2017 2-AD2-MF-Gabarito

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AD 2 – MF - 2017/2 
Gabarito 
1) (1,0 pt.) Três títulos cujos valores nominais são 15.000,00 R$ , 18.000,00 R$ e 21.000,00 R$ , com 
vencimentos para dois, seis meses e dez meses, respectivamente, deverão ser substituídos por dois 
títulos de igual valor nominal com vencimento para quatro e oito meses respectivamente. Determine o 
valor nominal desses títulos, sabendo-se que a taxa de juro da operação é de % 3 ao mês, que foi 
adotada na operação a data “zero” como data de referência e levando-se em consideração o critério 
do desconto: 
 a) comercial simples; 
 b) racional simples. 
Solução: 
divida original 00,000.21 
 18.000,00 
 15.000,00 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  meses 
proposta de 
pagamento x x 
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e as setas 
para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for 
igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a data “zero” como data focal e a taxa de juros simples de 
% 3 ao mês. 
 
 
 
2 
2 
a) Sabemos que no desconto comercial simples , a relação entre o valor atual cA e o valor nominal N é 
dada por    ni
cA
NniNcA


1
1 , onde n é prazo de antecipação e i é a taxa unitária da 
operação. Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
     
    

64,1
00,560.43
00,560.4364,1803,01403,01
1003,0100,000.21603,0100,000.18203,0100,000.15
xxxx
 
98,560.26x 
 
b) Sabemos que no desconto racional simples , a relação entre o valor atual rA e o valor nominal N é 
dada por    ni
N
rAnirAN


1
1 , onde n é prazo de antecipação e i é a taxa unitária da 
operação. Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
          







 1003,01
00,000.21
603,01
00,000.18
203,01
00,000.15
803,01403,01
xx
 
32,810.26
699309,1
02,559.45
02,559.45699309,1  xxx . 
 
Resposta: 



26.810,32 R$ b)
26.560,98 R$ a)
 
 
 
2) ( 1,0 pts.) Uma empresa deve pagar em seis meses, um título cujo valor nominal é 72.000,00 R$ . 
Contudo, prevendo problemas de caixa, propõe ao credor substituí-lo por dois títulos de mesmo valor 
nominal com vencimento para três e nove meses respectivamente. Determine o valor nominal desses 
títulos, sabendo-se que foi adotada na operação a taxa de % 24 ao ano, capitalizada trimestralmente, 
considerando o critério do desconto: 
 a) comercial composto; 
 b) racional composto. 
Solução: 
 
dívida original 72.000,00 
 
 0 1 2 3 (trimestres) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  meses 
nova proposta de x x 
pagamento 
 
 
3 
3 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto de capital da dívida original e as setas para 
baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for 
igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a taxa de % 24 ao ano, capitalizada trimestralmente. 
Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é 
trimestral, ou seja, a taxa efetiva da operação é trimestral. Logo, considerando a relação entre essas 
unidades de tempo, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, isto é, 
como s trimestre4 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por . trimestreao % 06
4
024
,
,
i  
Sabe-se que no regime de juro composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-se assim 
escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar pelo segundo 
trimestre como data focal. 
a) Sabemos que no desconto comercial composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual cA é 
dada através da equação  
 ni
cA
NniNcA


1
1 , onde n é prazo de antecipação e i é a taxa 
unitária da operação. Nesse caso então, temos a seguinte equação de equivalência: 
 
    

00,000.72003830,20060100,000.7210601
10601
x,,x
,
x
 
20,931.35
003830,2
00,000.72
 xx . 
b) Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual rA é 
dada através da equação  
 ni
N
rAnirAN


1
1 , onde n é prazo de antecipação e i é a taxa 
unitária da operação. Nesse caso então, temos a seguinte equação de equivalência: 
 
 
  

 00,000.72003396,20060100,000.72
10601
10601 x,
,
x
,x 
97,938.35
003396,2
00,000.72
 xx . 
Resposta: 



35.938,97 R$ b)
35.931,20 R$ a)
 
 
 
 
 
4 
4 
3) (1,0 pt.) Um automóvel foi comprado com % 30 de entrada e o restante financiado em vinte e quatro 
prestações mensais iguais e sucessivas de 2.096,81 R$ , vencendo a primeira trinta dias após a compra. 
Determine o valor à vista do automóvel, sabendo-se que a taxa nominal de juro composto da 
operação foi de 18 % ao ano. 
Solução: 
A taxa dada é anual é nominal, e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal, ou seja, 
a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa 
efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então que 
a taxa efetiva i será dada por mês ao % 51
12
018
,
,
i  . 
Como o comprador pagou % 30 de entrada, então foi financiado de % 70 do valor do carro e este é, 
portanto o valor atual P de uma série uniforme modelo básico em que os termos constantes R da série 
são iguais a 2.096,81, o prazo n é igual a 24 meses . 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 P 
 
 
 
 
 0 1 2 3......... 22 23 24 (meses) 
 
 2.096,812.096,81  R..............................................R 
 Sabemos que      niFVP
PR
niFVP
P
Rn,iFVPRP
 ;
1
 ;
  
 Nesse caso então  24 51810962 %;,FVP,.P  . 
Utilizando a relação    
i
ni
niFVP


11
; ou uma tabela financeira, temos que: 
      030405,2024 %; 5,1
015,0
24015,011
24 %; 5,1 

 FVPFVP . 
Logo 00,000.42030405,2081,096.2  PP . 
Portanto, este valor corresponde a 70 % do valor do carro, logo o preço à vista do automóvel será dado 
por 00,000.6070,0
00,000.42
 . 
Resposta: R$ 60.000,00 
 
 
 
5 
5 
4) (1,2 pts.) Uma empresa deve pagar quatro títulos com valores de 10.000,00 R$ , 15.000,00 R$ , 
20.000,00 R$ e 25.000,00 R$ com vencimento para daqui a três, seis, nove e doze meses 
respectivamente. Essa dívida foi contraída a uma taxa de juro de ano ao % 6 com capitalização 
trimestral. Estes pagamentos foram substituídos por um plano em doze prestações mensais, iguais e 
sucessivas, vencendo a primeira daqui a trinta dias. Determine o valor de cada prestação, sabendo-se 
que a taxa de juro do refinanciamento foi de ano ao % 24 capitalizada mensalmente. 
Solução: 
 P 
 
 
 
 
 0...............3 ............6.............9...........12 (meses) 
 0 1 2 3 4 (trimestres) 
 10.000,00 
 15.000,00 
 20.000,00 
 25.000,00 
Considerando o critério do desconto racional, devemos em primeiro lugar determinar o capital na data 
zero que seja equivalente aos capitais dados. 
A taxa desta operação de ano ao % 6 é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é trimestral, ou seja, a taxa efetiva dessa operação é trimestral. Logo, considerando a 
relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva trimestral da operação é proporcional a taxa dada, ou 
seja, como s trimestre4 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por . trimestreao % 5,1
4
6
i 
Indicando por P o valor da dívida na data focal “zero então, 
 
       
09,093.67
4015,01
00,000.25
3015,0,1
00,000.20
2015,01
00,000.15
1015,01
00,000.10








 PP . 
Devemos agora distribuir esse valor numa série uniforme com doze termos mensais, iguais e sucessivos, 
ocorrendo o primeiro em trinta dias. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
 
 
6 
6 
 09,093.67P 
 
 
 
 
 0 1 2 3............10 11 12 (meses) 
 
 ......................................................... RR 
A taxa desta operação de ano ao % 24 é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é mensal, isto é, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação 
entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, 
como s trimestre12 ano 1  , tem-se então que a taxa efetiva mensal i será dada por % 02
12
024
,
,
i  . 
Sabemos que      niFVP
PR
niFVP
P
Rn,iFVPRP
 ;
1
 ;
  . 
Nesse caso então,  12 ; % 2 
1
0909367
FVP
,.R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
; então, 
        0945600
12 %; 2
1
5753411012% 2
020
1202011
12% 2 ,
FVP
,;FVP
,
,
;FVP 

 . 
 Portanto, 30344609456000909367 ,.R,,.R  . 
Resposta: R$ 6.344,30 
 
5) (1,0 pt.) Uma empresa deseja constituir um fundo de provisão, de forma que depois de dois anos 
possua o montante de 552.454,67 R$ . Quanto deve depositar no fim de cada mês, numa instituição 
financeira que remunera os depósitos a uma taxa de juro composto nominal de 14,40 % ao ano? 
Solução: 
A taxa dada é nominal, e como os depósitos são mensais, então a capitalização é mensal, ou seja, a taxa 
efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva 
mensal da operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então que a taxa 
efetiva i será dada por mês ao % 2,1
12
40,14
i . 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
 
7 
7 
 
 552.454,67S 
 
 
 
 0 1 2 3......... 22 23 24 (meses) 
 
 R.............................................................R 
 
Os depósitos constituem uma serie uniforme modelo básico com vinte e quatro termos mensais e iguais a 
R cujo o montante S é igual a 552.454,67 . 
Sabemos que      n;iFVF
SR
n;iFVF
S
Rn;iFVFRS
 
1
 
  . 
Logo,  24 %; 1,2 
1
67454552
FVF
,.R  . 
 Utilizando a equação    
i
ni
niFVF
11
 ;

 então, 
        0362020
24 %; 1,2 
1
6227342724 %; 1,2 
0120
12401201
24 %; 1,2 ,
FVF
,FVF
,
,
FVF 

 . 
 Portanto , 0000020036202067454552 ,.R,,.R  . 
Resposta: R$ 20.000,00 
 
6) (1,0 pt.) Um investidor efetua um depósito inicial de 10.000,00 R$ em uma instituição financeira que 
remunera suas contas utilizando a taxa de % 20,40 ao ano, capitalizada mensalmente. Após trinta dias, 
efetua mais quinze depósitos mensais iguais e sucessivos de 5.000,00 R$ cada. Determinar quanto 
esse aplicador terá acumulado quando da realização do último depósito. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 20,40 é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as 
unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como 
meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva mensal i será dada por % 71
12
% 20,40
,i  . 
O depósito inicial de 10.000,00 R$ renderá ao fim de quinze meses considerando a taxa mensal de 
 % 7,1 ao mês um montante M dado por   00,877.1215017,0100,000.10  MM . 
Por outro lado, os depósitos constituem uma serie uniforme modelo básico com quinze termos mensais e 
iguais a 00,000.5 e queremos determinar o montante S dessa série. 
 
 
8 
8 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 S 
 
 
 
 0 1 2 3......... 13 14 15 (meses) 
 
 000005000005 ,.R..........................................,.R  
Sabemos que  niFVFRS ; , onde    
i
ni
niFVF
11
 ;

 logo, nesse caso: 
 15 %; 1,7 00,000.5 FVFS  . 
 Utilizando a equação relação    
i
ni
niFVF
11
 ;

 , então, 
      923459,1615 %; 1,7 
017,0
115017,01
15 %; 1,7 

 FVFFVF 
 Portanto 30,617.84923459,1600,000.5  SS . 
Logo ao final da operação, o investidor terá um montante dado por: 
30,494.9730,617.8400,877.12  . 
Resposta: R$ 97.494,30 
 
7) (1,2 pts.) Uma pessoa pretende depositar bimestralmente determinada quantia fixa durante três anos, a 
uma taxa nominal de juro composto de ano ao % 24,24 . Considerando que o primeiro depósito 
ocorrerá daqui a sessenta dias e que ela deseja ganhar no período um total de 6.560,77 R$ de juro. 
Determinar o valor dos depósitos bimestrais. 
Solução: 
A taxa da operação é nominal, e como os depósitos são bimestrais, então a capitalização é bimestral, isto 
é, a taxa efetiva da operação é bimestral. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a 
taxa efetiva do financiamento é proporcional à taxa dada, ou seja, como bimestres 6 ano 1  , então a taxa 
efetiva i será dada por bimestre ao % 04,4
6
24,24
i . 
As aplicações mensais constituem uma série uniforme modelo padrão de montante, termos bimestrais 
R (depósitos) e prazon igual três anos, ou seja, dezoito bimestres. 
O diagrama abaixo representa essa série 
 
 
 
 
9 
9 
 S 
 
 P 
 
 
 
 0 1 2 3......... 16 17 18 (bimestres)) 
 
 RR ................................................. R 
 
Sabemos que o montante S da série é dado por  niFVFRS ; . 
Nesse caso então temos que  18 %; 04,4FVFRS  . 
Utilizando a equação    
i
ni
niFVF
11
 ;

 , então, 
      739786,2518 %; 4,04 
0404,0
1180404,01
18 %; 4,04 

 FVFFVF . 
Portanto, RS 739786,25 . 
Por outro lado, considerando que o investidor tenha feito um único depósito no inicio do período de 
aplicação de modo a obter o mesmo montante, este valor será o valor atual P da série, ou seja, 
 18 %; 04,4FVPRP  . 
Utilizando a equação    
i
ni
niFVP


11
 ; , temos que : 
      618239,1218 %; 4,04 
0404,0
180404,011
18 %; 4,04 

 FVPFVP . 
Portanto, RP 618239,12 
O rendimento J da aplicação é dado pela relação PSJ  . Como o investidor que ganhar 6.560,77 de 
juros na operação, então  6.560,77 6182391273978625 R,R, 

13,121547
6.560,77
6.560,77 13,121547 RR 00,500R . 
Resposta: R$ 500,00 
 
8) (1,2 pts.) Um investidor efetuou 50 depósitos mensais, de 2.244,30 R$ em uma instituição financeira 
que remunera seus depósitos a um taxa nominal de juro composto de ano ao % 9,6 , iniciando os 
depósitos em 30 dias. Do montante poupado ele efetuou 100 saques mensais, iguais e sucessivos, 
iniciando os saques um mês após o último depósito. No último saque o saldo da conta foi zerado. 
Determine o valor dos saques. 
 
 
10 
10 
Solução: 
A taxa dada é anual é nominal, e como os termos das séries envolvidas são mensais, então a capitalização 
é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades 
dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como 
meses 12 ano 1  , tem-se então que a taxa efetiva i será dada por mês. ao % 8,0
12
6,9
i 
Os depósitos constituem uma serie uniforme padrão com 50 termos mensais iguais a 302442 ,. e os 
saques constituem outra série padrão com 100 termos mensais iguais a R . 
 PS  
 
 
Depósitos .302442.....................302442. ,.R,.R  
 51 52 53...........149 150 
 0 1 2 ...48 49 50 (meses) 
Saques 
 R R R .......... R R 
 
Como o saldo da conta é zerado após o ultimo saque, então o montante S da série dos depósitos é igual 
ao valor presente P da série dos saques. 
Sabemos que  niFVFRS ; e  niFVPRP ; . 
Nesse caso então,  50 % 80 302442 ;,FVF,.S  e  100 % 80 ;,FVPRP  . 
Portanto,     100 % 8050 % 80 302442 ;,FVPR;,FVF,.
 
 100% 80 
50 % 80302442
;,FVP
;,FVF,.
R

 . 
Utilizando equações    
i
ni
niFVP


11
 ; e    
i
ni
niFVF
11
 ;

 , então: 
      65481668100 % 80
0080
100008011
100 % 80 ,;,FVP
,
,
;,FVP 

 e 
      1815406150 % 80 
0080
50008011
50 % 80 ,;,FVF
,
,
;,FVF 

 . 
Portanto 000002
65481668
73309137
65481668
18154061302442
,.R
,
,.
R
,
,,.
R 

 . 
Resposta: R$ 2.000,00 
 
 
 
 
 
 
11 
11 
9) (1,4 pts.) Uma empresa pode comprar um equipamento à vista por 00,690.25 R$ ou em dezoito 
prestações postecipadas, mensais iguais e sucessivas com 5 meses de carência. Sabe-se que o 
fornecedor do equipamento cobra juros reais de mês ao % 2 mais correção monetária. Determine o 
valor das prestações, sabendo-se que a taxa de inflação anual prevista é de % 4,91 . 
Solução: 
Como a série de pagamento é postecipada, então a obrigação do primeiro pagamento seria no mês um, 
mas a concessão de cinco meses de carência transfere essa obrigação para o mês seis. 
O fornecedor quer ganhar juros reais de mês ao % 2 mais correção monetária. 
A taxa de inflação anual esperada é de % 4,91 . Logo, tendo em vista que 1 ano = 12 meses, a taxa de 
inflação mensal  que é equivalente a anual esperada, será obtida por 
        mês ao 004,0004002,1112 0491,1110491,1121   ou
mês. ao % 4,0 
Precisamos então, determinar a taxa aparente (efetiva) mensal da operação. Sabemos que a taxa unitária 
aparente i é dada por     




 111
1
1
1 ri
i
r , onde taxa real unitária r e  é taxa unitária 
de inflação, consideradas no mesmo período. 
Logo,       mês ao 024,002408,11004,102,11  iii , isto é, 
 mês. ao % 4,2i 
Como a série inicia-se no mês 6, o seu valor atual é o valor de P no mês cinco que indicaremos por 5P , 
temos então que   36,924.285024,100,690.255 P . 
 
 36,924.285 P 
 00,690.25P 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7.........21 22 23 (meses) 
 R .......................... R 
Temos então que: 
   18 ; % 4,2
36,924.28
18 ; % 408,236,924.28
FVF
RFVFR  . 
Utilizando-se a equação    
i
ni
niFVP


11
; temos que: 
 
 
12 
12 
      477898,1418 ; % 4,2
02408,0
18024,011
18 ; % 408,2 

 FVFFVF . 
Portanto 82,997.1
477898,14
36,924.28
 RR . 
Este resultado também pode ser obtido considerando duas séries uniformes modelo básico: a primeira 
com vinte e três termos mensais iguais a R e valor atual P . A segunda com cinco termos mensais iguais 
a R e valor atual P  . Então o valor atual 0P da série diferida dada, será obtido por PPP 0 
Abaixo os diagramas dessas séries; 
 P 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5.....................21 22 23 (meses) 
 
 RRRRRRRR .................. . 
O valor atual P dessa série será dado por  23 ;% 4,2FVPRP  
 
 
 P  
 
 0 1 2 3 4 5 (meses) 
 
 . RRR R R 
O valor atual P  dessa série será dado por  5 %; 4,2FVFRP  . 
Como 00,690.250 P , temos então que: 
    5 %; 4,223 %; 4,200,690.25 FVFRFVFR 
    5 %; 4,223 %; 4,200,690.25 FVFFVFR  
   5 %; 4,223 %; 4,2
00,690.25
FVFFVF
R

 . 
Utilizando ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 , temos que: 
       518189,1723 %; 2,4 
019,0
23024,011
15 %; 1,9 

 FVPFVP e 
 
 
13 
13 
      659233,45 %; 2,4 
024,0
5024,011
5 %; 1,9 

 FVPFVP . 
Portanto 82,997.1
858957,12
00,690.25
659233,4518189,17
00,690.25


 RRR 
 
Resposta: R$ 1.997,82