Problemas de Matemática

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- Resposta: \( \frac{1}{x} \). Explicação: Esta é a propriedade fundamental do logaritmo 
natural. 
 
12. Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo x no intervalo 
\( [0, \pi] \). 
 - Resposta: \( 2 \) unidades quadradas. Explicação: Integramos \( \sin(x) \) de \( 0 \) a \( 
\pi \). 
 
13. Qual é a solução para a equação \( \frac{1}{2}x^2 - 3x + 2 = 0 \)? 
 - Resposta: \( x = 1 \) ou \( x = 2 \). Explicação: Podemos resolver essa equação 
quadrática usando fatoração ou a fórmula quadrática. 
 
14. Encontre a derivada de \( f(x) = e^{2x} \). 
 - Resposta: \( f'(x) = 2e^{2x} \). Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a 
função exponencial composta. 
 
15. Qual é o valor de \( \tan(\frac{\pi}{4}) \)? 
 - Resposta: \( 1 \). Explicação: \( \tan(\frac{\pi}{4}) \) é o mesmo que \( 1 \) porque \( 
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \), e \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = 
\frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
16. Determine a inversa de \( f(x) = 3x + 2 \). 
 - Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3} \). Explicação: Trocamos \( f(x) \) por \( y 
\), trocamos \( x \) por \( f^{-1}(x) \), e resolvemos para \( f^{-1}(x) \). 
 
17. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 - Resposta: \( 1 \). Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser encontrado 
usando a regra de L'Hôpital ou geometria. 
 
18. Qual é a solução para o sistema de equações \( 2x + y = 5 \) e \( x - y = 1 \)? 
 - Resposta: \( x = 2 \) e \( y = 1 \). Explicação: Podemos resolver este sistema por 
substituição ou eliminação. 
 
19. Determine a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \). 
 - Resposta: \( \frac{1}{3} \). Explicação: Integramos \( x^2 \) de \( 0 \) a \( 1 \).