DERIVADAS e APLICAÇÕES DA DERIVADA

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CÁLCULO I - Unidades III e IV – Derivadas e Aplicações das Derivadas 
A RETA TANGENTE E O CONCEITO DE DERIVADA 
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. 
 
Veja que na figura 4, a reta r é tangente à circunferência no ponto P. 
Outros exemplos de retas tangentes (no ponto P) 
 
 Fig. 5 Fig. 6 Fig.7 Fig. 8 
 
Na Fig. 7 e Fig. 8 não é reta tangente no ponto Q 
 
Definição. Dada uma curva de equação y = f (x), seja P (x0,y0) um ponto sobre ela, ou seja, y0 = f (x0). A 
Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular mT e é dado pela 
expressão 
 
 
 ( ) ( )
 
 
quando este limite existe. Assim a equação da reta tangente é dada por 
 ( ) 
 
O limite descrito acima, 
 ( ) ( )
 
 , é muito importante, por isso receberá uma denominação 
especial: Chama-se derivada da função f no ponto x0 e denota-se f ' (x0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras notações para a derivada da função y = f (x) num ponto x qualquer: 
y´(x) (lê-se: y linha de x ou derivada de y em relação a x); 
Dxf (lê-se: derivada da função f em relação à x); 
 
 
 (lê-se: derivada de y em relação à x). 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS 
Teorema. Se f é derivável em x=x0, então f é continua em x=x0. 
Corolário. Se f não é continua em x0, então f não é derivável em x0. 
Observação: nem toda função continua é derivável. 
Exemplo. Mostre que a função ( ) √ , x  0 é continua em x=0, mas não é derivável ai. 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
De forma geral 
(lê-se f linha de x) 
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DERIVADAS LATERAIS 
Definição. Se a função y=f(x) está definida em x, então a derivada à direita de f em x, denotada por 
 ( ), é 
definida por 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
caso esse limite exista. Analogamente, 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
desde que esse limita exista. 
Considerações sobre a definição: 
(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem 
nesse ponto e são iguais. 
(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um ponto x, dizemos 
que este é um ponto anguloso do gráfico da função y=f(x). Neste caso, f não é derivável. 
(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto x, então f não será derivável em x. 
Exemplo. A função ( ) | | não é derivável em x=0, embora seja continua em x=0. 
REGRAS DE DERIVAÇÃO. 
Teorema. Se f e g são funções deriváveis em x, então as seguintes combinações são deriváveis em x. 
1. Soma: ( ) ( ) ( ) ( ); 
2. Diferença: ( ) ( ) ( ) ( ); 
3. Produto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 
4. Quociente: (
 
 
) (
 
 
)
 
( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] 
, desde que g(x) ≠ 0; 
5. Constantes Múltiplas: ( ) ( ) ( ), para todo numero real k; 
6. Potência: ( ) ( ) ; 
7. Constante; ( ) ( ) , onde C é uma constante. 
 
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES DO CÁLCULO 
Neste quadro apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e 
trigonométrica. 
 Função Derivada 
 f(x) f’(x) 
01 
02 
 
 , x > 0 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
 Função Derivada 
 f(x) f’(x) 
09 
10 
 
 , u > 0 
11 
12 
 
 
 , (a > 0 e a≠1) 
13 
 
 
 
Tarefinha de casa: Monte, no se caderno, uma tabela com as funções trigonométricas inversas. 
A REGRA DA CADEIA 
Se f(u) é derivável no ponto u=g(x) e g(x) é derivável no ponto x, então a função composta y=(f ₀ 
g)(x)=f(g(x)) é derivável em x e a sua derivada é dada por: 
(f ₀ g)’(x)=f ’(g(x)).g’ (x)=f ’(u).u’ 
 
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Outras notações comuns 
Dxy = Duy.Dxu yx = yu.ux 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Dada a função ( ) , determinar 
 
 
 . 
Exemplo 2: Dada a função 
 
 ( ) 
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA 
Se uma função y = f (x) admite uma função inversa x = f −1 (y), então a função inversa tem derivada dada 
por 
( ) ( ) 
 
 ( )
 ( ) 
Sabemos que ( ) . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( ) ( ( )) ( ) ,daí 
( ) ( ) 
 
 ( )
 , desde que f ´(x) ≠ 0 . 
 
Exemplo 3: Seja ( ) , x ≥ 0. Determine (f -1)´(4) 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLICITA 
Suponhamos que a equação F(x, y) = 0 define implicitamente uma função derivável y=f(x). Usaremos a 
Regra da Cadeia para determinar y’ sem explicitar y. 
Exemplo 4: Sabendo que y=f(x) é definida implicitamente pela equação , 
determinar y’. 
Derivadas sucessivas 
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y = f(x) for 
derivável, isto é, existe f´(x), podemos pensar na derivada de f´(x) e assim sucessivamente. 
Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f (x) de acordo com a tabela 
abaixo: 
Como lê-se: Notação: 
1ª derivada ou derivada de 1ª ordem 
 ( ) 
 
 
 
2ª derivada ou derivada de 2ª ordem 
 ( ) 
 
 
 
3ª derivada ou derivada de 3ª ordem 
 ( ) 
 
 
 
4ª derivada ou derivada de 4ª ordem 
 ( ) 
 
 
 
 
nª derivada ou derivada de nª ordem 
 ( ) 
 
 
 
 
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REGRA DE L’HÔPITAL 
A regra de L’Hôpital apresenta um método geral para levantar indeterminações de limites dos tipos 0/0 ou 
infinito/infinito. Esse método é dado pelo: 
Teorema de L’Hôpital: Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, exceto possivelmente 
em um ponto a  I. Suponhamos que g’(x)≠0,  x ≠ a em I. 
(i) Se ( ) ( ) 
 ( )
 ( )
 , então 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
(ii) Se ( ) ( ) 
 ( )
 ( )
 , então 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Vamos tratar de algumas aplicações matemáticas que são geradas pelo conceito de derivada. 
Um caso típico da aplicação da derivada é a medida da velocidade de um corpo em movimento. Uma vez 
que temos o ponto inicial Si e o ponto final Sf podemos calcular a sua velocidade média desenvolvida 
pelo corpo nesse trajeto. 
Sabemos que: 
 
 
 
 ou 
 
 
 
Se tivermos de medir a velocidade em tempos e distâncias bem menores, isso é equivalente a fazer com 
que o valor t se aproxime de zero. 
 
 
 
 ou seja, uma derivada. 
Se conhecermos a função S em função do tempo teremos: 
 ( ) 
 
 
 
Ainda podemos fazer o cálculo da aceleração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Imagine que um veículo desloca-se por uma estrada e sua posição em um determinado 
instante é dada pela seguinte função S (t ) = 2 + 4t + 8t
2
, onde t é dado em segundos e S é dado em metros. 
Vamos calcular a velocidade deste móvel no instante t=2. 
 
 
 
Máximos e Mínimos de uma Função 
 
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Teste da Primeira Derivada para Função Crescente e Decrescente 
 
Se uma função é derivável num ponto podemos saber se ela é crescente ou decrescente nesse 
ponto. 
 
Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a, b), assim: 
a) Se f '(x) > 0  x  (a,b), então f é crescente em [a, b]; 
b) Se f '(x) < 0  x  (a,b), então f é decrescente em [a, b]. 
 
 
Teste da primeira Derivada para Extremos Locais em umPonto Crítico 
Definição de ponto crítico: Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no 
qual f '(c)=0. 
Sejam f uma função contínua definida num intervalo I do eixo-x e cI um ponto crítico de f, isto é, 
f '(c)=0. 
a) Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x = c, então x = c é um 
ponto de máximo para f. 
b) Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um 
ponto de mínimo para f. 
c) Se a derivada de f possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é extremo local de f. 
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Exemplo: f(x) = x², definida sobre [-1,2], calcular o ponto crítico de f. 
 Solução: Se f ' (x) = 2x e f ' (x)=0, então: 2x=0 x = 0. Assim x = 0 é o ponto crítico de f. 
Exemplo. Seja a função f(x)=1- x² definida em I=[-1,2]. 
 Solução: Se f '(x) = -2x e f '(x)=0, então -2x=0 x=0, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. 
f '(x) > 0(positiva) se x< 0 e f '(x) < 0(negativa) se x>0, assim, x= 0 é um ponto de máximo local para f. 
Teste da Segunda Derivada 
Seja f uma função que admite derivada ate a segunda ordem num intervalo aberto I. 
 
a) Se f '' (x) > 0, então f terá concavidade voltada para cima em I. 
b) Se f '' (x) < 0, então f terá concavidade voltada para baixo em I 
 
Teste da segunda derivada para extremos locais: Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-
x e c I um ponto crítico de f. Suponha que f é derivável duas vezes em c. Então 
• Se f '(c) =0 e f ''(c) < 0 então c é um ponto de máximo local para f. 
• Se f '(c) =0 e f ''(c) > 0 então c é um ponto de mínimo local para f. 
• Se f ''(c) = 0 então o teste não é conclusivo. 
 
Pontos de Inflexão 
 
Definição: um ponto P(k, f(k)) do gráfico de uma função continua f é chamado de ponto de inflexão se 
ocorre uma mudança de concavidade na passagem do P. Um ponto numa curva onde y '' é positivo de um 
lado e negativo do outro é um ponto de Inflexão. 
 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
Suponha que a função f seja continua no intervalo [a, b] e que f’(x) exista no intervalo aberto a < x < 
b. Então existe pelo menos um valor c entre a e b, tal que 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
Geometricamente ele significa existe um ponto c(a,b) tal que a reta tangente ao gráfico de f no 
ponto (c, f (c)) é paralela à reta que passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)) , conforme nos mostra a 
figura ao lado. 
 
Referências 
 
FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6 ed., Editora Pearson – Prentice Hall, 2007. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora, 2001 
MUNEM, M. A. e FOULIS, D. J. Cálculo. Volume 1, 2 ed., Editora Guanabara Dois, 1986. 
STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6 ed., Editora GENCAGE Learning, 2009. 
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. 
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