Problemas de Cálculo

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Resposta: \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
20. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = x^2 - \frac{1}{x} + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
21. Se \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \), qual é o limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 
-1? 
 Resposta: O limite é 2. Isso pode ser resolvido simplificando a função. 
 
22. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)? 
 Resposta: O limite é 3. Isso pode ser resolvido usando a definição de limite. 
 
23. Se \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x)^2 \, dx = a \), qual é o valor de \( a \)? 
 Resposta: \( a = \frac{\pi}{4} \). 
 
24. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \)? 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 
25. Se \( \frac{dy}{dx} = 2xy \) e \( y(0) = 3 \), qual é o valor de \( y(1) \)? 
 Resposta: \( y(1) = 
 
 3e^1 \). 
 
26. Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + 1} \)? 
 Resposta: \( \frac{\pi}{4} \). 
 
27. Se \( f(x) = \frac{e^x}{x} \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{2} \). 
 
28. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 1}{y} \) e \( y(0) = 2 \), qual é o valor de \( y(1) \)? 
 Resposta: \( y(1) = \sqrt{2e^2 + 1} \).