Calcule as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1, se a densidade da r...

O tema deste exercício é o cálculo do centro de massa de um objeto bidimensional utilizando integrais duplas. Para calcular as coordenadas x e y do centro de massa do quadrado delimitado por x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1, com densidade δ(x, y) = y, podemos utilizar as seguintes fórmulas: x = (1/m) ∬(B) x δ(x, y) dA y = (1/m) ∬(B) y δ(x, y) dA Onde m é a massa total do objeto e dA é um elemento de área infinitesimal. Para calcular a massa total do objeto, podemos integrar a densidade sobre a região B: m = ∬(B) δ(x, y) dA = ∫(0 to 1) ∫(0 to 1) y dy dx = 1/2 Agora podemos calcular as coordenadas x e y do centro de massa: x = (1/m) ∬(B) x δ(x, y) dA = 2 ∫(0 to 1) ∫(0 to 1) x y dy dx = 2/3 y = (1/m) ∬(B) y δ(x, y) dA = ∫(0 to 1) ∫(0 to 1) y^2 dy dx = 1/3 Portanto, as coordenadas do centro de massa do quadrado são (2/3, 1/3).