Forças e Trabalho em Cálculo

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AD2 – Tutor
Questa˜o 1 [2,5 pts]: O campo vetorial
−→
F (x, y) = (cxy, x6y2), com c > 0 age sobre uma part´ıcula
transladando-a desde a origem de coordenadas ate´ o ponto (1, a) seguindo a curva y = axb, com
a > 0 e b > 0. Ache a em func¸a˜o de c, sabendo que o trabalho realizado por
−→
F (x, y) na˜o depende
de b.
Soluc¸a˜o: O trabalho W realizado pela forc¸a
−→
F sobre a part´ıcula desde a origem (0, 0) ate´ (1, a)
seguindo a curva y = axb se expressa por:
W =
∫
C
−→
F · d−→r .
Para calcular essa integral necessitamos parametrizar a curva C. Fazendo x = t temos y = atb
e a equac¸a˜o vetorial da curva sera´ γ(t) =
(
t, atb
)
, com 0 ≤ t ≤ 1. A derivada de γ(t) e´
γ′(t) =
(
1, abtb−1
)
. Enta˜o:
W =
∫
1
0
−→
F (γ(t)) · γ′(t) dt =
∫
1
0
−→
F
(
t, atb
) · γ′(t) dt =
∫
1
0
(
ctatb, t6a2t2b
) · (1, abtb−1) dt =
=
∫
1
0
(
actb+1 + a3bt3b+5
)
dt =
[
ac
tb+2
b+ 2
+ a3b
t3b+6
3b+ 6
]1
0
=
ac
b+ 2
+
a3b
3(b+ 2)
=
3ac+ a3b
3(b+ 2)
=
a
(
3c+ a2b
)
3(b+ 2)
.
Logo:
W (a, b, c) =
a
(
3c+ a2b
)
3(b+ 2)
.
Se o trabalho W na˜o depende de b enta˜o
∂W
∂b
= 0, isto e´,
a
3
· a
2(b+ 2)− (3c+ a2b)
(b+ 2)2
= 0
ou
a2b + 2a2 − 3c− a2b = 0
ou 2a2 = 3c donde a =
√
3c/2 .
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Seja
−→
F (x, y) =
(
2 arctg
y
x
− y, ln(x2 + y2)
)
, com x, y ≥ 0.
a)
−→
F e´ conservativo? Porqueˆ?
b) Calcule
∫
C
−→
F · d−→r donde C e´ dada por γ(t) = (4 + 2 cos t, 4 + sen t), com 0 ≤ t ≤ 2pi.
Ca´lculo IV AD2 – Tutor 2
Soluc¸a˜o:
a) Temos
P (x, y) = 2 arctg
y
x
− y
Q(x, y) = ln(x2 + y2)
∂Q
∂x
=
2x
x2 + y2
∂P
∂y
= 2 ·
1
x
1 + y
2
x2
− 1 = 2 ·
1
x
x2+y2
x2
− 1 = 2x
x2 + y2
− 1
donde
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1 6= 0. Logo −→F na˜o e´ conservativo.
b) O ca´lculo direto dessa integral parece uma tarefa imposs´ıvel, mas o teorema de Green fornece um
outro caminho.
Vamos graficar a curva C : γ(t) = (4 + 2 cos t, 4 + sen t), com 0 ≤ t ≤ 2pi. Temos x = 4 + 2 cos t e
y = 4 + sen t ou
x− 4
2
= cos t e y − 4 = sen t donde (x− 4)
2
4
+ (y − 4)2 = 1 que e´ uma elipse onde
a = 2 e b = 1.
x
y
C
D
2 6
3
4
4
5
Seja D ⊂ R2 a regia˜o compacta cuja fronteira e´ a elipse C. Enta˜o, aplicando o teorema de Green
temos:∫
C
−→
F · d−→r =
∫
C
P dx + Q dy =
∫∫
D
[
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
]
dxdy =
∫∫
D
1 dxdy =
∫∫
D
dxdy = A(D) =
= piab = pi · 2 · 1 = 2pi .
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Seja
−→
F (x, y) =
(
2x
y2 + 1
,
−2y(x2 + 1)
(y2 + 1)2
)
.
a) A integral
∫
C
−→
F · d−→r e´ independente do caminho? Porqueˆ?
b) Calcule
∫
C
−→
F · d−→r onde C esta´ parametrizada por x = t3 − 1 e y = t6 − t, com 0 ≤ t ≤ 1.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV AD2 – Tutor 3
Soluc¸a˜o:
a) Temos
P (x, y) =
2x
y2 + 1
Q(x, y) =
−2y(x2 + 1)
(y2 + 1)2
∂Q
∂x
=
−4xy
(y2 + 1)2
∂P
∂y
=
−4xy
(y2 + 1)2
Como
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
e
−→
F e´ de classe C1 em seu dom´ınio D = R2, que e´ um conjunto simplesmente
conexo, enta˜o pelo teorema das equivaleˆncias afirmamos que
∫
C
−→
F ·d−→r e´ independente do caminho.
b) Tambe´m pelo teorema das equivaleˆncias, afirmamos que
−→
F e´ conservativo. Portanto, existe uma
func¸a˜o potencial ϕ tal que ∇ϕ = −→F em R2, isto e´,
∂ϕ
∂x
=
2x
y2 + 1
(1)
∂ϕ
∂y
=
−2y(x2 + 1)
(y2 + 1)2
(2)
Integrando (1) em relac¸a˜o a x temos
ϕ(x, y) =
x2
y2 + 1
+ f(y) (3)
onde f(y) e´ uma “constante” de integrac¸a˜o. Derivando (3) em relac¸a˜o a y temos
−2x2y
(y2 + 1)2
+ f ′(y) =
−2y(x2 + 1)
(y2 + 1)2
=
−2x2y
(y2 + 1)2
− 2y
(y2 + 1)2
ou f ′(y) =
−2y
(y2 + 1)2
= −2y(y2 + 1)−2 donde f(y) = (y2 + 1)−1 = 1
y2 + 1
+ c . Logo, fazendo
c = 0 e substituindo em (3), temos ϕ(x, y) =
x2
y2 + 1
+
1
y2 + 1
.
Para t = 0 temos (x, y) = (−1, 0) e para t = 1 temos (x, y) = (0, 0). Enta˜o, pelo teorema
fundamental do ca´lculo para integrais de linha temos:
∫
C
−→
F · d−→r = ϕ(0, 0)− ϕ(−1, 0) = (0 + 1)− (1 + 1) = −1 .
Questa˜o 4 [2,5 pts]: O cilindro x2 + y2 = x divide a esfera S : x2 + y2 + z2 = 1 em duas regio˜es
S1 e S2 onde S1 esta´ no interior do cilindro e S2 fora. Ache a raza˜o das a´reas
A(S2)
A(S1)
.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S1 = S3 ∪ S4 ∪ S5 ∪ S6 esta´ representado na figura que se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV AD2 – Tutor 4
x y
z
S3S4
S5
S6
1
1
x
y
D
1
Por simetria temos A(S3) = A(S4) = A(S5) = A(S6). Enta˜o A(S1) = 4A(S3) onde S3 e´ dada por:
S3 : ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ,
√
1− r2)
com (r, θ) ∈ D : 0 ≤ θ ≤ pi/2 , 0 ≤ r ≤ cos θ. Temos:
A(S3) =
∫∫
D
∣∣∣∣ϕr × ϕθ∣∣∣∣ drdθ
onde
ϕr × ϕθ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
cos θ sen θ
−r√
1− r2
−r sen θ r cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(
r2 cos θ√
1− r2 ,
r2 sen θ√
1− r2 , r
)
donde ∣∣∣∣ϕr × ϕθ∣∣∣∣ =
√
r4
1− r2 + r
2 =
r√
1− r2 .
Enta˜o:
A(S3) =
∫∫
D
r√
1− r2 drdθ = −
1
2
∫ pi/2
0
∫
cos θ
0
(
1− r2)−1/2 (−2r) drdθ =
= −1
2
∫ pi/2
0
2
[(
1− r2)1/2]cos θ
0
dθ = −
∫ pi/2
0
(sen θ − 1) dθ = −
[
− cos θ − θ
]pi/2
0
=
=
[
cos θ + θ
]pi/2
0
=
(
cos
pi
2
+
pi
2
)
− (cos 0 + 0) = pi
2
− 1 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV AD2 – Tutor 5
Logo:
A(S1) = 4
(
pi
2
− 1
)
= 2pi − 4 .
Como a a´rea da esfera e´ igual a 4pi, enta˜o:
A(S2) = 4pi − (2pi − 4) = 2pi + 4 .
Assim:
A(S2)
A(S1)
=
2pi + 4
2pi − 4 .
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