AP3-CIV-2012-1-gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – CÁLCULO IV – 2012-1
Questão 1 [2 pontos] Use coordenadas polares para calcular a integral dupla
∫∫
D
e−x
2−y2dx dy,
sendo D o disco D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 ≤ 1}.
Solução: Solução: O esboço da região D está representado na figura que se segue.
Passando para coordenadas polares, vemos que x2 + y2 = r2 e dA = r drdθ.
Descrição de D em coordenadas polares
Efetuando uma “varredura” em D no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo vemos que
0 ≤ θ ≤ 2π. A equação x2 + y2 = 1 transforma-se em r2 = 1 ou r = 1. Assim, para θ fixo, fazemos r
crescer de r = 0 a r = 1. Logo Drθ é dado pelas desigualdades 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ r ≤ 1. Portanto:∫∫
D
e−(x
2+y2)dA =
∫∫
Drθ
e−r
2
r drdθ =
∫ 2π
0
∫ 1
0
e−r
2
r drdθ =
=
1
−2
∫ 2π
0
∫ 1
0
e−r
2
(−2r) drdθ = −1
2
∫ 2π
0
[
e−r
2]1
0
dθ = −1
2
(
e−1 − 1
) ∫ 2π
0
dθ =
(
1 − e−1
)
π .
Questão 2 [2 pontos] Verifique o teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado
para ~F (x, y) = −y~i + x~j e para D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 ≤ 1}.
Solução: O esboço de D é
Devemos mostrar que
∮
∂D+
~F · d~r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy.
Cálculo IV AP3 2
Cálculo de
∮
∂D+
~F · d~r .
Uma parametrização de ∂D+ é dada por
∂D+ :
x = cos ty = sen t 0 ≤ t ≤ 2π =⇒
dx = − sen t dtdy = cos t dt.
Então ∮
∂D+
~F · d~r =
∮
∂D+
−y dx + x dy
=
∫ 2π
0
[(− sen t)(− sen t) + (cos t)(cos t)] dt
=
∫ 2π
0
(
sen2 t + cos2 t
)
dt =
∫ 2π
0
dt = 2π. (1)
Cálculo de
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy.
Temos, ∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy =
∫∫
D
(
∂x
∂x
−
∂(−y)
∂y
)
dx dy
=
∫∫
D
2 dx dy = 2 A(D) = 2π. (2)
De (1) e (2), vemos que o teorema de Green está verificado.
Questão 3 [2 pontos] Seja ~F (x, y, z) = (3x2y2z, 2x3yz, x3y2 + ez).
(a) [0,5 ponto] ~F é conservativo em R3? Por quê?
(b) [0,7 ponto] Caso afirmativo, determine uma função potencial de ~F ;
(c) [0,8 ponto] Calcule
∫
C
~F · d~r , onde C é o segmento de reta que liga o ponto A = (1, 1, 1) ao
ponto B = (0, 2, 1).
Solução: (a) O campo ~F (x, y, z) = (3x2y2z, 2x3yz, x3y2 + ez) é de classe C1 em R3 que é um
conjunto simplesmente conexo. Além disso, temos
rot ~F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
3x2y2z 2x3yz x3y2 + ez
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (2x3y − 2x3y, 3x2y2 − 3x2y2, 6x2yz − 6x2yz)
= ~0 .
Logo, pelo teorema das equivalências temos que ~F é conservativo.
(b) Como ~F é conservativo, então existe uma função potencial ϕ(x, y, z), tal que
∂ϕ
∂x
= 3x2y2z (1)
∂ϕ
∂y
= 2x3yz (2)
∂ϕ
∂z
= x3y2 + ez (3)
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Cálculo IV AP3 3
Integrando (1), (2) e (3) em relação a x, y e z, respectivamente, obtemos
ϕ(x, y, z) = x3y2z + A(y, z)
ϕ(x, y, z) = x3y2z + B(x, z)
ϕ(x, y, z) = x3y2z + ez + C(x, y)
Para encontrarmos a mesma expressão para ϕ(x, y, z), devemos considerar A(y, z) = ez, B(x, z) = ez e
C(x, y) = 0. Assim, uma função potencial para o campo ~F é dada por
ϕ(x, y, z) = x3y2z + ez , (x, y, z) ∈ R3.
(c) Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos∫
C
~F · d~r = ϕ(B) − ϕ(A) = ϕ(0, 2, 1) − ϕ(1, 1, 1) = (0 + e1) − (1 + e1) = −1.
Questão 4 [2 pontos] Calcule a massa do fio C dado por r(t) = (t, t, t), 0 ≤ t ≤ 2, sendo
δ(x, y, z) = xyz a densidade linear.
Solução: A massa do fio C é dada por
M =
∫
C
δ(x, y, z) ds =
∫
C
xyz ds ,
onde ds = ‖~r ′(t)‖ dt = ‖(1, 1, 1)‖ dt =
√
3 dt.
Logo,
M =
∫ 2
0
(t · t · t)
√
3 dt =
√
3
∫ 2
0
t3 dt =
√
3
[
t4
4
]2
0
= 4
√
3 u.m.
Questão 5 [2 pontos] Seja o campo ~F (x, y, z) = x3~i + y3~j + z3~k .
(a) [0,5 ponto] Determine div ~F .
(b) [1,5 ponto] Calcule o fluxo de ~F através da superf́ıcie esférica S : x2 + y2 + z2 = 1, na direção
da normal exterior ~n .
Solução: (a) Temos
div ~F =
∂
∂x
(x3) +
∂
∂y
(y3) +
∂
∂z
(z3) = 3x2 + 3y2 + 3z2 = 3(x2 + y2 + z2).
(b) O esboço de S é
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Cálculo IV AP3 4
Seja W o sólido limitado por S . Como ~F é de classe C1 em R3 e S = ∂W está orientada positivamente
então podemos aplicar o teorema de Gauss:
Φ =
∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫
∂W
~F · ~n dS =
∫∫∫
W
div ~F dV
=
∫∫∫
W
3(x2 + y2 + z2) dV = 3
∫∫∫
W
(x2 + y2 + z2) dV.
Passando a coordenadas esféricas temos x2 + y2 + z2 = ρ2, dV = ρ2 sen φ dρ dφ dθ e
Wρφθ :

0 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ φ ≤ π
0 ≤ θ ≤ 2π.
Então,
Φ = 3
∫∫∫
Wρφθ
ρ2 · ρ2 sen φ dρ dφ dθ = 3
∫∫∫
Wρφθ
ρ4 sen φ dρ dφ dθ
= 3
∫ 1
0
ρ4
∫ π
0
sen φ
∫ 2π
0
dθ dφ dρ = 6π
∫ 1
0
ρ4
[
− cos φ
]π
0 dρ
= 6π (− cos π + cos 0)
[
ρ5
5
]1
0
= 6π(1 + 1)
1
5
=
12π
5
.
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