tema 5 5

Prévia do material em texto

05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/8
Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e
a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos
planos coordenados e pelo plano   , sabendo que a densidade do sólido é    .
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202312036621_TEMAS
Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.4 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS TRIPLAS
 
1.
1.
Data Resp.: 05/01/2024 16:40:55
Explicação:
Desenhando os limites de integração:
x + y + z = 2 ρ(x, y, z) = 2x
.4
3
.5
3
.1
3
.2
3
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/8
Determine o valor de 
Onde
Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta   .Para um
ponto (x,y)  determinado, a variável z, varia:
A massa é dada por:
Logo,
 
2.
60
30
50
70
40
Data Resp.: 05/01/2024 16:41:41
Explicação:
0 ≤ x ≤ 2
xy y = 2 −  x 
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
m = ∭
W
ρ(x, y, z)dV = ∭
W
2xdV = ∫ 20 ∫
2−x
0 ∫
2−x−y
0 2xdzdydx = ∫
2
0 ∫
2−x
0 2xz
∣∣
2−x−y
0
dydx =
= ∫
2
0
∫
2−x
0
2x(2 − x − y)dydx = ∫
2
0
∫
2−x
0
(4x − 2x2 − 2xy) dydx = ∫
2
0
(4x − 2x2 − 2x( ))
∣
∣∣
∣
2−x
0
dx
= ∫
2
0
(4x − 2x2 − 2x( )) dx = ∫
2
0
(x3 − 4x2 + 4x) dx = ( − − 2x2)
∣
∣
∣
2
0
=
y2
2
(2 − x)2
2
x4
4
4x3
3
4
3
m = 4
3
1
∫
3
1
∫
−1
2
∫
0
 (x + 2y − 3z)dxdydz
05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/8
A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos de inércia.
Determine o centro de massa do cubo   , cuja densidade no ponto  é 
.
A resposta correta é: 40
 
3.
Data Resp.: 05/01/2024 16:42:37
Explicação:
As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:
Onde   são os momentos e   é a massa total do sólido. 
Calculando a massa  , para um cubo 
Calculando os momentos:
Voltando para o cálculo do centro de massa:
Logo,
0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1,  0 ≤ z ≤ 1 (x, y, z)
ρ(x, y, z) = x
( , , ) .2
3
2
3
2
3
( , , ) .2
3
2
3
1
2
( , , ) .1
2
2
3
1
2
( , , ) .1
2
1
2
1
2
( , , ) .2
3
1
2
1
2
x̄ = ; ȳ = ; z̄ =
Myz
m
Mxz
m
Mxy
m
M m
m 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
m = ∭
W
ρ(x, y, z)dV = ∭
W
xdV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xdxdydz = ∫
1
0
∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dydz = ∫
1
0
∫
1
0
dydz =
m = ∫
1
0
y
∣
∣
∣
1
0
dz = ∫
1
0
dz = z
∣
∣
∣
1
0
=
x2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Myz = ∭
W
xρ(x, y, z)dV = ∭
W
x2dV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xdxdydz = ∫
1
0
∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dydz = ∫
1
0
∫
1
0
dydz =
Mxy = ∭
W
zρ(x, y, z)dV = ∭
W
xzdV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xzdxdzdy = ∫
1
0
∫
1
0
z
∣
∣
∣
1
0
dzdy = ∫
1
0
∫
1
0
zdzdy =
= ∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
dy =
Mxz = ∭
W
yρ(x, y, z)dV = ∭
W
xydV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0
xydxdzdy = ∫
1
0
∫
1
0
y
∣
∣
∣
1
0
dydz = ∫
1
0
∫
1
0
ydydz =
= ∫
1
0
∣
∣
∣
1
0
dz = ∫
1
0
dz =
x3
3
1
3
1
3
x2
2
1
2
1
2
z2
2
1
4
1
4
x2
2
1
2
1
2
y2
2
1
4
1
4
x̄ = = =
Myz
m
1/3
1/2
2
3
ȳ = = =
z̄ = = =
Mxz
m
1/4
1/2
1
2
Mxy
m
1/4
1/2
1
2
05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/8
A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de  
, sabendo que  compreende a região contida dentro do cilindro  , acima do plano   e
abaixo do cone  .
 
4.
Data Resp.: 05/01/2024 16:43:26
Explicação:
Transformando em coordenadas cilíndricas:
De�nindo os limites de integração: 
Sabemos que  e que a região está dentro do cilindro   , logo:
Como a região está entre o plano   e abaixo do cone   , temos:
Como não temos restrição para o ângulo  :
Montando a integral,
Calculando a integral, temos:
(x̄, ȳ , z̄) = ( , , )2
3
1
2
1
2
∭
E
x2dV E x2 + y2 = 1 z = 0
z2 = 4x2 + 4y2
.5π2
.π
5
π.
.2
5
.2π
5
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
x = r cos θy = r sen θ x2 + y2 = 1
x2 + y2 ≤ 1
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 1
r2(cos2 θ + sen2 θ)

1
≤ 1
0 ≤ r ≤ 1
z = 0 z2 = 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4(r cos θ)2 + 4(r sen θ)2
0 ≤ z2 ≤ 4r2(cos2 θ + sen2 θ)

1
0 ≤ z ≤ 2r
θ
0 ≤ θ ≤ 2π
∭
E
x2dV = ∫ 2π0 ∫
1
0 ∫
2r
0 (r cos θ)
2rdzdrdθ
∭
E
x2dV = ∫
2π
0
∫
1
0
∫
2r
0
(r cos θ)2rdzdrdθ
dV
= ∫
2π
0
∫
1
0
∫
2r
0
r3 cos2 θdzdrdθ
= ∫
2π
0
∫
1
0
2r4 cos2 θdrdθ = 2( )
∣
∣
∣
1
0
⋅ ( )∣∣
∣
2π
0
π
=
r5
5
2
5
θ + sen θ + cos θ
2
2π
5
05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/8
Determine o volume do sólido de�nido pelo cilindro parabólico   e pelos planos x = 4, z
= 6 e z = 0. 
Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies
bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral 
Logo,
 
5.
128
32
16
64
256
Data Resp.: 05/01/2024 16:43:48
Explicação:
A resposta correta é: 64.
 
6.
Data Resp.: 05/01/2024 16:43:54
Explicação:
Integrando de dentro para fora.
Primeiro, integrando em relação ao u:
Como a derivada de   pela regra da cadeia é:
Voltado a integral:
Segundo, integrando em relação ao v:
Terceiro, integrando em relação ao w:
∭
E
x2dV = 2π
5
x  = y2
∫ π0 ∫
π
0 ∫
π
0 cos(u + v + w)dudvdw.
0.
π.
2π.
.3π
2
.π
2
∫ π0 ∫
π
0 ∫
π
0 cos(u + v + w)dudvdw = ∫
π
0 ∫
π
0 [sen(u + v + w)]∣∣
u=π
u=0
dvdw
sen(u + v + w)
(sen(u + v + w))′ = cos(u + v + w) ⋅ (u + v + w)′ = cos(u + v + w) ⋅ (1 + 0 + 0) =
= cos(u + v + w)
= ∫ π0 ∫
π
0 [sen(u + v + w)]∣∣
u=π
u=0
dvdw = ∫ π0 ∫
π
0 sen(u + v + w) − sen(v + w)dvdw
∫
π
0
∫
π
0
[sen(u + v + w) − sen(v + w)]dvdw = ∫
π
0
[− cos(π + v + w) + cos(v + w)]
∣
∣
∣
v=π
v=0
dw =
= ∫
π
0
[− cos(2π + w) + cos(π + w) − (− cos(π + w) + cos(w))]dw =
= ∫
π
0
− cos(2π + w) + 2 cos(π + w) − cos(w)dw
05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/8
Determine o valor da integral , onde V está contido na região de�nida por 
.  
A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o
volume  , sabendo que  compreende a região contida dentro do cilindro   e entre
os planos  e  .
Sabendo que   para qualquer 
Logo:
Portanto,
Logo, 
 
7.
Data Resp.: 05/01/2024 16:44:07
Explicação:
A resposta correta é: 
 
8.
Data Resp.: 05/01/2024 16:44:19
Explicação:
Transformando em coordenadas cilíndricas:
De�nindo os limites de integração:
Sabemos que  e que  , e que a região está dentro do cilindro  , logo:
∫
π
0
− cos(2π + w) + 2 cos(π + w) − cos(w)dw = [− sen(2π + w) + 2 sen(π + w) − sen(w)]|w=πw=0 =
= [− sen(3π) + 2 sen(2π) − sen(π) − (− sen(2π) + 2 sen(π) − sen(0))] =
sen(kπ) = 0 k ∈ Z
sen(3π) = sen(2π) = sen(π) = sen(0) = 0
= [− sen(3π) + 2 sen(2π) − sen(π) − (− sen(2π) + 2 sen(π) − sen(0))] = 0
∫ π0 ∫
π
0 ∫
π
0 cos(u + v + w)dudvdw = 0
∭
V
 64z dxdydz
{(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤  e 0 ≤ φ ≤ }π
4
π
4
10π
20π
30π
15π
25π
15π
∭
E
√x2 + y2dV E x2 + y2 = 16
z = −5 z = 4
484π.
384π.
184π.
284π.
84π.
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
x = r cos θ y = r sen θ x2 + y2 = 16
05/01/2024, 16:45Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/8
Marque a alternativa que apresenta a integral   em coordenadas cilíndricas,
onde V é o sólido limitado inferiormente pelo cone    e superiormente pelo
paraboloide 
 
Como não temos restrição para o ângulo :
Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é (r):
Calculando a integral, temos:
Logo, 
 
9.
Data Resp.: 05/01/2024 16:44:30
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
x2 + y2 ≤ 16
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 16
r2(cos2 θ + sen2 θ)

0≤r≤4
≤ 42
θ
0 ≤ θ ≤ 2π
∭
E
√x2 + y2dV = ∫ 4−5 ∫
2π
0 ∫
4
0 (r)rdrdθdz
dV
∫
4
−5
∫
2π
0
∫
4
0
r2drdθdz = ∫
4
−5
∫
2π
0
∣
∣
∣
4
0
dθdz = ∫
4
−5
∫
2π
0
dθdz = ∫
4
−5
θ
∣
∣
∣
2π
0
dz = ∫
4
−5
(2π)dz =
= ∫
4
−5
dz = z
∣
∣
∣
4
−5
= (4 + 5) = 384π
r3
3
64
3
64
3
64
3
128π
3
128π
3
128π
3
∭
E
√x2 + y2dV = 384π
∭
V
 e(x
2+y2)3/2dV
z2  = x2 + y2
z  = 4 − x2 − y2
π
∫
0
1
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
3
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρ2eρ
3
 senθ dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρ3 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
4
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 eρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
05/01/2024, 16:45 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/8
Seja o sólido limitado pelos planos  e pelo paraboloide . Sabe-se que sua
densidade volumétrica de massa é dada pela equação . Marque a alternativa
que apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. 
Data Resp.: 05/01/2024 16:44:43
Explicação:
A resposta correta é: 
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 05/01/2024 16:40:40.
z  = 9 z  = 25 − x2 − y2
δ (x, y, z)  = x2y2
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 x2y2dxdydz
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
5
∫
−5
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dxdydz
4
∫
0
√16−x2
∫
0
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
0
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx