Exercicios de conta-62

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37. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = 
\frac{{1}}{{x^2}} \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = -\frac{1}{{x}} + C \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial para encontrar a 
solução geral. 
 
38. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{{1}}{{\sqrt{x}}} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( 2\sqrt{x} + C \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do poder e integramos o termo \( x^{-1/2} \). 
 
39. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = x^3 \) e o eixo \( x \) no 
intervalo \( [0, 2] \). 
 Resposta: A área é \( 4 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos integração definida para calcular a área entre a curva e o eixo \( x 
\) no intervalo dado. 
 
40. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^x \ln(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = e^x(\ln(x) + \frac{1}{{x}}) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para derivar a função. 
 
41. Problema: Resolva a equação \( \cos(x) = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \). 
 Resposta: As soluções são \( x = \frac{{\pi}}{{6}} + 2k\pi \) e \( x = \frac{{5\pi}}{{6}} + 2k\pi 
\), onde \( k \) é um inteiro. 
 Explicação: Utilizamos as propriedades do cosseno para encontrar os valores de \( x \) 
que satisfazem a equação. 
 
42. Problema: Determine a solução particular da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} + y 
= \sin(x) \) com a condição inicial \( y(0) = 0 \). 
 Resposta: A solução particular é \( y = \sin(x) - \sin(0) \). 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial e usamos a condição inicial para 
encontrar a constante de integração. 
 
43. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{{\pi}}{{2}}} \cos(x) \, dx \).