AULA 02- DISTRIB BINOMIAL -SLIDES -AULA - aluno

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Professor(a) Dra Deiby Santos Gouveia
ESTATÍSTICA 
AULA 02: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Tema: Distribuição Binomial
▪ Distribuição de Probabilidade
▪ Distribuição de Bernoulli
▪ Distribuição Binomial
▪ Uso calculadora e software
▪ Parâmetros populacionais: média e desvio padrão
▪ Hora de Praticar!
Objetivo
Distribuição
Binomial
▪ Distribuição de Probabilidade: é um modelo matemático que relaciona um certo valor da
variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.
▪ Variável aleatória: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao
acaso, que não estão sob o controle do observador
Tipos de Distribuição de Probabilidade:
▪ Discreta – se houver um número finito ou contável de resultados possíveis que possam ser
enumerados.
Modelos: Binomial, Poisson
▪ Contínua - se houver um número incontável de resultados possíveis, representado por um
intervalo.
Modelos: Normal
Distribuição de Probabilidade
Distribuição Binomial
Distribuição Bernoulli
▪Ensaios de Bernoulli (um único experimento)
Consiste em realizar um experimento aleatório uma só vez e observar se certo evento 
ocorre ou não. Em geral muitos experimentos admitem apenas dois resultados 
p = sucesso 1 –p = fracasso
Exemplo:
1- Jogar uma moeda. Qual a probabilidade de sair coroa?
2 – Resultado de um exame médico para detecção de uma doença. 
Qual a probabilidade do resultado ser negativo?
p : {coroa}
1- p : {cara}
p : {negativo}
1- p : {positivo}
Ensaios de Bernoulli
▪ Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de 
ocorrência de “sucesso”, dão origem ao Modelo BINOMIAL
▪ A Distribuição Binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável 
sempre que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli.
▪ Utiliza o conceito de Bernoulli porém com n tentativas
▪Notação: X ~B(n,p)
(Indica que a variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p)
Distribuição Binomial
Características
a) O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma 
independente de todas as outras
b) Só existem dois resultados sucesso (p) e fracasso (q)
p e q = 1 - p
c) A probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa
d) A variável aleatória x conta o número de tentativas (K) com sucesso.
Distribuição Binomial
▪ Em um experimento Binomial, a probabilidade de exatamente x sucessos em n tentativas é 
dada por:
𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑛,𝑘 . 𝑝
𝑘 . 𝑞𝑛−𝑘
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
. 𝑝𝑘 . 𝑞𝑛−𝑘
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛!
𝑘!. 𝑛 − 𝑘 !
. 𝑝𝑘 . 𝑞𝑛−𝑘
Notação: 
n = número de vezes que uma tentativa é repetida
p = P(p) : probabilidade de sucesso em uma única tentativa
q = P(q) : probabilidade de fracasso em uma única tentativa
X = contagem do número de sucessos em n tentativas : k = 0, 1, 2, 3....n
Distribuição Binomial
Análise 
Combinatória
Análise Combinatória:
É a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de
um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas
as possibilidades.
Combinação Simples: todos os agrupamentos simples de x elementos que podemos formar 
com n elementos distintos, sendo k ≤ n
Lê-se: “combinação simples de n elementos tomados k a k”
Por definição: 0! = 1
1! = 1
n = número total de lançamentos
k = número de resultados desejados
𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘!. 𝑛 − 𝑘 !
EXTRA: Análise combinatória
Exemplo 02: Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com três alternativas, uma delas 
correta. Você quer saber qual a probabilidade de “chutar” certo:
a) No máximo 3 questões.
b) Pelo menos 6 questões.
c) Até 5 questões
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 K = 3 P(X ≤ 3) =?
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 K = 6 P(X ≥ 6) =?
P(X ≥ 6) = P(X= 6) + P(X = 7) + P(X = 8) 
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 K = 3 P(X ≤ 5) =?
P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P (X = 4) + P(X = 5)
COMPLEMENTAR: P(X ≤ 5) = 1 – P(X > 5)
P(X ≤ 5) = 1 – [ P(X = 6) + P ( X = 7) + P( X = 8)]
P X = k =
n!
k!. n − k !
. p𝐤. qn−𝐤
Exemplo 02: Um teste de múltipla escolha tem
oito questões, cada qual com três alternativas,
uma delas correta. Você quer saber qual a
probabilidade de “chutar” certo.
a) No máximo três questões
Resposta:
R. P (X ≤ 3) = 74,13%
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 k = 3 
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X =2) + P(X =3) 
P X = k =
n!
k!. n − k !
. p𝐤. qn−𝐤
Exact Binomial Probability Calculator:
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
Exemplo 02: Um teste de múltipla escolha tem
oito questões, cada qual com três alternativas,
uma delas correta. Você quer saber qual a
probabilidade de “chutar” certo.
b) Pelo menos 6 questões
Resposta:
R. P (X ≥ 6) = 1,96%
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 k = 3 
P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X =7) + P(X =8) 
P X = k =
n!
k!. n − k !
. p𝐤. qn−𝐤
Exact Binomial Probability Calculator:
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
Exemplo 02: Um teste de múltipla escolha tem
oito questões, cada qual com três alternativas,
uma delas correta. Você quer saber qual a
probabilidade de “chutar” certo.
c) Até 5 questões
Resposta:
R. P (X ≤ 5) = 98,03%
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 k = 3 
P X = k =
n!
k!. n − k !
. p𝐤. qn−𝐤
Exact Binomial Probability Calculator:
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 
+ P (X = 4) + P(X = 5)
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
▪ Embora seja possível aplicar as fórmulas já estudadas para calcular Média, Variância e
Desvio padrão de uma distribuição de probabilidade, as propriedades de uma distribuição
binomial possibilitam o uso de fórmulas mais simples.
Parâmetros Populacionais de uma Distribuição Binomial
Parâmetros Populacionais de uma Distribuição Binomial
média 𝜇 = 𝑛. 𝑝
Variância 𝜎2 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
Desvio padrão 𝜎 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
▪ EXEMPLO 03: Poluição do ar na cidade de SP aumenta 44% em agosto; queimadas e fim da
quarentena estão entre as causas. (https://g1.globo.com/sp/sao-paulo/noticia/2021/08/26/poluicao-do-
ar-na-cidade-de-sp-aumenta-44percent-em-agosto-queimadas-e-fim-da-quarentena-estao-entre-as-
causas.ghtml). Obtenha a Média e o desvio padrão para o número de dias em que há poluição durante
o mês de agosto. O que você pode concluir?
Cálculo da média: 𝜇 = 𝑛. 𝑝
𝜇 = 31 . 0,44
𝜇 = 13,64 dias com poluição
Cálculo do DP: 𝜎2 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
𝜎2 = 31 .0,44. 0,56 ∴ 𝜎2 = 7,6384
𝜎 = 2,76
Conclusão: Em média há 14 dias poluídos durante o mês de agosto com DP de 3 dias
Parâmetros Populacionais de uma Distribuição Binomial
𝜇 = 𝑛. 𝑝
𝜎2 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
𝜎 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
n = 31 dias p = 0,44 q = 0,56
𝜇 ± 𝜎 = 14 ± 3 17 dias
14
11 dias
𝜇 ± 𝜎 = 13,64 ± 2,76
https://g1.globo.com/sp/sao-paulo/noticia/2021/08/26/poluicao-do-ar-na-cidade-de-sp-aumenta-44percent-em-agosto-queimadas-e-fim-da-quarentena-estao-entre-as-causas.ghtml
Vamos praticar!
▪ Questões Complementares (Calculadora) http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
1.No lançamento de quatro moedas qual a probabilidade de sair duas caras (K). R: 37,50%%
2. O inspetor de qualidade de tubos para revestimentos hidráulicos extrai uma amostra de 6 tubos
aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contem 20% de tubos
defeituosos. Qual a probabilidade de que exatamente dois dos tubos extraídos não estejam
defeituosos? R. 1,35%
3. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30.
Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
a) 3 se formem R. 18,52%
b) nenhum se forme R. 11,56%
c) Pelo menos dois se formem R. 57,98%
d) Dois não se formem R. 5,96%
Exercícios de fixação
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html2. O inspetor de qualidade de tubos para revestimentos hidráulicos extrai uma amostra de 6 tubos
aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contem 20% de tubos
defeituosos. Qual a probabilidade de que exatamente dois dos tubos extraídos não estejam
defeituosos? R. 1,53%
Exercícios de fixação
3. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30.
Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
a) 3 se formem R. 18,52%
b) nenhum se forme R. 11,56%
c) Pelo menos dois se formem R. 57,98%
d) Dois não se formem R. 5,96%
Exercícios de fixação
4. Em uma UTI, em média 5% dos bebês que nascem prematuros não sobrevivem. Se, atualmente, há 
40 bebês prematuros, qual a probabilidade de que no máximo 5% dos bebês não sobrevivam? 
R: 67,67%
Exercícios de fixação
5. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas
comerciais se encontram vencida. Se um contador escolher, aletoriamente uma amostra de cinco contas,
determinar a probabilidade de cada um dos seguintes eventos:
a) Nenhuma das contas estar vencida R: 0,1681
b) Exatamente duas das contas estarem vencidas R: 0,3087
c) A maioria das contas estarem vencidas R: 0,1631
Exercícios de fixação
d) Exatamente 20% das contas estarem vencidas R: 0,3602
e)Obtenha a Média e o desvio padrão para as contas vencidas e interprete o resultado
R.: 𝟏, 𝟓 ± 𝟏, 𝟎𝟐 Se o contador escolher aleatoriamente cinco contas, ele terá em média 1,5 contas
vencidas
Exercícios de fixação
1. Qual a probabilidade de se obter exatamente duas faces 5 em três lançamentos de um dado?
R = 7,20%
2. Dois times de futebol, A e B jogam entre si seis vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar
quatro jogos. R. 7,95%
3. Verifica-se, em uma fábrica, que, em média, 10% dos parafusos produzidos por uma determinada
máquina não satisfazem a certas especificações. Se forem selecionados, ao acaso, oito parafusos da
produção diária dessa máquina, determine a probabilidade de nenhum deles ser defeituoso.
R.: 43,05%
4.Em determinada turma de uma universidade, em 2015, 20% dos alunos foram reprovados em
matemática Comercial e Financeira. Se escolhermos aleatoriamente, oito alunos dessa turma, a
probabilidade de exatamente três desses alunos terem sido reprovados é de:
R = 14,68%
EXTRA
5. Durante um ano particular, 70% das ações negociadas na bolsa de valores do Rio de Janeiro tiveram sua
cotação aumentada, enquanto 30% tiveram sua cotação diminuída ou estável. No começo do ano, um
serviço de assessoria financeira escolhe dez ações como sendo especialmente recomendadas. Se as dez
ações representam uma seleção aleatória, qual a probabilidade de que todas as dez ações escolhidas
tenham tido suas cotações aumentadas? R.: 2,82%. Pelo resultado,
verifica-se que a probabilidade de que todas as 10 ações escolhidas tenham sido aumentadas é muito
pequena (baixa)
6. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia
aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real, calcule a probabilidade de
que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
R.: 0,2526
7. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas, que ela emite, são pagas após o
vencimento. De 14 faturas , determinar:
a) A probabilidade de nenhuma ser paga com atraso R = 0,8%
b) A média e o desvio padrão de faturas pagas após o vencimento R = média = 5,6 desvio
padrão 1,83. É possível concluir que em média 6 faturas serão pagas após o vencimento.
EXTRA
8.Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem sucedida em 80% das vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes,
determine a probabilidade de pelo menos seis ser bem sucedida.
9.Admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha 0,3 probabilidade de funcionar
mais de 500 horas. Analisando–se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3
continuem funcionando após 500 horas? R. 61,71%
EXTRA
Bibliografia digital
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015.
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. 
ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia Profª Maria Laura Brito 
Profª Júlia Petta Profº Raul Messias Neto
Referências
Próxima aula
Até a próxima aula!