Problemas de Cálculo

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Explicação: Utilize a regra da cadeia para derivar a função. 
 
80. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 Resposta: \( 2 \). 
 Explicação: Utilize a definição do limite fundamental trigonométrico. 
 
81. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\sqrt{x} \) entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calcule a integral da diferença entre as duas funções no intervalo dado. 
 
82. Problema: Resolva a equação exponencial \( 2e^{3x} = 16 \). 
 Resposta: \( x = \frac{\ln(8)}{3} \). 
 Explicação: Utilize o logaritmo natural para resolver a equação. 
 
83. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = e^x + 1 \). 
 Resposta: \( f^{-1}(x) = \ln(x - 1) \). 
 Explicação: Troque \( f(x) \) por \( y \), inverta \( x \) e \( y \) e resolva para \( y \). 
 
84. Problema: Calcule o produto escalar entre os vetores \( \mathbf{v} = (3, -1) \) e \( 
\mathbf{u} = (2, 4) \). 
 Resposta: \( 5 \). 
 Explicação: Multiplique as componentes correspondentes dos vetores e some os 
resultados. 
 
85. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\tan(x)\sec^2(x) \). 
 Explicação: Utilize a regra da cadeia para derivar a função. 
 
86. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 Resposta: \( 1 \). 
 Explicação: Utilize a definição do limite fundamental dos logaritmos.