Cálculo de Volumes e Centróides

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – EP5 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Determine o volume e o centro´ide do so´lido W limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2,
pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano xy.
Soluc¸a˜o: De z = x2 + y2 e x2 + y2 = 4, temos z = 4. Isto significa que as duas superf´ıcies se
interceptam no plano z = 4, segundo a circunfereˆncia x2 + y2 = 4. Considerando que o so´lido W e´
limitado tambe´m pelo plano xy, de equac¸a˜o z = 0, temos o esboc¸o de W .
x
y
z
W
2
2
4
x
y
Dxy
2
2
Como o so´lido W e´ limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4, vamos aplicar a transformac¸a˜o cil´ındrica:


x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
dV = r drdθdz
x2 + y2 = r2
.
O parabolo´ide z = x2 + y2 se converte em z = r2 e o cilindro x2 + y2 = 4 se converte em r2 = 4
ou r = 2. Observemos que a projec¸a˜o de W sobre o plano xy e´ o disco Dxy : x
2 + y2 ≤ 4.
Como as variac¸o˜es de r e θ sa˜o determinadas na projec¸a˜o Dxy, enta˜o 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Considerando um ponto (x, y, z) no interior de W e pelo ponto uma paralela ao eixo z, vemos que a
essa paralela intercepta a fronteira inferior no plano xy, onde z = 0, e intercepta a fronteira superior
no parabolo´ide z = x2 + y2 onde z = r2. Enta˜o 0 ≤ z ≤ r2. Assim, a regia˜o transformada e´:
Wrθz =
{
(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ 2pi , 0 ≤ z ≤ r2} .
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 2
Como V (W ) =
∫∫∫
W
dV enta˜o:
V (W ) =
∫∫∫
Wrθz
r drdθdz
=
∫
2
0
r
∫ r2
0
∫
2pi
0
dθdzdr
= 2pi
∫
2
0
r
∫ r2
0
dzdr
= 2pi
∫
2
0
r · r2 dr
= 2pi
∫
2
0
r3 dr
= 2pi
[
r4
4
]2
0
= 8pi u.v.
O centro de massa de um so´lido homogeˆneo e´ dito centro´ide e como a densidade δ(x, y, z) e´ constante
ela pode ser cancelada e temos:
V (W )x =
∫∫∫
W
x dV
V (W ) y =
∫∫∫
W
y dV
V (W ) z =
∫∫∫
W
z dV .
Ca´lculo de
∫∫∫
W
x dV
Temos que: ∫∫∫
W
x dV =
∫∫
Dxy
x
∫ x2+y2
0
dzdxdy =
∫∫
Dxy
x
(
x2 + y2
)
dxdy = 0
pois a func¸a˜o x (x2 + y2) e´ ı´mpar na varia´vel x e Dxy tem simetria em relac¸a˜o ao eixo y. Logo,
x = 0.
Ca´lculo de
∫∫∫
W
y dV
Temos que: ∫∫∫
W
y dV =
∫∫
Dxy
y
∫ x2+y2
0
dzdxdy =
∫∫
Dxy
y
(
x2 + y2
)
dxdy = 0 ,
pois a func¸a˜o y (x2 + y2) e´ ı´mpar na varia´vel y e Dxy tem simetria em relac¸a˜o ao eixo x. Logo,
y = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 3
Ca´lculo de
∫∫∫
W
z dV
Temos que: ∫∫∫
W
z dV =
∫∫∫
Wrθz
zr drdθdz
=
∫
2
0
r
∫ r2
0
z
∫
2pi
0
dθdzdr
= 2pi
∫
2
0
r
∫ r2
0
z dzdr
= 2pi
∫
2
0
r
[
z2
2
]r2
0
dr
= pi
∫
2
0
r · r4 dr
= pi
∫
2
0
r5 dr
= pi
[
r6
6
]2
0
=
32pi
3
.
Logo,
8piz =
32pi
3
donde
z =
4
3
.
Portanto, o centro´ide localiza-se em (0, 0, 4/3).
Exerc´ıcio 2: Um so´lido W e´ limitado pelo cone z =
√
x2 + y2, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo
plano xy. Ache:
a) seu volume; b) seu centro´ide.
Soluc¸a˜o:
a) De z =
√
x2 + y2 e x2 + y2 = 4, temos z = 2. Logo, a intersec¸a˜o do cone z =
√
x2 + y2
com o cilindro ocorre no plano z = 2. O esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
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Ca´lculo IV EP5 – Tutor 4
x
y
z
W
2
2
2
Como o so´lido W e´ limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4, vamos aplicar coordenadas cil´ındricas:


x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
dV = r drdθdz
x2 + y2 = r2
.
Como a projec¸a˜o de W sobre o plano xy e´ o disco x2 + y2 ≤ 4 enta˜o 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Por um ponto (x, y, z) no interior de W trac¸amos uma paralela ao eixo z. Esta paralela intercepta
a fronteira inferior no plano xy, onde z = 0, e em seguida intercepta a fronteira superior no cone
z =
√
x2 + y2 onde z = r. Logo, 0 ≤ z ≤ r. Assim, o novo so´lido, em coordenadas cil´ındricas e´
dado por:
Wrθz =


0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ z ≤ r
.
Como V (W ) =
∫∫∫
W
dV enta˜o:
V (W ) =
∫∫∫
Wrθz
r drdθdz =
∫
2
0
r
∫ r
0
∫
2pi
0
dθdzdr = 2pi
∫
2
0
r
∫ r
0
dzdr = 2pi
∫
2
0
r · r dr =
= 2pi
∫
2
0
r2 dr = 2pi
[
r3
3
]2
0
=
16pi
3
u.v.
b) Como o so´lido W e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo z enta˜o o centro´ide (x, y, z) esta´ no eixo z.
Logo, x = y = 0 (este fato e´ va´lido para o caso de so´lido homogeˆneo). Temos que:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 5
V (W ) z =
∫∫∫
W
z dV
=
∫∫∫
Wrθz
zr drdθdz
=
∫
2
0
r
∫ r
0
z
∫
2pi
0
dθdzdr
= 2pi
∫
2
0
r
∫ r
0
z dzdr
= 2pi
∫
2
0
r
[
z2
2
]r
0
dr
= 2pi
∫
2
0
r
r2
2
dr
= pi
∫
2
0
r3 dr
= pi
[
r4
4
]2
0
= 4pi
ou,
16pi
3
z = 4pi
donde
z =
3
4
.
Logo, o centro´ide localiza-se em (0, 0, 3/4).
Exerc´ıcio 3: Um so´lido W e´ limitado pelas superf´ıcies z = x2 +y2, x2 +y2 = 2y, com x ≥ 0, x = 0
e z = 0.
a) Ache o seu volume.
b) Ache a sua massa, se a densidade e´ dada por δ(x, y, z) = x.
Soluc¸a˜o:
a) Inicialmente, trac¸amos o parabolo´ide z = x2 + y2, em seguida trac¸amos o cilindro x2 + y2 = 2y
ou x2 + (y − 1)2 = 1 com x ≥ 0. Observamos que A = (0, 0, 0) e B = (0, 2, 4) sa˜o pontos comuns
a`s duas superf´ıcies. Liguemos A e B por uma curva que representa a intersec¸a˜o do parabolo´ide com
o cilindro. Considerando que W e´ limitado pelos planos x = 0 e z = 0, temos o esboc¸o de W na
figura que se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 6
x
y
z
W
A
B
2
4
Temos que V (W ) =
∫∫∫
W
dV . Em coordenadas cartesianas esta integral na˜o sera´ nada fa´cil.
Conve´m fazer uma transformac¸a˜o a coordenadas cil´ındricas pois W esta´ limitado por superf´ıcies que
aparecem termos x2 + y2. Temos enta˜o:


x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
dV = r drdθdz
x2 + y2 = r2
.
A projec¸a˜o de W sobre o plano xy e´ o semidisco D : x2 + y2 ≤ 2y, com x ≥ 0.
x
y
D
2
1
Efetuando uma “varredura” emD, no sentido anti-hora´rio, vemos que 0 ≤ θ ≤ pi/2. De x2+y2 = 2y,
temos r2 = 2r sen θ donde r = 0 ou r = 2 sen θ. Enta˜o 0 ≤ r ≤ 2 sen θ. Seja (x, y, z) no interior
de W . Por este ponto trac¸amos uma paralela ao eixo z que intercepta a fronteira inferior no plano
xy onde z = 0, e intercepta a fronteira superior no parabolo´ide z = x2 + y2, onde z = r2. Logo,
0 ≤ z ≤ r2. Portanto, temos:
W =
{
(r, θ, z) | 0 ≤ θ ≤ pi/2 , 0 ≤ r ≤ 2 sen θ , 0 ≤ z ≤ r2} .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 7
Como V (W ) =
∫∫∫
W
dV enta˜o:
V (W ) =
∫∫∫
Wrθz
r drdθdz =
∫ pi/2
0
∫
2 sen θ
0
r
∫ r2
0
dzdrdθ =
∫ pi/2
0
∫
2 sen θ
0
r3 drdθ =
=
∫ pi/2
0
[
r4
4
]2 sen θ
0
dθ = 4
∫ pi/2
0
sen4 θ dθ = 4
∫ pi/2
0
(
1− cos 2θ
2
)2
dθ =
=
∫ pi/2
0
(
1− 2 cos 2θ + cos2 2θ) dθ =
∫ pi/2
0
dθ −
∫ pi/2
0
(
cos 2θ − 1
2
cos2 2θ
)
2 dθ =
=
[
θ
]pi/2
0
−
[
sen 2θ − 1
4
(
2θ +
sen 4θ
2
)]pi/2
0
=
pi
2
+
pi
4
=
3pi
4
u.v.
b) A massa M e´ dada por:
M =
∫∫∫
W
δ(x, y, z) dV
=
∫∫∫
W
x dV
=
∫∫∫
Wrθz
(r cos θ)r drdθdz
=
∫∫∫
Wrθz
r2 cos θ drdθdz
=
∫ pi/2
0
cos θ
∫
2 sen θ
0
r2
∫ r2
0
dzdrdθ
=
∫ pi/2
0
cos θ
∫
2 sen θ
0
r4 drdθ
=
∫ pi/2
0
cos θ
[
r5
5
]2 sen θ
0dθ
=
32
5
∫ pi/2
0
cos θ sen5 θ dθ
=
32
5
[
sen6 θ
6
]pi/2
0
=
16
15
u.m.
Exerc´ıcio 4: Ache o volume do so´lido W exterior ao cone z2 = x2 + y2 e interior a` esfera
x2 + y2 + z2 = 1.
Soluc¸a˜o: De z2 = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 1 temos que x2 + y2 =
1
2
e z2 =
1
2
ou z = ±
√
2
2
. Isto
significa que as duas superf´ıcies se interceptam nos planos horizontais z =
√
2
2
e z = −
√
2
2
, segundo
a circunfereˆncia x2 + y2 =
1
2
. O esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 8
x
y
z
W
ρ = 0
ρ = 1
pi/4
−√2/2
√
2/2
1
1
1
Temos que V (W ) =
∫∫∫
W
dV . Como o so´lido W e´ limitado por uma esfera, conve´m calcular o
volume aplicando coordenadas esfe´ricas:


x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ sen θ
z = ρ cosφ
dV = ρ2 senφ dρdφdθ
x2 + y2 + z2 = ρ2
.
A esfera x2 +y2 +z2 = 1 se transforma em ρ2 = 1 donde ρ = 1. Logo, 0 ≤ ρ ≤ 1. Como a projec¸a˜o
de W sobre o plano xy e´ o disco x2 + y2 ≤ 1 enta˜o 0 ≤ θ ≤ 2pi. Efetuando uma “varredura” em
W , a partir do eixo z positivo, vemos que pi/4 ≤ φ ≤ 3pi/4. Assim, a regia˜o W em coordenadas
esfe´ricas e´:
Wρφθ =


0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ ρ ≤ 1
pi/4 ≤ φ ≤ 3pi/4
.
Logo,
V (W ) =
∫∫∫
Wρφθ
ρ2 senφ dρdφdθ =
∫
1
0
ρ2
∫
3pi/4
pi/4
senφ
∫
2pi
0
dθdφdρ = 2pi
∫
1
0
ρ2
∫
3pi/4
pi/4
senφ dφdρ =
= 2pi
∫
1
0
ρ2
[− cosφ]3pi/4
pi/4
dρ = 2pi
(
cos
pi
4
− cos 3pi
4
)∫ 1
0
ρ2 dρ = 2pi
2
√
2
2
[
ρ3
3
]1
0
=
2
√
2pi
3
u.v.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 9
Exerc´ıcio 5: Ache o volume do so´lidoW comum a`s duas esferas x2+y2+z2 = 4 e x2+y2+z2 = 4z.
Soluc¸a˜o: De x2 + y2 + z2 = 4 e x2 + y2 + z2 = 4z (ou x2 + y2 + (z − 2)2 = 4) temos z = 1.
Isto significa que as esferas se interceptam no plano z = 1 segundo a circunfereˆncia x2 + y2 = 3. O
esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
W
√
3
1
2
2
2
4
Como o so´lido W e´ limitado por esferas, vamos aplicar coordenadas esfe´ricas:


x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ sen θ
z = ρ cosφ
dV = ρ2 senφ dρdφdθ
x2 + y2 + z2 = ρ2
.
A esfera x2 + y2 + z2 = 4 se transforma em ρ2 = 4 ou ρ = 2. A esfera x2 + y2 + z2 = 4z se
transforma em ρ2 = 4ρ cosφ ou ρ = 4 cosφ. Seja P = (x, y, z) no interior de W . Se P esta´ situado
acima do cone φ = pi/3 e ligando-o a` origem O vemos que a semireta OP intercepta a fronteira do
so´lido primeiramente na origem, onde ρ = 0 e em seguida na esfera x2 + y2 + z2 = 4 onde ρ = 2.
Logo, 0 ≤ ρ ≤ 2. Se P esta´ situado abaixo do cone φ = pi/3, vemos que a semireta OP intercepta
a fronteira de W primeiramente na origem, onde ρ = 0 e em seguida na esfera x2 + y2 + z2 = 4z,
onde ρ = 4 cosφ. Enta˜o, 0 ≤ ρ ≤ 4 cosφ. Portanto, devemos dividir W em duas regio˜es W1 e W2:
W = W1 ∪W2, onde W1 e´ a porc¸a˜o de W acima do cone φ = pi/3 e W2 e´ a porc¸a˜o de W que esta´
abaixo do cone φ = pi/3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 10
x
y
z
W1
W2
ρ = 0
ρ = 2
ρ = 4 cosφ
φ = pi/3
Efetuando uma “varredura” em W1 a partir do eixo z positivo, vemos que 0 ≤ φ ≤ pi/3 e efetuando
uma “varredura” em W2 a partir de φ = pi/3, vemos que pi/3 ≤ φ ≤ pi/2. Projetando W1 e W2
sobre o plano xy, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2pi. Enta˜o:
W1ρφθ =


0 ≤ ρ ≤ 2
0 ≤ φ ≤ pi/3
0 ≤ θ ≤ 2pi
W2ρφθ =


0 ≤ ρ ≤ 4 cosφ
pi/3 ≤ φ ≤ pi/2
0 ≤ θ ≤ 2pi
.
Logo:
V (W ) = V (W1) + V (W2) =
∫∫∫
W1
dV +
∫∫∫
W2
dV =
=
∫∫∫
W1ρφθ
ρ2 senφ dρdφdθ +
∫∫∫
W2ρφθ
ρ2 senφ dρdφdθ =
=
∫ pi/3
0
senφ
∫
2
0
ρ2
∫
2pi
0
dθdρdφ +
∫ pi/2
pi/3
senφ
∫
4 cosφ
0
ρ2
∫
2pi
0
dθdρdφ =
= 2pi
∫ pi/3
0
senφ
∫
2
0
ρ2 dρdφ+ 2pi
∫ pi/2
pi/3
senφ
∫
4 cosφ
0
ρ2 dρdφ =
= 2pi
∫ pi/3
0
senφ
[
ρ3
3
]2
0
dφ+ 2pi
∫ pi/2
pi/3
senφ
[
ρ3
3
]4 cosφ
0
dφ =
=
16pi
3
∫ pi/3
0
senφdφ+
128pi
3
∫ pi/2
pi/3
senφ cos3 φ dφ =
16pi
3
[− cosφ]pi/3
0
+
128pi
3
[
−cos
4 φ
4
]pi/2
pi/3
=
=
16pi
3
(
1− 1
2
)
+
32pi
3
(
1
16
− 0
)
=
8pi
3
+
2pi
3
=
10pi
3
u.v.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 11
Exerc´ıcio 6: Transforme I =
∫∫∫
W
f(x, y, z) dV para coordenadas cil´ındricas quando o so´lido W e´
limitado pelas superf´ıcies:
a) z = 4−
√
x2 + y2, com x2 + y2 = 4 e z = 0;
b) x2 + y2 + z2 = 25, com 3 ≤ z ≤ 4, x2 + y2 = 16, 0 ≤ z ≤ 3, z = 0 e z = 4.
Soluc¸a˜o:
a) De z = 4 −
√
x2 + y2 e x2 + y2 = 4 temos z = 2. Isto significa que a intersec¸a˜o do cone
z = 4−
√
x2 + y2 com o cilindro x2 +y2 = 4 ocorre no plano z = 2 e e´ a circunfereˆncia x2 +y2 = 4.
Assim, o esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
W
2
2
2
4
As coordenadas cil´ındricas sa˜o: 

x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
dV = r drdθdz
x2 + y2 = r2
.
A equac¸a˜o do cone z = 4 −
√
x2 + y2 em coordenadas cil´ındricas e´ z = 4 − r e a do cilindro
x2 + y2 = 4 e´ r = 2. Projetando W sobre o plano xy, encontramos o disco x2 + y2 ≤ 4. Logo,
0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2pi. Por um ponto (x, y, z) do interior de W consideramos uma paralela ao
eixo z que vemos que intercepta a fronteira inferior no plano xy onde z = 0 e intercepta a fronteira
superior no cone z = 4 −
√
x2 + y2 ou z = 4 − r. Logo, 0 ≤ z ≤ 4 − r. Assim, a regia˜o W em
coordenadas cil´ındricas e´:
Wrθz = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ 2pi , 0 ≤ z ≤ 4− r} .
Enta˜o:
I =
∫∫∫
Wrθz
f (r cos θ, r sen θ, z) r drdθdz =
∫
2
0
∫
2pi
0
∫
4−r
0
f (r cos θ, r sen θ, z) r dzdθdr .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 12
b) De x2 + y2 + z2 = 25 e x2 + y2 = 16 temos que z2 = 9, donde z = 3 pois z > 0. Isto significa
que estas duas suerf´ıcies se interceptam no plano z = 3, segundo a circunfereˆncia x2 + y2 = 16.
Considerando que o so´lido e´ limitado pela porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 25, 3 ≤ z ≤ 4, pelo
cilindro x2 + y2 = 16, 0 ≤ z ≤ 3 e pelos planos y = 0 e y = 4, temos o esboc¸o de W na figura que
se segue.
x
y
z
3
3
4
4 5
5
As coordenadas cil´ındricas sa˜o dadas por:


x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
dV = r drdθdz
x2 + y2 = r2
.
A equac¸a˜o da semi-esfera x2 +y2 + z2 = 25, com z ≥ 0 em coordenadas cil´ındricas e´ z = √25− r2.
A equac¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 16 em coordenadas cil´ındricas e´ r = 4. Para transformar W em
coordenadas cil´ındricas devemos dividir W em duas partes: W = W1 ∪W2, onde W1 e´ a regia˜o
limitada pelo cilindro x2+y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = 4 eW2 e´ a regia˜o limitada superiormente
pela porc¸a˜o da esfera, internamente pelo cilindro x2+y2 = 9, externamente pelo cilindro x2+y2 = 16
e inferiormente pelo anel circular 9 ≤ x2 + y2 ≤ 16, situado no plano xy. Assim, as regio˜es W1 e
W2 em coordenadas cil´ındricas sa˜o:
W1rθz = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 3 , 0 ≤ θ ≤ 2pi , 0 ≤ z ≤ 4}
W2rθz =
{
(r, θ, z) | 3 ≤ r ≤ 4 , 0 ≤ θ ≤ 2pi , 0 ≤ z ≤ √25− r2} .
Enta˜o:
I =
∫∫∫
W1rθz
f (r cos θ, r sen θ, z) r drdθdz +
∫∫∫
W2rθz
f (r cos θ, r sen θ, z) r drdθdz
=
∫
3
0
∫
2pi
0
∫
4
0
f (r cos θ, r sen θ, z) r dzdθdr +
∫
4
3
∫
2pi
0
∫ √
25−r2
0
f (r cos θ, r sen θ, z) r dzdθdr .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP5 – Tutor 13
Exerc´ıcio 7: Calcule a integral, transformando-a para coordenadas esfe´ricas:
I =
∫ √
2
0∫ √
4−x2
y
∫ √
4−x2−y2
0
√
x2 + y2 + z2 dzdxdy .
Soluc¸a˜o: Temos que
I =
∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2 dxdydz
onde
W =
{
(x, y, z) | (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤
√
4− x2 − y2
}
,
com Dxy =
{
(x, y) | 0 ≤ y ≤ √2 , y ≤ x ≤
√
4− y2
}
, que representa a projec¸a˜o de W sobre o
plano xy. Vemos que Dxy esta´ contida na faixa horizontal 0 ≤ y ≤
√
2 e esta´ limitada a` esquerda
pela reta y = x e a` direita por um arco de circunfereˆncia x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Temos enta˜o:
x
y
Dxy
y = x
√
2
2
Como 0 ≤ z ≤
√
4− x2 − y2, enta˜o W e´ limitado inferiormente pelo plano z = 0 (plano xy)
e e´ limitado superiormente pela superf´ıcie z =
√
4− x2 − y2 ou x2 + y2 + z2 = 4, com z ≥ 0.
Considerando que Dxy e´ a projec¸a˜o de W sobre o plano xy, temos o esboc¸o do gra´fico na figura que
se segue.
x
y
z
W
A(
√
2 ,
√
2 , 0)
B(0, 0, 2)
2
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Ca´lculo IV EP5 – Tutor 14
Efetuando uma “varredura” a partir do eixo z positivo, vemos que 0 ≤ φ ≤ pi/2. Como a variac¸a˜o
de θ e´ olhada na projec¸a˜o de W sobre o plano xy, enta˜o 0 ≤ θ ≤ pi/4. Por um ponto P = (x, y, z)
no interior de W consideramos a semi-reta OP que corta a fronteira de W na origem, onde ρ = 0 e
em seguida na esfera x2 + y2 + z2 = 4, onde ρ = 2. Logo, 0 ≤ ρ ≤ 2. Assim, a descric¸a˜o de W em
coordenadas esfe´ricas e´:
Wρφθ = {(ρ, φ, θ) | 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ φ ≤ pi/2 , 0 ≤ θ ≤ pi/4} .
Enta˜o:
I =
∫∫∫
Wρφθ
√
ρ2ρ2 senφ dρdφdθ
=
∫
2
0
ρ3
∫ pi/2
0
senφ
∫ pi/4
0
dθdφdρ
=
pi
4
∫
2
0
ρ3
∫ pi/2
0
senφ dφdρ
=
pi
4
∫
2
0
ρ3
[− cosφ]pi/2
0
dρ
=
pi
4
(1− 0)
∫
2
0
ρ3 dρ
=
pi
4
[
ρ4
4
]2
0
= pi .
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