos admitir que o arco AB é um segmento de 
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 111 
reta). A partir de razões trigonométricas no triângulo retângulo podemos determinar o 
valor de i* (taxa interna de retorno). Tal procedimento pode ser repetido várias vezes até 
que atinja uma boa aproximação. O próximo exemplo esclarecerá o procedimento. 
 
Exemplos: 
 
 1. Consideremos o seguinte conjunto de capitais: 
 
 10 15 20 22 
 
 
0 1 2 3 anos 
 
e o valor atual V = 50. Calculemos a taxa interna de retorno. 
 
 
 Temos: ( )
( ) ( ) ( )32 1
22
1
20
1
15
5010
iii
if
+
+
+
+
+
+−= 
 
 
 Vamos atribuir valores a i até encontrar um que torne ( )if negativo. Assim: 
 
 i = 5% então: f(0,05) = 11,43 
 i = 10% então: f(0,1) = 6,69 
 i = 15% então: f(0,15) = 2,63 
 i = 20% então: f(0,2 ) = - 0,88 
 
 Como f(0,15) = 2,63 e f(0,2) = - 0,88, então *i deve estar entre 15% e 20%. 
 
 
 ( )if 
 
 
 
 i 
 0,15 
*i 0,2 
 
 
 
 
 A interpolação linear consiste em admitir que o arco BA
)
 é um segmento de reta e 
através de princípios básicos da geometria clássica, podemos determinar *i . 
 
 
A 
B 
2,63 
-0,88 
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 112 
 ( )if 
 
 
 
 
i 
 0,15 *i 0,2 
 
 
 
 Em relação aos triângulos ACD e BCE, pode-se afirmar que: 
 
 
tg ( ) = 
CD
AD
= 
15,0
63,2
* −i
 e tg ( ) = 
CE
BE
=
*2,0
88,0
i−
, logo: 
15,0
63,2
* −i
=
*2,0
88,0
i−
 
 
 
 Assim: i = 0,1875 = 18,75% a.a. 
 
Observação: Se quisermos melhorar a aproximação podemos calcular: f(0,1875)=-0,05 e 
realizar uma nova interpolação utilizando os pontos A(0,15; 2,63) e B(0,1875; -005) como 
extremos do arco AB. 
 
 A taxa interna de retorno, para uma seqüência uniforme com parcelas postecipadas ou 
antecipadas, pode ser facilmente calculada através das teclas financeiras da HP 12-C. Veja 
como proceder nos exemplosa seguir. 
 
2. Uma TV esta a venda por R$ 384,00 a vista ou então por R$ 120,00 de entrada e mais 
três parcelas mensais de R$ 92,00. Encontre a taxa interna de retorno. 
 
 Na HP 12-C podemos proceder como segue: 
 
 
 
 
 
 i = 2,26% a.m. 
 
 
Observação: No exemplo 2, note que o valor armazenado na tecla " CFo " corresponde ao 
valor financiado, sobre o qual deve incidir a taxa de juros estimada. (Nada mais é do que o 
valor VR −0 ) 
 
E  
2,63 
-0,88 
A 
B 
D 
 
C i 
< f > <CLX> 
(384 – 120) <CHS> <g>< CFo> 
92 <g>< CFj> 
5 <g>< Nj> 
< f ><IRR> 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 113 
3. (parcelas postecipadas) Um apartamento no valor de R$ 35.000,00 foi financiado em 36 
prestações iguais, vencendo a primeira 30 dias após a assinatura do contrato. Determine a 
taxa de juros compostos, sabendo que o valor da parcela paga mensal é de R$ 1.485,81. 
 Na HP 12-C podemos proceder como segue: 
 
 
 
 
 
 i = 2,5% a. m. 
 
 
4. (parcelas antecipadas) Uma cozinha está a venda em uma loja por R$ 2.800,00 a vista ou 
por 12 prestações mensais de R$ 298,03, sendo que a primeira parcela deve ser dada 
como entrada. Determine a taxa de juros compostos cobrados por esta loja. 
 
 Na HP 12-C podemos proceder como segue: 
 
 
 
 
 
 i = 4,8% a. m. 
 
 
 
 
Observação: Para calcularmos a taxa interna de retorno pelo método gráfico, em problemas 
em que as parcelas postecipadas formam uma seqüência uniforme, uma boa aproximação 
da taxa, segundo os autores Mathias & Gomes (1993, p. 233), pode ser feita utilizando a 
seguinte expressão: 
20
1
n
a
a
i i n
i n


−= 
 
 
5. Um aparelho de som esta a venda por R$ 1.200,00 a vista ou em 6 parcelas de R$ 221,52 
mensais, sem entrada. Determine a taxa de juros mensal que esta sendo cobrada. 
Temos: R = 221,52 
 V = 1.200,00 
 n = 6 
 i = ? 
 
 Vamos buscar a primeira estimativa da taxa de juros. Como trata-se de um 
financiamento em que as parcelas formam uma seqüência uniforme, vamos determinar o 
valor de i na  a partir da expressão: 
 
< f > <CLX> 
35.000,00 < CHS > < PV > 
1.485,81 < PMT > 
36 < n > 
< i > 
 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
2.800,00 < CHS > < PV > 
298,03 < PMT > 
12 < n > 
< i > 
< g > < END > 
 
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 114 
i naRV = 
 
Assim: 
52,221
00,200.1
==
R
V
a i n = 5,417118093 
 
Usando a expressão: 
20
1
n
a
a
i i n
i n


−= 
20 6
417118093,5
417118093,5
1
−=i 
 
Temos: 0i 0,0341244 ou 3,412% 
 
 Este valor pode ser considerado como a primeira estimativa para a taxa de juros, 
facilitando, de certa forma o cálculo da taxa interna de retorno através do método gráfico. 
 
 Na HP 12-C, podemos proceder como segue: 
 
 
 
 
 
 i = 3% a. m. 
 
 
6. Um IPVA no valor de R$ 1.146,00 pago até o dia 03/01/2005, pode receber 15% de 
desconto aplicado sobre o valor nominal destinado ao bom motorista, mais 9% sobre o 
valor nominal relativos a antecipação do pagamento. Podendo ser beneficiado com todos 
os descontos concedidos, e não disponibilizando a quantia necessária para efetuar o 
pagamento até o dia 03/01/2005, o proprietário do veiculo contrai um empréstimo junto 
a uma instituição financeira para pagar em 4 parcelas R$ 238,40 postecipadas e quita o 
IPVA na data aprazada. Calcule a taxa mensal do financiamento. 
 
 Temos: 
 - Desconto total sobre o valor nominal = 15% + 9% = 24% 
 - Valor financiado = 0,76 x 1.146,00 = R$ 870,96 
 
 Utilizando a HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 i = 3,73% a. m. 
 
 
7. O proprietário de um imóvel pode pagar o IPTU à vista com 10% de desconto ou em 10 
parcelas mensais iguais. Se optar pelo pagamento a prazo perderá o benefício do 
< f > <CLX> 
1.200,00 < CHS > < PV > 
221,52< PMT > 
6 < n > 
< i > 
 
< f > <CLX> 
870,96< CHS > < PV > 
238,40< PMT > 
4 < n > 
< i > 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 115 
desconto, e a primeira parcela deverá ser paga no ato. Calcule a taxa mensal do 
financiamento. 
Se considerarmos o valor nominal do IPTU como sendo um valor qualquer N, temos: 
 
a) Pagamento à vista = 0,9N; 
b) Pagamento a prazo, o valor atual passa a ser 0,9N e as parcelas N
10
1
. 
 
 Utilizando a HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 i = 2,42 % a. m. 
 
 
 
 
8. Um projeto prevê um investimento inicial de R$ 50.000,00 e retorno de 15.000,00 em 
30 dias, R$ 25.000,00 em 75 dias e R$ 35.000,00 para 110 dias. Qual a taxa interna de 
retorno mensal desse projeto? 
 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i = 0,50866% a.d. 
 
 
e, ainda, para o cálculo da taxa mensal equivalente, temos: 
 
 
 
 
 i = 16,44 % a. m. 
 
< f > <CLX> 
< g > < BEG > 
0,9< CHS > < PV > 
1 < enter > 10 <  >< PMT > 
10 < n > 
< i > 
< g > < END > 
 
< f > <CLX> 
50.000,00 <g>< CFo> 
0 <g>< CFj> 
29 <g>< Nj> 
15.000,00 <g>< CFj> 
0 <g>< CFj> 
44 <g>< Nj> 
25.000,00 <g>< CFj> 
0 <g>< CFj> 
34 <g>< Nj> 
35.000,00 <g>< CFj> 
< f ><IRR> 
 
< f > <CLX> 
100 < CHS > < PV > 
0,50866 < i > 
30 < n > 
< FV > 
1 < n > 
< i> 
 
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 116 
 
 
EXERCÍCIOS 7.7 
1. Um computador está a venda por cinco prestações constantes, mensais, no valor de R$ 
353,80 cada, (1 + 4) com entrada. A vista custa R$ 1.500,00. Qual o valor da taxa de 
juros embutida nesta compra a prazo? 
2. Uma coleção de livros está a venda a vista por R$ 400,00 ou ainda em cinco prestações 
constantes, mensais de R$ 92,76 cada, sem entrada. Qual o valor da taxa de juros 
embutido nesta compra a prazo? 
 
Respostas dos Exercícios 7.7 
1. 9% a.m. 
2. 5,14% a.m. 
 
7.8.1 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS PELA TAXA INTERNA DE RETORNO 
 
 Da mesma forma que o Valor Presente Líquido, a Taxa Interna de Retorno é uma 
excelente alternativa para a análise de projetos e investimentos. 
 Os projetos analisados pela TIR seguem alguns critérios de aceitação: 
- Se a TIR for maior que a taxa de atratividade, o projeto deve ser aceito. 
- Se a TIR for menor que a taxa de atratividade, o projeto deve ser recusado. 
- Se a TIR é igual à taxa de atratividade, o projeto não oferece ganho em relação à 
taxa de atratividade. 
- 
Exemplo: Uma empresa está desenvolvendo um projeto que prevê um investimento inicial 
de R$ 500.000,00 e 8 entradas de caixa anual, consecutivas de R$ 98.000,00. Se 
a taxa de atratividade aceitável é de 8,5% ao ano, o projeto deve ser executado? 
 Na HP 12-C temos: 
 
 
 
 
 
 TIR = 11,24183609% a.d. 
 
 
 
Como TIR > Taxa de Atratividade, o projeto deve ser executado. 
 
EXERCÍCIOS 7.8 
1. Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada 
um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo 
pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: (Assistente 
Administrativo – BESC/2004) 
(A) 14,29% 
(B) 13,33% 
(C) 9,85% 
< f > <CLX> 
500.000,00 <CHS><g>< CFo> 
98.000,00 <g>< CFj> 
8 <g>< Nj> 
< f ><IRR> 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 117 
(D) 7,14% 
(E) 6,67% 
2. Um consumidor comprou um automóvel no valor de R$ 25.000,00 pagou uma entrada a 
vista de R$ 5.000,00 e financiou