Manual do Professor de Matemática

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MANUAL DO PROFESSOR
 Edwaldo Bianchini 
8ºano
 MATEMÁTICA
BIANCHINI
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
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10a edição
São Paulo, 2022
Componente curricular: MATEMÁTICA
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, 
da Associação de Ensino de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela 
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP).
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo,
no Ensino Fundamental e Médio, por 25 anos.
MANUAL DO PROFESSOR
6ºano MATEMÁTICA
BIANCHINI 8ºano
Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição executiva: Maria Cecília da Silva Veridiano
Edição de texto: Dario Martins de Oliveira, Enrico Briese Casentini, 
João Alves de Souza Neto, Livia Santa Clara
Assistência editorial: Roberta Stoppe
Preparação de texto: Geuid Dib Jardim
Gerência de design e produção grá�ca: Patricia Costa
Coordenação de produção: Denis Torquato
Gerência de planejamento editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Tatiane Porusselli
Capa: Douglas Rodrigues José, Tatiane Porusselli, Apis Design, Fábio Luna
 Imagem da capa: Detalhe de: Diébédo Francis Kéré – Kéré Architecture. 
Sarbalé Ke, “Casa da Celebração” em Festival de Música e 
Artes Coachella 2019, Califórnia, EUA. 
© Diébédo Francis Kéré – Kéré Architecture. Foto: Iwan Baan.
Coordenação de arte: Aderson Oliveira
Edição de arte: Marcel Hideki Yonamine
Editoração eletrônica: Grapho Editoração, JSDesign
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani
Revisão: Cesar G. Sacramento, Daniela Uemura, Lilian Xavier, Márcio Della Rosa, 
Maura Loria, Patricia Cordeiro, Roberta Otoni, Sirlene Prignolato
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Sônia Oddi
Pesquisa iconográ�ca: Vanessa Trindade
Suporte administrativo editorial: Flávia Bosqueiro
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Ademir Francisco Baptista, Ana Isabela Pithan Maraschin, 
Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, Vânia Maia
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Fabio Roldan, José Wagner Lima Braga,
Marcio H. Kamoto, Selma Brisolla de Campos
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento:
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904
Atendimento: Tel. (11) 3240-6966
www.moderna.com.br
2022
Impresso no Brasil
Sarbalé Ke, a “Casa da Celebração” na língua Bissa 
de Burkina Fasso, é uma instalação criada para o 
Festival de Música e Artes Coachella 2019, pelo 
arquiteto Diébédo Francis Kéré. A instalação explora, 
com 12 torres, o mundo interior de um baobá. 
As três torres mais altas formam o centro da 
instalação e o maior espaço de encontro para os 
visitantes que podem aproveitar seus interiores 
cheios de luz, naturalmente ventilados e sombreados.
ORIENTAÇÕES GERAIS ............................................................................................... V
Apresentação ...........................................................................................................................V
Visão geral da proposta da coleção .......................................................................................V
Objetivos gerais da coleção .................................................................................................................................................VI
Fundamentos teórico-metodológicos ..................................................................................VI
A importância de aprender Matemática .....................................................................................................................VI
A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental ............................................... VIII
Competências socioemocionais ........................................................................................... IX
Caracterização da adolescência .........................................................................................................................................X
Diversidade e culturas juvenis ............................................................................................................................................X
Bullying ...............................................................................................................................................................................................XI
Saúde mental dos estudantes ............................................................................................................................................XI
Cultura de paz ............................................................................................................................................................................. XII
BNCC e currículos.................................................................................................................. XII
Competências na BNCC ......................................................................................................................................................XIII
Unidades Temáticas ...............................................................................................................................................................XIV
Propostas didáticas.............................................................................................................. XV
Conhecimentos prévios .......................................................................................................................................................XV
Resolução de problemas e compreensão leitora ...............................................................................................XVI
Uso de tecnologias .................................................................................................................................................................XVI
Trabalho em grupo e o convívio social ................................................................................................................... XVII
Avaliação ........................................................................................................................... XVIII
A avaliação e as práticas avaliativas ......................................................................................................................... XVIII
Autonomia do professor 
e a prática docente ........................................................................................................... XXIII
Formação continuada e desenvolvimento profissional docente ......................................................... XXIII
Referências bibliográficas ............................................................................................... XXIV
Referências bibliográficas complementares ......................................................................................................XXVI
Apresentação da coleção ................................................................................................ XXVII
Estrutura da obra .................................................................................................................................................................XXVII
Organização geral da obra .......................................................................................................................................... XXVIII
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS ................................................................................ XXIX
Considerações iniciais ......................................................................................................XXXI
Capítulo 1 – Potências e raízes ....................................................................................... XXXII
Objetivos do capítulo e justificativas .....................................................................................................................XXXII
Habilidades trabalhadas no capítulo ......................................................................................................................XXXII
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................ XXXIII
Capítulo 2 – Construções geométricas e lugares geométricos ..................................... XLIII
Objetivos do capítulo e justificativas ...................................................................................................................... XLIII
Habilidades trabalhadas no capítulo ....................................................................................................................... XLIII
Comentários e resoluções .............................................................................................................................................. XLIV
Capítulo 3 – Estatística e probabilidade .......................................................................... XLIX
Objetivos do capítulo e justificativas ..................................................................................................................... XLIX
Habilidades trabalhadas no capítulo ...................................................................................................................... XLIX
Comentários e resoluções ..................................................................................................................................................... L
III
SUMÁRIO
Capítulo 4 – Cálculo algébrico ..............................................................................................LVI
Objetivos do capítulo e justificativas ........................................................................................................................ LVI
Habilidades trabalhadas no capítulo ........................................................................................................................ LVII
Comentários e resoluções ................................................................................................................................................ LVII
Capítulo 5 – Polinômios e frações algébricas ................................................................. LXIII
Objetivos do capítulo e justificativas ..................................................................................................................... LXIII
Habilidades trabalhadas no capítulo ..................................................................................................................... LXIII
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................... LXIII
Capítulo 6 – Produtos notáveis e fatoração ................................................................. LXVIII
Objetivos do capítulo e justificativas ................................................................................................................... LXVIII
Habilidades trabalhadas no capítulo ...................................................................................................................... LXIX
Comentários e resoluções .............................................................................................................................................. LXIX
Capítulo 7 – Estudo dos triângulos .............................................................................. LXXVII
Objetivos do capítulo e justificativas ................................................................................................................. LXXVII
Habilidades trabalhadas no capítulo ................................................................................................................. LXXVIII
Comentários e resoluções ......................................................................................................................................... LXXVIII
Capítulo 8 – A Geometria demonstrativa ......................................................................LXXXI
Objetivos do capítulo e justificativas .................................................................................................................. LXXXI
Habilidades trabalhadas no capítulo .................................................................................................................. LXXXII
Comentários e resoluções .......................................................................................................................................... LXXXII
Capítulo 9 – Estudo dos quadriláteros ......................................................................... LXXXV
Objetivos do capítulo e justificativas ................................................................................................................. LXXXV 
Habilidades trabalhadas no capítulo .................................................................................................................. LXXXV 
Comentários e resoluções .......................................................................................................................................... LXXXV 
Capítulo 10 – Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas........................... XCI
Objetivos do capítulo e justificativas ........................................................................................................................ XCI 
Habilidades trabalhadas no capítulo ......................................................................................................................... XCI 
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................... XCII 
Capítulo 11 – Área de regiões poligonais........................................................................ XCVI
Objetivos do capítulo e justificativas ..................................................................................................................... XCVI
Habilidades trabalhadas no capítulo .................................................................................................................... XCVII 
Comentários e resoluções ............................................................................................................................................ XCVII 
Capítulo 12 – Geometria e grandezas ................................................................................... CI
Objetivos do capítulo e justificativas .......................................................................................................................... CI 
Habilidades trabalhadas no capítulo ........................................................................................................................... CI 
Comentários e resoluções .................................................................................................................................................. CII 
Sugestão de avaliação diagnóstica ................................................................................... CVI
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS – REPRODUÇÃO DO LIVRO DO ESTUDANTE ...................1
CAPÍTULO 1 - Potências e raízes ..................................................................................................................... 9
CAPÍTULO 2 - Construções geométricas e lugares geométricos ..................................................... 38
CAPÍTULO 3 - Estatística e probabilidade ................................................................................................. 62
CAPÍTULO 4 - Cálculoalgébrico ................................................................................................................... 91
CAPÍTULO 5 - Polinômios e frações algébricas ..................................................................................... 108
CAPÍTULO 6 - Produtos notáveis e fatoração ........................................................................................ 126
CAPÍTULO 7 - Estudo dos triângulos ........................................................................................................ 160
CAPÍTULO 8 - A Geometria demonstrativa ............................................................................................ 176
CAPÍTULO 9 - Estudo dos quadriláteros .................................................................................................. 192
CAPÍTULO 10 - Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas ..................................... 213
CAPÍTULO 11 - Área de regiões poligonais ............................................................................................ 232
CAPÍTULO 12 - Geometria e grandezas ................................................................................................... 251
IV
Apresentação
Professor(a),
Como material de apoio à prática pedagógica, este Manual traz, 
de maneira concisa, orientações e sugestões para o uso do livro do 
estudante como texto de referência, com o objetivo de subsidiar seu 
trabalho em sala de aula. Esperamos que este material o(a) auxilie a 
melhor aproveitar e a compreender as diretrizes pedagógicas que 
nortearam a elaboração dos quatro livros desta coleção.
Este Manual também discute a avaliação da aprendizagem 
sob a luz de pesquisas em Educação e Educação Matemática e em 
documentos oficiais. Além disso, oferece indicações de leituras 
complementares e sites de centros de formação continuada, na 
intenção de contribuir para a ampliação de seu conhecimento, sua 
experiência e atualização.
As características da coleção, as opções de abordagem e os 
objetivos educacionais a alcançar são também expostos e discu-
tidos aqui.
Visão geral da proposta da coleção
Esta coleção tem como principais objetivos servir de apoio ao pro-
fessor no desenrolar de sua prática didático -pedagógica e oferecer ao 
estudante um texto de referência auxiliar e complementar aos estudos.
Com base nos conteúdos indicados para a Matemática dos Anos 
Finais do Ensino Fundamental (6o ao 9o anos) e suas especificidades 
de ensino, a obra procura possibilitar ao estudante a elaboração do 
conhecimento matemático, visando contribuir para a formação de 
cidadãos que reflitam e atuem no mundo, e subsidiar o trabalho 
docente, compartilhando possibilidades de encaminhamento e 
sugestões de intervenção. Nesse sentido, atribui especial impor-
tância ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e por 
meio de linguagem clara e objetiva, com destaques pontuais para 
aqueles de maior importância.
As ideias matemáticas são apresentadas e desenvolvidas pro-
gressivamente, sem a preocupação de levar o estudante a assimilar 
a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a pretensão de esgotar 
o assunto na primeira apresentação. Ao longo da coleção, ofere-
cemos constantes retomadas, não apenas visando à revisão, mas 
à complementação e ao aprofundamento de conteúdos. Acredita-
mos que, por meio de diversos contatos com as ideias e os objetos 
matemáticos, o estudante conseguirá apreender seus significados.
Em relação à abordagem, a apresentação de cada conteúdo se 
dá, principalmente, por meio de situações contextualizadas e pro-
blematizadoras que possibilitem ao estudante uma aprendizagem 
significativa, assim como estabelecer relações da Matemática com 
outras áreas do saber, com o cotidiano, com sua realidade social e 
entre os diversos campos conceituais da própria Matemática.
Essa contextualização abarcou situações comuns, viven-
ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais 
elaboradas, que costumam aparecer nos grandes veículos de 
comunicação. Assim, a obra tem por objetivo contribuir para a 
formação integral do estudante, de modo que, enquanto assi-
mila e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque 
em prática, sempre que possível, suas capacidades reflexiva e 
crítica, inter -relacionando tanto os tópicos matemáticos entre 
si quanto estes com os de diferentes áreas do saber. O intento 
é colaborar de maneira eficaz para a solidificação do conheci-
mento matemático e com o preparo do exercício da cidadania 
e da participação positiva na sociedade.
Na perspectiva mundial da permanente busca por melhor quali-
dade de vida, a Matemática, sobretudo em seus aspectos essenciais, 
contribui de modo significativo para a formação do cidadão crítico 
e autoconfiante, com compreensão clara dos fenômenos sociais e 
de sua atuação na sociedade, com vistas a uma formação integral e 
inclusiva. Nesse sentido, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) 
afirma, de maneira explícita, seu compromisso com a educação 
integral e reconhece que:
[...] a Educação Básica deve visar à formação e ao de-
senvolvimento humano global, o que implica compreender a 
complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rom-
pendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão 
intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Signi�ca, ainda, 
assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do ado-
lescente, do jovem e do adulto – considerando -os como sujeitos 
de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu 
acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas 
singularidades e diversidades (BRASIL, 2018, p. 14).
A ideia de educação inclusiva sustenta -se em um movimento 
mundial de reconhecimento da diversidade humana e da necessi-
dade contemporânea de se constituir uma escola para todos, sem 
barreiras, na qual a matrícula, a permanência, a aprendizagem e 
a garantia do processo de escolarização sejam, realmente e sem 
distinções, para todos (SÃO PAULO, 2019, p. 25).
Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados entremea-
dos por blocos de exercícios e, algumas vezes, por atividades de 
outra natureza em seções especiais. A distribuição das atividades 
em diferentes seções procura facilitar e flexibilizar o planejamento 
do trabalho docente, bem como possibilitar ao estudante desen-
volver habilidades diversas.
As atividades também foram pensadas de acordo com o mesmo 
viés da exposição teórica, intercalando -se aos exercícios convencionais, 
importantes para formalizar e sistematizar conhecimentos, aqueles que 
associam os contextos matemáticos aos de outras áreas do conheci-
mento, que contemplam temas abrangendo informações de Biologia, 
Ecologia, Economia, História, Geografia, Política, Ciências e Tecnologia.
A constante recorrência a imagens, gráficos e tabelas, muitos 
deles publicados em mídias atuais, tem por objetivo estimular os 
estudantes a estabelecerem conexões com o mundo em que vivem.
A obra procura trazer atividades que possibilitam a sistematização 
dos procedimentos e a reflexão sobre os conceitos em construção. Elas 
procuram abordar diferentes aspectos do conceito em discussão por 
meio de variados formatos, apresentando, quando possível, questões 
abertas, que dão oportunidade a respostas pessoais, questões com 
V
ORIENTAÇÕES GERAIS
mais de uma solução ou cuja solução não existe. Da mesma maneira, 
há exercícios que estimulam a ação mental, promovendo o desenvol-
vimento de argumentações, a abordagem de problemas de naturezas 
diversas e as discussões entre colegas e em grupos de trabalho. O 
professor tem, então, uma gama de questões a seu dispor para discutir 
e desenvolver os conceitos matemáticos em estudo.
É importante reafirmar que, ao longo de toda a coleção, houve 
preocupação com a precisão e a concisão da linguagem. A aborda-
gem dos conteúdos procurou ser clara, objetiva e simples, a fim de 
contribuir adequadamente para o desenvolvimento da Matemática 
escolar no nível do Ensino Fundamental.Além do correto uso da 
língua materna e da linguagem propriamente matemática, procu-
ramos o auxílio da linguagem gráfica, com ilustrações, esquemas, 
diagramas e fluxogramas que auxiliam a aprendizagem pelas 
mudanças dos registros de representação.
• Objetivos gerais da coleção
 • Apresentar a Matemática, em seus diversos usos, como uma das 
linguagens humanas, explorando suas estruturas e seus raciocínios.
 • Introduzir informações que auxiliem a apreensão de conteúdos 
matemáticos, com vistas à sua inserção em um corpo maior de 
conhecimentos e à sua aplicação em estudos posteriores.
 • Possibilitar ao estudante o domínio de conteúdos matemáticos 
que lhe deem condições de utilização dessa ciência no cotidia-
no e na realidade social, oportunizando o desenvolvimento do 
letramento matemático1.
 • Propiciar, com o auxílio do conhecimento matemático, o desen-
volvimento das múltiplas competências e habilidades cognitivas 
do estudante, preparando -o como pessoa capaz de exercer 
conscientemente a cidadania e de progredir profissionalmente, 
garantindo uma formação integral e inclusiva.
 • Desenvolver hábitos de leitura, de estudo e de organização.
Esses objetivos se justificam à medida que compreendemos 
que a Matemática desempenha um importante papel no desen-
volvimento dos estudantes, pois permite resolver problemas da 
vida cotidiana, com aplicações no mundo do trabalho, e funciona 
como instrumento essencial para a construção de conhecimentos 
em outras áreas curriculares. Possibilita, ainda, o trabalho e o relacio-
namento com as diferentes linguagens, explorando suas estruturas 
e raciocínios, além de propiciar o desenvolvimento cognitivo dos 
estudantes e desenvolver hábitos relacionados ao cotidiano escolar. 
Fundamentos teórico -metodológicos 
Vamos apresentar alguns temas relativos ao ensino de Matemá-
tica que norteiam as escolhas curriculares da coleção e se alinham 
às proposições da BNCC, documento que foi elaborado após ampla 
consulta a especialistas e à população e que é a referência para a 
construção dos currículos de toda a rede de ensino, municipal, es-
tadual e federal, em todo o país. Ela traz o conteúdo mínimo a ser 
desenvolvido em cada etapa da Educação Básica e, para preservar a 
autonomia das escolas e dos professores, deve ser complementada 
com a inclusão das especificidades regionais e locais.
A BNCC traz o conjunto das aprendizagens consideradas es-
senciais que todo estudante deve desenvolver ao longo de sua 
trajetória escolar no ensino básico. Essas aprendizagens estão 
apresentadas em forma de competências gerais, competências 
específicas e habilidades segundo os componentes curriculares ou 
as áreas do conhecimento para cada etapa do ensino.
• A importância de aprender Matemática
Partimos da proposição de que uma característica da Matemática é 
ser uma linguagem capaz de decodificar, traduzir e expressar o pensa-
mento humano, o que contribui para a formação integral do estudante.
O conhecimento matemático é necessário para todos os 
estudantes da Educação Básica, seja por sua grande aplicação 
na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades 
na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabi-
lidades sociais (BRASIL, 2018, p. 265).
Atualmente, é indiscutível a importância da Matemática na 
formação humana, especialmente por vivermos em uma socie-
dade cada vez mais permeada pela ciência e pela tecnologia. 
Diversas pro�ssões [...] exigem conhecimentos matemáticos e 
competências básicas para lidar com as mesmas. Além disso, 
exige-se do cidadão do século XXI habilidades matemáticas es-
senciais tais como compreensão de grá�cos, capacidade de fazer 
estimativas, de organização do pensamento, tomada consciente 
de decisões, entre outras, de modo que ele seja capaz de fazer 
uma leitura de mundo, de encarar desa�os e resolver proble-
mas, levantando hipóteses e buscando soluções, além de emitir 
opinião sobre fatos e fenômenos que emergem da realidade na 
qual está inserido (PERNAMBUCO, 2019, p. 65).
A palavra matemática vem do grego mathematike. Em sua ori-
gem, estava ligada ao ato de aprender, pois significava “tudo o que 
se aprende”, enquanto matemático, do grego mathematikos, era a 
palavra usada para designar alguém “disposto a aprender”. O verbo 
aprender era originalmente, em grego, manthanein; mas hoje o radi-
cal math, antes presente nas palavras ligadas à aprendizagem, parece 
ter perdido essa conotação e daí talvez resulte a ideia geral de que 
a Matemática é uma disciplina que lida apenas com números, gran-
dezas e medidas e que se aprende na escola de forma compulsória.
Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além de 
uma linguagem para expressar seu pensamento, ferramentas 
com as quais ele pode gerar novos pensamentos e desenvolver 
raciocínios, ou seja,
[…] a Matemática não é simplesmente uma disciplina, mas 
também uma forma de pensar. É por isso que a Matemática, 
assim como a alfabetização, é algo que deveria ser tornado dis-
ponível para todos […] (NUNES; BRYANT; 1997, p. 105).
A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponível a 
todo ser humano, para que possa fazer uso dela como uma de suas 
ferramentas de sobrevivência e convívio social, promovendo uma 
formação inclusiva.
1 Segundo a Matriz de Avaliação de Matemática do Pisa 2012 (disponível em: https://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/
matriz_avaliacao_matematica.pdf; acesso em: 2 maio 2022): Letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em 
uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar 
e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos 
possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.
VI
Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar 
características da Matemática podem expandir -se para outros 
raciocínios, impulsionando a capacidade global de aprendizado. 
Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o pensamento em um 
conjunto de axiomas, na geração e na validação de hipóteses, no 
desenvolvimento de algoritmos e procedimentos de resolução de 
problemas — ferramentas aplicáveis a um conjunto de situações 
similares —, estabelecendo conexões e fazendo estimativas. Ana-
lisando situações particulares e inserindo -as na estrutura global, 
é possível construir estruturas de pensamento também úteis em 
situações não matemáticas da vida em sociedade.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de 
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, 
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com 
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de 
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas abs-
tratos, que organizam e inter -relacionam fenômenos do espaço, 
do movimento, das formas e dos números, associados ou não a 
fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e ob-
jetos que são fundamentais para a compreensão de fenômenos, 
a construção de representações signi�cativas e argumentações 
consistentes nos mais variados contextos (BRASIL, 2018, p. 265).
Ao construir sua história, o ser humano tem modificado e am-
pliado constantemente suas necessidades, individuais ou coletivas, 
de sobrevivência ou de cultura. O corpo de conhecimentos desen-
volvido nesse longo trajeto ocupa lugar central no cenário humano. 
No que diz respeito aos conhecimentos matemáticos, muitos 
continuam atravessando os séculos, enquanto outros já caíram em 
desuso. Há, ainda, outros que estão sendo incorporados em razão 
das necessidades decorrentes das ações cotidianas, como é o caso 
da Educação Financeira. As novas práticas solicitam a ampliação e 
o aprofundamento desses conhecimentos.
Até algumas décadas atrás, “saber” Matemática implicavabasi-
camente dominar e aplicar as operações básicas: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Na atualidade, contudo, as pesquisas edu-
cacionais, as diretrizes pedagógicas oficiais e, em especial, a BNCC 
apontam para a necessidade de que em todos os anos da Educação 
Básica a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unidades 
Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e 
Probabilidade e estatística, tendo como referência o desenvolvi-
mento das competências e habilidades descritas pela BNCC.
Na BNCC, competência é de�nida como a mobilização de 
conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práti-
cas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resol-
ver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da 
cidadania e do mundo do trabalho (BRASIL, 2018, p. 8).
Para entender a real importância da Matemática, basta pensar 
em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de ações nas quais 
precisamos mobilizar os conhecimentos desse campo: calcular uma 
despesa para efetuar seu pagamento; examinar diferentes alternativas 
de crédito; estimar valores; calcular medidas e quantidades com algu-
ma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia apresentados 
por meio de tabelas e gráficos; analisar criticamente a validade de um 
argumento lógico; avaliar a razoabilidade de um resultado numérico 
ou estatístico; decidir a sequência de passos necessários para resolver 
um problema; orientarmo -nos no espaço (para deslocamentos ou 
indicações de trajetórias), entre tantas outras situações.
Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender continua-
mente, durante toda a vida, para assimilar as incessantes inovações do 
mundo moderno e, desse modo, realimentar seu repertório cultural. 
Em um ambiente mundial cada vez mais competitivo e desenvolvido 
do ponto de vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as 
pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilidade também da 
educação escolar levar o estudante a perceber criticamente a realidade, 
cuja interpretação depende da compreensão de sua estrutura lógica, 
do entendimento da simbologia adotada no contexto, da análise das 
informações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas, inde-
xadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos conhecimentos 
matemáticos pode estar privado de exercer seus direitos como cidadão, 
por não ter condições de opinar em situação de igualdade com os 
demais membros da sociedade, nem de definir seus atos políticos e 
sociais com base em uma avaliação acurada da situação.
No ensino da Matemática, assumem grande importância 
aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos matemáticos 
com suas representações (esquemas, diagramas, tabelas, figuras); 
a motivação para identificar no mundo real o uso de tais repre-
sentações; o desafio à interpretação, por meio da Matemática, da 
diversidade das informações advindas desse mundo.
Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de hoje 
depende cada vez mais do conjunto de conhecimento produzido 
pela humanidade, incluindo de maneira notável as contribuições 
da ciência matemática. Ao mesmo tempo, esse arcabouço cultural 
revigora -se incessantemente, com grande diversidade e sofisti-
cação. Os apelos de um mundo que se transforma em incrível 
velocidade, em uma crescente variedade de domínios, consti-
tuem uma das razões mais significativas para o maior desafio 
dos educadores: preparar os jovens para uma atuação ética e 
responsável, balizada por uma formação múltipla e consistente.
Matemática acadêmica × Matemática escolar
No âmbito específico da Matemática, há muito mais conhe-
cimento já estabelecido do que o que chega à sala de aula. 
A seleção desses conhecimentos -conteúdos e a maneira de 
apresentá -los aos estudantes exigem bom preparo didático e 
pedagógico e uma série de estudos e adaptações.
Em sua formação inicial, na universidade, o futuro profes-
sor de Matemática tem contato simultâneo com a Matemática 
acadêmica e a Matemática escolar. No entanto, em seu exercício 
profissional, o destaque será para a Matemática escolar; daí a rele-
vância de procurarmos entender a distinção entre ambas.
De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática acadêmi-
ca, ou científica, é o corpo de conhecimentos produzido por mate-
máticos profissionais. Nesse caso, as demonstrações, definições e 
provas de um fato e o rigor na linguagem utilizada ocupam papel 
relevante, visto que é por meio deles que determinado conheci-
mento é aceito como verdadeiro pela comunidade científica.
No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fundamentais 
que modificam significativamente o papel do rigor nas demons-
trações. O primeiro refere -se ao fato de a “validade” dos resultados 
matemáticos, que serão apresentados aos estudantes no processo 
de ensino -aprendizagem, não ser colocada em dúvida; ao contrário, 
já está garantida pela própria Matemática acadêmica. O segundo 
aspecto diz respeito à aprendizagem; nesse caso, o mais importante 
VII
é o desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure a 
compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais, assim como a 
construção de justificativas que permitam ao jovem estudante utilizá-
-los de maneira coerente e conveniente, tanto na vida escolar quanto 
na cotidiana, propiciando o desenvolvimento das competências e 
habilidades para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo.
O pensador Henri Jules Poincaré também discute a diferença 
entre o rigor necessário e conveniente à Matemática científica 
e o rigor adequado a um processo educativo. Para ele, uma boa 
definição é aquela que pode ser entendida pelo estudante. 
Diante disso, a coleção procura harmonizar o uso da língua mater-
na com a linguagem matemática, promovendo uma leitura acessível 
e adequada aos estudantes dos anos finais do Ensino Fundamental. 
• A Matemática como componente curricular 
do Ensino Fundamental
A importância de ensinar Matemática no Ensino Fundamental, 
conforme indica a BNCC, decorre também da contribuição que a 
área representa na formação do cidadão. 
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o de-
senvolvimento do letramento matemático, de�nido como as 
competências e habilidades de raciocinar, representar, comu-
nicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o 
estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução 
de problemas em uma variedade de contextos, utilizando 
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. 
É também o letramento matemático que assegura aos estu-
dantes reconhecer que os conhecimentos matemáticos são 
fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e 
perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como 
aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e 
crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamen-
te relacionado a algumas formas de organização da aprendi-
zagem matemática, com base na análise de situações da vida 
cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da própria Ma-
temática (BRASIL, 2018, p. 266).
Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Educação Ma-
temática têm procurado sintetizar o papel social do ensino dessa 
área do conhecimento. Na literatura, segundo Ponte (2002), cabem 
ao ensino da Matemática quatro diferentes papéis:
 • instrumento da cultura científica e tecnológica, fundamental 
para profissionais como cientistas, engenheiros e técnicos, que 
utilizam a Matemática em suas atividades;
 • filtro social para a continuação dos estudos e a seleção para as 
universidades;
 • instrumento político, como símbolo de desenvolvimento e arma 
de diversas forças sociais que utilizam as estatísticas do ensino 
da Matemática para seus propósitos;
 • promotora do desenvolvimento dos modos de pensar a serem 
aplicados na vida cotidiana e no exercício da cidadania.
É evidente que cada um desses papéis serve a diferentes in-
teresses e finalidades. Contudo, considerando os indivíduosseres 
sociais, é o último desses papéis o mais importante e o que mais 
nos interessa. Como explica Ponte:
Incluem -se aqui os aspectos mais diretamente utilitários 
da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular 
a área da sala), mas não são esses aspectos que justi�cam a 
importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a capa-
cidade de entender a linguagem matemática usada na vida 
social e a capacidade de usar um modo matemático de pensar 
em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural, cívi-
co e pro�ssional. Em teoria, todos reconhecem que esta é a 
função fundamental do ensino da Matemática. Na prática, 
infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos 
importância (PONTE, 2002).
O fato de a função de promover modos de pensar estar explici-
tada no currículo e nos programas não é suficiente, contudo, para 
concretizar essa função.
O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura 
pro�ssional dos professores podem in�uenciar de tal modo 
as práticas de ensino que as �nalidades visadas pelo currícu-
lo em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é 
solenemente proclamado nos textos o�ciais. (PONTE, 2002).
Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte (2002) analisa em par-
ticular a função de filtro social e afirma que “a verdade é que este 
papel de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a 
relação dos jovens com a Matemática”. Isso se dá porque os estu-
dantes passam a enxergá -la como obstáculo a ser transposto para 
a conquista de objetivos, em vez de entendê -la como aliada nesse 
processo. O pesquisador enfatiza a importância de identificar os 
fatores que originam o insucesso dos estudantes em Matemática. 
Para ele, tais fatores estão relacionados com:
 • a crise da escola como instituição, que se reflete na aprendizagem 
em geral e na Matemática em particular;
 • aspectos de natureza curricular — tradição pobre de desenvol-
vimento curricular de Matemática;
 • insuficiente concretização prática e caráter difuso das finalidades 
do aprendizado;
 • o próprio fato de a Matemática constituir -se em instrumento de 
seleção, o que, de imediato, desencanta e amedronta o estudante;
 • questões ligadas à formação dos professores.
Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos destacar que:
[...] Os processos matemáticos de resolução de proble-
mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da 
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas 
da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo 
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de 
todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza-
gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de 
competências fundamentais para o letramento matemático 
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação) 
e para o desenvolvimento do pensamento computacional 
(BRASIL, 2018, p. 266).
As atuais e inúmeras discussões na área educacional têm nos 
alertado sobre mudanças na forma de conceber a Educação Básica 
no mundo. No que diz respeito à Educação Matemática, podemos 
dizer que ela tem atravessado um grato momento de revitalização:
Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma am-
pla discussão dos seus objetivos fazem da Educação Matemá-
tica uma das áreas mais férteis nas re�exões sobre o futuro da 
sociedade (D'AMBROSIO, 2000).
VIII
A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas contem-
porâneos, como é o caso dos “direitos da criança e do adolescente” 
e “educação em direitos humanos”:
Por �m, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como 
às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe-
tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a 
abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida hu-
mana em escala local, regional e global, preferencialmente de 
forma transversal e integradora (BRASIL, 2018, p. 19).
A orientação de introduzir e interligar no âmbito escolar temas 
dessa natureza traz efetivas possibilidades de expansão dos currí-
culos, para além dos conteúdos das disciplinas tradicionais. Esses 
temas também podem ser abordados de acordo com a necessidade 
dos estudantes e da comunidade em que estão inseridos.
O importante é ter em vista que, por meio do trabalho com 
esses temas, é possível incluir as questões sociais nos currículos 
escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos trabalhados ganham 
novo papel; o aprendizado da Matemática, entre outras aborda-
gens, concorre para a formação da cidadania e, consequente-
mente, para um entendimento mais amplo da realidade social.
Por compreender a importância desse trabalho, esta coleção 
procura, na medida do possível, incorporar e discutir alguns con-
teúdos matemáticos em contextos diversificados.
Objetivos da formação básica para o Ensino 
Fundamental 
Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de Edu-
cação/Câmara de Educação Básica2 sobre Diretrizes Curriculares 
Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos, os obje-
tivos para a formação básica relativos ao Ensino Infantil e Ensino 
Fundamental são:
• o desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo 
como meios básicos o pleno domínio da leitura, da 
escrita e do cálculo;
• a compreensão do ambiente natural e social, do sistema 
político, das artes, da tecnologia e dos valores em que 
se fundamenta a sociedade;
• a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação 
de atitudes e valores como instrumentos para uma visão 
crítica do mundo;
• o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de 
solidariedade humana e de tolerância recíproca em que 
se assenta a vida social.
O papel do livro didático
Entendemos que, em geral, os recursos presentes em salas de 
aula não são suficientes para fornecer todos os elementos necessários 
ao trabalho do professor e à aprendizagem do estudante. Nesse caso, 
o livro didático desempenha um papel importante, assessorando 
nesse processo, como organização e encaminhamento da teoria e 
propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro didático contri-
bui para o processo de ensino -aprendizagem e atua como mais um 
interlocutor na comunicação entre educador e educando.
² BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília: 
Parecer CNE/CEB no11/2010. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/rceb007_10.pdf. Acesso em: 27 maio 2022.
Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais completo 
que seja, deve ser utilizado intercalado com outros recursos que 
enriqueçam o trabalho do professor.
Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que, partindo 
do princípio de que o verdadeiro aprendizado apoia -se na com-
preensão, e não na memória, e de que somente uma real interação 
com os estudantes pode estimular o raciocínio e o desenvolvimento 
de ideias próprias em busca de soluções, cabe ao professor aguçar 
seu espírito crítico perante o livro didático.
Na organização desta coleção, os conceitos e as atividades 
foram concebidos e dispostos em uma sequência que garanta a 
abordagem dos conhecimentos matemáticos relativos aos Anos 
Finais do Ensino Fundamental, visando à ampliação dos conheci-
mentos básicos tratados nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, 
apresentando -os em capítulos específicos e, depois, retomando-
-os e ampliando -os em volumes posteriores. Assim, os estudantes 
podem resgatar os conhecimentos trabalhados anteriormente, 
ampliar os conceitos ao longo de seus estudos em Matemática do 
6o ao 9o anos e preparar -se para a continuidade no Ensino Médio.
As orientações deste Manual pretendem esclarecer inten-
ções, objetivos e concepções das atividades que podem auxiliar 
o trabalho pedagógico do professor em seus encaminhamentos, 
intervenções e na ampliação e no enriquecimento de seus conhe-
cimentos matemáticos.
Competências socioemocionais
Nas últimas décadas, a Educação passou a enfatizar abordagens 
que incluíam outras dimensões do desenvolvimento humano, como 
a afetiva, a social para além da tradicionalênfase no cognitivo e na 
aquisição de conhecimento. A educação socioemocional sempre 
esteve presente no ambiente escolar de diferentes formas, seja na 
própria cultura escolar ou como suporte para projetos de com-
portamento positivo. A nova proposta é que essas competências 
sejam ensinadas propositadamente permitindo aos estudantes 
oportunidades para praticá-las.
Solidariedade, amizade, responsabilidade, colaboração, empa-
tia, organização, ética, cidadania e honestidade são valores (ou ca-
racterísticas) que deverão ser ensinados, praticados ou estimulados 
nas escolas, segundo as diretrizes da BNCC. Esse documento valoriza 
os estudantes em sua singularidade e diversidade, afirmando que 
toda criança, jovem ou adolescente deve ter oportunidades para 
saber ser criativo, analítico-crítico, colaborativo, resiliente, aplicar 
conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar 
decisões, entre outras características.
Compreender o conceito de competências socioemocio-
nais envolve o estudo das emoções. Ao longo da história, as 
emoções foram abordadas de diferentes perspectivas: da neu-
ropsicologia, da biologia, dos padrões das espécies, da psi-
copedagogia, da cultura etc. Dentre todas essas abordagens, 
aquelas voltadas para as competências socioemocionais no 
contexto escolar são as de interesse nesse texto por abordarem 
diretamente as novas diretrizes propostas pela Base Nacional 
Comum Curricular (BNCC), a proposta de Educação para o 
século 21 (proposta pela Unesco) e o ensino integral.
IX
Na BNCC, as competências socioemocionais estão presen-
tes em todas as 10 competências gerais. Portanto, no Brasil, 
até 2020, todas as escolas deverão contemplar as competências 
socioemocionais em seus currículos (BASE, 2022).
Nesta coleção, trabalhamos com essas competências em dife-
rentes momentos, na forma de atividades ou de orientações para 
o desenvolvimento do trabalho. Ao longo deste Manual, você en-
contrará diferentes orientações que colaboram para esse trabalho. 
Para ampliar o trabalho com as competências socioemocionais, 
temos como apropriado considerar os aspectos que caracterizam 
a adolescência, a diversidade e as culturas juvenis. Com base nesses 
aspectos, é importante compreender as situações que podem ser 
recorrentes na escola, como o bullying, e, assim, trabalhar temas e 
contextos que possibilitem promover a saúde mental dos estudan-
tes e a cultura de paz. De maneira geral, discutiremos esses aspectos 
a seguir e, mais especificamente, retomaremos esses assuntos no 
decorrer do Manual de cada volume da coleção, quando o contexto 
apresentado for conveniente para se trabalharem esses temas.
• Caracterização da adolescência
Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei n o 
8.069/1990: “Considera -se criança, para os efeitos desta Lei, a pessoa 
até doze anos de idade incompletos, e adolescente aquela entre 
doze e dezoito anos de idade.”.
De acordo com a BNCC:
Os estudantes dessa fase inserem -se em uma faixa etária que 
corresponde à transição entre infância e adolescência, marcada 
por intensas mudanças decorrentes de transformações biológi-
cas, psicológicas, sociais e emocionais. [...] ampliam -se os vín-
culos sociais e os laços afetivos, as possibilidades intelectuais 
e a capacidade de raciocínios mais abstratos. Os estudantes 
tornam -se mais capazes de ver e avaliar os fatos pelo ponto de 
vista do outro, exercendo a capacidade de descentração, “im-
portante na construção da autonomia e na aquisição de valores 
morais e éticos” (BRASIL, 2010); (BRASIL, 2018, p. 60).
Esta coleção procura uma aproximação com os estudantes dessa 
fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha de assuntos que 
possam despertar seu interesse. Um desses momentos pode ser 
observado nas aberturas dos capítulos, nas quais são apresentadas 
situações que buscam aguçar a curiosidade dos estudantes para o 
tema a ser tratado. Além disso, a coleção busca também facilitar a pas-
sagem de um ano para outro no processo de ensino -aprendizagem 
em Matemática, retomando conceitos, revisitando conhecimentos 
– como as quatro operações fundamentais e o estudo das figuras 
geométricas –, ampliando e aprofundando conteúdos com novos 
aspectos, a fim de que os estudantes se apropriem dos conceitos com 
a compreensão dos processos neles envolvidos, caso da ampliação 
do campo numérico (dos números naturais aos números reais).
• Diversidade e culturas juvenis
No mundo contemporâneo, um dos principais desafios é apren-
der a conviver em um ambiente de diversidade, já que muitas vezes as 
diferenças entre as pessoas não são vistas como algo positivo, dando 
lugar à discriminação, ao preconceito ou ao reforço de desigualdades.
É importante considerar que os jovens são diferentes em mui-
tos aspectos, como origem social, gênero, território, modos de ser, 
sentir, agir, entre tantos outros. 
Assim, a escola deve ser o espaço em que essas diversas culturas 
juvenis se manifestem, se relacionem e se organizem em busca de 
um objetivo comum. Segundo a BNCC,
Considerar que há muitas juventudes implica organizar 
uma escola que acolha as diversidades, promovendo, de modo 
intencional e permanente, o respeito à pessoa humana e aos 
seus direitos. E mais, que garanta aos estudantes ser protago-
nistas de seu próprio processo de escolarização, reconhecen-
do-os como interlocutores legítimos sobre currículo, ensino e 
aprendizagem. Signi�ca, nesse sentido, assegurar-lhes uma for-
mação que, em sintonia com seus percursos e histórias, permi-
ta-lhes de�nir seu projeto de vida [...] (BRASIL, 2018, p. 463).
A diversidade não pode ser considerada um obstáculo para a 
convivência, mas o contrário: deve ser tratada como uma oportu-
nidade ao indivíduo de ganhar novas perspectivas, expandir seus 
horizontes e aprender com as diferenças, valorizando a multiplici-
dade de culturas e grupos que formam a sociedade.
Conforme a�rmado na Declaração Universal dos Direitos 
Humanos, em seu artigo 1o, “Todos os seres humanos nascem 
livres e iguais em dignidade e em direitos. [...]” (ORGANIZA-
ÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS, 1948).
A escola é um espaço formado por uma diversidade de pessoas 
e deve promover a reflexão sobre diferentes temáticas de modo a 
desconstruir preconceitos.
Para trabalhar a diversidade, apresente ao estudante o trecho 
a seguir, da palestra O perigo de uma história única, do livro de 
mesmo nome, da escritora nigeriana Chimamanda Ngozi Adichie. 
A autora explica em detalhes os problemas causados quando 
contamos com apenas uma fonte de informações para conhecer 
a história e a identidade de um povo, enfatizando a necessidade 
de pesquisar diferentes fontes para compreender outras culturas.
Anos depois, pensei nisso quando saí da Nigéria para fa-
zer faculdade nos Estados Unidos. Eu tinha dezenove anos. 
Minha colega de quarto americana �cou chocada comigo. Ela 
perguntou onde eu tinha aprendido a falar inglês tão bem e 
�cou confusa quando respondi que a língua o�cial da Nigéria 
era o inglês. Também perguntou se podia ouvir o que chamou 
de minha “música tribal”, e �cou muito decepcionada quando 
mostrei minha �ta da Mariah Carey. Ela também presumiu que 
eu não sabia como usar um fogão.
O que me impressionou foi: ela já sentia pena de mim an-
tes de me conhecer. Sua postura preestabelecida em relação a 
mim, como africana, era uma espécie de pena condescendente 
e bem-intencionada. Minha colega de quarto tinha uma histó-
ria única da África: uma história única de catástrofe. Naquela 
história única não havia possibilidade de africanos serem pa-
recidos com ela de nenhuma maneira; não havia possibilidade 
de qualquer sentimento mais complexo que pena; não havia 
possibilidade de uma conexão entre dois seres humanos iguais. 
(ADICHIE, 2009)
Após a apresentação, inicie uma conversa sobre a situação descrita 
e sobre os fatos serem analisados em uma perspectiva diversa, fun-
damentada em diversas fontes. Converse sobre o fato de a colega ter 
uma versão estereotipada da autorae como muitas vezes um grupo de 
pessoas é julgado como se fosse composto por uma única identidade.
Esse será um momento importante para conversarem sobre a 
diversidade do grupo e sobre a importância de se respeitarem sem 
julgamentos prévios. Se considerar adequado, apresente a palestra 
para os estudantes ou sugira a leitura do livro.
X
Nas interações com os colegas, os jovens compartilham ideias, 
experiências e saberes, expressam aspectos das culturas juvenis e 
possibilitam o convívio com o diferente. Observar os grupos com os 
quais eles se identificam, ou dos quais fazem parte, contribui para 
a compreensão de seus modos de agir e, ainda, de seu processo 
de formação.
Enfim, para construir uma escola inclusiva, em que os estu-
dantes se sintam acolhidos e protegidos, é necessário estabelecer 
redes de cooperação em que as interações sociais estejam baseadas 
no respeito mútuo, no companheirismo, na solidariedade e no 
compartilhamento de experiências e de saberes. O papel do pro-
fessor na organização dessa rede é fundamental, como mediador 
desse processo de construção do conhecimento, da identidade, da 
autonomia e dos projetos de vida, e deve ser desempenhado nas 
diferentes atividades propostas para serem realizadas em grupos. 
Ao longo da coleção, os estudantes são instigados a realizar tarefas 
em grupo ou trocar saberes, momento que pode ser oportuno para 
trabalhar a diversidade juvenil e propor reflexões sobre cooperação 
e respeito, promovendo a desconstrução de preconceitos.
• Bullying
O termo bullying designa um tipo de violência física ou psico-
lógica e tem sido amplamente utilizado em ambientes escolares, 
para se referir às atitudes hostis, agressivas e mesmo violentas que 
ocorrem persistentemente nas relações interpessoais de estudan-
tes. A palavra bullying tem origem no inglês bully, que significa 
“valentão”, “brigão” ou “tirano”, e é usada para nomear ações de 
agressão, intimidação, maus-tratos e ataques ao outro, pautadas 
em uma relação desigual de poder, para que a vítima se sinta 
inferiorizada, além de ser muitas vezes excluída socialmente de 
ambientes aos quais pertence.
Como forma de prevenção, em primeiro lugar os professores 
devem observar com atenção mudanças apresentadas pelos estu-
dantes, como retraimento excessivo, falta de interesse nas tarefas 
escolares, ausência frequente às aulas, demonstração de tristeza ou 
ansiedade, isolamento do grupo, impaciência, baixa autoestima. 
É importante que professores, assim como toda a comunidade 
escolar, possibilitem um ambiente acolhedor e estreitem vínculos 
com os jovens, para que eles possam sentir segurança e recorram 
a esses adultos quando algo não estiver bem.
Atividades propostas para serem realizadas em grupo podem 
ser um bom momento para desenvolver o conceito de empatia 
por meio da prática de uma escuta atenta e respeitosa, na qual 
os estudantes podem falar e ser escutados, e ideias são compar-
tilhadas e podem ser validadas, possibilitando a eles considerar 
novas maneiras de atuação, fundamentadas na compreensão do 
ponto de vista do outro.
Sugerimos a seguir uma atividade inicial para trabalhar com 
o conceito de empatia.
Apresente aos estudantes a definição da palavra empatia, 
conforme consta em dois dicionários:
Empatia
1. PSICOL Habilidade de imaginar-se no lugar de outra 
pessoa.
2. PSICOL Compreensão dos sentimentos, desejos, ideias 
e ações de outrem.
3. Qualquer ato de envolvimento emocional em relação a 
uma pessoa, a um grupo e a uma cultura.
[...]
Fonte: EMPATIA. In: MICHAELIS Dicionário Brasileiro da Língua 
Portuguesa. São Paulo: Melhoramentos, 2015. Disponível em: https://
michaelis.uol.com.br/moderno-portugues/busca/portugues-brasileiro/
empatia/. Acesso em: 30 jun. 2022.
Empatia
1. Psi. Experiência pela qual uma pessoa se identi�ca com 
outra, tendendo a compreender o que ela pensa e a sentir o que 
ela sente, ainda que nenhum dos dois o expressem de modo 
explícito ou objetivo.
2. Capacidade de compreensão emocional e estética de um 
objeto, ger. de arte (um quadro, livro, �lme, p. ex.).
3. Nas inter-relações pessoais e sociais, capacidade de al-
guém de se ver como os outros o veem, de ver outrem como os 
outros o veem e também como ele mesmo se vê.
Fonte: EMPATIA. In: AULETE Digital. Rio de Janeiro: Lexicon. Disponível 
em: https://www.aulete.com.br/empatia. Acesso em: 30 jun. 2022.
Em seguida, solicite aos estudantes que expressem, verbal-
mente ou por escrito, situações em que colocamos em prática a 
empatia. Se possível, peça que deem exemplos de situações em que 
alguém foi empático com eles ou em que eles aplicaram empatia. Dê 
oportunidades para que todos possam se manifestar e, do mesmo 
modo, respeite aqueles que não quiserem falar. Após a conversa, 
organize a sala em grupos e solicite que cada grupo escreva cinco 
atitudes que viabilizam a prática de empatia na escola. Depois, com 
a participação de todos, escolham dez atitudes que consideram 
mais importantes e confeccionem cartazes sobre o tema para serem 
anexados em alguns pontos da escola.
• Saúde mental dos estudantes
É importante que professores, assim como toda a comunidade 
escolar, observem os diferentes sinais que os jovens em sofrimento 
emocional costumam dar, como isolamento e distanciamento dos 
amigos e dos grupos sociais, brigas constantes e agressividade, publi-
cações com conteúdo negativo nas redes sociais ou participação em 
grupos virtuais que incentivam automutilação ou suicídio, entre outros. 
Muitos desses sinais poderão se manifestar ao longo deste e 
dos próximos anos como decorrência do impacto da pandemia de 
Covid-19 na saúde emocional dos estudantes.
Um estudo publicado em 1o de abril de 2022, realizado pela Se-
cretaria da Educação do Estado de São Paulo e pelo Instituto Ayrton 
Senna3, revelou que dois de cada três estudantes do 5o e 9o ano do 
Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio da rede estadual rela-
tam sintomas de depressão e ansiedade. De acordo com esse estudo:
³ INSTITUTO Ayrton Senna. Mapeamento aponta que 70% dos estudantes de SP relatam sintomas de depressão e ansiedade. Disponível em: 
https://institutoayrtonsenna.org.br/pt-br/conteudos/mapeamento-aponta-que-70-por-cento-dos-estudantes-de-SP-relatam-sintomas-de-depressao.html . 
Acesso em: 11 maio 2022.
XI
A avaliação mergulha nos danos severos à educação cau-
sados pela pandemia e reforça o desenvolvimento socioemo-
cional como mola propulsora para a aprendizagem e outras 
conquistas ao longo da vida. A análise dos dados ainda revela 
a importância direta das competências socioemocionais para 
o aprendizado e o seu impacto em outros aspectos que afetam 
a aprendizagem indiretamente, como saúde mental, violência 
e estratégias de aprendizagem [...].
Prejuízos no desenvolvimento dessas competências podem 
impactar diversos resultados ao longo da vida dos estudantes. O 
estudo revelou que características como autogestão, que inclui 
foco, determinação, organização, persistência e responsabilidade, 
e amabilidade, que reúne empatia, respeito e confiança, foram 
afetadas durante a pandemia.
Desenvolver habilidades de autoconhecimento, como o re-
conhecimento das próprias emoções, para administrar metas e 
objetivos de maneira mais eficiente, pode ser um recurso valioso 
nestas situações. O autoconhecimento faz parte das competências 
socioemocionais e, quando desenvolvido, possibilita ao jovem criar 
estratégias eficazes para o manejo das emoções nos diferentes 
contextos sociais dos quais participa.
É possível trabalhar o autoconhecimento em diferentes situa-
ções do cotidiano escolar, trabalhando com os estudantes o reco-
nhecimento das próprias emoções, pensamentos, desejos, medos, 
frustrações, dificuldades e assim por diante. Uma atividade que 
pode ser praticada em alguns momentos é sugerir aos estudantes 
que se perguntem “o porquê”.
 • Por que estou brigando com esse colega?
 • Por que esta tarefa me incomoda?
 • Por que não gosto deste professor ou deste colega?
 •Por que tenho medo de responder oralmente a uma pergunta 
feita pelo professor?
Ao identificarem as causas de determinados sentimentos ou 
ações, poderão refletir sobre suas atitudes e, assim, administrar 
situações futuras que possam prejudicá-los em momentos diversos, 
na escola ou no convívio social fora dela.
Para ampliar o conhecimento sobre si mesmo, destacam-se as 
práticas meditativas, em especial o mindfulness, ou atenção plena. 
Trata-se de um exercício compreendido por Leahy como “estado 
mental particular e intencional que une atenção focada no presente, 
consciência aberta e memória de si mesmo”. Praticado constantemen-
te, auxilia na redução do estresse e da ansiedade, possibilitando maior 
criatividade, aumento do autocontrole e da resistência emocional, 
além de maior satisfação ao realizar as atividades do cotidiano.
• Cultura de paz
A cultura de paz está relacionada à compreensão dos princí-
pios de liberdade, justiça, democracia, igualdade e solidariedade, 
proposta em 1999 pela Organização das Nações Unidas (ONU). En-
volve um modo de agir e de se posicionar, com base na prática da 
não violência, por meio da educação, do diálogo e da cooperação.
Mais do que teoria e prática, a não violência deve ser uma 
atitude que permeia toda a prática de ensino, envolvendo to-
dos os pro�ssionais de educação e os estudantes da escola, os 
pais e a comunidade, em um desa�o comum e compartilhado. 
Assim, a não violência integrada confere ao professor outra 
visão do seu trabalho pedagógico. A escola deve dar lugar ao 
diálogo e ao compartilhamento, tornando-se um centro para 
a vida cívica na comunidade.
Para obter um impacto real, a educação sem violência deve 
ser um projeto de toda a escola, o qual deve ser planejado, 
integrado em todos os aspectos do currículo escolar, na pe-
dagogia e nas atividades, envolvendo todos os professores e 
pro�ssionais da escola, assim como toda a estrutura organi-
zacional da equipe de tomada das decisões educacionais. As 
práticas de não violência devem ser coerentes e devem estar 
re�etidas nas regras e na utilização das instalações da escola.
Vista pelo ângulo da não violência, a educação ajuda a:
• aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, 
bem como os nossos direitos; 
• aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferen-
ças e similaridades;
• desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no 
diálogo e na compreensão intercultural;
• ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas 
para resolverem seus conflitos, experimentarem con-
flitos utilizando maneiras construtivas de mediação e 
estratégias de resolução;
• promover valores e atitudes de não violência – auto-
nomia, responsabilidade, cooperação, criatividade e 
solidariedade;
• capacitar estudantes a construírem juntos, com seus 
colegas, os seus próprios ideais de paz.
(UNESCO, [entre 2017 e 2022]).
Considerada um espaço privilegiado para a convivência com a 
diversidade e a promoção do diálogo, diante de tudo que foi apre-
sentado, destacamos que a escola precisa oferecer um ambiente de 
confiança entre os estudantes, professores e gestores. Para tanto, é 
preciso formar crianças e jovens que atuem com base em princípios 
éticos e solidários, além de combater as violências que fazem parte 
de qualquer sociedade. Pautado em valores humanos, o trabalho 
com as competências socioemocionais precisa ser exercitado dia-
riamente para que se transforme em uma ação concreta. Ao expe-
rimentar uma troca possibilitada por meio do diálogo legítimo, em 
que o estudante pode ouvir os pares e ser escutado, intercambiando 
pontos de vista e construindo argumentos consistentes e bem fun-
damentados, ele irá adquirir e vivenciar habilidades essenciais que 
farão a diferença em sua profissionalização e em sua vida futura.
BNCC e currículos
A BNCC e os currículos estão em concordância com os princípios e 
valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 
(LDB) e as Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (DCN).
Com base nesses documentos, relacionam-se algumas ações que 
visam adequar suas proposições à realidade dos sistemas ou redes 
de ensino e das instituições escolares, considerando o contexto e as 
características dos estudantes:
• contextualizar os conteúdos dos componentes curri-
culares, identificando estratégias para apresentá -los, 
representá -los, exemplificá -los, conectá -los e torná -los 
significativos, com base na realidade do lugar e do tem-
po nos quais as aprendizagens estão situadas;
• decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos 
componentes curriculares e fortalecer a competência 
XII
COMPETÊNCIAS GERAIS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA 
PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o 
mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, 
democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das 
ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação 
e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular 
e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos 
conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais 
às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção 
artístico -cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual -motora, como Libras, 
e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das 
linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar 
informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e 
produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e 
comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas 
práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e 
disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar -se de 
conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações 
próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da 
cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência 
crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, 
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões 
comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência 
socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e 
global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos 
outros e do planeta.
8. Conhecer -se, apreciar -se e cuidar de sua saúde física e emocional, 
compreendendo -se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e 
as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, 
fazendo -se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos 
humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de 
grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem 
preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, 
resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, 
democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto 
das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em 
diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que 
contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e 
para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos 
no mundodo trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a 
capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo 
aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no 
mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas 
do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, 
desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de 
soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo 
a investigar, organizar, representar e comunicar informações 
relevantes, para interpretá -las e avaliá -las crítica e eticamente, 
produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, 
validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações -problema em múltiplos contextos, incluindo-
-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o 
aspecto prático -utilitário, expressar suas respostas e sintetizar 
conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, 
tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e 
outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, 
e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, 
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade 
de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos 
de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando 
coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas 
para responder a questionamentos e na busca de soluções para 
problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na 
discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de 
pensar dos colegas e aprendendo com eles.
pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias 
mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à 
gestão do ensino e da aprendizagem;
• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-
-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos dife-
renciados e a conteúdos complementares, se necessário, 
para trabalhar com as necessidades de diferentes grupos 
de estudantes, suas famílias e cultura de origem, suas 
comunidades, seus grupos de socialização etc.;
• conceber e pôr em prática situações e procedimentos 
para motivar e engajar os estudantes nas aprendizagens;
• construir e aplicar procedimentos de avaliação forma-
tiva de processo ou de resultado que levem em conta os 
contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais 
registros como referência para melhorar o desempenho 
da escola, dos professores e dos estudantes;
• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e 
tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;
• criar e disponibilizar materiais de orientação para os 
professores, bem como manter processos permanentes 
de formação docente que possibilitem contínuo aper-
feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;
• manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges-
tão pedagógica e curricular para os demais educadores, 
no âmbito das escolas e sistemas de ensino.
(BRASIL, 2018, p. 16-7).
• Competências na BNCC
Visando assegurar as aprendizagens essenciais a que todo 
estudante da Educação Básica tem direito, a BNCC propõe o de-
senvolvimento de competências que vão além dos conteúdos cur-
riculares a serem ensinados, pois, como expusemos anteriormente, 
é preciso assumir a necessidade de os estudantes se tornarem 
capazes de mobilizar conteúdos, habilidades, atitudes e valores. 
Nesse sentido, propõe 10 competências gerais para a Educação 
Básica e 8 competências específicas para a área de Matemática, as 
quais listamos a seguir.
XIII
Ao longo dos conteúdos, são oferecidas diferentes oportunida-
des para o estudante interpretar, refletir, analisar, discutir, elaborar 
hipóteses, argumentar, concluir e expor resultados de diversas 
maneiras, contribuindo para o desenvolvimento das competências. 
Esse trabalho é realizado em vários momentos da coleção, como nas 
seções Diversificando e Trabalhando a informação.
Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, 
Unidades Temáticas organizam diferentes objetos de conhecimen-
to que, por sua vez, propõem um conjunto de habilidades a serem 
trabalhadas com os estudantes. 
• Unidades Temáticas
De acordo com a BNCC:
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os es-
tudantes se deparam com desa�os de maior complexidade, 
sobretudo devido à necessidade de se apropriarem das diferen-
tes lógicas de organização dos conhecimentos relacionados às 
áreas. Tendo em vista essa maior especialização, é importante, 
nos vários componentes curriculares, retomar e ressigni�car 
as aprendizagens do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no 
contexto das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e 
à ampliação de repertórios dos estudantes. Nesse sentido, tam-
bém é importante fortalecer a autonomia desses adolescentes, 
oferecendo -lhes condições e ferramentas para acessar e inte-
ragir criticamente com diferentes conhecimentos e fontes de 
informação (BRASIL, 2018, p. 60).
A BNCC propõe cinco Unidades Temáticas: Números, Álgebra, 
Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. 
Dessa forma, procura garantir o trabalho com a variedade de conhe-
cimentos matemáticos ao longo do ano e orientar a formulação de 
habilidades a serem desenvolvidas durante o Ensino Fundamental. 
Com base nos recentes documentos curriculares brasileiros, 
a BNCC leva em conta que os diferentes campos que compõem 
a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que 
produzem articulações entre eles: equivalência, ordem, pro-
porcionalidade, interdependência, representação, variação e 
aproximação. Essas ideias fundamentais são importantes para 
o desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes 
e devem se converter, na escola, em objetos de conhecimento. 
A proporcionalidade, por exemplo, deve estar presente no estudo 
de: operações com os números naturais; representação fracio-
nária dos números racionais; áreas; funções; probabilidade etc. 
Além disso, essa noção também se evidencia em muitas ações 
cotidianas e de outras áreas do conhecimento, como vendas e 
trocas mercantis, balanços químicos, representações grá�cas etc. 
(BRASIL, 2018, p. 268).
A proposta presente nesta coleção, aliada ao trabalho do profes-
sor em sala de aula, propicia a articulação das diferentes Unidades 
Temáticas, estabelecendo conexões entre elas e as outras áreas do 
conhecimento. Faremos a indicação dessas articulações ao longo 
deste Manual.
Apresentamos, a seguir, as principais ideias relacionadas a cada 
Unidade Temática que nortearam a organização da coleção, desta-
cando alguns pontos em que contribuímos para o desenvolvimento 
das competências específicas da Matemática. Ressaltamos que os 
pontos apresentados são exemplos de trabalho, mas, ao longo de toda 
a coleção, contemplamos as 8 competências específicas de modo a 
favorecer o desenvolvimento dos estudantes no estudo da Matemática.
Números
As noções matemáticas fundamentais vinculadas a essa Uni-
dade Temática são as ideias de número, operações, aproximação, 
proporcionalidade, equivalência e ordem.
Nos anos finais do Ensino Fundamental são trabalhados dife-
rentes campos numéricos, de modo que os estudantes resolvam 
problemas com números naturais, números inteiros e números 
racionais, envolvendo as operações e fazendo uso de estratégias 
diversas, reconheçam a necessidade dos números irracionais e 
tomem contato com os números reais, comparando, ordenando e 
relacionando esses números com pontos na reta numérica, envol-
vendo