matematica material-156

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50. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 8x^2 + 1 
\) tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
51. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = e^x \cos(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) \). Utilizamos a regra do produto para 
encontrar a derivada. 
 
52. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. Calculamos a integral da 
função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
53. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = e^x \) e \( y = x^3 \). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (1, e) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
54. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{\pi}{2} \). Usamos a propriedade da integral 
definida para calcular a área sob a curva. 
 
55. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = \ln(x) + x^2 \). 
 Resposta: O ponto crítico é \( x = \frac{1}{2} \). Calculamos a derivada primeira e 
igualamos a zero. 
 
56. Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à curva \( y = \tan(x) \) no ponto onde 
\( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é \( m = 2 \). Calculamos a derivada da função e 
substituímos \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 
57. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 
x^2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 0 \) e