Cálculo IV - Questões Resolvidas

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Cálculo IV – AD2 – Tutor
Questão 1 [2,5 pts]: Calcule o trabalho realizado pela força ~F(x, y) = (3y2 + 2 , 16x) ao mover
uma part́ıcula desde (−1, 0) até (1, 0) seguindo a metade superior da elipse b2x2 + y2 = b2. Qual é a
elipse que faz ḿınimo o trabalho ou qual é o valor de b que faz ḿınimo o trabalho?
Solução: O trabalho é dado por
W =
∫
C
~F · d~r
onde C é dada por b2x2 + y2 = b2, y ≥ 0 ou x2 +
y2
b2 = 1, y ≥ 0, orientada de (−1, 0) a (1, 0).
x
y
2
1−1
C
Denotando por C− a semielipse superior orientada de (1, 0) a (−1, 0), temos
C− : ~r(t) = (cos t, b sen t), 0 ≤ t ≤ π
donde ~r ′(t) = (− sen t, b cos t).
Então,
W =
∫
C
~F · d~r = −
∫
C−
~F · d~r = −
∫ π
0
~F
(
~r(t)
)
· ~r ′(t) dt
= −
∫ π
0
(
3b2 sen2 t + 2 , 16 cos t
)
· (− sen t, b cos t) dt
= −
∫ π
0
(
−3b2 sen3 t − 2 sen t + 16b cos2 t
)
dt
=
∫ π
0
[
3b2(1 − cos2t) sen t + 2 sen t − 16b cos2 t
]
dt
=
[
−3b2 cos t + 3b2 cos3 t
3
− 2 cos t − 16b
1
2
(
t +
sen 2t
2
)]π
0
= 6b2 − 2b2 + 4 − 8bπ = 4b2 − 8bπ + 4 u.w.
Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 2
Quer dizer, o trabalho realizado é igual a
W = 4b2 − 8πb + 4 u.w.
Observemos que
W(b) = 4b2 − 8πb + 4
é uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola voltada para cima pois o coeficiente de b2 é
4 > 0. Logo W(b) tem um ponto de ḿınimo.
Temos
W(b) = 4b2 − 8πb + 4 =⇒ W ′(b) = 8b − 8π.
Donde
W ′(b) = 0⇐⇒ 8b − 8π = 0⇐⇒ b = π e W(π) = 4π2 − 8π2 + 4 = 4 − 4π2.
Isto é, o trabalho ḿınimo ocorre quando b = π.
Questão 2 [4,0 pts]: Calcule
∮
C
~F · d~r, onde ~F(x, y) =
(
−4y
x2 + 4y2 ,
4x
x2 + 4y2 + x
)
e C é a curva que
se mostra na figura, orientada no sentido anti-horário, onde a parte da curva na região x ≤ 0, y ≥ 0,
corresponde a uma parte do ćırculo de centro na origem e raio 2.
x
y
2
−2
2−2
C
Solução: Observemos que o campo ~F = (P,Q) =
(
−4y
x2 + 4y2 ,
4x
x2 + 4y2 + x
)
é de classe C1 no
conjunto aberto U = R2 − {(0, 0)}. Além disso,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=
4(x2 + 4y2) − 4x · 2x
(x2 + 4y2)2 + 1 +
4(x2 + 4y2) − 4y · 8y
(x2 + 4y2)2
=
−4x2 + 16y2
(x2 + 4y2)2 + 1 +
4x2 − 16y2
(x2 + 4y2)2 = 1
x
y
2
−2
2−2
C
Não podemos aplicar o teorema de Green pois a região limitada por
C contém (0, 0). Então isolemos (0, 0) com a elipse C1 : x2+
y2
1/4
= 1.
Uma parametrização de C1, orientada no sentido anti-horário é dada
por
~r(t) =
(
cos t,
1
2
sen t
)
.
Logo,
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Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 3
�
C1
~F · d~r =
∫ 2π
0
~F(~r(t)) · ~r ′(t) dt
=
∫ 2π
0
(
−4 · 1
2 sen t
1
,
4 cos t
1
+ cos t
)
·
(
− sen t ,
1
2
cos t
)
dt
=
∫ 2π
0
(
2 sen2 t + 2 cos2 t +
1
2
cos2 t
)
dt =
∫ 2π
0
(
2 +
1
2
cos2 t
)
dt
=
[
2t +
1
2
·
1
2
(
t +
sen 2t
2
)]2π
0
= 4π +
π
2
=
9π
2
.
Seja D a região limitada por C e C1 orientemos ∂D = C ∪ C1 positivamente. Como D não contém
(0, 0), então podemos aplicar o teorema de Green nessa região. Temos então:�
C
~F · d~r +
C1
~F · d~r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy =
∫∫
D
dx dy
= A(D) = 22 +
1
4
π 22 +
1
2
· 4 · 2 − π · 1 ·
1
2
= 4 + π + 4 −
π
2
= 8 +
π
2
.
Donde: �
C
~F · d~r = 8 +
π
2
−
C1
~F · d~r = 8 +
π
2
+
�
C1
~F · d~r = 8 +
π
2
+
9π
2
= 8 + 5π.
Questão 3 [3,0 pts]: Calcule
∫
C
(
ex ln y −
ey
x
)
dx+
(
ex
y
− ey ln x
)
dy, onde C é uma curva qualquer
que une o ponto (1, 1) ao ponto (3, 3).
Solução: Observemos que o campo ~F = (P,Q) =
(
ex ln y −
ey
x
,
ex
y
− ey ln x
)
é de classe C1 no
conjunto aberto U =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x > 0 e y > 0
}
.
Temos
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=
ex
y
−
ey
x
−
ex
y
+
ey
x
= 0.
Como U é um conjunto simplesmente conexo, então, pelo teorema das equivalências, segue que a
integral
∫
C
~F · d~r não depende do caminho que liga (1, 1) a (3, 3). Assim, consideremos o segmento
de reta C dado por C : y = x, 1 ≤ x ≤ 3.
Como y = x, então dy = dx. Logo∫
C
~F · d~r =
∫ 3
1
(
ex ln x −
ex
x
)
dx +
(
ex
x
− ex ln x
)
dx =
∫ 3
1
0 dx = 0.
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