Manual do Professor de Matemática

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MANUAL DO PROFESSOR
 Edwaldo Bianchini 
8ºano
 MATEMÁTICA
BIANCHINI
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
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10a edição
São Paulo, 2022
Componente curricular: MATEMÁTICA
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, 
da Associação de Ensino de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela 
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP).
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo,
no Ensino Fundamental e Médio, por 25 anos.
MANUAL DO PROFESSOR
6ºano MATEMÁTICA
BIANCHINI 8ºano
Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição executiva: Maria Cecília da Silva Veridiano
Edição de texto: Dario Martins de Oliveira, Enrico Briese Casentini, 
João Alves de Souza Neto, Livia Santa Clara
Assistência editorial: Roberta Stoppe
Preparação de texto: Geuid Dib Jardim
Gerência de design e produção grá�ca: Patricia Costa
Coordenação de produção: Denis Torquato
Gerência de planejamento editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Tatiane Porusselli
Capa: Douglas Rodrigues José, Tatiane Porusselli, Apis Design, Fábio Luna
 Imagem da capa: Detalhe de: Diébédo Francis Kéré – Kéré Architecture. 
Sarbalé Ke, “Casa da Celebração” em Festival de Música e 
Artes Coachella 2019, Califórnia, EUA. 
© Diébédo Francis Kéré – Kéré Architecture. Foto: Iwan Baan.
Coordenação de arte: Aderson Oliveira
Edição de arte: Marcel Hideki Yonamine
Editoração eletrônica: Grapho Editoração, JSDesign
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani
Revisão: Cesar G. Sacramento, Daniela Uemura, Lilian Xavier, Márcio Della Rosa, 
Maura Loria, Patricia Cordeiro, Roberta Otoni, Sirlene Prignolato
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Sônia Oddi
Pesquisa iconográ�ca: Vanessa Trindade
Suporte administrativo editorial: Flávia Bosqueiro
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Ademir Francisco Baptista, Ana Isabela Pithan Maraschin, 
Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, Vânia Maia
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Fabio Roldan, José Wagner Lima Braga,
Marcio H. Kamoto, Selma Brisolla de Campos
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento:
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904
Atendimento: Tel. (11) 3240-6966
www.moderna.com.br
2022
Impresso no Brasil
Sarbalé Ke, a “Casa da Celebração” na língua Bissa 
de Burkina Fasso, é uma instalação criada para o 
Festival de Música e Artes Coachella 2019, pelo 
arquiteto Diébédo Francis Kéré. A instalação explora, 
com 12 torres, o mundo interior de um baobá. 
As três torres mais altas formam o centro da 
instalação e o maior espaço de encontro para os 
visitantes que podem aproveitar seus interiores 
cheios de luz, naturalmente ventilados e sombreados.
ORIENTAÇÕES GERAIS ............................................................................................... V
Apresentação ...........................................................................................................................V
Visão geral da proposta da coleção .......................................................................................V
Objetivos gerais da coleção .................................................................................................................................................VI
Fundamentos teórico-metodológicos ..................................................................................VI
A importância de aprender Matemática .....................................................................................................................VI
A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental ............................................... VIII
Competências socioemocionais ........................................................................................... IX
Caracterização da adolescência .........................................................................................................................................X
Diversidade e culturas juvenis ............................................................................................................................................X
Bullying ...............................................................................................................................................................................................XI
Saúde mental dos estudantes ............................................................................................................................................XI
Cultura de paz ............................................................................................................................................................................. XII
BNCC e currículos.................................................................................................................. XII
Competências na BNCC ......................................................................................................................................................XIII
Unidades Temáticas ...............................................................................................................................................................XIV
Propostas didáticas.............................................................................................................. XV
Conhecimentos prévios .......................................................................................................................................................XV
Resolução de problemas e compreensão leitora ...............................................................................................XVI
Uso de tecnologias .................................................................................................................................................................XVI
Trabalho em grupo e o convívio social ................................................................................................................... XVII
Avaliação ........................................................................................................................... XVIII
A avaliação e as práticas avaliativas ......................................................................................................................... XVIII
Autonomia do professor 
e a prática docente ........................................................................................................... XXIII
Formação continuada e desenvolvimento profissional docente ......................................................... XXIII
Referências bibliográficas ............................................................................................... XXIV
Referências bibliográficas complementares ......................................................................................................XXVI
Apresentação da coleção ................................................................................................ XXVII
Estrutura da obra .................................................................................................................................................................XXVII
Organização geral da obra .......................................................................................................................................... XXVIII
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS ................................................................................ XXIX
Considerações iniciais ......................................................................................................XXXI
Capítulo 1 – Potências e raízes ....................................................................................... XXXII
Objetivos do capítulo e justificativas .....................................................................................................................XXXII
Habilidades trabalhadas no capítulo ......................................................................................................................XXXII
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................ XXXIII
Capítulo 2 – Construções geométricas e lugares geométricos ..................................... XLIII
Objetivos do capítulo e justificativas ...................................................................................................................... XLIII
Habilidades trabalhadas no capítulo ....................................................................................................................... XLIII
Comentários e resoluções .............................................................................................................................................. XLIV
Capítulo 3 – Estatística e probabilidade .......................................................................... XLIX
Objetivos do capítulo e justificativas ..................................................................................................................... XLIX
Habilidades trabalhadas no capítulo ...................................................................................................................... XLIX
Comentários e resoluções ..................................................................................................................................................... L
III
SUMÁRIO
Capítulo 4 – Cálculo algébrico ..............................................................................................LVI
Objetivos do capítulo e justificativas ........................................................................................................................ LVI
Habilidades trabalhadas no capítulo ........................................................................................................................ LVII
Comentários e resoluções ................................................................................................................................................ LVII
Capítulo 5 – Polinômios e frações algébricas ................................................................. LXIII
Objetivos do capítulo e justificativas ..................................................................................................................... LXIII
Habilidades trabalhadas no capítulo ..................................................................................................................... LXIII
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................... LXIII
Capítulo 6 – Produtos notáveis e fatoração ................................................................. LXVIII
Objetivos do capítulo e justificativas ................................................................................................................... LXVIII
Habilidades trabalhadas no capítulo ...................................................................................................................... LXIX
Comentários e resoluções .............................................................................................................................................. LXIX
Capítulo 7 – Estudo dos triângulos .............................................................................. LXXVII
Objetivos do capítulo e justificativas ................................................................................................................. LXXVII
Habilidades trabalhadas no capítulo ................................................................................................................. LXXVIII
Comentários e resoluções ......................................................................................................................................... LXXVIII
Capítulo 8 – A Geometria demonstrativa ......................................................................LXXXI
Objetivos do capítulo e justificativas .................................................................................................................. LXXXI
Habilidades trabalhadas no capítulo .................................................................................................................. LXXXII
Comentários e resoluções .......................................................................................................................................... LXXXII
Capítulo 9 – Estudo dos quadriláteros ......................................................................... LXXXV
Objetivos do capítulo e justificativas ................................................................................................................. LXXXV 
Habilidades trabalhadas no capítulo .................................................................................................................. LXXXV 
Comentários e resoluções .......................................................................................................................................... LXXXV 
Capítulo 10 – Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas........................... XCI
Objetivos do capítulo e justificativas ........................................................................................................................ XCI 
Habilidades trabalhadas no capítulo ......................................................................................................................... XCI 
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................... XCII 
Capítulo 11 – Área de regiões poligonais........................................................................ XCVI
Objetivos do capítulo e justificativas ..................................................................................................................... XCVI
Habilidades trabalhadas no capítulo .................................................................................................................... XCVII 
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................ XCVII 
Capítulo 12 – Geometria e grandezas ................................................................................... CI
Objetivos do capítulo e justificativas .......................................................................................................................... CI 
Habilidades trabalhadas no capítulo ........................................................................................................................... CI 
Comentários e resoluções .................................................................................................................................................. CII 
Sugestão de avaliação diagnóstica ................................................................................... CVI
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS – REPRODUÇÃO DO LIVRO DO ESTUDANTE ...................1
CAPÍTULO 1 - Potências e raízes ..................................................................................................................... 9
CAPÍTULO 2 - Construções geométricas e lugares geométricos ..................................................... 38
CAPÍTULO 3 - Estatística e probabilidade ................................................................................................. 62
CAPÍTULO 4 - Cálculoalgébrico ................................................................................................................... 91
CAPÍTULO 5 - Polinômios e frações algébricas ..................................................................................... 108
CAPÍTULO 6 - Produtos notáveis e fatoração ........................................................................................ 126
CAPÍTULO 7 - Estudo dos triângulos ........................................................................................................ 160
CAPÍTULO 8 - A Geometria demonstrativa ............................................................................................ 176
CAPÍTULO 9 - Estudo dos quadriláteros .................................................................................................. 192
CAPÍTULO 10 - Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas ..................................... 213
CAPÍTULO 11 - Área de regiões poligonais ............................................................................................ 232
CAPÍTULO 12 - Geometria e grandezas ................................................................................................... 251
IV
Apresentação
Professor(a),
Como material de apoio à prática pedagógica, este Manual traz, 
de maneira concisa, orientações e sugestões para o uso do livro do 
estudante como texto de referência, com o objetivo de subsidiar seu 
trabalho em sala de aula. Esperamos que este material o(a) auxilie a 
melhor aproveitar e a compreender as diretrizes pedagógicas que 
nortearam a elaboração dos quatro livros desta coleção.
Este Manual também discute a avaliação da aprendizagem 
sob a luz de pesquisas em Educação e Educação Matemática e em 
documentos oficiais. Além disso, oferece indicações de leituras 
complementares e sites de centros de formação continuada, na 
intenção de contribuir para a ampliação de seu conhecimento, sua 
experiência e atualização.
As características da coleção, as opções de abordagem e os 
objetivos educacionais a alcançar são também expostos e discu-
tidos aqui.
Visão geral da proposta da coleção
Esta coleção tem como principais objetivos servir de apoio ao pro-
fessor no desenrolar de sua prática didático -pedagógica e oferecer ao 
estudante um texto de referência auxiliar e complementar aos estudos.
Com base nos conteúdos indicados para a Matemática dos Anos 
Finais do Ensino Fundamental (6o ao 9o anos) e suas especificidades 
de ensino, a obra procura possibilitar ao estudante a elaboração do 
conhecimento matemático, visando contribuir para a formação de 
cidadãos que reflitam e atuem no mundo, e subsidiar o trabalho 
docente, compartilhando possibilidades de encaminhamento e 
sugestões de intervenção. Nesse sentido, atribui especial impor-
tância ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e por 
meio de linguagem clara e objetiva, com destaques pontuais para 
aqueles de maior importância.
As ideias matemáticas são apresentadas e desenvolvidas pro-
gressivamente, sem a preocupação de levar o estudante a assimilar 
a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a pretensão de esgotar 
o assunto na primeira apresentação. Ao longo da coleção, ofere-
cemos constantes retomadas, não apenas visando à revisão, mas 
à complementação e ao aprofundamento de conteúdos. Acredita-
mos que, por meio de diversos contatos com as ideias e os objetos 
matemáticos, o estudante conseguirá apreender seus significados.
Em relação à abordagem, a apresentação de cada conteúdo se 
dá, principalmente, por meio de situações contextualizadas e pro-
blematizadoras que possibilitem ao estudante uma aprendizagem 
significativa, assim como estabelecer relações da Matemática com 
outras áreas do saber, com o cotidiano, com sua realidade social e 
entre os diversos campos conceituais da própria Matemática.
Essa contextualização abarcou situações comuns, viven-
ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais 
elaboradas, que costumam aparecer nos grandes veículos de 
comunicação. Assim, a obra tem por objetivo contribuir para a 
formação integral do estudante, de modo que, enquanto assi-
mila e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque 
em prática, sempre que possível, suas capacidades reflexiva e 
crítica, inter -relacionando tanto os tópicos matemáticos entre 
si quanto estes com os de diferentes áreas do saber. O intento 
é colaborar de maneira eficaz para a solidificação do conheci-
mento matemático e com o preparo do exercício da cidadania 
e da participação positiva na sociedade.
Na perspectiva mundial da permanente busca por melhor quali-
dade de vida, a Matemática, sobretudo em seus aspectos essenciais, 
contribui de modo significativo para a formação do cidadão crítico 
e autoconfiante, com compreensão clara dos fenômenos sociais e 
de sua atuação na sociedade, com vistas a uma formação integral e 
inclusiva. Nesse sentido, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) 
afirma, de maneira explícita, seu compromisso com a educação 
integral e reconhece que:
[...] a Educação Básica deve visar à formação e ao de-
senvolvimento humano global, o que implica compreender a 
complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rom-
pendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão 
intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Signi�ca, ainda, 
assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do ado-
lescente, do jovem e do adulto – considerando -os como sujeitos 
de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu 
acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas 
singularidades e diversidades (BRASIL, 2018, p. 14).
A ideia de educação inclusiva sustenta -se em um movimento 
mundial de reconhecimento da diversidade humana e da necessi-
dade contemporânea de se constituir uma escola para todos, sem 
barreiras, na qual a matrícula, a permanência, a aprendizagem e 
a garantia do processo de escolarização sejam, realmente e sem 
distinções, para todos (SÃO PAULO, 2019, p. 25).
Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados entremea-
dos por blocos de exercícios e, algumas vezes, por atividades de 
outra natureza em seções especiais. A distribuição das atividades 
em diferentes seções procura facilitar e flexibilizar o planejamento 
do trabalho docente, bem como possibilitar ao estudante desen-
volver habilidades diversas.
As atividades também foram pensadas de acordo com o mesmo 
viés da exposição teórica, intercalando -se aos exercícios convencionais, 
importantes para formalizar e sistematizar conhecimentos, aqueles que 
associam os contextos matemáticos aos de outras áreas do conheci-
mento, que contemplam temas abrangendo informações de Biologia, 
Ecologia, Economia, História, Geografia, Política, Ciências e Tecnologia.
A constante recorrência a imagens, gráficos e tabelas, muitos 
deles publicados em mídias atuais, tem por objetivo estimular os 
estudantes a estabelecerem conexões com o mundo em que vivem.
A obra procura trazer atividades que possibilitam a sistematização 
dos procedimentos e a reflexão sobre os conceitos em construção. Elas 
procuram abordar diferentes aspectos do conceito em discussão por 
meio de variados formatos, apresentando, quando possível, questões 
abertas, que dão oportunidade a respostas pessoais, questões com 
V
ORIENTAÇÕES GERAIS
mais de uma solução ou cuja solução não existe. Da mesma maneira, 
há exercícios que estimulam a ação mental, promovendo o desenvol-
vimento de argumentações, a abordagem de problemas de naturezas 
diversas e as discussões entre colegas e em grupos de trabalho. O 
professor tem, então, uma gama de questões a seu dispor para discutir 
e desenvolver os conceitos matemáticos em estudo.
É importante reafirmar que, ao longo de toda a coleção, houve 
preocupação com a precisão e a concisão da linguagem. A aborda-
gem dos conteúdos procurou ser clara, objetiva e simples, a fim de 
contribuir adequadamente para o desenvolvimento da Matemática 
escolar no nível do Ensino Fundamental.Além do correto uso da 
língua materna e da linguagem propriamente matemática, procu-
ramos o auxílio da linguagem gráfica, com ilustrações, esquemas, 
diagramas e fluxogramas que auxiliam a aprendizagem pelas 
mudanças dos registros de representação.
• Objetivos gerais da coleção
 • Apresentar a Matemática, em seus diversos usos, como uma das 
linguagens humanas, explorando suas estruturas e seus raciocínios.
 • Introduzir informações que auxiliem a apreensão de conteúdos 
matemáticos, com vistas à sua inserção em um corpo maior de 
conhecimentos e à sua aplicação em estudos posteriores.
 • Possibilitar ao estudante o domínio de conteúdos matemáticos 
que lhe deem condições de utilização dessa ciência no cotidia-
no e na realidade social, oportunizando o desenvolvimento do 
letramento matemático1.
 • Propiciar, com o auxílio do conhecimento matemático, o desen-
volvimento das múltiplas competências e habilidades cognitivas 
do estudante, preparando -o como pessoa capaz de exercer 
conscientemente a cidadania e de progredir profissionalmente, 
garantindo uma formação integral e inclusiva.
 • Desenvolver hábitos de leitura, de estudo e de organização.
Esses objetivos se justificam à medida que compreendemos 
que a Matemática desempenha um importante papel no desen-
volvimento dos estudantes, pois permite resolver problemas da 
vida cotidiana, com aplicações no mundo do trabalho, e funciona 
como instrumento essencial para a construção de conhecimentos 
em outras áreas curriculares. Possibilita, ainda, o trabalho e o relacio-
namento com as diferentes linguagens, explorando suas estruturas 
e raciocínios, além de propiciar o desenvolvimento cognitivo dos 
estudantes e desenvolver hábitos relacionados ao cotidiano escolar. 
Fundamentos teórico -metodológicos 
Vamos apresentar alguns temas relativos ao ensino de Matemá-
tica que norteiam as escolhas curriculares da coleção e se alinham 
às proposições da BNCC, documento que foi elaborado após ampla 
consulta a especialistas e à população e que é a referência para a 
construção dos currículos de toda a rede de ensino, municipal, es-
tadual e federal, em todo o país. Ela traz o conteúdo mínimo a ser 
desenvolvido em cada etapa da Educação Básica e, para preservar a 
autonomia das escolas e dos professores, deve ser complementada 
com a inclusão das especificidades regionais e locais.
A BNCC traz o conjunto das aprendizagens consideradas es-
senciais que todo estudante deve desenvolver ao longo de sua 
trajetória escolar no ensino básico. Essas aprendizagens estão 
apresentadas em forma de competências gerais, competências 
específicas e habilidades segundo os componentes curriculares ou 
as áreas do conhecimento para cada etapa do ensino.
• A importância de aprender Matemática
Partimos da proposição de que uma característica da Matemática é 
ser uma linguagem capaz de decodificar, traduzir e expressar o pensa-
mento humano, o que contribui para a formação integral do estudante.
O conhecimento matemático é necessário para todos os 
estudantes da Educação Básica, seja por sua grande aplicação 
na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades 
na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabi-
lidades sociais (BRASIL, 2018, p. 265).
Atualmente, é indiscutível a importância da Matemática na 
formação humana, especialmente por vivermos em uma socie-
dade cada vez mais permeada pela ciência e pela tecnologia. 
Diversas pro�ssões [...] exigem conhecimentos matemáticos e 
competências básicas para lidar com as mesmas. Além disso, 
exige-se do cidadão do século XXI habilidades matemáticas es-
senciais tais como compreensão de grá�cos, capacidade de fazer 
estimativas, de organização do pensamento, tomada consciente 
de decisões, entre outras, de modo que ele seja capaz de fazer 
uma leitura de mundo, de encarar desa�os e resolver proble-
mas, levantando hipóteses e buscando soluções, além de emitir 
opinião sobre fatos e fenômenos que emergem da realidade na 
qual está inserido (PERNAMBUCO, 2019, p. 65).
A palavra matemática vem do grego mathematike. Em sua ori-
gem, estava ligada ao ato de aprender, pois significava “tudo o que 
se aprende”, enquanto matemático, do grego mathematikos, era a 
palavra usada para designar alguém “disposto a aprender”. O verbo 
aprender era originalmente, em grego, manthanein; mas hoje o radi-
cal math, antes presente nas palavras ligadas à aprendizagem, parece 
ter perdido essa conotação e daí talvez resulte a ideia geral de que 
a Matemática é uma disciplina que lida apenas com números, gran-
dezas e medidas e que se aprende na escola de forma compulsória.
Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além de 
uma linguagem para expressar seu pensamento, ferramentas 
com as quais ele pode gerar novos pensamentos e desenvolver 
raciocínios, ou seja,
[…] a Matemática não é simplesmente uma disciplina, mas 
também uma forma de pensar. É por isso que a Matemática, 
assim como a alfabetização, é algo que deveria ser tornado dis-
ponível para todos […] (NUNES; BRYANT; 1997, p. 105).
A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponível a 
todo ser humano, para que possa fazer uso dela como uma de suas 
ferramentas de sobrevivência e convívio social, promovendo uma 
formação inclusiva.
1 Segundo a Matriz de Avaliação de Matemática do Pisa 2012 (disponível em: https://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/
matriz_avaliacao_matematica.pdf; acesso em: 2 maio 2022): Letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em 
uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar 
e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos 
possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.
VI
Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar 
características da Matemática podem expandir -se para outros 
raciocínios, impulsionando a capacidade global de aprendizado. 
Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o pensamento em um 
conjunto de axiomas, na geração e na validação de hipóteses, no 
desenvolvimento de algoritmos e procedimentos de resolução de 
problemas — ferramentas aplicáveis a um conjunto de situações 
similares —, estabelecendo conexões e fazendo estimativas. Ana-
lisando situações particulares e inserindo -as na estrutura global, 
é possível construir estruturas de pensamento também úteis em 
situações não matemáticas da vida em sociedade.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de 
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, 
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com 
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de 
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas abs-
tratos, que organizam e inter -relacionam fenômenos do espaço, 
do movimento, das formas e dos números, associados ou não a 
fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e ob-
jetos que são fundamentais para a compreensão de fenômenos, 
a construção de representações signi�cativas e argumentações 
consistentes nos mais variados contextos (BRASIL, 2018, p. 265).
Ao construir sua história, o ser humano tem modificado e am-
pliado constantemente suas necessidades, individuais ou coletivas, 
de sobrevivência ou de cultura. O corpo de conhecimentos desen-
volvido nesse longo trajeto ocupa lugar central no cenário humano. 
No que diz respeito aos conhecimentos matemáticos, muitos 
continuam atravessando os séculos, enquanto outros já caíram em 
desuso. Há, ainda, outros que estão sendo incorporados em razão 
das necessidades decorrentes das ações cotidianas, como é o caso 
da Educação Financeira. As novas práticas solicitam a ampliação e 
o aprofundamento desses conhecimentos.
Até algumas décadas atrás, “saber” Matemática implicavabasi-
camente dominar e aplicar as operações básicas: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Na atualidade, contudo, as pesquisas edu-
cacionais, as diretrizes pedagógicas oficiais e, em especial, a BNCC 
apontam para a necessidade de que em todos os anos da Educação 
Básica a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unidades 
Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e 
Probabilidade e estatística, tendo como referência o desenvolvi-
mento das competências e habilidades descritas pela BNCC.
Na BNCC, competência é de�nida como a mobilização de 
conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práti-
cas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resol-
ver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da 
cidadania e do mundo do trabalho (BRASIL, 2018, p. 8).
Para entender a real importância da Matemática, basta pensar 
em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de ações nas quais 
precisamos mobilizar os conhecimentos desse campo: calcular uma 
despesa para efetuar seu pagamento; examinar diferentes alternativas 
de crédito; estimar valores; calcular medidas e quantidades com algu-
ma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia apresentados 
por meio de tabelas e gráficos; analisar criticamente a validade de um 
argumento lógico; avaliar a razoabilidade de um resultado numérico 
ou estatístico; decidir a sequência de passos necessários para resolver 
um problema; orientarmo -nos no espaço (para deslocamentos ou 
indicações de trajetórias), entre tantas outras situações.
Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender continua-
mente, durante toda a vida, para assimilar as incessantes inovações do 
mundo moderno e, desse modo, realimentar seu repertório cultural. 
Em um ambiente mundial cada vez mais competitivo e desenvolvido 
do ponto de vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as 
pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilidade também da 
educação escolar levar o estudante a perceber criticamente a realidade, 
cuja interpretação depende da compreensão de sua estrutura lógica, 
do entendimento da simbologia adotada no contexto, da análise das 
informações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas, inde-
xadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos conhecimentos 
matemáticos pode estar privado de exercer seus direitos como cidadão, 
por não ter condições de opinar em situação de igualdade com os 
demais membros da sociedade, nem de definir seus atos políticos e 
sociais com base em uma avaliação acurada da situação.
No ensino da Matemática, assumem grande importância 
aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos matemáticos 
com suas representações (esquemas, diagramas, tabelas, figuras); 
a motivação para identificar no mundo real o uso de tais repre-
sentações; o desafio à interpretação, por meio da Matemática, da 
diversidade das informações advindas desse mundo.
Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de hoje 
depende cada vez mais do conjunto de conhecimento produzido 
pela humanidade, incluindo de maneira notável as contribuições 
da ciência matemática. Ao mesmo tempo, esse arcabouço cultural 
revigora -se incessantemente, com grande diversidade e sofisti-
cação. Os apelos de um mundo que se transforma em incrível 
velocidade, em uma crescente variedade de domínios, consti-
tuem uma das razões mais significativas para o maior desafio 
dos educadores: preparar os jovens para uma atuação ética e 
responsável, balizada por uma formação múltipla e consistente.
Matemática acadêmica × Matemática escolar
No âmbito específico da Matemática, há muito mais conhe-
cimento já estabelecido do que o que chega à sala de aula. 
A seleção desses conhecimentos -conteúdos e a maneira de 
apresentá -los aos estudantes exigem bom preparo didático e 
pedagógico e uma série de estudos e adaptações.
Em sua formação inicial, na universidade, o futuro profes-
sor de Matemática tem contato simultâneo com a Matemática 
acadêmica e a Matemática escolar. No entanto, em seu exercício 
profissional, o destaque será para a Matemática escolar; daí a rele-
vância de procurarmos entender a distinção entre ambas.
De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática acadêmi-
ca, ou científica, é o corpo de conhecimentos produzido por mate-
máticos profissionais. Nesse caso, as demonstrações, definições e 
provas de um fato e o rigor na linguagem utilizada ocupam papel 
relevante, visto que é por meio deles que determinado conheci-
mento é aceito como verdadeiro pela comunidade científica.
No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fundamentais 
que modificam significativamente o papel do rigor nas demons-
trações. O primeiro refere -se ao fato de a “validade” dos resultados 
matemáticos, que serão apresentados aos estudantes no processo 
de ensino -aprendizagem, não ser colocada em dúvida; ao contrário, 
já está garantida pela própria Matemática acadêmica. O segundo 
aspecto diz respeito à aprendizagem; nesse caso, o mais importante 
VII
é o desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure a 
compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais, assim como a 
construção de justificativas que permitam ao jovem estudante utilizá-
-los de maneira coerente e conveniente, tanto na vida escolar quanto 
na cotidiana, propiciando o desenvolvimento das competências e 
habilidades para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo.
O pensador Henri Jules Poincaré também discute a diferença 
entre o rigor necessário e conveniente à Matemática científica 
e o rigor adequado a um processo educativo. Para ele, uma boa 
definição é aquela que pode ser entendida pelo estudante. 
Diante disso, a coleção procura harmonizar o uso da língua mater-
na com a linguagem matemática, promovendo uma leitura acessível 
e adequada aos estudantes dos anos finais do Ensino Fundamental. 
• A Matemática como componente curricular 
do Ensino Fundamental
A importância de ensinar Matemática no Ensino Fundamental, 
conforme indica a BNCC, decorre também da contribuição que a 
área representa na formação do cidadão. 
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o de-
senvolvimento do letramento matemático, de�nido como as 
competências e habilidades de raciocinar, representar, comu-
nicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o 
estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução 
de problemas em uma variedade de contextos, utilizando 
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. 
É também o letramento matemático que assegura aos estu-
dantes reconhecer que os conhecimentos matemáticos são 
fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e 
perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como 
aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e 
crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamen-
te relacionado a algumas formas de organização da aprendi-
zagem matemática, com base na análise de situações da vida 
cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da própria Ma-
temática (BRASIL, 2018, p. 266).
Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Educação Ma-
temática têm procurado sintetizar o papel social do ensino dessa 
área do conhecimento. Na literatura, segundo Ponte (2002), cabem 
ao ensino da Matemática quatro diferentes papéis:
 • instrumento da cultura científica e tecnológica, fundamental 
para profissionais como cientistas, engenheiros e técnicos, que 
utilizam a Matemática em suas atividades;
 • filtro social para a continuação dos estudos e a seleção para as 
universidades;
 • instrumento político, como símbolo de desenvolvimento e arma 
de diversas forças sociais que utilizam as estatísticas do ensino 
da Matemática para seus propósitos;
 • promotora do desenvolvimento dos modos de pensar a serem 
aplicados na vida cotidiana e no exercício da cidadania.
É evidente que cada um desses papéis serve a diferentes in-
teresses e finalidades. Contudo, considerando os indivíduosseres 
sociais, é o último desses papéis o mais importante e o que mais 
nos interessa. Como explica Ponte:
Incluem -se aqui os aspectos mais diretamente utilitários 
da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular 
a área da sala), mas não são esses aspectos que justi�cam a 
importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a capa-
cidade de entender a linguagem matemática usada na vida 
social e a capacidade de usar um modo matemático de pensar 
em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural, cívi-
co e pro�ssional. Em teoria, todos reconhecem que esta é a 
função fundamental do ensino da Matemática. Na prática, 
infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos 
importância (PONTE, 2002).
O fato de a função de promover modos de pensar estar explici-
tada no currículo e nos programas não é suficiente, contudo, para 
concretizar essa função.
O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura 
pro�ssional dos professores podem in�uenciar de tal modo 
as práticas de ensino que as �nalidades visadas pelo currícu-
lo em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é 
solenemente proclamado nos textos o�ciais. (PONTE, 2002).
Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte (2002) analisa em par-
ticular a função de filtro social e afirma que “a verdade é que este 
papel de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a 
relação dos jovens com a Matemática”. Isso se dá porque os estu-
dantes passam a enxergá -la como obstáculo a ser transposto para 
a conquista de objetivos, em vez de entendê -la como aliada nesse 
processo. O pesquisador enfatiza a importância de identificar os 
fatores que originam o insucesso dos estudantes em Matemática. 
Para ele, tais fatores estão relacionados com:
 • a crise da escola como instituição, que se reflete na aprendizagem 
em geral e na Matemática em particular;
 • aspectos de natureza curricular — tradição pobre de desenvol-
vimento curricular de Matemática;
 • insuficiente concretização prática e caráter difuso das finalidades 
do aprendizado;
 • o próprio fato de a Matemática constituir -se em instrumento de 
seleção, o que, de imediato, desencanta e amedronta o estudante;
 • questões ligadas à formação dos professores.
Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos destacar que:
[...] Os processos matemáticos de resolução de proble-
mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da 
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas 
da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo 
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de 
todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza-
gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de 
competências fundamentais para o letramento matemático 
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação) 
e para o desenvolvimento do pensamento computacional 
(BRASIL, 2018, p. 266).
As atuais e inúmeras discussões na área educacional têm nos 
alertado sobre mudanças na forma de conceber a Educação Básica 
no mundo. No que diz respeito à Educação Matemática, podemos 
dizer que ela tem atravessado um grato momento de revitalização:
Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma am-
pla discussão dos seus objetivos fazem da Educação Matemá-
tica uma das áreas mais férteis nas re�exões sobre o futuro da 
sociedade (D'AMBROSIO, 2000).
VIII
A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas contem-
porâneos, como é o caso dos “direitos da criança e do adolescente” 
e “educação em direitos humanos”:
Por �m, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como 
às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe-
tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a 
abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida hu-
mana em escala local, regional e global, preferencialmente de 
forma transversal e integradora (BRASIL, 2018, p. 19).
A orientação de introduzir e interligar no âmbito escolar temas 
dessa natureza traz efetivas possibilidades de expansão dos currí-
culos, para além dos conteúdos das disciplinas tradicionais. Esses 
temas também podem ser abordados de acordo com a necessidade 
dos estudantes e da comunidade em que estão inseridos.
O importante é ter em vista que, por meio do trabalho com 
esses temas, é possível incluir as questões sociais nos currículos 
escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos trabalhados ganham 
novo papel; o aprendizado da Matemática, entre outras aborda-
gens, concorre para a formação da cidadania e, consequente-
mente, para um entendimento mais amplo da realidade social.
Por compreender a importância desse trabalho, esta coleção 
procura, na medida do possível, incorporar e discutir alguns con-
teúdos matemáticos em contextos diversificados.
Objetivos da formação básica para o Ensino 
Fundamental 
Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de Edu-
cação/Câmara de Educação Básica2 sobre Diretrizes Curriculares 
Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos, os obje-
tivos para a formação básica relativos ao Ensino Infantil e Ensino 
Fundamental são:
• o desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo 
como meios básicos o pleno domínio da leitura, da 
escrita e do cálculo;
• a compreensão do ambiente natural e social, do sistema 
político, das artes, da tecnologia e dos valores em que 
se fundamenta a sociedade;
• a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação 
de atitudes e valores como instrumentos para uma visão 
crítica do mundo;
• o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de 
solidariedade humana e de tolerância recíproca em que 
se assenta a vida social.
O papel do livro didático
Entendemos que, em geral, os recursos presentes em salas de 
aula não são suficientes para fornecer todos os elementos necessários 
ao trabalho do professor e à aprendizagem do estudante. Nesse caso, 
o livro didático desempenha um papel importante, assessorando 
nesse processo, como organização e encaminhamento da teoria e 
propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro didático contri-
bui para o processo de ensino -aprendizagem e atua como mais um 
interlocutor na comunicação entre educador e educando.
² BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília: 
Parecer CNE/CEB no11/2010. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/rceb007_10.pdf. Acesso em: 27 maio 2022.
Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais completo 
que seja, deve ser utilizado intercalado com outros recursos que 
enriqueçam o trabalho do professor.
Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que, partindo 
do princípio de que o verdadeiro aprendizado apoia -se na com-
preensão, e não na memória, e de que somente uma real interação 
com os estudantes pode estimular o raciocínio e o desenvolvimento 
de ideias próprias em busca de soluções, cabe ao professor aguçar 
seu espírito crítico perante o livro didático.
Na organização desta coleção, os conceitos e as atividades 
foram concebidos e dispostos em uma sequência que garanta a 
abordagem dos conhecimentos matemáticos relativos aos Anos 
Finais do Ensino Fundamental, visando à ampliação dos conheci-
mentos básicos tratados nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, 
apresentando -os em capítulos específicos e, depois, retomando-
-os e ampliando -os em volumes posteriores. Assim, os estudantes 
podem resgatar os conhecimentos trabalhados anteriormente, 
ampliar os conceitos ao longo de seus estudos em Matemática do 
6o ao 9o anos e preparar -se para a continuidade no Ensino Médio.
As orientações deste Manual pretendem esclarecer inten-
ções, objetivos e concepções das atividades que podem auxiliar 
o trabalho pedagógico do professor em seus encaminhamentos, 
intervenções e na ampliação e no enriquecimento de seus conhe-
cimentos matemáticos.
Competências socioemocionais
Nas últimas décadas, a Educação passou a enfatizar abordagens 
que incluíam outras dimensões do desenvolvimento humano, como 
a afetiva, a social para além da tradicionalênfase no cognitivo e na 
aquisição de conhecimento. A educação socioemocional sempre 
esteve presente no ambiente escolar de diferentes formas, seja na 
própria cultura escolar ou como suporte para projetos de com-
portamento positivo. A nova proposta é que essas competências 
sejam ensinadas propositadamente permitindo aos estudantes 
oportunidades para praticá-las.
Solidariedade, amizade, responsabilidade, colaboração, empa-
tia, organização, ética, cidadania e honestidade são valores (ou ca-
racterísticas) que deverão ser ensinados, praticados ou estimulados 
nas escolas, segundo as diretrizes da BNCC. Esse documento valoriza 
os estudantes em sua singularidade e diversidade, afirmando que 
toda criança, jovem ou adolescente deve ter oportunidades para 
saber ser criativo, analítico-crítico, colaborativo, resiliente, aplicar 
conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar 
decisões, entre outras características.
Compreender o conceito de competências socioemocio-
nais envolve o estudo das emoções. Ao longo da história, as 
emoções foram abordadas de diferentes perspectivas: da neu-
ropsicologia, da biologia, dos padrões das espécies, da psi-
copedagogia, da cultura etc. Dentre todas essas abordagens, 
aquelas voltadas para as competências socioemocionais no 
contexto escolar são as de interesse nesse texto por abordarem 
diretamente as novas diretrizes propostas pela Base Nacional 
Comum Curricular (BNCC), a proposta de Educação para o 
século 21 (proposta pela Unesco) e o ensino integral.
IX
Na BNCC, as competências socioemocionais estão presen-
tes em todas as 10 competências gerais. Portanto, no Brasil, 
até 2020, todas as escolas deverão contemplar as competências 
socioemocionais em seus currículos (BASE, 2022).
Nesta coleção, trabalhamos com essas competências em dife-
rentes momentos, na forma de atividades ou de orientações para 
o desenvolvimento do trabalho. Ao longo deste Manual, você en-
contrará diferentes orientações que colaboram para esse trabalho. 
Para ampliar o trabalho com as competências socioemocionais, 
temos como apropriado considerar os aspectos que caracterizam 
a adolescência, a diversidade e as culturas juvenis. Com base nesses 
aspectos, é importante compreender as situações que podem ser 
recorrentes na escola, como o bullying, e, assim, trabalhar temas e 
contextos que possibilitem promover a saúde mental dos estudan-
tes e a cultura de paz. De maneira geral, discutiremos esses aspectos 
a seguir e, mais especificamente, retomaremos esses assuntos no 
decorrer do Manual de cada volume da coleção, quando o contexto 
apresentado for conveniente para se trabalharem esses temas.
• Caracterização da adolescência
Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei n o 
8.069/1990: “Considera -se criança, para os efeitos desta Lei, a pessoa 
até doze anos de idade incompletos, e adolescente aquela entre 
doze e dezoito anos de idade.”.
De acordo com a BNCC:
Os estudantes dessa fase inserem -se em uma faixa etária que 
corresponde à transição entre infância e adolescência, marcada 
por intensas mudanças decorrentes de transformações biológi-
cas, psicológicas, sociais e emocionais. [...] ampliam -se os vín-
culos sociais e os laços afetivos, as possibilidades intelectuais 
e a capacidade de raciocínios mais abstratos. Os estudantes 
tornam -se mais capazes de ver e avaliar os fatos pelo ponto de 
vista do outro, exercendo a capacidade de descentração, “im-
portante na construção da autonomia e na aquisição de valores 
morais e éticos” (BRASIL, 2010); (BRASIL, 2018, p. 60).
Esta coleção procura uma aproximação com os estudantes dessa 
fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha de assuntos que 
possam despertar seu interesse. Um desses momentos pode ser 
observado nas aberturas dos capítulos, nas quais são apresentadas 
situações que buscam aguçar a curiosidade dos estudantes para o 
tema a ser tratado. Além disso, a coleção busca também facilitar a pas-
sagem de um ano para outro no processo de ensino -aprendizagem 
em Matemática, retomando conceitos, revisitando conhecimentos 
– como as quatro operações fundamentais e o estudo das figuras 
geométricas –, ampliando e aprofundando conteúdos com novos 
aspectos, a fim de que os estudantes se apropriem dos conceitos com 
a compreensão dos processos neles envolvidos, caso da ampliação 
do campo numérico (dos números naturais aos números reais).
• Diversidade e culturas juvenis
No mundo contemporâneo, um dos principais desafios é apren-
der a conviver em um ambiente de diversidade, já que muitas vezes as 
diferenças entre as pessoas não são vistas como algo positivo, dando 
lugar à discriminação, ao preconceito ou ao reforço de desigualdades.
É importante considerar que os jovens são diferentes em mui-
tos aspectos, como origem social, gênero, território, modos de ser, 
sentir, agir, entre tantos outros. 
Assim, a escola deve ser o espaço em que essas diversas culturas 
juvenis se manifestem, se relacionem e se organizem em busca de 
um objetivo comum. Segundo a BNCC,
Considerar que há muitas juventudes implica organizar 
uma escola que acolha as diversidades, promovendo, de modo 
intencional e permanente, o respeito à pessoa humana e aos 
seus direitos. E mais, que garanta aos estudantes ser protago-
nistas de seu próprio processo de escolarização, reconhecen-
do-os como interlocutores legítimos sobre currículo, ensino e 
aprendizagem. Signi�ca, nesse sentido, assegurar-lhes uma for-
mação que, em sintonia com seus percursos e histórias, permi-
ta-lhes de�nir seu projeto de vida [...] (BRASIL, 2018, p. 463).
A diversidade não pode ser considerada um obstáculo para a 
convivência, mas o contrário: deve ser tratada como uma oportu-
nidade ao indivíduo de ganhar novas perspectivas, expandir seus 
horizontes e aprender com as diferenças, valorizando a multiplici-
dade de culturas e grupos que formam a sociedade.
Conforme a�rmado na Declaração Universal dos Direitos 
Humanos, em seu artigo 1o, “Todos os seres humanos nascem 
livres e iguais em dignidade e em direitos. [...]” (ORGANIZA-
ÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS, 1948).
A escola é um espaço formado por uma diversidade de pessoas 
e deve promover a reflexão sobre diferentes temáticas de modo a 
desconstruir preconceitos.
Para trabalhar a diversidade, apresente ao estudante o trecho 
a seguir, da palestra O perigo de uma história única, do livro de 
mesmo nome, da escritora nigeriana Chimamanda Ngozi Adichie. 
A autora explica em detalhes os problemas causados quando 
contamos com apenas uma fonte de informações para conhecer 
a história e a identidade de um povo, enfatizando a necessidade 
de pesquisar diferentes fontes para compreender outras culturas.
Anos depois, pensei nisso quando saí da Nigéria para fa-
zer faculdade nos Estados Unidos. Eu tinha dezenove anos. 
Minha colega de quarto americana �cou chocada comigo. Ela 
perguntou onde eu tinha aprendido a falar inglês tão bem e 
�cou confusa quando respondi que a língua o�cial da Nigéria 
era o inglês. Também perguntou se podia ouvir o que chamou 
de minha “música tribal”, e �cou muito decepcionada quando 
mostrei minha �ta da Mariah Carey. Ela também presumiu que 
eu não sabia como usar um fogão.
O que me impressionou foi: ela já sentia pena de mim an-
tes de me conhecer. Sua postura preestabelecida em relação a 
mim, como africana, era uma espécie de pena condescendente 
e bem-intencionada. Minha colega de quarto tinha uma histó-
ria única da África: uma história única de catástrofe. Naquela 
história única não havia possibilidade de africanos serem pa-
recidos com ela de nenhuma maneira; não havia possibilidade 
de qualquer sentimento mais complexo que pena; não havia 
possibilidade de uma conexão entre dois seres humanos iguais. 
(ADICHIE, 2009)
Após a apresentação, inicie uma conversa sobre a situação descrita 
e sobre os fatos serem analisados em uma perspectiva diversa, fun-
damentada em diversas fontes. Converse sobre o fato de a colega ter 
uma versão estereotipada da autorae como muitas vezes um grupo de 
pessoas é julgado como se fosse composto por uma única identidade.
Esse será um momento importante para conversarem sobre a 
diversidade do grupo e sobre a importância de se respeitarem sem 
julgamentos prévios. Se considerar adequado, apresente a palestra 
para os estudantes ou sugira a leitura do livro.
X
Nas interações com os colegas, os jovens compartilham ideias, 
experiências e saberes, expressam aspectos das culturas juvenis e 
possibilitam o convívio com o diferente. Observar os grupos com os 
quais eles se identificam, ou dos quais fazem parte, contribui para 
a compreensão de seus modos de agir e, ainda, de seu processo 
de formação.
Enfim, para construir uma escola inclusiva, em que os estu-
dantes se sintam acolhidos e protegidos, é necessário estabelecer 
redes de cooperação em que as interações sociais estejam baseadas 
no respeito mútuo, no companheirismo, na solidariedade e no 
compartilhamento de experiências e de saberes. O papel do pro-
fessor na organização dessa rede é fundamental, como mediador 
desse processo de construção do conhecimento, da identidade, da 
autonomia e dos projetos de vida, e deve ser desempenhado nas 
diferentes atividades propostas para serem realizadas em grupos. 
Ao longo da coleção, os estudantes são instigados a realizar tarefas 
em grupo ou trocar saberes, momento que pode ser oportuno para 
trabalhar a diversidade juvenil e propor reflexões sobre cooperação 
e respeito, promovendo a desconstrução de preconceitos.
• Bullying
O termo bullying designa um tipo de violência física ou psico-
lógica e tem sido amplamente utilizado em ambientes escolares, 
para se referir às atitudes hostis, agressivas e mesmo violentas que 
ocorrem persistentemente nas relações interpessoais de estudan-
tes. A palavra bullying tem origem no inglês bully, que significa 
“valentão”, “brigão” ou “tirano”, e é usada para nomear ações de 
agressão, intimidação, maus-tratos e ataques ao outro, pautadas 
em uma relação desigual de poder, para que a vítima se sinta 
inferiorizada, além de ser muitas vezes excluída socialmente de 
ambientes aos quais pertence.
Como forma de prevenção, em primeiro lugar os professores 
devem observar com atenção mudanças apresentadas pelos estu-
dantes, como retraimento excessivo, falta de interesse nas tarefas 
escolares, ausência frequente às aulas, demonstração de tristeza ou 
ansiedade, isolamento do grupo, impaciência, baixa autoestima. 
É importante que professores, assim como toda a comunidade 
escolar, possibilitem um ambiente acolhedor e estreitem vínculos 
com os jovens, para que eles possam sentir segurança e recorram 
a esses adultos quando algo não estiver bem.
Atividades propostas para serem realizadas em grupo podem 
ser um bom momento para desenvolver o conceito de empatia 
por meio da prática de uma escuta atenta e respeitosa, na qual 
os estudantes podem falar e ser escutados, e ideias são compar-
tilhadas e podem ser validadas, possibilitando a eles considerar 
novas maneiras de atuação, fundamentadas na compreensão do 
ponto de vista do outro.
Sugerimos a seguir uma atividade inicial para trabalhar com 
o conceito de empatia.
Apresente aos estudantes a definição da palavra empatia, 
conforme consta em dois dicionários:
Empatia
1. PSICOL Habilidade de imaginar-se no lugar de outra 
pessoa.
2. PSICOL Compreensão dos sentimentos, desejos, ideias 
e ações de outrem.
3. Qualquer ato de envolvimento emocional em relação a 
uma pessoa, a um grupo e a uma cultura.
[...]
Fonte: EMPATIA. In: MICHAELIS Dicionário Brasileiro da Língua 
Portuguesa. São Paulo: Melhoramentos, 2015. Disponível em: https://
michaelis.uol.com.br/moderno-portugues/busca/portugues-brasileiro/
empatia/. Acesso em: 30 jun. 2022.
Empatia
1. Psi. Experiência pela qual uma pessoa se identi�ca com 
outra, tendendo a compreender o que ela pensa e a sentir o que 
ela sente, ainda que nenhum dos dois o expressem de modo 
explícito ou objetivo.
2. Capacidade de compreensão emocional e estética de um 
objeto, ger. de arte (um quadro, livro, �lme, p. ex.).
3. Nas inter-relações pessoais e sociais, capacidade de al-
guém de se ver como os outros o veem, de ver outrem como os 
outros o veem e também como ele mesmo se vê.
Fonte: EMPATIA. In: AULETE Digital. Rio de Janeiro: Lexicon. Disponível 
em: https://www.aulete.com.br/empatia. Acesso em: 30 jun. 2022.
Em seguida, solicite aos estudantes que expressem, verbal-
mente ou por escrito, situações em que colocamos em prática a 
empatia. Se possível, peça que deem exemplos de situações em que 
alguém foi empático com eles ou em que eles aplicaram empatia. Dê 
oportunidades para que todos possam se manifestar e, do mesmo 
modo, respeite aqueles que não quiserem falar. Após a conversa, 
organize a sala em grupos e solicite que cada grupo escreva cinco 
atitudes que viabilizam a prática de empatia na escola. Depois, com 
a participação de todos, escolham dez atitudes que consideram 
mais importantes e confeccionem cartazes sobre o tema para serem 
anexados em alguns pontos da escola.
• Saúde mental dos estudantes
É importante que professores, assim como toda a comunidade 
escolar, observem os diferentes sinais que os jovens em sofrimento 
emocional costumam dar, como isolamento e distanciamento dos 
amigos e dos grupos sociais, brigas constantes e agressividade, publi-
cações com conteúdo negativo nas redes sociais ou participação em 
grupos virtuais que incentivam automutilação ou suicídio, entre outros. 
Muitos desses sinais poderão se manifestar ao longo deste e 
dos próximos anos como decorrência do impacto da pandemia de 
Covid-19 na saúde emocional dos estudantes.
Um estudo publicado em 1o de abril de 2022, realizado pela Se-
cretaria da Educação do Estado de São Paulo e pelo Instituto Ayrton 
Senna3, revelou que dois de cada três estudantes do 5o e 9o ano do 
Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio da rede estadual rela-
tam sintomas de depressão e ansiedade. De acordo com esse estudo:
³ INSTITUTO Ayrton Senna. Mapeamento aponta que 70% dos estudantes de SP relatam sintomas de depressão e ansiedade. Disponível em: 
https://institutoayrtonsenna.org.br/pt-br/conteudos/mapeamento-aponta-que-70-por-cento-dos-estudantes-de-SP-relatam-sintomas-de-depressao.html . 
Acesso em: 11 maio 2022.
XI
A avaliação mergulha nos danos severos à educação cau-
sados pela pandemia e reforça o desenvolvimento socioemo-
cional como mola propulsora para a aprendizagem e outras 
conquistas ao longo da vida. A análise dos dados ainda revela 
a importância direta das competências socioemocionais para 
o aprendizado e o seu impacto em outros aspectos que afetam 
a aprendizagem indiretamente, como saúde mental, violência 
e estratégias de aprendizagem [...].
Prejuízos no desenvolvimento dessas competências podem 
impactar diversos resultados ao longo da vida dos estudantes. O 
estudo revelou que características como autogestão, que inclui 
foco, determinação, organização, persistência e responsabilidade, 
e amabilidade, que reúne empatia, respeito e confiança, foram 
afetadas durante a pandemia.
Desenvolver habilidades de autoconhecimento, como o re-
conhecimento das próprias emoções, para administrar metas e 
objetivos de maneira mais eficiente, pode ser um recurso valioso 
nestas situações. O autoconhecimento faz parte das competências 
socioemocionais e, quando desenvolvido, possibilita ao jovem criar 
estratégias eficazes para o manejo das emoções nos diferentes 
contextos sociais dos quais participa.
É possível trabalhar o autoconhecimento em diferentes situa-
ções do cotidiano escolar, trabalhando com os estudantes o reco-
nhecimento das próprias emoções, pensamentos, desejos, medos, 
frustrações, dificuldades e assim por diante. Uma atividade que 
pode ser praticada em alguns momentos é sugerir aos estudantes 
que se perguntem “o porquê”.
 • Por que estou brigando com esse colega?
 • Por que esta tarefa me incomoda?
 • Por que não gosto deste professor ou deste colega?
 •Por que tenho medo de responder oralmente a uma pergunta 
feita pelo professor?
Ao identificarem as causas de determinados sentimentos ou 
ações, poderão refletir sobre suas atitudes e, assim, administrar 
situações futuras que possam prejudicá-los em momentos diversos, 
na escola ou no convívio social fora dela.
Para ampliar o conhecimento sobre si mesmo, destacam-se as 
práticas meditativas, em especial o mindfulness, ou atenção plena. 
Trata-se de um exercício compreendido por Leahy como “estado 
mental particular e intencional que une atenção focada no presente, 
consciência aberta e memória de si mesmo”. Praticado constantemen-
te, auxilia na redução do estresse e da ansiedade, possibilitando maior 
criatividade, aumento do autocontrole e da resistência emocional, 
além de maior satisfação ao realizar as atividades do cotidiano.
• Cultura de paz
A cultura de paz está relacionada à compreensão dos princí-
pios de liberdade, justiça, democracia, igualdade e solidariedade, 
proposta em 1999 pela Organização das Nações Unidas (ONU). En-
volve um modo de agir e de se posicionar, com base na prática da 
não violência, por meio da educação, do diálogo e da cooperação.
Mais do que teoria e prática, a não violência deve ser uma 
atitude que permeia toda a prática de ensino, envolvendo to-
dos os pro�ssionais de educação e os estudantes da escola, os 
pais e a comunidade, em um desa�o comum e compartilhado. 
Assim, a não violência integrada confere ao professor outra 
visão do seu trabalho pedagógico. A escola deve dar lugar ao 
diálogo e ao compartilhamento, tornando-se um centro para 
a vida cívica na comunidade.
Para obter um impacto real, a educação sem violência deve 
ser um projeto de toda a escola, o qual deve ser planejado, 
integrado em todos os aspectos do currículo escolar, na pe-
dagogia e nas atividades, envolvendo todos os professores e 
pro�ssionais da escola, assim como toda a estrutura organi-
zacional da equipe de tomada das decisões educacionais. As 
práticas de não violência devem ser coerentes e devem estar 
re�etidas nas regras e na utilização das instalações da escola.
Vista pelo ângulo da não violência, a educação ajuda a:
• aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, 
bem como os nossos direitos; 
• aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferen-
ças e similaridades;
• desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no 
diálogo e na compreensão intercultural;
• ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas 
para resolverem seus conflitos, experimentarem con-
flitos utilizando maneiras construtivas de mediação e 
estratégias de resolução;
• promover valores e atitudes de não violência – auto-
nomia, responsabilidade, cooperação, criatividade e 
solidariedade;
• capacitar estudantes a construírem juntos, com seus 
colegas, os seus próprios ideais de paz.
(UNESCO, [entre 2017 e 2022]).
Considerada um espaço privilegiado para a convivência com a 
diversidade e a promoção do diálogo, diante de tudo que foi apre-
sentado, destacamos que a escola precisa oferecer um ambiente de 
confiança entre os estudantes, professores e gestores. Para tanto, é 
preciso formar crianças e jovens que atuem com base em princípios 
éticos e solidários, além de combater as violências que fazem parte 
de qualquer sociedade. Pautado em valores humanos, o trabalho 
com as competências socioemocionais precisa ser exercitado dia-
riamente para que se transforme em uma ação concreta. Ao expe-
rimentar uma troca possibilitada por meio do diálogo legítimo, em 
que o estudante pode ouvir os pares e ser escutado, intercambiando 
pontos de vista e construindo argumentos consistentes e bem fun-
damentados, ele irá adquirir e vivenciar habilidades essenciais que 
farão a diferença em sua profissionalização e em sua vida futura.
BNCC e currículos
A BNCC e os currículos estão em concordância com os princípios e 
valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 
(LDB) e as Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (DCN).
Com base nesses documentos, relacionam-se algumas ações que 
visam adequar suas proposições à realidade dos sistemas ou redes 
de ensino e das instituições escolares, considerando o contexto e as 
características dos estudantes:
• contextualizar os conteúdos dos componentes curri-
culares, identificando estratégias para apresentá -los, 
representá -los, exemplificá -los, conectá -los e torná -los 
significativos, com base na realidade do lugar e do tem-
po nos quais as aprendizagens estão situadas;
• decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos 
componentes curriculares e fortalecer a competência 
XII
COMPETÊNCIAS GERAIS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA 
PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o 
mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, 
democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das 
ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação 
e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular 
e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos 
conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais 
às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção 
artístico -cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual -motora, como Libras, 
e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das 
linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar 
informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e 
produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e 
comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas 
práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e 
disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar -se de 
conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações 
próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da 
cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência 
crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, 
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões 
comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência 
socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e 
global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos 
outros e do planeta.
8. Conhecer -se, apreciar -se e cuidar de sua saúde física e emocional, 
compreendendo -se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e 
as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, 
fazendo -se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos 
humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de 
grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem 
preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, 
resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, 
democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto 
das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em 
diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que 
contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e 
para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos 
no mundodo trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a 
capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo 
aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no 
mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas 
do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, 
desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de 
soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo 
a investigar, organizar, representar e comunicar informações 
relevantes, para interpretá -las e avaliá -las crítica e eticamente, 
produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, 
validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações -problema em múltiplos contextos, incluindo-
-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o 
aspecto prático -utilitário, expressar suas respostas e sintetizar 
conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, 
tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e 
outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, 
e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, 
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade 
de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos 
de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando 
coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas 
para responder a questionamentos e na busca de soluções para 
problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na 
discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de 
pensar dos colegas e aprendendo com eles.
pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias 
mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à 
gestão do ensino e da aprendizagem;
• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-
-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos dife-
renciados e a conteúdos complementares, se necessário, 
para trabalhar com as necessidades de diferentes grupos 
de estudantes, suas famílias e cultura de origem, suas 
comunidades, seus grupos de socialização etc.;
• conceber e pôr em prática situações e procedimentos 
para motivar e engajar os estudantes nas aprendizagens;
• construir e aplicar procedimentos de avaliação forma-
tiva de processo ou de resultado que levem em conta os 
contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais 
registros como referência para melhorar o desempenho 
da escola, dos professores e dos estudantes;
• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e 
tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;
• criar e disponibilizar materiais de orientação para os 
professores, bem como manter processos permanentes 
de formação docente que possibilitem contínuo aper-
feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;
• manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges-
tão pedagógica e curricular para os demais educadores, 
no âmbito das escolas e sistemas de ensino.
(BRASIL, 2018, p. 16-7).
• Competências na BNCC
Visando assegurar as aprendizagens essenciais a que todo 
estudante da Educação Básica tem direito, a BNCC propõe o de-
senvolvimento de competências que vão além dos conteúdos cur-
riculares a serem ensinados, pois, como expusemos anteriormente, 
é preciso assumir a necessidade de os estudantes se tornarem 
capazes de mobilizar conteúdos, habilidades, atitudes e valores. 
Nesse sentido, propõe 10 competências gerais para a Educação 
Básica e 8 competências específicas para a área de Matemática, as 
quais listamos a seguir.
XIII
Ao longo dos conteúdos, são oferecidas diferentes oportunida-
des para o estudante interpretar, refletir, analisar, discutir, elaborar 
hipóteses, argumentar, concluir e expor resultados de diversas 
maneiras, contribuindo para o desenvolvimento das competências. 
Esse trabalho é realizado em vários momentos da coleção, como nas 
seções Diversificando e Trabalhando a informação.
Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, 
Unidades Temáticas organizam diferentes objetos de conhecimen-
to que, por sua vez, propõem um conjunto de habilidades a serem 
trabalhadas com os estudantes. 
• Unidades Temáticas
De acordo com a BNCC:
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os es-
tudantes se deparam com desa�os de maior complexidade, 
sobretudo devido à necessidade de se apropriarem das diferen-
tes lógicas de organização dos conhecimentos relacionados às 
áreas. Tendo em vista essa maior especialização, é importante, 
nos vários componentes curriculares, retomar e ressigni�car 
as aprendizagens do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no 
contexto das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e 
à ampliação de repertórios dos estudantes. Nesse sentido, tam-
bém é importante fortalecer a autonomia desses adolescentes, 
oferecendo -lhes condições e ferramentas para acessar e inte-
ragir criticamente com diferentes conhecimentos e fontes de 
informação (BRASIL, 2018, p. 60).
A BNCC propõe cinco Unidades Temáticas: Números, Álgebra, 
Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. 
Dessa forma, procura garantir o trabalho com a variedade de conhe-
cimentos matemáticos ao longo do ano e orientar a formulação de 
habilidades a serem desenvolvidas durante o Ensino Fundamental. 
Com base nos recentes documentos curriculares brasileiros, 
a BNCC leva em conta que os diferentes campos que compõem 
a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que 
produzem articulações entre eles: equivalência, ordem, pro-
porcionalidade, interdependência, representação, variação e 
aproximação. Essas ideias fundamentais são importantes para 
o desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes 
e devem se converter, na escola, em objetos de conhecimento. 
A proporcionalidade, por exemplo, deve estar presente no estudo 
de: operações com os números naturais; representação fracio-
nária dos números racionais; áreas; funções; probabilidade etc. 
Além disso, essa noção também se evidencia em muitas ações 
cotidianas e de outras áreas do conhecimento, como vendas e 
trocas mercantis, balanços químicos, representações grá�cas etc. 
(BRASIL, 2018, p. 268).
A proposta presente nesta coleção, aliada ao trabalho do profes-
sor em sala de aula, propicia a articulação das diferentes Unidades 
Temáticas, estabelecendo conexões entre elas e as outras áreas do 
conhecimento. Faremos a indicação dessas articulações ao longo 
deste Manual.
Apresentamos, a seguir, as principais ideias relacionadas a cada 
Unidade Temática que nortearam a organização da coleção, desta-
cando alguns pontos em que contribuímos para o desenvolvimento 
das competências específicas da Matemática. Ressaltamos que os 
pontos apresentados são exemplos de trabalho, mas, ao longo de toda 
a coleção, contemplamos as 8 competências específicas de modo a 
favorecer o desenvolvimento dos estudantes no estudo da Matemática.
Números
As noções matemáticas fundamentais vinculadas a essa Uni-
dade Temática são as ideias de número, operações, aproximação, 
proporcionalidade, equivalência e ordem.
Nos anos finais do Ensino Fundamental são trabalhados dife-
rentes campos numéricos, de modo que os estudantes resolvam 
problemas com números naturais, números inteiros e números 
racionais, envolvendo as operações e fazendo uso de estratégias 
diversas, reconheçam a necessidade dos números irracionais e 
tomem contato com os números reais, comparando, ordenando e 
relacionando esses números com pontos na reta numérica, envol-
vendoa valorização do raciocínio estruturado de modo a favorecer 
o desenvolvimento da competência específica 2.
Também recorremos à história da Matemática em diferentes mo-
mentos, como no trabalho com os diferentes sistemas de numeração 
ou com números irracionais, o que contribui para o desenvolvimento 
da competência específica 1, que está relacionada com o processo 
de reconhecer a Matemática como uma ciência viva, relacionada a 
diferentes culturas e a diferentes momentos históricos. Espera -se tam-
bém que os estudantes dominem cálculos com porcentagens, juros, 
descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias digitais, favo-
recendo o desenvolvimento da competência específica 5, que propõe 
o uso de diferentes ferramentas, entre elas os recursos tecnológicos. O 
pensamento numérico se completa, é ampliado e aprofundado com a 
discussão de situações que envolvem conteúdos das demais Unidades 
Temáticas, contribuindo para o desenvolvimento da competência es-
pecífica 3, que propõe aos estudantes a compreensão entre as relações 
dos conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática.
Outro aspecto que se quer desenvolver nessa Unidade Temática é 
o estudo de conceitos ligados à educação financeira dos estudantes, 
como conceitos básicos de economia e finanças, temáticas que estão 
diretamente ligadas à competência específica 7, pois permitem 
compreender diferentes questões relacionadas ao contexto social.
Álgebra
O foco dessa Unidade Temática é o desenvolvimento do pensa-
mento algébrico, essencial na compreensão, na representação e na 
análise da variação de grandezas e também no estudo das estruturas 
matemáticas, o que favorece o trabalho com a competência específica 
2, que propõe o desenvolvimento do raciocínio lógico, do espírito de 
investigação e da capacidade de produzir argumentos, habilidades 
que estão intimamente ligadas ao estudo da Álgebra. Nos anos finais 
do Ensino Fundamental, os estudos de Álgebra retomam, aprofundam 
e ampliam a identificação de regularidades e padrões em sequências 
(numéricas ou não) e o estabelecimento de leis matemáticas que 
expressem a interdependência entre grandezas e generalizações. 
Espera -se que os estudantes criem, interpretem e transitem entre as 
diversas representações gráficas e simbólicas para resolver equações 
e inequações, desenvolvidas para representar e solucionar algum tipo 
de problema, o que contribui para o desenvolvimento das compe-
tências específicas 5 e 6. É necessário que o estudante estabeleça 
conexões entre variável e função e entre incógnita e equação.
As ideias matemáticas fundamentais que os estudantes pre-
cisam desenvolver nessa Unidade Temática são: equivalência, 
variação, interdependência e proporcionalidade. O raciocínio 
proporcional envolve diferentes processos mentais, como analisar, 
estabelecer relações e comparação entre grandezas e quantidades, 
XIV
proporcionando uma melhor compreensão das relações multipli-
cativas, o que favorece o trabalho com a competência específica 3.
Além disso, a aprendizagem da Álgebra, assim como as de outros 
campos da Matemática, pode contribuir para o desenvolvimento do 
pensamento computacional. Destaca -se, assim, a importância da 
presença de algoritmos e fluxogramas como objetos de estudo nas 
aulas de Matemática nessa fase do aprendizado.
Geometria
O desenvolvimento do pensamento geométrico, necessário para 
avançar nas habilidades de investigação de propriedades, elaboração de 
conjecturas e produção de argumentos geométricos convincentes, está 
ligado ao estudo da posição e dos deslocamentos no espaço, das formas 
de figuras geométricas e relação entre seus elementos, temas dessa 
Unidade Temática, que contribuem para o desenvolvimento da com-
petência específica 2. Além disso, o aspecto funcional também deve 
estar presente por meio do estudo das transformações geométricas, em 
especial a simetria, com ou sem o recurso de softwares de Geometria 
dinâmica, favorecendo o trabalho com a competência específica 5.
Estão associadas a essa Unidade Temática as seguintes ideias mate-
máticas fundamentais: construção, representação e interdependência.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, o ensino de Geometria 
deve consolidar e ampliar os conhecimentos construídos anteriormen-
te – enfatizando -se a análise e a produção de transformações, amplia-
ções e reduções de figuras geométricas – para o desenvolvimento 
dos conceitos de congruência e semelhança. O raciocínio hipotético-
-dedutivo é outro ponto importante a se destacar; a realização de 
demonstrações simples pode contribuir para a construção desse tipo 
de raciocínio. Além disso, contribuindo para o desenvolvimento da 
competência específica 3, a articulação da Geometria com a Álgebra 
também deve ser ampliada com propostas que envolvam o plano 
cartesiano, objeto de estudo da Geometria analítica.
Grandezas e medidas
O estudo das medidas e das relações entre elas é o foco dessa 
Unidade Temática. Os anos finais do Ensino Fundamental devem 
retomar, aprofundar e ampliar as aprendizagens já realizadas. O es-
tudo das relações métricas favorece a integração da Matemática 
com diversas áreas do conhecimento, assim como a articulação com 
as demais Unidades Temáticas, consolidando e ampliando a noção 
de número e promovendo a aplicação de noções geométricas e a 
construção do pensamento algébrico, favorecendo o trabalho com 
a competência específica 3.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera -se que os estu-
dantes reconheçam comprimento, área e abertura de ângulo como 
grandezas associadas a figuras geométricas, resolvam problemas com 
essas grandezas e obtenham grandezas derivadas, como densidade e 
velocidade. Além disso, deve -se introduzir medidas de capacidade de 
armazenamento de computadores ligadas a demandas da sociedade 
moderna, ressaltando -se o caráter não decimal das relações entre 
elas. Trabalhando com essas grandezas é possível trabalhar o uso 
da Matemática em diferentes contextos sociais, contribuindo para 
o desenvolvimento da competência específica 7.
Probabilidade e estatística
O intuito dessa Unidade Temática é desenvolver habilidades 
necessárias para o exercício pleno da cidadania: coletar, organizar, 
representar, interpretar e analisar dados; descrever, explicar e predizer 
fenômenos com base em conceitos e representações. Desse modo, esse 
trabalho favorece o desenvolvimento da competência específica 7.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, em Estatística espera-
-se que cada estudante seja capaz de planejar e elaborar relatórios 
com base em pesquisas estatísticas descritivas, incluindo medidas 
de tendência central, construir tabelas e tipos variados de gráfico, 
o que favorece o trabalho com a competência específica 4.
Quanto ao estudo de Probabilidade, deve ser ampliado e 
aprofundado. Espera -se que os estudantes façam experimentos 
aleatórios e simulações para aplicar ou comparar resultados obtidos 
com o cálculo de probabilidades.
Propostas didáticas
Os tópicos a seguir destinam -se a oferecer suporte à discussão 
sobre as atuais tendências de ensino – que priorizam a globalidade 
da formação educacional, no sentido de capacitar os jovens a atuar 
de forma positiva na sociedade – alinhadas à proposta da coleção 
e auxiliadoras do trabalho em sala de aula.
• Conhecimentos prévios
Ao passar de um ano para outro de escolaridade, o estudante 
traz experiências pessoais, interpretações e conhecimentos acumu-
lados sobre os conteúdos e temas tratados no ano anterior. Torna -se 
relevante considerar essa bagagem no processo de aprendizagem 
de modo a fazer com que o estudante seja protagonista no processo 
de aprendizagem. Há algum tempo, pesquisas na área da educação 
reforçam a importância de considerar os conhecimentos prévios 
como forma de tornar a aprendizagem mais significativa.
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o 
Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em 
conta as experiências e os conhecimentos matemáticosjá vi-
venciados pelos estudantes, criando situações nas quais possam 
fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qua-
litativos da realidade, estabelecendo inter -relações entre eles e 
desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações precisam 
articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando 
ao desenvolvimento das ideias fundamentais da matemática, 
como equivalência, ordem, proporcionalidade, variação e in-
terdependência (BRASIL, 2018, p. 298).
Esses conhecimentos, embora pouco elaborados cienti�ca-
mente, são construídos pelos estudantes a partir do nascimento, 
acompanhando-os na vida escolar, onde os conceitos cientí�-
cos são inseridos sistematicamente em sala de aula. Ausubel 
(2003) refere-se aos conhecimentos prévios como sendo aque-
las ideias, percepções ou explicações funcionais para os objetos 
e fenômenos, muitas vezes pouco elaborados, diferentemente 
dos saberes cientí�cos apresentados pela escola. Freire (1996) 
evidencia os conhecimentos prévios como a base inicial para 
progressão, sendo as interpretações e representações do senso 
comum, motores da curiosidade ingênua que poderá vir a ser 
curiosidade gnosiológica e base de sustentação e progressão 
para o conhecimento apurado, cientí�co.
Embora a ideia sobre identi�car os conhecimentos prévios 
dos estudantes possa parecer simples, as suas implicações são 
complexas. O que um ser humano sabe pertence a sua estrutura 
cognitiva e é de natureza idiossincrática. Isso signi�ca que não é 
um processo simples, o de descobrir as percepções do estudante 
XV
e aproveitá-las. No entanto, é possível encontrar indícios. Para 
isso, faz-se necessário buscar o conhecimento prévio em forma 
de linguagem falada, escrita ou por meio de símbolos. O fato é 
que subestimar as experiências pessoais dos estudantes seria um 
erro por parte dos professores, uma vez que a educação ocorre a 
partir e através da sua própria experiência (UJIIE, 2017).
Em diferentes momentos desta coleção, é possível criar oportuni-
dades para este levantamento, como nas aberturas de cada capítulo, 
em que, por meio da análise do texto e da imagem e da resolução das 
questões, é possível fazer com que os estudantes compartilhem suas 
experiências pessoais e conhecimentos relacionados ao conteúdo 
que será estudado, tornando a aprendizagem significativa. 
• Resolução de problemas e compreensão 
leitora
O trabalho com a resolução de problemas é um dos destaques do 
ensino matemático contemporâneo. Para atender aos pressupostos de 
uma educação globalmente formadora, o problema matemático deve, 
sempre que possível, ser apresentado em um contexto desafiador, que 
faça sentido ao estudante. Ele possibilita a mobilização dos conteúdos 
estudados em busca de soluções e, sobretudo, abre espaço para a cria-
ção de estratégias pessoais e para a produção de novos conhecimentos.
Um problema matemático é visto como uma situação desafia-
dora que tem significado para o estudante e se define como tal não 
por sua forma, mas sim por sua relação com os saberes e o nível de 
conhecimento do estudante que deve pensar sobre ele. 
Na resolução de problemas, é importante que o estudante:
 • elabore um ou vários procedimentos de resolução (por exemplo, 
realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);
 • compare seus resultados com os de outros estudantes;
 • valide seus procedimentos.
Nas aulas de Matemática, também é necessário fazer um trabalho 
voltado para a linguagem matemática e suas especificidades, muito 
além da aprendizagem de leitura dos enunciados dos problemas pro-
postos. Para isso, deve-se estabelecer um diálogo entre a língua materna 
e a linguagem matemática, solicitando aos estudantes que, além de 
explicarem oralmente a resolução, escrevam sobre o percurso mental 
que realizaram para chegar a ela. Em seguida, em duplas, um estudante 
lê o texto do outro e ambos sugerem propostas para melhorá-los.
Para compreender uma situação-problema, por exemplo, há 
um caminho a ser percorrido: leitura do enunciado, elaboração de 
hipóteses, identificação dos dados que aparecem no texto e solução 
para o que foi proposto. Para esse trabalho caminhar, muitas vezes, 
é necessário retomar as estratégias de leitura e verbalizar com a 
turma todo esse percurso.
Nesta coleção, procuramos diversificar as atividades e propor 
problemas variados, distribuídos entre os capítulos e, em especial, 
nas seções Pense mais um pouco... e Diversificando.
• Uso de tecnologias
Os estudantes estão inseridos na era digital e fazem uso fre-
quente de tecnologia. Assim, a escola não pode ignorar esses im-
portantes recursos e precisa trazê -los para a educação escolar. Para 
isso, o professor precisa se apropriar dessas ferramentas de modo 
que possa identificar tipos de software e formas de utilizá -los com 
os estudantes. Vamos destacar a calculadora e o uso de softwares 
e aplicativos, entre as diversas possibilidades.
É importante salientar que, como instrumento de apoio ao 
processo de ensino -aprendizagem, a calculadora é somente mais 
um recurso auxiliar, e não um substituto do exercício do raciocínio 
ou da capacidade analítica. O que propomos é o uso da calculadora 
de maneira consciente, de modo a contribuir para a reflexão dos 
conteúdos matemáticos.
O uso da calculadora é sugerido na coleção como auxiliar na 
resolução de problemas. Das tecnologias disponíveis na escola, a 
calculadora é, sem dúvida, uma das mais simples e de menor custo. 
Ela pode ser utilizada como instrumento motivador na realização 
de atividades exploratórias e investigativas e, assim, contribuir para 
a melhoria do ensino.
Podemos tomar como orientação para o uso da calculadora em 
atividades matemáticas os seguintes aspectos:
 • é um instrumento que possibilita o desenvolvimento de conteú-
dos pela análise de regularidades e padrões e pela formulação 
de hipóteses;
 • é um facilitador da verificação e da análise de resultados e pro-
cedimentos;
 • sua manipulação e utilização são, em si, conteúdos a serem 
aprendidos.
Sugerimos que, inicialmente, o professor verifique o conhecimen-
to que os estudantes têm sobre o funcionamento da calculadora. O 
ideal é que a escola disponha de calculadoras simples, que ofereçam 
as funções básicas. Caso não seja possível disponibilizar uma calcula-
dora para cada estudante, pode -se trabalhar em duplas ou de outra 
forma a critério do professor.
As atividades sugeridas pressupõem um uso simples da calcu-
ladora, o que poderá ser ampliado de acordo com as necessidades 
e os interesses de cada turma.
Outra possibilidade de aprofundar os conhecimentos matemá-
ticos com o auxílio de tecnologia é o uso de softwares e aplicativos, 
conforme a disponibilidade da escola. Por exemplo, no campo geo-
métrico, softwares de geometria dinâmica permitem a construção 
de retas paralelas e de retas perpendiculares, a investigação e a 
verificação de propriedades geométricas, entre outras possibilidades.
O uso consciente da internet também deve fazer parte da 
educação escolar. É importante que os estudantes saibam fazer 
pesquisas em ambientes confiáveis como também se proteger de 
notícias falsas ou de outros perigos presentes nos ambientes vir-
tuais. Cabe aos professores e à comunidade escolar fazer com que 
a inclusão digital desempenhe um papel significativo no processo 
de aprendizagem, pois ela procura formar cidadãos com capacidade 
de interagir com outros e compartilhar decisões/informações que 
propiciem a lógica da informação a serviço da interatividade.
Pensamento computacional 
A BNCC propõe trabalhar o pensamento computacional por meio 
da Álgebra. Quando os estudantes interpretam e elaboram algoritmos, 
incluindo aqueles que podem ser representados por fluxogramas, eles 
podem desenvolvê-los, ao ser “capazes de traduzir uma situação dada 
em outras linguagens, como transformar situações apresentadas em 
língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos”.
XVI
O pensamento computacional se apoia nos quatro pilaresex-
postos a seguir:
 • Decomposição: consiste em dividir um problema em partes me-
nores (subproblemas) ou etapas, de maneira que a resolução de 
cada uma das partes ou etapas resulta na resolução do problema 
inicial. Dessa maneira, um problema complexo pode ser resolvido 
aos poucos, com estratégias e abordagens diversas.
 • Reconhecimento de padrões: ocorre ao se perceber similaridade 
da situação enfrentada com outra previamente resolvida, o que 
permite o reaproveitamento de uma estratégia conhecida. Esse 
reconhecimento de padrões pode se dar entre instâncias distintas 
de um problema ou dentro dele mesmo, quando há repetições 
de etapas ou padrões em sua resolução.
 • Abstração: no contexto do pensamento computacional, significa 
filtrar as informações e dados relevantes à resolução, eliminando 
dados desnecessários, permitindo uma modelagem do problema 
mais limpa e eficaz.
 • Algoritmo: a aplicação dos pilares anteriores pode facilitar o sur-
gimento de um algoritmo, que é uma generalização da resolução 
e permite resolver toda uma família de problemas similares. Um 
algoritmo pode ser definido como uma sequência finita de passos 
cuja finalidade é resolver um problema ou executar uma tarefa.
É importante destacar que nem todos os pilares precisam ser 
acionados para a resolução de todos os problemas. Além disso, há 
atividades desplugadas que podem ser realizadas para ensinar pen-
samento computacional sem fazer uso de um computador.
• Trabalho em grupo e o convívio social
Quando orientado e praticado adequadamente, além de 
contribuir para o desenvolvimento de competências que visam à 
interação e à participação sociais, o trabalho em grupo auxilia no 
desenvolvimento de competências que dependem do confronto 
e da partilha de ideias, pois oferece a oportunidade de provar 
resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos de 
resolução e validar ou não o pensamento na busca de soluções.
Além de reforçar a aprendizagem conceitual, o trabalho em 
grupo contribui para o aprimoramento da evolução de procedi-
mentos e atitudes, tanto em relação ao pensar matemático quanto 
em relação à dinâmica grupal.
Pesquisas acerca dos processos de aprendizagem indicam que, 
mesmo com o exercício em grupo, acaba prevalecendo o aprendi-
zado individual, o qual apenas se enriquece com as múltiplas con-
tribuições geradas pelo trabalho desenvolvido de maneira coletiva, 
pela interação entre diferentes formas de pensar.
Alunos que estão preparados para a cooperação saberão 
comportar-se em situações de trabalho em grupo sem su-
pervisão direta do professor. É necessário introduzir novos 
comportamentos cooperativos em um programa de prepara-
ção intencional. O objetivo de tal programa de preparação é a 
construção de novas regras, concepções coletivas sobre como 
deve ser a atuação produtiva em situações de grupo. Às vezes, 
as regras são explícitas e escritas, às vezes, elas são expectativas 
ou obrigações de comportamento não verbalizadas.
Quando um indivíduo começa a sentir que deve se com-
portar de acordo com essa nova maneira, a regra se tornou 
internalizada. Regras internalizadas produzem não apenas 
o comportamento desejado, mas um desejo de reforçar as 
expectativas sobre o comportamento dos outros no interior 
do grupo. Em situações de aprendizagem cooperativa, mes-
mo estudantes muito jovens podem ser vistos aconselhando 
outros membros do grupo sobre como devem se comportar. 
Em função do seu papel na sala de aula, os professores têm 
um extenso poder para estabelecer regras conhecidas e para 
introduzir outras (COHEN; LOTAN, 2017).
De qualquer modo, reforçamos que o sucesso do trabalho em 
grupo depende notavelmente do planejamento e da supervisão 
pedagógica, respeitados os diferentes tipos de aprendiz. No intui-
to de colaborar com a atuação do professor em sala de aula, esta 
coleção preocupou -se em indicar, pontualmente, as atividades que 
mais possibilitam a exploração em grupo.
A organização da turma é parte essencial para o sucesso do de-
senvolvimento do trabalho com os estudantes. Para cada proposta 
pedagógica, haverá alguma escolha metodológica mais adequada e, 
junto a essa escolha, a necessidade de organização dos estudantes em 
sala de aula: trabalhos individuais, em duplas, em pequenos grupos 
ou em estações de trabalho, por exemplo. Consideramos apropriado 
descartar a ideia de que uma boa aula é aquela em que os estudantes 
devem permanecer sentados enfileirados, sem conversas entre os in-
tegrantes de uma mesma turma, com uma fala expositiva por parte do 
professor. Hoje, sabemos que esse tipo de organização constante acaba 
por dificultar a relação do estudante com os conceitos apresentados e 
não promove a interação, a busca por diálogo na aprendizagem, muito 
menos as trocas entre pares possíveis, tão essenciais para desenvolve-
rem competências que visam à empatia e à cooperação, por exemplo.
É necessário considerarmos que a compreensão dos conceitos 
por parte da turma passa pela observação da dinâmica de aprendiza-
gem em sala; alguns estudantes assimilam melhor em momentos em 
que escutam sobre determinado tema, outros em situações que pro-
porcionem debates com os colegas sobre o que estão estudando ou, 
ainda, outros que precisam de uma boa visualização, em esquemas, 
dos conteúdos ou resoluções dos problemas apresentados. Tornar a 
sala de aula um ambiente plural e dinâmico, para que todos os estu-
dantes de diferentes perfis possam vivenciar experiências diversas, 
torna-se crucial para o desenvolvimento da turma como um todo.
Outro fator importante para favorecer a aprendizagem é a pro-
moção da autonomia do estudante no processo de aprendizagem. 
Essa é uma perspectiva que a BNCC salienta e que está destacada 
nas competências gerais, principalmente naquelas em que se preza 
pelo desenvolvimento da autonomia, empatia e cooperação. São 
elementos que, quando favorecidos no desenvolvimento, propor-
cionam ganhos na aprendizagem de toda a turma. 
Sabendo que cada estudante desenvolve competências e ha-
bilidades com mais facilidade usando estratégias diferentes, uma 
proposta que favorece essa construção é o chamado painel de solu-
ções, em que o professor promove um momento de socialização das 
estratégias de resolução utilizadas pela turma, para que todos possam 
discutir suas vantagens e desvantagens, verificando similaridades e 
diferenças, identificando possíveis erros e aprendendo com eles, já 
que esse é um movimento de grande auxílio para o desenvolvimen-
to autônomo dos estudantes. Para que a turma seja encorajada a 
construir essa postura, é importante que as tarefas propostas sejam 
analisadas e discutidas constantemente, problematizando o que é 
relevante para a aprendizagem.
XVII
Para o desenvolvimento de atividades, o professor pode optar por 
trabalhar com a turma organizada em duplas predefinidas, por exem-
plo, para que os estudantes com diferentes graus de compreensão 
sobre determinado assunto possam se ajudar ao trabalharem juntos 
para resolver as atividades propostas. Quando há auxílio entre pares, 
a compreensão do que é estudado ganha uma conotação diferente 
do que quando o professor intervém no processo de aprendizagem. 
A proximidade de linguagem entre os colegas de turma favorece a 
construção da aprendizagem nesta faixa etária. 
Seguindo a ideia da troca entre pares, o professor pode organizar 
a turma em grupos, criando dinâmicas de trabalho que favoreçam a 
autonomia dos estudantes, ao mesmo tempo que haja a necessidade 
de colaborar uns com os outros para resolver problemas, formular 
hipóteses, construir e trocar estratégias de resolução, pensando juntos 
sobre possibilidades de ação. Os grupos de trabalho podem ser orga-
nizados para a resolução de problemas, criando sistemas gamificados 
de pontuação, ranqueando a turma ou ainda pensando em trabalhos 
por estações, em que os grupos se revezam no desenvolvimento de 
diferentes atividades. Nessa última proposta, é importante promover 
um momentode discussão entre os estudantes sobre as dificuldades 
encontradas, as estratégias de resolução e as aprendizagens, que, quan-
do compartilhadas, ampliam o leque de possibilidades de caminhos 
para a solução de problemas para toda a turma. Essas estratégias de 
trabalho em grupos podem favorecer, ainda, o desenvolvimento das 
atividades em turmas com um número grande de alunos.
Trabalhar em grupo demanda socialização, parte importante do 
desenvolvimento dos estudantes em relação à vida em sociedade. 
Conviver é um ato constante, principalmente no ambiente escolar, 
e, por mais que a individualidade seja respeitada, respeitar regras 
se torna uma ação que permite que a vida em sociedade possa se 
tornar mais organizada. Assim, o propósito das ações em grupo é 
o aprendizado, tornando o envolvimento e o papel de cada parti-
cipante deste trabalho parte integrante e articulada com os demais 
para que as habilidades envolvidas sejam desenvolvidas por todos. 
Delegar funções para os estudantes nos seus respectivos grupos, 
deixando cada um responsável por uma ação (distribuidor de tare-
fas, controlador do tempo, redator etc.), revezando as funções de um 
momento para o outro. Quando os estudantes estão próximos uns 
dos outros, damos a oportunidade para que as trocas aconteçam.
A interdisciplinaridade e os Temas Contemporâneos 
Transversais
Para o desenvolvimento da competência geral 2, que propõe 
exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria 
das ciências, com base nos conhecimentos das diferentes áreas, é 
necessário propor, em diferentes momentos da vida escolar, um 
trabalho interdisciplinar. A interdisciplinaridade propicia aos estu-
dantes que realizem conexões entre as áreas do conhecimento e 
seus respectivos componentes curriculares, bem como demonstrem 
criatividade, ampliem a atenção a problemas do entorno e outros, 
despertando a atenção e levando a uma maior compreensão dos 
objetos de conhecimento. 
O trabalho interdisciplinar pode ser apoiado no desenvolvi-
mento dos Temas Contemporâneos Transversais (TCTs). Segundo 
as Diretrizes Curriculares Nacionais,
A interdisciplinaridade é uma abordagem que facilita o 
exercício da transversalidade, constituindo-se em caminhos 
facilitadores da integração do processo formativo dos estu-
dantes, pois ainda permite a sua participação na escolha dos 
temas prioritários. A interdisciplinaridade e a transversalidade 
complementam-se [...] (BRASIL, 2013).
Os TCTs são aqueles conteúdos que não pertencem a apenas 
um componente curricular, uma vez que podem ser trabalhados 
por todos eles. Dizem respeito a temas relacionados ao mundo 
contemporâneo e à atualidade, o que favorece a integração dos 
componentes curriculares em um processo pedagógico com vistas 
à construção da cidadania e à formação de atitudes e valores éticos. 
A BNCC destaca a sua importância quando afirma que:
[...] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às es-
colas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, 
incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abor-
dagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana 
em escala local, regional e global, preferencialmente de forma 
transversal e integradora (BRASIL, 2018, p. 19).
Publicado pelo Ministério da Educação em 2019, o documento 
Temas contemporâneos transversais na BNCC: proposta de práticas 
de implementação selecionou quinze temas e os distribuiu em seis 
macroáreas, conforme indicado a seguir.
MEIO AMBIENTE
Educação ambiental
Educação para o consumo
ECONOMIA
Trabalho
Educação �nanceira
Educação �scal
SAÚDE
Saúde
Educação alimentar 
e nutricional
CIDADANIA E CIVISMO
Vida familiar e social
Educação para o trânsito
Educação em direitos humanos
Direitos da criança e do adolescente
Processo de envelhecimento,
respeito e valorização do idoso
CIÊNCIA E
TECNOLOGIA
Ciência e tecnologia
MULTICULTURALISMO
Diversidade cultural
Educação para
valorização do
multiculturalismo nas
matrizes históricas e
culturais brasileiras
Temas
Contemporâneos
Transversais na BNCC
BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos 
transversais na BNCC: proposta de práticas de implementação. 
Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.
mec.gov.br/images/implementacao/guia_pratico_temas_
contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 maio 2022.
Avaliação
• A avaliação e as práticas avaliativas
O cenário de ampla discussão sobre metodologias e práticas 
pedagógicas que se estabeleceu nos últimos anos trouxe à tona 
pontos vitais para o surgimento de novas formas de pensar a 
educação: as concepções de avaliação da aprendizagem.
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XVIII
Quanto à importância da avaliação, tomamos emprestadas 
as palavras de Pavanello e Nogueira:
Se há um ponto de convergência nos estudos sobre a ava-
liação escolar é o de que ela é essencial à prática educativa e 
indissociável desta, uma vez que é por meio dela que o profes-
sor pode acompanhar se o progresso de seus estudantes está 
ocorrendo de acordo com suas expectativas ou se há necessi-
dade de repensar sua ação pedagógica. Quanto ao estudante, 
a avaliação permite que ele saiba como está seu desempenho 
do ponto de vista do professor, bem como se existem lacunas 
no seu aprendizado às quais ele precisa estar atento.
[…] Acreditamos que poucos educadores e educandos 
têm consciência de que a avaliação é um processo contínuo 
e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam 
constantemente, nas mais diversas situações, diante da ne-
cessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as 
mais complexas (PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 36-7).
As divergências, contudo, têm início quando se pretende 
redefinir a avaliação escolar e os modos e graus de exigência 
desse processo. Podemos dizer que, por longo tempo, na maior 
parte da história da Educação Matemática, o que vigorou foi a 
chamada avaliação informativa:
Na prática pedagógica da Matemática, a avaliação tem, 
tradicionalmente, centrado -se nos conhecimentos especí-
ficos e na contagem de erros. É uma avaliação somativa, 
que não só seleciona os estudantes, mas os compara entre 
si e os destina a um determinado lugar numérico em fun-
ção das notas obtidas. Porém, mesmo quando se trata da 
avaliação informativa, é possível ir além da resposta final, 
superando, de certa forma, a lógica estrita e cega do “certo 
ou errado” (PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 30, 36).
Alguns autores também concordam que, mesmo na avaliação 
tradicional, há algum espaço para uma busca mais consciente 
do processo formativo do estudante. 
De fato, estudos têm mostrado que uma tarefa de ava-
liação, assim como uma tarefa de aprendizagem, deve en-
volver conhecimento significativo de matemática; permitir 
ser resolvida por vários caminhos; incentivar a comuni-
cação por parte dos estudantes; e solicitar alguma análise 
crítica. Além disso, o processo de avaliação em matemática 
deveria evidenciar, pelo menos:
• as escolhas feitas pelo estudante, na busca em lidar 
com a situação;
• a capacidade do estudante em se comunicar ma-
tematicamente, comprovando sua capacidade em 
expressar ideias matemáticas, oralmente ou por 
escrito, presentes no procedimento que utilizou para 
lidar com a situação proposta;
• os conhecimentos matemáticos que utilizou;
• o modo como interpretou sua resolução para dar 
resposta.
Assim, a avaliação em matemática deixaria para trás a 
memorização e a repetição para ir em direção a problemas 
de investigação (BURIASCO, 2002, p. 262-263).
Uma concepção de avaliação que tem se configurado nos 
últimos anos é a que se refere à avaliação formativa. 
Principalmente a partir da década de 1980, muitos estudiosos 
têm feito importantes contribuições ao entendimento que de-
vemos ter sobre avaliação como processo, ação contínua. Entre 
esses pesquisadores, destacamos o trabalho de Luckesi (2001). 
Segundo o autor, a avaliação deve ser tomada como instrumento 
para a compreensão do estágio em que seencontra o estudante, 
tendo em vista a tomada de decisões, suficientes e satisfatórias, 
para avançar no processo de aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), divulgados desde 
fins dos anos 1990, colaboraram para a ampliação do olhar sobre 
as funções da avaliação. Destacam, por exemplo, a dimensão social 
e a dimensão pedagógica da avaliação.
No primeiro caso, a avaliação tem a função de, para os estudan-
tes, informar acerca do desenvolvimento das potencialidades que 
serão exigidas no contexto social, garantindo sua participação no 
mercado de trabalho e na esfera sociocultural. Para os professores, 
a avaliação deve auxiliar na identificação dos objetivos alcançados, 
com a intenção de reconhecer as capacidades matemáticas dos 
educandos.
No segundo caso, a avaliação tem a função de informar os 
estudantes sobre o andamento da aprendizagem propriamente 
dita, isto é, dos conhecimentos adquiridos, do desenvolvimento 
de raciocínios, dos valores e hábitos incorporados e do domínio de 
estratégias essenciais.
A BNCC também preconiza uma avaliação formativa:
[...] construir e aplicar procedimentos de avaliação for-
mativa de processo ou de resultado que levem em conta os 
contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais regis-
tros como referência para melhorar o desempenho da escola, 
dos professores e dos estudantes; [...] (BRASIL, 2018, p. 17).
Os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos, registros 
de atitudes, entre outros) devem ser capazes de fornecer infor-
mações ao professor sobre as condições de cada estudante com 
relação à resolução de problemas, ao uso adequado da linguagem 
matemática, ao desenvolvimento de raciocínios e análises e à 
integração desses aspectos em seu conhecimento matemático. 
Devem também contemplar as explicações, justificativas e argu-
mentações orais, uma vez que estas revelam aspectos do raciocí-
nio que muitas vezes não se evidenciam em avaliações escritas.
Para Charles Hadji (2001), a avaliação formativa implica, por 
parte do professor, flexibilidade e vontade de adaptação e de 
ajuste. O autor ressalta que a avaliação que não é seguida da 
modificação das práticas pedagógicas tem pouca capacidade de 
ser formativa. Posição semelhante é defendida pelas educadoras 
Pavanello e Nogueira (2006):
É preciso reconhecer […] que o professor deve selecio-
nar, dentre as informações captadas, apenas o que é realmente 
importante […]. Para isso, existem indicadores que, segun-
do Vergani (1993, p. 155), podem nortear a observação pelo 
professor, entre os quais poderiam ser citados:
• o interesse com que o estudante se entrega às ativi-
dades matemáticas;
XIX
• a confiança que tem em suas possibilidades;
• sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas;
• se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas 
de pesquisa;
• se avalia criteriosamente a adequação do processo que 
adotou ou a solução que encontrou;
• se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e 
de organizar seu trabalho;
• se pede ajuda em caso de dúvida ou de falta de conhe-
cimentos; e
• se comunica suas dificuldades e descobertas aos colegas, 
de maneira adequada.
No entanto, para que essas atitudes possam ser cultivadas 
pelo estudante, a prática pedagógica não pode mais se centrar 
na exposição e reprodução de conteúdos que só privilegiam 
a memorização e não o desenvolvimento do pensamento 
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 38-9).
Afinal, o que deve ser avaliado: conteúdos, habilidades, atitudes?
Tudo deve ser avaliado. O fundamental, porém, é saber como 
olhar, o que olhar e como analisar as coletas. Para isso, o professor 
pode recorrer a diversificados instrumentos de coleta de infor-
mações, selecionando aqueles que permitam compor o melhor 
panorama da aprendizagem matemática de seus estudantes.
Desse modo, as avaliações precisam ser planejadas, assim 
como qualquer situação de ensino. É fundamental estar sempre 
atento ao processo de avaliação sem perder de vista os objetivos e 
as expectativas para cada ano escolar. Portanto, durante o uso de 
instrumentos avaliativos, é importante considerar as habilidades 
propostas nos documentos curriculares e nos planos de ensino e 
os trabalhados na coleção.
Diante das diferentes concepções sobre como avaliar e com 
base nas ideias que a coleção assume, entendemos que a avalia-
ção deve ser um processo contínuo durante o ano letivo, e não 
apenas momentos estanques, como ao final de cada bimestre, de 
modo que o desenvolvimento dos estudantes seja acompanhado 
pelo professor e por ele próprio, e que intervenções possam ser 
feitas ao longo do caminho.
A organização da coleção em capítulos e o bloco de Exercícios 
complementares, a seção Verificando e a seção Organizando 
podem ser indicativos ou funcionar como ferramentas iniciais 
para a construção de momentos avaliativos.
Porém, ressalta -se a importância de complementar as ativi-
dades do livro com outros instrumentos para acompanhar os 
estudantes em seu processo de aprendizagem.
Desse modo, destacam -se a seguir elementos a se considerar 
no processo avaliativo:
 • o caráter processual, formativo e participativo da avaliação e sua 
forma contínua, cumulativa e diagnóstica; 
 • a avaliação como oportunidade para professor e estudante re-
fletirem e ajustarem o desempenho; 
 • as diferentes estratégias e oportunidades para avaliação, não 
deixando de considerá -las também situações de aprendizagem;
 • a importância de registros constantes dos avanços e dificuldades 
de observação e acompanhamento diário;
 • diferentes propostas de avaliação de aprendizagem coerentes 
com visões atuais de avaliação (mediadora e dialógica, diagnós-
tica e formativa);
 • instrumentos para registros, como relatórios, portfólios, tabelas, 
fichas, entre outros com critérios para avaliação.
Instrumentos de avaliação nas 
aulas de Matemática
Ao diversificar os instrumentos de avaliação e autoavaliação, o 
professor pode produzir momentos de aprendizagem e atender o 
maior número de estudantes do grupo. Como sugestão, vamos apre-
sentar aqui, resumidamente, um leque de modalidades de avaliação.
Autoavaliação: em primeiro lugar, o professor deve auxiliar os es-
tudantes a compreenderem os objetivos da autoavaliação, fornecendo-
-lhes para isso um roteiro de orientação. Os estudantes devem ser 
motivados a detectar suas dificuldades e a questionar as razões delas.
Prova em grupo seguida de prova individual: nesta modalidade, 
as questões são resolvidas em grupo, e, em seguida, cada estudante 
resolve questões do mesmo tipo individualmente. O intuito é colabo-
rar para a metacognição, para que o estudante tenha consciência do 
próprio conhecimento, de suas potencialidades e dificuldades.
Testes -relâmpago: os testes -relâmpago normalmente pro-
põem poucas questões, uma ou duas apenas. Têm por objetivo 
não permitir que os estudantes mantenham -se sem estudo durante 
longos períodos, de modo que se acumule uma grande quantidade 
de conteúdos. Esse recurso, além de manter os estudantes atentos 
aos assuntos contemplados em aula, ajuda -os na familiarização 
com os processos avaliativos.
Testes e/ou provas cumulativas: este instrumento de avaliação 
traz à tona conteúdos trabalhados em momentos anteriores. Tal 
prática contribui para que os estudantes percebam as conexões 
entre os conteúdos e a importância de usar os conhecimentos 
matemáticos de forma contínua.
Testes em duas fases: este tipo de teste, ou prova, é realizado 
em duas etapas:
1a) a prova é realizada em sala de aula, sem a interferência do 
professor;
2a) os estudantes refazem a prova dispondo dos comentários 
feitos pelo professor.
O sucesso desse instrumento depende de alguns fatores, 
como:
 • a escolha das questões deve ser norteada pelos objetivos do teste;
 • o conteúdo dos comentários formulados pelo professor entre 
as duas fases;
 • a consciência, por parte dos estudantes, de que a segunda fase 
não consiste em mera correção do que está errado, mas em uma 
oportunidadede aprendizagem.
XX
As questões devem ser de dois tipos:
 • as que requerem interpretação ou justificação, e problemas de 
resolução relativamente breve;
 • as abertas, e problemas que exijam alguma investigação e res-
postas mais elaboradas.
Resolução de problemas: chamamos de “problema matemá-
tico” aquele que envolve um raciocínio matemático na busca por 
solução. Pode ser resolvido individualmente ou em grupo. A ativi-
dade de resolução de problemas deve envolver, entre outros fatores:
 • a compreensão da situação -problema por meio de diferentes 
técnicas (leitura, interpretação, dramatização etc.);
 • a promoção da criação de estratégias pessoais (não haver solução 
pronta);
 • a identificação do problema e a seleção e a mobilização dos 
conhecimentos matemáticos necessários para sua resolução;
 • a avaliação do processo para verificar se, de fato, os objetivos 
estão sendo atingidos;
 • a interpretação e a verificação dos resultados, para que se avaliem 
sua razoabilidade e sua validade.
Mapa conceitual: durante a fase formal de avaliação, o professor 
pode solicitar aos estudantes que construam o mapa conceitual 
sobre um tema já discutido e trabalhado em aula. Este tipo de 
instrumento propicia a verificação da aprendizagem mais aberta 
e pode ser usado como autoavaliação.
Trabalho em grupo: para que os estudantes trabalhem de fato 
como grupo, são fundamentais a orientação e o auxílio do pro-
fessor no sentido de estimular os estudantes a desempenharem 
novas funções em sala de aula, em colaboração com os colegas. 
Um incentivo para isso é o grupo receber uma única folha de papel 
com as atividades propostas, para que todos resolvam em conjunto. 
A questão a ser respondida deve ser desafiadora, despertando a 
curiosidade e a vontade de resolvê -la.
Diálogos criativos: a proposta é que os estudantes produzam 
diálogos matemáticos em que estejam inseridos conceitos e 
propriedades de determinado conteúdo.
Histórias em quadrinhos: nesta modalidade, os estudantes 
criam histórias em quadrinhos para abordar os assuntos estuda-
dos em sala de aula. Esse é um recurso que, além de intensificar 
o interesse pela Matemática, permite ao professor a avaliação 
do conhecimento assimilado pelos estudantes em contextos 
diversificados.
Seminários e exposições: são atividades que oferecem opor-
tunidade para os estudantes organizarem seu conhecimento 
matemático e suas ideias sobre os assuntos trabalhados em aula, 
além de promover a desinibição e a autonomia dos estudantes.
Portfólios: são coletâneas dos melhores trabalhos, que podem 
ser escolhidos pelos próprios estudantes. O professor deve orientá-
-los e sugerir que selecionem, durante um período, as atividades 
de Matemática que preferirem e que justifiquem as suas escolhas.
É importante reforçar que um processo fecundo de avaliação 
deverá considerar, além dos instrumentos apropriados, o estabe-
lecimento de critérios de correção alicerçado em objetivos claros 
e justos. Chamamos a atenção para o tratamento que devemos 
dar ao “erro” nas atividades de Matemática. Ele deve ser analisado 
criticamente, de modo que forneça indícios de sua natureza e da 
correção do percurso pedagógico, para o (re)planejamento e a 
execução das atividades em sala de aula.
Encarados com naturalidade e racionalmente tratados, os 
erros passam a ter importância pedagógica, assumindo um pa-
pel profundamente construtivo, e servindo não para produzir 
no estudante um sentimento de fracasso, mas para possibilitar-
-lhe um instrumento de compreensão de si próprio, uma moti-
vação para superar suas di�culdades e uma atitude positiva para 
seu futuro pessoal (PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37).
Por fim, a observação atenta e a percepção aguçada do profes-
sor também são relevantes no processo de avaliação, no sentido 
de detectar as aprendizagens, que muitas vezes não são reveladas 
pelos instrumentos avaliativos escolhidos.
Sejam quais forem os instrumentos utilizados, é fundamental 
que o professor estabeleça critérios de avaliação da aprendizagem 
matemática dos estudantes para cada ano escolar, tomando como 
referência as habilidades de Matemática para os anos finais do 
Ensino Fundamental. Desse modo, os objetivos de aprendizagem 
destacados no planejamento do professor precisam ser explicitados 
para o estudante, para que ele compreenda aonde se quer chegar, 
tomando o cuidado de usar uma linguagem compatível com o seu 
entendimento.
Nas Orientações específicas de cada volume, indicamos mate-
riais que podem subsidiar o trabalho docente. Para cada ano escolar, 
serão indicadas atividades comentadas relacionadas às habilidades 
do ano anterior e que podem compor avaliações diagnósticas. Es-
sas atividades estão organizadas na seção Avaliação diagnóstica.
Além disso, sugerimos que os exercícios das seções Verificando 
de cada capítulo sejam utilizados com a finalidade de preparar os 
estudantes para avaliações e exames externos, de larga escala.
Uma prática de avaliação formativa também deve ser realizada 
com a participação dos estudantes em relação ao próprio desempe-
nho. A autorreflexão leva ao compartilhamento, com os professores 
e demais envolvidos no processo educacional, da responsabilidade 
pela própria aprendizagem. Analisar rotineiramente aspectos 
como avanços e fragilidades no desempenho leva à superação de 
dificuldades e ao compromisso com decisões futuras para aprimo-
ramentos. Todos os itens devem ser previamente combinados com 
os estudantes e, posteriormente, discutidos em entrevista pessoal. 
Dessa maneira, sugerimos que uma das utilizações das questões 
da seção Organizando, disponibilizada ao final de cada capítulo, 
seja utilizada como uma maneira de possibilitar a autoavaliação dos 
estudantes em relação aos conteúdos de cada capítulo. Também 
indicamos, a seguir, um modelo de autoavaliação que poderá ser 
adaptado pelo professor, de acordo com a necessidade de cada 
etapa do processo de ensino que pretende utilizar, seja no início 
ou no fim de cada bimestre ou ao final do trabalho com o conteúdo 
de um capítulo, por exemplo.
XXI
AUTOAVALIAÇÃO
Avalie seu desempenho educacional comentando aspectos positivos e negativos relacionados a 
cada item.
1. DESEMPENHO EM SALA DE AULA
 • Em relação ao domínio do conteúdo: 
 • Interesse e participação:
 • Realização das atividades individuais e em grupo: 
 • Autonomia: 
a) Indique as principais dificuldades encontradas e o que foi importante para superá-las. 
b) Outras observações: 
2. RELACIONAMENTO
 • Com os colegas: 
 • Com o professor: 
 • Com a equipe técnica e demais funcionários da instituição: 
a) Indique as principais dificuldades encontradas e o que foi importante para superá-las. 
b) Outras observações: 
3. COMPROMISSO E RESPONSABILIDADE
 • Assiduidade: 
 • Pontualidade nas aulas e na entrega dos trabalhos: 
 • Material didático: 
a) Indique as principais dificuldades encontradas e o que foi importante para superá-las. 
b) Outras observações: 
 
XXII
Autonomia do professor e a prática 
docente
Como já exposto, entendemos o livro didático como apoio do 
trabalho pedagógico. Nessa perspectiva, o conhecimento, a expe-
riência e a autonomia profissional fazem do docente um coautor 
do material publicado. Assim, a despeito das propostas explícitas 
da coleção, o professor sempre poderá ampliar, complementar e 
inovar no desenvolvimento e nas discussões dos temas e atividades 
sugeridos, aproveitando as novas questões que emergem em sala 
de aula no desenrolar do estudo. O modo como o professor usará 
os recursos que compõem esta coleção depende da teoria que 
embasa a sua prática pedagógica e de sua experiência em salas de 
aula diversas e heterogêneas.
É sempre bom lembrar que o estímulo à imaginação e ao interesse 
dos estudantes conta com uma gama de recursos didáticos, como: o 
trabalho com jogos ou com materiais manipulativos, vídeos e ferra-
mentas da informática; a pesquisa em livros paradidáticos, dicionários, 
periódicos (jornais,boletins, revistas de informação geral e especializa-
da) e internet; ou a realização de feiras, gincanas e exposições.
A gestão da sala de aula também faz parte da autonomia do 
professor e pode ser um meio de estimular os estudantes a de-
senvolver responsabilidade pessoal e autodisciplina, tornando o 
processo de ensino-aprendizagem mais significativo tanto para o 
professor como para os estudantes.
Ao planejar sua aula, o professor deve refletir sobre o espaço 
de que dispõe e sobre a melhor maneira de atingir seus objetivos 
nesse local, com vistas a uma aula o mais inclusiva possível e com 
a participação de todos os estudantes.
Além disso, o professor deve considerar os perfis variados dos es-
tudantes e das turmas (que podem ser pequenas ou muito grandes). 
Para dar conta de atender às diferentes necessidades, é necessário 
que a equipe docente e a de gestão levem em conta tal diversidade, 
propondo situações diversificadas que respeitem cada indivíduo.
Uma questão importante a ser considerada quando se re-
solve debater sobre a heterogeneidade na escola é reconhecer 
que há diferentes tipos de heterogeneidade e que o modo de 
tratar cada um deles é bastante especí�co. A literatura sobre 
esse tema remete a, pelo menos, três grandes blocos de he-
terogeneidades a serem abordadas no debate educacional. 
Um primeiro tipo diz respeito às diferenças socioeconômicas 
culturais, religiosas, étnico-raciais, de gênero, de orientação 
sexual, físicas existentes entre as crianças. Um segundo tipo 
remete às re�exões sobre a inclusão dos estudantes com de�-
ciências físicas e transtornos de aprendizagem. O terceiro diz 
respeito à heterogeneidade quanto ao nível de escolaridade, 
idade, conhecimentos (LEAL; SILVA, 2016).
Já destacamos a importância de se respeitar a diversidade, 
que deve ser tratada como uma oportunidade ao indivíduo de 
ganhar novas perspectivas, expandir seus horizontes e aprender 
com as diferenças, valorizando a multiplicidade de culturas e os 
grupos que formam a sociedade.
Para a inclusão das crianças com deficiência, entendemos 
que as dificuldades são muitas. Nesses casos é preciso um 
investimento pedagógico, por parte da gestão escolar e do 
professor, em busca de subsídios teóricos sobre como abordar 
os conteúdos, atendendo às necessidades específicas de cada 
tipo de deficiência ou transtorno. 
Em relação aos níveis de conhecimento, devemos considerar 
que diferentes fatores sociais ou individuais podem influenciar, 
demandando diferentes tipos de ações didáticas. Além disso, 
é preciso compreender que: (1) a heterogeneidade é consti-
tutiva do processo pedagógico e, portanto, estará sempre pre-
sente, mas as turmas são constituídas por identidades sociais 
(homogeneidades), que precisam ser respeitadas, valorizadas 
e conhecidas; (2) o currículo escolar traz recortes não neutros 
do que se ensina e se aprende e, portanto, precisa ser objeto de 
debate com as próprias comunidades. Por outro lado, é preciso 
reconhecer que, em decorrência das trajetórias sociais e indivi-
duais, sempre haverá heterogeneidade quanto aos níveis de co-
nhecimento, que precisam ser tratados na escola, possibilitando 
que, ao mesmo tempo, os diferentes saberes sejam valorizados, 
mas que conteúdos fundamentais sejam garantidos a todos, em 
condições favoráveis de aprendizagem (LEAL; SILVA, 2016).
Uma das ações para se trabalhar com a heterogeneidade 
em relação ao nível de conhecimento seria mapear os níveis de 
conhecimentos dos estudantes em relação aos diversos assuntos. 
Para isso, pode-se propor uma avaliação diagnóstica no início do 
ano ou no início de cada etapa. Ações desse tipo podem auxiliar 
a diagnosticar as facilidades e as fragilidades em relação a cada 
componente curricular ou ao conteúdo a ser trabalhado.
Uma outra proposta é rever o planejamento a cada etapa 
do ano, seja bimestral ou trimestralmente. Ao fazer essa revisão 
é possível fazer ajustes que atendam aos diferentes perfis dos 
estudantes. Planejar, executar, avaliar e replanejar devem ser 
ações constantes no trabalho escolar. Com as estratégias de 
planejamento adequadas, pode-se manter o grupo envolvido e 
organizado, propiciando um trabalho apropriado a todos.
• Formação continuada e desenvolvimento 
profissional docente
Assim como os estudantes precisam desenvolver habilida-
des e competências diversificadas, em sintonia com a época em 
que vivem, nós, professores, mais que outros profissionais, temos 
a máxima urgência e necessidade de cuidar da continuidade de 
nossa formação e do consequente desenvolvimento profissional.
O que aprendemos na universidade e a experiência que ad-
quirimos com a prática pedagógica não são suficientes para nos 
manter longe de atividades de formação. Pesquisas e estudos no 
campo da Educação Matemática e áreas afins têm nos auxiliado a 
encontrar as respostas para as muitas dúvidas e angústias inerentes 
à profissão: “O que ensinar?”, “Por que ensinar?”, “Como ensinar?”…
O desenvolvimento profissional do professor deve ser en-
tendido como um processo contínuo, que se dá ao longo de toda 
XXIII
a vida profissional, não ocorre ao acaso, tampouco é espontâneo, 
mas resultado do processo de busca que parte das necessidades 
e dos interesses que surgem no percurso.
Na realidade, a formação profissional docente tem início na 
experiência como estudante e na formação acadêmica especí-
fica, do período de iniciação à docência, até edificar -se com a 
experiência profissional e os processos de formação continuada.
Lembramos que as ações de formação continuada podem 
ser desenvolvidas por múltiplas modalidades, como leituras 
atualizadas, cursos, palestras, oficinas, seminários, grupos de 
estudos, reuniões e encontros com colegas na própria escola.
Para ampliar essa proposta, indicamos algumas de suas 
publicações, livros e trabalhos científicos que possam contribuir 
para um aprofundamento do conhecimento do professor e 
auxiliá -lo na ampliação das atividades propostas no livro.
Algumas publicações de associações e centros de 
Educação Matemática
 • Bolema (Boletim de Educação Matemática) – publicado pelo 
Departamento de Matemática do Instituto de Geociências 
e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de 
Mesquita Filho (IGCE -Unesp), campus de Rio Claro. Disponível 
em: https://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/
bolema/issue/view/1050. Acesso em: 13 maio 2022.
 • Boletins do Gepem – publicados pelo Grupo de Estudos e 
Pesquisas em Educação Matemática da Universidade Federal 
Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). Disponível em: http://
costalima.ufrrj.br/index.php/gepem/issue/view/127. Acesso 
em: 13 maio 2022.
 • Educação Matemática em Revista – publicada pela Socieda-
de Brasileira de Educação Matemática. Disponível em: http://
sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr. Acesso em: 
14 maio 2022.
 • Revista Brasileira de História da Matemática – publicada 
pela Sociedade Brasileira de História da Matemática. Disponível 
em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr. 
Acesso em: 14 maio 2022.
 • Revemat: Revista Eletrônica de Educação Matemática – publi-
cada pelo Grupo de Pesquisa em Epistemologia e Ensino de 
Matemática (UFSC). Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/
index.php/revemat. Acesso em: 14 maio 2022.
 • Revista Educação e Matemática e Revista Quadrante – pu-
blicadas pela Associação de Professores de Matemática de 
Portugal. Disponível em: https://quadrante.apm.pt/. Acesso 
em: 14 maio 2022.
 • Revista de História da Educação Matemática – publicada 
pela Sociedade Brasileira de História da Matemática. Dispo-
nível em: https://www.histemat.com.br/index.php/HISTEMAT. 
Acesso em: 14 maio 2022. 
 • Revista do Professor de Matemática (RPM) – publicada pela 
Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: https://
www.rpm.org.br/. Acesso em: 14 maio 2022.
 • Revista Zetetiké – publicada pelo Centro de Estudos Memória 
e Pesquisa em Educação Matemática (Unicamp). Disponível 
em: https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/zetetike.Acesso em: 14 maio 2022.
Referências bibliográficas
ADICHIE, C. N. O perigo de uma história única, 2009. Disponível em: 
<https://www.ted.com/talks/chimamanda_ngozi_adichie_the_dan-
ger_of_a_single_story?language=pt-br>. Acesso em: 30 jun. 2022. 
Inicialmente divulgada no TED Talk e depois publicada em livro, a 
palestra relata as experiências da autora nos Estados Unidos e alerta 
para os riscos de uma visão estreita e estereotipada de mundo.
AULETE Digital. Rio de Janeiro: Lexicon. Disponível em: https://www.
aulete.com.br/empatia. Acesso em: 30 jun. 2022.
Dicionário eletrônico da Língua Portuguesa. 
AUSUBEL, D. P. Aquisição e Retenção de Conhecimentos: Uma 
Perspectiva Cognitiva. Lisboa: Plátano, 2003.
David Ausubel apresenta nesse livro uma visão atualizada da 
sua teoria da aprendizagem, conhecida como Teoria da Assi-
milação. Ausubel defende que o principal processo de apren-
dizagem significativa é por recepção, e não por descoberta. 
E, contrariamente a muitos outros autores, argumenta que a 
aprendizagem significativa por recepção não é um processo 
passivo. Pelo contrário, é, necessariamente, um processo ativo, 
que exige ação e reflexão do aprendiz e que é facilitada pela or-
ganização cuidadosa das matérias e das experiências de ensino.
BASE Nacional Comum Curricular: educação é a base. Compe tências 
socioemocionais como fator de proteção à saúde men tal e ao 
bullying. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
implementacao/praticas/caderno-de-praticas/aprofundamentos/195-
competencias-socioemocionais-como-fator-de-protecao-a-saude-
mental-e-ao-bullying. Acesso em: 11 maio 2022.
Artigo sobre como o trabalho com as competências socioemo-
cionais pode servir como um fator de prevenção ao bullying, 
apresentando uma atividade como proposta de trabalho.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. 
2018. Brasília: MEC, 2018. 
Documento oficial do Ministério da Educação que apresenta 
as competências e habilidades a serem desenvolvidas em cada 
área do conhecimento na Educação Infantil, no Ensino Funda-
mental e no Ensino Médio de todo o país.
BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais 
Gerais da Educação Básica. Brasília: MEC, SEB, DICEI, 2013.
Documento do Ministério da Educação que define as diretrizes 
curriculares da Educação Básica no país.
BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais 
para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília: Parecer 
CNE/CBE no 11/2010.
Documento do Ministério da Educação que define as diretrizes 
curriculares para o Ensino Fundamental de 9 anos em todo o país.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacio-
nais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1998.
Documento do Ministério da Educação, em 1998, com o objetivo 
principal de orientar os educadores por meio da normatização de 
XXIV
alguns fatores fundamentais concernentes a cada disciplina. Esses 
parâmetros abrangiam tanto a rede pública, como a rede privada 
de ensino, conforme o nível de escolaridade dos estudantes.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos transversais 
na BNCC: proposta de práticas de implementação, 2019. Disponível 
em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/
guia_pratico_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 maio 2022. 
Elaborado pelo Ministério da Educação, guia prático com ex-
plicações e orientações a respeito dos temas contemporâneos 
transversais.
BURIASCO, R. Sobre avaliação em Matemática: uma reflexão. Edu-
cação em Revista (UFMG), Belo Horizonte, n. 36, dez. 2002.
O artigo é dedicado à apresentação de considerações e reflexões 
quanto às práticas avaliativas usuais das escolas, às avaliações em 
larga escala, à avaliação na perspectiva da resolução de Proble-
mas, às diferentes funções da avaliação, à linha de pesquisa da 
análise de erros e à diretriz para a avaliação, que possam contribuir 
de fato para uma educação matemática de melhor qualidade.
COHEN, E. G.; LOTAN, R. A. Planejando o trabalho em grupo: estraté-
gias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017.
O livro explica como aplicar com sucesso a aprendizagem coope-
rativa com base em pesquisas sobre o que torna uma tarefa ade-
quada para grupos, além de mostrar como o trabalho em equipe 
contribui para o crescimento e o desenvolvimento dos estudantes.
D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Cam-
pinas: Papirus, 2000.
A proposta dessa obra é a adoção de uma nova postura edu-
cacional. Após fazer considerações de caráter geral, abordando 
aspectos da cognição, da natureza da matemática e questões 
teóricas da educação, o autor discute inovações na prática 
docente, propondo reflexões sobre a matemática.
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática 
educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.
O autor aprofunda sua teoria-ética de uma vida voltada para 
a liberdade, a verdade e a autenticidade dos sujeitos. Reflete 
sobre o que o ato de ensinar exige de educadores e educandos.
HADJI, C. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001.
Ao refletir sobre a possível formatividade da avaliação, o autor 
pretende permitir aos professores e a todos aqueles que estão 
envolvidos com a avaliação escolar que vejam o que significa 
colocar a avaliação a serviço das aprendizagens e como isso 
pode ser concretamente feito.
INSTITUTO Ayrton Senna. Mapeamento aponta que 70% dos 
estudantes de SP relatam sintomas de depressão e ansiedade. 
Disponível em: https://institutoayrtonsenna.org.br/pt-br/conteudos/
mapeamento-aponta-que-70-por-cento-dos-estudantes-de-SP-
relatam-sintomas-de-depressao.html. Acesso em: 11 maio 2022.
O artigo apresenta o resultado de uma pesquisa realizada em 
2021 pela Secretaria da Educação e o Instituto Ayrton Senna que 
revelou os efeitos da pandemia de Covid-19 na saúde mental e 
socioemocional dos estudantes do estado de São Paulo.
LEAL, T. F.; SÁ, C. F.; SILVA, E. C. N. (org.). Heterogeneidade, educação 
e linguagem em contextos do campo e da cidade. Recife: Editora 
Universitária da UFPE, 2016.
As autoras fazem uma síntese de diferentes conceitos de he-
terogeneidade e seus impactos para a educação, com foco na 
reflexão sobre as escolas do campo e da zona urbana.
LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. São Paulo: 
Cortez, 2015.
O livro oferece subsídios para ampliar a compreensão sobre o 
ato de avaliar a aprendizagem dos estudantes e, dessa forma, 
orientar uma prática mais adequada às suas finalidades. No 
decorrer de suas páginas, há um movimento constante entre 
a denúncia de uma situação inadequada e o anúncio de novas 
possibilidades, uma dialética entre a desconstrução e a recons-
trução de conceitos e modos de agir. 
MICHAELIS Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa. São Paulo: 
Melhoramentos, 2015. Disponível em: https://michaelis.uol.com.br/
moderno-portugues/busca/portugues-brasileiro/empatia/. Acesso 
em: 30 jun. 2022.
Dicionário eletrônico da Língua Portuguesa.
MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. Matemática escolar, Matemática 
científica, saber docente e formação de professores. Zetetiké, 
Campinas, v. 11, n. 19, 2003.
Nesse artigo, argumenta-se no sentido de mostrar que o pro-
cesso de constituição da matemática escolar ultrapassa tanto a 
ideia de transposição didática, regulada pela matemática cien-
tífica e pelas ciências da educação, quanto a de uma construção 
totalmente endógena à escola.
NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre: 
Artes Médicas, 1997.
Nesse livro os autores apresentam textos que contribuem para 
a compreensão a respeito do modo como as crianças trabalham 
com problemas matemáticos. 
ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS. Declaração Universal dos 
Direitos Humanos, 10 dez. 1948.
Documento aprovado em 1948, na Assembleia Geral da Organiza-
ção das Nações Unidas (ONU), é a base da luta universal contra a 
opressão e a discriminação, defendendo a igualdade e a dignidade 
das pessoas e reconhecendo que os direitoshumanos e as liberda-
des fundamentais devem ser aplicados a cada cidadão do planeta.
PAVANELLO, R. M.; NOGUEIRA, C. M. I. Avaliação em Matemática: 
algumas considerações. Estudos em Avaliação Educacional, São 
Paulo, v. 17, n. 33, jan./abr. 2006. 
O objetivo desse texto é discutir a trajetória a ser considerada 
quando se pensa na avaliação em matemática. Assim, os autores 
partem da constatação de que há diferentes modos de conceber 
a matemática, paradigmas que se filiam a sistemas filosóficos 
existentes desde a Antiguidade. Esses paradigmas, por sua 
vez, influenciam o fazer matemática, o fazer pedagógico em 
matemática e, por conseguinte, a avaliação.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação e Esportes. Currículo de 
Pernambuco: ensino fundamental – área de matemática. Recife: 
Secretaria de Educação e Esportes, 2019. p. 65.
Documento oficial da Secretaria de Educação e Esportes do 
estado de Pernambuco que apresenta as competências e 
habilidades a serem desenvolvidas na área de Matemática, no 
Ensino Fundamental de todo o estado.
XXV
PONTE, J. P. O ensino da Matemática em Portugal: uma priorida-
de educativa? Conferência plenária apresentada no seminário “O 
Ensino da Matemática: situação e perspectivas”. Lisboa: CNE, 2002.
O autor revê alguns dos marcos mais salientes do percurso do 
ensino da Matemática em Portugal, analisando os elementos 
fundamentais que caracterizam o ensino dessa disciplina como 
fenômeno social. Também identifica os fatores que, na sua 
perspectiva, contribuem para a crise no ensino da Matemática 
e indica caminhos para a sua resolução.
ROMANATTO, M. C. O livro didático: alcances e limites. Anais. VII 
Encontro Paulista de Educação Matemática, 2004, São Paulo.
O presente trabalho discute a utilização do livro didático de 
Matemática nos processos de ensino e de aprendizagem.
SÃO PAULO (Município). Secretaria Municipal de Educação. Cur-
rículo da cidade: ensino fundamental – componente curricular 
matemática. 2. ed. São Paulo: SME/COPED, 2019. p. 25.
Documento oficial da Secretaria Municipal de Educação do 
município de São Paulo que apresenta as competências e 
habilidades a serem desenvolvidas na área de Matemática, no 
Ensino Fundamental de todo o município.
UJIIE. N. T. et al. Os Conhecimentos Prévios de Matemática de Estu-
dantes do Ensino Fundamental: O que é Matemática? De Onde Ela 
Veio? Como Seria um Mundo sem Matemática? In: ALEXANDRIA: R. 
Educ. Ci. Tec., Florianópolis, v. 10, n. 1, p. 57-73, maio 2017.
Nesse artigo, os autores apresentam os resultados de uma in-
vestigação com abordagem quali-quantitativa, realizada com 22 
estudantes de sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola da 
rede pública de Tijucas, Santa Catarina, acerca do tema matemática. 
UNESCO. Cultura de paz no Brasil [entre 2017 e 2022]. Disponível 
em: https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/expertise/culture-
peace. Acesso em: 11 maio 2022.
Artigo sobre a cultura de paz no Brasil, destacando que é 
fundamental promover e disseminar valores, atitudes e com-
portamentos que conduzam ao diálogo, à não violência e à 
aproximação das culturas.
• Referências bibliográficas complementares
 • BELLEMAIN, P. M. B.; BIBIANO, M. F. A.; SOUZA, C. F. Estudar grande-
zas e medidas na educação básica. EM TEIA – Revista de Educação 
Matemática e Tecnológica Iberoamericana. vol. 9, n. 1, 2018.
Esse texto problematiza o ensino de grandezas e medidas na 
matemática da educação básica e na interface entre mate-
mática e física. Discutem-se o porquê de ensinar grandezas e 
medidas, as dificuldades enfrentadas por estudantes e profes-
sores no estudo desse campo e alguns caminhos que podem 
contribuir para a superação dessas dificuldades.
 • BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemá-
tica. 6. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. (Coleção Tendências 
em Educação Matemática).
Nesse livro, os autores apresentam exemplos do uso de informática 
com estudantes e professores para, então, debaterem desde temas 
ligados às políticas governamentais para a informática educativa até 
questões epistemológicas e pedagógicas relacionadas à utilização 
de computadores e calculadoras gráficas em Educação Matemática. 
 • CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. S. Tratamento da Informação 
para o Ensino Fundamental e Médio. 2. ed. Itabuna/Ilhéus: Via 
Litterarum, 2009.
Esse livro apresenta quatro sequências didáticas para trabalhar 
de forma objetiva e acessível os conceitos básicos de Estatística 
e Probabilidade, de acordo com as diretrizes dos Parâmetros 
Curriculares Nacionais – PCN, da Educação Básica. 
 • KALEFF, A. M. M. R.; PEREIRA, P. C. (org.). Educação Matemática: 
diferentes olhares e práticas. Curitiba: Appris, 2020.
Nessa obra os autores tratam de diferentes temáticas, como o 
ensino de geometria, laboratório de ensino, recursos virtuais, 
Educação Inclusiva, Etnomatemática, Educação Escolar Indíge-
na, temas que permitem reconhecer ações e a diversidade dos 
estudantes na sala de aula.
 • MEYER, J. F. C. A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS A. P. S. Modelagem 
em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011.
Os autores oferecem aos leitores reflexões sobre aspectos da Mo-
delagem e suas relações com a Educação Matemática. Apresentam 
a trajetória histórica da Modelagem e provocam discussões sobre 
suas relações, possibilidades e perspectivas em sala de aula, sobre di-
versos paradigmas educacionais e sobre a formação de professores. 
 • MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: 
propostas e desafios. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. 
(Coleção Tendências em Educação Matemática).
Nesse livro, os autores abordam temáticas da História da Matemá-
tica, História da Educação Matemática e como essas duas regiões 
de inquérito podem se relacionar com a Educação Matemática. 
 • NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (org.). Escritas e leituras na Edu-
cação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
Os autores apresentam diferentes discussões sobre o trabalho 
com leitura e escrita nas aulas de Matemática, tais como comu-
nicação de ideias, interações, práticas discursivas, representações 
matemáticas, argumentações e negociação de significados.
 • NACARATO, A. M.; GOMES, A. A. M.; GRANDO, R. C. (org.). Experiên-
cias com Geometria na escola básica: narrativas de professores 
em (trans)formação. São Carlos: Pedro & João Editores, 2008.
O livro traz narrativas de professores da escola básica, participan-
tes de um Grupo de Estudos e Pesquisas em Geometria, localizado 
institucionalmente na Universidade São Francisco. O livro traz 
as experiências de seus participantes, bem como discussões 
epistemológicas do pensamento geométrico. 
 • PEREIRA, C. A.; SANDMANN, A. Dificuldades do ensino da álge-
bra no ensino fundamental: algumas considerações. Revista 
Eletrônica Científica Inovação e Tecnologia. Curitiba: UTFPR, 
v. 8, n. 17, 2017.
Nesse artigo os autores apresentam referenciais teóricos que 
possibilitam uma reflexão acerca das dificuldades existentes no 
ensino-aprendizagem da Álgebra. 
 • RODRIGUES, R. S. Um estudo sobre os efeitos do pensamento 
computacional na educação. Dissertação (Mestrado em Ciência da 
Computação) – Universidade Federal de Campina Grande, Centro 
de Engenharia Elétrica e Informática, 2017. Campina Grande, 2017.
O objetivo geral desse trabalho é analisar de forma quantitati-
va o efeito do Pensamento Computacional desenvolvido pela 
XXVI
programação de computadores na capacidade de resolução de 
problemas e no desempenho de estudantes no ensino básico.
 • ROSA, M.; BAIRRAL, M. A.; AMARAL, R. B. Educação Matemática, 
Tecnologias Digitais e Educação a Distância: pesquisas contem-
porâneas. São Paulo: Livraria da Física, 2014.
Nessa obra os autores apresentam investigações recentes no cam-
po da Educação Matemática em relação às tecnologias digitais e 
Educação a Distância, de forma a contribuir com professores de 
matemática e pesquisadores em Educação Matemática.
 • SANTOS, J. G.; MONDINI, F. Um estudo sobre o tratamento formal 
dos númerosracionais. ACTIO: Docência em Ciências. Curitiba: 
UTFPR, v. 5, n. 2, 2020.
O artigo tem por objetivo apresentar um estudo sobre o tra-
tamento formal para alguns conceitos referentes aos números 
racionais, discutidos a partir de demonstrações. A escolha do 
tema justifica-se também por sua importância, visto que são as 
demonstrações matemáticas que fundamentam as teorias desta 
ciência, garantindo sua validade ou não.
 • SILVA, G. T. F.; DÍAZ-URDANETA, S. C. Ensino da Matemática na 
Educação Especial: discussões e propostas. Curitiba: Intersaberes, 
2021. (Série Pressupostos da Educação Especial).
Nessa obra, os autores focam no ensino da Matemática na edu-
cação especial, principalmente no que se refere à formação do 
professor, objetivando apresentar alternativas úteis em sala de 
aula, como estratégias pedagógicas para o ensino de números, 
álgebra, grandezas e medidas, geometria, probabilidade e esta-
tística na educação especial.
 • SKOVSMOSE, O. Um convite à educação matemática crítica. 
Campinas: Papirus, 2014. (Perspectivas em Educação Matemática).
Nesse livro, o autor aborda uma gama de conceitos cruciais no 
campo da educação matemática crítica, cenários para investiga-
ção e matemática em ação. 
 • SOUZA, F. C. Números inteiros e suas operações: uma proposta 
de estudo para estudantes do 6o ano com o auxílio de tecnologia. 
2015. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Facul-
dade de Ciências Exatas e Tecnologia, Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo.
Esse trabalho tem como objetivo verificar como os estudantes do 
6o ano do Ensino Fundamental, que não tiveram contato formal 
com os números inteiros e suas operações, mobilizam seus co-
nhecimentos prévios para resolver situações que envolvam esse 
objeto matemático e se eles poderiam se desenvolver de forma 
autônoma para a sua compreensão.
 • VILLAS BOAS, B. M. F.; SOARES, E. R. M. (org.). Avaliação das apren-
dizagens, para as aprendizagens e como aprendizagem: obra 
pedagógica do professor. Campinas: Papirus, 2022. 
O livro discorre sobre as três funções da avaliação: formativa, 
diagnóstica e somativa, destacando a formativa, pelo fato de 
desenvolver-se ao longo do trabalho pedagógico. Esse processo 
exige a presença do feedback, da avaliação informal encorajadora, 
o envolvimento dos pais/responsáveis, além de recursos avalia-
tivos variados, como o portfólio, a autoavaliação, a avaliação por 
colegas e outros.
 • WING, J. Pensamento computacional. Revista Brasileira de Ensino 
de Ciência e Tecnologia. Ponta Grossa, v. 9, n. 2, p. 1-10, maio/
ago. 2016. 
Esse artigo, “Computational Thinking”, de Jeannette Wing, foi 
publicado originalmente no número 3 da edição 49 do periódico 
Communications of the ACM, em março de 2006. Nele, a autora 
define o pensamento computacional como uma habilidade 
fundamental, que todas as pessoas devem conhecer para atuar 
na sociedade moderna.
Apresentação da coleção
• Estrutura da obra
A coleção é composta de quatro livros do estudante e respecti-
vos manuais do professor. O Manual do Professor de cada ano reúne 
o livro do estudante, as Orientações Gerais, comum a cada um dos 
volumes da coleção, as Orientações específicas de cada volume e 
orientações do conteúdo, disponibilizadas página a página. Além 
disso, contém a resposta de todos os exercícios e atividades.
Cada livro do estudante é organizado em 12 capítulos. Cada 
capítulo enfatiza conteúdos que compõem os objetos de conhe-
cimento descritos na BNCC.
Os capítulos de cada volume são compostos de:
 • Desenvolvimento teórico
O desenvolvimento dos conteúdos propostos é acompanhado 
de diversificação de estratégias. Apresenta -se intercalado com 
atividades e seções especiais que ampliam e enriquecem o tema 
estudado.
 • Blocos de exercícios
Os exercícios presentes na coleção – distribuídos entre Exercícios 
propostos, Exercícios complementares e atividades diferenciadas 
nas seções especiais – possibilitam o trabalho com as Unidades 
Temáticas e permitem integrações entre elas. Têm o intuito de 
estimular o raciocínio lógico, a argumentação e a resolução de pro-
blemas, além de propor temáticas atuais relevantes à faixa etária.
 • Seções especiais
Distribuídas ao longo do capítulo, as seções de variados tipos 
complementam, ampliam e enriquecem o tema tratado e desafiam 
os estudantes por meio das atividades propostas. Há pelo menos 
um tipo dessas seções em cada capítulo.
A seguir, apresentamos os principais elementos que compõem 
os capítulos e descrevemos as seções especiais que aparecem ao 
longo de cada volume da coleção.
 • Abertura de capítulo: compreendida por um conjunto de ques-
tões, uma imagem e pequeno texto motivadores do tema do 
capítulo. 
 • Exercícios propostos: aparecem ao longo do desenvolvimento 
teórico, trabalham aspectos importantes de cada conteúdo de 
maneira variada. Por exemplo, nos exercícios com indicação Hora 
de criar, os estudantes são convidados a usar criatividade, imagi-
nação, capacidade de argumentação e colaboração trabalhando 
em duplas ou em grupos.
XXVII
 • Exercícios complementares: podem ser trabalhados de diversas maneiras pelo professor, de acordo com 
suas necessidades didáticas. Podem servir de base para uma discussão em duplas ou em grupos, sintetizar 
o tema abordado ou ainda ser aproveitados como tarefa extraclasse ou como fonte de exercícios para 
uma recuperação paralela, entre outras aplicações.
 • Verificando: ao final de cada capítulo, apresenta um conjunto de testes que podem ser utilizados para 
autoavaliação ou como uma avaliação formativa relativa aos conteúdos trabalhados no capítulo. As 
questões apresentadas no tópico Organizando têm como objetivo fazer com que os estudantes retomem 
e reflitam sobre os conceitos estudados.
 • Seção Pense mais um pouco...: atividades e desafios de aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos 
no capítulo, que solicitam do estudante um pensamento mais elaborado, exigindo a criação de estra-
tégias pessoais de resolução.
 • Seção Para saber mais: conteúdos e atividades que, fundamentados em contextos diversos, integram a 
Matemática a outras áreas do saber ou aos diferentes campos dela própria, como a História da Matemá-
tica. Geralmente é finalizada por Agora é com você!, que traz uma proposta de questões relacionadas 
ao tema exposto.
 • Seção Trabalhando a informação: são trabalhados conteúdos de Probabilidade e Estatística, como 
interpretação e construção de tabelas e gráficos e cálculo de probabilidades.
 • Seção Diversificando: atividades que relacionam o conteúdo trabalhado no capítulo a outros contextos, 
como jogos, aplicações e desafios.
Essa estrutura pretende ser organizadora do trabalho docente sem, contudo, tornar -se um entrave para 
estudantes e professores. Por isso, os capítulos contemplam aspectos fundamentais a serem trabalhados 
com os estudantes, mas permitem maleabilidade e flexibilidade em sua abordagem, na tentativa de facilitar 
o trabalho do professor no momento em que ele precisar fazer as adaptações necessárias a cada turma.
• Organização geral da obra
No quadro a seguir apresentamos a configuração dos 12 capítulos em cada volume desta coleção:
6o ano 7o ano 8o ano 9o ano
Capítulo 1 Números Números inteiros Potências e raízes Números reais
Capítulo 2 Operações com números 
naturais Números racionais Construções geométricas e 
lugares geométricos
Operações com números 
reais
Capítulo 3 Estudando figuras 
geométricas
Operações com números 
racionais Estatística e probabilidade Grandezas proporcionais
Capítulo 4 Divisibilidade Ângulos Cálculo algébrico Proporcionalidade em 
Geometria
Capítulo 5 Um pouco de Álgebra Equações Polinômios e frações 
algébricas Semelhança
Capítulo 6 Um pouco de Geometria 
plana Inequações Produtos notáveis e 
fatoração
Um pouco mais sobre 
Estatística
Capítulo 7 Números racionais na forma 
de fração Sistemas de equações Estudo dos triângulos Equações do 2o grau
Capítulo 8 Operações com números 
racionais na forma de fração Simetriae ângulos A Geometria demonstrativa Triângulo retângulo
Capítulo 9 Números racionais na forma 
decimal e operações
Razões, proporções e 
porcentagem Estudo dos quadriláteros Razões trigonométricas nos 
triângulos retângulos
Capítulo 10 Polígonos e poliedros Estudo dos polígonos Sistemas de equações do 
1o grau com duas incógnitas Estudo das funções
Capítulo 11 Comprimentos e áreas Sobre áreas e volumes Área de regiões poligonais Circunferência, arcos e 
relações métricas
Capítulo 12 Outras unidades de medida Estudo da circunferência e 
do círculo Geometria e grandezas Polígonos regulares e áreas
XXVIII
O livro do 8o ano é composto de doze capítulos em que se desenvolvem as cinco Unidades Temáticas 
propostas pela BNCC: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, 
intercaladas e, sempre que possível, integradas, exploradas no corpo do texto explicativo e nas atividades.
A seguir, apresentamos sugestões de cronogramas para trabalhar com esses conteúdos em bimestre, 
trimestre e semestre com base nas organizações dos capítulos.
Capítulos Conteúdos Habilidades e competências da BNCC
1o se
m
es
tr
e
1o tr
im
es
tr
e
1o b
im
es
tr
e
Capítulo 1 – 
Potências e raízes
• Potências com expoentes inteiros;
• Potências de base 10;
• Notação científica;
• Raízes de números racionais;
• Potências com expoente fracionário;
• Problemas de contagem e o princípio multiplicativo;
• Noção de juro simples;
• Sequências numéricas.
Habilidades:
(EF08MA01) 
(EF08MA02) 
(EF08MA03) 
(EF08MA04) 
(EF08MA09)
(EF08MA11)
Competências 
gerais: 
1, 2, 4, 5, 9 e 10
Competências 
específicas:
1, 2, 4, 5 e 8
Capítulo 2 – 
Construções 
geométricas
e lugares 
geométricos
• Construções geométricas: segmentos congruentes, retas 
paralelas, retas perpendiculares, bissetrizes, ângulos;
• Lugares geométricos: circunferência, mediatriz de um 
segmento e bissetriz de um ângulo;
• Gráficos de setores.
Habilidades:
(EF08MA15)
(EF08MA17)
(EF08MA23)
(EF08MA27)
Competências 
gerais: 
1, 2, 3, 4, 5, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 3, 4, 5, 6 e 8
Capítulo 3 – 
Estatística e 
probabilidade
• Pesquisas estatísticas: coleta, organização e apresentação de 
resultados;
• Gráficos de barras, gráficos de colunas, gráficos de setores, 
gráficos de linha, pictogramas, cartogramas e infográficos;
• Frequência absoluta e frequência relativa;
• Medidas estatísticas de tendência central: moda, média 
aritmética e mediana;
• Noções sobre pesquisas amostrais;
• Estimativas;
• Noções de probabilidade: espaço amostral, evento e 
probabilidade como medida.
Habilidades:
(EF08MA04)
(EF08MA22)
(EF08MA23)
(EF08MA24)
(EF08MA25)
(EF08MA26)
(EF08MA27)
Competências 
gerais: 
1, 2, 4, 7, 8, 9 e 10 
Competências 
específicas: 
1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8
2o b
im
es
tr
e
Capítulo 4 – Cálculo 
algébrico
• Incógnita e variável;
• Expressões algébricas;
• Monômios;
• Fração geratriz de uma dízima periódica;
• Operações com monômios.
Habilidades:
(EF08MA05) 
(EF08MA06) 
(EF08MA11) 
Competências 
gerais: 
1, 2, 8, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 3, 5, 6 e 8
XXIX
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS
Capítulos Conteúdos Habilidades e competências da BNCC
1o se
m
es
tr
e
2o tr
im
es
tr
e
2o b
im
es
tr
e
Capítulo 5 – 
Polinômios e frações 
algébricas
• Polinômios;
• Operações com polinômios;
• Frações algébricas;
• Interpolação e extrapolação gráfica: gráficos de colunas duplas 
e gráficos de linhas duplas.
Habilidades:
(EF08MA06) 
(EF08MA19)
(EF08MA23) 
Competências 
gerais: 
2, 4, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 3, 4, 5 e 8
Capítulo 6 – 
Produtos notáveis e 
fatoração
• Produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, 
quadrado da diferença de dois termos, produto da soma pela 
diferença de dois termos e cubo da soma e da diferença de 
dois termos;
• Fatoração de polinômios;
• Aplicação de produtos notáveis e de fatoração para cálculo de 
valores numéricos;
• Simplificação de frações algébricas;
• Resolução de equações envolvendo frações algébricas;
• Sequências numéricas recursivas e não recursivas;
• Construção de gráfico de barras.
Habilidades:
(EF08MA06)
(EF08MA10) 
(EF08MA11) 
(EF08MA19) 
(EF08MA23)
 
Competências 
gerais: 
1, 2, 4, 9 e 10
Competências 
específicas:
3, 1, 3, 4, 5 e 8
2o se
m
es
tr
e
3o b
im
es
tr
e
Capítulo 7 – Estudo 
dos triângulos
• Cevianas de um triângulo: mediana, bissetriz e altura;
• Congruência de triângulos;
• Estudo dos casos de congruência de triângulos;
• Construção de um hexágono regular com descrição de 
procedimentos por escrito.
Habilidades:
(EF08MA14) 
(EF08MA16) 
(EF08MA17)
(EF08MA18)
Competências 
gerais: 
2, 3, 4, 7, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 5 e 8
3o tr
im
es
tr
e
Capítulo 8 – A 
Geometria 
demonstrativa
• Noções sobre Geometria demonstrativa: noções primitivas, 
postulados e teoremas;
• Utilização de congruência de triângulos para demonstrações 
geométricas;
• Propriedades do triângulo isósceles;
• Propriedades de triângulos;
• Aplicação dos conceitos de mediatriz e de bissetriz na 
resolução de problemas.
Habilidades:
(EF08MA14) 
(EF08MA17) 
Competências 
gerais: 
1, 2, 3, 4, 9 e 10
Competências 
específicas:
1, 2, 5 e 8
Capítulo 9 – Estudo 
dos quadriláteros
• Elementos dos quadriláteros;
• Paralelogramos e suas propriedades;
• Utilização de congruência de triângulos para demonstrações 
geométricas relativas a quadriláteros;
• Trapézios;
• Propriedade dos trapézios isósceles;
• Propriedade da base média do triângulo e do trapézio;
• Construção de quadriláteros com instrumentos de desenho 
geométrico.
Habilidades:
(EF08MA12) 
(EF08MA13) 
(EF08MA14) 
(EF08MA15) 
(EF08MA17)
(EF08MA19) 
Competências 
gerais: 
2, 3, 6, 8, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 3, 5, 6, 7 e 8
XXX
Capítulos Conteúdos Habilidades e competências da BNCC
2o se
m
es
tr
e
4o tr
im
es
tr
e
4o b
im
es
tr
e
Capítulo 10 – 
Sistemas de equação 
do 1o grau com duas 
incógnitas
• Métodos de resolução de sistemas de equações do 1o grau;
• Grandezas proporcionais;
• Representação gráfica de equações do 1o grau;
• Classificação de um sistema de equações;
• Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1o grau
• Composição de um gráfico de colunas a partir de outros 
gráficos.
Habilidades:
(EF08MA06)
(EF08MA07) 
(EF08MA08)
(EF08MA09)
(EF08MA12)
(EF08MA13)
(EF08MA23) 
(EF08MA26)
(EF08MA27)
Competências 
gerais: 
2, 4, 5, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 3, 4, 5, 6 e 8
Capítulo 11 – Área de 
regiões poligonais
• Área de paralelogramos: paralelogramos, retângulos, losangos 
e quadrados;
• Área de triângulos;
• Área de trapézios;
• Construção de um losango com instrumentos de desenho 
geométrico;
• Cálculo de área por decomposição em triângulos;
• Interpretação e construção de pictogramas.
Habilidades:
(EF08MA09)
(EF08MA15) 
(EF08MA19) 
(EF08MA23)
Competências 
gerais: 
2, 4, 9 e 10
Competências 
específicas:
2, 3, 4, 6 e 8
Capítulo 12 – 
Geometria e 
grandezas
• Polígonos regulares inscritos em uma circunferência;
• Polígonos regulares circunscritos em uma circunferência;
• Propriedades e elementos de polígonos regulares;
• Área do círculo;
• Volume de cilindros retos;
• Volume de prismas retos;
• Reconhecimento da relação entre um litro e um decímetro 
cúbico;
• Resolução de problemas envolvendo medidas de volume e de 
capacidade.
Habilidades:
(EF08MA15)
(EF08MA16)
(EF08MA19) 
(EF08MA20) 
(EF08MA21) 
Competências 
gerais: 
1, 2, 4, 7, 9 e 10
Competências 
específicas:
1, 2, 3, 6 e 8
Considerações iniciais
Cada capítulo aborda objetos de conhecimento, entendidos como conteúdos, conceitos, processos, 
com a intenção de desenvolver as habilidades relacionadas a eles. Esses conhecimentos são articulados, 
retomados e ampliados a fim de proporcionar sua apropriação pelos estudantes, considerando a apren-
dizagem um processo contínuo e integrado.
Os conteúdos matemáticos são desenvolvidos de modo que ashabilidades, as Unidades Temáticas, as 
competências e outras áreas do conhecimento se articulem e se relacionem, e são tratados na perspectiva 
das aprendizagens dos anos anteriores e posteriores. Assim, no livro do 8o ano do Ensino Fundamental, 
levamos em conta os objetivos de aprendizagem para o 7o ano, conforme proposto na BNCC, visando 
preparar os estudantes para se apropriar dos conhecimentos previstos para o 9o ano.
A seguir, são feitas orientações didáticas sobre cada capítulo e o que se pretende que os estudantes 
desenvolvam neles.
XXXI
Capítulo 1 – Potências e raízes 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Retomar cálculos de potenciação com base racional e expoente 
natural, ampliando para expoente negativo.
 • Reconhecer e expressar valores em notação científica.
 • Efetuar cálculo com raízes exatas.
 • Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potencia-
ção e radiciação.
 • Conceituar potência com expoente fracionário.
 • Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo o prin-
cípio multiplicativo.
 • Resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagens e a 
ideia de juro.
 • Resolver problemas que possam ser representados pela equação 
polinomial do 2o grau do tipo ax2 = b.
 • Identificar regularidades em sequências numéricas recursivas.
 • Utilizar a área de um quadrado no cálculo de raiz quadrada.
Ao retomar cálculos de potenciação ampliando para potên-
cias com expoentes inteiros e, associado a isso, ao possibilitar aos 
estudantes reconhecer e expressar valores em notação científica 
em diferentes situações, contribui-se para o desenvolvimento da 
competência específica 1 e da competência geral 1, pois eles 
poderão compreender que a Matemática é fruto das necessidades 
humanas e que contribui para analisar, descrever e solucionar pro-
blemas científicos e tecnológicos.
Calcular raízes exatas, associar a potenciação e a radiciação e 
explorar potências com expoentes fracionários favorece o desen-
volvimento das competências gerais 2 e 4 e da competência 
específica 2, pois os estudantes poderão exercitar a curiosidade 
intelectual a fim de estabelecer as relações propostas, elaborar e 
testar hipóteses para verificar a pertinência de propriedades estu-
dadas e, por isso, argumentar e defender ideias com base em fatos.
Ao resolver problemas envolvendo o princípio multiplicativo 
ou porcentagens e ideias de juro simples, os estudantes mobilizam 
e desenvolvem aspectos das competências específicas 4 e 5, pois 
precisam fazer observações sobre aspectos quantitativos e qualita-
tivos de situações contextualizadas e significativas, investigando e 
organizando as informações a fim de interpretá-las adequadamente. 
Além disso, eles podem utilizar as ferramentas matemáticas para 
resolver esses problemas, inclusive por meio de tecnologias digi-
tais, como a proposta de utilização de planilhas eletrônicas para 
organizar os dados sobre o cálculo de juro, favorecendo o desen-
volvimento da competência geral 5.
Ainda em relação ao desenvolvimento da competência espe-
cífica 1, os estudantes poderão desenvolvê-la ao explorar situações 
que possibilitam atribuir significados aos conhecimentos teóricos 
estudados, como a relação entre equações do tipo ax2 = b e o 
cálculo da medida da área de um quadrado, associados ao cálculo 
da raiz quadrada. 
O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da com-
petência específica 8 são favorecidos com as diferentes atividades 
a serem realizadas em grupos, pois possibilitam aos estudantes 
exercitar diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem 
com a diversidade de aprendizagem entre os colegas, interagindo 
de forma cooperativa.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros 
e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação 
entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como 
potência de expoente fracionário.
(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja 
resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo 
de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnolo-
gias, problemas que possam ser representados por equações 
polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência 
numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um 
fluxograma que permita indicar os números seguintes.
Neste capítulo, são desenvolvidos objetos de conhecimento 
da Unidade Temática Números. Nos conteúdos e atividades pro-
postos foram consideradas as aprendizagens do 6o ano e do 7o ano 
relativas à potenciação de números naturais e ao reconhecimento 
e operações de números inteiros, desenvolvendo-se a habilidade 
(EF08MA01).
Esse é o momento de ampliação dos conhecimentos sobre 
potenciação com números naturais para abordar potências com 
expoente negativo e aprofundar radiciação, na perspectiva de que a 
continuidade desse processo conduza os estudantes a se apropriar 
da relação entre potenciação e radiciação com a apresentação da 
potência de expoente fracionário (EF08MA02). Para isso, são traba-
lhados conceitos e atividades, além de se desenvolver também a 
notação científica que utiliza potências de base 10.
Ao ampliar os conhecimentos que os estudantes já têm sobre 
potenciação e radiciação, espera-se prepará-los para outros tipos 
de número e para a ampliação dos conjuntos numéricos que 
serão estudados no 9o ano do Ensino Fundamental (EF09MA03 
e EF09MA04).
Ainda na Unidade Temática Números, desenvolvem-se ati-
vidades envolvendo cálculos com porcentagens e problemas de 
contagem que tratam do princípio multiplicativo, possibilitando 
o desenvolvimento das habilidades (EF08MA03) e (EF08MA04). 
A articulação com a Unidade Temática Álgebra é promovida 
ao apresentar expressões algébricas para o cálculo de juro, ao 
buscar regularidades em sequência que envolvem potências e ao 
resolver equações do tipo ax2 = b com o uso de potências e raízes, 
mobilizando aspectos das habilidades (EF08MA09) e (EF08MA11).
A articulação com a Unidade Temática Grandezas e medidas 
aparece pelo uso do conceito de área associada à noção de raiz 
quadrada. A conexão com Probabilidade e estatística se dá em 
atividade que explora a interpretação de gráfico de colunas, reto-
mando conhecimentos construídos em anos anteriores.
XXXII
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Abertura
a) Envolvem potências de 10 os seguintes dados: massa do 
sol = 1,989 ⋅ 1030 kg; o número de vezes que esse valor 
corresponde à massa da terra = 333 ⋅ 103; temperatura do 
núcleo = 1,5 ⋅ 107 °C.
b) É maior: se observamos que 103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000, o que 
o texto nos diz é que ela é 333 mil vezes maior.
c) Em 2012, o peso médio da humanidade era de 62  kg. 
Para comparar, os estudantes devem dividir a massa de 
H convertido em He, que é 6 ⋅ 1011 kg, por essa medida de 
massa média, obtendo:
6 ⋅ 1011 : 62 = 6 ⋅ 1011 : 6,2 ⋅ 10 ≃ 0,97 ⋅ 1011 – 1 ≃ 1 ⋅ 1010 = 1010
O importante é observar que, por estarmos considerando 
quantidades muito grandes, 0,97 pode ser aproximado 
por 1 sem prejuízo.
d) Sim, pois podem afetar sistemas eletrônicos e de comuni-
cação. Professores podem mencionar a tempestade solar 
de 2003 que deixou a Suécia sem energia por uma hora.
Exercícios propostos
1. O número total de apartamentos pode ser calculado 
multiplicando-se o número de apartamentos por andar 
(6) pelo número de andares dos prédios (6) e pelo número 
de prédios (6), ou seja, 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63.
2. a) Falsa. Pelas propriedades da potenciação, 
(45)2 = 45 ⋅ 2 = 410, enquanto452 não pode ser simplifi-
cado além de 452 = 425. 
Se julgar conveniente, refaça na lousa o exemplo 
apresentado no quadro Observações que antecede 
os exercícios, [(a³)² ≠ a³2].
2. b) Verdadeira. Pelas propriedades da potenciação: 
(45)2 = 45 ⋅ 2 = 42 ⋅ 5 = (42)5.
2. c) Verdadeira. De acordo com a propriedade da poten-
ciação (a ⋅ b)m = am ⋅ bm, considerando a = 2, b = 3 e 
 m = 2.
2. d) Falsa. (2 + 3)2 = (5)2 = 25 e 22 + 32 = 4 + 9 = 13
2. e) Verdadeira. De acordo com a propriedade da po-
tenciação (a : b)m = am : bm (com b ≠ 0), considerando 
a = 8, b = 4 e m = 3.
2. f) Falsa. (8 ‒ 4)3 = 43 = 64 e 83 ‒ 43 = 512 ‒ 64 = 448
3. a) Pela propriedade da potenciação am · an = am + n:
(24 ⋅ 26) : (25 ⋅ 23) = (24 + 6) : (25 + 3) = 210 : 28
Pela propriedade da potenciação am : an = am – n, assim:
210 : 28 = 210 – 8 = 22
3. b) Pelas propriedades da potenciação:
(x4 ⋅ x2 ⋅ x3)2 : (x4)5 = (x4 + 2 + 3)2 : x4 ⋅ 5 = 
= (x9)2 : x20 = x9 ⋅ 2 : x20 = x18 : x20 = x18 – 20 = x–2
3. c) 
( ) ( )2 2
2
2
2
2
2
5    1    2
3    2
5    1        2
3    2
6    1
3    2
x x
x
x x
x
x
x
· = =
– +
–
– + +
–
+
– =
= 2(6x + 1) : 2(3x – 2) = = 2(6x + 1) – (3x – 2) = 2(3x + 3)
3. d) 
5 5
5 5
2 3
1 0
·
·
 = (52 ⋅ 53) : (51 ⋅ 50)
É importante lembrar que 50 = 1. Assim:
(52 ⋅ 53 ) : (51 ⋅ 50 ) = (52 + 3) : (51 ⋅ 1) = 55 : 51 = 55 – 1 = 54
5. a) Seguindo o raciocínio de Marina:
• a 5a linha terá 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 macacos;
• a 6a linha terá 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 macacos;
• a 7a linha terá 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 macacos;
• a 8a linha terá 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 macacos;
• a 9a linha terá 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 macacos;
• a 10a linha terá 512 macacos, pois
 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 29 = 512.
5. b) Lembrando que a1 = a e a0 = 1 (a ≠ 0), sendo a um 
número racional, o número de macacos da 1a linha 
é 1 = 20, e o da segunda linha é 2 = 21.
5. c) O seguinte padrão pode ser observado.
• Número de macacos na 1a linha: 20 = 21 – 1,
• Número de macacos na 2a linha: 21 = 22 – 1,
• Número de macacos na 3a linha: 2 ⋅ 2 = 22 = 23 – 1,
e, assim por diante. Logo, o número de macacos na 
linha n é dado por 2n – 1. Podemos usar o item a para 
reforçar esse raciocínio.
7. a) Como o denominador da fração pode ser escrito como 
uma potência de 10, 100 = 102, e o numerador é 1, da 
definição de potência com expoente negativo, temos:
1
100
1
102= = 10–2
7. b) Analogamente, como 10000 = 104, temos:
=1
10000
1
104
 = 10–4
7. c) Como 1000000 = 106, temos:
=1
1000000
1
106 = 10–6
7. d) O número 0,1 pode ser representado na forma de 
fração, como nos itens anteriores.
= = = −0,1 1
10
1
10
101
1
7. e) Analogamente: = = = −0,01 1
100
1
10
102
2
XXXIII
7. f) = = = −0,001 1
1000
1
10
103
3
11. = = =
= + =
m
n
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−
− −4
5
1
2
3
10
10
3
3 1
3
10
3
3 3 3
2 2
Assim: : = = =10
3
: 10
3
10
3
10
3
3 2 3 2( ) ( ) ( ) −
m n
12. a) = = ( )( )− −2 2 1
2
8 1 8
8
Com uma calculadora, determinamos que =1
2
0,5 
(1 : 2 = 0,5). Portanto, 2‒8 = 0,58.
Multiplicando 0,5 por si mesmo 8 vezes na calcula-
dora, obtemos 0,00390625.
12. b) = = ( )( )− −4 4 1
4
5 1 5
5
Com uma calculadora, determinamos que =1
4
0,25 
(1 : 4 = 0,25). Portanto, 4‒5 = 0,255.
Multiplicando 0,25 por si mesmo 5 vezes na calcu-
ladora, obtemos 0,0009765625.
12. c) = =( ) 



− −0,4 0,4 1
0,4
3 1 3
3
Com uma calculadora, determinamos que =1
0,4
2,5 
(1 : 0,4 = 2,5). Portanto, 0,4‒3 = 2,53.
Multiplicando 2,5 por si mesmo 3 vezes na calcula-
dora, obtemos 15,625.
12. d) = =( ) 



− −0,2 0,2 1
0,2
6 1 6
6
Com uma calculadora, determinamos que =1
0,2
5 
(1 : 0,2 = 5). Portanto, 0,2‒6 = 56.
Multiplicando 5 por si mesmo 6 vezes na calculadora, 
obtemos 15 625.
15. a) É preciso decompor 9 em fatores primos:
9 = 3 ⋅ 3 = 3²
15. b) Note que 81 = 9 ⋅ 9 = 32 ⋅ 32 = 32 + 2 = 34. Alternativa-
mente, podemos decompor 81 em fatores primos 
dividindo-o por 3 sucessivas vezes.
15. c) Como 27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 33, logo:
1
27
1
33= = 
1 1 1
3 3 3
· ·
· ·
 = 1
3
1
3
1
3
1
3
3
. . = ( ) = 
= (3–1)3 = 3–1 ⋅ 3 = 3–3
15. d) É preciso decompor 243 em fatores primos. 
243 = 3 ⋅ 81 = 3 ⋅ 34 = 35.
Logo: 1
243
1
35= = 
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
· · · ·
· · · ·
 = 
= ( )1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
5
· · · · = = (3–1)5 = 3–1 ⋅ 5 = 3–5
16. a) Primeiro, vamos escrever 4 e 8 como potências de 
base 2. Para isso, fazemos a decomposição em fatores 
primos:
4 = 2 ⋅ 2 = 22 e 8 = 2 ⋅ 4 = 23. Assim:
( ) ( )4 8
2
2 2
2
2 3
10
2 2 3 3
10
· =
·
 = 
2 2
2
2 2 3 3
10
·· ·
 = 
2 2
2
4 9
10
·
 = 
= 2
2
4   9
10
+
 = 2
2
13
10 = 213 – 10 = 23
16. b) Primeiro, vamos escrever 9, 27 e 81 como potências 
de base 3. Para isso, fazemos a decomposição em 
fatores primos:
9 = 3 ⋅ 3 = 32, 27 = 3 ⋅ 9 = 33 e 81 = 9 ⋅ 9 = 34
Assim: 
 9 27
81
3 2·
 = 
·( ) ( )3 3
3
2 3 3 2
4 = 3 3
3
2 3 3 2
4
·· ·
 = 
= 
3 3
3
6 6
4
·
 = 3
3
3
3
6 6
4
12
4
+
= = 312 – 4 = 38
17. a) Para preencher a n-ésima linha da terceira coluna, 
é preciso multiplicar o número 10 por ele mesmo 
n vezes.
Expoente 
inteiro 
positivo (n)
Potência de 
base 10 (10n)
Valor da 
potência 
(resultado)
Número de 
zeros do 
resultado
1 101 10 1
2 102 100 2
3 103 1000 3
4 104 10000 4
5 105 100000 5
17. b) 10n é o número consistindo em 1 seguido de n zeros.
17. c) Para preencher a terceira coluna, é preciso multipli-
car 10–1 = 1
10
 = 0,1 por ele mesmo |n| vezes. 
Expoente 
inteiro 
negativo (n)
Potência de 
base 10 (10n)
Valor da 
potência 
(resultado)
Número 
de casas 
decimais do 
resultado
–1 10–1 0,1 1
–2 10–2 0,01 2
–3 10–3 0,001 3
–4 10–4 0,0001 4
–5 10–5 0,00001 5
17. d) Para n inteiro e negativo, o valor da potência indi-
cada por 10n é um número formado pelo algarismo 
1 antecedido por |n| zeros, com uma vírgula entre o 
primeiro e o segundo algarismo, ou seja, é um nú-
mero com |n| casas decimais.
XXXIV
18. Considerando que 10n é o número formado pelo algaris-
mo 1 seguido de n zeros, para o número 1000000000000, 
com 12 zeros, n = 12; portanto, a medida da distância 
média entre o planeta Saturno e o Sol é da ordem de 
1012 m.
19. a) 10–1 = 1
10
 = 0,1
19. b) 10–2 = (10–1)2 = ( )1
10
2
 = (0,1)2 = 0,01
19. c) 10–3 = (10–1)3 = ( )1
10
3
 = (0,1)3 = 0,001
19. d) 10–5 = (10–1)5 = ( )1
10
5
 = (0,1)5 = 0,00001
19. e) 10–6 = (10–1)6 = 1
10
6
( ) = (0,1)6 = 0,000001
20. Observando que 10–n é um número com n casas deci-
mais, com o algarismo 1 na última casa decimal e zero 
nas demais, para o número 0,0001, com 4 casas deci-
mais, n = 4; portanto, a medida do diâmetro de um fio 
de cabelo fino é, aproximadamente, 10–4 m.
21. Espera-se que os estudantes construam um quadro 
como a seguir. 
Prefixos das unidades de medida no SI
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade
yotta Y 1024 = 10000000000000000000000000
zetta Z 1021 = 10000000000000000000000
exa E 1018 = 10000000000000000000
peta P 1015 = 10000000000000000
tera T 1012 = 10000000000000
giga G 109 = 10000000000
mega M 106 = 10000000
quilo k 103 = 10000
hecto h 102 = 1000
deca da 101 = 100
nenhum nenhum 100 = 1
deci d 10–1 = 0,1
centi c 10–2 = 0,01
mili m 10–3 = 0,001
micro μ 10–6 = 0,000001
nano n 10–9 = 0,0000000001
pico p 10–12 = 0,0000000000001
femto f 10–15 = 0,0000000000000001
atto a 10–18 = 0,0000000000000000001
zepto z 10–21 = 0,0000000000000000000001
yocto y 10–24 = 0,0000000000000000000000001
Dados obtidos em: Sistema Internacional de Unidades ‒ SI, tradução 
luso-brasileira da 9a edição do BIPM, 2021. Disponível em: 
https://www.gov.br/inmetro/pt-br/centrais-de-conteudo/
publicacoes/documentos-tecnicos-em-metrologia/si_versao_final.
pdf/view. Acesso em: 27 jul. 2022.
22. a) 
10 10
10
10
10
10
10
3 2
7
3   2
7
5
7
· = =
+
 = 105 – 7 = 10–2 = 0,01
22. b) 
10 10
10
10
10
10
10
4 2
9
4   2
9
6
9
· = =
+
 = 106 – 9 = 10–3 = 0,001
22. c) ( )
10
10 10
10
10
16
4 8
16
4    8·
=
–
– –
–– + – = 10
10
10
10
16
4   8
16
12=
–
– –
–
– = 
10–16 – (–12) = 10–16 + 12 = 10–4 = 0,0001
22. d) 
10 10
10
4 8
9
·– –
– = 
( )−10
10
4  8
9
– +
– = 10
10
10
10
4   8
9
12
9=
– –
–
–
– = 
= 10–12 – (–9) = 10–12 + 9 = 10–3 = 0,001
23. a) Deslocando a vírgula 4 casas para a direita, temos:
3,6 ⋅ 104 = 36000
23. b) Deslocando a vírgula 2 casas para a direita, temos:
0,025 ⋅ 102 = 2,5
23. c) Deslocando a vírgula 2 casas para a esquerda (pois 
o expoente é um número inteiro negativo), temos:
0,4 ⋅ 10–2 = 0,004
23. d) Deslocando a vírgula 3 casas para a esquerda (pois 
o expoente é um número inteiro negativo), temos:
3576 ⋅ 10–3 = 3,576
24. Para simplificar o cálculo, vamos escrever os números na 
forma de potência de base 10. Deslocando a vírgula para 
a direita cinco casas em 0,000025, obtemos: 0,000025 = 
= 2,5 : 105 = 2,5 ⋅ 10–5. Da mesma maneira, podemos con-
cluir que 0,000000002 = 2 ⋅ 10–9 (pois é preciso avançar 
9 casas para obter 2). Logo:
0,000025 ⋅ 0,000000002 = (2,5 ⋅ 10–5) ⋅ (2 ⋅ 10–9) = 
= 2,5 ⋅ 2 ⋅ 10–5 ⋅ 10–9 = 5 ⋅ 10–5 – 9 = 5 ⋅ 10–14
Alternativa b.
25. Para fazer a adição, as potências de base 10 devem 
ter os mesmos expoentes. Então, considerando que 
10–23 = 10–21 – 2 = 10–21 · 10–2, temos:
5,24 ⋅10–23 = 5,24 · 10–21 · 10–2 = 0,0524 · 10–21 . Assim:
A = 5,24 · 10–23 = 8,36 · 10–21
A = 0,0524 · 10–21 = 8, 36 · 10–21
A = (8,36 – 0,0524) · 10–21
A = 8,4124 · 10–21
Alternativa c.
26. a) Para obter 567 540 a partir de 56,754, é preciso des-
locar a vírgula 4 casas para a direita, o que equivale 
a multiplicar por a = 104.
26. b) Para obter 30 a partir de 0,003, é preciso deslocar a 
vírgula 4 casas para a direita, o que equivale a mul-
tiplicar por a = 104.
26. c) Para obter 0,000023 a partir de 23, é preciso deslocar 
a vírgula 6 casas para a esquerda, o que equivale a 
multiplicar por a = 10–6.
26. d) Para obter 0,00045 a partir de 4,5, é preciso deslocar 
a vírgula 4 casas para a esquerda, o que equivale a 
multiplicar por a = 10–4.
XXXV
27. a) O prefixo “centi” equivale a um centésimo, ou 0,01 = 
= 10–2. Logo, 1 cm = 10–2 m.
27. b) O prefixo “quilo” equivale a mil, ou 1 000 = 103. Logo, 
1 km = 103 m; portanto, 100 km = (100 ⋅ 103) m = 
= (102 ⋅ 103) m = 103 + 2 m = 105 m.
27. c) 1 kg equivale a 1000 g. Ou seja, 1 kg = 1000 g; por-
tanto, 1 g = (1 : 1 000) kg = 10–3 kg.
Logo: 10 g = 101 ⋅ 10–3 kg = 101 + (–3) = 10–2 kg
27. d) Uma tonelada equivale a 1 000 kg = 103 kg.
27. e) Como 1 cm = 10–2 m, temos:
1 cm² = (1 cm) ⋅ (1 cm) = (10–2 m) ⋅ (10–2 m) = 10–4 m²
Portanto, 10 cm² = (10 ⋅ 10–4) m² = 101 – 4 m² = 10–3 m².
27. f) O prefixo “deci” equivale a um décimo.
Logo, 1 m = 10 dm.
Como 1 cm = 10–2 m, temos que 1 cm = 10–2 m = 
= 10–2 ⋅ (10 dm) = (10–2 ⋅ 10) dm = 10–2 + 1 dm = 10–1 dm.
Portanto: 1 cm³ = (1 cm)³ = (10–1 dm)³ = 10–3 dm³
28. Como 6,7 ⋅ 109 m³ corresponde a 37% da capacidade 
procurada, c, então, fazendo uma proporção:
37
6,7 10
100
9 c·
=
c = =100 6 7 10
37
10 6 7 10 10
37
9 2 8. . . .., ,
 = 
c = 67
37
1010· = 1,810  ⋅ 102 + 8 ≃ 1,811 ⋅ 1010 
Logo, a capacidade total é de aproximadamente 
18 110 000 000 m³.
29. Precisamos determinar quanto de água o rio Amazo-
nas lança no oceano em unidades compatíveis com 
a do volume do açude (metro cúbico). Por definição, 
1 L equivale a 1 dm³. 
Como 1 dm = 1 : 10 m = 10–1 m, temos que 1 L = 1 dm³ 
= (1 dm)³ = (1 ⋅ 10–1 m)³ = 10–3 m³. Como um milhão é 
1 000 000 = 106, conclui-se que o rio Amazonas despeja 
5 ⋅ 104 m³ por segundo no oceano, pois 50 milhões de 
litros correspondem a:
50 ⋅ 106 ⋅ 10–3 m³ = 5 ⋅ 10 ⋅ 106 ⋅ 10–3 m³ =
= 5 ⋅ 101 + 6 – 3 m³ = 5 ⋅ 104 m³
Fazendo uma proporção simples com a capacidade 
do açude Orós, determinamos o tempo t, em segundo, 
que o rio Amazonas leva para lançar o volume de água 
correspondente no oceano.
t = =2 10
5 10
2
5
10
10
9
4
9
4
.
.
. = 0,4 ⋅ 105 = 40 000
Ou seja, são necessários 40 000 segundos para que o rio 
Amazonas lance no oceano Atlântico um volume de 
água igual à capacidade do açude Orós. Como 1 hora 
tem 3 600 segundos, isso equivale a 11,1 horas.
= ·
·
40000
3600
400 10
36 10
2
2 = 400
36
10
10
2
2· = 11,11111…
Ou seja, o tempo é maior do que 10 horas e menor do 
que 20 horas. 
Alternativa d.
30. a) Para deslocar a vírgula uma casa para a esquerda, 
precisamos multiplicar por 101 e por 10–1, obtendo:
12,6 = 12,6 ⋅ 10–1 ⋅ 101 = 1,26 ⋅ 10 
Como um milhão é 1 000 000 = 106, 12,6 milhões 
correspondem a: 
12,6 · 106 = 1,26 ⋅ 10 ⋅ 106 = 1,26 ⋅ 106 + 1 = 1,26 ⋅ 107
30. b) Para deslocar a vírgula duas casas para a esquerda, 
precisamos multiplicar por 102 e por 10–2, obtendo:
361 = 361 ⋅ 10–2 ⋅ 102 = 3,61 ⋅ 10²
Logo: 361 ⋅ 106 = 3,61 ⋅ 10² ⋅ 106 = 3,61 ⋅ 106 + 2 = 3,61 ⋅ 108
30. c) Para deslocar a vírgula uma casa para a esquerda, 
precisamos multiplicar por 101 e por 10–1, obtendo:
15 = 15 ⋅ 10–1 ⋅ 101 = 1,5 ⋅ 10
Como um bilhão consiste em mil milhões, temos: 
1000 ⋅ 1000000 = 103 ⋅ 106 = 109
Assim: 1,5 ⋅ 10 ⋅ 109 = 1,5 ⋅ 101 + 9 = 1,5 ⋅ 1010
30. d) Para deslocar a vírgula duas casas para a esquerda, 
precisamos multiplicar por 102 e por 10–2, obtendo:
458,6 = 458,6 ⋅ 10–2 ⋅ 102 = 4,586 ⋅ 10²
Logo: 458,6 ⋅ 10–5 = 4,586 ⋅ 10² ⋅ 10–5 = 4,586 ⋅ 102 – 5 = 
= 4,586 ⋅ 10–3
30. e) Para mudar a vírgula três casas para a esquerda, 
precisamos multiplicar por 103 e por 10–3, obtendo: 
3576 = 3576 ⋅ 10 –3 ⋅ 103 = 3,576 ⋅ 103
Logo: 3 576 ⋅ 10–3 = 3,576 ⋅ 103 ⋅ 10–3 = 3,576 ⋅ 103 – 3 = 
= 3,576 ⋅ 100 = 3,576 ⋅ 1 = 3,576
30. f) Contamos 12 zeros depois da vírgula, seguidos do 
algarismo 1.
Logo: 0,0000000000001 = 1 ⋅ 10–13 
31. A configuração de menor distância possível é aquela 
na qual os dois planetas (A e B) estão alinhados com a 
estrela (E) na ordem B, A, E ou E, A, B. Assim, distância 
entre os planetas é dada por:
EB ‒ EA = 2,3 ⋅ 108 ‒ 15 ⋅ 107 = (23 ⋅ 10–1) ⋅ 108 ‒ 15 ⋅ 107 =
= 23 ⋅ 107 ‒ 15 ⋅ 107 = (23 ‒ 15) ⋅ 107 = 8 ⋅ 107
Portanto, a medida da distância mínima entre A e B é 
8 ⋅ 107 km.
Já a configuração de maior distância possível é aquela 
na qual os dois planetas (A e B) estão alinhados com 
a estrela (E) na ordem B, E, A ou A, E, B. Nesse caso, a 
distância entre os planetas é dada por:
EB + BA = 2,3 ⋅ 108 + 15 ⋅ 107 = 2,3 ⋅ 108 + (1,5 ⋅ 10) ⋅ 107 =
= 2,3 ⋅ 108 + 1,5 ⋅ 108 = (2,3 + 1,5) ⋅ 108 = 3,8 ⋅ 108
Portanto, a medida da distância máxima entre A e B é 
3,8 · 108 km.
32. a) Uma tonelada (1 t) equivale a:
1000 kg = 103 kg
Assim:
2 ⋅ 1030 kg = 2 ⋅ 1027 + 3 kg = 2 ⋅ 1027 ⋅ 103 kg = 2 ⋅ 1027 t
XXXVI
32. b) Montando uma proporção simples, determinamos a 
massa de medida m, em quilograma, que é convertida 
em He por ano no núcleo do Sol. Considerando que 
a cada 1 segundo são convertidos cerca de 6 ⋅ 1011 kg 
de H em He e que 1 ano tem aproximadamente 
3 ⋅ 107 segundos.
m
6 10
3 10
111
7
. = ⋅
m = (6 ⋅ 1011 ) ⋅ (3 ⋅ 107 ) = 3 ⋅ 6 ⋅ 1011 + 7
m = 18 ⋅ 1018 = 1,8 ⋅ 1019
Considerando que 1 tonelada equivale a 10³ quilo-
gramas, temos:
1 t = 103 kg ou 1 kg = 10–3 t
1,8 ⋅1019 kg = 1,8 ⋅1019 ⋅ 10–3 t = 1,8 ⋅ 1019 – 3 t = 1,8 ⋅ 1016 t
Portanto, 1,8 ⋅ 1016 toneladas de H são convertidas 
em He por ano no núcleo do Sol.
33. Considerando que o prefixo mili corresponde a um 
fator de multiplicação de 10–3, significa que 1 mililitro 
corresponde a 10–3 litro, ou seja, 1 litro corresponde a 
103 mililitros.
Portanto, 5,5 litros equivalem a 5,5 ⋅ 103 mililitros.
Se 1 mililitro contém 5 ⋅ 103 glóbulos vermelhos, 
5,5 ⋅ 103 mililitros contêm 2,75 ⋅107 glóbulos vermelhos.
5,5 ⋅ 103 ⋅ 5 ⋅103 = 5, 5 ⋅ 5 ⋅ 103 + 3 = 27,5 ⋅ 106 = 2,75 ⋅107
34. a)
Movimentação comercial entre o Brasil e o exterior (2019-2021)*
Saldo Importações Exportações
2019 2020
* valores aproximados.
2021
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
300 000
0
Ano
M
ilh
õe
s 
de
 d
ól
ar
es
Dados obtidos em: BRASIL. Resultados do comércio exterior 
brasileiro: dados consolidados. Disponível em: 
https://balanca.economia.gov.br/balanca/publicacoes_dados_
consolidados/pg.html.Acesso em: 10 mar. 2022.
É importante observar que os dados estão em mi-
lhões de dólares. Logo, cada valor precisa ser multi-
plicado por 106 (1000000 = 106) antes de ser escrito 
em notação científica.
Ano Saldo 
(dólares)
Importações 
(dólares)
Exportações 
(dólares)
2019 3,5 ⋅ 1010 1,86 ⋅ 1011 2,21 ⋅ 1011
2020 5,0 ⋅ 1010 1,59 ⋅ 1011 2,09 ⋅ 1011
2021 6,1 ⋅ 1010 2,19 ⋅ 1011 2,80 ⋅ 1011
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
34. b) Para 2019:
2,21 ⋅ 1011 ‒ 1,86 ⋅ 1011 = 0,35 ⋅ 1011 =
= 3,5 ⋅ 10–1 ⋅ 1011 = 3,5 ⋅ 1010
Para 2020:
2,09 ⋅ 1011 ‒ 1,59 ⋅ 1011 = 0,5 ⋅ 1011 =
= 5,0 ⋅ 10–1 ⋅ 1011 = 5,0 ⋅ 1010
Para 2021:
2,80 ⋅ 1011 ‒ 2,19 ⋅ 1011 = 0,61 ⋅ 1011 =
= 6,1 ⋅ 10–1 ⋅ 1011 = 6,1 ⋅ 1010 
34. c) Para calcular a média do saldo, adicionamos os va-
lores dos três anos e dividimos por três:
+ +. . .3,5 10 5,0 10 6,1 10
3
10 10 10
 = 
14,6 10
3
10·
 =
= 14,6
3
 ⋅ 1010 ≃ 4,9 ⋅ 1010
Analogamente, para a média das importações, temos:
5,64 10
3
11·
 = 5,64
3
 ⋅ 1011 = 1,88 ⋅ 1011
Para a média das exportações, temos:
+ +. . .2,21 10 2,09 10 2,80 10
3
11 11 11
 = 
7,1 10
3
11·
 =
= 7,1
3
 ⋅ 1011 ≃ 2,37 ⋅ 1011
34. d) Para a exportação atingir a média em 2019, faltaram 
1,60 · 1010 dólares.
2,21 ⋅ 1011 ‒ 2,37 ⋅ 1011 = ‒ 0,16 ⋅ 1011 =
= ‒1,60 ⋅ 10– 1 ⋅ 1011 = ‒ 1,60 ⋅ 1010
Para a exportação atingir a média em 2020, faltaram 
2,80 · 1010 dólares.
2,09 ⋅ 1011 ‒ 2,37 ⋅ 1011 = ‒ 0,28 ⋅ 1011 =
= ‒ 2,80 ⋅ 10– 1 ⋅ 1011 = ‒ 2,80 ⋅ 1010
Em 2021, a exportação excedeu a média em
4,30 · 1010 dólares.
2,80 ⋅ 1011 ‒ 2,37 ⋅ 1011 = 0,43 ⋅ 1011 =
= 4,30 ⋅ 10–1 ⋅ 1011 = 4,30 ⋅ 1010
34. e) 
Saldo Importações Exportações Média – importações
Movimentação comercial entre o Brasil e o exterior (2019-2021)*
2019 2020
* valores aproximados.
2021
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
300 000
0
Ano
M
ilh
õe
s 
de
 d
ól
ar
es
Dados obtidos em: BRASIL. Resultados do comércio exterior 
brasileiro: dados consolidados. Disponível em: 
https://balanca.economia.gov.br/balanca/publicacoes_dados_
consolidados/pg.html. Acesso em: 10 mar. 2022.
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
XXXVII
Sim. Se o gráfico tiver sido feito em escala no papel, 
pode-se medir os tamanhos. Analiticamente, pode-se ob-
servar que, em 2019, as importações foram quase iguais 
à média (1,86 ⋅ 1011 ≃ 1,88 ⋅ 1011), enquanto os valores de 
2020 e 2021 diferem da média por cerca de 3 ⋅ 1010 para 
mais e para menos, respectivamente (0,3 ⋅ 1011 = 3 ⋅ 1010).
35. 
9,0 10
3,0 10
9
3
10
10
7
5
7
5
·
·
= · = 3 ⋅ 102
Ou seja, o raio de luz percorre essa distância em 300 s.
Como um minuto tem 60 s, são necessários 5 minutos 
(300 : 60 = 5).
Alternativa b.
38. a) Como observado, não existe número negativo cujo 
quadrado seja negativo. Portanto, a raiz quadrada 
de ‒25 não é um número racional.
38. b) ( )1
16
1
4
2
=
Portanto, 1
16
1
4
= é um número racional.
38. c) O número 3
4
 não é um quadrado perfeito. Portanto, 
sua raiz quadrada não é um número racional. 
38. d) Como observado, não existe número negativo cujo 
quadrado seja negativo. Portanto, a raiz quadrada 
de 1
9
– não é um número racional.
38. e) O número 8
10
 não é um quadrado perfeito. Portanto, 
sua raiz quadrada não é racional. 
38. f) ( )25
9
5
3
2
=
Portanto, 25
9
5
3
= é um número racional.
39. a) Do enunciado, concluímos que 352 ⋅ 352 = 123904. 
Assim:
– = –1239,04
123904
100
  =
352 352 
10 10
– ·
·
  352
10
= – = ‒35,2
39. b) =12,3904
123904
10000
 = 352 352 
100 100
·
·
 =
352
100
 = = 3,52
41. a) Escrevendo 100 = 10 ⋅ 10, vemos que 10 é um número 
que, elevado ao quadrado, resulta em 100. Porém, 
(‒10) ⋅ (‒10) = 100. Logo, ‒10 elevado ao quadrado 
também resulta em 100.
41. b) Convencionou‒se que a a representa a raiz qua-
drada positiva de a. Assim, 100 = 10.
42. Um número negativo não pode ser o quadrado de um 
número racional. Logo, ‒49 não pode admitir uma raiz 
quadrada racional. 
43. a) Como 441 = 21 ⋅ 21 = 21², 441 = 21; portanto, 
441– = ‒21.
43. b) Um número negativo não pode ser o quadrado de 
um número racional. Logo, ‒441 não pode admitir 
uma raiz quadrada racional. Deve-se enfatizar aqui 
a diferença entre o simétrico da raiz quadrada e a 
raiz quadrada de um número negativo. 
44. a) Fa lsa , po is 10 1002 = = 10 , enquanto 
10 1002– = – não é um número racional, 
pois um número negativo não pode ser o quadrado 
de um número racional.
44. b) Verdadeira, pois 10 100 102 = = e ( 10)2– = = 
= ( ) ( )10 10 100 – · – = = 10.
44. c) Falsa, pois ( ) ( ) ( )7 7 7 49 72– = – · – = = , que é 
diferente de ‒7.
44. d) Verdadeira, pois ( ) ( ) ( )7 7 7 49 72– = – · – = = .
44. e) Falsa, pois 10 100 102– = – = – , enquanto 
( ) ( )( 10) 10 10 1002– = – · – = = 10.
44. f) Verdadeira, pois ( 10)2– – = ( ) ( )10 10– – · – = 
= 100– = ‒10.
44. g) Verdadeira, pois 8 23 = , já que 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³ = 8, e, 
como (‒2)³ = (‒2) ⋅ (‒2) ⋅ (‒2) = ‒8, temos 8 23 – = – . 
Portanto, 83– – = ‒(‒2) = 2.
44. h) Verdadeira. A raiz enésima de zero é zero, com 
n natural não nulo. De fato, 0 vezes si mesmo n vezes 
sempre resulta em zero, qualquer que seja n ⩾ 2. 
45. a) 900 = 30 ⋅ 30 = 30². Portanto, 900 = 30 e 2 ⋅ 900 = 
= 2 ⋅ 30 = 60.
45. b) 2,56 = 256
100
16 16
10 10
= ·
·
 = 16
10
16
10
· = ( )16
10
2
 = (1,6)2
Portanto, 2,56 = 1,6 e 3
4
2,56· = 0,75 ⋅ 1,6 = 1,2.
45. c) Note que:
(‒1)5 = (‒1) ⋅ (‒1) ⋅ (‒1) ⋅ (‒1) ⋅ (‒1) =
= [(‒1) ⋅ (‒1)] ⋅ [(‒1) ⋅ (‒1)] ⋅ (‒1) = 1 ⋅ 1 ⋅ (‒1) =
= 1 ⋅ (‒1) = ‒1
Logo, 15 – = ‒1. Como 0 0= , temos: 
0   15– – = 0 ‒(‒1) = 0 + 1 = 1
XXXVIII
45. d) Começamos pela raiz cúbica:
8
27
8
27
– = – = 
( ) ( ) ( )2 2 2
3 3 3
– · – · –
· ·
 = ( )2
3
3–
Logo, 8
27
2
3
3 – = – .Quanto à raiz quadrada, 
( )25
64
5 5
8 8
5
8
2
= ·
·
= . Logo, 25
64
5
8
= .
Assim, temos:
8
27
25
64
3 – – = 2
3
5
8
– – = 2 8   5 3
24
– · – ·
 = 
= 16 15
24
– – = 31
24
– = 31
24
–
46. Se h representa a altura, temos h = 44,1 m. Assim:
t = 
4,9
44,1
4,9
9h = = = 3
Portanto, o objeto leva 3 s para atingir o solo.
47. Como 5² = 25, temos 25 5= . Logo: 
18 84 4 25
3
+ – + = 18 84 4 5
3 + – + = 
= 18 84 9
3 + – 
Como 3² = 9, temos 9 = 3. Logo: 18 84 9
3 + – = 
= 18 84 33 + – = 18 813 +
Como 9² = 81, temos 81 = 9. Logo: 18 813 + = 
  18 9   273 3+ =
Por fim, como 3³ = 27, o valor da expressão é 273 = 3. 
48. Fernanda acertou, pois tratou uma radiciação por vez. 
Daniel errou por cancelar as potências com os radicais 
antes de simplificar a expressão. Assim, deve-se enfa-
tizar aqui a importância de se trabalhar gradualmente 
da expressão mais interna para a mais externa, aprovei-
tando para destacar os riscos de simplesmente “cortar” 
os expoentes das potências e os índices.
49. a) Considerando que    a a
m
n mn= , para
a = 2, m = 2 e n = 3, temos: 2 223
2
3=
49. b) Para a = 5, m = 3 e n = 4, temos: 5 534
3
4=
49. c) Para a = 10, m = 1 e n = 3, temos: 10 103
1
3=
50. a) Considerando que    a a
m
n mn= , para
a = 2, m = 3 e n = 4, temos: 2 2
3
4 34=
50. b) Para a = 9, m = 1 e n = 3, temos: 9 9
1
3 3=
50. c) Para a = 8, m = 1 e n = 2, temos: 8 8
1
2 2=
51. a) Como as propriedades da potenciação continuam 
válidas para expoentes fracionários, temos:
3 36
6
2= = 33 = 27
51. b) 512 512
1
3 3=
Como 512 = 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 8³, temos: 512 83 =
51. c) 2 284
8
4= = 22 = 4
53. Simplificando a expressão A: 
( ) ( )



1
2
1 1
2
  6
3
2
3
2
A = – + · – = ( ) ( )



1
2
3
2
4
3
2
– · = 
= 2
4
9
4
4
3
7
4
4
3
7
3
--- . = -- . = --




 ( ) 
Simplificando a expressão B:
( )



5
7
2 2
3
3 B = : – + = 



  5
7
2 11
3
: – = 



5
7
5
3
: – = 
= 



5
7
3
5
·
–
 = 3
7
3
7–
= –
Logo: ( )7
3
3
7
1A B· = – · – =
Concluímos que os valores de A e B são números inversos.
54. De acordo com o item c:
· · · ·1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
41
5
3
4
, pelo item
� ����� �����
+ + +
= c
 = 3
4
1 1
4 5
3
4
1
20
+ = +
.
. = 
= 
5 3 1
20
· +
 = 15 1 
20
+ = 16
20
4
5
=
55. É mais fácil começar trabalhando com frações e, apenas 
no final, escrever na forma decimal. Vale recordar que 
a : bn = a ⋅ b–n. 
( ) ( )1 1
5
0,4 1
5
0,7 36
49
2 2
– + : – – · = 
= ( ) ( )5
5
1
5
4
10
1
5
2 2
– + : – 0,7 36
49
– · = 
= ( ) ( )5
5
1
5
2
5
1
5
2 2
– + : – 0,7 36
49
– · = 
= ( ) ( )4
5
1
5
0,7 36
49
2 2
– : – · = 
= ( ) ( )4
5
1
5
0,7 36
49
2 2
– · – ·
–
 = 
= ( ) ( )4
5
5
1
0,7 36
49
2 2
– · – · = 
= 16
25
25
1
0,7 36
49
· – · = ( )16
1
0,7 6
7
2
– · =
= 16 ‒ 0,7 ⋅ 6
7
16 7
10
6
7
= – · = =
16 6
10
· = – = 16 ‒ 0,6 = 15,4
XXXIX
56. Vale recordar as propriedades da potenciação com 
mesma base e que 1a
a
n
n=– .
( ) ( ) ( )



1
2
1
2
1
2
2
4 3 6
7– : – · – + – = 
= ( ) ( )



1
2
1
2
2
4 3  6
7– · – +
–
– = ( ) ( )1
2
1
2
2
1 6
7– · – + – = 
= ( )1
2
1 6
–
+
 + 2–7 = ( )  1
2
7
– + 2–7 = = (‒2–1)7 + 2–7 =
= ‒2–7 + 2–7 = 0
Alternativa c.
Pense mais um pouco…
Página 28
1. a) Como 400 = 20 ⋅ 20, concluímos que x = 20 é um va-
lor que torna a sentença x² = 400 verdadeira. Porém, 
como (‒20) ⋅ (‒20) = 400, x = ‒20 é outro valor possível.
Note que números menores do que 20, ao quadrado, 
resultam em valores menores do que 400; números 
maiores do que 20, ao quadrado, resultam em valores 
maiores do que 400.
1. b) Apenas 20, pois uma medida de comprimento pre-
cisa ter valor numérico positivo.
2. a) Como (4,8)2 = 23,04 e x2 = 23,04, podemos concluir 
que x = 4,8 é um valor que torna a igualdade ver-
dadeira. Como (‒4,8) ⋅ (‒4,8) = 23,04, x = ‒4,8 é outro 
valor possível.
2. b) Apenas 4,8, pois a medida do comprimento dos lados 
precisa ter valor numérico positivo.
Trabalhando a informação
1. Conhecemos o capital C = 18000, a taxa de juros i, de 
8% ao ano, e o tempo t, de 2 anos.
Escrevendo i na forma decimal: i = 8% = 8 : 100 = 0,08
Assim, o rendimento para essa aplicação será:
j = C ⋅ i ⋅ t = 18 000 ⋅ 0,08 ⋅ 2 = 2 880.
Ou seja, R$ 2 880,00.
2. Neste caso, já sabemos que o rendimento foi de j = 2304, 
e o capital inicial C = 12000 e a taxa mensal i = 1,6% = 
= 0,016. Resta-nos determinar o tempo t correspon-
dente.
j = C ⋅ i ⋅ t ⇒ t = J
C i. = 
2304
12000 0,016. = 
2304
192
 = 12
É importante notar que a taxa dada foi mensal; então, 
o tempo é de 12 meses (ou 1 ano).
Para saber mais
Páginas 32
1. a) O computador calcula 2^3^3 como (23)3 = 29 = 512.
1. b) Pela explicação dada no texto, o computador calcula 
primeiro 2^3 como 2³ = 8; em seguida 3^(2^3) = 3^8 
como 38 = 6561; e, por fim, 2^(3^(2^3)) = 2^(6561). 
Ou seja, 2(3(23))= 26561
Note que esse número contém 1976 casas decimais; 
portanto, não pode ser calculado para além da for-
ma de potência com o auxílio de uma calculadora 
de mão, mas ele pode ser calculado utilizando uma 
calculadora científica, que fornecerá a resposta em 
notação científica.
1. c) Como a expressão dentro de parênteses é efetuada 
antes, o computador calcula primeiro 2^3 como 2³, 
depois (2^3)^4 como (23)4 = 23 ⋅ 4 = 212 = 4096.
1. d) Neste caso, a expressão 3^2 dentro dos primeiros 
parênteses é calculada como 3². Em seguida, essa 
expressão é elevada ao cubo; por fim, é elevada ao 
quadrado.
((32)3)2 = (32)3 ⋅ 2 = (32)6 = 32 ⋅ 6 = 312 = 531441 
2. É importante que essa atividade seja corrigida na lousa 
para que os estudantes indiquem os pontos em que têm 
dificuldades e para que esclareçam as dúvidas de sintaxe.
3. Assim como na atividade anterior, é importante corrigir 
as expressões propostas pelos estudantes na lousa, para 
que eles percebam os equívocos de sintaxe.
Exercícios complementares
1. a) x ⋅ y ⋅ z = (22)3 ⋅ (23)2 ⋅ 232 = 22 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 2 ⋅ 29 = 26 ⋅ 26 ⋅ 29 =
= 26 + 6 + 9 = 221
1. b) x : y = (22)3 : (23)2 = 22 ⋅ 3 : 23 ⋅ 2 = 26 : 26 = 26 ‒ 6 = 20 = 1
x : z = (22)3 : 232 = 22 ⋅ 3 : 29 = 26 : 2 9 = 26 ‒ 9 = 2‒3 = 1
2
1
83 =
2. Observe que, passados 30 segundos, uma única célula se 
divide em duas. Passados mais 30 segundos, cada uma 
dessas duas células se divide em duas. Ou seja, após 
2 ⋅ 30 segundos, temos 2 ⋅ 2 células = 2² células. Passados 
mais 30 segundos, cada uma dessas 2² células se divide 
em duas, totalizando 2³ células (2 ⋅ 2² = 22 + 1 = 2³). Ou seja, 
após 3 ⋅ 30 segundos, temos 2³ células. Extrapolando, após 
n ⋅ 30 segundos, temos 2n células. Logo, após 20 minutos 
= 20 ⋅ 2 ⋅ 30 segundos, temos 240 células.
5. a) Lembrando que qualquer número quando elevado 
a zero resulta 1, temos:
a = 50 ‒ 2–2 = 1 1
2
1 1
4
4
4
1
4
3
4
 2– = – = – = 
b = ( )1    1
2
1 1
– =
– –
 = ( )2
2
    1
2
1 1
– =
– –
 = ( )1
2
1–
 = (2–1) –1 =
= 2–1 ∙ (–1) = 21 = 2
c = 120 ‒ 3 = 1 ‒ 3 = ‒2 
Assim: ( )3
4
3
4
3
4
9
16
2
ab = = · =
5. b) (b – a)c = – = –
– –
2    3
4
8
4
3
4
2 2( ) ( ) = 
= ( ) ( )5
4
4
5
16
25
2 2
= =
–
5. c) =
–
=
–
= –
– –
–
3
4
2
2
3
4
1
3
4
2 2
2.
( ) ( )




















ab
c
c
= 
= -- 4
3
16
9
2
( ) =
XL
6. a) ( ) ( ) ( )( )2,5 25
10
10
25
2
5
4
25
2
2 2 2
= = = =–
–
6. b) ( ) ( ) ( )( )0,15 15
100
100
15
20
3
3
3 3 3
= = =–
–
 = =20
3
8000
27
3
3
6. c) = = =–
–
0,1 1
10
10
1
100004
4 4( ) ( )( )
6. d) – = – = – =–
–
0,01 1
100
100
1
100002
22
( ) ( )( )
7. a) Da relação 1a
a
n
n=– , para a = 10 e n = 2, temos:
1
10
102
2= –
7. b) 1
16
1
2
24
4= = –
7. c) ( ) ( ) ( )1
25
1
25
1
52– = – = – = ‒(5–2) = ‒5–2
7. d) 1
125
1
5
53
3= = –
7. e) Os divisores de 15 são 5 e 3, com 15 = 5 ⋅ 3. Portanto, 
15 não pode ser decomposto em potências positivas 
de alguma base menor do que ele. Assim:
1
15
15 1= –
7. f) ( ) ( ) ( )1
100
1
100
1
102– = – = – = ‒ (10–2) = ‒10–2
8. a) 57,8 milhões equivalem a
57,8 · 106 = 5,78 · 101 · 106 = 5,78 · 107
8. b) 8,5 bilhões equivalem a 8,5 · 109 e
9,7 bilhões equivalem a 9, 7 · 109
9. : =
= : = : =
= = = =
·
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2 3 5 3
2 ( 3) 1 5 ( 3) 6 3
6 3 9 9
9
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−



− ⋅ − ⋅ −



− −





 − −
− − − −
− −
− + + − −
− − −
10. Pelas propriedades da potenciação:
(3–1 ⋅ 3) ‒ (5–1 : 5) = 3–1 + 1 ‒ 5–1 – 1 = 30 ‒ 5–2 = 1 ‒ 5–2
Como 5–2 = 1
5
1
252 = = 0,04, essa expressão vale 1 ‒ 0,04 
= 0,96; um número racional maior que 0 e menor que 1.
Alternativa b.
11. Como x é um produto de potências de mesma base, 
podemos simplificar.
x = ( ) ( ) ( ) ( )1
3
1
3
1
3
1
3
5 3 8 9
= · · :
–
 = 1
3
1
3
5 3 8 9
( ) ( )
( ) + +--
:
x = ( ) ( )1
3
1
3
10 9
: = =
–1
3
1
3
10 9( )
Logo, ( )1
3
1
27
3
3
x = = .
13. Como o prefixo “quilo” indica 1000 = 10³, temos: 1 kg = 10³ g. 
Então:
1,99 ⋅ 10–26 kg = 1,99 ⋅ 10–26 ⋅ 10³ g = 1,99 ⋅ 10–26 + 3 g = 
= 1,99 ⋅ 10–23 g
Então, a medida da massa é aproximadamente
1,99 ⋅ 10 – 23 g.
14. É importante lembrar que dividir por 100 equivale a 
deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda.
 81
4
    400     2,25– + = 81
4
400 225
100
– + = 
= ( ) ( )9
2
20 15
10
2
2
2
– + = 
9
2
20 15
10
-- + =
45
10
200
10
15
10
+ = -- + = 140
10
– = ‒14 
15. É preciso recordar a relação entre o número de casas 
decimais e potências de 10. 
· ·
·
= · ·
·
– – –
–
( ) ( )
( )
−0,1 0,001 10
10 0,0001
10 10 10
10 10
1 1 3 1
4 =
= 10
10
10
10
1 3 1
1 4
5
3=
– – –
–
–
– = 10–5 – (–3) = 10–2
Mas x = 10–3 = 10–2 – 1 = 10–2 : 101. Assim, x = 10
10
2–
, ou seja, 
10–2 = 10x. Como 10–2 é o valor obtido para a expressão, 
conclui-se que a expressão é igual a 10x.
Alternativa b.
16. Recordando a relação entre o número de casas decimais 
e potências de 10, temos:
= =
– –.
.
.0,000036
80000
36 10
8 10
36
8
10
10
6
4
6
4
 = 4,5 ⋅ 10–6 – 4 = 4,5 ⋅ 10–10
Como multiplicar por 10‒1 equivale a deslocar a vírgu-
la uma casa para a esquerda, 4,5 = 45 ⋅ 10–1. Assim:
4,5 ⋅ 10–10 = 45 ⋅ 10–1⋅ 10–10 = 45 ⋅ 10–1 – 10 = 45 ⋅ 10–11
Alternativa d.
17. Como a = 0,04 = ( )4
100
2 2
10 10
2
10
2
= ·
·
= , temos:
2
10
a = = 0,2. Daí, 5 a = 5 ⋅ 0,2 = 1 e a a2 =
= 2 ⋅ 0,04 ⋅ 0,2 = 0,016.
XLI
Verificando
1. Como repetições são permitidas, para a primeira casa, 
temos 10 algarismos possíveis. Para cada um desses 
algarismos, temos 10 escolhas para a segunda casa, 
totalizando 10² escolhas (10 ⋅ 10 = 10²) para as duas 
primeiras casas. Prosseguindo com esse raciocínio, 
concluímos que há 104 distintas senhas possíveis 
(10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104).
Alternativa d.
2. Começamos decompondo os números que aparecem 
na expressão em potências de fatores primos, sempre 
que possível. Temos 4 = 2 ⋅ 2 = 2², 8 = 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2² = 2³, 
27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3³ e 49 = 7 ⋅ 7 = 7². Assim, substituindo e 
reordenando a expressão, temos:
2 3 4 7
8 27 49
2 3 2 7
2 3 7
5 5 2 5 5 2 2
3 3 2
· · ·
· ·
= · · ·
· ·
= 
2 2 3
2 3
5 2 5
3 3
· ·
·
=
2 3
2 3
5   2 5
3 3= ·
·
+
 = 2
2
3
3
7
3
5
3· = 27 – 3 ⋅ 35 – 3 = 24 ⋅ 32
Alternativa b.
3. Observe que:
x = (0,5)3 = ( ) ( )5
10
1
2
1
8
3 3
= = 
( )1
4
2
y =
–
 = (4–1)–2 = 42 = 16
Logo, x ⋅ y = 1
8
⋅ 16 = 2 e (x ⋅ y)2 = 22 = 4
Alternativa c.
4. Dividindo 3125 por 5 sucessivas vezes, notamos que 
3125 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 55. Sendo 11a
a
=– , para 1
5
a = , 
temos ( )1
5
1
1
5
1
= =
–
 5. Logo:
3 125 = 55 = = =
– – · –( ) ( )



( )1
5
1
5
1
5
1 5 1 5 5
Alternativa a.
5. Recordando que 10–n é o número com n casas depois da 
vírgula, sendo a última delas composta do algarismo 1 
e as demais por 0, concluímos que 0,0001 m = 10–4 m. 
Alternativa c. 
6. Precisamos determinar uma medida de comprimento cujo 
produto por ela mesma resulte no valor numérico 121
144
. 
121
144
11 11
12 12
11
12
11
12
= ·
·
= ·
Logo, a medida do comprimento do lado é 11
12
 m. 
Alternativa a.
7. Como 4 = 2 ⋅ 2 = 2², 4 2 = 2
Logo: 245 6 435 – + = 245 6 235 – + = 245 835 –
Porém 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³. Portanto, 8 23 = . Assim:
245 835 – = 245 2 2435 5– =
Como a raiz quinta de 243 não é evidente, decompomos 
243 em fatores primos.
243 = 3 ⋅ 81 = 3 ⋅ 3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 33 = 31 + 1 + 3 = 35
Se 243 = 35, significa que 2435 = 3.
Alternativa b.
8. De a amn
m
n= , para a = 18, n = 12 e m = 3, temos: 
18 18 18312
3
12
1
4= =
Alternativa c.
9. Considerando que 9 = 3² e 175 : 25 = 7, temos:
( )



9 3 175
25
2
2
0,253
5
4
1
2· – + · – =
= ( )







3 3 7 2 25
100
23 5 4
1
2· – + ·–
–
 =
= ( )







3 7 2 1
4
2 13 1
1
2– + ·+
–
 =
= 





  3 7 2 4 3 7 2 433
1
2– + · = – + · =
= 3 ‒ [7 + 2 ⋅ 2] = 3 – [7 + 4] = 3 ‒ 11 = ‒8
Alternativa d.
10. =
= =
= = =
= = =
= = =
= = =
· ·
·
3
3
1
4
9
36
8 1
2
3 1
2
3
6
2 2
3 2 3
6
2 3 2 3
2 3
2
3 2 1
2
2 3 2 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 3 2 1
2
2 1
2
2
2
3 1
1 2 3 ( 1) 1 2 3 ( 1)
2 3 2 1 3
2 1 ( 3) 2 3
2 3 1
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
− ⋅ − − +



− ⋅ − − +






− ⋅ − −



− ⋅
⋅
− −



− ⋅ − −



− ⋅ +
− ⋅   − ⋅
− −
− −
− − − −
− − − − −
− − − −
− +
Alternativa a.
Diversificando
1. Na segunda linha, Rafael escreve ‒ 24 como a diferença de 
dois números, de duas maneiras distintas.
Na terceira linha, Rafael decompõe os números em 
produtos de outros números.
Na quarta linha, Rafael completa os quadrados pela 
adição de 5² a ambos os membros.
Na quinta linha, Rafael identifica as diferenças de 
quadrados.
Na sexta linha, Rafael extrai a raiz quadrada.
Na sétima linha Rafael “cancela” o expoente 2 com o 
índice 2 da raiz.
Na oitava linha, Rafael adiciona 5 a ambos os membros, 
“cancelando” ‒5 e concluindo sua mágica.
XLII
2. O erro foi cometido na passagem da sexta para a sétima 
linha, ao substituir ( )4 5 2– por 4 ‒ 5, pois 4 ‒ 5 = ‒1, 
ou seja, é um número negativo e, por convenção, a raiz 
quadrada de um radicando resulta em um número 
positivo cujo quadrado equivale ao radicando.
3. a) Elevando ambas as potências à décima segunda 
potência, temos:
( )3 33 12
12
3= = 34 = 81
( )4 44 12
12
4= = 43 = 64
Como 81 é maior do que 64, então, 33 é maior do 
que 44 .
3. b) Como 4 = 22, temos:
4 2 2 24 24
2
4= = = =2 2 2
1
2= =
Logo, esses números são iguais. 
Capítulo 2 – Construções geométricas 
e lugares geométricos 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Fazer construções geométricas utilizando instrumentos de 
desenho.
 • Construir segmentos congruentes, retas paralelas e retas perpen-
diculares com régua e compasso.
 • Construir ângulos com o transferidor.
 • Conceituar e construir lugares geométricos: circunferência, me-
diatriz, bissetriz, par de retas paralelas.
 • Aplicar os lugares geométricos estudados na resolução de problemas.
 • Construir, ler e interpretar gráficos de setores.
As propostas de construções geométricas apresentadas neste 
capítulo são importantes, pois favorecem o desenvolvimento da 
competência geral 2 e das competências específicas 2 e 6. Ao uti-
lizar instrumentos de desenho geométrico para construir segmen-
tos congruentes, retas paralelas, retas perpendiculares e ângulos e, 
ainda, ao compreender e aplicar o conceito de lugar geométrico, 
os estudantes mobilizam conhecimentos anteriores e os aplicam, 
ampliando a compreensão e desenvolvendo o raciocínio lógico, 
o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumen-
tos. Além disso, eles enfrentam situações-problemas imaginadas 
contribuindo para que utilizem diferentes tipos de registro e de 
linguagem. A competência geral 5 e a competência específica 
5 são favorecidas no trabalho com as atividades envolvendo soft-
wares de geometria dinâmica por meio dos quais os estudantes 
podem mobilizar e ampliar os conhecimentos de geometria. Essas 
tecnologias digitais favorecem, também, a verificação de hipótese 
apresentadas pelos estudantes e a validação de seus argumentos, 
pois facilitam a construção de situações imaginadas que possam 
ser testadas como contra-argumento, por exemplo.
Construir, ler e interpretar gráficos é um requisito importante 
para a participação ativa na sociedade atual e, ao estudar os gráfi-
cos de setores, os estudantes podem adquirir maior autonomia na 
análise de informações apresentadas dessa maneira e desenvolver 
as competências gerais 1 e 4 e as competências específicas 3 e 
4, percebendo os conhecimentos matemáticos como ferramentas 
para compreender e explicar a realidade. A atividade proposta 
de pesquisa sobre um problema relacionado ao bairro em que os 
estudantes moram favorece o desenvolvimento da competência 
específica 8, pois, para realizá-la, os estudantes precisam interagir 
com os colegas e trabalhar de maneira cooperativa no planejamen-
to e no desenvolvimento da pesquisa.
Para o desenvolvimento dos objetivos deste capítulo, as 
construções geométricas e a associação de necessidades práticas 
relacionadas ao aprimoramento de conceitos matemáticos, como 
a ideia de círculo e de circunferência, favorecem aos estudantes 
desenvolverem aspectos das competências gerais 3 e 4. Eles 
poderão fruir manifestações artísticas antigas e modernas e per-
ceber a importância de valorizar esse tipo de linguagem, como o 
apresentado na obra do artista Wassily Kandinsky.
O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da com-
petência específica 8 são favorecidos com as diferentes atividades 
a serem realizadas em grupos, pois possibilitam aos estudantes 
exercitar diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem 
com a diversidade de aprendizagem entre os colegas, interagindo 
de forma cooperativa.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou 
softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como 
lugares geométricos na resolução de problemas.
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tiposde gráficos 
para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando 
uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos 
de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência 
central, a amplitude e as conclusões.
Neste capítulo, serão aprofundados os conhecimentos acerca 
das construções geométricas e dos lugares geométricos, com foco 
na Unidade Temática Geometria, ampliando conhecimentos do 
7o ano (EF07MA22 e EF07MA24) e desenvolvendo aspectos relacio-
nados às habilidades (EF08MA15) e (EF08MA17) no que se refere à 
compreensão de mediatriz de um segmento e de bissetriz de um 
ângulo como lugares geométricos.
Esperamos que a diversidade de situações envolvendo tais 
conhecimentos possam subsidiar os assuntos que serão explorados 
no 9o ano, dentre eles determinar o ponto médio de um segmento 
de reta e a distância entre dois pontos quaisquer (EF09MA16).
XLIII
Este capítulo apresenta também articulação com temas das 
Unidades Temáticas Geometria, Números e Probabilidade e esta-
tística na construção de gráficos de setores envolvendo construção 
de ângulos e cálculos com porcentagens, ampliando o estudo desse 
tipo de gráfico feito no 7o ano (EF07MA37) e possibilitando desen-
volver aspectos da habilidade (EF08MA23). A atividade proposta 
para que os estudantes realizem uma pesquisa sobre problemas 
do bairro em que moram contribui para o desenvolvimento da 
habilidade (EF08MA27).
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Abertura
a) Algumas linhas a se explorar: transporte (de bens e 
matérias-primas importantes para a sobrevivência das 
comunidades humanas), agricultura (arado, tração etc.) 
e mecanismos como moinhos.
b) O desenho que delimita uma roda representa uma cir-
cunferência.
Exercícios propostos
3. a) Reta que passa pelos pontos A e B.
3. b) Semirreta de origem A que passa por B.
3. c) Segmento de reta de extremidades A e B.
3. d) Semirreta de origem P que passa por Q.
3. e) Segmento de reta de extremidades P e Q.
4. a) Verdadeira. Como 800 cm = 8 ⋅ 100 cm e 100 cm = 1 m, 
então, 800 cm = 8 m, e ambos os segmentos têm a 
mesma medida de comprimento, o que significa que 
são congruentes.
4. b) Verdadeira. Se ambos os segmentos têm a mesma 
medida de comprimento 3 cm, significa que são 
congruentes.
4. c) Verdadeira. Para que EF e PQ sejam congruentes, 
a medida EF deve ser igual à medida PQ.
4. d) Falsa. Visto que AB = 5 cm = 5 ⋅ 10–2 m = 0,05 m e 
CD = 5 dm = 5 ⋅ 10 –1 m = 0,5 m. Ou seja, AB CD e têm 
medidas diferentes e, portanto, não são congruentes.
5. a) Temos que XZ = XY + YZ, ou seja, 7,5 = XY + 5. Logo, 
XY = 7,5 ‒ 5 = 2,5. Portanto, XY mede 2,5 cm.
5. b) Como A é ponto médio de XY , AY = XY : 2 = 1,25. 
Analogamente, YB = YZ : 2 = 2,5.
Então, AB = AY + YB = 3,75; portanto, AB = 3,75 cm.
6. 
Marcar um ponto D em uma das intersecções da circunferência com a reta desenhada.
Com a ferramenta Segmento de reta, construir AB com medida de 
comprimento qualquer.
Com a ferramenta Reta, traçar uma reta qualquer e marcar um 
ponto qualquer C sobre a reta.
Com a ferramenta Circunferência, traçar uma circunferência 
com centro em C e raio de medida AB.
CD é congruente a AB.
8. a) AD = AB + BC + CD
18 = 2 ⋅ CD + 3 ⋅ CD + CD = 6 ⋅ CD
Portanto, CD = 
18
6
 = 3. Como AB = 2 ⋅ CD, temos 
que a medida de AB é 6 cm. 
8. b) BC = 3 ⋅ CD = 3 ⋅ 3 = 9
Então, BC mede 9 cm.
8. c) CD = 18
6
 = 3, ou seja, CD mede 3 cm.
8. d) Como X é ponto médio de AB, temos:
XB = AB : 2 = 6 : 2 = 3
Como Y é ponto médio de BC, temos:
BY = BC : 2 = 9 : 2 = 4,5
Portanto, XY = XB + BY = 3 + 4,5 = 7,5, ou seja, XY 
mede 7,5 cm.
8. e) Como Y é ponto médio de BC, temos:
YC = BY = 4,5
Como Z é o ponto médio de CD, temos:
CZ = CD : 2 = 3 : 2 = 1,5
Portanto, YZ = YC + CZ = 4,5 + 1,5 = 6, ou seja, YZ 
mede 6 cm.
8. f) XZ = XB + BC + CZ
Recuperando os resultados dos itens anteriores, 
temos:
XZ = 3 + 9 + 1,5 = 13,5
Portanto, XZ mede 13,5 cm.
12. Considerando uma reta r e um ponto P fora dela, para 
traçar em um software de Geometria dinâmica uma reta 
passando por P e paralela a r, é possível seguir estes 
passos.
Passo 1: Com a ferramenta Circunferência, traçar uma 
circunferência C1 com centro em P e que corte a reta r 
em dois pontos. Identificar um dos pontos como M.
Passo 2: Com a ferramenta Circunferência, traçar uma 
circunferência C2, com mesmo raio PM e centro em M, 
para, assim, encontrar R, a intersecção entre essa segunda 
circunferência C2 e a reta r.
Passo 3: Com a ferramenta Circunferência, traçar uma 
circunferência C3, com mesmo raio PM e centro em R, 
para, assim, encontrar Q, a intersecção entre essa ter-
ceira circunferência C3 e a circunferência C2.
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
XLIV
Passo 4: Com a ferramenta Reta, traçar 
� ���
PQ , que é a reta 
paralela à reta r.
13. a) O maior número possível de retas paralelas a m 
que podem ser traçadas passando por cinco pontos 
fora de m é exatamente cinco, quando esses pontos, 
tomados três a três, são não colineares. 
13. b) Não é possível, pois por cada ponto fora de m passa 
exatamente uma reta paralela a m. Se são cinco 
pontos distintos, no máximo há cinco retas distintas 
(uma para cada ponto), mas não mais do que isso.
13. c) Sim, aqui se pode explorar os casos em que, por 
exemplo, mais do que um desses pontos estão 
sobre uma mesma reta. Nos casos em que os cinco 
pontos são colineares, há apenas uma reta paralela 
possível. Sugere-se apresentar na lousa algumas das 
soluções dos estudantes e, também, explorar outras 
possibilidades.
13. d) O menor número de retas paralelas que se pode 
traçar nessa situação é uma, quando os cinco pontos 
são todos colineares. 
14. a) A figura obtida após as construções será como a 
imagem a seguir. 
P
RQ
P’
s
r
t
A reta t é paralela à reta s, pois estão ambas no mesmo 
plano e, como t não tem pontos em comum com r 
(por construção) e r não tem pontos em comum com 
s (por hipótese), t não tem pontos em comum com s, 
ou seja, as retas s e t também são paralelas.
14. b) Ambas as distâncias têm mesma medida. Uma 
maneira de perceber isso intuitivamente é inter-
pretar o segmento PP’ como o lado comum a dois 
triângulos congruentes, △PSP’ e △PRP’; sendo S um 
quarto ponto sobre a reta r, na intersecção de duas 
circunferências de centros P e P' e raios PR P R e ’ , 
respectivamente. 
 
P
Q S R
P’
s
r
15. a) Espera-se que os estudantes sigam os passos des-
critos anteriormente para a construção das retas 
perpendiculares.
s
P
r
15. b) 
s
P
r
16. 
Traçar uma reta r passando por dois pontos
B e C quaisquer.
Marcar um ponto A fora da reta r.
Marcar o ponto G na intersecção de C2 com C3.
As retas r e s são perpendiculares.
Traçar uma reta s passando pelos pontos A e G.
Com a ponta-seca do compasso no ponto A,
traçar uma circunferência C1 e marcar os 
pontos E e F nas intersecções de C1 com r.
Com a ponta-seca do compasso no ponto E, traçar 
uma circunferência C2 de raio AE.
Com a ponta-seca do compasso no ponto F,
traçar uma circunferência C3 de raio AF.
B C
A
C2 C3
C1
G
E Fr
s
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
XLV
17. Sem requisitos adicionais, como medidas prescritas 
para os lados, pode-se fazer assim: selecionar a ferra-
menta Segmento de reta e clicar em dois pontos, A e B, 
para traçar um lado do retângulo; utilizar a ferramenta 
Reta perpendicular para traçar as retas r e s perpendicu-
lares ao segmento AB e passando por A e B, respecti-
vamente; demarcar um ponto C sobre a reta s, que será 
o terceiro vértice do retângulo; utilizara ferramenta 
Reta perpendicular para traçar uma reta t perpendicular à 
reta s e passando pelo ponto C; marcar o quarto vértice 
D na intersecção das retas t e r.
D
r
t
s
C
A B
18. Se o desenho tiver sido feito cuidadosamente, com a 
precisão de uma régua de mão, os estudantes devem 
obter 10 cm para a medida do segmento CD. Pelo teore-
ma de Pitágoras, é possível verificar que essa é a medida 
exata. O julgamento quanto à adequação do uso do 
teorema fica a cargo do professor.
A
C
B
D
20. a) O importante, neste exercício, é retomar que o lugar 
geométrico dos pontos que distam d de um ponto A 
dado é a circunferência de centro em A e raio d.
r
A B
W
Z
5 cm
3 cm
2 
cm
4 cm
M
U
T
Y
X
3 cm
5 
cm
Os pontos X e Y na figura estão a 5 cm de A e 3 cm 
de B.
20. b) Os pontos Z e W na figura estão a 3 cm de A e 5 cm 
de B.
20. c) Os pontos T e U na figura estão a 4 cm de A e 3 cm 
de B.
20. d) O ponto M na figura está a 3 cm de A e 3 cm de B.IL
U
S
TR
A
Ç
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A
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A
C
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/A
R
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O
 D
A
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D
IT
O
R
A
20. e) Não é possível obter esse ponto, pois, como vemos 
na figura, as circunferências de centro em A e raio 
medindo 2 cm e centro em B e raio medindo 3 cm 
não se cruzam.
21. a) Para construir os triângulos, traçamos uma reta r 
qualquer e marcamos sobre ela dois vértices (A e B) 
a uma distância igual a uma das medidas indicadas 
para os lados do triângulo. Em seguida, traçamos 
uma circunferência centrada em A e outra centrada 
em B, cada uma delas com raio igual a uma das ou-
tras medidas indicadas para os lados. Os possíveis 
terceiros vértices (C) estarão sobre a intersecção 
dessas circunferências, se existirem. Para classificar 
os triângulos quanto aos ângulos, os estudantes 
podem, por exemplo, medir a abertura dos ângulos 
com um transferidor ou comparar com um modelo 
de ângulo reto.
O triângulo a seguir é isósceles e obtusângulo.
r
B
C
A
4 cm 4 cm
7 cm
21. b) O triângulo é equilátero e acutângulo.
r
B
C
A 7 cm
7 cm7 cm
21. c) O triângulo é isósceles e acutângulo.
r
BA 7 cm
8 cm8 cm
C
21. d) O triângulo é escaleno e retângulo.
r
BA
8 cm
10 cm
6 cm
C
22. a) Para construir os segmentos de reta PQ, PR, PS PTe , 
fixamos a ponta-seca do compasso no ponto P e, 
com uma abertura igual a AB, traçamos uma circun-
ferência de centro P e raio de medida AB. O polígono 
obtido é um retângulo. Para mostrar que esse polí-
gono, é de fato, um retângulo, pode-se decompô-lo 
em  quatro triângulos isósceles para concluir que 
seus quatro ângulos são iguais a 90°, o que caracte-
riza os paralelogramos que são retângulos.
XLVI
r
s
BA
T
Q
R
S
P
22. b) Como PQ PS PT PR= =e , pois todos esses segmentos 
são raios de uma mesma circunferência, vemos que, 
de fato, QS e RT se cruzam em seus respectivos 
pontos médios, que são ambos o ponto P.
24. a) Sejam A, B e C os vértices do triângulo, traçamos as 
mediatrizes de AB e BC . Assim, ao traçar a circun-
ferência pedida a partir do ponto de encontro D, 
vemos que de fato ela contém os três vértices.
B
A CD
24. b) Ao construir a mediatriz do lado AC, vemos que as 
três mediatrizes se encontram em um único ponto, D.
B
A C
D
33. Como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 
r e t é uma reta v, paralela a r, e o lugar geométrico dos 
pontos equidistantes de s e u é uma reta w, paralela a s, 
o lugar geométrico dos pontos equidistantes das quatro 
retas simultaneamente é aquele constituído por pontos 
simultaneamente em v e w. Mas, como v e w são ambas 
retas paralelas a um par de retas originalmente concor-
rentes, elas também serão concorrentes. Portanto, seu 
cruzamento consistirá em um único ponto O.
r
v
t
s
w
u
O
34. É importante comentar com os estudantes que a aber-
tura a ser utilizada no compasso não deve ser igual a OP, 
na figura a seguir, mas sim à medida AB. É interessante 
realizar a construção em um software para utilizar a 
ferramenta de ampliação e variar os ângulos entre as 
retas concorrentes.
P
r
v
t
s
w
u
O
A
B
Pense mais um pouco…
Página 57 
Após fazer alguns experimentos, os estudantes devem 
perceber que as bissetrizes se cruzam todas em um mesmo 
ponto.
Para saber mais
Esta construção é análoga à apresentada. Porém deve-
-se observar que agora os raios devem ser demarcados de 
1 cm em 1 cm, visto que devemos fazer uma subdivisão em 
8 partes iguais, em vez de 16.
IL
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A
XLVII
Exercícios complementares
6. O triângulo em questão pode ser desenhado de acordo 
com os passos a seguir.
Passo 1: Traça-se um segmento AB de 4 cm.
A B
Passo 2: Com o compasso, traçam-se duas circunferên-
cias de raio 4 cm, uma centrada no ponto A e a outra 
centrada no ponto B. Os pontos A e B serão dois vértices 
do triângulo. O ponto C, na intersecção dessas circun-
ferências, é o terceiro vértice do triângulo.
A B
C
Passo 3: Agora, para cada par de lados, o lugar geomé-
trico dos pontos que equidistam das respectivas retas 
suportes é dado pelo par de retas que contém as bisse-
trizes dos ângulos entre eles. Então, para cada vértice, 
traçamos as bissetrizes correspondentes. Por exemplo, 
para o vértice A:
A B
C
Passo 4: Ao fazermos isso para todos os vértices, obte-
mos os pontos D, E, F e G, que equidistam das três retas 
suportes dos lados do triângulo.
D
A B
F
C
G
E
IL
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A
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A
C
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A
7. O raio de cada circunferência deve ser a distância do 
respectivo centro ao lado mais próximo do triângulo, 
dado pelo segmento de bissetriz que cruza tal lado 
perpendicularmente.
D
A B
F
C
G
E
8. a) Como os dois ângulos mostrados formam um ângulo 
reto, a soma de suas medidas deve ser 90°. Assim:
(x + 15°) + (3x ‒ 5°) = 90°
4x + 10° = 90°
4x = 90° ‒ 10° = 80°
x = 
80
4
°
 = 20°
8. b) Como os dois ângulos mostrados formam um ângulo 
raso, a soma de suas medidas deve ser 180°. Assim:
(3x + 20°) + x = 180°
4x + 20° = 180°
4x = 180° ‒ 20° = 160°
x = 160
4
° = 40°
Verificando
5. Essas duas circunferências terão exatamente um ponto 
em comum, pois a soma das medidas de seus raios é 
exatamente igual a AB.
Alternativa b.
A
B
3 cm
5 cm
8 cm
6. 
� ���
OP precisa conter a bissetriz do ângulo AOB� , o que 
significa que AO�P e BO�P são congruentes. Logo:
 2x + 5° = 3x
3x ‒ 2x = 2x + 5° ‒ 2x
x = 5°
Assim:
m(AO�P) = 2 ⋅ 5° + 5° = 15° = m(BO�P)
m(AOB� ) = m(AO�P) + m(BO�P) = 15° + 15° = 30°
Alternativa c.
XLVIII
7. A primeira divisória de raia é uma reta paralela a dois 
lados da piscina ‒ que são paralelos ‒ e cujos pontos 
são equidistantes dos lados. As próximas divisórias, 
por sua vez, são retas equidistantes de um dos lados 
e da divisória instalada anteriormente. Assim, o pro-
fessor considerou pontos equidistantes de duas retas 
paralelas.
Alternativa a.
Capítulo 3 – Estatística e probabilidade 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Trabalhar com coleta, organização e apresentação de dados.
 • Reconhecer uma variável estatística e classificá-la como qualita-
tiva ou quantitativa.
 • Resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagens.
 • Determinar a frequência absoluta e a frequência relativa de dados 
coletados em uma pesquisa.
 • Interpretar e organizar tabelas de distribuição de frequências.
 • Explorar e avaliar diferentes tipos de gráfico: de colunas, de barras, 
de setores, de linha, pictograma.
 • Organizar dados de uma variável contínua em classes.
 • Utilizar a noção de área do quadrado para estimativa de quanti-
dade de pessoas por metro quadrado.
 • Conceituar e calcular medidas estatísticas: moda, média aritmé-
tica (simples ou ponderada) e mediana.
 • Conceituar espaço amostral e evento de um experimento aleatório.
 • Conceituar e determinar a probabilidade de eventos de um 
experimento aleatório. 
Os objetivos deste capítulo se justificam à medida quefavore-
cem o desenvolvimento da competência geral 4 e da competência 
específica 4. Ao mobilizar conceitos sobre variáveis quantitativas 
e qualitativas e aprofundar conhecimentos sobre pesquisas esta-
tísticas, os estudantes utilizam diferentes linguagens para coletar, 
analisar e comunicar os dados coletados em pesquisas desse tipo. 
Além disso, são apresentados aspectos históricos sobre Estatística, 
possibilitando desenvolver a competência geral 1 e a competên-
cia específica 1. Em relação a essas competências, os estudantes 
poderão valorizar os conhecimentos matemáticos envolvidos neste 
capítulo, ao perceber que eles são construídos e podem ser utili-
zados sobre o mundo social para entender e explicar a realidade e 
para contribuir com uma sociedade justa, inclusiva e democrática.
Ao compreender como trabalhar com coleta, organização e 
apresentação de dados, reconhecer variáveis estatísticas, determi-
nar frequência absoluta e frequência relativa e, ainda, compreen-
der e utilizar medidas estatísticas, os estudantes desenvolvem as 
competências específicas 2, 3 e 4 e a competência geral 2, pois 
tornam-se cada vez mais capazes de fazer observações sistemáticas, 
relacionando aspectos quantitativos e qualitativos de diferentes 
práticas sociais, ampliam a autonomia para investigar, organizar, 
representar e comunicar informações relevantes e podem expres-
sar suas respostas ou conclusões utilizando diferentes registros 
e linguagens, especificamente, gráficos e tabelas. Nesse mesmo 
aspecto, colaboram com o desenvolvimento dessas competências a 
resolução de problemas envolvendo porcentagens, a interpretação 
de gráficos de distribuição de frequências, o conhecimento e uso 
de diferentes tipos de gráfico e a compreensão sobre o cálculo de 
probabilidades.
Em diferentes momentos do capítulo, apresentam-se ati-
vidades para serem realizadas em duplas ou grupos, o que 
favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 
e da competência específica 8, pois os estudantes precisam 
trabalhar com os colegas de maneira cooperativa, exercitar o 
diálogo e a resolução de conflitos. Além disso, a proposta de 
realização de uma pesquisa possibilita aos estudantes planejar 
e desenvolver, coletivamente, as etapas envolvidas para a coleta 
e apresentação de dados.
Entre as diferentes situações apresentadas, destacamos o tra-
balho com os dados sobre o desmatamento e com os dados sobre 
a dengue, temáticas que contribuem para o desenvolvimento das 
competências gerais 7 e 8 e as competências específicas 6 e 7.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo 
de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na 
construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, 
e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos 
do espaço amostral é igual a 1.
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos 
para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua 
de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de 
maneira adequada para a tomada de decisões.
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central 
de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de 
dados, indicada pela amplitude.
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética 
ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais 
e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser 
feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática 
e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando 
uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos 
de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência 
central, a amplitude e as conclusões.
Os conceitos e atividades envolvendo o estudo de Estatística 
e de Probabilidade são o foco deste capítulo, desenvolvendo a 
Unidade Temática Probabilidade e estatística. No campo da 
Estatística, são trabalhadas a origem da Estatística, coleta e orga-
nização de dados, variáveis, tabela de distribuição de frequências 
com frequências absolutas e frequências relativas e tipos variados 
de gráfico (de colunas, de barras, de setores, de linha, pictograma), 
além de cartograma e infográfico, possibilitando o desenvolvi-
mento das habilidades (EF08MA23), (EF08MA24), (EF08MA26) e 
(EF08MA27). 
XLIX
Vale ressaltar que atividades relacionadas a gráficos foram 
desenvolvidas nos anos anteriores do Ensino Fundamental e sua 
retomada e ampliação pretendem consolidar esse conhecimento, 
oferecendo suporte ao que será desenvolvido no 9o ano (EF09MA22 
e EF09MA23). Tratamos também das medidas estatísticas (moda, 
média aritmética, média aritmética ponderada e mediana), am-
pliando o que já foi visto no 7o ano (EF07MA35) e desenvolvendo 
a habilidade (EF08MA25).
Quanto ao campo da Probabilidade, incluem-se as noções de 
espaço amostral, evento e probabilidade, assim como o cálculo de 
probabilidades, sistematizando o que já tem sido estudado nos 
anos anteriores, desenvolvendo a habilidade (EF08MA22) e dando 
suporte para a continuidade do assunto no 9o ano (EF09MA20).
As articulações são feitas com a Unidade Temática Números, na 
apresentação de problemas que envolvem cálculos com porcenta-
gens (EF08MA04), e com a Unidade Temática Grandezas e medidas 
na seção Para saber mais, que trata da estimativa de quantidade de 
pessoas por metro quadrado, utilizando o conceito de área.
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Abertura
b) Para calcular 0,001% de 7 800000000, pode-se fazer:
7,8 · 109 · 



−10
10
3
2 = 7,8 · 109 · 10–5 = 7,8 · 104 = 78000
Logo, corresponde à 78 000 pessoas.
c) Como 50% da população correspondem à metade de 
210 milhões, fazemos:
210 000 000 : 2 = 105000000
Portanto, 50% da população correspondem à 105000000 
de pessoas.
Já 10% correspondem à décima parte da população total. 
Portanto, fazemos:
210 000 000 : 10 = 21000000
Assim, 10% da população brasileira correspondem à 
21 000 000 de pessoas.
Exercícios propostos
1. a) Salário é uma variável quantitativa, pois assume um 
valor numérico medido em real.
1. b) Gênero é uma variável qualitativa, pois é expresso 
por um atributo.
1. c) Número de irmãos é uma variável quantitativa, pois 
é expressa por um número.
1. d) Opinião sobre a qualidade da água é uma variável 
qualitativa, pois é expressa por atributos como “boa”, 
“ruim”, “ótima” etc.
1. e) Número do sapato é uma variável quantitativa, pois 
é expressa por um número.
1. f) Escolaridade é uma variável quantitativa, pois é 
expressa por atributos como “ensino fundamental 
completo”, “ensino médio incompleto”, “ensino 
médio completo” etc.
2. Resposta pessoal. São exemplos de variáveis quanti-
tativas: medida de altura, medida de massa, idade e 
quantidade de horas de sono. Exemplos de variáveis 
qualitativas: qualidade do sono e satisfação com ser-
viços em geral (merenda, transporte público etc.).
3. Não, pois a amostra não representa a população da 
cidade proporcionalmente, focando-se apenas em um 
dos dez bairros. Ou seja, a amostra não é significativa.
6. Durante a construção da tabela, é importante ordenar os 
resultados obtidos, o que ajudará na solução dos itens 
subsequentes.
Batimentos cardíacos
Batimentos 
por minuto 75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 
absoluta 3 9 5 7 2 3 6 3 7 5
Dados obtidos por Cláudio.
6. a) Segundo os dados do enunciado, a população da 
pesquisa é a dos 120 estudantes de Medicina. Aamostra foi composta de 50 pessoas.
6. b) A amplitude é a diferença entre o maior valor (92) e o 
menor valor (75) da amostra. Ou seja, 17 batimentos 
por minuto, pois 92 ‒ 75 = 17.
6. c) Somando as frequências absolutas referentes aos 
valores superiores a 79 batimentos por minuto, ob-
temos 24 estudantes (3 + 6 + 3 + 7 + 5 = 24). 
6. d) Pela tabela, vemos que o valor de maior frequência 
absoluta foi 76 batimentos por minuto.
8. a) Ao estabelecer a razão entre a medida de área 
de um campo de futebol com 1 hectare 10800
10000




, 
determinamos que 1 campo de futebol equivale à 
1,08 hectare. Assim, em medidas aproximadas: no 
Paraná, foram desmatados 2562 campos de fute-
bol 
2767
1,08
2562�



 ; na Bahia, foram desmatados 
3270 campos de futebol 
3532
1,08
3270�



 ; em Minas 
Gerais, foram desmatados 4 630 campos de futebol 
5000
1,08
4630�



 .
L
8. b) 
Desmatamento da Mata Atlântica em 2020
(área aproximada para quantidade de campos de futebol)
Paraná Bahia Minas Gerais
2 562
3 270
4 630
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
0
Estados
Ca
m
po
s 
de
 fu
te
bo
l
Dados obtidos em: RELATÓRIO anual 2020. 
SOS Mata Atlântica. Disponível em: https://cms.sosma.org.br/wp-
content/uploads/2021/07/Relat%C3%B3rio_SOSMA_2020_01_COM-
REVIS%C3%95E_12_07_2021.pdf. Acesso em: 23 maio 2022.
8. c) A resposta depende dos dados pesquisados pelos 
estudantes.
9. a) 
Medida aproximada da área das regiões brasileiras
Norte
3,85
Nordeste
1,55
Sudeste
0,92
Sul
0,58
Centro-Oeste
1,61
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
0,00
Região
M
ed
id
a 
da
 á
re
a
(e
m
 m
ilh
õe
s 
de
 k
m
2 )
Dados obtidos em: IBGE. ÁREAS territoriais. IBGE. Disponível em: https://
www.ibge.gov.br/geociencias/organizacao-do-territorio/estrutura-
territorial/15761-areas-dos-municipios?=&t=acesso-ao-produto. 
Acesso em: 21 jun. 2022.
9. b) Para elaborar o gráfico pedido, é necessária uma breve 
pesquisa para obter os dados mostrados a seguir:
Número de estados de cada região brasileira
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
7
9
4
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de estados
Re
gi
ão
 b
ra
si
le
ir
a
Dados obtidos em: IBGE. IBGE Educa: crianças. Nosso território. Disponível em: 
https://educa.ibge.gov.br/criancas/brasil/nosso%E2%80%92territorio/19637
%E2%80%92divisao%E2%80%92territorial.html. Acesso em: 29 jul. 2022.
9. c) A região de maior medida de área é a região Norte.
9. d) Não é correto, pois a região com mais estados (Nor-
deste) não é a de maior medida de área.
11. a) 
Lucro de algumas empresas
(em bilhões de reais)
2018 2019 2020 2021 2022 2023
11,7
8,3 8,5
17,7
15,6
22,5
0
5
10
15
20
25
Lu
cr
o
Ano
Dados obtidos pela empresa de consultoria.
11. b) O lucro foi maior no ano de 2023, de 22,5 bilhões de 
reais.
11. c) Embora tenha oscilado, o lucro parece ter apresen-
tado tendência de aumento.
12. a) Multiplicando a quantidade de ícones por 4, con-
cluímos que há 72 funcionários no departamento 
de produção (18 ⋅ 4 = 72). 
12. b) No departamento de limpeza, há 12 funcionários 
(3 ⋅ 4 = 12).
12. c) O enunciado sugere que há outros departamentos 
na empresa além desses dois; então, um gráfico de 
setores não seria adequado, pois desconhecemos o 
universo total de funcionários da empresa.
13. A resposta depende de pesquisa pessoal dos estudantes. 
14. b) Precisamos contar, dentre os resultados, aqueles que 
são estritamente maiores do que 3,0: temos 5 ocor-
rências de 4,0 e 3 ocorrências de 4,5, totalizando 8.
14. c) Dentre os resultados obtidos, aqueles que gastam 
exatamente 3 horas são 6 pessoas. Logo, a frequência 
relativa é de 6 : 20 = 0,3 = 30%.
14. d) As pessoas que gastam de 4 a 5 horas ouvindo mú-
sicas durante um dia.
14. e) Não, pois segundo a tabela, a frequência relativa dos 
jovens que passam mais de 3 horas por dia ouvindo 
música é de 40%, pois: 8 : 20 = 0,4 = 40%. 
15. b) De acordo com os dados da tabela concluímos que a 
frequência relativa dos participantes do Enem com 
18 anos é de 15%.
15. c) Os estudantes com idade estritamente superior a 17 
anos são aqueles de 18 a 19 anos. Considerando os 
dados da tabela, a quantidade de estudantes corres-
ponde a uma porcentagem de: 15% + 10% = 25%.
15. d) De acordo com os dados do gráfico, é possível con-
cluir que a quantidade de participantes do Enem 
diminui.
IL
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A
LI
34. a) O número total de jovens que vivem no edifício é 
obtido adicionando as quantidades correspondentes 
a cada idade: 6 + 7 + 4 + 8 = 25. 
Portanto, há 25 jovens.
34. b) A idade média é obtida por: 
idade média = 
6 20 7 19 4 18 8 17
25
· + · + · + ·
 = 
= 120 133 72 136
25
461
25
+ + + = = 18,44
Logo, a idade média é de 18,44 anos.
34. c) A idade modal é aquela com a maior frequência 
absoluta. Portanto, 17 anos.
34. d) Para calcular a idade mediana, observamos antes que 
há 25 dados, uma quantidade ímpar. Logo, precisa-
mos obter a idade correspondente à posição central 
da lista ordenada de todas as idades registradas, que 
é a posição 13. Assim, temos:
• posições 1 a 8: 17 anos
• posições 9 a 12: 18 anos
• posição 13: 19 anos. 
Portanto, a idade mediana é de 19 anos.
34. e) Acrescentando-se dois jovens de 16 anos aos dados, 
o número total de jovens aumenta de 25 para 27. 
Desse modo, o número de jovens de 16 anos passa 
a ser 2. Os novos cálculos passam a ser:
média = 
6 20 7 19 4 18 8 17 2 16
27
· + · + · + · + ·
 = 
= 120 133 72 136 32
27
+ + + + = 493
27
 ≃ 18,26 
Assim, a média passa a ser de aproximadamente 
18,26 anos.
A moda continua igual, pois 17 anos continua sendo 
a idade de maior frequência. 
Como agora há 27 dados, a mediana passa a ser a 
idade correspondente à posição central, 14a da lista 
ordenada. Então, temos:
• posições 1 e 2: 16 anos
• posições 3 a 10: 17 anos
• posições 11 a 14: 18 anos
Assim, a nova mediana é de 18 anos.
35. a) Ordenando os valores registrados por Marta, temos: 
10, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 30, 30, 30, 35, 35, 40, 40, 50, 
60, 60, 90, 90, 120. Como há 21 valores, que é um nú-
mero ímpar, a mediana é o termo que ocupa a posição 
central, que é a 11a. Logo, a mediana é 30 minutos.
35. b) Para encontrar a moda, é conveniente organizar os 
dados em uma tabela de frequência:
Tempo gasto no percurso até a escola
Tempo 
(min) 10 15 20 25 30 35 40 50 60 90 120
Frequência 
absoluta 1 3 3 1 3 2 2 1 2 2 1
Dados fictícios.
Nela, vê-se que a sequência dos valores obtidos é 
trimodal, com modas 15, 20 e 30 minutos.
16. a) Pela tabela, concluímos que 3 meninos, de um total 
de 30, acessam a internet de 3 a 4 horas semanal-
mente. Isso equivale a 10% do total de meninos, pois
5 : 30 ≃ 0,167 ≃ 16,7%. Em relação ao total de meninas, 
temos que 4 de 24 meninas acessam a internet de 
3 a 4 horas semanalmente. Isso equivale a um percen-
tual de: 5 : 24 ≃ 0,208 ≃ 20,8%. Portanto, não são iguais.
16. b) Espera-se que os estudantes concluam que o per-
centual não é igual. Portanto, a resposta ao item a 
estaria correta.
24. a) O número médio de automóveis vendidos é dado 
por: 38 22 42
3
+ + = 34
Portanto, em média, foram vendidos 34 automóveis. 
24. b) Em março, foram vendidos 42 automóveis. Como 
a média foi de 34 automóveis, isso corresponde a 
8 automóveis acima da média, pois 42 ‒ 34 = 8.
24. c) Se o número médio de automóveis vendidos por mês 
é de 34 , em um semestre espera-se que a venda seja 
de 204 automóveis (6 ⋅ 34 = 204).
24. d) Uma maneira é extrapolar o valor da média para os 
6 meses, ou seja, 6 ⋅ 34 = 204. Outra forma é utilizar 
os valores reais dos três meses iniciais para os meses 
subsequentes: 38 + 22 + 42 + 38 + 22 + 42 = 204.
27. b) A distribuição dos salários é bimodal, com moda 
2200 reais e 2 320 reais, pois ambos os valores apa-
recem com a mesma frequência, maior do que a dos 
demais salários.
27. c) Neste caso, calculamos a média ponderada: 
· + · + · + +
+ + + +
2 2050 3 2200 3 2320 27805970
2 3 3 1 1
 = 
= 
+ + + +4100 6600 6960 2780 5970
10
 = 
26410
10
 = 
= 2641
Portanto, a média é de 2 641 reais.
27. d) Os funcionários que recebem até 2 320 reais re-
cebem abaixo do salário mensal médio. Portanto, 
são 8 funcionários (2 + 3 + 3 = 8). Como há 10 
funcionários, esse valor corresponde a 80% do 
total (8 : 10 = 0,8 = 80%).
28. Calculando a média ponderada pelos pesos descritos, 
temos: 
média = 
3 8 2 5
3 2
24 10
5
34
5
· + ·
+
= + = = 6,8
29. Calculando a média ponderada, temos:
1 4,0 2 7,0 3 8,0
1 2 3
4 14 24
6
42
6
· + · + ·
+ +
= + + = = 7 
30. Fazemos uma média ponderada com o número de 
ocorrências de cada valor:
· + ·
+
5 48000,00 10 45000,00
5 10
 = 
= 
+ =240000,00 450000,00
15
690000,00
15
 = 46 000
Assim, o valor médio dos terrenos vendidos é 
R$ 46 000,00
31. Oriente os estudantes na elaboração dos problemas 
sobre média aritmética ponderada.
LII
35. c) O tempo médio é calculado ponderando os valores 
registrados pelo respectivo número de ocorrências. 
Adicionando os valores: 1 · 10 + 3 · 15 + 3 · 20 + 1 · 25 + 
+ 3 · 30 + 2 · 35 + 2 · 40 + 1 · 50 + 2 · 60 + 2 · 90 + 
+ 1 · 120 = 850
tempo médio = 850
21
 ≃ 40,5 (40,5 minutos)
35. d) O mais importante aqui é despertar nos estudantes 
a reflexão de que fatores podem influenciar as me-
didas de tendência central.
36. a) Como “tipo de chocolate” não é uma variável quanti-
tativa (isto é, que assume valores numéricos), a única 
medida estatística que faz sentido neste caso é a 
moda, que indica o chocolate preferido pela maioria 
dos consumidores.
36. b) Primeiro, calculamos o número total de consumido-
res: 255 + 765 + 345 + 135 = 1500. Depois, calculamos 
as porcentagens de cada tipo:
• Meio amargo: 255 : 1 500 = 0,17 = 17%
• Ao leite: 765 : 1500 = 0,51 = 51% 
• Branco: 345 : 1 500 = 0,23 = 23%
• Amargo: 135 : 1 500 = 0,09 = 9%
36. c) Chocolate preferido dos consumidores
Meio amargo Ao leite Branco Amargo
17%
51%
23%
9%10%
20%
30%
40%
50%
60%
0%
Tipo de chocolate
Pe
rc
en
tu
al
 d
e 
co
ns
um
id
or
es
Dados obtidos pela empresa.
37. Sim, pois, a princípio, qualquer tipo de sorteio honesto 
apresenta um resultado imprevisível e, portanto, cons-
titui um experimento aleatório.
38. O espaço amostral contém 17 resultados possíveis, pois 
9 + 5 + 3 = 17. Os resultados favoráveis são aqueles cor-
respondentes à retirada de uma das 5 bolas amarelas. 
Logo, a probabilidade buscada é dada pela razão:
5
17
 ≃ 0,29 ≃ 29%
39. O espaço amostral consiste em todos os 30 estudantes 
da sala. Como há 18 meninas na sala, isso significa que a 
probabilidade de sortear uma menina é dada pela razão 
18
30
 = 0,6 = 60%. Por outro lado, o número de meninos 
é 30 ‒ 18 = 12. Portanto, a probabilidade de sortear um 
menino é dada pela razão 12
30
 = 0,4 = 40%. Observamos 
que as probabilidades somam 60% + 40% = 100%.
40. Já vimos na Situação 2, descrita antes deste exercício, 
que o espaço amostral do lançamento de dois dados 
consiste em 36 elementos.
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
40. a) Dentre todos os resultados possíveis, aqueles cuja 
soma é 8 são: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2). Portanto, 
há 5 casos favoráveis, e a probabilidade buscada é 
dada pela razão: 5
36
 ≃ 0,14 ≃ 14%
40. b) Dentre todos os resultados possíveis, aqueles cuja 
soma é par são: (1, 1), (3, 1), (5, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), 
(1, 3), (3, 3), (5, 3), (2, 4), (4, 4), (6, 4), (1, 5), (3, 5), (5, 5), 
(2, 6), (4, 6) e (6, 6). Portanto, há 18 casos favoráveis, 
e a probabilidade buscada é dada pela razão:
18
36
 = 0,5 = 50%
40. c) Dentre todos os resultados possíveis, aqueles cuja 
soma é maior que 10 são (5, 6), (6, 5) e (6, 6). Portanto, 
há 3 casos favoráveis, e a probabilidade buscada é 
dada pela razão:
3
36
 ≃ 0,08 ≃ 8%
41. Esta questão é de resposta pessoal. Os estudantes devem 
considerar a razão entre o número de meninos e o total 
de estudantes na sala para determinar a probabilidade 
buscada.
Pense mais um pouco…
Página 80 
a) Os pontos totais de cada equipe são obtidos pela soma 
dos pontos obtidos individualmente por cada uma de 
suas integrantes. Assim, temos: 
Equipe A:
420 pontos, pois 60 + 70 + 70 + 70 + 80 + 70 = 420 
Equipe B:
420 pontos, pois 120 + 120 + 40 + 70 + 70 + 0 = 420
b) Ambas as equipes têm seis integrantes.
c) A média é dada pela divisão do total de pontos pelo 
número de integrantes. Logo, a média da Equipe A foi 
de 70 pontos 420
6
70=( ), e a média da Equipe B foi de 
70 pontos 420
6
70=( ) . 
d) Ambas as equipes obtiveram a mesma média.
e) Nesse caso, a média não traduz o perfil de cada equipe: 
no caso da Equipe A, as notas individuais concentram-se 
em torno do valor médio. Entretanto, no caso da Equipe B, 
algumas atletas receberam notas muito altas, enquanto 
Rute e Bete receberam notas muito baixas, revelando 
desempenhos desiguais entre as integrantes.
Trabalhando a informação
Página 83 
Esta é uma questão cuja abordagem será bastante 
dependente das escolhas feitas pelos estudantes. Além da 
questão discutida no quadro de como fazer uma boa seleção 
de amostra, é importante discutir como fazer uma coleta 
de dados imparcial (evitando julgamentos na hora de for-
mular as perguntas e reações ao escutar as respostas, por 
exemplo) e quais serão as medidas estatísticas relevantes. 
Por exemplo, grupos que escolherem variáveis qualitativas 
deverão usar a moda. Já grupos que escolherem variáveis 
LIII
3. A resposta é pessoal e depende das pesquisas dos es-
tudantes.
Exercícios complementares
2. Localizando 32 na lista de idades, vemos que há 18 
registros de idades inferiores a 32:
18 - 19 - 20 - 20 - 20 - 24 - 24 - 24
24 - 24 - 28 - 28 - 28 - 30 - 30 - 30
30 - 30 - 32 - 32 - 35 - 35 - 35 - 35
36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40
42 - 45 - 45 - 48 - 48 - 50 - 50 - 60
Logo, a porcentagem dos funcionários com idade in-
ferior a 32 anos é de 18
40
 = 0,45 = 45%. Alternativa a.
3. O espaço amostral consiste em todos os 40 funcioná-
rios, enquanto o número de casos favoráveis é igual ao 
número de funcionários com menos de 25 anos. A partir 
da lista de idades, vemos que há 10 funcionários com 
essas características:
18 - 19 - 20 - 20 - 20 - 24 - 24 - 24
24 - 24 - 28 - 28 - 28 - 30 - 30 - 30
30 - 30 - 32 - 32 - 35 - 35 - 35 - 35
36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40
42 - 45 - 45 - 48 - 48 - 50 - 50 - 60
Portanto, a probabilidade buscada é dada pela razão: 
10
40
2
8
= . Alternativa b.
4. Se o total de árvores frutíferas é de 350, essa quantidade 
corresponde a 100% das árvores. Assim, se x laranjeiras 
respondem por 40% das árvores, temos a proporção:
350 — 100%
 x — 40%
Segue, 100x = 14000, ou, ainda, x = 140. Analogamente, 
se há y mangueiras, temos a proporção:
350 — 100%
 y — 10%
Segue, 100y = 3500 ou, ainda, y = 35. Portanto, há 140 
laranjeiras e 35 mangueiras. Alternativa a.
5. Pelo enunciado, a condição mínima de permanência 
do gerente é atingida quando a média aritmética dos 
lucros mensais ao longo do semestre for de 30 mil reais. 
Assim, o lucro x necessário no mês de junho para que 
isso aconteça deve cumprir a seguinte condição:
21 35 21 30 38
6
x+ + + + + = 30, ou, ainda, 145
6
x+ = 30
Multiplicando ambos os lados desta última equação 
por 6, temos:
6 ⋅ 145
6
+ x( ) = 6 ⋅ 30 ⇒ 145 + x = 180 ⇒ x = 180 ‒ 145 = 35
Assim, a empresa precisa alcançar um lucro de pelo 
menos 35 mil reais em junho para que o gerente per-
maneça no cargo. Alternativa e. 
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
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A
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A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
quantitativas deverão fazer gráficos para verificar se a dis-
persão dos dados obtidos justifica o uso da média. Pode ser 
uma boa oportunidade para abordar planilhas eletrônicas 
e suas funções estatísticas e gráficas.
Para saber mais
1. Analisando a figura, distinguimos cinco regiões princi-
pais de densidades diferentes:
Região 1:
Aproximadamente
5 pessoas/ladrilho
Região2:
Aproximadamente
4 pessoas/ladrilho
Região 3:
Aproximadamente
3 pessoas/ladrilho
Região 4:
Aproximadamente
2 pessoas/ladrilho
Região 5:
Aproximadamente 1 pessoa/ladrilho
A região 1 contém 70 ladrilhos, a região 2 contém 30 
ladrilhos, a região 3 contém 40 ladrilhos, a região 4 
contém 20 ladrilhos e a região 5 contém 10 ladrilhos. 
Logo, deve haver aproximadamente 640 pessoas, pois:
5 ⋅ 70 + 4 ⋅ 30 + 3 ⋅ 40 + 2 ⋅ 20 + 1 ⋅ 10 =
= 350 + 120 + 120 + 40 + 10 = 640
2. Os estudantes devem perceber que, se a avenida for 
supostamente reta, sua área é dada pelo produto entre 
as medidas de comprimento e largura: 1000 m ⋅ 26 m = 
= 26 000 m². Assim, se 300 000 pessoas estiveram ao 
mesmo tempo na avenida, isso daria uma densidade 
de aproximadamente 11,5 pessoas por metro quadrado 
(300 000 : 26 000 ≃ 11,5).
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
//
A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
LIV
6. a) Vemos que o menor valor obtido na pesquisa foi de 10 minutos, e o maior foi de 100. Assim, uma forma de satisfazer 
à proposta do enunciado é adotar classes de 1 a 21 até 81 a 101 (a adoção do 1 pode ser justificada pelo fato de que 
0 não é um valor esperado para essa amostra). 
6. b) Ordenando os dados, temos: 10, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 35, 35, 35, 35, 
40, 40, 40, 60, 60, 60, 60, 90, 90, 90, 100, 100, 100, 100, 100.
A média aritmética é obtida ponderando cada valor pelo número de ocorrências:
média = 
10 3 15 8 20 3 25 6 30 4 35 3 40 4 60 3 90 5 100
40
+ · + · + · + · + · + · + · + · + ·
 = 
1740
40
 = 43,5 (43,5 minutos)
A moda é o valor registrado com maior frequência. Portanto, 20 minutos. Por fim, como há um número par (40) de 
valores, a mediana é a média aritmética dos valores centrais ocupando a 20a e a 21a posição: 30   30
2
+ = 30 (30 minutos).
6. c) O espaço amostral é composto dos 40 trabalhadores selecionados. Dentre estes, 3 gastam 90 minutos no trajeto. 
Assim, o número de casos favoráveis é 3, e a probabilidade pedida é dada pela razão: 3
40
 = 0,075 = 7,5%
7. a) Obtemos a quantidade total de pessoas que se filiaram durante o mês de julho somando os valores referentes a 
cada idade: 30 + 7 + 2 + 10 + 12 + 18 + 21 = 100. 
Assim: idade média = 
30 14 7 16 2 18 10 20 12 21 18 27 21 30
100
· + · + · + · + · + · + ·
 = 
= 420 112 36 200 252 486 630
100
+ + + + + + = 
2136
100
 = 21,36 (21,36 anos)
7. b) A idade modal é 30 anos, pois foi a que registrou o maior número de ocorrências. Como há um número par de da-
dos, a mediana é dada pela média aritmética das duas posições centrais da sequência ordenada dos dados. Como 
há 100 dados, essas posições são a 50a e a 51a.
• as posições 1 a 30 são ocupadas pelo valor 14;
• as posições 31 a 37 são ocupadas pelo valor 16;
• as posições 38 e 39 são ocupadas pelo valor 18;
• as posições 40 a 49 são ocupadas pelo valor 20;
• as posições 50 e 51 são ocupadas pelo valor 21.
Logo, a idade mediana é 21 anos.
8. O total de pessoas consultadas foi de 4 500, e esse valor corresponde ao todo. Como o candidato recebeu 1 050 indica-
ções de votos, podemos estabelecer a seguinte relação: 
350
1500
 ⋅ 360 = 126000
1500
 = 84. Logo, a medida do ângulo central 
do setor que representará esse candidato é de 84°. Alternativa b.
9. Interpretando o local exato da queda do paraquedista como um experimento aleatório, a probabilidade de ele pousar 
na região quadrada é dada pela proporção que ela ocupa em relação ao terreno maior. Recordando que a área de uma 
região retangular é dada pelo produto da medida dos lados, temos:
probabilidade = 
r
área da região quadrada
área do terreno retangula
 = 
8 8
24 16
64
384
·
·
= ≃ 0,17 ≃ 17%
10. Seja x a idade do funcionário que se demitiu. Se a média das idades dos funcionários inicialmente era m, temos: 
m
x
=
+ soma das idades dos demais funcion riosá( )
18
Após esse funcionário se demitir, as soma das idades dos demais funcionários não se altera, mas, com a contratação 
do novo funcionário de 22 anos, a média das idades passa a ser dada por: 
22
18
+ soma das idades dos demais funcion riosá( )
É informado que essa nova média é igual à anterior, diminuída de 2 anos, assim:
22
18
+ soma das idades dos demais funcion riosá( )
 = m ‒ 2
Igualando as expressões, temos:
22
18
+ soma das idades dos demais funcion riosá( )
 = 
x + soma das idades dos demais funcion riosá( )
18
 ‒ 2
Multiplicando os dois lados da equação por 18:
22 + (soma das idades dos demais funcionários) = x + (soma das idades dos demais funcionários) ‒ 36
LV
Note que a soma das idades dos demais funcionários, 
embora desconhecida, pode ser subtraída dos dois lados 
da equação. Assim, obtemos:
22 = x ‒ 36, ou, ainda, x = 22 + 36 = 58
Então, a idade do funcionário é 58 anos. Alternativa e.
Verificando
1. Uma amostra deve ser imparcial e, portanto, integrar as 
características da população que ela representa. Assim, 
uma amostra de estudantes de uma escola deve conter 
alunos das diferentes turmas e dos diferentes períodos. 
Alternativa c.
2. Vejamos o que se pode afirmar sobre a veracidade de 
cada sentença:
2. a) Falsa: como 1000 pessoas participaram da pesquisa, 
a porcentagem de 41,60% = 0,416 dos que preferem 
smartphones equivale a 0,416 ⋅ 1000 = 416 pessoas. 
Portanto, esta alternativa é falsa.
2. b) Falsa: pelo gráfico, vemos que a opção tablet recebeu 
2,20% dos votos, menos do que a opção “outros”, que 
recebeu 2,90%. Portanto, esta alternativa é falsa.
2. c) Verdadeira: somando os 9,20% que preferem notebook 
aos 18,30% que preferem computador, obtemos 27,50% 
dos pesquisados, mais do que 25%.
2. d) Falsa: Esta alternativa é falsa, pois o console foi a 
segunda opção mais votada.
3. Obtemos o total de clientes consultados na pesqui-
sa somando a quantidade referente a cada marca: 
205 + 103 + 92 = 400. As frequências relativas são obtidas 
dividindo-se a quantidade de clientes que preferem 
cada marca pelo total:
• Marca A: 205
400
 = 0,5125 ≃ 0,51
• Marca B: 103
400
 = 0,2575 ≃ 0,26
• Marca C: 
92
400
 = 0,23
Logo, a correta é a alternativa c.
4. A moda dos dados corresponde ao tipo de livro com 
maior ocorrência nos resultados da pesquisa. Como 
quadrinhos teve maior ocorrência, a moda dos dados 
é quadrinhos. Alternativa a.
5. Somando as notas ponderadas pelos pesos prescritos, 
temos: 
média = 
1 8 2 5 3 7
1 2 3
8 10 21
6
39
6
 
· + · + ·
+ +
= + + = = 6,5
Alternativa a.
6. Ordenando a sequência, temos: 1200, 1500, 1500, 1800, 
2300, 2700, 3000, 4500, 5000, 6000. Como há 10 dados, 
uma quantidade par, a mediana é dada pela média arit-
mética dos dois valores centrais, na 5a e na 6a posição: 
+ =2300 2700
2
5000
2
 = 2500 (2500 reais). Alternativa b.
Capítulo 4 – Cálculo algébrico 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Conceituar variável e incógnita.
 • Conceituar expressão algébrica.
 • Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica.
 • Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo do valor 
numérico de expressões algébricas e fórmulas.
 • Conceituar monômios e operar com eles.
 • Reconhecer procedimentos para determinar a fração geratriz de 
uma dízima periódica.
 • Determinar a fração geratriz de uma dízima periódica.
 • Identificar regularidades em sequências recursivas.
 • Resolver problemas que envolvem área de retângulos.
O cálculo algébrico, no que se refere à compreensão de variá-
vel e incógnita, de monômios e de operações com monômios, é 
necessário para que os estudantes possam continuar os estudos 
envolvendo conteúdos matemáticos essenciais, como a resolução 
de equações e a compreensão de funções. Nesse sentido, o estu-
do de fração geratriz favorece a ampliação e aprofundamento da 
compreensão dos números racionais e é importante para, no 9o ano, 
os estudantes compreenderem os números irracionais e a reta real. 
Desse modo, contribuímos para o trabalho com a competência 
geral 2 e as competências específicas 2 e 3.
Além disso, resolver problemas que envolvem o cálculoal-
gébrico e o valor numérico de expressões algébricas possibilita 
desenvolver as competências específicas 5 e 6, pois contribui-se 
para o aprimoramento de ferramentas matemáticas e da utilização 
de tecnologias digitais, visto que envolve a modelagem de situa-
ções reais ou imaginadas por meio de expressões de cálculo, com 
incógnitas ou variáveis.
A identificação de regularidades de sequências recursivas e a 
resolução de problemas envolvendo área de retângulos favorecem 
o estudo dos conteúdos do capítulo, pois possibilitam relacionar 
as Unidades Temáticas Números e Geometria à Álgebra, desen-
volvendo, assim, a competência específica 3.
Em diferentes momentos do capítulo, apresentam-se ativida-
des para serem realizadas em duplas ou grupos, o que favorece o 
desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da compe-
tência específica 8, pois os estudantes precisam trabalhar com os 
colegas de maneira cooperativa e exercitar o diálogo e a resolução 
de conflitos. Além disso, a proposta de realização de uma pesquisa 
possibilita aos estudantes planejar e desenvolver, coletivamente, as 
etapas envolvidas para a coleta e apresentação de dados.
Na Abertura de capítulo, apresentamos aos estudantes a equa-
ção sobre a teoria da relatividade; em seguida, trabalhamos com a 
fórmula de Young, utilizada para calcular a dosagem dos remédios 
dados a uma criança. Deste modo, contribui-se para o trabalho com 
as competências gerais 1 e 8.
LVI
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção 
de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo 
do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica 
recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que 
permita indicar os números seguintes.
O foco deste capítulo é a Unidade Temática Álgebra, no qual 
se amplia o trabalho já feito no 7o ano com expressões algébricas 
(EF07MA13 e EF07MA15). Este é o primeiro capítulo do livro em que 
esse estudo será desenvolvido, envolvendo as noções de variável 
e incógnita, valor numérico de expressões algébricas, operações 
com monômios, entre outros; assim, desenvolve-se a habilidade 
(EF08MA06), além de promover articulação com a Unidade Temática 
Grandezas e medidas, e utiliza -se a noção de área de retângulos 
associada a expressões algébricas.
Abordam-se em uma seção Pense mais um pouco... a busca de 
regularidades em sequências, mobilizando aspectos da habilidade 
(EF08MA11) e, na seção Para saber mais, um procedimento algébrico 
para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica, nesse 
caso articulando-se com a Unidade Temática Números e desenvol-
vendo a habilidade (EF08MA05).
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Exercícios propostos
1. Em um dos pratos da balança, temos 900 g, pois 200 + 200 + 
+ 500 = 900. No outro, temos cinco vezes a massa x de 
cada maçã, ou seja, 5x. Se a balança está em equilíbrio, 
as massas em ambos os pratos são iguais. Assim:
5x = 900
2. a) A diferença entre x e y é dada por: x ‒ y
2. b) O triplo do número n é 3n. Assim, a soma de m com 
o triplo do número n é: m + 3n
2. c) O quociente do número a pelo número b é: a
b
2. d) A adição de a e b é a + b. As parcelas dessa adição 
são cada um dos termos a e b. Assim, trocar a sua 
ordem significa fazer b + a. Dizer que essa troca de 
ordem não altera a soma significa dizer que ambas 
as operações resultam iguais: 
a + b = b + a
2. g) O cubo de um número y é representado por: y³
3. a) Por convenção, sabemos que os algarismos lidos da 
direita para a esquerda representam unidades, de-
zenas, centenas e milhares, respectivamente. Assim, 
d é o algarismo das unidades, c o das dezenas, b o 
das centenas e a o dos milhares.
4. Observa-se que a divisão com resto corresponde a:
dividendo = quociente ⋅ divisor + resto
Nesse caso, o resto pode assumir qualquer valor entre 
0 e uma unidade a menos do que o divisor. Assim, se o 
divisor é x, o maior valor possível para o resto é x ‒ 1. 
Queremos determinar o dividendo conhecendo o quo-
ciente y, o divisor x e o resto x ‒ 1. Logo, temos:
xy + (x ‒ 1) = xy + x ‒ 1
7. a) A medida do perímetro de uma figura corresponde 
à soma das medidas dos lados.
Desse modo, para a figura dada, a soma da medida 
corresponde a: 5a + 5a + 2a + 2a = 14a
7. b) Substituindo a = 3,6 na expressão 14a, obtém-se: 
14 ⋅ 3,6 = 50,4 
7. c) A figura se decompõe em dez quadrados congruen-
tes. Como cada quadrado tem medida de lado a, a 
medida de sua área é a², pois a ⋅ a = a². Como a figura 
é formada por dez desses quadrados, sua área total 
é dez vezes esse valor: 10a²
7. d) Substituindo a = 5 na expresão 10a², obtém-se:
10 ⋅ (5)2 = 10 ⋅ 25 = 250 
8. a) Substituindo 5
2
a = e 2
3
b = , temos:
2a + 3b = 2 ⋅ 5
2
3 2
3
2 5
2
3 2
3( ) ( )+ = +. . .
 = 5 + 2 = 7
8. b) Substituindo x = ‒5 em x2 + 2x, temos:
(‒ 5)2 + 2 ⋅ (‒ 5) = 25 ‒ 10 = 15
8. c) Substituindo x = 4 e y = 2, temos: 
4 2
4 2
6
2
3
x y
x y
+
–
= +
–
= =
8. d) Substituindo a = 2, b = ‒10 e c = 12, temos:
2 4
2
2b b ac
a
+ ---
 = 2 10 10 4 2 12
2 2
2. --- --- . .
.
---( ) ( )+ = 
= 
20 100 8 12
4
– + – · = 20 100 96
4
– + – = 
= 20 4
4
– + = 20 2
4
– + = 
--18
4
 = -- 9
2
9. Este é um exercício com infinitas respostas possíveis. 
A ideia é levar os estudantes a perceber que cada escolha 
de valor de y determina um único valor de x, pois x² ‒ y = 
= 0 é o mesmo que y = x². Assim, x = 0 e y = 0, ou x = 1 e 
y = 1, ou x = ‒1 e y = 1, ou x = ‒17 e y = 289 são algumas 
possibilidades de resposta.
LVII
10. Uma fração não tem valor numérico determinado 
quando seu denominador for zero, pois não é possível 
dividir por zero.
10. a) Igualando o denominador a zero, segue que a + 5 = 0. 
Resolvendo a equação, temos:
a + 5 = 0 ⇒ a = ‒5
10. b) Igualando o denominador a zero, segue que 2a ‒ 4 = 0. 
Resolvendo a equação, temos:
2a – 4 = 0 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 4
2
 ⇒ a = 2
11. a) Igualando o denominador a zero, segue que a ‒ b = 0. 
Resolvendo a equação, temos:
a ‒ b = 0 ⇒ a = b 
11. b) Igualando o denominador a zero, segue que 2a + 3b = 0. 
Resolvendo a equação, temos:
2a + 3b = 0 ⇒ 2a = ‒3b ⇒ a = -- 3
2
b 
12. a) Se A = 1, temos: 1 = B · C
Como A, B e C são números naturais, para que essa 
igualdade seja verdadeira, B e C devem ser iguais a 1.
12. b) Se A = 0, temos: 0 = B · C
Como A, B e C são números naturais, para que essa 
igualdade seja verdadeira, B ou C deve ser igual a 0.
13. a) Se José cobra R$ 6,00 por quilômetro rodado, a cada x 
quilômetros rodados ele acrescenta à taxa inicial de 
R$ 50,00 o valor de 6 vezes x. Assim, o preço é dado 
pela expressão 50 + 6x.
13. b) Um frete de 6 quilômetros significa utilizar x = 6 em 
50 + 6x. Portanto, José cobra 86 reais pois: 50 + 6 ⋅ 6 = 
= 50 + 36 = 86
14. a) Aqui, é preciso reconhecer os dados e relacioná-
-los ao enunciado: 100 W é a potência da lâmpada 
(p = 100). O uso é de 3 horas por dia (h = 3). Por fim, 
é pedido o consumo referente a um número de dias 
igual a 30 (d = 30). Portanto:
p h d= · · = · · =
1000
100 3 30
1000
9000
1000
� = 9
Logo, o consumo é de 9 kWh.
14. b) Novamente, é preciso reconhecer os dados e relacio-
ná-los ao enunciado: 4000 W é a potência do chuveiro 
(p = 4000). O uso é de 1 hora por dia (h = 1). Por fim, 
é pedido o consumo referente a um número de dias 
igual a 30 (d = 30). Portanto:
p h d= · · = · · =
1000
4000 1 30
1000
12000
1000
� = 120
Logo, o consumo é de 120 kWh.
15. O valor numérico da expressão não pode ser ímpar, 
pois ela é da forma 2x + 4y. Sabemos que, ao multiplicar 
por 2 (e, consequentemente, tambémpor 4) qualquer 
número, o resultado é sempre par, bem como a soma 
de dois números pares é sempre par.
16. a) Substituindo x = 6, na expressão:
3 12
2 2
2x
x x
---
. ---+( ) ( )
 = 
3 6 12
6 2 6 2
2.
. --
--( )
( ) ( )+
 = 
3 36 12
8 4
· –
·
 = 
108 12
32
96
32
– = = 3
Substituindo x = ‒4, obtém-se:
( ) ( )
3 12
2 2
2x
x x
–
+ · –
 = 
( )
( ) ( )⋅
3 4 12
4 2 4 2
2· – –
– + – –
 = 
( ) ( )
3 16 12
2 6
· –
– · –
 = 
= 48 12
12
36
12
– = = 3
Substituindo 2
3
x = , obtém-se:
( ) ( )
3 12
2 2
2x
x x
–
+ · –
 = 
( )
( ) ( )
3 2
3
12
2
3
2 2
3
2
2
· –
+ · –
 = 
= ( ) ( )
3 4
9
12
2
3
6
3
2
3
6
3
· –
+ · –
 = ( ) ( )
⋅3 4
9
12
2 6
3
2   6
3
–
+ · – = 
= ( )
12
9
12
8
3
4
3
–
· – = ( )
12
9
    108
9
8 4
3 3
12 108
9
32
9
–
· –
·
=
–
– = 
= 
96
9
32
9
96
9
32
9
–
–
= = 96
9
9
32
96
32
· = = 3
Substituindo 3
2
x = – , obtém-se:
( ) ( )−
3 12
2    2
2x
x x
–
+ ·
 = 
( )
( ) ( )
3 3
2
12
3
2
2 3
2
2
2
· – –
– + · – –
 = 
= ( ) ( )
3 9
4
12
3
2
4
2
3
2
4
2
· –
– + · – –
 = ( ) ( )
⋅3 9
4
12
3 4
2
3 4
2
–
– + · – – = 
= ( )
27
4
12
1
2
7
2
–
· – = ( )
27
4
    48
4
1 7
2 2
–
· –
·
 = 
27 48
4
7
4
–
– = 
= 
21
4
7
4
21
4
7
4
–
–
=
–
–
 = 
21
4
7
4
21
4
4
7
= · = 21
7
 = 3
16. b) Uma fração apenas não tem valor numérico quando 
seu denominador é zero, pois não é possível dividir 
por zero. Por outro lado, um produto de dois fatores 
só é zero se pelo menos um dos dois for zero. As-
sim, os valores de x para os quais não existe o valor 
numérico da expressão são aqueles para os quais 
um dos fatores do denominador se anula. Como os 
fatores são x + 2 e x ‒ 2, temos as condições x + 2 = 
= 0 e x ‒ 2 = 0, que são resolvidas por x = ‒2 e x = 2, 
respectivamente.
LVIII
16. d) Sim, pois 3x² ‒ 12 = 3x² ‒ 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (x² ‒ 4) e, ainda, 
(x + 2) ⋅ (x ‒ 2) = x² ‒ 4 (produto notável). Assim, essa 
expressão vale sempre 3. 
17. Resposta pessoal. Algumas questões que podem ser 
abordadas pelos estudantes são expressões que defi-
nem o custo de alguma fatura em termos do consumo 
ou a média final em termos das notas intermediárias.
18. a) A expressão 2x + 5 não pode ser considerada um 
monômio por envolver a operação de adição.
18. b) A expressão a
b
2 não pode ser considerada um mo-
nômio por envolver uma variável no denominador.
19. Recordando de que o coeficiente é a parte numérica 
do monômio, ou seja, tudo o que não é variável (ou 
incógnita), tem-se:
19. a) O coeficiente de ‒2xy é ‒2.
19. b) O coeficiente de a3
5
 é 3
5
.
19. e) O coeficiente de 
5
1
5
2
2xy
xy= é 1
5
.
19. f) O coeficiente de 
3
1
3
a a– = – é 1
3
– .
20. a) Como a metade de x é obtida dividindo x por 2, a 
quantidade de selos de Glaucia é a quantidade x de 
selos de João dividida por 2, ou seja, x
2
.
20. b) Como o dobro de x é obtido multiplicando x por 2, a 
quantidade de selos de Ricardo é a quantidade x de 
selos de João multiplicada por 2, ou seja, 2x.
20. c) Como dois terços de x são obtidos multiplicando x 
por 2
3
, a quantidade de selos de Gabriel é a quanti-
dade x de selos de João multiplicada por 2
3
, ou seja, 
x2
3
.
22. a) A medida do perímetro é dada por:
7x + 7x + 5x + 5x = 24x
22. b) Substituindo x = 1,2 na expressão 24x, obtém-se 28,8, 
pois: 24 ⋅ 1,2 = 28,8
22. c) A figura se decompõe em 35 quadrados congruentes 
(7 ⋅ 5 = 35). Como cada quadrado tem lado de me-
dida x, sua área mede x² (x ⋅ x = x²). Como a figura é 
formada por 35 desses quadrados, 35x² é a medida 
de sua área total.
22. d) Substituindo x = 4,5 na expressão 35x², obtém-se 
708,75, pois: 35 ⋅ (4,5)² = 35 ⋅ 20,25 = 708,75
23. Recordando que monômios são semelhantes quando 
apresentam mesma parte literal, temos:
23. a) 4x e ‒7x são semelhantes, pois apresentam mesma 
parte literal x.
23. b) 5ab, 3ab e 2ab são semelhantes, pois apresentam 
mesma parte literal ab.
23. c) a
3
 e 5a são semelhantes, pois apresentam mesma 
parte literal a.
23. d) 2a e 2b não são semelhantes, pois apresentam partes 
literais diferentes, a ≠ b.
23. e) 8a² e ‒5a não são semelhantes, pois apresentam 
partes literais diferentes, a² ≠ a.
23. f) –6, ‒2 e 10,4 são semelhantes, pois os três não apre-
sentam parte literal.
23. g) 7x²y e 9xy² não são semelhantes, pois apresentam 
partes literais diferentes, x²y ≠ xy² (as potências em 
x e y não são as mesmas).
23. h) 12xy e ‒21yx são semelhantes, pois suas partes lite-
rais são as mesmas, xy e yx, que são equivalentes, 
pois a ordem dos fatores não altera o produto. 
24. a) A medida do perímetro é dada por:
3x + 3x + 3x + 3x = 4 ⋅ (3x) = 12x
Já a medida da área de um quadrado é dada por:
(3x)² = 3²x² = 9x²
24. b) Os monômios 12x e 9x² não são semelhantes, pois 
não têm a mesma parte literal: x ≠ x². 
25. Resposta pessoal. Algumas questões que podem ser 
abordadas pelos estudantes são expressões que de-
finem o valor final de alguma fatura em termos de 
alguma outra variável.
27. a) (‒10x) + (+6x) = ‒10x + 6x = ‒4x
27. b) (0,8x²y) + (‒3,5x²y) = 0,8x2y ‒ 3,5x2y = ‒2,7x2y 
27. c) ( ) ( )2
5
3
10
ab ab– + – = 7
10
ab–
27. d) (‒9ay) ‒ (‒3ay) = ‒9ay + 3ay = ‒6ay
27. e) Se x = 0,2 , então 10x = 2,2; assim, temos:
10x ‒ x = 2,2 0,2– = 9x = 2
2
9
x =
Ou seja, 0,2 tem como fração geratriz 2
9
. Analoga-
mente, 0,5 tem como fração geratriz 5
9
.
Portanto, como:
( )( )0,2 0,5 2
9
5
9
– – = – – = 2
9
5
9
2 5
9
7
9
+ = + =
segue que:
( ) ( )0,2 0,5 7
9
3 3 3a a a– – =
28. A medida do segmento AB é dada por:
AB = AC + CD + DE + EB = y + 2y + 3
2
5
4
23
4
y y y+ =
LIX
29. Seja x a quantidade vendida no primeiro mês. Então, no 
segundo mês, vendeu‒se o dobro de x, isto é, 2x. Assim, 
ao longo dos dois primeiros meses, a quantidade total 
vendida foi de 3x. De acordo com o enunciado, no terceiro 
mês, vendeu-se o triplo disso. Ou seja:
3 ⋅ (3x) = 9x
Portanto, x + 2x + 9x = 12x é o total das vendas.
30. A medida do segmento MP é dada por: MN = MP + MN. 
Portanto:
6,5x = MP + 2,3x
MP = 6,5x ‒ 2,3x = 4,2x
31. a) ‒4xy + 6xy ‒ 5xy = 6xy ‒ 9xy = ‒3xy
31. b) 5a3 + 7a3 ‒ 9a3 + 3a3 = 15a3 ‒ 9a3 = 6a3
31. c) ‒3x ‒ 5x + 2x ‒ x + 4x = 6x ‒ 9x = ‒3x
31. d) 3
2
2
3
7
6
2 2 2 2x x x x+ – = 9 4 7
6
6
6
2+ =---
x x2 = x2
31. e) m3n2 + 4
5
 m3n2 ‒ 5
3
 m3n2 ‒ 1
9
 m3n2 =
= 45 36 75 5
45
+ – – m3n2 = 1
45
m3n2
33. a) (4a2x3) ⋅ (‒5ax2) = 4 ⋅ (‒5) ⋅ (a2x3 ⋅ax2) = (‒20) ⋅ (a2 + 1x3 + 2) = 
= ‒20a3x5
33. b) (‒6xy) ⋅ (‒3y) = (‒6) ⋅ (‒3) ⋅ (xy ⋅ y) = 18 ⋅ x ⋅ y1 + 1 = 18xy2
33. c) (0,5x) ⋅ (2,4x2) = 0,5 ⋅ 2,4 ⋅ (x ⋅ x2) = 1,2 ⋅ x1 + 2 = 1,2x3
33. d) ( )7
11
a– ⋅ (+2ab) ⋅ (‒11a) = -- . . --7
11
2 11( ) ( ) ( )





+ ⋅ (a ⋅ ab ⋅ a) = 
= [(‒7) ⋅ (+2) ⋅ (‒1)] ⋅ (a1 + 1 + 1) ⋅ b = 14a3b
33. e) ( ) ( )( )2 3
2
1
2
2ax ax a– · · – = (‒2) ⋅ ( )3
2
1
2
· – ⋅ (ax ⋅ ax2 ⋅ a) =
= 
( ) ( )2 3 1
2 2
– · · –
·
 ⋅ (a1 + 1 + 1 ⋅ x1 + 2) = 6
4
 ⋅ (a3 ⋅ x3) = 
= 3
2
 a3x3
34. a) (16x5) : (‒4x2) = ‒4x3, pois 16 : (‒4) = ‒4 e 
x5 : x2 = x5 – 2 = x3 
34. b) (36xy4) : (‒6xy)= ‒6y3, pois 36 : (‒6) = ‒6, x : x = 1 e 
y4 : y = y4 –1 = y3
34. c) (‒35a) : (+7a) = ‒5, pois ‒35 : 7 = ‒5 e a : a = 1
34. d) ( )( )3 10
5
3
2
2 2ab ab+ : – = – , pois 3 : ( )10
5
: – =
= 3 ⋅ ( )5
10
3 5
10
· – = – ·
 = 
3 5
2 5
3
2
– ·
·
= – e 
ab2 : 1 = ab2
34. e) ( ) ( )4
5
  4
3
3
5
5 2 3x y x y x– : + = – , pois ( ) ( )4
5
  4
3
– : = –
4
5
3
4
3
5
= – · = – , x5 : x2 = x3 e y : y = 1
35. Primeiro, adicionamos os termos semelhantes:
5ax2 ‒ 2ax2 ‒ 7ax2 = ‒4ax2 e 1
2
1
4
3
4
x x x+ =
Assim:
(5ax2 ‒ 2ax2 ‒ 7ax2) ⋅ ( )1
2
1
4
x x+ = (‒4ax2) ⋅ x( )3
4
 = 
= ( )( )4 3
4
– · ⋅ (a ⋅ x2 ⋅ x) = ‒3 ⋅ (a ⋅ x2 + 1) = ‒3ax3
Agora, substituindo no monômio ‒3ax3, os valores a = 2 
e x = ‒2, obtemos:
‒3 ⋅ 2 ⋅ (‒2)3 = ‒3 ⋅ 2 ⋅ (‒8) = 48
36. Primeiro, adicionamos os termos semelhantes:
( )3
4
2
3
1
6
3 3 3x y x y x y+ – = x y( )5
4
3 
Assim:
( )3
4
2
3
1
6
3 3 3x y x y x y+ – : ( ) ( ) ()  3
2
5
4
3
2
3x x y x= :
Dividindo-se os coeficientes e as partes literais sepa-
radamente, temos:
5
4
  3
2
5
4
2
3
5 2
4 3
: = · = ·
·
= 10
12
5 2
6 2
5
6
= ·
·
=
x3 : x = x3 – 1 = x2
Portanto, ( )5
4
3 2x y : ( )3
2
3 2x x: = = 5
6
3 2x x y. Substituindo nesse 
monômio os valores x = ‒3 e y = 6, obtemos:
5
6
 ⋅ (‒3)2 ⋅ (6) = ( )5 3 6
6
2· – · = 5 9 6
6
· ·
 = 5 ⋅ 9 = 45 
37. a) Identificamos no triângulo que a base mede x e a 
altura mede y. Assim, o semiproduto da medida 
da base pela altura é xy1
2
. Além disso, a área do 
retângulo é dada pelo produto das medidas de seus 
dois lados: 
(2x) ⋅ y
2
2 1
2





 = . ⋅ (x ⋅ y) = xy 
Logo, a soma de ambas as medidas de área é:
1
2
 xy + xy = 3
2
 xy
37. b) Substituindo no monômio 3
2
 xy os valores x = 0,5 e 
y = 1,2, obtemos:
3
2
 ⋅ 0,5 ⋅ 1,2 = 1,5 ⋅ 0,5 ⋅ 1,2 = 0,9
38. a) Pela figura, percebemos que os lados da piscina 
medirão 2a e 3a. Logo, a medida da área da piscina é 
dada pelo produto:
(2a) ⋅ (3a) = 2 ⋅ 3 ⋅ (a ⋅ a) = 6 ⋅ a1 + 1 = 6a²
LX
38. b) O gramado ocupará a parte do terreno que não é 
ocupada pela piscina. Percebemos que os lados do 
terreno medem 5a e 4a (a + 3a + a = 5a e a + 2a + a = 
= 4a). Logo, a medida da área total do terreno é dada 
pelo produto:
(5a) ⋅ (4a) = 20a²
Logo, a medida da área de gramado é 14a², pois:
20a² ‒ 6a² = 14a²
38. c) Substituindo a por 3,2 m na expressão obtida ante-
riormente, temos:
14 ⋅ (3,2)² = 14 ⋅ 10,24 = 143,36
Logo, 143,36 m² é a medida da área de grama uti-
lizada.
39. a) (+2x)2 = (+2)2 ⋅ x2 = 4 ⋅ x2 = 4x2
39. b) (‒3a2)3 = (‒3)3 ⋅ (a2)3 = (‒3) ⋅ (‒3) ⋅ (‒3) ⋅ a2 ⋅ 3 = ‒27a6
39. c) (+2x2y)3 = (+2)3 ⋅ (x2)3 ⋅ y3 = 8 ⋅x2 ⋅ 3 ⋅ y3 = 8x6y3
39. d) (‒xy2)4 = (‒1)4 ⋅ x4 ⋅ (y2)4 = 1 ⋅ x4 ⋅ y2 ⋅ 4 = x4y8
39. e) (‒5x4y)1 = ‒5x4y
39. f) ( ) ( )1
2
1
2
2 2
a a– = – · ⋅ a2 = ( ) ( )1
2
1
2
2a– · – · = 1
4
2 2a a
40. A medida de área de um quadrado pode ser calculada 
elevando-se a medida de seu lado ao quadrado. Desse 
modo, o quadrado de lado medindo 5
3
a tem medida 
de área igual a a25
9
2, pois:
5
3
5
3
2 2
2a a( ) ( )= . = 5
3
5
3
2. .( ) a = 25
9
2 2a a
41. a) A medida de volume de um cubo pode ser calculada 
elevando-se a medida de seu lado ao cubo (ou seja, 
à terceira potência). Logo, para um cubo de lado 
medindo x
2
 cm, a medida de seu volume será:
x x
2
1
2
3 3
3( ) ( )= . = 1
2
1
8
3
3
3 3





. x x=
41. b) A superfície do cubo é composta de seis faces quadra-
das. A medida da área de cada superfície é dada por:
x x x
2
1
2
1
4
2 2
2 2( ) ( )= =. 
Como há seis dessas faces, a área total é dada por:
6 1
4
6 1
4
2 2. . .x x( ) = = 
6 1
4
2
. . x = x3
2
2
Pense mais um pouco…
Página 97 
a) 9 ⋅ 1 + 2 = 9 + 2 = 11
9 ⋅ 12 + 3 = 108 + 3 = 111
9 ⋅ 123 + 4 = 1 107 + 4 = 1 111
9 ⋅ 1 234 + 5 = 11106 + 5 = 11 111
b) Extrapolando o padrão das expressões anteriores, 
conclui-se que o valor de 9 ⋅ 12 345 + 6 é 111 111.
c) 9 ⋅ 123 456 + 7 = 1 111104 + 7 = 1 111111
Para saber mais
Página 100 
a) Considerando x = 0,777…, temos
10x ‒ x = 7,777… ‒ 0,777… ⇒ 
⇒ 9x = 7,000… ⇒ 9x = 7 ⇒ 7
9
x =
Logo, 7
9
 é a fração geratriz. 
b) 7,7777… = 10 ⋅ 0,7777…
Pelo item a, já sabemos que:
0,7777… = 7
9
Portanto: 7,7777… = 10 ⋅ 7
9
70
9
=
c) Considerando x = 0,525252…, temos
100x ‒ x = 52,525252… ‒ 0,525252…. ⇒ 99x = 52,000000… ⇒ 
⇒ 99x = 52 ⇒ 52
99
x =
Logo, 52
99
 é a fração geratriz.
d) Como 0,525252... = 52
99
, temos que:
52,525252… = 100 ⋅ =52
99
5200
99
Exercícios complementares
1. Se a dosagem do medicamento Y anterior estava correta, 
sabe-se que, para ele, a fórmula de Young foi aplicada 
com sucesso. Como para o medicamento Y a dose de 
adulto é de 42 mg e a da criança é 14 mg, chamando x 
a idade da criança, podemos escrever:
14 = x
x + 12( ) ⋅ 42
Desenvolvendo:
14 = x
x + 12( ) ⋅ 42 ⇒ 14 = 42
12
x
x +
 ⇒ 14 ⋅ (x + 12) = 42x ⇒ 
⇒ 14x + 168 = 42x ⇒ 42x ‒ 14x = 168 ⇒ 28x = 168 ⇒ 
⇒ x = 168
28
 = 6
Assim, a criança tem 6 anos. A fórmula de Young, apli-
cada agora ao medicamento X, fica:
dose de criança = 6
6 12
60 6
18
60
+
. .( ) = = 6
6 3
60
·
· =
1
3
60· = · = 60
3
 = 20
Portanto, a dose é de 20 mg. Alternativa b. 
2. a) Os lados do retângulo medem 2y cm e 10 y cm. Assim, 
o perímetro é dado, em cm, por:
10y + 10y + 2y + 2y = 24y
2. b) O retângulo se decompõe em 20 quadrados equiva-
lentes. Como cada quadrado tem lado medindo y cm, 
sua área mede, em cm²: y ⋅ y = y². Como o retângulo 
é formado por 20 desses quadrados, 20y² cm² é sua 
área total.
LXI
8. a) (–3x2y3)2 = (‒3)2 ⋅ (x2)2 ⋅ (y3)2 = 9 ⋅ x2 ⋅ 2 ⋅ y3 ⋅ 2 = 9x4y6
8. b) a b( )6
3
2 4
3
= (2a2b4)3 = (2)3 ⋅ (a2)3 ⋅ (b4)3 =
= 8 ⋅ a2 ⋅ 3 ⋅ b4 ⋅ 3 = 8a6b12
8. c) ( ) ( )2
5
2
5
2 2
2x x– = – · = 4
25
2 2x x
8. d) (‒0,4a)3 = (‒0,4)3 ⋅ a3 = ‒0,064a3
Verificando
5. ‒2x2 + 8xy ‒ 3y2 + y2 + 2x2 ‒ 5xy + x2y = 
= ‒2x2 + 2x2 ‒ 3y2 + y2 + 8xy ‒ 5xy + x2y = 
= ‒2y2 + 3xy + x2y
Alternativa c.
6. Comparando as partes literais, temos:
6. a) Ambas são iguais a a2b.
6. b) ab ≠ b
6. c) x3 ≠ x
6. d) m2n3 ≠ m3n2
Alternativa a.
7. Como a quadra é retangular, a medida de sua área é 
dada pelo produto:
(8b) ⋅ a b( )9
2
2 = 8 ⋅ 9
2
 ⋅ (b ⋅ a2b) = 
8 9
2
·
 ⋅ (a2 ⋅ b1 + 1) = 36a2b2
Alternativa a.
8. xy x y x y= · · = · · ·( ) ( ) ( )2
3
2
3
2
3
 3
5 5
5 3 5
5
5
5 3 5 =
32
243
5 15x y= · · = 32
243
x5 y15
Alternativa b.
9. A medida do volume de um prisma é dada pelo produto 
entre as medidas da área da base e da altura. Se a base 
é quadrada, a medida de sua área é igual ao quadrado 
da medida das arestas dessa base. Assim, temos:
abc( )1
2
3
2
 = ( )1
2
2
 ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ (c3) 2 = 1
4
 ⋅ a2 ⋅ b2⋅ c3 ⋅ 2 = 1
4
 a2b2c6
Como nos foi dada a medida de volume 3
16
2 4 7a b c( ) con-
siderando h a medida da altura, temos:
3
16
a2b4c7 = a b c( )1
4
2 2 6 ⋅ h ⇒ a b c( )3
16
2 4 7 : a b c( )1
4
2 2 6 =
= ( )3
16
  1
4
: (a2 : a2) ⋅ (b4 : b2) ⋅ (c7 : c6) ⇒ 
⇒ h = ( )3
16
4
1
· ⋅ 1 ⋅ b4 – 2 ⋅ c7 – 6 ⇒ h = 




3 4
4 4
·
·
 ⋅ b2 ⋅ c1 ⇒
⇒ h = 3
4
b2c
Alternativa c.
2. c) A área pintada de amarelo é formada por sete dos 
quadrados de área medindo y² cm2. Portanto, sua 
área mede 7y² cm2.
3. a) (‒3x) + (‒8x) = ‒3x ‒ 8x = ‒11x
3. b) (‒12y) + (+6y) = ‒12y + 6y = ‒6y
3. c) (+5ab) ‒ (‒7ab) = 5ab + 7ab = 12ab
3. d) (+2xy) + (+13xy) = 2xy + 13xy = 15xy 
4. a) 13,75 = 13,75 ⋅ 100
100
1375
100
55
4
= =
x = 12,833… ⇒ 10x = 128,333… ⇒ 10x ‒ x = 128,333… ‒ 
‒12,833… ⇒ 9x = 115,5 ⇒ 9x = 
1155
10
 ⇒
⇒ x = 
1155
10 9. ⇒ x = 
77
6
Assim:
13,65 + 3
4
 ‒ 12,8333… = 55
4
3
4
+ - ‒ 77
6
 = 
= 
165 9 154
12
+ --
 = 20
12
5
3
=
4. b) x = 14,166… ⇒ 10x = 141,666… ⇒ 
⇒ 10x ‒ x = 141,666… ‒ 14,166… ⇒ 9x = 127,5 ⇒
⇒ 9x = 
1275
10
 ⇒ x = 
·
1275
10 9
 ⇒ x = 85
6
Assim:
(14,1666…) ⋅ ( ) ( )7
5
  5
3
85
6
  7
3
5
3
: = · : = 
=
85
6
7
3
3
5( ) ( ). . = 85
6
7
5
· = 
= 
( )5 17 7
6 5
· ·
·
 = 
17 7
6
119
6
· =
5. a) ‒12a + 9a + 5a = ‒12a + 14a = 2a
5. b) 15y ‒ 10y ‒ 6y = 15y ‒ 16y = ‒y
5. c) 3
4
1
3
1
2
ax ax ax– + – = 9 4 6
12
– + – ax = 11
12
ax–
6. a) (+2x) ⋅ (+3x2) = 2 ⋅ 3 ⋅ (x ⋅ x2) = 6 ⋅ x1 + 2 = 6x3
6. b) (‒3y) ⋅ (4y2) = (‒3) ⋅ 4 ⋅ (y ⋅ y2) = ‒12 ⋅ y1 + 2 = ‒12y3
6. c) (‒4x2y) ⋅ (‒3xy2) = (‒4) ⋅ (‒3) ⋅ (x2y ⋅ xy2) = 12 ⋅ (x2 + 1 ⋅ y1 + 2) = 
= 12x3y3
6. d) (‒5ab) ⋅ (+3a) = (‒5) ⋅ (3) ⋅ (ab ⋅ a) = ‒15 ⋅(a1 + 1 ⋅ b) = ‒15 a2b
7. a) Como ‒20 : 4 = ‒5 e
a5 : a2 = a5 ‒ 2 = a3, temos: (‒20a5) : (+4a2) = ‒5a3
7. b) Como 3 : 4 = 3
4
 e
(xy3) : y = xy3 – 1 = xy2, temos: (+3xy3) : (4y) = 3
4
xy2
7. c) Como ‒24 : 4 = ‒6 e
(a3b2) : ab = a3 – 1b2 – 1 = a2b, temos:
(‒24a3b2) : (4ab) = ‒6a2b
7. d) Como ‒3,2 : 0,5 = ‒6,4 e 
(a3b) : a = a3 – 1b = a2b, temos: (‒3,2a3b) : (0,5a) = 6,4a2b
LXII
Capítulo 5 – Polinômios e frações algébricas 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Conceituar polinômios e operar com eles.
 • Conceituar fração algébrica.
 • Resolver problemas envolvendo o cálculo de valor numéricode 
polinômios e frações algébricas.
 • Utilizar o conceito de perímetro de polígonos e de área de retân-
gulos para compor expressões algébricas.
 • Explorar gráficos de colunas duplas e de linhas duplas.
 • Aplicar os conceitos de interpolação e de extrapolação gráfica.
Neste capítulo, amplia-se o estudo de conteúdos da unidade 
temática Álgebra e são explorados problemas envolvendo po-
linômios e frações algébricas. Os objetivos relacionados a esses 
conteúdos se justificam à medida que são trabalhados de maneira a 
associar Geometria, Números e Álgebra, a fim de que os estudantes 
assimilem os procedimentos e operações envolvendo polinômios. 
Deste modo, a competência específica 3 é desenvolvida. Além 
disso, os objetivos desse capítulo, principalmente os relacionados 
ao estudo de polinômios, contribuem para mobilizar e desenvolver 
a competência específica 5, pois os estudantes poderão adquirir 
mais autonomia para modelar e resolver situações e problemas do 
cotidiano, por meio de expressões algébricas.
Desenvolvem-se, ainda, as competências gerais 2 e 4 e a 
competência específica 2, pois os estudantes são incentivados a 
exercitar a curiosidade intelectual, a argumentar e a desenvolver 
o raciocínio lógico à medida que precisam expressar situações-
-problema, por meio de polinômios.
Ao possibilitar que os estudantes explorem e apliquem concei-
tos relacionados à interpolação e extrapolação gráficas, analisando 
gráficos de colunas duplas e gráficos de linhas duplas, eles desen-
volvem a competência específica 4.
O contexto utilizado para explorar pesquisas censitárias e 
pesquisas amostrais, neste capítulo, favorece o desenvolvimento 
das competências gerais 9 e 10 e a competência específica 8, 
pois os estudantes deverão, em grupos, pesquisar e discutir sobre 
a importância de agir e tomar decisões com base em princípios 
democráticos, solidários e inclusivos.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo 
do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas 
de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo 
de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como 
determinar medida de terrenos.
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos 
para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Na Unidade Temática Álgebra, situações que exploram o pen-
samento algébrico também são o foco deste capítulo, em que são 
abordados polinômios e suas operações e frações algébricas e que 
desenvolve a habilidade (EF08MA06), ampliando e aprofundando 
os conhecimentos abordados no capítulo anterior.
As Unidades Temáticas Grandezas e medidas e Probabilidade 
e estatística articulam-se, respectivamente, com a presença do 
conceito de área de retângulos associados a expressões algébricas, 
mobilizando a habilidade (EF08MA19) e na seção Trabalhando a 
informação, com a interpretação de gráficos de colunas duplas e 
de linhas duplas e noções de interpolação e extrapolação gráfica 
que desenvolve aspectos da habilidade (EF08MA23).
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Exercícios propostos
3. a) Como o lucro é a diferença entre o valor de venda e 
o valor de compra, conclui-se que o lucro por cader-
no pode ser expresso algebricamente por: y ‒ x. E o 
lucro, por uma quantidade z de cadernos, que pode 
ser expresso por: z ⋅ (y ‒ x) ou z ⋅ y ‒ z ⋅ x 
3. b) Substituindo x = 3,2, y = 8,7 e z = 24, temos:
24 ⋅ (8,7 ‒ 3,2) = 24 ⋅ 5,5 = 132
O lucro é de R$ 132,00.
4. a) Como a medida da área do retângulo é igual ao pro-
duto entre as medidas de largura e altura, a medida 
da área do ladrilho é expressa algebricamente por 
a ⋅ b ou ab. 
4. b) Basta multiplicar a medida da área de um ladrilho 
pela quantidade de ladrilhos; portanto, 120 ⋅ ab ou 
120ab.
4. c) Considerando a = 15 cm = 0,15 m e b = 20 cm = 0,2 m, 
temos: 120 ⋅ 0,15 ⋅ 0,20 = 3,6.
Então, a medida da área é 3,6 m2.
6. b) Como cada espelho fica abaixo de um degrau ou do 
patamar, o número total de espelhos é 14 + 1 = 15. 
Portanto, a medida da altura da escada é expressa 
por: 15 ⋅ E. Então, com E = 17 cm, conclui-se que a 
altura da escada mede 2,55 m, pois: 15 ⋅ E = 15 ⋅ 17 = 
= 255 e 255 cm = 2,55 m.
6. c) Com um patamar de 65 cm e 14 degraus, tem-se que o 
comprimento horizontal da escada mede: 14 ⋅ P + 65. 
A medida do comprimento é calculada fazendo 
P = 30 ⇒ 14 ⋅ 30 + 65 = 485; e como 485 cm = 4,85 m, a 
medida do comprimento horizontal‒lateral é 4,85 m.
7. a) (2x + y + 3) + (‒5x + y ‒ 1) = 2x + y + 3 ‒ 5x + y ‒ 1 = 
= 2x ‒ 5x + y + 3 ‒ 1 = ‒3x + 2y + 2 
7. b) 7
5
2
3
2
– +a ab b


 + 4
3
2
–ab b


 = 7
5
a ‒ 2ab + 
3
2b + 
+ 4ab
3
7
5
2
– =b a – 2ab + 4ab 
3 3
7
5
2
2 2
+ – = +b b a ab
7. c) 3ab ‒ 6a2 + a2 ‒ 4ab + 2b2 + 5a2 ‒ 3b2 = (3ab ‒ 4ab) + 
+ (‒6a2 + a2 + 5a2) + (2b2 ‒ 3b2) = ‒ab + 0a2 + (‒b2) = 
= ‒ab ‒ b²
7. d) 
3
2
5
1
4
2
3
1
4
2 2
+ – + –x x x = 
3
2
3
2
5
2 2
+ + + –x x x( )



2
5
1
4
1
4
+ + + – –x( ) ( ) = 3
3
2
5
2
4
2
+x x − = 2
5
1
2
2 + –x x
LXIII
8. a) (x2 ‒ 3x + 5) + (x2 + 2x ‒ 4) = x2 ‒ 3x + 5 + x2 + 2x ‒ 4 = 
= x2 + x2 ‒ 3x + 2x + 5 ‒ 4 = 2x2 ‒ x + 1
8. b) (x2 ‒ 3x + 5) + (x2 + 2x ‒ 4) + (x2 + 5x ‒ 1) =
= x2 ‒ 3x + 5 + x2 + 2x ‒ 4 + x2 + 5x ‒ 1 =
= x2 + x2 + x2 ‒ 3x + 2x + 5x + 5 ‒ 4 ‒ 1 = 3x2 + 4x
8. c) (x2 ‒ 3x + 5) + (x2 + 5x ‒ 1) = x2 ‒ 3x + 5 + x2 + 
+ 5x ‒ 1 = x2 + x2 ‒ 3x + 5x + 5 ‒ 1 = 2x2 + 2x + 4
8. d) (x2 + 2x ‒ 4) + (x2 + 5x ‒ 1) = x2 + 2x ‒ 4 + x2 + 
+ 5x ‒ 1 = x2 + x2 + 2x + 5x ‒ 4 ‒ 1 = 2x2 + 7x ‒ 5
9. a) (5x2 ‒ 3x + 4) ‒ (2x2 + 4x ‒ 3) = 5x2 ‒ 3x +
+ 4 ‒ 2x2 ‒ 4x + 3 = 5x2 ‒ 2x2 ‒ 3x ‒ 4x + 4 + 3 =
= 3x2 ‒ 7x + 7
9. b) (2x2 + 4x ‒ 3) ‒ (5x2 ‒ 3x + 4) = 2x2 + 4x ‒ 3 ‒ 5x2 + 
+ 3x ‒ 4 = 2x2 ‒ 5x2 + 4x + 3x ‒ 3 ‒ 4 = ‒3x2 + 7x ‒ 7
9. c) (5x2 ‒ 3x + 4) + (x2 ‒ 3x) ‒ (2x2 + 4x ‒ 3) = 5x2 ‒ 3x + 
+ 4 + x2 ‒ 3x ‒ 2x2 ‒ 4x + 3 = 5x2 + x2 ‒ 2x2 ‒ 3x ‒ 3x ‒ 
‒ 4x + 4 + 3 = 4x2 ‒ 10x + 7
9. d) (5x2 ‒ 3x + 4) ‒ (x2 ‒ 3x) + (2x2 + 4x ‒ 3) = 5x2 ‒ 3x + 
+ 4 ‒ x2 + 3x + 2x2 + 4x ‒ 3 = 5x2 ‒ x2 + 2x2 ‒ 3x + 
+ 3x + 4x + 4 ‒ 3 = 6x2 + 4x + 1
10. Como em uma adição de 2 parcelas, a soma menos uma 
das parcelas é igual à outra, temos:
(‒3x + 2y + 2) ‒ (2x + y + 3) = ‒3x + 2y + 2 ‒ 2x ‒ y ‒ 3 = 
= ‒3x ‒ 2x + 2y ‒ y + 2 ‒ 3 = ‒5x + y ‒ 1
11. Como em uma subtração, o minuendo menos o resto é 
igual ao subtraendo, temos:
(2x3 ‒ 3x2 + x ‒ 4) ‒ (‒3x3 ‒ 5x2 + 4x + 1) = 
= 2x3 ‒ 3x2 + x ‒ 4 + 3x3 + 5x2 ‒ 4x ‒ 1 =
= 2x3 + 3x3 ‒ 3x2 + 5x2 + x ‒ 4x ‒ 4 ‒ 1 =
= 5x3 + 2x2 ‒ 3x ‒ 5
12. a) 10x2 ‒ (5x + 6) ‒ [2x ‒ (3x2 ‒ 2)] =
= 10x2 ‒ 5x ‒ 6 ‒ [2x + 3x2 + 2] =
= 10x2 ‒ 5x ‒ 6 ‒ 2x + 3x2 ‒ 2 =
= 10x2 + 3x2 ‒ 5x ‒ 2x ‒ 6 ‒ 2 = 13x2 ‒ 7x ‒ 8
12. b) 5a ‒ [3b + 7 ‒ (4a ‒ 5b) + (2 ‒ a)] = 5a ‒ [3b + 7 ‒ 4a + 
+ 5b + 2 ‒ a] = 5a ‒ 3b ‒ 7 + 4a ‒ 5b ‒ 2 + a = 5a + 
+ 4a + a ‒ 3b ‒ 5b ‒ 7 ‒ 2 = 10a ‒ 8b ‒ 9
12. c) 1
2
2 1
2
1
3
2 2+ – – – + +x x x x( ) ( ) = 1
2
22 2+ – + –x x
1
2
1
3
2 2+ – –x x = 1
3
1
2
2 1
2
2 2– + – – +x x x x = 
= 3 1
3
1 2
2
4 1
2
2– + – + – +x x = 2
3
1
2
3
2
2 – –x x
13. Do enunciado é possível encontrar algumas informa-
ções e preencher o seguinte quadro:
Quantidade 
de moedas de 
x centavos
Quantidade 
de moedas de 
y centavos
Quantidade 
de moedas 
de z centavos
Total em 
centavos
a) Início 18 30 40 18x + 30y + 
+ 40z
b) 1o mês 18 + 8 = 26 30 + 10 = 40 40 26x + 40y + 
+ 40z
c) mês 
seguinte 26 40 ‒ 12 = 28 40 ‒ 8 = 32 26x + 28y + 
+ 32z
14. a) (2x + 1) + (3x ‒ 2) = 2x + 3x + 1 ‒ 2 = 5x ‒ 1
14. b) (3x ‒ 2) + (2x) = 3x + 2x ‒ 2 = 5x ‒ 2
14. c) (2x + 1) + (3x ‒ 2) + (2x) = 2x + 3x + 2x + 1 ‒ 2 = 7x ‒ 1
16. a) 7x ⋅ (2x ‒ 5) = 7x ⋅ 2x ‒ 7x ⋅ 5 = 14x2‒ 35x
16. b) (3a2 ‒ 2a ‒ 1) ⋅ 5a = 3a2 ⋅ 5a ‒ 2a ⋅ 5a ‒ 1 ⋅ 5a =
= 15a3 ‒ 10a2 ‒ 5a
16. c) ‒3x ⋅ (4x2 ‒ 3x + 1) = ‒3x ⋅ 4x2 ‒ 3x ⋅ (‒3x) ‒ 3x ⋅ 1 =
= ‒12x3 + 9x2 ‒ 3x
16. d) 2
5
1
4
2
5
2
5
1
4
2
5
1
10
2· – = · – · · = –a a a a a a a( )
16. e) (0,3x2 ‒ 1,4x) ⋅ (‒0,2x3) = 0,3x2 ⋅ (‒0,2x3) ‒ 1,4x ⋅ (‒0,2x 3) = 
= ‒0,06x5 + 0,28x4
16. f) 1
3
4
7
( 3 ) 1
3
( 3 ) 4
7
( 3 )2 3 2 3+ · – = · – + · – =y y y y y y y y( )
12
7
3 4– = – –y y y
17. a) A soma das medidas das áreas é (6x2 + x), pois:
(2x + 1) ⋅ x + 2x ⋅ 2x = 2x ⋅ x + 1 ⋅ x + 4x2 =
= 2x2 + x + 4x2 = 6x2 + x
17. b) Com x = 5, temos: 6x2 + x = 6 ⋅ 5 (5)2 + (5) = 6 ⋅ 25 + 5 = 
= 150 + 5 = 155
Então, esse é o valor numérico do binômio.
17. c) Como 100 = 10 ⋅ 10, tem-se que o lado do quadrado 
mede 10. Então: 2x = 10 ⇒ 2
2
10
2
=x ⇒ x = 5
19. a) (5x ‒ 1) ⋅ (5x + 1) = 5x ⋅ 5x + 5x ⋅ 1 ‒ 1 ⋅ 5x ‒ 1 ⋅ 1 =
= 25x2 + 5x ‒ 5x ‒ 1 = 25x2 ‒ 1
19. b) (a + b) ⋅ (a + b) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b =
= a2 + 2ab + b2
19. c) (2x2 ‒ 3x ‒ 6) ⋅ (5x ‒ 2) =
= 2x2 ⋅ 5x ‒ 2x2 ⋅ 2 ‒ 3x ⋅ 5x + 3x ⋅ 2 ‒ 6 ⋅ 5x + 6 ⋅ 2 =
= 10x3 ‒ 4x2 ‒ 15x2 + 6x ‒ 30x + 12 =
= 10x3 ‒ 19x2 ‒ 24x + 12
19. d) 2 3
5
1
2
+ · –a b a b( ) ( ) =
= 2a ⋅ a ‒ 2a ⋅ 1
2
3
5
3
5
1
2
· + · – ·a b b a b b = 
= 2 3
5
3
10
2 2– + –a ab ab b = 
= 2 5 3
5
3
10
2 2+ – + –a ab b = 
= 2 2
5
3
10
2 2– –a ab b
21. a) A ⋅ B = (x2 + 3x ‒ 2)( x + 2) =
= x2 ⋅ x + x2 ⋅ 2 + 3x ⋅ x + 3x ⋅ 2 ‒ 2 ⋅ x ‒ 2 ⋅ 2 =
= x3 + 2x2 + 3x2 + 6x ‒ 2x ‒ 4 = x3 + 5x2 + 4x ‒ 4
A ⋅ C = (x2 + 3x ‒ 2)(x ‒ 3) =
= x2 ⋅ x ‒ x2 ⋅ 3 + 3x ⋅ x ‒ 3x ⋅ 3 ‒ 2 ⋅ x + 2 ⋅ 3 =
= x3 ‒ 3x2 + 3x2 ‒ 9x ‒ 2x + 6 = x3 ‒ 11x + 6
A ⋅ B + A ⋅ C = (x3 + 5x2 + 4x ‒ 4) + (x3 ‒ 11x + 6) =
= x3 + x3 + 5x2 + 4x ‒ 11x ‒ 4 + 6 = 2x3 + 5x2 ‒ 7x + 2
LXIV
21. b) B + C = (x + 2) + (x ‒ 3) = x + x + 2 ‒ 3 = 2x ‒ 1
A ⋅ (B + C ) = (x2 + 3x ‒ 2) ⋅ (2x ‒ 1) =
= x2 ⋅ 2x ‒ x2 ⋅ 1 + 3x ⋅ 2x ‒ 3x ⋅ 1 ‒ 2 ⋅ 2x + 2 ⋅ 1 =
= 2x3 ‒ x2 + 6x2 ‒ 3x ‒ 4x + 2 = 2x3 + 5x2 ‒ 7x + 2 
22. a) 3x ⋅ (2x ‒ 3) ⋅ ( x + 2) = (3x ⋅ 2x ‒ 3x ⋅ 3) ⋅ (x + 2) = 
= (6x2 ‒ 9x) ⋅ ( x + 2) = 6x2 ⋅ x + 6x2 ⋅ 2 ‒ 9x ⋅ x ‒ 9x ⋅ 2 = 
= 6x3 + 12x ‒ 9x2 ‒ 18x = 6x3 + 3x2 ‒ 18x
22. b) ‒2x ⋅ ( x + 5)⋅(2x ‒ 5) = (‒2x ⋅ x ‒ 2x ⋅ 5) ⋅ (2x ‒ 5) =
= (‒2x2 ‒ 10x) ⋅ (2x ‒ 5) = ‒2x2 ⋅ 2x + 2x2 ⋅ 5 ‒ 10x ⋅ 2x + 10x ⋅ 5 =
= ‒4x3 + 10x2 ‒ 20x2 + 50x = ‒4x3 ‒ 10x2 + 50x
22. c) (a ‒ 2b) ⋅ (a + 2b) ⋅ (a ‒ b) =
= (a ⋅ a + a ⋅ 2b ‒ 2b ⋅ a ‒ 2b ⋅ 2b) ⋅ (a ‒ b) =
= (a2 + 4ab ‒ 4ab ‒ 4b2) ⋅ (a ‒ b) = (a2 ‒ 4b2) ⋅ (a ‒ b) =
= a2 ⋅ a ‒ a2 ⋅ b ‒ 4b2 ⋅ a + 4b2 ⋅ b = a3 ‒ a2b ‒ 4ab2 + 4b3
22. d) (a ‒ b) ⋅ (a + b) ⋅ (3a ‒ b) =
= (a ⋅ a + a ⋅ b ‒ b ⋅ a ‒ b ⋅ b) ⋅ (3a ‒ b) =
= (a2 + ab ‒ ab ‒ b2) ⋅ (3a ‒ b) = (a2 ‒ b2) ⋅ (3a ‒ b) =
= a2 ⋅ 3a ‒ a2 ⋅ b ‒ b2 ⋅ 3a + b2 ⋅ b = 3a3 ‒ a2b ‒ 3ab2 + b3
22. e) 
2
1
3
2 1
2
+ · –x x x( ) ( ) = 
2 2
1
3
2 1
2
· + · · –x x x x( ) ( ) =
= 
2
1
2 3
2 1
2
2
+ ·
·
· –x x
x( )



 = 
2 6
2 1
2
2
+ · –x x x( )


 = 
= 
2
2
6
2
2
1
2 6
1
2
2 2
· + · – · – ·x x x x x x =
= 
3 4 12
3
2 2
+ – –x x x x = 4
12
3
12 12
3
2 2
– –x x x x+ =
= 
12 12
3
2
+ –x x x
24. a) (8x5 + 6x3) : (+2x2 ) = 8x5 : (+2x2) + 6x3 : (+2x2) =
= (8 : 2) x5 ‒ 2 + (6 : 2) x3 ‒ 2 = 4x3 + 3x
24. b) (12ab + 15a2b + 9ab2) : (3ab) =
= 12ab : (3ab) + 15a2b : (3ab) + 9ab2 : (3ab) = 4 + 5a + 3b 
24. c) (20x ‒ 10x2) : (‒5x) = 20x : (‒5x) ‒ 10x2 : (‒5x) = ‒4 + 2x
24. d) (a3 + a2 + a) : (a) = a3 : a + a2 : a + a : a = a2 + a + 1
24. e) (x5 + x2): (‒x2) = x5 : (‒x2) + x2 : (‒x2) = ‒x3 ‒ 1
24. f) (7x2 ‒ 8x + 5) : (‒1) = 7x2 : (‒1) ‒ 8x : (‒1) + 5 : (‒1) =
= ‒7x2 + 8x ‒ 5
25. (21x3 ‒ 28x2 + 14x) : (‒7x) = 21x3 : (‒7x) ‒ 28x2 : (‒7x) + 
+ 14x : (‒7x) = ‒3x2 + 4x ‒ 2
26. (‒8xy + 9x2y ‒ 6xy2): (‒4xy) =
= ‒8xy : (‒4xy) + 9x2y : (‒4xy) ‒ 6xy2 : (‒4xy) = 2 ‒ 2,25x + 1,5y
27. 7
3
1
4
1
2
2 + : –x x x( ) ( ) = 7
3
1
2
1
4
1
2
2 : – + : –x x x x( ) ( ) = 
= 7
3
2
1
1
4
2
1
– · – ·x = 14
3
1
2
– +x
28. [(25x2 ‒ 15x) : (‒5x)] ⋅ (5x + 3) =
= [25x2 : (‒5x) ‒ 15x : (‒5x)] ⋅ (5x + 3) = [‒5x + 3] ⋅ (5x + 3) =
= ‒5x ⋅ 5x + (‒5x) ⋅ 3 + 3 ⋅ 5x + 3 ⋅ 3 =
= ‒25x2 ‒ 15x + 15x + 9 = ‒25x2 + 9 
32. M ⋅ (2x ‒ 1) = 6x2 ‒ 7x + 2
M = (6x2 ‒ 7x + 2) : (2x ‒ 1) = 3x ‒ 2, pois:
 6 | 
 3
 
x x x
x x x
2
3
7 2 2 1
6 3 2
--- ---
-- ---
+
+
 
 
--
---
4 2
4 2
0
x
x
+
+
33. a) x + 4, pois: 
 x | x 
 
 
2
3
7 12 3
3 4
4 1
+ + +
+
+ +
x
x x x
x
-- ---
22
4 12 -- ---x
0
33. b) 2x ‒ 5, pois:
0
 6 | 3 
 2
x x x
x x x
2
3
11 10 2
6 4 5
--- ---
-- --- ---
+
 
 
-- ---15 10
15 10
x
x+ +
33. c) 2x2 ‒ 3x, pois: 
0
 2 | 
 
x x x x x x
x x x
4 3 2 2
4 3 2
11 16 6 4 2
2 8 4
--- --- ---
-- ---
+ +
+ 2
 
 
x x
x x x
2
3 2
3
3 12 6
3
---
--- ---+
+ xx x x3 212 6-- +
34. a) O quociente é 2x2 ‒ 5x ‒ 7 e o resto é ‒20, pois: 
 2 | 
 
x x x x
x x
3 2
3 2
9 3 6 2
2 4
--- ---
--
+ +
+ 2
 
 
x x
x x
x
2
2
2
5 7
5 3
5 10
--- ---
--
---
+
+ xx
x
x
 
 
 
--- ---
---
7 6
7 14+
 --- 20
34. b) O quociente é 2a + 1 e o resto é a ‒ 2, pois:
 6 | 3 
 
a a a a a
a a a
3 2 2
3 2
7 2 1 5 3
6 10 6
--- ---
-- ---
+ + +
+ 2
 
 
a
a a
a a
+
+ +
+
1
3 4 1
3 5
2
2
---
--- ----
---
3
2 a
35. O polinômio A desejado é tal que:
A ⋅ (a2 + 2a ‒ 5) = 3a3 + 2a2 ‒ 23a + 20
Portanto, A = (3a3 + 2a2 ‒ 23a + 20) : (a2 + 2a ‒ 5) = 3a ‒ 4, 
pois: 
 3 | 
 
a a a a a
a a a
3 2 2
3 2
2 23 20 2 5
3 6 15
+ + +
+
--- ---
-- --- 3
 
 
a
a a
a a
---
--- ---
4
4 8 20
4 8 2
2
2
+
+ + + 00
0 
LXV
36. O polinômio que representa a medida da altura é tal que 
pode ser calculado da maneira apresentada a seguir.
(5x2 + 2x ‒ 3) : (5x ‒ 3) = x + 1, pois:
 5 | 5 
 
 
x x x
x x x
2
2
2 3 3
5 3 1
+
+ +
--- ---
--
++
+
5 3
5 3
0
x
x
---
-- 
 
38. a) Se a largura mede x, o dobro da medida da largura, 
em metro, é 2x e, com 15 m, tem-se que a medida do 
comprimento do terreno fica algebricamente expres-
sa por 2x + 15. Portanto, a razão entre as medidas é 
2 15+x
x
.
38. b) Como x = 12, temos:
2 15 2 12 15
12
24 15
12
39
12
13
4
+ = · + = + = =x
x
39. a) Como o consumo é a razão entre a medida da distân-
cia percorrida e a medida de volume de combustível, 
conclui-se que essa razão, em quilômetro por litro, 
é algebricamente expressa por x
y
. 
39. b) O dobro da medida da distância percorrida pela pri-
meira moto é 2x e, como a segunda moto percorreu 
essa medida de distância com (y + 5) litros de gasolina, 
a razão na segunda moto é expressa por 2
5+
x
y
.
40. O polinômio do denominador deve ser zero. A condição 
y ‒ 6 = 0 implica y = 6.
41. Só não podem ser atribuídos valores para x que façam 
o valor numérico do denominador ser zero. A condi-
ção 2x ‒ 3 ≠ 0 implica 2x ≠ 3, que, por sua vez, implica 
x ≠ 3
2
 (ou x ≠ 1,5).
42. A condição b ‒ 2a ≠ 0 implica b ≠ 2a.
43. Sendo x o saldo da poupança ontem, então o depó-
sito do meu avô foi 4 ⋅ x + 200 e a razão pedida é: 
(4 200) 5 200+ +
=
+
x
x x
x
x
Pense mais um pouco...
Resposta pessoal. Observe se os estudantes percebem 
que, como todo número pode ser decomposto em suas or-
dens utilizando potências de 10, então essa decomposição 
pode ser usada para efetuar operações, como a divisão, de 
modo que essa maneira de dividir se assemelha ao método 
da divisão de polinômios.
Trabalhando a informação
a) O gráfico de colunas é primeiro nessa seção Trabalhando 
a informação, o que fornece dados panorâmicos sobre 
ocorrências nas rodovias federais do Brasil; portanto, a 
resposta esperada é o segundo gráfico dessa seção, comos mesmos dados, porém representados utilizando um 
gráfico de linhas duplas.
d) Podemos aproximar essa quantidade fazendo uma 
média, ou seja, pegando o valor intermediário entre o 
número de acidentes de 2017 e o de 2019; portanto, será 
aproximadamente 78 mil acidentes, pois:
+ =89396 67427
2
156823
2
 = 78411,5 ≃ 78000
e) O procedimento descrito por interpolação gráfica é tra-
çar duas retas como as observadas na figura a seguir, 
concluindo que a quantidade aproximada de acidentes 
com vítimas em 2018 é de 57000.
57 000
60 000
200 000 186 742
122 155
89 396
67 427 64 452
52 76255 756
62 220
71 155
58 716
180 000
160 000
140 000
120 000
100 000
80 000
40 000
20 000
0
2013
2015
2017
2019
2021
2018
Acidentes
com vítimas
Acidentes
Panorama das rodovias federais do Brasil
Q
ua
nt
id
ad
e
Ano
Dados obtidos em: CONFEDERAÇÃO Nacional do Transporte. 
Painel CNT de acidentes rodoviários. Brasília, DF: CNT, dez. 2021. 
Disponível em: https://www.cnt.org.br/painel-acidente. Acesso em: 
23 jun. 2022.
f) Uma estimativa para a quantidade total de acidentes em 2022 
é 63000. Observe a seguir o prolongamento da linha.
200 000 186 742
122 155
89 396
67 427 64 452
52 76255 756
62 220
71 155
58 716
180 000
160 000
140 000
120 000
100 000
80 000
40 000
20 000
0
2013
2015
2017
2019
2021
2022
Acidentes
com vítimas
Acidentes
Panorama das rodovias federais do Brasil
Q
ua
nt
id
ad
e
Ano
60 000
63 000
Dados obtidos em: CONFEDERAÇÃO Nacional do Transporte. Painel 
CNT de acidentes rodoviários. Brasília, DF: CNT, dez. 2021. Disponível 
em: https://www.cnt.org.br/painel-acidente.Acesso em: 23 jun. 2022. 
*Dados de 2022 é uma estimativa.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
LXVI
g) Uma estimativa para acidentes com vítimas para 2022 é 51000 
acidentes.
200 000 186 742
122 155
89 396
67 427 64 452
52 76255 756
62 220
71 155
58 716
180 000
160 000
140 000
120 000
100 000
80 000
40 000
20 000
0
2013
2015
2017
2019
2021
2022
Acidentes
com vítimas
Acidentes
Panorama das rodovias federais do Brasil
Q
ua
nt
id
ad
e
Ano
60.000
63.000
Dados obtidos em: CONFEDERAÇÃO Nacional do Transporte. Painel 
CNT de acidentes rodoviários. Brasília, DF: CNT, dez. 2021. Disponível 
em: https://www.cnt.org.br/painel-acidente.Acesso em: 23 jun. 2022. 
*Dados de 2022 é uma estimativa.
Exercícios complementares
1. a) a = 1, b = 1 e c = 2, então:
a + 2b ‒ 4c = 1 + 2 ⋅ 1 ‒ 4 ⋅ 2 = 1 + 2 ‒ 8 = ‒5
1. b) Para a expressão a + 2b ‒ 4c assumir seu valor má-
ximo, as parcelas a e 2b devem ser as maiores pos-
síveis, enquanto o subtraendo 4c deve ser o menor 
possível. Assim, atribuindo a = 2, b = 2 e c = 0, temos: 
a + 2b ‒ 4c = 2 + 2 ⋅ 2 ‒ 4 ⋅ 0 = 2 + 4 ‒ 0 = 6
1. c) Fazendo um quadro com as 6 possibilidades:
a b c a + 2b ‒ 4c
0 1 2 0 + 2 ⋅ 1 ‒ 4 ⋅ 2 = 0 + 2 ‒ 8 = ‒6
0 2 1 0 + 2 ⋅ 2 ‒ 4 ⋅ 1 = 0 + 4 ‒ 4 = 0
1 0 2 1 + 2 ⋅ 0 ‒ 4 ⋅ 2 = 1 + 0 ‒ 8 = ‒7
1 2 0 1 + 2 ⋅ 2 ‒ 4 ⋅ 0 = 1 + 4 ‒ 0 = 5
2 0 1 2 + 2 ⋅ 0 ‒ 4 ⋅ 1 = 2 + 0 ‒ 4 = ‒2
2 1 0 2 + 2 ⋅ 1 ‒ 4 ⋅ 0 = 2 + 2 ‒ 0 = 4
Da última linha do quadro obtêm-se: a = 2 , b = 1 e c = 0
2. a) (3a2 ‒ 5b) + (5a2 + 5b) = 3a2 + 5a2 ‒ 5b + 5b = 8a2
2. b) (3x2 ‒ 5x + 2) ‒ (x2 + 6x ‒ 4) + (5x ‒ 7) =
= 3x2 ‒ 5x + 2 ‒ x2 ‒ 6x + 4 + 5x ‒ 7 =
= 3x2 ‒ x2 ‒ 5x ‒ 6x + 5x + 2 + 4 ‒ 7 = 2x2 ‒ 6x ‒ 1 
2. c) (a2 ‒ ab) + (b2 ‒ ab) ‒ (a2 + b2) =
= a2 ‒ ab + b2 ‒ ab ‒ a2 ‒ b2 =
= a2 ‒ a2 ‒ ab ‒ ab + b2 ‒ b2 = ‒2ab
2. d) 1
2
2 3
5
2– – – +a b b a( ) ( ) = 1
2
2 3
5
2– – – –a b b a = 
= 1
2
4
2
10
5
3
5
– – – –a a b b = 4
2
10 3
5
– – + – –a a b b =
= 5
2
13
5
– –a b
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
3. a) 3a ‒ (b ‒ a) + (5b ‒ 2a) = 3a ‒ b + a + 5b ‒ 2a =
= 3a + a ‒ 2a ‒ b + 5b = 2a + 4b
3. b) x2 ‒ {3x ‒ [(x + 3) +(x2 ‒ 1)]} =
= x2 ‒ {3x ‒ [x + 3 + x2 ‒ 1]} =
= x2 ‒ {3x ‒ [x2 + x + 2]} =
= x2 ‒ {3x ‒ x2 ‒ x ‒ 2} =
= x2 ‒ {‒x2 + 2x ‒ 2} =
= x2 + x2 ‒ 2x + 2 =
= 2x2 ‒ 2x + 2
3. c) 2y ‒[‒3xy + (‒2x + 5y) ‒ (‒4xy + x)] =
= 2y ‒ [‒3xy ‒ 2x + 5y + 4xy ‒ x] =
= 2y ‒ [‒3xy + 4xy ‒ 2x ‒ x + 5y] =
= 2y ‒ [+xy ‒ 3x + 5y] = 2y ‒ xy + 3x ‒ 5y =
= ‒xy + 3x ‒ 3y
5. a) (x ‒ 2) ⋅ (x + 5) = x ⋅ x + x ⋅ 5 ‒ 2 ⋅ x ‒ 2 ⋅ 5 =
= x2 + 5x ‒ 2x ‒ 10 = x2 + 3x ‒ 10
5. b) (2x ‒ 4) ⋅ (3x + 1) = 2x ⋅ 3x + 2x ⋅ 1 ‒ 4 ⋅ 3x ‒ 4 ⋅ 1 =
= 6x2 + 2x ‒ 12x ‒ 4 = 6x2 ‒ 10x ‒ 4
5. c) (x ‒ 1) ⋅ (x2 + x + 1) =
= x ⋅ x2 + x ⋅ x + x ⋅ 1 ‒ 1 ⋅ x2 ‒ 1 ⋅ x ‒ 1 ⋅ 1 =
= x3 + x2 ‒ x2 + x ‒ x ‒ 1 = x3 ‒ 1
5. d) (a ‒ 1) ⋅ (a2 ‒ 1)(a + 1) =
= [a ⋅ a2 + a ⋅ (‒1) ‒ 1 ‒ a2 ‒ 1 ⋅ (‒1)] (a + 1) =
= [a3 ‒ a2 ‒ a + 1] (a + 1) =
= a3 ⋅ a + a3 ⋅ 1 ‒ a2 ⋅ a ‒ a2 ⋅ 1 ‒ a ⋅ a ‒ a ⋅ 1 + 1 ⋅ a + 1 ⋅ 1 =
= a4 + a3 ‒ a3 ‒ a2 ‒ a2 ‒ a + a + 1 = a4 ‒ 2a2 + 1
6. O polinômio é tal que será (quociente) ⋅ (divisor) + (resto), 
portanto:
(5x2 ‒ 3x + 1) ⋅ (x2 + 2x ‒ 3) + (‒5x + 2) =
= 5x2 ⋅ x2 + 5x2 ⋅ 2x + 5x2 ⋅ (‒3) ‒ 3x ⋅ x2 ‒ 3x ⋅ 2x ‒
‒ 3x ⋅ (‒3) + 1 ⋅ x2 + 1 ⋅ 2x + 1⋅ (‒3) ‒ 5x + 2 =
= 5x4 + 10x3 ‒ 15x2 ‒ 3x3 ‒ 6x2 + 9x + x2 + 2x ‒ 3 ‒ 5x + 2 = 
= 5x4 + 10x3 ‒ 3x3 ‒ 15x2 ‒ 6x2 + x2 + 9x + 2x ‒ 5x ‒ 3 + 2 = 
= 5x4 + 7x3 ‒ 20x2 + 6x ‒ 1
7. O polinômio que satisfaz
A ⋅ (2x ‒ 1) = (8x3 ‒ 14x + 11x ‒ 3) é tal que:
A = (8x3 ‒ 14x +11x ‒ 3) : (2x ‒ 1) = 4x2 ‒ 5x + 3, pois:
 8 | 2 
 
x x x x
x x
3 2
3 2
14 11 3 1
8 4
--- ---
--
+
+ 4
 
 
x x
x x
x
2
2
2
5 3
10 11
10 5
---
---
---
+
+
+ xx
x
x
 6
 
 
---
--
3
6 3+
 0
8. a) B ⋅ C = (2x2 + 5x ‒ 12) ⋅ (2x ‒ 3) =
= 2x2 ⋅ 2x + 2x2 ⋅ (‒3) + 5x ⋅ 2x + 5x ⋅ (‒3) ‒ 12 ⋅ 2x ‒ 12 ⋅ (‒3) =
= 4x3 ‒ 6x2 + 10x2 ‒15x ‒ 24x + 36 =
= 4x3 + 4x2 ‒ 39x + 36
8. b) D2 = (x + 4) ⋅ (x + 4) = x ⋅ x + x ⋅ 4 + 4 ⋅ x + 4 ⋅ 4 =
= x2 + 8x + 16 
LXVII
8. c) B : C = x + 4, pois:
2x 5 12 | 2 3
2 3 4
8 12
8 12
0
2
2
+ – –
– + +
+ –
– +
x x
x x x
x
x
8. d) ([6x2 ‒ 5x ‒ 6 ] + [ 2x2 + 5x ‒ 12]) ⋅ (2x ‒ 3) =
= (6x2 + 2x2 ‒ 5x + 5x ‒ 6 ‒ 12) ⋅ (2x ‒ 3) =
= (8x2 ‒ 18) ⋅ (2x ‒ 3) = 8x2 ⋅ 2x + 8x2 ⋅ (‒3) ‒ 18 ⋅ 2x ‒ 
‒ 18 ⋅ ( ‒ 3) = 16x3 ‒ 24x2 ‒ 36x + 54 
9. Como 5x ⋅ (x ‒ 3) = 5x ⋅ x + 5x ⋅ (‒3) = 5x2 ‒ 15x então a 
divisão é (5x3 + 5x2 ‒ 60x) : (5x2 ‒ 15x) = x + 4, pois:
 5x x x | 5x 
 
3 2 2
3 2
5 60 15
5 15
+
+
--- ---
--
x
x x x
 x
 
 
+
+
+
4
20 60
20 60
2
2
x
x x
---
---
 0
10. (x3 ‒ 2x2 ‒ x + 2) : (x2 ‒ 1) = (x ‒ 2); como é uma divisão 
exata, o resto é zero. Considere a divisão a seguir.
 | 
 
x x x3 2 2
3
2 2 1--- --- ---
--
x
x x
+
+ 
 x
 
 
x ---
-- 
---
2
2 0 2
2 2
2
2
x
x
+ +
+ 
 0
11. Para que a fração E
P
 seja mínima, o numerador E deve 
ser mínimo, enquanto o denominador P deve ser má-
ximo. Assim, o menor valor de E
P
 é 16
30
8
15
= ≃ 0,53.
Para que a fração E
P
 seja máxima, o numerador E deve 
ser máximo, enquanto o denominador P deve ser míni-
mo. Assim, o menor valor de E
P
 é 18
25
 = 0,72.
Verificando:
2. A medida do perímetro é 4a + 4b, pois:
a + b + a + b + a + b + a + b = a + a + a + a + b + b + b + b = 
= 4a + 4b
Alternativa c. 
3. A medida da área é 2x2 + 4x, pois:
2x ⋅ (x + 2) = 2x ⋅ x + 2x ⋅ 2 = 2x2 + 4x
Alternativa d.
4. (a3 ‒ a2 + a) ⋅ (a + 1) = a3 ⋅ a ‒ a2 ⋅ a + a ⋅ a + a3 ⋅ 1 ‒ a2 ⋅ 1 + 
+ a ⋅ 1 = a4 ‒ a3 + a2 + a3 ‒ a2 + a =
= a4 ‒ a3 + a3 + a2 ‒ a2 + a = a4 + a
Alternativa a.
5. Efetuando a divisão:
 | 
 
4 0 5 2 2 1
4 2 2
4 3 2 2
4 3 2
a a a a a a
a a a
+ + +
+
--- --- ---
-- --- 
 
 
2 3
2 7
2
2
3 2
a a
a a a
+
+ +
---
---
-- aa a a
a a
3 2
26 0 2
 +
+
---
--- --- 
 ++ +
+
6 3 3
3 1
2a a
a
---
-- 
Então R = ‒3a +1. Com 1
3
=a , tem-se:
R = ‒3a + 1 = ‒3 ⋅ 1
3
 + 1 = ‒1 + 1 = 0.
Alternativa a.
6. Comquociente exato, verifica-se que o resto é zero. 
Portanto, o polinômio procurado é:
(5a2 ‒ 2a ‒ 3) ⋅ (3a ‒ 4) =
= 5a2 ⋅ 3a ‒ 5a2 ⋅ 4 ‒ 2a ⋅ 3a + 2a ⋅ 4 ‒ 3 ⋅ 3a + 3 ⋅ 4 =
= 15a3 ‒ 20a2 ‒ 6a2 + 8a ‒ 9a + 12 = 15a3 ‒ 26a2 ‒ a + 12
Alternativa a.
7. Contando 10 vezes os juros de 80 reais, conclui-se que 
o total gasto é expresso pela soma do valor à vista com 
o total de juros pago: x + 10 ⋅ 80 = x + 800. Dividindo 
o valor da entrada em 10 partes iguais, obtemos cada 
parcela, expressa por
10
80+x .
Alternativa c.
8. Como medida da área = medida da base ⋅ medida da 
altura, então a medida da altura é obtida dividindo-se 
a expressão que determina a medida da área pela da 
medida da base. O quociente é a expressão da medida 
da altura. Portanto, x + 3.
 2 | 
 
 
x2
3
11 15 2 5
2 5 3
+ + +
+
x x
x x x-- ---
 
 
 
+ +6 15
6 15
0
x
x--- ---
Alternativa a.
Capítulo 6 – Produtos notáveis e fatoração 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Ampliar o cálculo algébrico com os processos de produtos no-
táveis e fatoração.
 • Reconhecer e aplicar os produtos notáveis e os casos de fatoração 
estudados.
 • Resolver equações do tipo ax2 = b por meio de fatoração.
 • Simplificar expressões envolvendo frações algébricas.
 • Resolver equações envolvendo frações algébricas.
 • Identificar regularidades em sequências recursivas e em sequên-
cias não recursivas.
 • Analisar e construir fluxograma que permite indicar os números 
seguintes em determinada sequência numérica.
LXVIII
 • Utilizar as noções de área de retângulos e de volume de blocos 
retangulares no estudo de produtos notáveis e fatoração.
 • Interpretar e construir gráfico de barras.
Dando continuidade ao trabalho dos capítulos anteriores, a 
Unidade Temática Álgebra é foco neste capítulo e favorece a mo-
bilização e aprofundamento do desenvolvimento da competência 
específica 5. Ao apresentar aos estudantes novas ferramentas e 
conceitos algébricos, como produtos notáveis e fatoração e sua uti-
lização em simplificação de expressões algébricas ou de equações, 
bem como o estudo de sequências recursivas e de sequências não 
recursivas, contribuímos para que eles mobilizem conhecimentos 
que os favoreçam a modelar e resolver situações do cotidiano.
O trabalho com áreas de retângulos e volume de blocos retan-
gulares favorece a compreensão do estudo de produtos notáveis e 
de fatoração e possibilitam aos estudantes estabelecer conexões e 
relações com as Unidades Temáticas Álgebra e Geometria. Dessa 
maneira, eles desenvolvem a competência específica 3.
O estudo sobre gráficos de barras e ressaltando a importância 
de que as barras sejam proporcionais aos valores numéricos que in-
dicam, desenvolve a competência específica 4 e as competências 
gerais 2 e 4, pois os estudantes podem adquirir mais autonomia na 
leitura e interpretação de informações que são veiculadas no dia 
a dia nos diferentes meios de comunicação, analisando aspectos 
qualitativos e quantitativos de cada contexto. Também é mobiliza-
da e ampliada a capacidade de argumentar com base em dados e 
informações precisas.
Em diferentes momentos do capítulo, como na abertura ou na 
primeira seção Para saber mais apresentamos conteúdos que favore-
cem o desenvolvimento da competência geral 1 e a competência 
específica 1, à medida em que os estudantes podem compreender 
os conhecimentos matemáticos como historicamente construídos 
e que podem ser aplicados para resolver situações reais.
O contexto utilizado para explorar pesquisas censitárias e 
pesquisas amostrais, neste capítulo, favorece o desenvolvimento 
das competências gerais 9 e 10 e a competência específica 8, 
pois os estudantes deverão, em grupos, pesquisar e discutir sobre 
a importância de agir e tomar decisões com base em princípios 
democráticos, solidários e inclusivos.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo 
do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, 
problemas que possam ser representados por equações polinomiais 
de 2o grau do tipo ax² = b.
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica 
ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um 
fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica 
recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que 
permita indicar os números seguintes.
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas 
de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo 
de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como 
determinar medida de terrenos.
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos 
para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Este capítulo amplia e aprofunda os conhecimentos acerca das 
expressões algébricas trabalhados em capítulos anteriores, tratando 
de produtos notáveis e de fatoração relativos à Unidade Temática 
Álgebra e desenvolvendo a habilidade (EF08MA06).
Os conhecimentos deste capítulo constituem subsídios para 
a compreensão dos estudos a serem desenvolvidos no 9o ano (EF-
09MA09). Além disso, ainda relacionado à Unidade Temática Álgebra, 
o capítulo desenvolve aspectos da habilidade (EF08MA09) ao tratar 
da resolução de equações do tipo ax2 = b por meio de fatoração e, 
desenvolve também, as habilidades (EF08MA10) e (EF08MA11) ao 
explorar sequências recursivas e sequências não recursivas.
A articulação com a Unidade Temática Grandezas e medidas 
é promovida por meio da associação de noções de área de retân-
gulos e volume de blocos retangulares a expressões algébricas 
mobilizando, assim, a habilidade (EF08MA19).
Com a Unidade Temática Probabilidade e estatística, a ar-
ticulação se dá na seção Trabalhando a informação, que trata da 
construção de gráfico de barras e favorece o desenvolvimento de 
aspectos da habilidade (EF08MA23), que é trabalhada em diferentes 
situações neste volume. 
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Abertura
c) Como s é a medida do semiperímetro, nesse triângulo 
será:
2
3 4 5
2
12
2
6= + + = + + = =s a b c
Portanto, pela fórmula de Heron temos:
= – – –A s s a s b s c( )( ) ( ) = 6 6 3 6 4 6 5– – –( )( )( ) = 
= 6 3 2 1· · · = 36 = 6
A medida da área é 6.
Exercícios propostos
3. a) O lado do quadrado maior mede 9 unidades de com-
primento; então, sua área mede 81 unidades de área 
(9 ⋅ 9 = 81); o lado do quadrado menor mede a, pois 
sua área mede a² e a ⋅ a = a2; então, as regiões I e II 
são retângulos de lados de medidas 9 e a; portanto, 
cada um tem área de medida 9a (9 ⋅ a = 9a).
3. b) A medida da área total pode ser calculada pela soma 
das medidas das áreas de cada parte. Assim:
a2 + 9a + 9a + 81 = a2 + 18a + 81
3. c) A medida do lado do quadrado maior é dada pela 
soma das medidas dos lados dos dois quadrados 
coloridos, isto é, a + 9.
LXIX
3. d) (a + 9)2 = (a)2 + 2 ⋅ a ⋅ 9 + 92 = a2 + 18a + 81
Essa é a mesma expressão para a medida da área 
total da figura determinada no item b.
4. a) Falsa. (x + 8)2 = (x)2 + 2 ⋅ x ⋅ 8 + 82 = x2 +16x + 64
4. c) Falsa. (x + 3y)2 = (x)2 + 2 ⋅ x ⋅ 3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
5. a) (3x + y)2 = (3x)2 + 2 ⋅ 3x ⋅ y + y2 = 9x2 + 6xy + y2
5. b) (3a + 2)2 = (3a)2 + 3a ⋅ 2 + 22 = 9a2 +12a + 4
5. c) (4a + y3)2 = (4a)2 + 2 ⋅ 4a ⋅ y³ + (y³)2 =
= 16a2 + 8ay3 + y6
5. d) 
3
4
2
5
3
4
2 3
4
2
5
2
5
9
16
3
5
4
25
2 2 2
2 2
x y x x y y
x x y
+ = + + =
= + +
( ) ( ) ( ). .
y
6. a) a (5a ‒1) + (a + 2)2 =
= a ⋅ 5a ‒ a ⋅ 1 + a2 + 2 ⋅ a ⋅ 2 + 22 =
= 5a2 ‒ a + a2 + 4a + 4 = 6a2 + 3a + 46. b) (2x + 3)2 ‒ x(x ‒ 4) =
= (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 ‒ x ⋅ x ‒ x ⋅ (‒4) =
= 4x2 + 12x + 9 ‒ x2 + 4x = 3x2 + 16x + 9 
6. c) (y ‒ 3)(y + 2) ‒ (y + 1)2 =
= y ⋅ y + y ⋅ 2 ‒ 3 ⋅ y ‒ 3 ⋅ 2 ‒ (y2 + 2 ⋅ y ⋅ 1 + 12) =
= y2 + 2y ‒ 3y ‒ 6 ‒ (y2 + 2y + 1) =
= ‒ y ‒ 6 ‒ 2y ‒ 1 = ‒ 3y ‒ 7 
6. d) (9y + 1)2 ‒ (y + 9)2 =
= (9y)2 + 2 ⋅ 9y ⋅ 1 + 12 ‒ (y2 + 2 ⋅ y ⋅ 9 + 92) =
= 81y2 + 18y + 1 ‒ (y2 + 18y + 81) =
= 81y2 + 18y + 1 ‒ y2 ‒ 18y ‒ 81 = 80y2 ‒ 80 
6. e) (2a + 3b)2 ‒ 4a(a + 3b) =
= (2a)2 + 2 ⋅ 2a ⋅ 3b + (3b)2 ‒ 4a ⋅ a ‒ 4a ⋅ 3b =
= 4a2 + 12ab + 9b2 ‒ 4a2 ‒ 12ab = 9b2 
6. f) (1 + 5a)2 + 25(1 ‒ a2) =
= 12 + 2 ⋅ 1 ⋅ 5a + (5a)2 + 25 ⋅ 1 + 25 ⋅ (‒a2) =
= 1 + 10a + 25a2 + 25 ‒ 25a2 = 10a + 26
8. a) (‒x + 6)2 = (‒x)2 + 2 ⋅ (‒x) ⋅ 6 + 62 = x2 ‒ 12x + 36
8. b) -- x y
2 3
2
+




 = 
-- . -- .x x y y
2
2
2 3 3
2 2
















+ + = 
= x xy y2 2
4 3 9
-- +
10. a) (3a ‒ 5)2 = (3a)2 ‒ 2 ⋅ 3a ⋅ 5 + 52 = 9a2 ‒ 30a + 25
10. b) (3x ‒ 2y)2 = (3x)2 ‒ 2 ⋅ 3x ⋅ 2y + (2y)2 = 9x2 ‒ 12xy + 4y2
10. c) (3a2 ‒ 1)2 = (3a2)2 ‒ 2 ⋅ 3a2 ⋅ 1 + 12 = 9a4 ‒ 6a2 + 1
10. d) 1
2
2 1
2
1
2
2
2
2
– = – · · +x x x( ) ( ) = 1
4
2 – +x x
11. a) (2x + 1)2 + (x ‒ 5)2 =
= (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 1 + 12 + x2 ‒ 2 ⋅ x ⋅ 5 + 52 =
= 4x2 + 4x + 1 + x2 ‒ 10x + 25 = 5x2 ‒ 6x + 26
11. b) (x ‒ 1)2 ‒ (x + 1)2 =
= x2 ‒ 2 ⋅ x ⋅ 1 + 12 ‒ [x2 + 2 ⋅ x ⋅ 1 + 12] =
= x2 ‒ 2x + 1 ‒ [x2 + 2x + 1] = 
= x2 ‒ 2x + 1 ‒ x2 ‒ 2x ‒ 1 = ‒4x
11. c) x(x ‒ 3)2 ‒ 4 1
2
2
+x( ) =
= x[x2 ‒ 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32] ‒ 4 ⋅ x x2
2
2 1
2
1
2
+ +. . ( )






 =
= x ⋅ [x2 ‒ 6x + 9] ‒ 4 ⋅ x x2 1
4
+ +




 =
= x3 ‒ 6x2 + 9x ‒ 4x2 ‒ 4x ‒ 1 = x3 ‒ 10x2 + 5x ‒ 1
12. a) 1 2 1 12
2
2
+ = + · · +x
x
x x
x x( ) ( ) = 2 12
2+ +x
x
 =
= 12
2+x
x( ) + 2 = 5 + 2 = 7
12. b) 1 2 1 12
2
2
– = – · · +x
x
x x
x x( ) ( ) = 2 12
2– +x
x
 = 
= 12
2+x
x( ) ‒ 2 = 5 ‒ 2 = 3
15. 4x2 ‒ 4x + 1 = (2x)2 ‒ 2 ⋅ 2x ⋅ 1 + (1)2 = (2x ‒ 1)2
Portanto o lado do quadrado mede 2x ‒ 1; assim, a me-
dida do perímetro é dada por:
4(2x ‒ 1) = 4 ⋅ 2x ‒ 4 ⋅ 1 = 8x ‒ 4
16. b) Falsa. (4a2 + 7b) ⋅ (4a2 ‒ 7b) = (4a2)2 ‒ (7b)2 =
= 42 a4 ‒ 72b7 = 16a4 ‒ 49b2
16. c) Falsa. (0, 3x + 0, 4y) ⋅ (0, 3x ‒ 0, 4 y) = (0, 3x)2 ‒ (0, 4y)2 = 
= 0, 09x2 ‒ 0,16 y²
17. a) (x + 11) ⋅ (x ‒ 11) = x2 ‒ 112 = x2 ‒ 121
17. b) (5 ‒ a3) ⋅ (5 + a3) = 52 ‒ (a3)2 = 25 ‒ a6
17. c) (a2 ‒ 5) ⋅ (a2 + 5) = (a2)2 ‒ 52 = a4 ‒ 25
17. d) ( )3
4
+x y ⋅ ( ) ( )3
4
3
4
9
16
2
2 2 2– = – = –x y x y x y
18. a) (3x + 2) ⋅ (3x ‒ 2) + (x + 2)2 =
= (3x)2 ‒ 22 + x2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 =
= 9x2 ‒ 4 + x2 + 4x + 4 = 10x2 + 4x
18. b) (5x ‒ 6)2 ‒ (5x + 4)(5x ‒ 4) =
= (5x)2 ‒ 2 ⋅ 5x ⋅ 6 + 62 ‒ [(5x)2 ‒ 42] =
= 25x2 ‒ 60x + 36 ‒ 25x2 + 16 = ‒60x + 52
18. c) 32m2 + 16m ‒ 2 ⋅ (4m + 1)2 =
= 32m2 + 16m ‒ 2 ⋅ [(4m)2 + 2 ⋅ 4m ⋅ 1 + 12] =
= 32m2 + 16m ‒ 2 ⋅ [16m2 + 8m + 1] =
= 32m2 + 16m ‒ 32m2 ‒ 16m ‒ 2 = ‒2
19. b) O antecessor de x é x ‒ 1 e o sucessor de x é x + 1, 
portanto a multiplicação será (x + 1) ⋅ (x ‒ 1).
19. c) Ao adicionar 1 ao resultado, temos:
(x + 1) ⋅ (x ‒ 1) + 1 = x2 ‒ 1 ⋅ x + 1 ⋅ x ‒ 1 ⋅ 1 + 1 =
= x2 ‒ x + x ‒ 1 + 1 = x2
A raiz quadrada será 2x = x, de fato o número 
pensado. 
LXX
20. a) (25 + 1) ⋅ (25 ‒ 1) = 252 ‒ 12 = 625 ‒ 1 = 624
Portanto: (25 + 1) ⋅ (25 ‒ 1) = 624
20. b) 21 ⋅ 19 = (20 + 1) ⋅ (20 ‒ 1) = 202 ‒ 12 = 400 ‒ 1 = 399
Portanto: 202 ‒ 12 = 399
20. c) Os dois números x e y são tais que x + y = 28 e x ‒ y = 
= 10. Procura‒se x2 ‒ y². Aplicando o produto da soma 
pela diferença, temos:
x2 ‒ y2 = ( x + y ) ⋅ (x ‒ y)
Então: x2 ‒ y2 = 28 ⋅ 10 = 280
Ou seja, a diferença entre os quadrados é 280. Tam-
bém podemos testar hipóteses para os valores de 
x e y.
x y x + y x ‒ y Conclusão
5 5 5 + 5 = 10 5 ‒ 5 = 0
18 10 18 + 10 = 28 18 ‒ 10 = 8 só x + y = 28 
20 10 20 + 10 = 30 20 ‒ 10 = 10 só x ‒ y = 10 
19 9 19 + 9 = 28 19 ‒ 9 = 10 x ‒ y = 10 e x + y = 28 
Então, x + y = 28 e x ‒ y = 10 é verdadeiro para x = 19 
e y = 9; portanto, esses são os números procurados.
20. d) Os dois números são x + y = 30 e x ‒ y = 20; procura-
-se x2 ‒ y2 = (x + y)(x ‒ y) = 30 ⋅ 20 = 600.
20. f) m + h = 4 e m2 ‒ h2 = 80
m2 ‒ h2 = (m + h)(m ‒ h) ⇒ 80 = 4 ⋅ (m ‒ h) ⇒
⇒ m ‒ h = 80
4
 = 20
22. a) (x + 1)3 = x3 + 3 ⋅ x2 ⋅ 1 + 3 ⋅ x ⋅ 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1
22. b) (2a + 3)3 = (2a)3 + 3 ⋅ (2a)2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2a ⋅ 32 + 33 =
= 8a3 + 3 ⋅ 4a2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2a ⋅ 9 + 27 =
= 8a3 + 36a2 + 54a + 27
22. c) (1 ‒ x)3 = 13 ‒ 3 ⋅ 12 ⋅ x + 3 ⋅ 1 ⋅ x2 ‒ x3 = 1 ‒ 3x + 3x2 ‒ x3
22. d) (3a ‒ 2)3 = (3a)3 ‒ 3 ⋅ (3a)2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3a ⋅ 22 ‒ 23 =
= 27a3 ‒ 3 ⋅ 9a2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3a ⋅ 4 ‒ 8 =
= 27a3 ‒ 54a2 + 36a ‒ 8
23. (4a ‒ b)3 = (4a)3 ‒ 3 ⋅ (4a)2 ⋅ b + 3 ⋅ 4a ⋅ b2 ‒ b3 = 
= 64a3 ‒ 48a2b + 12a2b ‒ b3 4a + b) é: (4a + b)3 =
= (4a)3 + 3 ⋅ (4a)2 ⋅ b + 3 ⋅ 4a ⋅ b2 + b3 = 
= 16a3 + 48a2 + 12ab2 + b3
Portanto, 16a3 ‒ 48a2b + 12a2b ‒ b3 ‒ [64a3 + 48a2 +
+ 12ab2 + b3 ] = 64a3 ‒ 48a2b + 12a2b ‒ b3 ‒ 64a3 ‒ 48a2 ‒ 
‒ 12ab2 ‒ b3 = ‒96a2b ‒ 2b3
24. a) (2a + 1)3 ‒ 6a(2a + 1) = (2a)3 + 3 ⋅ (2a)2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2a ⋅ 12 + 
+ 13 ‒ 6a ⋅2a ‒ 6a ⋅ 1 = 8a3 + 12a2 + 6a + 1 ‒ 12a2 ‒ 6a = 
= 8a3 + 1
24. b) (a ‒ b)3 ‒ 3ab(b ‒ a) = a3 ‒ 3a2b + 3ab2 ‒ b3 ‒ 3ab2 + 3a2b = 
= a3 ‒ b3
24. c) (x ‒ 2y)3 + 6xy(x ‒ 2y) =
= x3 ‒ 6x2y + 12xy2 ‒ 8y3 + 6x2y ‒ 12xy2 = x3 ‒ 8y3
25. (a + 5)3 = a3 + 3 ⋅ a2 ⋅ 5 + 3 ⋅ a⋅ 52 + 53 =
= a3 + 15a2 + 75a + 125
26. a) Os fatores do 1o termo são: 3, 5, a, x e x; os fatores 
do 2o termo são: 2, 5, a, a e x; portanto, os fatores 
comuns são 5, a e x, ou 5ax.
26. b) Como 15ax2 : 5ax = 3x e 10a2 x: 5ax = 2a, então:
15ax2 ‒ 10a2x = 5ax (3x ‒ 2a)
27. a) O fator comum aos termos é a, então:
ab a b
ac a c
:
:
=
=




 ⇒ ab + ac = a(b + c)
27. b) O fator comum aos termos é x, então:
 
x x x
x x
2
3
:
:
=
=3




 ⇒ x2 + 3x = x(x + 3)
27. c) O fator comum aos termos é a, então:
a a a
a a
2
1
:
:
=
=




 ⇒ a2 + a = a(a + 1)
27. d) O fator comum aos termos é 5, então:
5
20
x x: =
: =
5
5 4




 ⇒ 5x + 20 = 5(x + 4)
27. e) O fator comum aos termos é 7ab, então:
14
21 3
2
3 2
a b ab a
ab ab b
:
:
7 2
7
=
=




 ⇒ 14a2b + 21ab3 = 7ab(2a + 3b2)
27. f) O fator comum aos termos é 5x², então:
15
10
3
2
x x x
x x
: =
: =
5 3
5 2
2
2




 ⇒ 15x3 ‒ 10x2 = 5x2(3x ‒ 2)
28. a) Representando o número por x, do enunciado obtém-
-se a equação 2x2 = 3x, que equivale a 2x2 ‒ 3x = 0. 
Observando que x é o fator comum aos termos do 
polinômio 2x2 ‒ 3x, na forma fatorada, temos:
2 2
3 3
2x x x
x x
:
:
=
=




 ⇒ 2x2 ‒ 3x = x(2x ‒ 3) = 0
Como o produto é nulo, então um dos seus fatores 
também deve ser. Assim, ou x = 0 ou 2x – 3 = 0. Re-
solvendo a segunda equação:
2x ‒ 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ 2
2
3
2
=x ⇒ x = 3
2
Portanto, o número procurado é 0 ou 3
2
.
LXXI
28. b) Nesse caso, se o número é y, então 3y2 = 2y, que 
equivale a 3y2 − 2y = 0, em cujo 1o membro y é fator 
comum aos termos.
3 3
2 2
2y y y
y y
:
:
=
=




 ⇒ 3y2 = 2 y ⇒ 3y2 ‒ 2y = 0 ⇒
⇒ y(3y ‒ 2) = 0 ⇒ 
y
y
=
--- =
0
3 2 0
 ou



Como y ≠ 0, temos y = 2
3
, pois:
3y ‒ 2 = 0 ⇒ 3y = 2 ⇒ 
3
3
2
3
=
y
 ⇒   2
3
=y
28. c) A medida da área da figura 1 é dada por:
2 ⋅ (x2) = 2x2
A medida da área da figura 2 é dada por:
5 ⋅ x = 5x
Como as medidas são iguais, logo: 
2x2 = 5x ⇒ 2x2 ‒ 5x = 0.
Fatorando o 1o membro, cujo fator comum é x:
2 2
5 5
2x x x
x x
: =
: =




 ⇒ 2x2 ‒ 5x = 0 ⇒ 
⇒ x(2x ‒ 5) = 0 ⇒ 
x
x
=
-- =
0
2 5 0




Como x é a medida do lado de um quadrado, então 
x ≠ 0; portanto, a única solução é x = 2,5.
2x ‒ 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 5
2
 = 2,5
29. a) O fator comum aos termos é a, então:
a a a
a a a
a a
3
2
 
: =
:
:
2
1
=
=





⇒ a3 + a2 + a = a(a2 + a + 1)
29. b) O fator comum aos termos é 3, então:
6
9 
 
2x x
x x
:
:
:
3 2
3 3
12 3 4
2=
=
=





⇒ 6x2 ‒ 9x + 12 = 3(2x2 ‒ 3x + 4)
29. c) O fator comum aos termos é 3x, então:
3 
6 2
3 2
x x
x x x
x x x
:
:
:
3 1
3 2
9 3 3=
=
=





⇒ 3x + 6x2 + 9x3 = 3x(1 + 2x + 3x2)
29. d) O fator comum aos termos é 5x, então:
10 5 2
5 3
20 5 4
x x x
x x
x x
3 2
215
 
:
:
:
=
=
=
x





⇒ 10x3‒ 15x2+ 20x = 5x(2x2 ‒ 3x + 4)
29. e) O fator comum aos termos é 
2
a , então:
a a a
a
a a a
a
a
a a a
a
a
2 2 2
2 1
4 2 4
2
2
6 2 6
2
3
2
 
2 2
3 3
 : . =
:
: .
.
=
= =
= =





 ⇒
 
⇒ 


2 4 6 2
1
2 3
2 3 2
+ – = + –a a a a a a
29. f) O fator comum aos termos é 
3
m , então:
m m m
m
m m m
m
m
m m m
m
m
12 3 12
3 3
12
1
4
5
6 3
5
6
3 5
2
2
9 3
2
9
3 2 2
: .
: .
: .
= = =
= =
= =
2 2
3 3
33




 
⇒
⇒ m m m m m m
12
5
6
2
9 3
1
4
5
2
2
3
2
--- ---
2 3
+ = +





 
30. 
x y y x
y y
a y y a
( )
7( )
( )
--- : ---
--- : ---
--- : ---
2 2
2 2 7
2 2
( )
( )
( )
=
=
=





 ⇒ 
⇒ x(y ‒ 2) ‒ 7(y ‒ 2) + a(y ‒ 2) = (y ‒ 2)(x ‒ 7 + a)
31. 2xy é o fator comum dos dois termos, então:
6 2 3
2 2
2
2
x y xy x
xy xy y
 : =
: =--- ---




 ⇒
⇒ 6x2y ‒ 2xy2 = 2xy ⋅ (3x ‒ y) = 12 ⋅ 3 = 36
33. a) 5x ‒ xy + 15 ‒ 3y = x(5 ‒ y) + 3(5 ‒ y) = (5 ‒ y)(x + 3)
33. b) 2ax + 3a + 4bx + 6b = a(2x + 3) + 2b(2x + 3) = 
= (2x + 3)(a + 2b)
33. c) ax ‒ 2a + x ‒ 2 = a(x ‒ 2) +1(x ‒ 2) = (x ‒ 2)(a +1)
33. d) x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2 (x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x2 + 2)
33. e) 10x² ‒ 15xy ‒ 4x + 6 y = 5x(2x ‒ 3y) ‒ 2(2x ‒ 3y) = 
= (2x ‒ 3y)(5x ‒ 2)
33. f) a3 ‒ a2 + a ‒ 1 = a2 (a ‒ 1) + 1(a ‒ 1) = (a ‒ 1)(a2 + 1)
34. a) As medidas das áreas dos quatro retângulos que 
compõem a figura são:
3 ⋅ x = 3x (superior esquerdo)
3 ⋅ 2 = 6 (inferior esquerdo)
x ⋅ y = xy (superior direito)
2 ⋅ y = 2y (inferior direito)
Portanto, a medida da área da figura toda é expressa por:
3x + 6 + xy + 2y
34. b) Outra maneira de calcular a medida da área é por 
meio da multiplicação (x + 2) ⋅ (3 + y).
LXXII
34. c) 3x + 6 + xy + 2y = 3(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(3 + y)
35. a) mx ‒ my + nx ‒ ny = m(x ‒ y) + n(x ‒ y) = (x ‒ y)(m + n) = 
= 2 ⋅ 10 = 20
37. a) x2 ‒ 4 = x2 ‒ 22 = (x + 2)(x ‒ 2)
37. b) a2 ‒ 36 = a2 ‒ 62 = (a + 6)(a ‒ 6)
37. c) y2 ‒ 1 = y2 ‒ 12 = (y + 1)(y ‒ 1)
37. d) 25x2 ‒ 4 = (5x)2 ‒ 22 = (5x + 2)(5x ‒ 2)
37. e) 1
100
1
49
1
10
1
7
2
2 2
– = –a a( ) ( ) =
= 1
10
1
7
1
10
1
7
+ –a a( )( )
37. f) 1
9
( ) 1
3
2 2 2
2
– = –x y xy ( ) = 1
3
1
3
+ –xy xy( )( )
38. a) Como o fator comum aos dois termos é 3x, temos: 
15 3 5
9 3 3
xy x y
x x
:
: =
=



⇒ 15xy + 9x = 3x(5y + 3)
38. b) 15xy + 9x + 10y + 6 = 3x (5y + 3) + 2(5y + 3) =
= (5y + 3)(3x + 2)
38. c) 100x2 ‒ 1 = (10x)2 ‒ 12 = (10x + 1)(10x ‒ 1)
38. d) Como o fator comum aos dois termos é 12ab, temos: 
 36 12 3
48 12 4
2
2
a b ab a
ab ab b
: =
: =--- ---




 ⇒ 36a2b ‒ 48ab2 = 12ab(3a ‒ 4b)
38. e) (x ‒ 1)2 ‒ 1 = (x ‒ 1)(x ‒ 1) ‒ 1 = 
= x2 ‒ 1x ‒ 1x + (‒1)2 ‒ 1 = x2 ‒ 2x = x(x ‒ 2)
38. f) (x + 5)2 ‒ 9 = (x + 5)2 ‒ 32 = (x + 5 + 3)(x + 5 ‒ 3) =
= (x + 8)(x + 2)
38. g) 25 ‒ (x + y)2 = 52 ‒ (x + y)2 = [5 + (x + y)] · [5 ‒ (x + y)] = 
= (5 + x + y)(5 ‒ x ‒ y)
38. h) 9a2 ‒ (a ‒ 5)2 = (3a)2 ‒ (a‒ 5)2 = [3a + (a ‒ 5)] · [3a ‒ (a ‒ 5)] = 
= (3a + a ‒ 5)(3a ‒ a + 5) = (4a ‒ 5)(2a + 5)
39. a) a3 ‒ a = a(a2 ‒ 1) = a(a + 1)(a ‒ 1)
39. b) 12x3 ‒ 3xy2 = 3x(4x2 ‒ y2) = 3x(2x + y)(2x ‒ y)
39. c) a2b ‒ b3 = b(a2 ‒ b2) = b(a + b)(a ‒ b)
39. d) a3 ‒ 9a = a(a2 ‒ 9) = a(a + 3)(a ‒ 3)
40. a) x2 ‒ 25 = 0 ⇒ (x + 5)(x ‒ 5) = 0 ⇒
x + 5 = 0 ⇒ x = ‒5
x ‒ 5 = 0 ⇒ x = 5
40. b) x2‒ 64 = 0 ⇒ (x + 8)(x ‒ 8) = 0 
x + 8 = 0 ⇒ x = ‒8
x ‒ 5 = 0 ⇒ x = 8
40. c) 81x2 ‒ 49 = 0 ⇒ (9x + 7)(9x ‒ 7) = 0
9x + 7 = 0 ⇒ 9x = ‒7 ⇒ x = ‒ 7
9
9x ‒ 7 = 0 ⇒ 9x = 7 ⇒ x = 7
9
40. d) 25x2 ‒ 36 = 0 ⇒ (5x + 6)(5x ‒ 6) = 0
5x + 6 = 0 ⇒ 5x = ‒6 ⇒ x = ‒ 6
5
5x ‒ 6 = 0 ⇒ 5x = 6 ⇒ x = 6
5
40. e) 9x2 ‒ 1 = 0 ⇒ (3x + 1)(3x ‒ 1) = 0
3x + 1 = 0 ⇒ 3x = ‒1 ⇒ x = ‒ 1
3
3x ‒ 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 1
3
40. f) 9
16
02 – =x ⇒ 3
4
3
4
0+ – =x x( )( ) 
x + 3
4
 = 0 ⇒ x = ‒ 3
4
x ‒ 3
4
 = 0 ⇒ x = 3
4
41. a) Como a área do quadrado maior mede m², pois 
m ⋅ m = m2, e a área do quadrado menor mede n², 
pois n ⋅ n = n2, tem-se que a área da parte pintada 
mede m2 ‒ n2.
41. b) Como a região I é um retângulo de base m e altura 
(m ‒ n), a medida de sua área pode ser expressa por 
m(m ‒ n).
41. c) Como a região II é um retângulo de base (m ‒ n) e 
altura n, a medida de sua área pode ser expressa por 
(m ‒ n)n.
41. d) A expressão que dá a soma das medidas das áreas 
das regiões I e II é:
m(m − n) + (m − n)n
41. e) Como m ‒ n é o fator comum:
m m n m n m
n m n m n n
--- ---
--- ---
( ) ( )
( ) ( )




: =
: = ⇒
⇒ m(m ‒ n) + n(m ‒ n) = (m + n)(m ‒ n)
43. a) Sim, pois o dobro do produto das raízes dos termos 
extremos é 2 ⋅ x ⋅ 2, que coincide com o termo cen‒ 
tral 4x.
43. b) Não é, pois o dobro do produto das raízes dos ter-
mos extremos é 2 ⋅ y ⋅ 10 = 20y, diferente do termo 
central 5y. Uma possível modificação para formar 
um quadrado perfeito é y2 + 20y +100.
43. c) Sim, pois o dobro do produto das raízes dos termos 
extremos é 2 ⋅ a ⋅ 5, que coincide com o termo cen‒ 
tral 10a.
43. d) Não é, pois, o dobro do produto das raízes dos ter-
mos extremos é 2 ⋅ 4a ⋅ 3b = 24ab, diferente do termo 
central 36ab. Uma possível modificação para formar 
um quadrado perfeito é 16a2 + 24ab + 9b².
LXXIII
43. e) Sim, reescrevendo a expressão como m2 + 2mm + 
+ n2, verifica-se que o dobro do produto das raízes 
dos termos extremos é 2 ⋅ m ⋅ n, que coincide com o 
termo central 2mn.
43. f) Sim, pois o dobro do produto das raízes dos termos 
extremos é 2 ⋅ x ⋅ 1
2
, que coincide com o oposto do 
termo central ‒x.
44. a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 = (x + 3)2
44. b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3y + (3y)2 = (2x + 3y)2
44. c) x4 ‒ 4x2 + 4 = (x2)2 ‒ 2 ⋅ x2 ⋅ 2 + 22 = (x2 ‒ 2)2
44. d) x2y2 ‒ 10xy + 25 = (xy)2 ‒ 2⋅ xy ⋅ 5 + 52 = (xy ‒ 5)2
44. e) 4
9
4
21
1
49
2 + +x x = 2
3
2 2
3
1
7
1
7
2 2
+ · · +x x( ) ( ) = 
= ( )2
3
1
7
2
= +x
44. f) 0,25a2 ‒ 0,30a + 0,09 = (0,5a)2 ‒ 2 ⋅ 0,5a ⋅ 0,3 + 0,32 =
= (0,5a ‒ 0,3)2
45. Como 81 + 90a + 25a2 = 92 ‒ 2 ⋅ 9 ⋅ 5a + (5a)2 = (9 + 5a), 
obtemos o binômio 9 + 5a.
46. A = y2 + 14ya + 49a2 = y2 + 2 ⋅ y ⋅ 7a + (7a)2 = (y + 7a)2
A medida A da área é o quadrado da medida do lado, 
então o lado mede y + 7a.
49. a) De (a + b)2 = 64, tem-se:
a2 + 2ab + b2 = 64 ⇒ a2 + b2 + 2ab = 64
Substituindo ab por 12 nessa equação:
a2 + b2 + 2 ⋅ 12 = 64 ⇒ a2 + b2 = 64 ‒ 24 ⇒ a2 + b2 = 40
49. b) De (a + b)2 = 81 tem-se:
a2 + 2ab + b2 = 81 ⇒ a2 + b2 + 2ab = 81
Substituindo a2 + b2 por 53 nessa equação:
53 + 2ab = 81 ⇒ 2ab = 28 ⇒ ab = 28
2
 ⇒ ab = 14
49. c) (a = b)2 = a2 + b3 = 2ab
Substituindo a2 + b2 por 13 e ab por 12, tem-se: 
13 + 2 ⋅ 12 = 13 + 24 = 37
52. a) a3 ‒ 1 = a3 ‒ 13 = (a ‒ 1)(a2 + a ⋅ 1 + 12 ) =
= (a ‒ 1)(a2 + a + 1)
52. b) 8a3 + 1 = (2a)3 + 13 = (2a + 1)[(2a)2 ‒ 2a ⋅ 1 + 12] =
= (2a + 1)(4a2 ‒ 2a + 1)
52. c) x3 ‒ 27 = x3 ‒ 33 = (x ‒ 3)(x2 + x ⋅ 3 + 32) =
= (x ‒ 3)(x2 + 3x + 9)
52. d) x3 + 64 = x3 + 43 = (x + 4)(x2 ‒ x ⋅ 4 + 42) =
= (x + 4)(x2 ‒ 4x +16)
52. e) 1 ‒ x3 = 13 ‒ x3 = (1 ‒ x)(12 + 1 ⋅ x + x2 ) =
= (1 ‒ x)(1 + x + x2)
52. f) 27a3 + 8y3 = (3a)3 + (2y)3 =
= (3a + 2y)[(3a)2 ‒ 3a ⋅ 2y + (2y)2] =
= (3a + 2y)(9a2 ‒ 6ay + 4y2)
53. a) Falsa. a3 +b3 = (a + b)(a2 ‒ ab +b2)
53. b) Verdadeira. (a + b)(a2 ‒ ab + b2) = (a2 ‒ ab + b2)(a + b)
53. c) Falsa. a3 ‒ b3 = (a ‒ b)(a2 + ab + b2)
53. d) Verdadeira. (a ‒ b)(a2 + ab + b2) = (a2 + ab + b2)(a ‒ b)
54. a) 1
1
1
2
2
+
+
=x
x
54. b) 
( )
+
+
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
1+
– –
= +
– +
= – = –x
x
x
x
x
x
 
55. a) 
( 1)
1
2 – =
–
= –a a
a
a a
a
a
55. b) 16
4
( 4)( 4)
4
2 –
+
=
+ –
+
= –x
x
x x
x
 x ‒ 4
55. c) 
3 6 3
1
3 2 1
1
2 2x x
x
x x
x
+ +
+
= + +
+
( ) =
3( 1)
1
2+
+
x
x
 = 
= 
3( 1)( 1)
( 1)
+ +
+
x x
x
= 3(x + 1) = 3x + 3 
55. d) 5 20
2
5( 4)
2
2 2–
–
=
–
–
a
a
a
a
 = 
5( 2)( 2)
( 2)
+ ––
a a
a
 = 
= 5(a + 2) = 5a + 10
56. 10 5
2
5(2 )
(2 )
5
1
5+
+
=
+
+
= =a b
a b
a b
a b
57. a) 15
4
15
4
15
4
5
2 3
5 2
3 1
3
2= =
–
–
a b
a b
a
b
a
b
57. b) 
15( 2)
4(2)
15 ( 8)
4 4
15
2
3
2
–
=
· –
·
= –
57. c) Como não existe divisão por zero, para existir é ne-
cessário verificar: 4b2 ≠ 0 ⇒ b2 ≠ 0 ⇒ b ≠ 0. Portanto, 
com b = 0, a fração não representa número real. 
58. a) ( )
10
10 20
10
10 2 22 +
=
+
=
+
xy
x xy
xy
x x y
y
x y
 (cartão azul)
58. b) 
2
3 3
( )
3( ) 3
2 2 2– +
–
=
–
–
=
–x xy y
x y
x y
x y
x y
 (cartão verde)
58. c) 2
4
( 2)
( 2)( 2)
1
22
–
–
=
–
+ –
=
+
x
x
x
x x x
 (cartão vermelho)
58. d) 10 25
2 10
( 5)
2( 5)
5
2
2 2– +
–
=
–
–
= –x x
x
x
x
x (cartão amarelo)
59. a) É 3x ‒ 2, pois:
 | 5
 3
 
6 11 10 2
6 15 2
2
2
x x x
x x x
+ +---
-- --- ---
 
 
 0
-- ---4 10
4 10
x
x+ +
59. b) x = 0 ⇒ 3x ‒ 2 = 3 ⋅ 0 ‒ 2 = ‒2
59. c) x = 2
3
 ⇒ 3x ‒ 2 = 3 ⋅ 2
3
 ‒ 2 = 2 ‒ 2 = 0
LXXIV
59. d) Pode assumir qualquer valor racional desde que 
2x + 5 ≠ 0 ⇒ 2x ≠ ‒5 ⇒ x ≠ ‒ 5
2
60. A simplificação correta seria: 
( )12 + = +x x
x
x x
x
 = x + 1
61. a) x ≠ 0
61. b) x ‒ 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
61. c) x ≠ 0 
61. d) x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ‒1 
62. a) Simplificando os numeradores por 4, temos:
3 1
2
=
–x x
Considerando x ≠ 0 e x ≠ 2, multiplicamos os termos 
da equação por x(x ‒ 2), obtendo:
3 2 1
2x
x x
x( ) ( )






. --
--
= ⋅ x(x ‒ 2) ⇒ 3(x ‒ 2) = x ⇒
⇒ 3x ‒ 6 = x ⇒ 3x ‒ x = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ 
⇒ x = 6
2
 ⇒ x = 3
Portanto, 3 é a solução da equação.
62. b) Simplificando os numeradores por 4, temos:
1 1
2
– =
–x x
Considerando x ≠ 0 e x ≠ 2, multiplicamos os termos 
da equação por x(x ‒ 2), obtendo:
-- .
--
1
2 1
2x
x x
x
( ) = ⋅ x(x ‒ 2) ⇒ x = ‒(x ‒ 2) ⇒ x = ‒x 
+ 2 ⇒ x + x = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ 
⇒ x = 2
2
 ⇒ x = 1
Portanto, 1 é a solução da equação.
63. a) Sendo x o número de famílias inicialmente previsto, 
então 40 720
2
=
–x
. Considerando x ≠ 2, multiplica-
mos os termos da equação por x (x ‒ 2), obtendo:
( )( )40 2 720
2
· – =
–
x
x
 ⋅ (x ‒ 2) ⇒ 40(x ‒ 2) = 720 ⇒ 
⇒ 40x ‒ 80 = 720 ⇒ 40x = 720 + 80 ⇒ 40x = 800 ⇒ 
⇒ x = 800
40
 ⇒ x = 20
Portanto, o número inicial era 20 famílias.
63. b) Compareceram 18 famílias.
x ‒ 2 = 20 ‒ 2 = 18
63. c) Cada família teria recebido 36 kg, pois 720 : 20 = 36.
64. a) Sendo x o número pensado, o enunciado sugere a 
equação 4
2
6
9
+
–
= –
–
x
x
x
x
. Considerando x ≠ 2 e x ≠ 9, 
multiplicamos os termos da equação por (x ‒ 2)(x ‒ 9), 
obtendo:
( )4
2
+
–
x
x
 ⋅ (x ‒ 2)(x ‒ 9) ⋅ ( )6
9
–
–
x
x
 ⋅ (x ‒ 2)(x ‒ 9) ⇒
⇒ (x + 4) ⋅ (x ‒ 9) = (x ‒ 6)(x ‒ 2) ⇒
⇒ x2 + 4x ‒ 9x ‒ 36 = x2 ‒6x ‒ 2x + 12 ⇒ 
⇒ ‒5x ‒ 36 = ‒8x + 12 ⇒ 8x ‒ 5x = 36 + 12 ⇒
⇒ 3x = 48 ⇒ x = 48
3
 ⇒ x = 16
Lúcia pensou no número 16.
64. b) Substituindo x = 16 em um dos membros da equação 
do item anterior, temos: 
4
2
+
–
x
x
 = 16 4
16 2
20
14
10
7
+
–
= =
65. a) Sendo x o número de lotes da chácara menor e y a 
medida de área de cada lote, temos:
 
y
x
y
x
=
=
–





2880
5040
2 2
Comparando as expressões de y, temos:
x x
=
–
2880 5040
2 2
Simplificando os numeradores por mdc(2880, 5040) = 
= 144, temos:
20 35
2
=
Considerando x ≠ 0 e x ≠ 1, multiplicamos os termos 
da equação por x(2x ‒ 2), obtendo:
( )20
x
 ⋅ x (2x ‒ 2) = ( )35
2 2–x
 ⋅ x (2x ‒ 2) ⇒ 
⇒ 20 (2x ‒ 2) = 35x ⇒⇒ 40x ‒ 40 = 35x ⇒ 
⇒ 40x ‒ 35x = 40 ⇒ 5x = 40 ⇒ x = 40
5
 = 8
Portanto a chácara menor ficou dividida em 8 lotes.
65. b) A chácara maior ficou dividida em 14 lotes.
2 ⋅ 8 ‒ 2 = 16 ‒ 2 = 14
65. c) 360 m², pois 2880 : 8 = 360.
66. Resposta pessoal. Um exemplo de sequência não recur-
siva são esses números quaisquer que foram escolhidos 
sem critério específico: 3, 56, 546, 65, 60, 960, 18. Uma 
sequência recursiva são os primeiros múltiplos de 3: 
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.
67. x = 1, y = 2, 9x + y = 9 ⋅ 1 + 2 = 11
x = 2, y = 3, 9x + y = 9 ⋅ 2 + 3 = 21
x = 3, y = 4, 9x + y = 9 ⋅ 3 + 4 = 31
x = 4, y = 5, 9x + y = 9 ⋅ 4 + 5 = 41
x = 5, y = 6, 9x + y = 9 ⋅ 5 + 6 = 51
x = 6, y = 7, 9x + y = 9 ⋅ 6 + 7 = 61
x = 7, y = 8, 9x + y = 9 ⋅ 7 + 8 = 71
x = 8, y = 9, 9x + y = 9 ⋅ 8 + 9 = 81
x = 9, y = 10, 9x + y = 9 ⋅ 9 + 10 = 91
Sim, é uma sequência recursiva.
69. a) Considerando n um número natural, temos:
(n + 1)2 ‒ n2 = [(n + 1) + n] ⋅ [(n + 1) ‒ n] = (n + 1) + n
Note que (n + 1) + n é um
número ímpar. 
69. b) (n + 1)2 ‒ n2 = n2 + 2n + 1 ‒ n2 = 2n + 1
Note que 2n + 1 é um número ímpar.
LXXV
Pense mais um pouco…
Página 130 
a) 12 = (10 + 2)2 = 102 + 2 ⋅ 10 ⋅ 2 + 22 = 100 + 40 + 4 = 144
b) 24 = (20 + 4)2 = 202 + 2 ⋅ 20 ⋅ 4 + 42 = 400 + 160 + 16 = 576
c) 35 = (30 + 5)2 = 302 + 2 ⋅ 30 ⋅ 5 + 52 = 900 + 300 + 25 = 1225
d) 52 = (50 + 2)2 = 502 + 2 ⋅ 50 ⋅ 2 + 22 = 2500 + 200 + 4 = 2704
Página 133 
a) 29 = (30 ‒ 1)2 = 302 ‒ 2 ⋅ 30 ⋅ 1 + 12 = 900 ‒ 60 + 1 = 841
b) 38 = (40 ‒ 2)2 = 402 ‒ 2 ⋅ 40 ⋅ 2 + 22 = 1600 ‒ 160 + 4 = 1444
c) 99 = (100 ‒ 1)2 = 1002 ‒ 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 12 = 10000 ‒ 200 + 1 = 
= 9801
d) 57 = (60 ‒ 3)2 = 602 ‒ 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 32 = 3600 ‒ 360 + 9 = 3249
Página 152 
Sendo x o número de filhos de José, conclui-se que o 
número de filhos de Luís é (x + 1), pelas informações do 
enunciado. Pelo diálogo entre os irmãos, 960
1
720
+
=
x x
. 
Simplificando os numeradores por mdc(720, 960) = 240, então 
4
1
3
+
=
x x
. Considerando x ≠ 0 e x ≠ ‒1, multiplicamos os 
termos da equação por x (x +1), obtendo:
( )4
1+x
 ⋅ x ( x +1) = ( )3
x
 ⋅ x (x +1) ⇒ 4x = 3( x +1) ⇒
⇒ 4x = 3x + 3 ⇒ 4x ‒ 3x = 3 ⇒ x = 3
Então, José tem 3 filhos, e cada um ficou com um terreno de 
medida 240 m2, pois 720 : 3 = 240.
Para saber mais
Páginas 138 e 139
2. 0,21 ⋅ 7 + 0,21 ⋅ 3 = 0,21 ⋅ (7 + 3) = 0, 21 ⋅ 10 = 2,1
3. a) 15 ⋅ 18 + 15 ⋅ 2 = 15 ⋅ (18 + 2) = 15 ⋅ 20 = 300
3. b) 5,4 ⋅ 13 ‒ 5,4 ⋅ 3 = 5,4 ⋅ (13 ‒ 3) = 5,4 ⋅10 = 54
3. c) 12 7
13
12 6
13
12 7
13
6
13
. . .+ = +( ) = 12 13
13
12· =
3. d) 4,5 ⋅ 8 + 4,5 ⋅ 7 ‒ 4,5 ⋅ 5 = 4,5 ⋅ (8 + 7 ‒ 5) = 4,5 ⋅ 10 = 45
3. e) 3,8 ⋅ 4,2 + 3,8 ⋅ 4,6 + 3,8 ⋅ 1,2 = 3,8 ⋅ (4,2 + 4,6 + 1,2) = 
= 3,8 ⋅ 10 = 38
3. f) 10 17
11
10 6
11
10 17
11
6
11
. -- . --= ( ) = 10 11
11
10· =
Trabalhando a informação
1. Considerando as informações do enunciado sobre os 
anos de nascimento de cada geração, é possível calcular 
a idade das pessoas de cada geração conforme o ano 
em que se realiza a atividade. 
3. A medida da maior barra (que representa 97) deve ser 
menor do que a medida de comprimento de uma folha 
A4 (297 mm = 29,7 cm) para que o gráfico fique adequa-
do. A escala escolhida precisa ser tal que a menor barra 
fique visível. 
Exercícios complementares
1. a) (3a‒ 2b)2 = (3a)2 ‒ 2 ⋅ 3a ⋅ 2b + (2b)2 = 9a2 ‒ 12ab + 4b2
1. b) (5a + 7)(5a ‒ 7) = (5a)2 ‒ 72 = 25a2 ‒ 49
1. c) (3x2 + y3)2 = (3x2)2 + 2 ⋅ 3x2 ⋅ y3 + (y3)2 = 9x4 + 6x2y3 + y6
1. d) (‒5 ‒ 2y)2 = (‒5)2 + 2 ⋅ (‒5) ⋅ (‒2y) + (‒2y)2 = 
= 25 + 20y + 4y2
2. (5a + 9b)(5a ‒ 9b) = (5a)2 ‒ (9b)2 = 25a2 ‒ 81b2
3. A2 ‒ B + C = (x ‒ 3)2 ‒(x2 + 3) + 9x = x2 ‒ 6x + 9 ‒ x2 ‒ 3 + 
+ 9x = 3x + 6 = 3(x + 2)
Alternativa c.
4. Fazendo a operação inversa para descobrir:
(x + 10)2 ‒ (x2 + 5x + 70) = x2 + 20x + 100 ‒ x2 ‒ 5x ‒ 70 = 
= 15x + 30
5. Como 9x2 + 24x + 16 = (3x + 4)2, tem-se a = 3 e b = 4. 
Portanto: a + b = 3 + 4 = 7
6. a) Como (a2 + b2) ‒ (a ‒ b)2 = a2 + b2 ‒ a2 + 2ab ‒ b2 = 2ab, 
deve-se subtrair a expressão 2ab.
6. b) (a + b)2 ‒ (a2 + 2ab) = a2 + 2ab + b2 ‒ a2 ‒ 2ab = b2
Portanto, deve-se adicionar b².
6. c) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a2 + b2) + 2 ⋅ (ab) = 34 + 2 ⋅ 15 = 
= 34 + 30 = 64
6. d) Para (a + b)2 = 196, temos:
a2 + 2ab + b2 = 196 ⇒ a2 + b2 + 2ab = 196
Substituindo (a2 + b2) por 100 nessa equação, temos:
100 + 2ab = 196 ⇒ 2ab = 196 ‒100 ⇒ 2ab = 96 ⇒ 
⇒ ab = 96
2
 ⇒ ab = 48
7. 3752 ‒ 3742 = (375 + 374)(375 ‒ 374) = 749 ⋅ 1 = 749
A soma dos algarismos do resultado é 20 (7 + 4 + 9 = 20). 
Alternativa c.
8. a) 3x2 ‒ 75 = 3(x2 ‒ 25) = 3( x + 5)(x ‒ 5)
8. b) a3 ‒ ab2 = a(a2 ‒ b2) = a(a +b)(a ‒ b)
8. c) x4 ‒ 16 = (x2 + 4)(x2 ‒ 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x ‒ 2)
8. d) a2 ‒ x2 + a + x = (a + x)(a ‒ x) + 1 ⋅ (a + x) = 
= (a + x) ⋅ [(a ‒ x) + 1] = (a + x) ⋅ (a ‒ x + 1)
8. e) x2 ‒ y2 + 2x + 2y = (x + y)(x ‒ y) + 2 ⋅ (x + y) = 
= (x + y) ⋅ [(x ‒ y) + 2] = (x + y) ⋅ (x ‒ y + 2)
8. f) 2x2 ‒ 12x + 18 = 2(x2 ‒ 6x + 9) = 2(x ‒ 3)2
9. a) (a + b)2 = 182 = 324
9. b) (a ‒ b)2 = 22 = 4
9. c) a2 ‒ b2 = (a + b)(a ‒ b) = 18 ⋅ 2 = 36
10. a) (x + y)2 = 142 = 196
10. b) Para x2 + 2xy + y2 = (x + y)2, temos:
(x2 + y2 ) + 2xy = 142
Então, substituindo (x2 + y2) por 116, temos:
116 + 2xy = 142 ⇒ 2xy = 196 ‒ 116 ⇒ 2xy = 80 ⇒
⇒ xy = 80
2
 ⇒ xy = 40
10. c) Como (x ‒ y)2 = x2 ‒ 2xy + y2 = (x2 + y2)‒ 2(xy), subs-
tituindo os resultados dos itens anteriores, tem-se: 
(x ‒ y)2 = 116 ‒ 2 ⋅ 40 = 116 ‒ 80 = 36
LXXVI
11. a) x2 +12x = 0 ⇒ x (x + 12) = 0 ⇒
x = 0
x + 12 = 0 ⇒ x = ‒12
As soluções da equação são 0 e ‒12.
11. b) 6x2 ‒ 5x = 0 ⇒ x (6x ‒ 5) = 0 ⇒
x = 0
6x ‒ 5 = 0 ⇒ 6x = 5 ⇒ x = 
5
6
As soluções da equação são 0 e 
5
6
.
11. c) 4x2 ‒ 14x + 1 = 0 ⇒ (2x ‒ 1)2 = 0 ⇒ 2x ‒ 1 = 0 ⇒
⇒ 2x = 1 ⇒x = 1
2
11. d) 9x2 + 6x + 1 = 0 ⇒ (3x + 1)2 = 0 ⇒ 3x + 1 = 0 ⇒
⇒ 3x = ‒1 ⇒ x = – 1
3
13. (3a‒ 2b)2 = (3a)2 ‒ 2 ⋅ 3a ⋅ 2b + (2b)2 = 9a2 ‒ 12ab + 4b2
A soma dos coeficientes da expressão desenvolvida é:
9 + (‒12) + 4 = 1
Alternativa c. 
14. 2(x2 + 3y)(x2 ‒ 3y) = 2[(x2)2 ‒(3y)2] = 2(x4 ‒ 9y2) = 2x4 ‒ 18y2 
Alternativa b. 
15. (2x + 9y)2 ‒ 36xy = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 9y + (9y)2 ‒ 36xy = 
= 4x2 + 36xy + 81y2 ‒ 36xy = 4x2 + 81y2
Então, com x = ‒1 e y = 1, tem-se:
4x2 + 81y2 = 4 ⋅ (‒1)2 + 81 ⋅ (1)2 = 4 + 81 = 85
Alternativa c. 
16. x2 + 6xy + y2 = x2 + 2xy + y2 + 4xy = (x + y)2 + 4xy
Então, com x + y = 8 e xy = 15, tem-se: 
(x + y)2 + 4xy = 82 + 4 ⋅ 15 = 64 + 60 = 124
Alternativa d.
17. (x + 3)(x ‒ 3) ‒ x2 = x2 ‒ 9 ‒ x2 = ‒9
Alternativa b.
18. y4 ‒ 4y2 + 4 = (y2 ‒ 2)2
Alternativa a.
19. ab + 2b ‒ 3a ‒ 6 = b(a + 2) ‒ 3(a + 2) = (a + 2) ⋅ (b ‒ 3)
Alternativa b.
20. a) 
1
( 1)
( 1)( 1) 1
2
2
+
–
=
+
– +
=
–
x x
x
x x
x x
x
x
 
20. b) 
1( )
( )( )
1
2 2
–
–
=
– –
+ –
= –
+
b a
a b
a b
a b a b a b
 
Verificando
1. (x + 4)2 ‒(2x ‒ 3)2 =
x2 + 2⋅ x ⋅ 4 + 42 ‒ [(2x)2 ‒ 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32] =
= x2 + 8x + 16 ‒ 4x2 + 12x ‒ 9 = ‒3x2 + 20x + 7
Alternativa b.
2. A medida da área do pedaço inicial é 122 cm², pois é um 
quadrado de lado medindo 12 cm. A medida da área do 
pedaço retirado é x² cm², pois o lado mede x cm. Por-
tanto, a medida da área que sobrou é 12² ‒ x2 = 144 ‒ x². 
Alternativa d.
3. (5x ‒ 3)3 = (5x)3 ‒ 3 ⋅ (5x)2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5x ⋅ 32 ‒ 33 = 
= 125x3 ‒ 225x2 + 135x ‒ 27
Alternativa a. 
4. O fator comum é 4xy, portanto:
24x2y + 32xy2 ‒ 12xy = 4xy(6x + 8y ‒ 3)
Alternativa d.
5. 3ab + 3ac ‒ 5b ‒ 5c = 3a(b + c) ‒ 5(b + c) =
= (b + c) ⋅ (3a ‒ 5) = (3a ‒ 5)(b + c)
Alternativa b.
6. Como a área media x2 m², o lado do terreno quadrado me-
dia x m. Após a alteração, sua nova área pode ser fatorada 
como x2 ‒ 4a2 = (x + 2a) ⋅ (x ‒ 2a), então uma possibilidade 
é que um dos lados tenha aumentado 2a metros e o outro 
tenha diminuído 2a metros. Alternativa a.
7. 25x2 ‒ 60xy + 36 y2 = (5x)2 ‒ 2 ⋅ 5x ⋅ 6 y + (6 y )2 = (5x ‒ 6 y )2
Alternativa b.
8. 
( )( )3 2 3 2
18 8
2
2 2
+ –
–
a b a b
a b
 = ( )
( )( )3 2 3 2
2 9 4
2
2 2
+ –
–
a b a b
a b
 = 
= 
( )( )( )
( )( )
3 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2
+ – –
+ –
a b a b a b
a b a b
 = 3 2
2
–a b 
Alternativa d.
9. Sendo n um número natural, a expressão 2n representa 
necessariamente um número par; logo, a expressão 
2n + 1 representa necessariamente um número ímpar. 
Então, a sequência formada será a dos números ímpa-
res. Alternativa d.
Capítulo 7 – Estudo dos triângulos 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Conceituar cevianas de um triângulo: mediana, bissetriz e altura.
 • Estudar e aplicar as cevianas de um triângulo.
 • Conceituar e estudar os casos de congruência de triângulos.
 • Aplicar congruência de triângulos em demonstrações de pro-
priedades geométricas.
 • Analisar a construção de um hexágono regular com descrição do 
procedimento por escrito.
 • Construir um dodecaedro regular a partir da medida do ângulo 
central associado a ele.
 • Identificar simetria em figuras obtidas por composição de trans-
formações geométricas.
Os objetivos desse capítulo, que aborda os elementos do triân-
gulo e dos casos de congruência de triângulos, são importantes para 
desenvolver as competências gerais 2, 4 e 7 e a competências 
específicas 2 e 5, pois são apresentadas atividades em que os 
estudantes devem exercitar a curiosidade intelectual, o espírito de 
investigação, aplicar métodos lógico-dedutivos para demonstrar 
propriedades e argumentar sobre a validade deles.
Do mesmo modo, essas competências são mobilizadas e de-
senvolvidas nas atividades de construção geométrica propostas, 
pois os estudantes são incentivados a justificar os procedimentos 
envolvidos nas construções geométricas, além de utilizar diferentes 
ferramentas para concretizá-las.
A competência geral 3 também é desenvolvida neste capítulo, 
pois eles têm a oportunidade de fruir uma manifestação artística 
LXXVII
envolvendo triângulos, nas situações apresentadas na página de 
Abertura e na seção Para saber mais que explora o grafite.
Diferentes atividades e contextos, neste capítulo, favorecem o 
desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e a competência 
específica 8, pois os estudantes deverão, em grupos, pesquisar, 
discutir e interagir com os colegas a fim de comunicar respostas 
ou comentar estratégias de resoluções.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio 
da identificação da congruência de triângulos.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, 
um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qual-
quer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de 
esquadros e compasso.
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como 
lugares geométricos na resolução de problemas.
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por com-
posições de transformações geométricas (translação, reflexão e 
rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares 
de geometria dinâmica.
Objetos de conhecimento da Unidade Temática Geometria 
são estudados com a ampliação do estudo dos triângulos, visan-
do a preparar os estudantes para a continuidade desse estudo 
ao apresentar-lhes conteúdos que desenvolverão a habilidade 
(EF08MA14) em capítulos seguintes e, ainda, no 9o ano (EF09MA12, 
EF09MA13 e EF09MA14).
Os conteúdos e atividades propostos exploram, inicialmente, 
as cevianas (mediana, bissetriz e altura) de um triângulo e suas 
aplicações em situações diversas e favorecem o desenvolvimento 
da habilidade (EF08MA17). Em seguida, aborda-se a congruên-
cia de triângulos, conteúdo base para a demonstração de várias 
propriedades geométricas. Também neste capítulo, são descritos 
procedimentos por escrito da construção de um hexágono regular 
em uma seção Para saber mais e que favorece o desenvolvimento da 
habilidade (EF08MA16). Na seção Diversificando, exploram-se aspec-
tos da habilidade (EF08MA18) ao abordar a identificação de simetria 
em figuras obtidas por composição de transformações geométricas.
• Comentários e resoluções
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Abertura
a) Os triângulos são retângulos, pois apresentam um ân-
gulo reto.
Exercícios propostos
1. a) Altura: é a ceviana que une perpendicularmente um 
dos vértices ao seu lado oposto (ou ao seu prolonga-
mento.
1. b) Bissetriz: é a ceviana que divide um dos ângulos 
internos do triângulo em dois ângulos congruentes.
1. c) Mediana, bissetriz e a altura: segmento de reta que 
une um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele, 
divide um dos ângulosinterno do triângulo em dois 
ângulos congruentes e une perpendicularmente um 
dos vértices ao seu lado oposto, portanto, a ceviana 
coincide com as três definições. 
1. d) Bissetriz: é a ceviana que divide um dos ângulos 
internos do triângulo em dois ângulos congruentes.
2. a) O ponto formado pela intersecção das medianas 
é chamado de baricentro. Para traçar a mediana, 
liga-se um vértice ao ponto médio do lado oposto; 
observe um esboço a seguir. 
M
O
N
P1
A
P2G
2. b) O ponto obtido pela intersecção das bissetrizes é 
chamado de incentro. Para traçar uma bissetriz, 
basta medir o ângulo com transferidor e dividir sua 
medida pela metade, então encontrar o ponto por 
onde passa a semirreta desejada, de forma a traçar 
um ângulo com metade da medida do original.
Q
R
P
16,8°
33,6°
51,8°
25,9°
I
R’
Q’
2. c) O ponto formado pela intersecção das alturas é cha-
mado de ortocentro. Para traçar, com o esquadro, posi-
cionar de modo que um lado dele passe por um vértice 
(por exemplo V) e o lado perpendicular da ferramenta 
acompanhe o lado oposto (nesse exemplo, TU ). 
V
U
T
O
90°
90°
3. Para traçar a bissetriz de um ângulo A� em um triângulo 
ABC, deve-se fixar a ponta-seca do compasso no pon-
to A, traçar um arco de circunferência intersectando 
os lados AB e AC , respectivamente, no ponto M e no 
ponto N; determina-se o ponto médio do segmento 
MN e obtém-se a reta suporte da bissetriz que passa 
por A e por esse ponto médio. O ponto A e o ponto de 
intersecção dessa reta suporte com o lado oposto a A� 
determinam a bissetriz desse vértice. 
IL
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C
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LXXVIII
Para traçar a mediatriz do lado AB , deve-se determinar 
o ponto médio M desse lado e traçar um segmento par-
tindo de M até o vértice C do triângulo.
4. Como o segmento AM é a mediana, M é ponto médio do 
segmento BC. Assim, os segmentos BM e MC têm a mes-
ma medida. Portanto, a medida BC é 3,8 cm (1,9 + 1,9 = 
= 3,8). Assim, obtemos o perímetro do triângulo ABC, 
que mede 9,5 cm (2,2 + 3,8 + 3,5 = 9,5).
5. 
R
O
90° 90°
90°
90°
B
A
T S
6. A maior altura será a altura relativa ao menor lado. O 
triângulo escaleno acutângulo, ABC pode ser qualquer 
e a conclusão será a mesma.
B
D
E
AD 5 5,9
BE 5 4,6
CF 5 5,6
C
F
A
53,2°
49,7°
90°
90°
90°
77,1°
8. O triângulo ABC é um triângulo retângulo, portanto, os 
lados BA e BC também são alturas relativas aos seus res-
pectivos lados e têm o ponto B em comum. Deste modo, 
construindo a altura relativa ao lado AC , verificamos 
que o ortocentro coincide com o vértice B.
9. Como é afirmado que em cada item os triângulos são 
congruentes, então:
9. a) Os lados AB e ED são congruentes, pois são la-
dos opostos aos ângulos congruentes C�; os lados 
AC e CD são congruentes, pois são lados opostos 
aos ângulos congruentes E B� � e ; os lados BC e CD 
são congruentes, pois são lados opostos aos ângulos 
congruentes A D� � e . 
9. b) Os lados AB e QP são congruentes, pois são lados 
opostos aos ângulos congruentes, C R� � e ; os lados 
AC e QR são congruentes, pois são lados opostos 
aos ângulos congruentes, B P� � e ; os lados BC e PR 
são congruentes, pois são lados opostos aos ângulos 
congruentes A Q� � e . 
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A
10. a) Os ângulos A D� � e são congruentes, pois são ân-
gulos  opostos aos lados congruentes, CE e CB ; 
os ângulos B E� � e são congruentes, pois são ângu-
los  opostos aos lados congruentes, AC e CD; os 
ângulos C Ce1 2
� � são congruentes, pois são ângulos 
opostos aos lados congruentes AB e DE.
10. b) Os ângulos A M� � e são congruentes, pois são ân-
gulos  opostos aos lados congruentes BC e NP ; 
os ângulos C N� � e são congruentes, pois são ângu-
los  opostos aos lados congruentes, AB e MP; os 
ângulos B P� � e são congruentes, pois são ângulos 
opostos aos lados congruentes AC e MN.
11. Os triângulos são congruentes, então os lados AB e 
MN são congruentes, assim, 5x + 13 = 7x ‒ 3. Então, 
7x ‒ 5x = 13 + 3, resultando em 2x = 16 e, por fim, x = 8. 
Pela congruência de AC e PM , temos x + 12y = 6x + 4y, 
portanto (8) + 12y = 6(8) + 4y, resultando em 12y ‒ 4y = 
= 48 ‒ 8, logo 8y = 40, y = 5. 
12. Os triângulos são congruentes e então, os ângulos T C� � e 
são congruentes, assim 3y = 45; logo, y = 15°. Como 
7x + 2y = 58, temos 7x + 2 ⋅ (15) = 58. Então, 7x = 58 ‒ 30 = 
= 28 ⇒ x = 4°. Portanto, as medidas são x = 4° e y = 15°.
13. a) Os lados AD e AB são congruentes. O ângulo A� é 
congruente em ambos os triângulos e o lado AC é 
comum aos dois triângulos. O caso de congruência 
é LAL.
13. b) Como as retas r e s são paralelas, o ângulo O� é con-
gruente em ambos os triângulos, bem como o ângulo 
P� e N� são congruentes (ângulos alternos internos) 
e, ainda, M e Q são congruentes (alternos internos); 
então, os triângulos são congruentes pelos casos ALA 
ou LAAO. 
13. c) Os lados TR e SU são congruentes. O lado RS é co-
mum aos dois triângulos; portanto, como os ângulos 
R S� � e são congruentes, o caso de congruência é o LAL.
14. a) Pelo caso de congruência LAL, temos que x = 78° e 
y = 40°.
14. b) Pelo caso de congruência ALA, temos que y = 20 e 
x = 15.
14. c) Pelo caso de congruência ALA, temos que y + 7 = 13, 
y = 6 e x + y = 9 ⇒ x + 6 = 9 ⇒ x = 3.
15. Sabemos que os lados BA , AD e CA , AE são congruen-
tes; além disso, o ângulo A� é congruente em ambos os 
triângulos, pois são ângulos opostos pelo vértice. Desse 
modo, os triângulos DAC e BAE são congruentes.
16. a) A mediana (segmento AM ) é comum aos dois triân-
gulos. Os lados BM e MC são congruentes, pois M 
é o ponto médio do segmento BC. Além disso, o 
triângulo ABC é equilátero, portanto os lados AB e 
AC são congruentes. O caso de congruência é LLL.
16. b) A bissetriz (segmento AD) divide o A� em dois ângulos 
congruentes; além disso, o segmento AD é comum 
aos dois triângulos. Os lados AB e AC são con-
gruentes, pois o triângulo ABC é equilátero. O caso 
de congruência é LAL.
LXXIX
16. c) A altura (segmento AH ) é comum aos dois triân-
gulos, além disso os ângulos 1
�H e 2
�H são retos. Os 
lados AB e AC e os ângulos B� e C� são congruentes, 
pois o triângulo ABC é equilátero. O caso de con-
gruência é LAAo.
16. d) Sim, pois em triângulos equiláteros a altura, mediana 
e bissetriz são segmentos que coincidem.
17. a) O segmento CD é o diâmetro da circunferência 
de centro O. Assim, os segmentos AE e EB são 
congruentes, pois o ponto E é ponto médio do seg-
mento AB (o diâmetro corta perpendicularmente 
uma corda passando por seu ponto médio). Os seg-
mentos BO e AO são congruentes, pois são raios 
da circunferência de centro O. Desse modo, pelo 
caso de congruência entre triângulos retângulos, os 
triângulos OAE e OBE são congruentes. Outro caso 
possível é LAL, uma vez que o segmento OE é comum 
aos dois triângulos.
17. c) O é o centro da circunferência, portanto x + 3y 
= 2x + 4, reduzindo em x = 3y ‒ 4. Além disso, 
x + y = 2x ‒ y, reduzindo em 2y = x. Assim, pela 
igualdade 2y = 3y ‒ 4 ⇒ y = 4 e, então, x = 2 ⋅ 4 = 8. 
Portanto, o diâmetro é 40, pois x + 3y + 2x + 4 = 
= 8 + 3 ⋅ (4) + 2 ⋅ (8) + 4 = 40. O raio equivale a 20 
(pois 40 : 2 = 20) e a corda AB equivale a 24, pois 
2(x + y) = 2 ⋅ 12 = 24. 
Para saber mais
Páginas 172 e 173
2. Traçando ângulos centrais de 30°, é possível encontrar 
os 12 vértices do dodecágono procurado. 
B
A
30° 4
B
J
I E
H
D
C
G
F
A
L
K
30°30°
30°30°
30°30°
30° 30°
30°30°
30°30°
4
B
J
I E
H
D
C
G
F
A
L
K
30°30°
30°30°
30°30°
30° 30°
30°30°
30°30°
4
Exercício complementares 
1. a) Falsa. Resposta possível: o ponto de encontro da 
medianas de um triângulo chama-se baricentro.
1. d) Falsa. Resposta possível: o lado oposto ao ângulo reto 
de um triângulo retângulo chama-se hipotenusa.
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2. O triângulo é equilátero; portanto, as medianas, alturas 
e bissetrizes se coincidem. Desse modo, a intersecção 
formada pelas cevianas são o ortocentro, o baricentro 
e o incentro. 
C
A M3
M1M2
B
3. Construção da figura; por exemplo, no caso das bissetri-
zes, a figura a seguir. O ponto E encontrado é baricentro, 
incentro e ortocentro desse triângulo, porque ABC é 
equilátero por construção.
C
A M3
M1M2
r
R
G
B
4. Construindo conforme a descrição e medindo os seg-
mentos, conforme representado na imagem a seguir, é 
possível concluir que, sempre, o segmento de extremos 
no ponto médio e no baricentro (por exemplo, PG) cabe 
duas vezes no respectivo segmento de extremos no 
baricentro e no vértice (por exemplo, GB).
C
A R
P
G
Q
B
3,4
4
2,3
2
1,7
4,6
 
5. Alternativa e. A bissetriz do ângulo reto divide o ângulo 
em dois ângulos que medem 45°. O ângulo formado 
entre a bissetriz e a altura é 25°; desse modo, a situação 
descrita está representada a seguir.
C
D
E
A
B
Altura
Bissetriz
IL
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 D
A
 E
D
IT
O
R
A
LXXX
O ângulo ˆEBC mede 20º, pois é a diferença entre os 
ângulos ˆDBC e ˆDBE e 45 ‒ 25 = 20. Como a soma dos 
ângulos internos de um triângulo é 180°, em EBC, se 
m BCA x�( ) = ; logo, 90 + 20 + x = 180 ⇒ x = 180 ‒ 110 = 70, 
então m BCA�( )= 70°. Então, pela mesma propriedade, 
90° + 70° + m BAC�( ) = 180°, portanto m BAC�( ) = 180° ‒ 160° = 
= 20°.Alternativa e. 
6. As bissetrizes dividem os ângulos, respectivamente em 
25° e 45°. Assim, no triângulo ABC, com m ABC�( ) = 90° e 
m BCA�( ) = 50°, se o ponto de encontro entre as bissetrizes 
é F, o triângulo BCF possui ângulos de 25°, 45° e x, que é 
a medida do ângulo procurado. Como soma das medi-
das dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então: 
25° + 45° + x = 180° ⇒ x = 180° ‒ 70° = 110°
C
D
x
A
B
E
F
45°
25°
50°
90°
Verificando 
1. Alternativa d. O é o baricentro; desse modo, incide no 
lado pelo ponto médio, então o segmento BC mede 
36 cm, AC mede 30 cm e BA mede 24 cm. Assim, o 
perímetro tem medida 90 cm, pois: 36 + 30 + 24 = 90 
2. Alternativa b. O baricentro é o centro de gravidade do 
triângulo, pois é formado pelo encontro das medianas.
3. Alternativa b. O ângulo B� mede 32°, pois AD é a bissetriz 
do ângulo B�. Pela soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um triângulo, temos que 32 + 90 + m C�( ) = 180 ⇒ 
⇒ m C�( ) = 58. Logo, o ângulo C� mede 58°. 
4. Alternativa c. O incentro é o ponto equidistante dos 
vértices do triângulo.
5. Alternativa a. O segmento AE é a altura relativa à base 
CB, pois a ceviana AE forma um ângulo reto com a reta 
suporte da base CB.
6. Alternativa d. O ortocentro é formado pela intersecção 
das retas suporte das alturas dos triângulos; portanto, se 
esse triângulo for obtusângulo, ou seja, um dos ângulos 
do triângulo medir mais que 90°, a intersecção das altu-
ras relativas aos seus respectivos lados estará na região 
externa do triângulo.
7. Alternativa a. Os triângulos são congruentes, portanto, 
C� é congruente a F�, que mede 36°. Pela soma das medi-
das dos ângulos internos de um triângulo, o ângulo D� , 
que é congruênte ao ângulo A� , mede 54°, pois 54 + 36 + 
+ 90 = 180. Pelo mesmo argumento, os lados EF e BC 
são congruentes; logo, o perímetro mede 14,8 cm, pois 
5 + 3,6 + 6,2 = 14,8
R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
8. Alternativa c. Considerando somente um lado e um ân-
gulo ou somente as medidas dos ângulos, não é possível 
afirmar que dois triângulos são congruentes.
Diversificando
1. É interessante questionar, por exemplo, qual seria o 
menor e o maior caminho que o robô poderia percorrer.
2. O labirinto não apresenta simetria, pois, construindo 
o eixo de simetria no centro da figura, não é possível 
obter um caminho que seja simétrico. Por outro lado, 
existem caminhos que são simétricos, por exemplo, o 
caminho mais curto. Dê 1 passo e vire 90° à direita. Dê 
3 passos e vire 90° à esquerda. Dê 12 passos e vire 90° a 
esquerda. Dê 3 passos e vire 90° à direita. Dê um passo 
à frente.
3. Em ambos os casos, existem duas combinações. Os 
dois desenhos são formados apenas com dois tipos de 
azulejo: um inteiro branco e outro com metade azul e 
metade branco. 
4. A primeira combinação não possui eixo de simetria, pois 
as partes não são simétricas. Já na segunda combinação, 
é possível obter quatro eixos de simetria, todos passan-
do pelo centro da figura: um no eixo vertical, um no eixo 
horizontal e dois eixos nas diagonais do quadrado. 
Capítulo 8 – A Geometria demonstrativa 
• Objetivos do capítulo e justificativas 
 • Compreender o que são demonstrações geométricas.
 • Aplicar congruência de triângulos em demonstrações geométricas.
 • Resolver problemas com base no conceito de mediatriz e bissetriz 
como lugares geométricos.
 • Construir reta perpendicular a uma reta dada.
 • Reconhecer figuras obtidas por composições de transformações 
geométricas.
As demonstrações geométricas apresentadas neste capítulo 
e os problemas envolvendo as demonstrações de propriedades 
de triângulos, mobilizam conhecimentos sobre mediatriz de um 
segmento e bissetriz de ângulo e favorecem o desenvolvimento 
das competências gerais 2 e 4 e da competência específica 2, 
pois os estudantes devem investigar a validade de propriedades 
e apresentar argumentos que justifiquem as demonstrações. As 
demonstrações das propriedades também mobilizam aspectos 
da competência específica 5, já que os estudantes devem utilizar 
procedimentos e ferramentas matemáticas nas demonstrações.
Além disso, desenvolvem-se a competência geral 1 e a com-
petência específica 1, ao explorar aspectos históricos sobre a 
geometria empírica e a geometria demonstrativa, o que contribui 
para os estudantes perceberem que os conhecimentos matemáticos 
são fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas 
em diferentes momentos históricos.
Ao trabalhar com obras de arte como a proposta na abertura 
ou com noções sobre fractais, os estudantes têm a oportunidade 
de fruir diferentes manifestações artísticas e podem desenvolver a 
competência geral 3.
O contexto utilizado para explorar pesquisas censitárias e 
pesquisas amostrais, neste capítulo, favorece o desenvolvimento 
LXXXI
das competências gerais 9 e 10 e a competência específica 8, 
pois os estudantes deverão, em grupos, pesquisar e discutir sobre 
a importância de agir e tomar decisões com base em princípios 
democráticos, solidários e inclusivos.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio 
da identificação da congruência de triângulos.
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como 
lugares geométricos na resolução de problemas.
Este capítulo dá continuidade ao capítulo anterior, aplicando os 
conceitos de mediatriz de um segmento e bissetriz de um ângulo e 
a congruência de triângulos em demonstrações de algumas proprie-
dades e na resolução das atividades, vinculadas à Unidade Temática 
Geometria; dessa maneira, os estudantes antecipam aspectos rela-
cionados ao desenvolvimento da habilidade (EF08MA14) e aplicam 
os conhecimentos associados ao desenvolvimento da habilidade 
(EF08MA17).
A articulação com a Unidade Temática Álgebra é feita na seção 
Diversificando, que aborda a regularidade existente nos fractais. O 
trabalho com este capítulo visa embasar os conhecimentos que 
serão construídos no 9o ano relativo a demonstrações (EF09MA10 e 
EF09MA13). 
• Comentários e resoluções 
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Exercícios propostos
1. Medindo com uma régua ou usando outro instrumento, 
como um barbante ou tira de papel, é possível concluir 
que os segmentossão congruentes e, por isso, nenhum 
deles é maior. 
2. b) Falso, pois há aves que não são galos, como os patos.
3. Os teoremas são propriedades que podem ser demons-
tradas, um teorema é composto de duas partes: hipótese 
é a parte que se supõe conhecida, e tese é a parte que 
se deseja provar.
3. a) Hipótese: um número é múltiplo de 3 e de 5; tese: 
esse número é múltiplo de 15.
3. b) Hipótese: uma altura de um triângulo é bissetriz; 
tese: esse triângulo é isósceles.
3. c) Hipótese: duas retas cortadas por uma reta trans-
versal são paralelas; tese: essas retas determinam 
ângulos alternos internos de mesma medida.
4. a) Falsa. O triângulo pode ser equilátero.
4. b) Verdadeira, pois triângulos retângulos têm um 
ângulo interno de medida 90°, e todos os ângulos 
internos dos triângulos equiláteros medem 60°. 
4. c) Falsa. As bissetrizes formam um ângulo de medida 
120°.
10. Como os ângulos da base de um triângulo isósceles são 
congruentes, sendo x a medida dos ângulos B� e C�:
x + x + 72° = 180° ⇒ 2x = 180° ‒ 72° ⇒ x = 108
2
° ⇒ x = 54° 
11. Como AB ≅ AC , conclui-se que △ABC é isósceles de 
base BC . 
11. a) Como a altura relativa à base de um triângulo isósce-
les coincide com sua mediana, tem-se que BH ≅ CH . 
Portanto:
m(CH ) = m(BH ) = 2
m( BC ) = m(BH ) + m(CH ) = 2 + 2 = 4 (4 cm)
11. b) Como a altura relativa à base de um triângulo isós-
celes coincide com sua bissetriz interna, conclui-se 
que m( 1
�A ) = 40°.
11. c) Como os ângulos da base de um triângulo isósceles 
são congruentes, sendo x = m(B�) = m(C�), no △ABC 
tem-se:
(40° + 40°) + x + x = 180° ⇒ 2x = 180° ‒ 80° ⇒
⇒ x = 
100
2
°
 ⇒ x = 50°
12. Com as informações do enunciado, e como a altura 
relativa à base de um triângulo isósceles coincide com 
sua mediana, tem-se que BH ≅ HC. Portanto: m( HC ) = 
= m( BH ) = 3,5 cm
13. a) No triângulo maior: 2x + 2x + 62° = 180° ⇒ 
⇒ 4x = 180° ‒ 62° ⇒ x = 118
4
° ⇒ x = 59
2( )° = 29°30’
E no triângulo menor: x + x + y = 180° ⇒ 2x + y = 180°
Então, substituindo x por 59
2( )° nessa última equação:
2 ⋅ 59
2( )° + y = 180° ⇒ 59° + y = 180° ⇒ 
⇒ y = 180° ‒ 59° ⇒ y = 121°
13. b) No triângulo maior: 75° + 62° + y = 180° ⇒ 
⇒ 137° + y = 180° ⇒ y = 180° ‒ 137° ⇒ y = 43°
Como o triângulo menor é isósceles, com seus ângulos 
da base medindo y, então: x + y + y = 180° ⇒ x + 2y = 180°
Então, substituindo y por 43° nessa última equação: 
x + 2 ⋅ 43° = 180° ⇒ x + 86° = 180° ⇒ x = 180° ‒ 86° ⇒ x = 94°
13. c) Como o triângulo maior possui dois ângulos de 
mesma medida, esse triângulo é isósceles. Então, 
comparando os lados congruentes, opostos a cada 
ângulo de 65°, tem-se:
5x ‒ 3° = 12° ⇒ 5x = 12° + 3° ⇒ x = 15
3
° ⇒ x = 3°
Como a altura relativa à base de um triângulo isós-
celes coincide com sua mediana, então 3 1
2
= +y x . 
Com x = 3°, temos: y = 
3 3 1
2
10
2
· + =° ° ° ⇒ y = 5° 
16. a) Os ângulos internos da base do triângulo isósceles 
maior medem 75°, pois 180 ‒ 105 = 75. Portanto, nes-
se triângulo maior verifica-se que a soma de seus 
ângulos internos é:
3x + 75 + 75 = 180 ⇒ 3x = 180 ‒ 150 ⇒ x = 30
3
 ⇒ x = 10
Então, como os ângulos internos da base do triângu-
lo menor que é isósceles medem y, e o ângulo do 
LXXXII
vértice oposto mede x = 10°, nesse triângulo tem-se:
10 + y + y = 180 ⇒ 2 y = 180 ‒10 ⇒ y = 170
2
 ⇒ y = 85
Logo, a medida y é 85°.
16. b) Os ângulos internos da base do triângulo isósceles 
medem x, e o ângulo do vértice oposto mede 120°; 
então, nesse triângulo tem-se:
120 + x + x = 180 ⇒ 2x = 180 ‒ 120 ⇒ x = 60
2
 ⇒ x = 30
Logo, x = 30°; assim, conclui-se que o triângulo maior 
tem os ângulos medindo 80°, x e x + y, ou seja:
80 + x + (x + y) = 180 ⇒ 80 + 30 + (30 + y) = 180 ⇒
⇒ 140 + y = 180 ⇒ y = 180 ‒ 140 ⇒ y = 40
Logo, y = 40°.
17. Incentive os estudantes a elaborarem situações-
-problema envolvendo diferentes contextos, inclusive 
geométricos; depois, solicite-lhes que compartilhem 
com os colegas os problemas elaborados. Desenvolva 
a resolução de alguns deles na lousa.
19. a) O lado de maior medida opõe-se ao ângulo de maior 
medida. O ângulo interno de vértice B do triângulo 
mede 90°, por isso ele é o maior ângulo interno do 
triângulo. Logo, AC é o maior lado, e AB, o menor 
lado.
19. b) O ângulo interno de vértice B do triângulo mede 120°, 
pois 180 ‒ 60 = 120, por isso ele é o maior ângulo 
interno do triângulo. Logo, AC é o maior lado, e BC , 
o menor lado.
20. Como o maior lado é o que mede 5,5 cm, conclui‒se que 
o maior ângulo interno é o do vértice oposto B, mesmo 
que a figura não aparente esse resultado. Como o menor 
lado é o que mede 3 cm, conclui‒se que o menor ângulo 
interno é o do vértice oposto A, mesmo que a figura não 
aparente esse resultado.
21. O ângulo de 100° é obtuso e, portanto, o maior dos três 
ângulos internos do triângulo. Assim, o lado oposto a esse 
ângulo é o maior lado do triângulo, que mede 5,5 cm. 
22. Como 60 > 40, o lado oposto ao ângulo de 60° é maior 
que o lado oposto ao ângulo de 40°. Portanto, Ana mora 
mais longe da lanchonete do que Renata.
23. a) Não é possível, pois ao ângulo de maior medida deve 
se opor o lado de maior medida, e isso não ocorreu.
23. b) Não é possível, pois a soma das medidas dos ângulos 
internos de um triângulo é 180°, e isso não ocorreu.
24. No vértice onde está Marcos, o ângulo interno do triân-
gulo mede 75°, pois 180 ‒ 105 = 75, e sendo y a medida 
do ângulo interno no vértice onde está Daniel:
y + 75 + 60 = 180 ⇒ y + 135 = 180 ⇒ y = 180 ‒ 135 ⇒ y = 45
Portanto, x = 75° e y = 45°.
25. a) O ângulo interno de vértice D do △CDE mede 60°, 
pois 180 ‒ 120 = 60. Então, y = 60°, pois y + 60 + 60 = 
= 180 ⇒ y + 120 = 180 ⇒ y = 180 ‒ 120 ⇒ y = 60
Como as retas AB e CD são paralelas, o ângulo x cor-
responde ao ângulo interno de vértice D do triângulo 
CDE. Logo, x = 60°.
25. b) Como as retas AB e CD são paralelas, o ângulo x é al-
terno interno em relação ao ângulo dado de medida 
48°. Portanto, x = 48°. Do mesmo paralelismo, o ângu-
lo interno de vértice D do triângulo CDE é correspon-
dente ao ângulo interno de vértice B do triângulo ABE, 
que mede 80°. Assim, y = 52°, pois: y + 48 + 80 = 180 ⇒ 
⇒ y +128 = 180 ⇒ y = 180 ‒ 128 ⇒ y = 52°
Exercícios complementares
1. Os ângulos internos do lado oposto ao ângulo b do 
triângulo medem:
• 180° ‒ a = 180° ‒ 105° = 75°
• 180° ‒ x 
Portanto, nesse triângulo, a soma dos ângulos internos 
é dada por
40 + 75 + 180 ‒ x = 180
115 ‒ x = 0
x = 115
Portanto, x = 115°.
Alternativa e.
2. Sejam z igual a metade do ângulo reto e w igual à metade 
do ângulo agudo desconhecido do triângulo maior. No 
vértice do ângulo reto tem-se: 
z + z = 90 ⇒ 2z = 90 ⇒ z = 90
2
 ⇒ z = 45
No triângulo maior: 90 + 50 + 2w = 180 ⇒ 140 + 2w = 
= 180 ⇒ 2w = 180 ‒ 140 ⇒ w = 40
2
 ⇒ w = 20
Logo, z = 45° e w = 20°.
No triângulo menor, verificamos que a soma dos ângulos 
internos é dada por: x + z + w = 180 ⇒ x + 45 + 20 = 180 ⇒ 
⇒ x = 180 ‒ 65 ⇒ x = 115
Finalmente, no vértice do ângulo agudo da base:
w + w + y = 180 ⇒ 20 + 20 + y = 180 ⇒ y = 180 ‒ 40 ⇒ 
⇒ y = 140
Logo, x = 115° e y = 140°.
3. Os ângulos internos do do triângulo cujos vértices são 
as intersecções entre as retas t e u, entre as retas s e u 
e entre as retas s e t medem: 35° (oposto pelo vértice ao 
ângulo dado); 70° (oposto pelo vértice ao ângulo dado); 
180° ‒ x (suplementar de x). Assim, nesse triângulo:
35 + 70 + (180 ‒ x) = 180 ⇒ 105 + 180 ‒ x = 180 ⇒
⇒ 105 ‒ x = 0 ⇒ 105 = x
Logo, x = 105°. Alternativa e.
4. O triângulo BA’E é isósceles, pois, do enunciado, BE ≅ BA’. 
Sendo x a medida dos ângulos congruentes internos da 
base EA’, como B é vértice de um ângulo reto:
90 + x + x = 180 ⇒ 2x = 180 ‒ 90 ⇒ x = 90
2
 ⇒ x = 45
Logo, a medida do ângulo é 45°.
LXXXIII
6. Sendo x a medida do ângulo procurado, m DEC x�( ) = , 
e y as medidas dos ângulos determinados pelas bis-
setrizes dos ângulos da base do triângulo ABC, então 
m DCE m ECB y� �( ) ( )= = ; como triângulo ABC é isósceles, 
então m ACB m ABC y� �( ) ( )= = 2 ; e comoBD é bissetriz, tem-
-se que m ABD m DBC� �( ) ( )= = 
m ABC y
y
�( )
2
2
2
= = . A figura a 
seguir indica todos esses ângulos.
C F
D
xy
y y
y
A
B
E
140°
Do vértice C, conclui-se que y = 20°, pois: 2y + 140 = 180 ⇒ 
⇒ 2y = 180 ‒ 140 ⇒ y = 40
2
 ⇒ y = 20. Notando que o ân-
gulo de medida x é externo do triângulo BCE no vértice E, 
tem-se: x = y + y = 20 + 20 = 40. Logo, x = 40°. Alternativa c.
7. Como x é a medida de um ângulo externo do △ABC no 
vértice B: x = 33° + 45° = 78°. Como as retas 
� ���
DE e 
� ���
BC 
são paralelas, os ângulos agudos de vértices D e C se 
correspondem. Portanto: y + 45° = 180° ⇒ y = 180° ‒ 45° ⇒ 
⇒ y = 135°. 
8. Como AC = BC, então △ABC é isósceles de base AB e, 
portanto, os ângulos de sua base têm a mesma medida 
de 25°. Como BC = BD, então △BCD é isósceles de base 
CD e, portanto, os ângulos de sua base têm a mesma 
medida y. Como o ângulo de medida y no vértice C é ân-
gulo externo do △ABC, tem-se: y = 25° + 25° = 50°. Como 
o ângulo de medida x no vértice B é ângulo externo do 
△ABD, tem-se: x = 25° + y = 25° + 50° = 75°. Alternativa d.
9. Supondo que as linhas pontilhadas sejam paralelas, 
os ângulos de medidas α e 150° são colaterais internos, 
então: α +150° = 180° ⇒ α = 180° ‒ 150° ⇒ α = 30°. Subs-
tituindo α por 30° na equação dada pelo enunciado: 
α + β = 135° ⇒ 30° + β = 135° ⇒ β = 135° ‒ 30° ⇒ β = 105°. 
Como os ângulos de medida θ e α + β = 135° também 
são colaterais internos em relação às retas pontilhadas: 
θ + 135° = 180° ⇒ θ = 180° ‒ 135° ⇒ θ = 45°. Alternativa c.
10. Sendo x a medida do ângulo procurado, como os dois 
trechos têm o mesmo comprimento, o triângulo na fi-
gura é isósceles e, portanto, possui 2 ângulos internos 
de medida (x + 18)°. Então, prolongando a trajetória do 
primeiro trecho, obtemos um ângulo correspondente ao 
de 18° entre a primeira trajetória do avião e a direção 
norte, conforme a figura a seguir:
18° N
S
LO
x
x 1 18° 44°
18°
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
Como o ângulo de medida 62° (44 + 18 = 62) é ângulo 
externo do triângulo isósceles:
(x + 18) + (x + 18) = 62 ⇒ 2x + 36 = 62 ⇒ 2x = 62 ‒ 36 ⇒ 
⇒ x = 26
2
 ⇒ x = 13. Assim, x = 13°. Alternativa b.
Verificando
1. Triângulos congruentes têm elementos corresponden-
tes de medidas iguais. Alternativa d.
2. Do enunciado constrói-se a figura:
u
v
r
t
A B
E
C
D
Como △ABC ≅ △DCE, as alturas relativas ao vértice C 
de ambos os triângulos têm a mesma medida. Assim, 
o ponto C é equidistante das retas r e t. Alternativa a.
3. Como os triângulos equiláteros são triângulos isósceles 
em que qualquer lado pode ser considerado como sendo 
a base, a propriedade da coincidência entre bissetriz 
interna, altura e mediana relativas à base dos triân-
gulos isósceles vale para todos os lados dos triângulos 
equiláteros. Alternativa c.
4. △ABC e △ADC são congruentes pelo caso ALA, pois:
CAB C� � ≅ B CAD� � (AC é bissetriz de BAD� )
AC ≅ AC (lado comum aos triângulos)
ACB A� � ≅ B ACD� � (AC é bissetriz de BAD� )
Alternativa d.
5. Sendo θ a medida do ângulo interno de vértice A do 
triângulo ABC, obtemos △ABC:
θ + α + β = 180° ⇒ θ + 82° + 69° = 180° ⇒ 
⇒ θ = 180° ‒151° ⇒ θ = 29°
Como ( ) ( )=m AD m DE , o △ADE é isósceles de base AE , 
então ( ) ( ) θˆ ˆ= =m DAE m DEA ; assim: γ + θ + θ = 180° ⇒ 
⇒ γ + 29° + 29° = 180° ⇒ γ + 58° = 180° ⇒ γ = 180° ‒ 58° ⇒ 
⇒ γ = 122°.
Alternativa d.
6. Assim como nos triângulos isósceles, a altura de um 
triângulo equilátero coincide com sua mediana e 
com sua bissetriz interna. Portanto: ( ) 25 cm=m CD , 
pois o lado mede 50 cm e 50 : 2 = 2; m DAC�( ) = 30°, pois 
a medida do ângulo interno de um triângulo equilátero 
é 60° e 60 : 2 = 30. Alternativa c.
7. Como o triângulo é isósceles de base AC , obtemos 
m A m C� �( ) ( )= = 22°. Então, como α é a medida do ângulo 
externo oposto à base do triângulo, α = 22° + 22° = 44°.
Alternativa b.
LXXXIV
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam gran-
dezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de 
estratégias variadas.
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio 
da identificação da congruência de triângulos.
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou 
softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como 
lugares geométricos na resolução de problemas.
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas 
de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo 
de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como 
determinar medida de terrenos.
O foco deste capítulo é a Unidade Temática Geometria, em 
que ampliamos os temas abordados em capítulos anteriores deste 
livro, a fim de consolidar e aprofundar os conhecimentos construí-
dos e visando dar subsídios para o que será estudado no 9o ano 
(EF09MA12 e EF09MA13).
Desenvolvem-se atividades com novas construções geo-
métricas e novas aplicações da congruência de triângulos para 
demonstrações de propriedades de quadriláteros, o que se rela-
ciona ao desenvolvimento da habilidade (EF08MA14) e mobiliza 
conhecimentos relativos às habilidades (EF08MA15) e (EF08MA17). 
A aplicação de expressões de cálculo de medidas de área de figuras 
geométricas e a resolução e elaboração de problemas envolvendo 
medidas de área possibilitam o desenvolvimento da habilidade 
(EF08MA19).
A relação entre o número de lados de um polígono e a soma 
das medidas dos ângulos internos exemplifica a não proporciona-
lidade, o que, por contraposição, reforça o desenvolvimento das 
habilidades (EF08MA12) e (EF08MA13).
Articulam-se as Unidades Temáticas Álgebra, com a iden-
tificação de grandezas não proporcionais na seção Para saber 
mais (Polígonos e proporcionalidade), Grandezas e medidas, na 
resolução de atividades que envolvem a noção de área e volume, 
e Probabilidade e estatística, com a análise de informações em 
rótulos de embalagens na seção Trabalhando a informação.
• Comentários e resoluções 
Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e 
atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam 
nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompa-
nham as reproduções das páginas do livro do estudante.
Exercícios propostos
2. a) No quadrilátero MNPQ, tem-se:
80° + 108° + 105° + x = 360° ⇒ 293° + x = 360°
x = 360° ‒ 293° ⇒ x = 67°
2. b) No vértice Q, tem-se:
y = 180° ‒ 108° = 72°
Capítulo 9 – Estudo dos quadriláteros 
• Objetivo do capítulo e justificativas 
 • Utilizar congruência de triângulos para demonstrações de pro-
priedades de quadriláteros.
 • Construir quadriláteros utilizando instrumentos de desenho.
 • Reconhecer que a soma das medidas dos ângulos internos (e a 
dos ângulos externos) e o número de lados de um polígono não 
são grandezas proporcionais.
 • Resolver problemas com base no conceito de mediatriz e de 
bissetriz como lugares geométricos.
 • Resolver problemas envolvendo o conceito de área e de volume.
 • Analisar informações contidas em rótulos de embalagens.
Neste capítulo, o estudo de quadriláteros se apoia, princi-
palmente, no desenvolvimento da competência geral 2 e das 
competências específicas 2 e 5. Ao explorar os elementos e 
propriedades dos quadriláteros, mobilizam-se conhecimentos 
e conteúdos trabalhados anteriormente a fim de validar ou de 
demonstrar tais propriedades. Os estudantes também enfrentam 
situações-problemas em diferentes contextos e em situações ima-
ginadas e, ao expor seus argumentos ou conclusões aos colegas, 
desenvolvem a competência específica 6.
O contexto do capítulo possibilita apresentar obras de arte e 
desenvolver a competência geral 3, pois os estudantes podem 
fruir diferentes manifestações artísticas.
Os problemas envolvendo medidas de ângulos, medidas de 
área e medidas de comprimento, associados às propriedades de 
quadriláteros,possibilitam desenvolver aspectos da competência 
específica 3, de maneira que os estudantes podem relacionar 
conhecimentos da Unidade Temática Grandezas e Medidas e de 
Geometria.
O Trabalho com a análise de informações em rótulos de embala-
gens na seção Trabalhando a informação possibilita aos estudantes 
refletir sobre as diferentes informações apresentadas em rótulos 
de produtos alimentícios, o que favorece o desenvolvimento da 
competência geral 8 e da competência específica 7.
Na seção Para saber mais, ao trabalhar com a aplicação de con-
teúdos matemáticos no ramo da construção, contribuímos para o 
desenvolvimento da competência geral 6. 
O contexto utilizado para explorar pesquisas censitárias e 
pesquisas amostrais, neste capítulo, favorece o desenvolvimento 
das competências gerais 9 e 10 e a competência específica 8, 
pois os estudantes deverão, em grupos, pesquisar e discutir sobre 
a importância de agir e tomar decisões com base em princípios 
democráticos, solidários e inclusivos.
• Habilidades trabalhadas no capítulo 
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, 
diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, 
expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e 
representá-la no plano cartesiano.
LXXXV
3. a)
90°
90°
3. b)
3. c)
6
4. Sendo x a medida do quarto ângulo:
104° + 97° + 53° + x = 360° ⇒ x = 360° ‒ 254° = 106°
5. Como a soma das medidas dos ângulos internos é igual 
a 360°, tem-se:
x + (x + 40°) + (x + 80°) + 3x = 360°
6x + 120° = 360° ⇒ 6x = 240° ⇒ x = 40°
6. Sendo x = m(C�), tem-se: m(D� ) = 2x e m(A�) = m(B�) = 3x. 
Assim:
3x + 3x + x + 2x = 360° ⇒ 9x = 360° ⇒x = 360
9
° ⇒ x = 40°
Portanto: m( C� ) = 40o e m(A� ) = 120° (3 ⋅ 40° = 120°).
7. Sendo x a medida do ângulo de vértice D:
108° + 76° + 92° + x = 360° ⇒ 276° + x = 360° ⇒
⇒ x = 360° ‒ 276° ⇒ x = 84°
Então, sendo y a medida do ângulo formado pelas duas 
bissetrizes: 
D C
y
B
A
92°84°
108°
76°
Para o triângulo em destaque:
84
2
° + y + 92
2
° = 180° ⇒ 42° + y + 46° = 180° ⇒
⇒ 88° + y = 180° ⇒ y = 180° ‒ 88° ⇒ y = 92°
Portanto, o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângu-
los C� e D� mede 92°.IL
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8. a) 
70°
35°
35°
B
C
D
A
Ao construir um quadrilátero com todos os lados 
congruentes e um dos ângulos medindo 70°, os 
estudantes obterão um quadrilátero com mais um 
ângulo de medida 70°. Sendo os outros dois ângulos 
de medidas e considerando que a soma das medidas 
dos ângulos internos é igual a 360°, temos:
70° + 70° + x + x = 360° ⇒ 2x = 360° ‒ 140° ⇒ x = 110°
8. b) Ao traçar as diagonais, formam-se quatro triângu-
los congruentes. Tomando um deles, por exemplo, 
△ABM, tem-se: m BAM�( ) = 55°; m ABM�( ) = 35°. Sabendo 
que a soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180°, temos:
 m AMB�( ) = 180° ‒ 90° = 90°
10. Sendo x a medida dos ângulos obtusos do paralelogra-
mo, temos:
74° + x + 74° + x = 360° ⇒ 148° + 2x = 360° ⇒ 
⇒ 2x = 212° ⇒ x = 106°
11. Sendo x a medida dos ângulos agudos do losango, temos:
125° + x + 125° + x = 360° ⇒ 250° + 2x = 360° ⇒
⇒ 2x = 360° ‒ 250° ⇒ 2x = 110° ⇒ x = 55°
12. a) Como os ângulos opostos de um paralelogramo são 
congruentes, então:
5x – 20° = 4x + 10° ⇒ 5x ‒ 4x = 30° ⇒ x = 30°
Assim, os ângulos obtusos medem 130°, pois:
4 ⋅ 30° + 10° = 130° 
Sabendo que a soma das medidas dos ângulos in-
ternos é igual a 360°, temos:
130° + y + 130° + y = 360° ⇒ 2y = 360° ‒ 260° ⇒
⇒ 2y = 100° ⇒ y = 50° 
12. b) y + 30° + 83° = 180° ⇒ y + 113° = 180° ⇒ 
⇒ y = 180° ‒ 113° ⇒ y = 67°
Como os ângulos de medidas x e y são alternos internos, 
x = y = 67°.
13. O ângulo suplementar adjacente ao ângulo externo de me-
dida 108° é o ângulo interno de medida 72° (180° ‒ 108° = 
= 72°). Assim, sendo os dois ângulos agudos do parale-
logramo de medidas 72° e os dois ângulos obtusos de 
medidas iguais a x, considerando que a soma das medidas 
dos ângulos internos é igual a 360°, temos:
72° + x + 72° + x = 360° ⇒ 2x = 360° ‒ 144° ⇒
⇒ 2x = 216° ⇒ x = 108°
Portanto, no paralelogramo há dois ângulos internos 
de medida 108o e dois ângulos internos de medida 72°.
LXXXVI
19. a) As diagonais de um retângulo são congruentes e, 
como os retângulos também são paralelogramos, 
suas diagonais interceptam-se em seus pontos mé-
dios. Então, x = 5 cm e y = 10 cm (y = 5 cm + 5 cm = 
= 10 cm).
19. b) Como os losangos também são paralelogramos, os 
lados AB e CD são paralelos; portanto, os ângulos de 
medidas y e 50° são alternos internos. Logo, y = 50°. 
As diagonais do paralelogramo são perpendiculares 
entre si e o △ACD é isósceles de base AC. Então, como 
a altura de um triângulo isósceles coincide com sua 
bissetriz interna, tem-se que �m BDC( ) = x. Sendo M 
o ponto de interseção das diagonais do losango, no 
△DMC:
x + 90° + 50° = 180° ⇒ x = 180° ‒ 140° = 40°
19. c) Como os quadrados também são losangos, x = 90o. 
Como as diagonais de um losango também são 
bissetrizes de seus ângulos internos, y = 45°, pois 
y = 90° : 2 = 45°.
20. Sendo x a medida do ângulo desconhecido e, como as 
diagonais de um retângulo determinam quatro triângu-
los isósceles em seu interior, considerando que a soma 
das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 
igual a 180°, temos:
x + x + 100° = 180° ⇒ 2x = 180° ‒ 100° ⇒
⇒ 2x = 80° ⇒ x = 40°
x x
100°
22. As diagonais do losango são bissetrizes de seus ângulos 
internos, então dois dos ângulos desse losango medem 
70°, pois 2 ⋅ 35° = 70°. Então, sendo x a medida dos outros 
dois ângulos internos:
x + 70° + x + 70° = 360° ⇒ 2x = 360° ‒ 140° ⇒
⇒ 2x = 220° ⇒ x = 110°
Portanto, no losango há dois ângulos de medida 70° e 
dois ângulos de medida 110°.
23. Ao construir um quadrado com duas diagonais de medida 
5,6 cm, serão formados lados de aproximadamente 4 cm, 
ou 40 mm.
5,6 cm
B
C
D
PA
40 mm
Assim, a área será 16 cm² (4 ⋅ 4 = 16). Como 1 cm² = 
= 100 mm², então 16 cm² = 1 600 mm².
25. 
Construção do losango.
5,4 cm
3,2 cm
Recorte segundo as diagonais.
2,7 cm
1,6 cm
Construção do retângulo.
As áreas do losango e do retângulo têm a mesma me-
dida, pois são formadas pelas mesmas partes. Como 
a medida da área do losango é igual à medida da área 
do retângulo de lados medindo 3,2 cm (uma diagonal 
menor) e 2,7 cm (metade da diagonal maior), temos:
A = 3,2 ⋅ 2,7 = 8,64
Portanto, a área do losango mede 8,64 cm².
26. a)
26. b)
45°45°
26. c) Não é possível construir esse quadrilátero. IL
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A
LXXXVII
29. 
B C
A D
P Q
Por se tratar de um retângulo, AD BC� . Como, por cons-
trução, PQ AD� , teremos PQ BC� .
30. a) Como a soma das medidas dos ângulos internos de 
um quadrilátero é igual a 360°, temos:
x + 4x + 3x + 2x = 360° ⇒ 10x = 360° ⇒ 
⇒ x = 360
10
° ⇒ x = 36°
No vértice superior direito do trapézio, por se tratar 
de ângulos suplementares, 3x + y = 180°. Então:
3 ⋅ 36° + y = 180° ⇒ 108° + y = 180° ⇒
⇒ y = 180° ‒ 108° ⇒ y = 72°
30. b) Como os ângulos da base maior são congruentes e o 
ângulo interno do vértice inferior esquerdo é alterno 
interno do ângulo de medida 70°, concluímos que 
a medida de x é 70°. O ângulo de medida x é suple-
mentar ao ângulo de medida y, então:
x + y = 180° ⇒ 70° + y = 180° ⇒ 
⇒ y = 180° ‒ 70° ⇒ y = 110°
31. a) Seja x a medida do ângulo agudo do trapézio, como 
a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 
360°, temos:
x + 3x + 90° + 90° = 360° ⇒ 4x = 360° ‒ 180° ⇒ x = 45°
Desse modo, o ângulo obtuso medirá 135° 
(3 ⋅ 45° = 135°).
31. b) O ângulo agudo mede 45°.
35. Sendo x a medida do ângulo agudo do trapézio, temos:
x + 2x + 90° + 90° = 360° ⇒ 3x = 180° ⇒ x = 60°
Portanto, os ângulos medem 90°, 90°, 60° e 120°
(2x = 2 ⋅ 60° = 120°).
36. É preciso recordar que os paralelogramos têm os lados 
opostos paralelos. Quando Fabiana escreve “pelo menos 
dois”, isso implica que podem ser mais de dois; portan-
to, Fabianainclui os paralelogramos em sua definição, 
que não está de acordo com a definição apresentada 
no capítulo.
39. a) 5,4 8,6
2
14
2
7+ = =
Então, x = 7 cm.
39. b) 9
2
+x = 6 ⇒ x + 9 = 2 ⋅ 6 ⇒ x = 12 ‒ 9 ⇒ x = 3
Logo, x = 3 cm.
39. c) 4,8
2
+x = 5,6 ⇒ x + 4,8 = 2 ⋅ 5,6 ⇒ 
⇒x = 11,2 ‒ 4,8 ⇒ x = 6,4
Logo, x = 6,4 cm.
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40. a) Os lados do △MNP medem: MN = 4,5 cm (9 : 2 = 4,5); 
MP = 5 cm (10 : 2 = 5); NP = 3 cm (6 : 2 = 3). Portanto, 
o perímetro do △MNP mede 12,5 cm, pois 4,5 + 5 + 
+ 3 = 12,5.
40. b) BC = 11 cm (2 ⋅ 5,5 = 11); AB = 7 cm (2 ⋅ 3,5 = 7); 
BC = 8 cm (2 ⋅ 4 = 8). Portanto, o perímetro do △ABC 
mede 26 cm (11 + 7 + 8 = 26).
41. a) Traçando a diagonal AC do quadrilátero, tem-se 
que MN é base média relativa à base AC do △BAC. 
Portanto: MN‖PQ .
41. b) Traçando a diagonal BD do quadrilátero, tem-se 
que QM é base média relativa à base BD do △BCD. 
Portanto: QM‖PN.
41. c) Como PQ é base média relativa à base AC do △BAC, 
tem-se: PQ ‖AC‖MN. Como PN é base média relativa 
à base BD do △BCD, tem-se:
PN‖BD‖QM
Como PQ ‖MN e PN‖QM, o quadrilátero MNPQ é um 
paralelogramo.
41. d) Neste caso, MN = 6 cm, pois 12 : 2 = 6.
41. e) Neste caso, QM = 8 cm, pois 16 : 2 = 8.
41. f) Neste caso, BD = 40 cm, pois 2 ⋅ 20 = 40.
44. a) Sendo x e y as medidas das bases do trapézio, temos:
2
+x y
 = 20 ⇒ x + y = 2 ⋅ 20 = 40
A medida do perímetro do trapézio é 64 cm (12 + 12 + 
+ x + y = 24 + 40 = 64).
44. b) Sendo x < y, temos:
y = 32 cm (8 + y = 40 ⇒ y = 32)
Para saber mais
Página 195
1.
Soma das medidas dos ângulos de polígonos
Polígono n Si Se
Triângulo 3 Si3 = (3 ‒ 2) ⋅ 180° = 180° Se3 = 360°
Quadrilátero 4 Si4 = (4 ‒ 2) ⋅ 180° = 360° Se4 = 360°
Pentágono 5 Si5 = (5 ‒ 2) ⋅ 180° = 540° Se5 = 360°
Hexágono 6 Si6 = (6 ‒ 2) ⋅ 180° = 720° Se6 = 360°
Heptágono 7 Si7 = (7 ‒ 2) ⋅ 180° = 900° Se7 = 360°
Octógono 8 Si8 = (8 ‒ 2) ⋅ 180° = 1080° Se8 = 360°
Eneágono 9 Si9 = (9 ‒ 2) ⋅ 180° = 1260° Se9 = 360°
Decágono 10 Si10 = (10 ‒ 2) ⋅ 180° = 1440° Se10 = 360°
2. a) 2 ⋅ Si3 = 2 ⋅ 180° = 360° = Si4, ou seja, o polígono é um 
quadrilátero.
2 ⋅ Se3 = 2 ⋅ 360° = 720°, ou seja, nenhum polígono.
LXXXVIII
2. b) 2 ⋅ Si3 = 3 ⋅ 180° = 540° = Si5, ou seja, o polígono é um 
pentágono.
3 ⋅ Se3 = 3 ⋅ 360° = 1080°, ou seja, nenhum polígono.
3. a) 2 ⋅ Si3 = 2 ⋅ 180° = 360° = Si4
2 ⋅ Se3 = 2 ⋅ 360° = 720°; Se6 = 360°
3. b) 2 ⋅ Si4 = 2 ⋅ 360° = 720° = Si6
2 ⋅ Se4 = 2 ⋅ 360° = 720°; Se8 = 360°
3. c) 2 ⋅ Si5 = 2 ⋅ 540° = 1 080° = Si8
2 ⋅ Se5 = 2 ⋅ 360° = 720°; Se10 = 360°
3. d) Dois lados não são suficientes para compor um 
polígono.
3. e) 3 ⋅ Si3 = 3 ⋅ 180° = 540° = Si5
3 ⋅ Se3 = 3 ⋅ 360° = 1080°; Se9 = 360°
4. Espera-se que os estudantes concluam que nem as 
grandezas Si e n, nem as grandezas Se e n formam pro-
porções.
Trabalhando a informação
1. Resposta possível: sabor uva, não contém glúten, ingre-
dientes, zero de açúcar, 15 g, código de barras, modo de 
preparo, validade, lote.
2. Sim, a gelatina não contém glúten.
3. A resposta depende da data em que a atividade é realizada.
4. Ela usou três caixinhas de 15 g, o que equivale a 45 g, 
pois 3 ⋅ 15 = 45. Na caixinha, informa-se que não é ne-
cessário usar açúcar, então Valentina não usou açúcar.
5. Para cada caixinha, é necessário usar 250 mL de água, 
então Valentina precisou de 750 mL de água (3 ⋅ 250 = 
= 750). Ao todo, Valentina precisa de 1500 mL de água 
(750 + 750 = 1 500), ou 1,5 L.
6. Espera-se que os estudantes respondam que sim, no 
contorno das imagens da uva.
7. Medida do comprimento: 6,0 cm; medida da altura: 5,0 
cm; medida da largura: 1,5 cm.
8. 8 retângulos e 5 trapézios.
9. Espera-se que os estudantes respondam que ela deve 
separar para reciclagem.
10. Resposta pessoal.
Exercícios complementares
1. a) Retângulo.
1. b) Trapézio isósceles.
1. c) Trapézio retângulo.
1. d) Quadrado.
2. 90° + 50° + x + 2x + 10° = 360° ⇒ 3x + 150° = 360° ⇒ 
⇒ 3x = 210° ⇒ x = 70°
3. ABCD é um paralelogramo, porque suas diagonais se 
intersectam nos respectivos pontos médios.
124,2°
124,2°
55,8° 55,8°M
C
B
A
D
4. 
M
A
B
CD
Como suas diagonais são perpendiculares entre si, 
então seus quatro lados são congruentes. Desse modo, 
trata-se de um losango.
5. a) Como os ângulos opostos de um paralelogramo são 
congruentes:
5x – 56° = 3x + 16° ⇒ 5x –3x = 16° + 56° ⇒
⇒ x = 72° : 2 ⇒ x = 36°
5. b) Os ângulos adjacentes a um mesmo lado do parale-
logramo são suplementares. Assim:
5x + 12° + 2x = 180° ⇒ 7x = 180° ‒ 12° ⇒
⇒ 7x = 168° ⇒ x = 168° : 7 ⇒ x = 24°
6. 
35°
x
Sendo x a medida dos ângulos agudos desse paralelo-
gramo, no vértice superior esquerdo do paralelogramo, 
seus ângulos obtusos medem 125° (35° + 90° = 125°). 
Do triângulo retângulo indicado na figura, temos:
x + 35° + 90° = 180° ⇒ x + 125° = 180° ⇒ x = 55°
7. Como as diagonais de um losango são bissetrizes de 
seus ângulos internos, seus dois ângulos agudos medem 
56°, pois 2 ⋅ 28° = 56°. Como os ângulos adjacentes a um 
mesmo lado de um losango são suplementares, seus dois 
ângulos obtusos medem 124°, pois 180° ‒ 56° = 124°.
8. a) Como os ângulos da base de um trapézio isósceles 
são congruentes, então suas medidas são iguais; 
assim:
3x + 10° = x + 40° ⇒ 3x – x = 40° ‒ 10° ⇒
⇒ 2x = 30° ⇒ x = 15°
IL
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LXXXIX
8. b) Como os ângulos adjacentes a um mesmo lado não 
paralelo de um trapézio são suplementares, então:
2x + 7° + 2x ‒ 27° = 180° ⇒ 4x = 200° ⇒ x = 50°
9. Considere x a medida do ângulo pedido.
118°
x
Por x ser alterno interno ao ângulo externo de medida 
118°, a medida de x é igual a 118°.
11. Como a base média mede 30 cm, 
x + y
2
 = 30 ⇒ x + y = 60.
Então, para a medida do perímetro, temos:
x + y + 10 + 10 = 60 + 20 = 80
Portanto, a medida do perímetro do trapézio é 80 cm.
12. 
B
M
BM 5 MD
C
D
A
△DMA pelo caso LAL, pois:
• BM ≅ MD (D é simétrico de B em relação a M)
• BMC� ≅ DMA� (opostos pelo vértice)
• AM ≅ MC (M é ponto médio de AC)
Então, os ângulos CBM ADM� � e são congruentes e, como 
eles também são alternos internos, conclui-se que os 
lados AD BC e são paralelos.
O mesmo raciocínio aplicado aos lados AB CD e garante 
que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
Verificando
1. Sendo x a medida do ângulo obtuso do trapézio, temos: 
x + 55° + 90° + 90° = 360° ⇒ x + 235° = 360° ⇒ x = 125°
Alternativa c.
2. Como os ângulos adjacentes a um mesmo lado de um 
paralelogramo são suplementares, no paralelogramo 
laranja, tem-se:
a + 70° = 180° ⇒ a = 180° ‒ 70° ⇒ a = 110°
Como os paralelogramos amarelo e azul são congruen-
tes, em torno do vértice do ângulo de medida 70° tem-se:
c + c + 70° = 360° ⇒ 2c = 360° ‒ 70° ⇒ c = 190° : 2 ⇒ c = 145°
b + 145° = 180° ⇒ b = 35°
Alternativa b.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
N
A
N
 O
R
A
C
IC
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
3. Como as diagonais de um paralelogramo interceptam-
-se nos seus pontos médios, m( CM) = m(AM) = 5 cm e 
m(DM ) = m(BM) = 7 cm. 
Assim, m(AC ) = 10 cm, pois m(AC ) = m(AM ) + m(CM ) = 
= 5 cm + 5 cm = 10 cm, e m( BD ) = 14 cm, pois m(BD) = 
= m(BM ) + m(DM ) = 7 cm + 7 cm = 14 cm. Então, a soma 
das medidas dessas diagonais é 24 cm (10 + 14 = 24).
Alternativa c.
4. Todo retângulo tem diagonais congruentes. 
Apenas os losangos que são quadrados têm diagonais 
congruentes. 
Apenas os paralelogramos que são retângulos têm 
diagonais congruentes. 
Alternativa b.
5. Como m( CE ) = m( AE ) = 6,5 cm, conclui-se que 
m(AC ) = 13 cm, pois m( AC) = m( AE) + m(CE) = 6,5 cm + 
+ 6,5 cm = 13 cm. Sabendo que m(BC ) = m(DA) = 20 cm; 
m(CD) = m(AB ) = 12 cm, conclui-se que a medida do 
perímetro do triângulo ACD é 45 cm: m(CD) + m(DA) + 
+ m( AC) = 12 cm + 20 cm + 13 cm = 45 cm 
Alternativa c.
6. Os ângulos adjacentes à mesma base de um trapézio 
isósceles são congruentes.
Os trapézios isósceles têm dois ângulos agudos e dois 
ângulos obtusos.
As bases de todo trapézio