Aplicações de Derivadas

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Aplicações de Derivadas
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Introdução
Introdução
Existe uma relação entre a(s) derivada(s) de uma função e seu comportamento
Crescente/decrescente
PMAX/PMIN (local ou global?)
Inflexões (concavidades para cima/baixo)
Etc...
A(s) derivada(s) descrevem precisamente o comportamento de qualquer função
Será que isso tem importância na prática?
Introdução
Crescente
Decrescente
Pto. Max
Pto. Min
Pto. Inflexão
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Derivadas de Ordem Superior (3.5)
Encontre a primeira e segunda derivadas das seguintes funções
Tá... Mas para o que serve isso?!?!?!?!?!
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Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Teorema
Se com qualquer valor de em , então é crescente em
Se com qualquer valor de em , então é decrescente em
Se com qualquer valor de em , então é constante em
Exemplo
Encontre os intervalos nos quais é crescente e os intervalos nos quais é decrescente
Encontre os intervalos nos quais é crescente e os intervalos nos quais é decrescente
Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Procedimento para identificar onde a função é crescente ou decrescente [nem sempre é fácil esboçar o gráfico de ]
Ache todos os pontos onde ou é descontínua
Lembre-se que continuidade implica 
Identifique os intervalos formados por estes pontos
Teste um valor de para este intervalo, determinando o sinal do 
Se , é crescente
Se , é decrescente
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Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Exemplo
Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Exemplo
Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Extremos relativos (vales e picos em um gráfico)
Máximo relativo
Considere um intervalo ...
 tem um máximo relativo em um ponto deste intervalo (por exemplo ) se 
Ou seja, é o maior valor deste intervalo
Obviamente, o oposto é verdadeiro para os Mínimos Relativos
E por que relativos?
Porque levam em conta a “vizinhança”
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Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Conceito de ponto crítico
Qualquer do domínio onde ou não existe
Pontos
Críticos
 
 
Descontinuidade
Reta Tangente Vertical
Bico
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Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Conceito de ponto crítico
Qualquer do domínio onde ou não existe
Sinal de - observe as figuras
Máximo Relativo
Mínimo Relativo
Nesses casos a inclinação da reta tangente muda quando se passa por 
Podemos ter extremos relativos de uma função diferenciável quando 
Cuidado... “podemos ter”:
Pode ser que a função passe por um ponto onde ou não existe e...
O SINAL NÃO MUDE!!!!!!!!
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Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Conceito de ponto crítico
Qualquer do domínio onde ou não existe
Observe as figuras
Nesses casos a inclinação da reta tangente muda quando se passa por 
Podemos ter extremos relativos de uma função diferenciável quando 
Cuidado... “podemos ter”:
Pode ser que a função passe por um ponto onde ou 𝑓’(𝑥) não existe e...
O SINAL NÃO MUDE!!!!!!!!
 
 
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Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Conceito de ponto crítico
Qualquer do domínio onde ou não existe
Observe as figuras
Máximo Relativo
Mínimo Relativo
Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Conceito de ponto crítico
Um ponto crítico de uma função é qualquer ponto do domínio onde ou não existe
Extremos Relativos
Em suma, pontos críticos indicam que algo importante acontece na função... Mas não são necessariamente PMAX/PMIN
Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Teste da Primeira Derivada
Determinar os pontos críticos de 
 ou não existe
Determine o sinal de à esquerda e à direita de cada ponto crítico (até aqui... sem novidades!)
Máximo Relativo - muda de para ao atravessar o 
Mínimo Relativo - muda de para ao atravessar o 
Se não muda de sinal, o ponto crítico não é um extremo relativo
Aplicações da 1ª Derivada (4.1)
Esboce os gráficos e indique os pontos críticos
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Observe as figuras
Em ambos os caso temos 
Em ambos os casos, a função é crescente no intervalo 
Agora imagine que estes gráficos se refiram a dois veículos em movimento ...
Qual deles está acelerando? Por que?
Cresce a um ritmo decrescente
Cresce a um ritmo crescente
Aqui o conceito de concavidade é necessário...
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Em um intervalo aberto...
 é côncava para cima se a inclinação das retas tangentes ao gráfico de estão aumentando com (e vice-versa)
Nesse caso, o gráfico está sempre acima de suas retas tangentes no intervalo (e vice versa)
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Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Atenção...
Da mesma forma que o sinal de indica que é crescente...
O sinal de indica se é crescente
O que importa é... se for duas vezes diferenciável em um intervalo aberto, segue o teorema
Se em qualquer do intervalo, então é côncava para cima nesse intervalo
Se em qualquer do intervalo, então é côncava para baixo nesse intervalo
E se 
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Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Como encontrar pontos de inflexão?
Calcule 
Determine os pontos do domínio de para os quais ou não existe
Para cada ou não definido, teste um à esquerda e um à direita
Haverá um ponto de inflexão se houver mudança de sinal quando se “atravessa” o(s) ou não definido
Serão CANDIDATOS a ponto de inflexão (mudança de sinal)
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Exemplos
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Exemplos
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Como encontrar pontos de inflexão?
Exemplos
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Como encontrar pontos de inflexão?
Exemplos
Relembrando...
Como acho extremos relativos de uma função?
O que são extremos relativos?
E pontos de inflexão?
O que é um ponto de inflexão?
Fixando conceitos...
Exercício: esboce o gráfico de uma função com as seguintes propriedades
, 
Fixando conceitos...
Exercício: esboce o gráfico de uma função com as seguintes propriedades
, ,, , , 
Fixando conceitos...
Exercício: esboce o gráfico de uma função com as seguintes propriedades
, , 
Um resumo...
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Exercício: , , 
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Exercício: , 
Aplicações da 2ª Derivada (4.2)
Exercício: está indefinida, é decrescente em , é côncavo para baixo em e tem um ponto de inflexão em 
Esboçando Curvas
Assíntotas verticais
Esboçando Curvas
Assíntotas verticais
Tipicamente presentes em funções racionais do tipo 
No caso, e são funções polinomiais
 será uma AV se , mas 
Apesar de não fazerem parte do gráfico, elas são úteis para seu esboço
Ocorrem se tende a quando se aproxima de determinado valor
Por exemplo, 
Esboçando Curvas
Assíntotas horizontais
Esboçando Curvas
Assíntotas horizontais
Verifique o que acontece com quando 
Esboçando Curvas
Assíntotas horizontais
Verifique o que acontece com quando 
Relembrando... Para Achar uma AH, caso ela exista, é necessário analisar o comportamento final da função
Uma linha é uma AH do gráfico de uma função caso
 ou 
Esboçando Curvas
Encontre assíntotas... Se houver!
Esboçando Curvas
Encontre assíntotas... Se houver!
Esboçando Curvas
Encontre assíntotas... Se houver!
Esboçando Curvas (pg. 295)
Um guia para esboçar curvas:
Determine o domínio de 
Tente identificar interceptos em ambos os eixos
Verifique o comportamento de para grandes valores de (limite no infinito)
Verifique se há assíntotas verticais (limites infinitos em algum )
Determine os intervalos onde é crescente/decrescente (1ª derivada)
Localize os extremos relativos (TPD)
Determine a concavidade (2ª derivada)
Encontre os pontos de inflexão (2ª derivada)
Ache alguns pontos adicionais e esboce o gráfico
Esboçando Curvas
Exemplo: esboce o gráfico de...
Esboçando Curvas
Exemplo: esboce o gráfico de...
Esboçando Curvas
Exercícios: nos gráficos abaixo indique e justifique qual função é derivada da outra
Esboçando Curvas
Exercícios: esboce o gráfico
Esboçando Curvas
Exercícios: esboce o gráfico
Otimização
Já discutimos o papel dos extremos relativos da função
Vejamos agora o que chamamos de extremos absolutos
Se no domínio de , então é chamado valor máximo absoluto de 
E vice-versa
Muitas aplicações reais se baseiam nesse conceito
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Otimização
Uma funçãopode não ter extremos absolutos
Mas se é contínua em um intervalo fechado , então tem tanto um máximo e um mínimo absolutos em 
Teorema do Valor Extremo
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Otimização
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Procedimento para encontrar extremos absolutos de em um intervalo fechado
Passo 1 - encontre os pontos críticos de em 
Passo 2 - encontre o valor de em todos os pontos críticos e nas extremidades 
Passo 3 - o maior entre os valores do Passo 2 é o valor máximo absoluto de f em , e o menor valor é o mínimo absoluto
Exemplos
 no intervalo 
 no intervalo 
Otimização
 no intervalo 
Repare que no intervalo aberto a função tem apenas um mínimo absoluto
 no intervalo 
Otimização
Extremos absolutos em intervalos ABERTOS – 
Comportamento similar a 
Uma função contínua pode ou não ter extremos absolutos em um intervalo aberto
Porém, certas conclusões podem ser tiradas do comportamento de quando e , ou em intervalos do tipo , 
Otimização
Extremos absolutos em intervalos ABERTOS – 
Exemplo: determine se tem algum extremo absoluto em 
Dica: verifique o domínio...
Otimização
Uma corretora dispõe de 100 apartamentos de dois quartos para alugar. O lucro mensal obtido com o aluguel é dado por
Quantas unidades devem ser alugadas a fim de maximizar o lucro mensal? Qual é o máximo lucro mensal possível??
Otimização
A velocidade média de um veículo em um trecho urbano entre 06:00 e 10:00 em um dia útil é aproximada pela função...
Em que horário da manhã o tráfego fica mais lento? Qual a velocidade média de um veículo nesse momento?
Otimização
O preço de demanda de uma gravadora de CD’s é dada por 
O custo mensal total para a prensagem e embalagem de cópias é dada por
Qual o nível de produção que maximiza o lucro?
Otimização
O custo mensal total incorridos por certa empresa para fabricar seu principal produto é dado por
Encontre a função de custo médio
Encontre o nível de produção que resulta no menor custo médio de produção
Encontre o nível de produção para o qual o custo médio é igual ao custo marginal
Compare o resultado de e 
Otimização
Você tem 200 metros de cerca para isolar uma parte de um terreno. Qual é a maior área que você consegue cercar com o material disponível?
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