Problemas e Soluções Matemáticas

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Explicação: Quando multiplicamos raízes quadradas com o mesmo índice, podemos 
simplesmente multiplicar os radicandos juntos. Então, \( \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} 
\). 
 
2. Problema: Se \( a + b = 7 \) e \( a - b = 3 \), qual é o valor de \( a \times b \)? 
 Resposta: \( a \times b = 10 \). 
 Explicação: Podemos resolver este sistema de equações adicionando-as. Isso resulta 
em \( 2a = 10 \), então \( a = 5 \). Substituindo \( a \) na primeira equação, obtemos \( b = 2 
\). Portanto, \( a \times b = 5 \times 2 = 10 \). 
 
3. Problema: Qual é o valor de \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \)? 
 Resposta: \( \frac{13}{12} \). 
 Explicação: Podemos somar essas frações encontrando um denominador comum. O 
denominador comum de \( 2, 3 \) e \( 4 \) é \( 12 \), então \( \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \), \( 
\frac{1}{3} = \frac{4}{12} \) e \( \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \). Então, \( \frac{6}{12} + \frac{4}{12} 
+ \frac{3}{12} = \frac{13}{12} \). 
 
4. Problema: Se \( x^2 - 4x + 3 = 0 \), qual é o valor de \( x \)? 
 Resposta: \( x = 1 \) ou \( x = 3 \). 
 Explicação: Podemos resolver esta equação quadrática fatorando-a ou usando a 
fórmula quadrática. Fatorando, obtemos \( (x - 1)(x - 3) = 0 \), então \( x = 1 \) ou \( x = 3 \). 
 
5. Problema: Se \( \log_2{x} + \log_2{(x-2)} = 3 \), qual é o valor de \( x \)? 
 Resposta: \( x = 8 \). 
 Explicação: Usando a propriedade dos logaritmos, podemos combinar os logaritmos 
como \( \log_2{(x(x-2))} = 3 \). Isso significa que \( x(x-2) = 2^3 \), então \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). 
Resolvendo esta equação quadrática, obtemos \( x = 8 \) ou \( x = -1 \). No entanto, \( x = -1 
\) não é uma solução válida para o logaritmo, então \( x = 8 \). 
 
6. Problema: Se \( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 7 \), qual é o valor de \( f(-1) \)? 
 Resposta: \( f(-1) = 17 \). 
 Explicação: Para encontrar \( f(-1) \), substituímos \( x = -1 \) na expressão para \( f(x) \). 
Então, \( f(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) + 7 = 2(-1) - 5(1) - 3 + 7 = -2 - 5 - 3 + 7 = -10 + 7 = -3 + 7 
= 4 \).