MANUALPROF_matematica_6_PNLD2020_16624_matematicabianchini

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA 
BIANCHINI
Componente curricular:
MATEMÁTICAEdwaldo Bianchini
6oano
MANUAL DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
9a edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino 
de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, 
Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP). 
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo, 
no ensino fundamental e médio, por 25 anos.
MATEMÁTICA 
BIANCHINI
o
ano6
Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição: Glaucia Teixeira 
Edição de conteúdo: Patrícia Furtado
Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Andreza Moreira
Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto
 Foto: Pessoas em barco a remo em Buchelay, França, 2017. 
 Crédito: Julien Brochard/EyeEm/Getty Images
Coordenação de arte: Aderson Assis 
Editoração eletrônica: Marcel Hideki
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani 
Revisão: Ana Maria Marson, Erika Nakahata, Kátia Godoi, Lilian Xavier, Salvine Maciel
Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi
Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas 
de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.”
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo
Matemática - Bianchini : manual do professor / 
Edwaldo Bianchini. – 9. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018.
Obra em 4 v. de 6o ao 9o ano.
Componente curricular: Matemática.
Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16785 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
III
CONHEÇA SEU MANUAL
148
Desprendeu-se na Antártica um dos maiores icebergs já identi�cados pela ciência, informou o 
relatório divulgado nesta quarta-feira por pesquisadores do Project Midas. O bloco gigante de gelo 
tem 5,8 mil quilômetros quadrados, 200 metros de espessura e pesa mais de um trilhão de toneladas — 
equivalente à área do Distrito Federal, no Brasil. O satélite Aqua, dos Estados Unidos, captou o iceberg 
ao passar próximo à plataforma Larsen C e identi�cou água limpa entre o bloco e o continente.
Fonte: ICEBERG do tamanho de Brasília se desprende na Antártica. Gazeta Online, 12 jul. 2017. Disponível em: 
<http://www.gazetaonline.com.br/noticias/mundo/2017/07/iceberg-do-tamanho-de-brasilia-se-desprende-na-
antartica-1014076632.html>. Acesso em: 04 out. 2017.
Você sabia que a parte visível de um iceberg corresponde a apenas 10
1 do seu volume e 
a 7
1 da sua altura?
7 Números racionais na forma de fração
Capítulo
Plataforma Larsen C, na Antártica, monitorada por satélite. (Foto de 2017.)
B
R
IT
IS
H
 A
N
TA
R
T
IC
 S
U
R
V
E
Y
/A
F
P
148 CAPÍTULO 7
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer números racio-
nais em diferentes contex-
tos: cotidianos e históricos.
• Ler, escrever e representar 
números racionais na for-
ma de fração.
• Resolver problemas envol-
vendo números racionais 
na forma de fração com 
seus diferentes significados: 
como operadores, relação 
entre parte e todo, quocien-
te e razão.
• Identificar frações equiva-
lentes.
• Simplificar e comparar nú-
meros racionais escritos na 
forma de fração.
• Resolver e elaborar proble-
mas que envolvam porcen-
tagem com base na ideia 
de proporcionalidade.
• Interpretar dados repre-
sentados em tabelas, grá-
ficos de colunas e gráficos 
de setores.
Orientações gerais
Este capítulo trata dos nú-
meros racionais não negati-
vos em forma de fração, seus 
significados, equivalência, 
simplificação, comparação 
de frações e a forma percen-
tual. Tratamos também da 
interpretação e organização 
de informações coletadas 
por meio de tabelas e gráfi-
cos de colunas e de setores.
Na abertura do capítulo, 
temos a oportunidade de 
trabalhar com uma visão 
interdisciplinar, associan-
do Matemática a Ciências e 
Geografia. Os números em 
foco, os racionais, são apre-
sentados ao aluno em um 
conjunto de informações 
sobre icebergs na Antárti-
ca, possibilitando variadas 
comparações de medidas e 
proporcionalidade. É interes-
sante discutir com os alunos 
que, a exemplo desse con-
texto, a compreensão geral 
dos números, em suas múlti-
plas representações e aplica-
ções, é fundamental para co-
nhecer e melhor entender o 
mundo em que vivemos. Os 
números na forma de fração 
aparecem em uma compara-
ção de volume e altura.
Sugestões de leitura
Para enriquecer a discussão sobre a Antártica, sugerimos os sites:
<https://www.infoescola.com/geografia/antartida-antartica/>; <https://exame.abril.com.br/noticias-sobre/antartica/>; <https://oglobo.
globo.com/sociedade/ciencia/estacao-antartica-22536905>.
Acessos em: 22 maio 2018.
73BIMESTRE 1
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Distinguir figuras planas 
de não planas, descreven-
do algumas de suas carac-
terísticas e estabelecendo 
relações entre elas.
• Classificar figuras não pla-
nas como corpos redondos 
e poliedros.
• Identificar e quantificar 
elementos de um poliedro: 
faces, vértices e arestas.
• Reconhecer prismas e pi-
râmides como poliedros e 
identificar suas bases.
• Associar o estudo de Geo-
metria à arquitetura e à 
história.
• Trabalhar com informações 
de embalagens.
• Explorar ampliação e redu-
ção de figuras com o uso 
de malhas quadriculadas.
Orientações gerais
Ao abordar o assunto deste 
capítulo, é importante tra-
balhar com a manipulação 
de objetos, modelos dos 
sólidos tratados, para que 
as características das figu-
ras geométricas não planas 
trabalhadas sejam percebi-
das e verificadas. Também 
se faz necessário promover 
discussões sobre os modelos 
de figuras geométricas utili-
zados.
A abordagem leva em conta 
que a Geometria talvez seja 
um dos campos da Matemá-
tica em que a interação da 
imaginação com o real mais 
se faça presente.
O texto e a imagem da aber-
tura propiciam uma discussão 
inicial sobre esse tema. Per-
gunte: “Que sólidos geomé-
tricos vocês podem observar 
nessa edificação?”.
Sugestão de leitura
Para enriquecimento do trabalho, indicamos o livro:
MACHADO, Nilson José. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática).
Material Digital 
Audiovisual
• Vídeo: Estudando 
figuras geométricas
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados 
Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. 
O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas 
(pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com 
conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria).
Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e 
suas características.
3Estudando figuras geométricas
Capítulo
Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio(Estados Unidos). (Foto de 2016.)
M
IR
A
/A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
CAPÍTULO 3 73
310
Unidades de medida 
de tempo
Nesta página, iniciamos o 
estudo da grandeza tempo 
e de suas principais unida-
des de medida: hora, minu-
to e segundo.
Se possível, providencie 
diferentes modelos de re-
lógios e cronômetros para 
que os alunos percebam as 
diferenças entre eles. Apro-
veite o uso da tecnologia 
para observar esses instru-
mentos de medição em um 
celular. Discuta com os alu-
nos a diferença no modo de 
registrar os horários feito 
por relógios de ponteiros 
(analógicos) e por relógios 
digitais. Essa pode ser uma 
oportunidade para verificar 
os conhecimentos prévios 
dos alunos na leitura das 
horas nesses dois tipos de 
relógio.
Ressalte o fato de a relação 
entre as unidades de tem-
po (hora, minuto e segun-
do) não ser decimal, mas 
sexagesimal. 
Sugestões de leitura
Para ampliar a relação entre as uni-
dades de tempo, sugerimos os sites:
<http: / /www.oieduca.com.br /
artigos/voce-sabia/por-que-1-hora-
tem-60-minutos.html>. 
<https://hypescience.com/como-o-
tempo-e-medido/>. 
<https://super.abril.com.br/historia/
por-que-dividimos-o-tempo-em-60-
minutos-e-60-segundos/>.
Acessos em: 20 maio 2018.
Complemente os estudos 
com a Sequência 
didática 12 – Medida 
de massa, disponível no 
Manual do Professor – 
Digital. As atividades 
propostas permitem 
desenvolver de forma 
gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas 
comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos 
retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas 
às outras áreas do conhecimento.
DOM TERSEG
Março
QUA QUI SEX SÁB
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
310 CAPÍTULO 12 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA
1 Unidades de medida de tempo
No dia a dia, usamos diversos objetos para registrar o tempo. Vejamos alguns.
O Sistema Internacional de Unidades adota como unidade padrão de medida de tempo o 
segundo, representado por s.
Dependendo do período que pretendemos medir, pode-
mos usar outras unidades:
 � minuto (min), que corresponde a 60 segundos;
 � hora (h), que corresponde a 60 minutos, ou a 3.600 segun-
dos (60 8 60).
No esquema ao lado, mostramos como essas três unida-
des de medida de tempo se relacionam. Veja.
Observe como essas relações nos ajudam a resolver problemas do cotidiano.
h min s
9 60
9 3.600
3 3.600
3 60
9 60
3 60
Situação 1
O triatlo é uma modalidade esportiva composta de três provas: natação, ciclismo e corrida. 
Magda está treinando bastante para participar do campeonato estadual de triatlo. Em seu 
último treino, ela obteve os seguintes tempos: 22 min e 32 s na natação, 24 min e 43 s no 
ciclismo e 1 h 30 min 13 s na corrida. Qual foi o tempo total de Magda nesse treino?
O tempo total de Magda é a soma dos tempos das provas:
IN
 G
R
E
E
N
/S
H
U
T
T
E
R
S
TO
C
K
IS
E
R
G
/IS
TO
C
K
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
G
A
R
S
YA
/S
H
U
T
T
E
R
S
TO
C
K
Com o calendário, medimos o 
dia, a semana, o mês e o ano.
Com o relógio, medimos a 
hora, o minuto e o segundo.
Com o cronômetro, medimos 
tempos menores que 1 segundo.
22 min 32 s
1 24 min 43 s
1 h 30 min 13 s
1 h 76 min 88 s
BIMESTRE 4 329
Orientações
Ainda na seção Para saber 
mais, se possível, seria in-
teressante que os alunos 
comprovassem se suas esti-
mativas na questão 3 foram 
boas ou não. Se houver uma 
árvore na escola ou nas re-
dondezas, peça aos alunos 
que verifiquem a altura 
com uma trena, sob sua su-
pervisão; com uma balança, 
podem verificar a massa da 
mochila de um dos alunos 
da sala; com uma trena, po-
dem obter o comprimento 
da sala em metro e, depois, 
expressá-lo em centímetro; 
com uma régua, podem me-
dir a espessura do livro.
Exercícios 
complementares
Este bloco de exercícios ex-
plora as grandezas e medi-
das estudadas no capítulo. 
Espera-se que os alunos mo-
bilizem os conhecimentos 
construídos, percebendo se 
ainda têm alguma dificul-
dade.
Na discussão sobre a solução 
do exercício 4, solicite que 
ilustrem cada um dos itens 
à medida que forem resolvi-
dos, para deixar mais claro o 
que estão calculando e que 
medidas são necessárias a 
cada cálculo.
No Manual do Professor – 
Digital poderão ser 
acessadas Propostas 
de Acompanhamento 
da Aprendizagem dos 
alunos com sugestões 
de questões, abertas e 
de múltipla escolha, e 
fichas para registro do 
desempenho deles neste 
bimestre.
Habilidade trabalhada: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos am-
bientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes 
tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
1. 000
900
8 00
7 00
600
500
400
300
200
100
m c
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
329CAPÍTULO 12 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA
 2 Uma piscina tem 8 m de comprimento, 4 m de 
largura e 1,40 m de profundidade. 
a) Quantos metros quadrados de azulejo são 
necessários para revestir essa piscina? 
b) Quantos cubinhos de aresta medindo 1 dm 
cabem nessa piscina? 44.800
c) Qual é a capacidade da piscina em litro?
44.800 litros
 4 Construíram-se três cubos de mesmo volume. 
A soma das medidas de todas as arestas de 
cada cubo é 64,8 cm. Foi colocado um cubo 
sobre o outro, obtendo-se um paralelepípedo.
a) Qual é a soma das medidas de todas as 
arestas do paralelepípedo? 108 cm
b) Qual é a soma das áreas das faces de cada 
cubo? 174,96 cm2
c) Qual é a soma das áreas das faces do para-
lelepípedo? 408,24 cm2
 3 Estimem estas medidas: Respostas pessoais.
a) a altura de uma árvore;
b) a massa de uma mochila de um aluno do 6o ano;
c) o comprimento, em centímetro, da sala de aula;
d) a espessura deste livro.
 Comparem suas respostas com as de outros colegas. Houve muita diferença nas medidas 
estimadas? Por que vocês acham que isso aconteceu? Respostas pessoais.
 1 Quantos cubos iguais a A preciso empilhar 
para formar uma figura igual ao paralelepí-
pedo B? alternativa d
a) 12
b) 36
c) 45
d) 54
Observando o gráfico, responda às questões:
a) Quantos quilogramas de café foram consu-
midos, em média, por habitante em 2010?
b) Qual foi a média de consumo de café no 
período de 2008 a 2015? 
c) A média de consumo de café de 2011 para 
2012 aumentou ou diminuiu? Quanto?
d) Pela média de 2015, quantos quilogramas 
de café teriam sido consumidos por 72.000 
habitantes? 352.800 kg
a) 4,81 kg
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Consumo médio de café por habitante
4,51
2008
2
4
6
4,65
2009
4,81
2010
4,88
2011
4,98
2012
4,87
2013
4,89
2014
4,90
2015
C
on
su
m
o 
(e
m
 q
ui
lo
gr
am
a)
Ano
Dados obtidos em: Associação Brasileira da Indústria de 
Café. Disponível em: <http://www.abic.com.br>. 
Acesso em: 16 ago. 2017.
 3 O gráfico abaixo mostra o consumo médio de 
café (torrado e moído) por habitante do Brasil 
ao ano, em quilograma.
 7 Faça as conversões.
a) 54.756 g em kg
b) 2,3 t em kg
c) 
2
1 t em g
d) 80 g em mg
e) 15 g em kg
f) 
5
3 kg em g
54,756 kg
2.300 kg
500.000 g
80.000 mg
0,015 kg
600 g
 5 Considerando a proveta ao 
lado, responda às questões.
a) Quantos decilitros mede 
o líquido nela contido?
b) Quantos centilitros mede 
o líquido nela contido? 
c) Quantos mililitros mede o 
líquido nela contido? 
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
 6 Um conta-gotas tem capacidade de 2,5 cc. 
Qual é sua capacidade em mililitro? 25 mc240 mc
24 cc
2,4 dc
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
65,60 m2
c) aumentou; 0,10 kg
b) aproximadamente 4,81 kg
(A) (B)
F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
Este Manual do Professor está organizado em:
Orientações gerais – apresenta a visão geral da proposta desenvolvida e os fundamentos teórico -metodológicos da 
coleção.
Orientações específicas – traz a distribuição das seções especiais do livro do estudante, comentários sobre cada um 
dos capítulos e quadros com a correspondência entre conteúdos desenvolvidos, objetos de conhecimento e habilidades 
da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Ao final, encontram-se sugestões de atividades e, quando possível, textos 
complementares.
Orientações página a página – reproduz as páginas do livro do estudante em formato reduzido, acompanhadas de 
orientações, sugestões didáticas e comentários nas laterais e na parte inferior, em formato semelhante à letra U.
A estrutura permite localizar facilmente as orientações referentes aos assuntos da página e os recursos disponíveis 
no Manual do Professor – Digital. Veja a seguir. 
Livros e sites são 
indicados para 
aprofundar ou 
complementar o 
tema em estudo.
No início da página 
de abertura, 
encontram-se 
os Objetivos 
do capítulo e 
Orientações 
gerais sobre o 
desenvolvimento 
dos conteúdos 
trabalhados.
Sempre que 
oportuno, ícones 
sugerem os 
momentos para 
a utilização das 
Sequências didáticas 
e das Propostas de 
Acompanhamento 
da Aprendizagem, 
oferecidas no Manual 
do Professor – 
Digital.
As habilidades da 
BNCC trabalhadas 
são reproduzidas ao 
final da página.
A cada bimestre, um 
marcador sinaliza 
os Materiais Digitais 
Audiovisuais disponíveis 
no Manual do Professor 
– Digital. Esses materiais 
são acompanhados 
de uma ficha com 
orientações para o 
desenvolvimento da 
proposta com os alunos.
Na parte inferior da 
dupla de páginas, 
um marcador indica 
o bimestre sugerido 
para o trabalho 
com os capítulos. 
Essa organização 
bimestral está 
de acordo com 
os Planos de 
desenvolvimento 
propostos no 
Manual do 
Professor – Digital.
IVIVIV
Orientações gerais V
Apresentação ............................................................................................................ V
Visão geral da proposta da coleção .......................................................................... V
Objetivos gerais da coleção ................................................................................................... VI
Fundamentos teórico-metodológicos ...................................................................... VI
A importância de aprender Matemática ............................................................................ VI
A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental...................... VIII
BNCC e currículos ..................................................................................................................... X
Unidades Temáticas ................................................................................................................. XII
Propostas didáticas ................................................................................................................. XIII
Apresentação da coleção ......................................................................................... XV
Estrutura da obra ...................................................................................................................... XV
Organização geral da obra ..................................................................................................... XVI
Avaliação ................................................................................................................... XVI
A avaliação e as práticas avaliativas .................................................................................. XVI
Instrumentos de avaliação nas aulas de Matemática ................................................... XVIII
Formação continuada e desenvolvimento profissional docente .............................. XX
Instituições de estudos e pesquisas em Educação Matemática 
que mantêm publicações na área ........................................................................................ XX
Sugestões de leitura ................................................................................................................ XXI
Sugestões de sites ................................................................................................................... XXIV
Documentos oficiais ................................................................................................................ XXIV
Bibliografia consultada ............................................................................................. XXIV
Orientações específicas XXVII
Capítulo 1 – Números ................................................................................................ XXVIII
Capítulo 2 – Operações com números naturais ........................................................ XXIX
Capítulo 3 – Estudando figuras geométricas ........................................................... XXXI
Capítulo 4 – Divisibilidade ......................................................................................... XXXII
Capítulo 5 – Um pouco de Álgebra ............................................................................ XXXIII
Capítulo 6 – Um pouco de Geometria plana .............................................................. XXXIV
Capítulo 7 – Números racionais na forma de fração ................................................. XXXV
Capítulo 8 – Operações com números racionais na forma de fração........................ XXXVII
Capítulo 9 – Números racionais na forma decimal e operações ............................... XXXVIII
Capítulo 10 – Polígonos e poliedros .......................................................................... XLI
Capítulo 11 – Comprimentos e áreas ........................................................................ XLIII
Capítulo 12 – Outras unidades de medida ................................................................ XLVI
Sugestões de atividades XLVIII
Livro do estudante – Orientações página a página 1
SUMÁRIO
V
Apresentação
Professor(a),
Como material de apoio à prática pedagógica, este 
Manual traz, de maneira concisa, orientações e sugestões 
para o uso do livro do aluno como texto de referência, com 
o objetivo de subsidiar seu trabalho em sala de aula. Espe-
ramos que este material o(a) auxilie a melhor aproveitar e 
a compreender as diretrizes pedagógicas que nortearam 
a elaboração dos quatro livros desta coleção.
Este Manual também discute a avaliação da aprendi-
zagem sob a luz de pesquisas em Educação e Educação 
Matemática e em documentos oficiais. Além disso, oferece 
indicações de leituras complementares e sites de centros de 
formação continuada, na intenção de contribuir para a am-
pliação de seu conhecimento, sua experiência e atualização.
As características da coleção, as opções de abordagem, 
os objetivos educacionais a alcançar são também expostos 
e discutidos aqui.
Visão geral da proposta da 
coleção
Esta coleção tem como principal objetivo servir de 
apoio ao professor no desenrolar de sua prática didático-
-pedagógica e oferecer ao aluno um texto de referência 
auxiliar e complementar aos estudos.
Com base nos conteúdos indicados para a Matemática 
dos anos finais (6o ao 9o anos) do Ensino Fundamental e 
suas especificidades de ensino, a obra procura possibilitar 
ao aluno a elaboração do conhecimento matemático, visan-
do contribuir para a formação de cidadãos que reflitam e 
atuem no mundo, e subsidiar o trabalho docente, compar-
tilhando possibilidades de encaminhamento e sugestões 
de intervenção. Nesse sentido, atribui especial importância 
ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e 
por meio de linguagem clara e objetiva, com destaques 
pontuais para as noções de maior importância.
As ideiasmatemáticas são apresentadas e desenvolvi-
das progressivamente, sem a preocupação de levar o aluno 
a assimilar a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a 
pretensão de esgotar o assunto na primeira apresentação. 
Ao longo da coleção, oferecemos constantes retomadas, 
não apenas visando à revisão, mas à complementação e 
ao aprofundamento de conteúdos. Acreditamos que, por 
meio de diversos contatos com as ideias e os objetos ma-
temáticos, o aluno conseguirá apreender seus significados.
Em relação à abordagem, a apresentação de cada 
conteúdo procura ser clara e objetiva, buscando situações 
contextualizadas e problematizadoras que possibilitem 
ao aluno uma aprendizagem significativa, assim como 
estabelecer relações da Matemática com outras áreas do 
saber, com o cotidiano, com sua realidade social e entre 
os diversos campos conceituais da própria Matemática.
Essa contextualização abarcou situações comuns, viven-
ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais 
elaboradas, que costumam aparecer nos grandes veículos de 
comunicação. Assim, a obra tem por objetivo contribuir para a 
formação integral do aluno, de modo que, enquanto assimila 
e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque 
em prática, sempre que possível, suas capacidades reflexiva 
e crítica, inter -relacionando tanto os tópicos matemáticos 
entre si quanto estes com os de diferentes áreas do saber. 
O intento é colaborar de maneira eficaz para a solidificação 
do conhecimento matemático e com o preparo do exercício 
da cidadania e da participação positiva na sociedade.
Na perspectiva mundial da permanente busca por me-
lhor qualidade de vida, a Matemática, sobretudo em seus 
aspectos essenciais, contribui de modo significativo para 
a formação do cidadão crítico e autoconfiante, com com-
preensão clara dos fenômenos sociais e de sua atuação na 
sociedade, com vistas a uma formação integral e inclusiva.
[...] a BNCC afirma, de maneira explícita, o seu compro-
misso com a educação integral. Reconhece, assim, que a 
Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento 
humano global, o que implica compreender a complexidade 
e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com 
visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual 
(cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir 
uma visão plural, singular e integral da criança, do adoles-
cente, do jovem e do adulto – considerando -os como sujeitos 
de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu 
acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas 
suas singularidades e diversidades. [...]
(Base Nacional Comum Curricular, 2017, p. 14.)
A ideia de educação inclusiva sustenta -se em um movi-
mento mundial de reconhecimento da diversidade humana 
e da necessidade contemporânea de se constituir uma escola 
para todos, sem barreiras, na qual a matrícula, a permanên-
cia, a aprendizagem e a garantia do processo de escolarização 
sejam, realmente e sem distinções, para todos.
(SÃO PAULO. Currículo da Cidade, 2017, p. 25.)
Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados 
entremeados por blocos de exercícios e, algumas vezes, 
por atividades de outra natureza em seções especiais. 
A distribuição das atividades em diferentes seções pro-
cura facilitar e flexibilizar o planejamento do trabalho 
docente, bem como possibilitar ao aluno desenvolver 
habilidades diversas.
ORIENTAÇÕES GERAIS
VIVI
As atividades também foram pensadas de acordo com 
o mesmo viés da exposição teórica, intercalando -se aos 
exercícios convencionais, importantes para formalizar e 
sistematizar conhecimentos, aqueles que associam os 
contextos matemáticos aos de outras áreas do conheci-
mento, que contemplam temas abrangendo informações 
de Biologia, Ecologia, Economia, História, Geografia, Políti-
ca, Ciências e Tecnologia.
A constante recorrência a imagens, gráficos e tabelas, 
muitos deles publicados em mídias atuais, tem por objeti-
vo estimular os alunos a estabelecerem conexões com o 
mundo em que vivem.
A obra procura trazer atividades que possibilitam a 
sistematização dos procedimentos e a reflexão sobre 
os conceitos em construção. Elas procuram abordar 
diferentes aspectos do conceito em discussão por meio 
de variados formatos, apresentando, quando possível, 
questões abertas, que dão oportunidade a respostas 
pessoais, questões com mais de uma solução ou cuja 
solução não existe. Da mesma maneira, há exercícios 
que estimulam a ação mental, promovendo o desenvol-
vimento de argumentações, a abordagem de problemas 
de naturezas diversas e as discussões entre colegas e em 
grupos de trabalho. O professor tem, então, uma gama 
de questões a seu dispor para discutir e desenvolver os 
conceitos matemáticos em estudo.
É importante reafirmar que, ao longo de toda a co-
leção, houve preocupação com a precisão e a concisão 
da linguagem. A abordagem dos conteúdos procurou ser 
clara, objetiva e simples, a fim de contribuir adequada-
mente para o desenvolvimento da Matemática escolar 
no nível do Ensino Fundamental. Além do correto uso 
da língua materna e da linguagem propriamente mate-
mática, procuramos auxílio da linguagem gráfica, com 
ilustrações, esquemas, diagramas e fluxogramas que 
auxiliem a aprendizagem pelas mudanças dos registros 
de representação.
Objetivos gerais da coleção
• Apresentar a Matemática, em seus diversos usos, 
como uma das linguagens humanas, explorando suas 
estruturas e seus raciocínios.
• Introduzir informações que auxiliem a apreensão de 
conteúdos matemáticos, com vistas à sua inserção 
em um corpo maior de conhecimentos e à sua apli-
cação em estudos posteriores.
• Possibilitar ao aluno o domínio de conteúdos ma-
temáticos que lhe deem condições de utilização 
dessa ciência no cotidiano e na realidade social, 
oportunizando o desenvolvimento do letramento 
matemático1.
• Propiciar, com o auxílio do conhecimento matemático, 
o desenvolvimento das múltiplas competências e 
habilidades cognitivas do aluno, preparando -o como 
pessoa capaz de exercer conscientemente a cidada-
nia e de progredir profissionalmente, garantindo uma 
formação integral e inclusiva.
• Desenvolver hábitos de leitura, de estudo e de or-
ganização.
Fundamentos teórico-
-metodológicos 
Vamos apresentar alguns temas relativos ao ensino 
de Matemática que norteiam as escolhas curriculares da 
coleção e se alinham às proposições da Base Nacional 
Comum Curricular (BNCC).
A importância de aprender Matemática
Partimos da proposição de que uma característica da 
Matemática é ser uma linguagem humana que, como forma 
linguística, tem o poder de decodificar, traduzir e expressar 
o pensamento humano, o que contribui para a formação 
integral do estudante.
O conhecimento matemático é necessário para todos os 
alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na 
sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades 
na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsa-
bilidades sociais.
(BNCC, 2017, p. 263.)
A palavra matemática vem do grego mathematike. Em 
sua origem, estava ligada ao ato de aprender, pois signifi-
cava “tudo o que se aprende”, enquanto matemático, do 
grego mathematikos, era a palavra usada para designar 
alguém “disposto a aprender”. O verbo aprender era origi-
nalmente, em grego, manthanein; mas hoje o radical math, 
antes presente nas palavras ligadas à aprendizagem, pare-
ce ter perdido essa conotação e daí talvez resulte a ideia 
geral de que a Matemática é uma disciplina que lida apenas 
com números, grandezas e medidas e que se aprende na 
escola de forma compulsória.
1 Segundo a Matriz de Avaliação de Matemática do Pisa 2012 (disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/
marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>; acesso em: 2 maio 2018):
Letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. 
Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos,fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e 
predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, 
engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.
VI
http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf
http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf
Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além 
de uma linguagem para expressar seu pensamento, ferra-
mentas com as quais ele pode gerar novos pensamentos 
e desenvolver raciocínios, ou seja,
[…] a Matemática não é simplesmente uma disciplina, 
mas também uma forma de pensar. É por isso que a Mate-
mática, assim como a alfabetização, é algo que deveria ser 
tornado disponível para todos […].
(NUNES; BRYANT, 1997, p. 105.)
A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponí-
vel a todo ser humano, para que possa fazer uso dela como 
uma de suas ferramentas de sobrevivência e convívio 
social, promovendo uma formação inclusiva.
Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar 
características da Matemática podem expandir -se para 
outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de 
aprendizado. Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o 
pensamento em um conjunto de axiomas, na geração e va-
lidação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos e 
procedimentos de resolução de problemas — ferramentas 
aplicáveis a um conjunto de situações similares —, esta-
belecendo conexões e fazendo estimativas. Analisando 
situações particulares e inserindo -as na estrutura global, 
é possível construir estruturas de pensamento também 
úteis em situações não matemáticas da vida em sociedade.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de 
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, 
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com 
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de 
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas 
abstratos, que organizam e inter -relacionam fenômenos do 
espaço, do movimento, das formas e dos números, associados 
ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm 
ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão 
de fenômenos, a construção de representações significativas 
e argumentações consistentes nos mais variados contextos.
(BNCC, 2017, p. 263.)
Ao construir sua história, o ser humano tem modifi-
cado e ampliado constantemente suas necessidades, 
individuais ou coletivas, de sobrevivência ou de cultura. 
O corpo de conhecimentos desenvolvido nesse longo 
trajeto ocupa lugar central no cenário humano. No que 
diz respeito aos conhecimentos matemáticos, muitos 
continuam atravessando os séculos, enquanto outros 
já caíram em desuso. Há, ainda, outros que estão sendo 
incorporados em razão das necessidades decorrentes 
das ações cotidianas, como é o caso da Educação Fi-
nanceira. As novas práticas solicitam a ampliação e o 
aprofundamento desses conhecimentos.
Até algumas décadas atrás,“saber” Matemática impli-
cava basicamente dominar e aplicar as operações básicas: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Na atualidade, 
contudo, as pesquisas educacionais, as diretrizes peda-
gógicas oficiais e, em especial, a BNCC apontam para a 
necessidade de que em todos os anos da Educação Básica 
a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unida-
des Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas 
e medidas e Probabilidade e estatística, tendo como refe-
rência o desenvolvimento das competências e habilidades 
descritas pela BNCC.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização 
de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades 
(práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores 
para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do 
pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.
(BNCC, 2017, p .8.)
Para entender a real importância da Matemática, basta 
pensar em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de 
ações nas quais precisamos mobilizar os conhecimentos 
desse campo: calcular uma despesa para efetuar seu paga-
mento; examinar diferentes alternativas de crédito; estimar 
valores aproximados; calcular medidas e quantidades com 
alguma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia 
apresentados por meio de tabelas e gráficos; analisar 
criticamente a validade de um argumento lógico; avaliar 
a razoabilidade de um resultado numérico ou estatístico; 
decidir a sequência de passos necessários para resolver um 
problema; orientarmo -nos no espaço (para deslocamentos 
ou indicações de trajetórias), entre tantas outras situações.
Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender 
continuamente, durante toda a vida, para assimilar as in-
cessantes inovações do mundo moderno e, desse modo, 
realimentar seu repertório cultural. Em um ambiente mun-
dial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto de 
vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as 
pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilida-
de também da educação escolar levar o aluno a perceber 
criticamente a realidade, cuja interpretação depende da 
compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento 
da simbologia adotada no contexto, da análise das infor-
mações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas, 
indexadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos 
conhecimentos matemáticos pode estar privado de exer-
cer seus direitos como cidadão, por não ter condições de 
opinar em situação de igualdade com os demais membros 
da sociedade, nem de definir seus atos políticos e sociais 
com base em uma avaliação acurada da situação.
No ensino da Matemática, assumem grande importân-
cia aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos 
matemáticos com suas representações (esquemas, 
diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar 
no mundo real o uso de tais representações; o desafio à 
interpretação, por meio da Matemática, da diversidade das 
informações advindas desse mundo.
Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de 
hoje depende cada vez mais do conjunto de conhecimento 
produzido pela humanidade, incluindo de maneira notável as 
contribuições da ciência matemática. Ao mesmo tempo, 
esse arcabouço cultural revigora -se incessantemente, com 
grande diversidade e sofisticação. Os apelos de um mundo 
VII
VIIIVIII
que se transforma em incrível velocidade, em uma cres-
cente variedade de domínios, constituem uma das razões 
mais significativas para o maior desafio dos educadores: 
preparar os jovens para uma atuação ética e responsável, 
balizada por uma formação múltipla e consistente.
Matemática acadêmica 3 Matemática escolar
No âmbito específico da Matemática, há muito mais 
conhecimento já estabelecido do que o que chega à sala 
de aula. A seleção desses conhecimentos -conteúdos e 
a maneira de apresentá -los aos estudantes exigem bom 
senso e uma série de estudos e adaptações.
Em sua formação inicial, na universidade, o futuro 
professor de Matemática tem contato simultâneo com 
a Matemática acadêmica e a Matemática escolar. No en-
tanto, em seu exercício profissional, o destaque será para 
a Matemática escolar; daí a relevância de procurarmos 
entender a distinção entre ambas.
De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática 
acadêmica, ou científica, é o corpo de conhecimentos 
produzido por matemáticos profissionais. Nesse caso, as 
demonstrações, definições e provas de um fato e o rigor 
na linguagem utilizada ocupam papel relevante, visto que 
é por meio deles que determinado conhecimento é aceito 
como verdadeiro pela comunidade científica.
No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fun-
damentais que modificam significativamente o papel do 
rigor nas demonstrações. O primeiro refere -se ao fato de a 
“validade” dos resultados matemáticos, que serão apresen-
tados aos estudantes no processode ensino -aprendizagem, 
não ser colocada em dúvida; ao contrário, já está garantida 
pela própria Matemática acadêmica. O segundo aspecto diz 
respeito à aprendizagem; neste caso, o mais importante é o 
desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure 
a compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais, 
assim como a construção de justificativas que permitam 
ao jovem estudante utilizá -los de maneira coerente e con-
veniente, tanto na vida escolar quanto na cotidiana, propi-
ciando o desenvolvimento das competências e habilidades 
para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo.
O pensador Jules Henri Poincar também discute a dife-
rença entre o rigor necessário e conveniente à Matemática 
científica e o rigor adequado a um processo educativo. Para 
ele, uma boa definição é aquela que pode ser entendida 
pelo estudante. 
Nesse contexto, a coleção procura harmonizar o uso da 
língua materna com a linguagem matemática, promovendo 
uma leitura acessível e adequada aos alunos dos anos 
finais do Ensino Fundamental. 
A Matemática como componente 
curricular do Ensino Fundamental
A importância de ensinar Matemática no Ensino Funda-
mental, conforme indica a BNCC, decorre também da con-
tribuição que a área representa na formação do cidadão. 
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o 
desenvolvimento do letramento matemático, definido como 
as competências e habilidades de raciocinar, representar, co-
municar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer 
o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução 
de problemas em uma variedade de contextos, utilizando 
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. 
É também o letramento matemático que assegura aos alunos 
reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamen-
tais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o 
caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que 
favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, 
estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinse-
camente relacionado a algumas formas de organização da 
aprendizagem matemática, com base na análise de situações 
da vida cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da 
própria Matemática. [...]
(BNCC, 2017, p. 264.)
Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Edu-
cação Matemática têm procurado sintetizar o papel social 
do ensino dessa área do conhecimento. Na literatura, 
segundo Ponte (2002), cabem ao ensino da Matemática 
quatro diferentes papéis:
• instrumento da cultura científica e tecnológica, 
fundamental para profissionais como cientistas, 
engenheiros e técnicos, que utilizam a Matemática 
em suas atividades;
• filtro social para a continuação dos estudos e seleção 
para as universidades;
• instrumento político, como símbolo de desenvolvi-
mento e arma de diversas forças sociais que utilizam 
as estatísticas do ensino da Matemática para seus 
propósitos;
• promotora do desenvolvimento dos modos de pensar 
a serem aplicados na vida cotidiana e no exercício da 
cidadania.
É evidente que cada um desses papéis serve a diferen-
tes interesses e finalidades. Contudo, considerando os 
indivíduos seres sociais, é o último desses papéis o mais 
importante e o que mais nos interessa. Como explica Ponte:
Incluem -se aqui os aspectos mais diretamente utilitários 
da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular 
a área da sala), mas não são esses aspectos que justificam 
a importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a 
capacidade de entender a linguagem matemática usada na 
vida social e a capacidade de usar um modo matemático de 
pensar em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural, 
cívico e profissional. Em teoria, todos reconhecem que esta é 
a função fundamental do ensino da Matemática. Na prática, 
infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos 
importância.
(Ibidem)
VIII
A função de promotora dos modos de pensar, porém, 
não se concretiza na prática somente por estar explicitada 
no currículo e nos programas.
O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura 
profissional dos professores podem influenciar de tal modo 
as práticas de ensino que as finalidades visadas pelo currículo 
em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é 
solenemente proclamado nos textos oficiais.
(Ibidem)
Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte analisa em parti-
cular a função de filtro social – “a verdade é que este papel 
de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a 
relação dos jovens com a Matemática” (ibidem) –, que pas-
sam a enxergá -la como obstáculo a ser transposto para a 
conquista de objetivos, em vez de entendê -la como aliada 
nesse processo. O pesquisador enfatiza a importância de 
identificar os fatores que originam o insucesso dos alunos em 
Matemática. Para ele, tais fatores estão relacionados com:
• a crise da escola como instituição, que se reflete na 
aprendizagem em geral e na Matemática em particular;
• aspectos de natureza curricular — tradição pobre de 
desenvolvimento curricular de Matemática;
• insuficiente concretização prática e caráter difuso 
das finalidades do aprendizado;
• o próprio fato de a Matemática constituir -se em ins-
trumento de seleção, o que, de imediato, desencanta 
e amedronta o aluno;
• questões ligadas à formação dos professores.
Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos 
destacar que:
[...] Os processos matemáticos de resolução de proble-
mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da 
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas 
da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo 
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de 
todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza-
gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de 
competências fundamentais para o letramento matemático 
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação) 
e para o desenvolvimento do pensamento computacional.
(BNCC, 2017, p. 264.)
As atuais e inúmeras discussões na área educacional 
têm nos alertado sobre mudanças na forma de conceber a 
Educação Básica no mundo. No que diz respeito à Educação 
Matemática, podemos dizer que ela tem atravessado um 
grato momento de revitalização:
Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma 
ampla discussão dos seus objetivos fazem da Educação 
Matemática uma das áreas mais férteis nas reflexões sobre o 
futuro da sociedade.
(D’AMBROSIO, 2000.)
A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas 
contemporâneos, como é o caso dos “direitos da criança e 
do adolescente” e “educação em direitos humanos”. 
Por fim, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como 
às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe-
tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas 
a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida 
humana em escala local, regional e global, preferencialmente 
de forma transversal e integradora. 
(BNCC, 2017, p. 19.)
A orientação de introduzir e interligar no âmbito esco-
lar temas dessa natureza traz efetivas possibilidades de 
expansão dos currículos, para além dos conteúdos das 
disciplinas tradicionais. Esses temas também podem ser 
abordados de acordo com a necessidade dos estudantes 
e da comunidade em que estão inseridos.
O importante é ter em vista que, por meio do trabalho 
com esses temas, é possível incluir as questões sociais 
nos currículos escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos 
trabalhados ganham novo papel; o aprendizado da Mate-
mática, entre outras abordagens, concorre para a formação 
da cidadania e, consequentemente, para um entendimento 
mais amplo da realidade social.
Por compreender a importância desse trabalho, esta co-
leção procura, na medida do possível, incorporar e discutir al-
guns conteúdos matemáticos em contextos diversificados.
O papel do livro didático
Entendemos que, em geral, os recursos presentes em 
salas de aula não são suficientes para fornecer todos 
os elementosnecessários ao trabalho do professor e 
à aprendizagem do aluno. Nesse caso, o livro didático 
desempenha um papel importante, assessorando nesse 
processo, como organização e encaminhamento da teoria 
e propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro di-
dático contribui para o processo de ensino -aprendizagem 
e atua como mais um interlocutor na comunicação entre 
educador e educando.
Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais 
completo que seja, deve ser utilizado intercalado com 
outros recursos que enriqueçam o trabalho do professor.
Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que, 
partindo do princípio de que o verdadeiro aprendizado 
apoia -se na compreensão, não na memória, e de que so-
mente uma real interação com os alunos pode estimular o 
raciocínio e o desenvolvimento de ideias próprias em busca 
de soluções, cabe ao professor aguçar seu espírito crítico 
perante o livro didático.
Na organização desta coleção, os conceitos e ativida-
des foram concebidos e dispostos em uma sequência que 
garanta a abordagem dos conhecimentos matemáticos 
relativos aos anos finais do Ensino Fundamental, visando à 
IX
XX
ampliação dos conhecimentos básicos tratados nos anos 
iniciais do Ensino Fundamental, apresentando -os em capí-
tulos específicos e, depois, retomando -os e ampliando -os 
em volumes posteriores. Assim, os alunos podem resgatar 
os conhecimentos trabalhados anteriormente, ampliar os 
conceitos ao longo de seus estudos em Matemática do 6o ao 
9o anos e preparar -se para a continuidade no Ensino Médio.
As orientações deste Manual pretendem esclarecer 
intenções, objetivos e concepções das atividades que 
podem auxiliar o trabalho pedagógico do professor em 
seus encaminhamentos, intervenções e na ampliação e 
enriquecimento de seus conhecimentos matemáticos.
Caracterização da adolescência
Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei 
n o 8.069/1990: “Considera -se criança, para os efeitos 
desta Lei, a pessoa até doze anos de idade incompletos, 
e adolescente aquela entre doze e dezoito anos de idade.”
De acordo com a BNCC:
Os estudantes dessa fase inserem -se em uma faixa etária 
que corresponde à transição entre infância e adolescência, 
marcada por intensas mudanças decorrentes de transfor-
mações biológicas, psicológicas, sociais e emocionais. [...] 
ampliam -se os vínculos sociais e os laços afetivos, as possi-
bilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abs-
tratos. Os estudantes tornam -se mais capazes de ver e avaliar 
os fatos pelo ponto de vista do outro, exercendo a capacidade 
de descentração, “importante na construção da autonomia 
e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010).
(BNCC, 2017, p. 58.)
Esta coleção procura uma aproximação com os estudan-
tes dessa fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha 
de assuntos que possam despertar seu interesse. Um des-
ses momentos pode ser observado nas aberturas dos ca-
pítulos, nas quais são apresentadas situações que buscam 
aguçar a curiosidade dos alunos para o tema a ser tratado. 
Além disso, a coleção busca também facilitar a passagem 
de um ano para outro no processo de ensino -aprendizagem 
em Matemática, retomando conceitos, revisitando conheci-
mentos – como as quatro operações fundamentais e o es-
tudo das figuras geométricas –, ampliando e aprofundando 
conteúdos com novos aspectos, a fim de que os alunos se 
apropriem dos conceitos com a compreensão dos processos 
neles envolvidos, caso da ampliação do campo numérico 
(dos números naturais aos números reais).
Objetivos da formação básica para o Ensino 
Fundamental
Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de 
Educação/Câmara de Educação Básica sobre Diretrizes 
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 
(nove) anos, os objetivos para a formação básica relativos 
ao Ensino Infantil e Ensino Fundamental são:
• o desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo como 
meios básicos o pleno domínio da leitura, da escrita e do 
cálculo;
• a compreensão do ambiente natural e social, do sistema 
político, das artes, da tecnologia e dos valores em que se 
fundamenta a sociedade;
• a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação 
de atitudes e valores como instrumentos para uma visão 
crítica do mundo;
• o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de 
solidariedade humana e de tolerância recíproca em que 
se assenta a vida social.
(Parecer 11/2010, p. 32.)
BNCC e currículos
A BNCC e os currículos estão em concordância com os 
princípios e valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases 
da Educação Nacional (LDB) e as Diretrizes Curriculares 
Nacionais da Educação Básica (DCN).
A BNCC relaciona algumas ações que visam adequar 
suas proposições à realidade dos sistemas ou redes de 
ensino e das instituições escolares, considerando o con-
texto e as características dos alunos:
• contextualizar os conteúdos dos componentes curri-
culares, identificando estratégias para apresentá -los, 
representá -los, exemplificá -los, conectá -los e torná -los 
significativos, com base na realidade do lugar e do tempo 
nos quais as aprendizagens estão situadas;
• decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos 
componentes curriculares e fortalecer a competência 
pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias 
mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à 
gestão do ensino e da aprendizagem;
• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-
-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferen-
ciados e a conteúdos complementares, se necessário, para 
trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de 
alunos, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, 
seus grupos de socialização etc.;
• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para 
motivar e engajar os alunos nas aprendizagens;
• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa 
de processo ou de resultado que levem em conta os contex-
tos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros 
como referência para melhorar o desempenho da escola, 
dos professores e dos alunos;
• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e 
tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;
• criar e disponibilizar materiais de orientação para os 
professores, bem como manter processos permanentes 
de formação docente que possibilitem contínuo aper-
feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;
• manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges-
tão pedagógica e curricular para os demais educadores, 
no âmbito das escolas e sistemas de ensino.
(BNCC, 2017, p. 16 -17.)
X
Competências da BNCC
Visando assegurar as aprendizagens essenciais a que todo estudante da Educação Básica tem 
direito, a BNCC propõe o desenvolvimento de competências que vão além dos conteúdos mínimos a 
serem ensinados. 
As competências, já definidas anteriormente, são apresentadas como competências gerais – para 
nortear os currículos e as ações pedagógicas – e explicitadas pelas competências específicas de área, 
a serem desenvolvidas pelas diferentes áreas do currículo ao longo das etapas da escolarização. 
COMPETÊNCIAS GERAIS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o 
mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade 
justa, democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria 
das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a 
imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive 
tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais 
às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção 
artístico-cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual -motora, como Libras, 
e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos 
das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e 
partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes 
contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e 
comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas 
práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e 
disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar -se de 
conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações 
próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício 
da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, 
consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, 
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões 
comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência 
socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e 
global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
8. Conhecer -se, apreciar -se e cuidar de sua saúde física e emocional, 
compreendendo -se na diversidade humana e reconhecendo suas 
emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar 
com elas.
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto 
das necessidades e preocupações de diferentes culturas, 
em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, 
que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, 
inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação 
e a capacidade de produzir argumentos convincentes, 
recorrendo aos conhecimentos matemáticos para 
compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à 
própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança 
na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos 
e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, 
de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá -las e avaliá -las crítica 
e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de 
conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações -problema em múltiplos contextos, 
incluindo -se situações imaginadas, não diretamente 
relacionadas com o aspecto prático -utilitário, expressar 
suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes 
registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de 
texto escrito na língua materna e outras linguagens para 
descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, 
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando 
coletivamente no planejamento e desenvolvimento de 
pesquisas para responder a questionamentos e na busca de 
soluções para problemas, de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão de uma determinada 
questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e 
aprendendo com eles.
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, 
fazendo -se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos 
humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e 
de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, 
flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em 
princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
(Fonte: BNCC, 2017, p. 9 -10, 263.)
Ao longo dos conteúdos, são oferecidas diferentes oportunidades para o aluno interpretar, refletir, 
analisar, discutir, levantar hipóteses, argumentar, concluir e expor resultados de diversas maneiras, 
contribuindo para o desenvolvimento das competências. Esse trabalho é realizado em vários momentos 
da coleção, como nas seções Diversificando e Trabalhando a informação.
XI
XIIXII
Para garantir o desenvolvimento das competências 
específicas, unidades temáticas organizam diferentes 
objetos de conhecimento que, por sua vez, propõem um 
conjunto de habilidades a serem trabalhadas com os alu-
nos. As principais habilidades relacionadas ao conteúdo em 
estudo são indicadas nas páginas do Manual do Professor 
em formato U.
Unidades Temáticas
De acordo com a BNCC:
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os 
estudantes se deparam com desafios de maior complexida-
de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem das 
diferentes lógicas de organização dos conhecimentos relacio-
nados às áreas. Tendo em vista essa maior especialização, é 
importante, nos vários componentes curriculares, retomar 
e ressignificar as aprendizagens do Ensino Fundamental – 
Anos Iniciais no contexto das diferentes áreas, visando ao 
aprofundamento e à ampliação de repertórios dos estudantes. 
Nesse sentido, também é importante fortalecer a autonomia 
desses adolescentes, oferecendo -lhes condições e ferramentas 
para acessar e interagir criticamente com diferentes conhe-
cimentos e fontes de informação.
(BNCC, 2017, p. 58.)
A BNCC propõe cinco Unidades Temáticas: Números, 
Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade 
e estatística. Dessa forma, procura garantir o trabalho com 
a variedade de conhecimentos matemáticos ao longo do 
ano e orientar a formulação de habilidades a serem desen-
volvidas durante o Ensino Fundamental. 
Com base nos recentes documentos curriculares bra-
sileiros, a BNCC leva em conta que os diferentes campos 
que compõem a Matemática reúnem um conjunto de 
ideias fundamentais que produzem articulações entre eles: 
equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependên-
cia, representação, variação e aproximação. Essas ideias 
fundamentais são importantes para o desenvolvimento do 
pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na 
escola, em objetos de conhecimento. A proporcionalidade, 
por exemplo, deve estar presente no estudo de: operações com 
os números naturais; representação fracionária dos números 
racionais; áreas; funções; probabilidade etc. Além disso, essa 
noção também se evidencia em muitas ações cotidianas 
e de outras áreas do conhecimento, como vendas e trocas 
mercantis, balanços químicos, representações gráficas etc.
(Ibidem, p. 266.)
A proposta presente nesta coleção, aliada ao trabalho 
do professor em sala de aula, propicia a articulação das 
diferentes Unidades Temáticas, estabelecendo conexões 
entre elas e as outras áreas do conhecimento. A seguir, 
são apresentadas algumas possibilidades:
• conexões internas às próprias Unidades Temáticas de 
Matemática, relacionando seus diferentes campos. Por 
exemplo: unidades de medida, objeto de conhecimento 
da Unidade Temática Grandezas e medidas, podem 
estar articuladas com números racionais e porcen-
tagem, apresentados na Unidade Temática Números 
(nas atividades propostas no capítulo 11 do 6o ano) e 
com relaçõesalgébricas, estudadas na Unidade Temá-
tica Álgebra (na seção Para saber mais, sob o título 
”A temperatura e a Álgebra”, no capítulo 5 do 6o ano);
• conexões que se referem a articulações possíveis com 
diversas áreas do conhecimento contempladas na cole-
ção. Situações desse tipo podem ser encontradas em “O 
RPG e os poliedros de Platão” na seção Diversificando 
(capítulo 10 do 7o ano) e em “O trapézio no telhado” na 
seção Para saber mais (capítulo 9 do 8o ano). 
Apresentamos, a seguir, as principais ideias relaciona-
das a cada Unidade Temática que nortearam a organização 
da coleção.
Números
As noções matemáticas fundamentais vinculadas a 
essa Unidade Temática são as ideias de aproximação, 
proporcionalidade, equivalência e ordem.
Nos anos finais do Ensino Fundamental são explorados 
diferentes campos numéricos, de modo que os alunos re-
solvam problemas com números naturais, números inteiros 
e números racionais, envolvendo as operações e fazendo 
uso de estratégias diversas, reconheçam a necessidade 
dos números irracionais e tomem contato com os núme-
ros reais, comparando, ordenando e relacionando esses 
números com pontos na reta numérica. Espera -se também 
que os alunos dominem cálculos com porcentagens, juros, 
descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias 
digitais. O pensamento numérico se completa, é ampliado 
e aprofundado com a discussão de situações que envolvem 
conteúdos das demais Unidades Temáticas.
Outro aspecto que se quer desenvolver nessa Unidade Te-
mática é o estudo de conceitos ligados à educação financeira 
dos alunos, como conceitos básicos de economia e finanças.
Álgebra
O foco dessa Unidade Temática é o desenvolvimento 
do pensamento algébrico, essencial na compreensão, re-
presentação e análise da variação de grandezas e também 
no estudo das estruturas matemáticas. Nos anos finais 
do Ensino Fundamental, os estudos de Álgebra retomam, 
aprofundam e ampliam a identificação de regularidades e 
padrões em sequências (numéricas ou não) e o estabeleci-
mento de leis matemáticas que expressem a interdependên-
cia entre grandezas e generalizações. Espera -se que o aluno 
crie, interprete e transite entre as diversas representações 
gráficas e simbólicas para resolver equações e inequações, 
desenvolvidas para representar e solucionar algum tipo de 
problema. É necessário que o aluno estabeleça conexões 
entre variável e função e entre incógnita e equação.
As ideias matemáticas fundamentais que os alunos 
precisam desenvolver nessa Unidade Temática são: equi-
valência, variação, interdependência e proporcionalidade.
XII
Além disso, a aprendizagem da Álgebra, assim como 
as de outros campos da Matemática, pode contribuir 
para o desenvolvimento do pensamento computacional. 
Destaca -se, assim, a importância da presença de algorit-
mos e fluxogramas como objetos de estudo nas aulas de 
Matemática nessa fase do aprendizado.
Geometria
O desenvolvimento do pensamento geométrico, ne-
cessário para avançar nas habilidades de investigação 
de propriedades, elaboração de conjecturas e produção 
de argumentos geométricos convincentes, está ligado 
ao estudo da posição e dos deslocamentos no espaço, 
das formas de figuras geométricas e relação entre seus 
elementos, temas dessa Unidade Temática. Além disso, o 
aspecto funcional também deve estar presente por meio 
do estudo das transformações geométricas, em especial a 
simetria, com ou sem o recurso de softwares de Geometria 
dinâmica.
Estão associadas a essa Unidade Temática as seguintes 
ideias matemáticas fundamentais: construção, represen-
tação e interdependência.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, o ensino de 
Geometria deve consolidar e ampliar os conhecimentos 
construídos anteriormente – enfatizando -se a análise 
e produção de transformações, ampliações e reduções 
de figuras geométricas – para o desenvolvimento dos 
conceitos de congruência e semelhança. O raciocínio 
hipotético -dedutivo é outro ponto importante a se desta-
car; a realização de demonstrações simples pode contribuir 
para a construção desse tipo de raciocínio. Além disso, a 
articulação da Geometria com a Álgebra também deve ser 
ampliada com propostas que envolvam o plano cartesiano, 
objeto de estudo da Geometria analítica.
Grandezas e medidas
O estudo das medidas e das relações entre elas é o 
foco dessa Unidade Temática. Os anos finais do Ensino 
Fundamental devem retomar, aprofundar e ampliar as 
aprendizagens já realizadas. O estudo das relações mé-
tricas favorece a integração da Matemática com diversas 
áreas do conhecimento, assim como a articulação com as 
demais Unidades Temáticas, consolidando e ampliando a 
noção de número e promovendo a aplicação de noções 
geométricas e a construção do pensamento algébrico.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera -se que 
os alunos reconheçam comprimento, área e abertura de 
ângulo como grandezas associadas a figuras geométricas, 
resolvam problemas com essas grandezas e obtenham 
grandezas derivadas como densidade e velocidade. Além 
disso, deve -se introduzir medidas de capacidade de ar-
mazenamento de computadores ligadas a demandas da 
sociedade moderna, ressaltando -se o caráter não decimal 
das relações entre elas.
Probabilidade e estatística
O intuito dessa Unidade Temática é desenvolver habi-
lidades necessárias para o exercício pleno da cidadania: 
coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados; 
descrever, explicar e predizer fenômenos com base em 
conceitos e representações.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, em Estatística 
espera -se que o aluno seja capaz de planejar e elaborar 
relatórios com base em pesquisas estatísticas descritivas, 
incluindo medidas de tendência central, construir tabelas 
e tipos variados de gráfico.
Quanto ao estudo de Probabilidade, deve ser ampliado e 
aprofundado. Espera -se que os alunos façam experimentos 
aleatórios e simulações para comprovar resultados obtidos 
com o cálculo de probabilidades.
Propostas didáticas
Os tópicos a seguir destinam -se a oferecer suporte 
à discussão sobre as atuais tendências de ensino – que 
priorizam a globalidade da formação educacional, no sen-
tido de capacitar os jovens a atuar de forma positiva na 
sociedade – alinhadas à proposta da coleção e auxiliadoras 
do trabalho em sala de aula.
Conhecimentos prévios
Ao passar de um ano para outro de escolaridade, o 
aluno traz experiências, interpretações e conhecimentos 
acumulados sobre os conteúdos e temas tratados no ano 
anterior. Torna -se relevante considerar essa bagagem no 
processo de aprendizagem. Há algum tempo, pesquisas na 
área da educação reforçam a importância de considerar 
os conhecimentos prévios como forma de encaminhar o 
processo de aprendizagem para torná -lo significativo.
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o 
Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar 
em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já 
vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam 
fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos da realidade, estabelecendo inter -relações entre 
eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações 
precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteú-
dos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da 
matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, 
variação e interdependência.
(BNCC, 2017, p. 296.)
A coleção apresenta momentos privilegiados para essa 
finalidade na abertura de cada capítulo. Os pequenos 
textos e as imagens selecionadas permitem discussões e 
troca de ideias que possibilitam levantar conhecimentos 
e experiências anteriormente elaborados sobre o tema.
XIII
XIVXIV
Resolução de problemas
O trabalho com a resolução de problemas é um dos 
destaques do ensino matemático contemporâneo. Para 
atender aos pressupostos de uma educação globalmen-
te formadora, o problema matemático deve, sempre que 
possível, ser apresentado em um contexto desafiador, que 
façasentido ao aluno. Ele possibilita a mobilização dos 
conteúdos estudados em busca de soluções e, sobretudo, 
abre espaço para a criação de estratégias pessoais e para 
a produção de novos conhecimentos.
Um problema matemático é visto como uma situação 
desafiadora que tem significado para o aluno e se define 
como tal não por sua forma, mas sim por sua relação com 
os saberes e o nível de conhecimento do aluno que deve 
pensar sobre ele. 
Na resolução de problemas, é importante que o aluno:
• elabore um ou vários procedimentos de resolução 
(por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, 
formular hipóteses);
• compare seus resultados com os de outros alunos;
• valide seus procedimentos.
Nesta coleção, procuramos diversificar as atividades 
e propor problemas variados, distribuídos entre os capítu-
los e, em especial, nas seções Pense mais um pouco... e 
Diversificando.
Uso de tecnologias
Os alunos estão inseridos na era digital e fazem uso 
frequente de tecnologia. Assim, a escola não pode ignorar 
esses importantes recursos e precisa trazê -los para a edu-
cação escolar. Para isso, o professor precisa se apropriar 
dessas ferramentas de modo que possa identificar tipos 
de software e formas de utilizá -los com os alunos. Vamos 
destacar a calculadora e o uso de softwares e aplicativos, 
entre as diversas possibilidades.
É importante salientar que, como instrumento de apoio 
ao processo de ensino -aprendizagem, a calculadora é 
somente mais um recurso auxiliar, não um substituto do 
exercício do raciocínio ou da capacidade analítica. O que 
propomos é o uso da calculadora de maneira consciente, 
de modo a contribuir para a reflexão dos conteúdos ma-
temáticos.
O uso da calculadora é sugerido na coleção como auxiliar 
na resolução de problemas. Das tecnologias disponíveis na 
escola, a calculadora é, sem dúvida, uma das mais simples 
e de menor custo. Ela pode ser utilizada como instrumento 
motivador na realização de atividades exploratórias e in-
vestigativas e, assim, contribuir para a melhoria do ensino.
Podemos tomar como orientação para o uso da calcu-
ladora em atividades matemáticas os seguintes aspectos:
• é um instrumento que possibilita o desenvolvimento 
de conteúdos pela análise de regularidades e padrões 
e pela formulação de hipóteses;
• é um facilitador da verificação e da análise de resul-
tados e procedimentos;
• sua manipulação e utilização são, em si, conteúdos 
a serem aprendidos.
Sugerimos que, inicialmente, o professor verifique o 
conhecimento que os alunos têm sobre o funcionamento 
da calculadora. O ideal é que a escola disponha de calcu-
ladoras simples, que ofereçam as funções básicas. Caso 
não seja possível disponibilizar uma calculadora para cada 
aluno, pode -se trabalhar em duplas ou de outra forma a 
critério do professor.
As atividades sugeridas pressupõem um uso simples da 
calculadora, o que poderá ser ampliado de acordo com as 
necessidades e os interesses de cada turma.
Outra possibilidade de aprofundar os conhecimentos ma-
temáticos com o auxílio de tecnologia é o uso de softwares 
e aplicativos, conforme a disponibilidade da escola. Por 
exemplo, no campo geométrico, softwares de Geometria 
dinâmica permitem a construção de retas paralelas e de 
retas perpendiculares, a investigação e a verificação de 
propriedades geométricas, entre outras possibilidades.
Trabalho em grupo
Quando orientado e praticado adequadamente, além 
de contribuir para o desenvolvimento da habilidade de 
interação e participação sociais, o trabalho em grupo 
auxilia no desenvolvimento de habilidades que depen-
dem do confronto e da partilha de ideias, pois oferece a 
oportunidade de provar resultados, testar seus efeitos, 
comparar diferentes caminhos de resolução e validar ou 
não o pensamento na busca de soluções.
Além de reforçar a aprendizagem conceitual, o trabalho 
em grupo contribui para o aprimoramento da evolução de 
procedimentos e atitudes, tanto em relação ao pensar 
matemático quanto em relação à dinâmica grupal.
Pesquisas acerca dos processos de aprendizagem indi-
cam que, mesmo com o exercício em grupo, acaba prevale-
cendo o aprendizado individual, o qual apenas se enriquece 
com as múltiplas contribuições geradas pelo trabalho grupal, 
pela interação entre diferentes formas de pensar.
De qualquer modo, reforçamos que o sucesso do tra-
balho em grupo depende notavelmente do planejamento 
e da supervisão pedagógica, respeitados os diferentes 
tipos de aprendiz. No intuito de colaborar com a atuação do 
professor em sala de aula, esta coleção preocupou -se em 
indicar, pontualmente, as atividades que mais possibilitam 
a exploração em grupo.
Outras possibilidades de trabalho
Como já exposto, entendemos o livro didático como 
apoio do trabalho pedagógico. Nessa perspectiva, o conhe-
cimento, a experiência e a autonomia profissional fazem 
do docente um coautor do material publicado. Assim, a 
XIV
despeito das propostas explícitas da coleção, o professor 
sempre poderá ampliar, complementar e inovar no de-
senvolvimento e nas discussões dos temas e atividades 
sugeridos, aproveitando as novas questões que emergem 
em sala de aula no desenrolar do estudo.
É sempre bom lembrar que o estímulo à imaginação e 
ao interesse dos alunos conta com uma gama de recursos 
didáticos, como: o trabalho com jogos ou com materiais ma-
nipulativos, vídeos e ferramentas da informática; a pesqui-
sa em livros paradidáticos, dicionários, periódicos (jornais, 
boletins, revistas de informação geral e especializada) e 
internet; ou a realização de feiras, gincanas e exposições.
Apresentação da coleção
Estrutura da obra
A coleção é composta de quatro livros do estudante e 
respectivos manuais do professor. O Manual do Professor 
de cada ano reúne livro impresso e materiais digitais com 
conteúdo complementar: Planos de desenvolvimento 
bimestrais, Sequências didáticas, Propostas de Acompa-
nhamento da Aprendizagem e Material Digital Audiovisual.
Cada livro do estudante é organizado em 12 capítulos. 
Cada capítulo enfatiza conteúdos que compõem os obje-
tos de conhecimento referentes a uma Unidade Temática 
descrita pela BNCC.
Sempre que possível, o capítulo traz conteúdos relacio-
nados a mais de uma Unidade Temática, como em proble-
mas de contagem relacionados a polígonos, no capítulo 10 
do 7o ano em “Combinatória dos polígonos”.
Um mesmo conceito é abordado por meio de diferentes 
enfoques, possibilitando que os alunos se apropriem dele, 
como no caso do conceito de frações e seus múltiplos 
significados, no capítulo 7 do 6o ano (fração como parte/
todo, como quociente e como razão), ou ainda o conceito 
de ângulo, no capítulo 6 do 6o ano (como reunião de duas 
semirretas de mesma origem e como giro).
Os capítulos de cada volume são compostos de:
• Desenvolvimento teórico
O desenvolvimento dos conteúdos propostos é acom-
panhado de diversificação de estratégias. Apresenta-
-se intercalado com atividades e seções especiais que 
ampliam e enriquecem o tema estudado.
• Blocos de atividades
As atividades presentes na coleção – distribuídas en-
tre Exercícios propostos, Exercícios complementares 
e atividades diferenciadas nas seções especiais – 
possibilitam o trabalho com as Unidades Temáticas 
e permitem integrações entre elas. Têm o intuito de 
estimular o raciocínio lógico, a argumentação e a 
resolução de problemas, além de propor temáticas 
atuais relevantes à faixa etária.
• Seções especiais
Distribuídas ao longo do capítulo, as seções de variados 
tipos complementam, ampliam e enriquecem o tema trata-
do e desafiam os alunos por meio das atividades propostas. 
Há pelo menos um tipo dessas seções em cada capítulo.
A seguir, apresentamos os principais elementos que 
compõem os capítulos e descrevemos as seções especiais 
que aparecem ao longo de cada volume da coleção.
• Abertura de capítulo: compreendida por uma imagem 
e pequeno texto motivadores do tema do capítulo. 
• Exercícios propostos: aparecem ao longo do desen-
volvimento teórico,trabalham aspectos importantes 
de cada conteúdo de maneira variada. Por exemplo, 
nos exercícios com indicação Hora de criar, os alunos 
são convidados a usar sua criatividade, imaginação, 
capacidade de argumentação e colaboração traba-
lhando em duplas ou em grupos.
• Exercícios complementares: ao final do capítulo, 
podem ser explorados de diversas maneiras pelo pro-
fessor, de acordo com suas necessidades didáticas. 
Podem servir de base para uma discussão em duplas 
ou em grupos, sintetizar o tema abordado, ser utiliza-
dos para autoavaliação ou ainda aproveitados como 
tarefa extraclasse ou como fonte de exercícios para 
uma recuperação paralela, entre outras aplicações.
• Seção Pense mais um pouco...: atividades e desafios 
de aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos 
no capítulo, que solicitam do aluno um pensamento 
mais elaborado, exigindo a criação de estratégias 
pessoais de resolução.
• Seção Para saber mais: conteúdos e atividades que, 
fundamentados em contextos diversos, integram a 
Matemática a outras áreas do saber ou aos diferentes 
campos dela própria, como a História da Matemática. 
Geralmente é finalizada por Agora é com você!, que 
traz uma proposta de questões relacionadas ao tema 
exposto.
• Seção Trabalhando a informação: são trabalhados 
conteúdos de Probabilidade e Estatística, como 
interpretação e construção de tabelas e gráficos e 
cálculo de probabilidades.
• Seção Diversificando: atividades que relacionam o 
conteúdo trabalhado no capítulo a outros contextos, 
como jogos, aplicações e desafios.
Essa estrutura pretende ser organizadora do trabalho 
docente sem, contudo, tornar -se um entrave para alunos 
e professores. Por isso, os capítulos contemplam aspectos 
fundamentais a serem trabalhados com os alunos, mas 
permitem maleabilidade e flexibilidade em sua abordagem, 
na tentativa de facilitar o trabalho do professor no momen-
to em que ele precisar fazer as adaptações necessárias 
a cada turma.
XV
XVIXVI
Organização geral da obra
No quadro a seguir apresentamos a configuração dos doze capítulos em cada ano 
desta coleção:
6o ano 7o ano 8o ano 9o ano
Capítulo 1 Números Números inteiros Potências e raízes Números reais
Capítulo 2
Operações com números 
naturais
Números racionais
Construções geométricas 
e lugares geométricos
Operações com números 
reais
Capítulo 3
Estudando figuras 
geométricas
Operações com números 
racionais
Estatística e probabilidade Grandezas proporcionais
Capítulo 4 Divisibilidade Ângulos Cálculo algébrico
Proporcionalidade em 
Geometria
Capítulo 5 Um pouco de Álgebra Equações
Polinômios e frações 
algébricas
Semelhança
Capítulo 6
Um pouco de Geometria 
plana
Inequações
Produtos notáveis e 
fatoração
Um pouco mais sobre 
Estatística
Capítulo 7
Números racionais na 
forma de fração
Sistemas de equações Estudo dos triângulos Equações do 2o grau
Capítulo 8
Operações com números 
racionais na forma de 
fração
Simetria e ângulos
A Geometria 
demonstrativa
Triângulo retângulo
Capítulo 9
Números racionais na 
forma decimal e operações
Razões, proporções e 
porcentagem
Estudo dos quadriláteros
Razões trigonométricas 
nos triângulos retângulos
Capítulo 10 Polígonos e poliedros Estudo dos polígonos
Sistemas de equação do 
1o grau com duas 
incógnitas
Estudo das funções
Capítulo 11 Comprimentos e áreas Sobre áreas e volumes Área de regiões poligonais
Circunferência, arcos e 
relações métricas
Capítulo 12
Outras unidades de 
medida
Estudo da circunferência e 
do círculo
De áreas a volumes
Polígonos regulares e 
áreas
Avaliação
A avaliação e as práticas avaliativas
O cenário de ampla discussão sobre metodologias e práticas pedagógicas que se 
estabeleceu nos últimos anos de nossa história trouxe à tona pontos vitais para o 
surgimento de novas formas de pensar a educação: as concepções de avaliação da 
aprendizagem.
Quanto à importância da avaliação, tomamos emprestadas as palavras de Regina 
Pavanello e Clélia Nogueira:
Se há um ponto de convergência nos estudos sobre a avaliação escolar é o de que ela é es-
sencial à prática educativa e indissociável desta, uma vez que é por meio dela que o professor 
pode acompanhar se o progresso de seus alunos está ocorrendo de acordo com suas expectativas 
ou se há necessidade de repensar sua ação pedagógica. Quanto ao aluno, a avaliação permite 
que ele saiba como está seu desempenho do ponto de vista do professor, bem como se existem 
lacunas no seu aprendizado às quais ele precisa estar atento.
XVI
[…] Acreditamos que poucos educadores e educandos 
têm consciência de que a avaliação é um processo contínuo 
e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam 
constantemente, nas mais diversas situações, diante da ne-
cessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as 
mais complexas.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 30, 36.)
As divergências, contudo, têm início quando se pretende 
redefinir a avaliação escolar e os modos e graus de exigên-
cia desse processo. Podemos dizer que, por longo tempo, 
na maior parte da história da Educação Matemática, o 
que vigorou foi a chamada avaliação informativa:
Na prática pedagógica da Matemática, a avaliação tem, 
tradicionalmente, centrado -se nos conhecimentos especí-
ficos e na contagem de erros. É uma avaliação somativa, que 
não só seleciona os estudantes, mas os compara entre si e os 
destina a um determinado lugar numérico em função das 
notas obtidas. Porém, mesmo quando se trata da avaliação 
informativa, é possível ir além da resposta final, superando, 
de certa forma, a lógica estrita e cega do “certo ou errado”.
(Ibidem, p. 36 -7.)
Alguns autores, porém, concordam que mesmo na 
avaliação tradicional há algum espaço para uma busca 
mais consciente do processo formativo do aluno. As 
mesmas pesquisadoras, por exemplo, fazem a seguinte 
consideração:
Mesmo numa avaliação tradicional, na qual é solicitada 
ao aluno apenas a resolução de exercícios, é possível avançar 
para além da resposta final, considerando:
• o modo como o aluno interpretou sua resolução para 
dar a resposta;
• as escolhas feitas por ele para desincumbir -se de sua 
tarefa;
• os conhecimentos matemáticos que utilizou;
• se utilizou ou não a Matemática apresentada nas aulas; e
• sua capacidade de comunicar -se matematicamente, oral-
mente ou por escrito.
(BURIASCO, 2002, apud PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Uma concepção de avaliação que tem se configurado 
nos últimos anos é a que se refere à avaliação formativa. 
Principalmente a partir da década de 1980, muitos es-
tudiosos têm feito importantes contribuições ao enten-
dimento que devemos ter sobre avaliação como processo, 
ação contínua. Entre esses pesquisadores, destacamos o 
trabalho de Luckesi (2001). Segundo o autor, a avaliação 
deve ser tomada como instrumento para a compreensão 
do estágio em que se encontra o estudante, tendo em 
vista a tomada de decisões, suficientes e satisfatórias, 
para avançar no processo de aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), divulgados 
desde fins dos anos 1990, colaboraram para a ampliação 
do olhar sobre as funções da avaliação. Destacam, por 
exemplo, a dimensão social e a dimensão pedagógica da 
avaliação.
No primeiro caso, a avaliação tem a função de, para os 
estudantes, informar acerca do desenvolvimento das 
potencialidades que serão exigidas no contexto social, 
garantindo sua participação no mercado de trabalho e na 
esfera sociocultural. Para os professores, a avaliação deve 
auxiliar na identificação dos objetivos alcançados, com 
a intenção de reconhecer as capacidades matemáticas 
dos educandos.
No segundo caso, a avaliação tem a função de informar 
os estudantes sobre o andamento da aprendizagem pro-
priamente dita, isto é, dos conhecimentos adquiridos, do 
desenvolvimento de raciocínios, dos valores e hábitos 
incorporados e do domínio de estratégias essenciais.
A BNCC, homologada em 2017, também preconiza 
uma avaliação formativa:
[...] construir e aplicar procedimentos de avaliação 
formativade processo ou de resultado que levem em conta 
os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais 
registros como referência para melhorar o desempenho da 
escola, dos professores e dos alunos; [...]
(BNCC, p. 17.)
Os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos e re-
gistros de atitudes, entre outros) devem ser capazes de 
fornecer informações ao professor sobre as condições de 
cada estudante com relação à resolução de problemas, 
ao uso adequado da linguagem matemática, ao desenvol-
vimento de raciocínios e análises e à integração desses 
aspectos em seu conhecimento matemático. Devem 
também contemplar as explicações, justificativas e 
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspec-
tos do raciocínio que muitas vezes não se evidenciam em 
avaliações escritas.
Para Charles Hadji (2001, p. 21), a avaliação formativa 
implica, por parte do professor, flexibilidade e vontade de 
adaptação e de ajuste. O autor ressalta que a avaliação que 
não é seguida da modificação das práticas pedagógicas 
tem pouca capacidade de ser formativa. Posição seme-
lhante é defendida pelas educadoras Pavanello e Nogueira:
É preciso reconhecer […] que o professor deve selecionar, 
dentre as informações captadas, apenas o que é realmente 
importante […]. Para isso, existem indicadores que, segun-
doVergani (1993, p. 155), podem nortear a observação pelo 
professor, entre os quais poderiam ser citados:
• o interesse com que o aluno se entrega às atividades 
matemáticas;
• a confiança que tem em suas possibilidades;
XVII
XVIIIXVIII
• sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas;
• se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas 
de pesquisa;
• se avalia criteriosamente a adequação do processo que 
adotou ou a solução que encontrou;
• se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e 
de organizar seu trabalho;
• se pede ajuda em caso de dúvida ou de falta de conhe-
cimentos; e
• se comunica suas dificuldades e descobertas aos colegas, 
de maneira adequada.
No entanto, para que essas atitudes possam ser cultivadas 
pelo aluno, a prática pedagógica não pode mais se centrar 
na exposição e reprodução de conteúdos que só privilegiam 
a memorização e não o desenvolvimento do pensamento.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 38 -39.)
Afinal, o que deve ser avaliado: conteúdos, habilidades, 
atitudes?
Tudo deve ser avaliado. O fundamental, porém, é saber 
como olhar, o que olhar e como analisar as coletas. Para 
isso, o professor pode recorrer a diversificados instrumen-
tos de coleta de informações, selecionando aqueles que 
permitam compor o melhor panorama da aprendizagem 
matemática de seus alunos.
Desse modo, as avaliações precisam ser planejadas, 
assim como qualquer situação de ensino. É fundamen-
tal estar sempre atento ao processo de avaliação sem 
perder de vista os objetivos e as expectativas para cada 
ano. Portanto, durante o uso de instrumentos avaliati-
vos, é importante considerar as habilidades propostas 
nos documentos curriculares, nos planos de ensino e os 
trabalhados na coleção.
Diante das diferentes concepções sobre como avaliar 
e com base nas ideias que a coleção assume, entende -se 
que a avaliação deve ser um processo contínuo durante o 
ano letivo, e não apenas momentos estanques, como ao 
final de cada bimestre, de modo que o desenvolvimento 
dos alunos seja acompanhado pelo professor e por ele 
próprio, e que intervenções possam ser feitas ao longo 
do caminho.
A organização da coleção em capítulos e o bloco de 
Exercícios complementares podem ser indicativos ou 
funcionar como ferramentas iniciais para a construção 
de momentos avaliativos.
Porém, ressalta -se a importância de complementar as 
atividades do livro com outros instrumentos para acom-
panhar os alunos em seu processo de aprendizagem.
Desse modo, destacam -se a seguir elementos a se 
considerar no processo avaliativo:
• o caráter processual, formativo e participativo da 
avaliação e sua forma contínua, cumulativa e diag-
nóstica; 
• a avaliação como oportunidade para professor e 
aluno refletirem e ajustarem o desempenho; 
• as diferentes estratégias e oportunidades para 
avaliação, não deixando de considerá -las também 
situações de aprendizagem;
• a importância de registros constantes dos avanços 
e dificuldades de observação e acompanhamento 
diário;
• diferentes propostas de avaliação de aprendizagem 
coerentes com visões atuais de avaliação (mediadora 
e dialógica, diagnóstica e formativa);
• instrumentos para registros como relatórios, portfó-
lios, tabelas, fichas, entre outros com critérios para 
avaliação.
Instrumentos de avaliação nas aulas 
de Matemática
Ao diversificar os instrumentos de avaliação e autoa-
valiação, o professor pode produzir momentos de apren-
dizagem e atender o maior número de alunos do grupo. 
Como sugestão, vamos apresentar aqui, resumidamente, 
um leque de modalidades de avaliação.
Autoavaliação: em primeiro lugar, o professor deve auxi-
liar os alunos a compreenderem os objetivos da autoavalia-
ção, fornecendo -lhes para isso um roteiro de orientação. Os 
alunos devem ser motivados a detectar suas dificuldades 
e a questionar as razões delas.
Prova em grupo seguida de prova individual: nesta 
modalidade, as questões são resolvidas em grupo e, em 
seguida, cada aluno resolve questões do mesmo tipo indivi-
dualmente. O intuito é colaborar para a metacognição, para 
que o aluno tenha consciência do próprio conhecimento, 
de suas potencialidades e dificuldades.
Testes -relâmpago: os testes -relâmpago normalmen-
te propõem poucas questões, uma ou duas apenas. Têm 
por objetivo não permitir que os alunos mantenham -se sem 
estudo durante longos períodos, de modo que se acumule 
uma grande quantidade de conteúdos. Esse recurso, além 
de manter os alunos atentos aos assuntos contemplados 
em aula, ajuda -os na familiarização com os processos 
avaliativos.
Testes e/ou provas cumulativas: este instrumento 
de avaliação traz à tona conteúdos trabalhados em 
momentos anteriores. Tal prática contribui para que os 
alunos percebam as conexões entre os conteúdos e a 
importância de usar os conhecimentos matemáticos de 
forma contínua.
Testes em duas fases: este tipo de teste, ou prova, é 
realizado em duas etapas:
XVIII
1a) a prova é realizada em sala de aula, sem a interfe-
rência do professor;
2a) os alunos refazem a prova dispondo dos comentários 
feitos pelo professor.
O sucesso desse instrumento depende de alguns 
fatores, como:
• a escolha das questões deve ser norteada pelos 
objetivos do teste;
• o conteúdo dos comentários formulados pelo profes-
sor entre as duas fases;
• a consciência, por parte dos alunos, de que a segun-
da fase não consiste em mera correção do que está 
errado, mas em uma oportunidade de aprendizagem.
As questões devem ser de dois tipos:
• as que requerem interpretação ou justificação, e 
problemas de resolução relativamente breve;
• as abertas, e problemas que exijam alguma investi-
gação e respostas mais elaboradas.
Resolução de problemas: chamamos de “problema ma-
temático” aquele que envolve um raciocínio matemático 
na busca por solução. Pode ser resolvido individualmente 
ou em grupo. A atividade de resolução de problemas deve 
envolver, entre outros fatores:
• a compreensão da situação -problema por meio de 
diferentes técnicas (leitura, interpretação, drama-
tização etc.);
• a promoção da criação de estratégias pessoais (não 
haver solução pronta);
• a identificação do problema e a seleção e mobilização 
dos conhecimentos matemáticos necessários para 
sua resolução;
• a avaliação do processo para verificar se, de fato, os 
objetivos estão sendo atingidos;
• a interpretação e verificação dos resultados, para 
que se avaliem sua razoabilidade e validade.
Mapa conceitual: durante a fase formal de avaliação, 
o professor pode solicitar aos alunos que construam o 
mapa conceitual sobre um tema já discutido e explorado 
em aula. Este tipo de instrumento propicia a verificação 
da aprendizagemmais aberta e pode ser usado como 
autoavaliação.
Trabalho em grupo: para que o grupo trabalhe de fato 
como grupo, são fundamentais a orientação e o auxílio 
do professor no sentido de estimular os alunos a desem-
penharem novas funções em sala de aula, em colaboração 
com os colegas. Um incentivo para isso é o grupo receber 
uma única folha de papel com as atividades propostas, para 
que todos resolvam em conjunto. A questão a ser respon-
dida deve ser desafiadora, despertando a curiosidade e a 
vontade de resolvê -la.
Diálogos criativos: a proposta é que os alunos produzam 
diálogos matemáticos em que estejam inseridos concei-
tos e propriedades de determinado conteúdo.
Histórias em quadrinhos: nesta modalidade, os alunos 
criam histórias em quadrinhos para explorar os assuntos 
estudados em sala de aula. Esse é um recurso que, além 
de intensificar o interesse pela Matemática, permite ao 
professor a avaliação do conhecimento assimilado pelos 
alunos em contextos diversificados.
Seminários e exposições: são atividades que oferecem 
oportunidade para os alunos organizarem seu conhe-
cimento matemático e suas ideias sobre os assuntos 
explorados em aula, além de promover a desinibição e a 
autonomia dos alunos.
Portfólios: são coletâneas dos melhores trabalhos, que 
podem ser escolhidos pelos próprios estudantes. O pro-
fessor deve orientá -los e sugerir que selecionem, durante 
um período, as atividades de Matemática que preferirem 
e que justifiquem as suas escolhas.
É importante reforçar que um processo fecundo de ava-
liação deverá considerar, além dos instrumentos apropria-
dos, o estabelecimento de critérios de correção alicerçado 
em objetivos claros e justos. Chamamos a atenção para 
o tratamento que devemos dar ao “erro” nas atividades 
de Matemática. Ele deve ser analisado criticamente, de 
modo que forneça indícios de sua natureza e da correção 
do percurso pedagógico, para o (re)planejamento e a 
execução das atividades em sala de aula.
Encarados com naturalidade e racionalmente tratados, 
os erros passam a ter importância pedagógica, assumindo 
um papel profundamente construtivo, e servindo não 
para produzir no aluno um sentimento de fracasso, mas 
para possibilitar -lhe um instrumento de compreensão de 
si próprio, uma motivação para superar suas dificuldades e 
uma atitude positiva para seu futuro pessoal.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Por fim, a observação atenta e a percepção aguçada do 
professor também são relevantes no processo de avalia-
ção, no sentido de detectar as aprendizagens, que muitas 
vezes não são reveladas pelos instrumentos avaliativos 
escolhidos.
Seja qual for o instrumento utilizado, é fundamental 
que o professor estabeleça critérios de avaliação da 
aprendizagem matemática dos alunos para cada ano, 
tomando como referência as habilidades de Matemática 
para os anos finais do Ensino Fundamental. Desse modo, 
os objetivos de aprendizagem destacados no planeja-
mento do professor precisam ser explicitados para o 
aluno, para que ele compreenda aonde se quer chegar, 
tomando o cuidado de usar uma linguagem compatível 
com o seu entendimento.
XIX
XXXX
Formação continuada e 
desenvolvimento profissional 
docente
Assim como os estudantes precisam desenvolver 
habilidades e competências diversificadas, em sintonia 
com a época em que vivem, nós, professores, mais que 
outros profissionais, temos a máxima urgência e necessi-
dade de cuidar da continuidade de nossa formação e do 
consequente desenvolvimento profissional.
O que aprendemos na universidade e a experiência que 
adquirimos com a prática pedagógica não são suficientes 
para nos manter longe de atividades de formação. Pesqui-
sas e estudos no campo da Educação Matemática e áreas 
afins têm nos auxiliado a encontrar as respostas para as 
muitas dúvidas e angústias inerentes à profissão: “O que 
ensinar?”, “Por que ensinar?”, “Como ensinar?”…
O desenvolvimento profissional do professor deve ser 
entendido como um processo contínuo, que se dá ao longo 
de toda a vida profissional, não ocorre ao acaso, tampouco 
é espontâneo, mas resultado do processo de busca que 
parte das necessidades e dos interesses que surgem no 
percurso.
Na realidade, a formação profissional docente tem 
início na experiência como aluno e na formação acadê-
mica específica, do período de iniciação à docência, até 
edificar -se com a experiência profissional e os processos 
de formação continuada.
Lembramos que as ações de formação continuada po-
dem ser desenvolvidas por múltiplas modalidades, como 
leituras atualizadas, cursos, palestras, oficinas, seminários, 
grupos de estudos, reuniões e encontros com colegas na 
própria escola.
Para ampliar essa proposta, indicamos instituições de 
educação e algumas de suas publicações, organizamos su-
gestões de livros, sites e documentos oficiais que possam 
contribuir para um aprofundamento do conhecimento do 
professor e auxiliá -lo na ampliação das atividades propos-
tas no livro.
Instituições de estudos e pesquisas 
em Educação Matemática que mantêm 
publicações na área
• Associação de Professores de Matemática (APM/
Portugal). Promove anualmente encontros nacionais 
como o ProfMat e o Seminário de Investigação em 
Educação Matemática (Siem).
• Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática 
(Caem/USP). Promove a Virada Malba Tahan e publica 
a revista Malba Tahan.
• Centro de Ensino de Ciências e Matemática (Cecimig/
UFMG)
• Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação 
Matemática (Cempem/Unicamp)
• Departamento de Matemática do Instituto de Geo-
ciências e Ciências Exatas (IGCE) da Unesp/Rio Claro
• Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Mate-
mática (Gepem/RJ)
• Grupo de Pesquisa em Epistemologia e Ensino de 
Matemática (GPEEM/UFSC)
• Programa de estudos e pesquisas no ensino de Ma-
temática (Proem/PUC -SP)
• Laboratório de Ensino de Matemática da Universidade 
Federal de Pernambuco (Lemat/UFPE)
• Laboratório de Estudos de Matemática e Tecnologias 
da Universidade Federal de Santa Catarina (Lemat/
UFSC)
• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) 
– regionais São Paulo, Minas Gerais, Bahia, Espírito 
Santo, Rio Grande do Sul, Rio de Janeiro etc. (A maioria 
das regionais mantêm publicações para professores.)
• Sociedade Brasileira de História da Matemática 
(SBHMat)
• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)
• Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional 
(SBMAC)
Algumas publicações de associações e centros 
de Educação Matemática
• Bolema (Boletim de Educação Matemática) – publi-
cado pelo Departamento de Matemática do Instituto 
de Geociência e Ciências Exatas da Universidade Es-
tadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (IGCE -Unesp), 
campus de Rio Claro. Disponível em: <http://www.
periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema>. 
Acesso em: 06 set. 2018.
• Boletins do Gepem – publicados pelo Grupo de 
Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da 
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). 
Disponível em: <http://r1.ufrrj.br/gepem/>. Acesso 
em: 30 abr. 2018.
• Educação Matemática em Revista – publicada pela 
Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Dis-
ponível em: <http://www.sbem.com.br>. Acesso em: 
30 abr. 2018.
XX
http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema
http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema
http://r1.ufrrj.br/gepem/
http://www.sbem.com.br
• Revemat: Revista Eletrônica de Educação Matemática 
– publicada pelo Grupo de Pesquisa em Epistemolo-
gia e Ensino de Matemática (UFSC). Disponível em: 
<https://periodicos.ufsc.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista Educação e Matemática e Revista Quadran-
te – publicadas pela Associação de Professores de 
Matemática de Portugal. Disponível em: <https://
wordpress.apm.pt/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista de História da Educação Matemática – publi-
cada pela Sociedade Brasileira de História da Mate-
mática. Disponível em: <http://histemat.com.br/>. 
Acesso em: 30 abr. 2018. 
• Revista do Professorde Matemática (RPM) – publicada 
pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível 
em: <http://www.rpm.org.br/>. Acesso em: 30 abr. 
2018.
• Revista Zetetiké – publicada pelo Centro de Estu-
dos Memória e Pesquisa em Educação Matemática 
(Unicamp). Disponível em: <https://www.cempem.
fe.unicamp.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
Sugestões de leitura
Números
• A compreensão de conceitos aritméticos: ensino e 
pesquisa. Analúcia Schliemann; David Carraher (Orgs.). 
Campinas: Papirus, 1998.
• Materiais didáticos para as quatro operações. 5. ed. 
Virgínia Cardia Cardoso. São Paulo: Caem/USP, 2002.
• Números: linguagem universal. Vânia Maria P. dos 
Santos; Jovana Ferreira de Rezende (Coords.). Rio 
de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto 
Fundão, 1996.
• Repensando adição e subtração. Sandra Magina; Tâ-
nia M. M. Campos; Terezinha Nunes; Verônica Gitirana. 
São Paulo: Proem, 2001.
• Sobre a introdução do conceito de número fracionário. 
Maria José Ferreira da Silva. 1997. Dissertação (Mes-
trado) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
Álgebra
• Álgebra: das variáveis às equações e funções. Eliane 
Reame de Sousa; Maria Ignes Diniz. São Paulo: IME-
-USP, 1994.
• Aplicações da matemática escolar. D. Bushaw; M. Bell; 
H. O. Pollack. São Paulo: Atual, 1997.
• Aprenda Álgebra brincando. I. Perelmann. Curitiba: 
Hemus, 2001.
• Erros e dificuldades no ensino da Álgebra: o tratamen-
to dado por professoras de 7a série em aula. Renata 
Anastacia Pinto. 1997. Dissertação (Mestrado)  – 
Unicamp, Campinas.
• Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século 
XXI. Rômulo Campos Lins; Joaquim Gimenez. Campi-
nas: Papirus, 1997.
• Ressonâncias e dissonâncias do movimento pendular 
entre Álgebra e Geometria no currículo escolar brasi-
leiro. Ângela Miorin; Antonio Miguel; Dário Fiorentini. 
Zetetiké. Campinas: Unicamp, n. 1, 1993.
• Um estudo de dificuldades ao aprender Álgebra em 
situações diferenciadas de ensino em alunos da 6a 
série do Ensino Fundamental. Nathalia Tornisiello 
Scarlassari. 2007. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, 
Campinas.
Geometria
• A Matemática das sete peças do Tangram. 3. ed. 
Eliane Reame de Souza; Maria Ignez S. V. Diniz; Rosa 
Monteiro Paulo; Fusako Hori Ochi. São Paulo: Caem/
USP, 2003.
• Aprendendo e ensinando Geometria. Mary M. Lind-
quist; Albert P. Shulte (Orgs.). São Paulo: Atual, 1994.
• Aprendendo e ensinando Matemática com geoplano. 
Gelsa Knijnik; Marcus Vinícius Basso; Renita Klüsener. 
Ijuí: Unijuí Editora, 1996.
• Ensino de Geometria no virar do milênio: investigações 
em Geometria na sala de aula. Eduardo Veloso; Helena 
Fonseca; João Pedro da Ponte; Paulo Abrantes (Orgs.). 
Lisboa: Defcul, 1999.
• Espaço e forma. Célia Maria C. Pires; Edda Curi; Tânia 
Maria M. Campos. São Paulo: Proem, 2000.
• Experiências com Geometria na escola básica: narrati-
vas de professores em (trans)formação. Adair Mendes 
Nacarato; Adriana A. M. Gomes; Regina Célia Grando. 
São Carlos: Pedro & Editores, 2008.
• Geometria na era da imagem e do movimento. Maria 
Laura M. Leite Lopes; Lílian Nasser (Coords.). Rio de 
Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto 
Fundão, 1996.
• O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas 
e consequências. Regina Maria Pavanello. Zetetiké.
Campinas: Unicamp, n. 1, p. 7 -17, mar. 1993.
• O uso de quadriculados no ensino da Geometria. 4. ed. 
Fusako Hori Ochi; Rosa Monteiro Paulo; Joana Hissae 
Yokoya; João Kazuwo Ikegami. São Paulo: Caem/USP, 
2003.
• Por que não ensinar Geometria? Sérgio Lorenzato. 
Educação Matemática em Revista. Florianópolis: 
SBEM, n. 4, 1o sem. 1995.
Grandezas e medidas
• Medida e forma em Geometria: comprimento, área, 
volume e semelhança. Elon Lages Lima. Rio de Janeiro: 
SBM, 2011.
• Temas e problemas elementares. Eduardo Wagner; 
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Augusto 
Cezar de Oliveira Morgado. Rio de Janeiro: SBM, 2016. 
XXI
https://periodicos.ufsc.br/
https://wordpress.apm.pt/
https://wordpress.apm.pt/
http://histemat.com.br/
http://www.rpm.org.br/
https://www.cempem.fe.unicamp.br/
https://www.cempem.fe.unicamp.br/
XXIIXXII
Probabilidade e estatística
• A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamen-
tal: uma análise curricular. Celi Aparecida Espasandin 
Lopes. 1998. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, 
Campinas.
• Encontro das crianças com o acaso, as possibilida-
des, os gráficos e as tabelas. Anna Regina Lanner; 
Celi Aparecida Espasandin Lopes (Orgs.). Campinas: 
Unicamp, 2003.
• Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental 
e Médio. Irene Maurício Cazorla; Eurivalda dos Santos 
Santana. Itabuna/Ilhéus: Via Litterarum, 2006.
• Tratamento da Informação: explorando dados es-
tatísticos e noções de probabilidade a partir das 
séries iniciais. Maria Laura M. Leite Lopes (Org.). Rio 
de Janeiro: UFRJ, 2005.
Resolução de problemas
• A arte de resolver problemas: um novo aspecto do 
método matemático. George Polya. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1995.
• A resolução de problemas na Matemática escolar. 
Stephen Krulik; Robert E. Reys (Orgs.). São Paulo: 
Atual, 1997.
• Didática da resolução de problemas de Matemática. 
Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática, 1991.
• Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para 
as aulas de Matemática. 5. ed. Júlia Borin. São Paulo: 
Caem/USP, 2004.
• Ler, escrever e resolver problemas: habilidades bási-
cas para aprender Matemática. Kátia Stocco Smole; 
Maria Ignez Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2001.
Educação matemática
• A Matemática e os temas transversais. Alexandrina 
Monteiro; Geraldo Pompeu Junior. São Paulo: Moder-
na, 2001.
• A Matemática na escola: aqui e agora. Délia Lernerde 
Zunino. Porto Alegre: Artmed, 1995.
• Aplicações de Vygotsky à educação matemática. 
Lúcia Moysés. Campinas: Papirus, 1997.
• Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. 
Cecília Parra; Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 
1996.
• Educação matemática. Maria Aparecida Viggiani Bi-
cudo (Org.). São Paulo: Centauro, 2005.
• Educação matemática, leitura e escrita: armadilhas, 
utopias e realidade. Celi Espasadin Lopes; Adair Men-
des Nacarato (Orgs.). Campinas: Mercado de Letras, 
2009.
• Ensinar e aprender Matemática. Luiz Carlos Pais. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2006.
• Ensino de Matemática na escola de nove anos: dú-
vidas, dívidas e desafios. Vinício de Macedo Santos. 
São Paulo: Cengage Learning, 2014.
• Escritas e leituras na Educação matemática. Adair 
Mendes Nacarato; Celi Espasandin Lopes (Orgs.). Belo 
Horizonte: Autêntica, 2005.
• Etnomatemática: currículo e formação de professo-
res. Gelsa Knijnik; Fernanda Wanderer; Cláudio José 
de Oliveira (Orgs.). Santa Cruz do Sul: Edunisc, 2004.
• Etnomatemática: elo entre as tradições e a moderni-
dade. Ubiratan D’Ambrosio. Belo Horizonte: Autêntica, 
2001.
• Fundamentos da didática da Matemática. Saddo Ag 
Almouloud. Curitiba: UFPR, 2007.
• Histórias e investigações de/em aulas de Matemáti-
ca. Dario Fiorentini; Eliane Matesco Cristovão (Orgs.). 
Campinas: Alínea, 2006.
• Investigações matemáticas na sala de aula. João 
Pedro da Ponte; Joana Brocardo; Hélia Oliveira. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2003.
• Letramento no Brasil: habilidades matemáticas. Maria 
da Conceição F. R. Fonseca (Org.). São Paulo: Global, 
2004.
• Matemática e atualidade. Christiane Rousseau; Yvan 
Saint -Aubin. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2015.
• Matemática em projetos: uma possibilidade. Celi 
Espasandin Lopes (Org.). Campinas: FE/Cempem/
Unicamp, 2003.
• Matemática escolar e Matemática da vida cotidiana. 
José Roberto B. Giardinetto. Campinas: Autores As-
sociados, 1999.
• Matemática, estupefação e poesia. Bruno D’Amore. 
São Paulo: Livraria da Física, 2012.
• Múltiplos olhares: Matemática e produção de conhe-
cimento. Jackeline Rodrigues Mendes; Regina Célia 
Grando (Orgs.). São Paulo: Musa, 2007.
• Para aprender Matemática. Sérgio Lorenzato. Campi-
nas: Autores Associados, 2006.
• Sala de aula: um espaço de pesquisa em Matemática. 
Cristina Maranhão; Stella Galli Mercadante.São Paulo: 
Vera Cruz, 2006.
História da Matemática
• Análise histórica de livros de Matemática. Gert Schu-
bring. Campinas: Autores Associados, 2003.
• História concisa das matemáticas. Dirk J. Struik. Lis-
boa: Gradiva, 1998.
• História da Matemática. Carl B. Boyer. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996.
XXII
• História na educação matemática: propostas e de-
safios. Antônio Miguel; Maria Ângela Miorim. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2004.
• História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo 
mitos e lendas. Tatiana Roque. Rio de Janeiro: Zahar, 
2012.
• História universal dos algarismos. Georges Ifrah. São 
Paulo: Nova Fronteira, 1997.
• Introdução à história da Educação matemática. An-
tonio Miguel; Maria Ângela Miorim. São Paulo: Atual, 
1998.
• Introdução à história da Matemática. Howard Eves. 
Campinas: Unicamp, 1997.
• Os números: a história de uma grande invenção. 
Georges Ifrah. São Paulo: Globo, 1989.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala 
de aula: Álgebra. John K. Baumgart. São Paulo: Atual, 
1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala de 
aula: Geometria. Howard Eves. São Paulo: Atual, 1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala 
de aula: Números e numerais. Bernard H. Gundlash. 
São Paulo: Atual, 1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala 
de aula: Trigonometria. Howard Eves. São Paulo: 
Atual, 1992.
Jogos
• Aprender com jogos e situações -problema. Lino de 
Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto 
Alegre: Artmed, 2000.
• Jogos de matemática de 6o ao 9o ano. Kátia Stocco 
Smole; Estela Milani Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2007.
• O jogo como espaço para pensar: a construção de 
noções lógicas e aritméticas. Rosely Palermo Brenelli. 
Campinas: Papirus, 1996.
• O jogo e a Matemática no contexto da sala de aula. 
Regina Célia Grando. São Paulo: Paulus, 2004.
• Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Lino de 
Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto 
Alegre: Artmed, 2005.
Tecnologia
• A influência da calculadora na resolução de proble-
mas matemáticos abertos. Katia Maria de Medeiros. 
Educação Matemática em Revista. São Paulo: SBEM, 
n. 14, 2003.
• Ensinando com tecnologia: criando salas de aula 
centradas nos alunos. Judith H. Sandholtz; Cathy 
Ringstaff; David C. Dwyer. Porto Alegre: Artmed, 1997.
• Informática e Educação matemática. Marcelo de 
Carvalho Borba; Miriam G. Penteado. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2003.
• Informática educativa: dos planos e discursos à sala 
de aula. Ramon de Oliveira. Campinas: Papirus, 1997.
• Prática pedagógica: ambientes informatizados de 
aprendizagem, produção e avaliação de software 
educativo. Celina Couto Oliveira; José Wilson Costa; 
Mércia Moreira. Campinas: Papirus, 2001.
• Projetos de trabalho em informática: desenvolvendo 
competências. Sônia Petitto. Campinas: Papirus, 
2003.
• Uso didático da calculadora no ensino fundamental: 
possibilidades e desafios. Juliana de Alcântara S. 
Rubio. 2003. Dissertação (Mestrado) – Unesp, Marília.
Avaliação
• Análise de erros: o que podemos aprender com as 
respostas dos alunos. Helena Noronha Cury. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2007.
• Avaliação da aprendizagem escolar. Cipriano Carlos 
Luckesi. São Paulo: Cortez, 2001.
• Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Mate-
mática: métodos alternativos. Vânia Maria Pereira 
dos Santos (Coord.). Rio de Janeiro: UFRJ – Projeto 
Fundão, 1997.
• Avaliação: da excelência à regulação das aprendiza-
gens. Philippe Perrenoud. Porto Alegre: Artmed, 1999.
• Avaliação desmistificada. Charles Hadji. Porto Alegre: 
Artmed, 2001.
• Avaliação mediadora: uma prática em construção da 
pré -escola à universidade. Jussara Hoffmann. Porto 
Alegre: Mediação, 2000.
• Currículo e avaliação: uma perspectiva integrada. 
Maria Palmira Castro Alves. Porto: Porto, 2004.
• Desafios reais do cotidiano escolar brasileiro: 22 
dilemas vividos por diretores, coordenadores e pro-
fessores em escolas de todo o Brasil. Katherine K. 
Merseth (Coord.). São Paulo: Moderna, 2018.
• O erro como estratégia didática: estudo dos erros 
no ensino da Matemática elementar. Neuza Bertoni 
Pinto. Campinas: Papirus, 2000.
• Sobre avaliação em Matemática: uma reflexão. Re-
gina Buriasco. Educação em Revista. Belo Horizonte: 
UFMG, n. 36, 2002.
XXIII
XXIVXXIV
Sugestões de sites
• Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação 
Matemática (Cempem/FE/Unicamp).
Disponível em: <https://www.cempem.fe.unicamp.
br>. Acesso em: 30 abr. 2018. 
• Sociedade Brasileira de Educação matemática (a 
partir desse site é possível acessar as instituições e 
publicações sobre Educação Matemática no Brasil).
Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/
sbembrasil/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Sociedade Brasileira de Matemática.
Disponível em: <http://www.sbm.org.br>. Acesso em: 
30 abr. 2018.
• Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Com-
putacional.
Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/>. Acesso 
em: 30 abr. 2018. 
• Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de 
Matemática, Estatística e Ciência Computacional da 
Unicamp.
Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/lem>. 
Acesso em: 30 abr. 2018.
• Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de 
Matemática e Estatística da USP.
Disponível em: <http://www.ime.usp.br/lem/> Acesso 
em: 06 set. 2018. 
Documentos oficiais
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO – CONSELHO NACIONAL DE 
EDUCAÇÃO
• Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 2017.
• Plano Nacional de Educação (PNE) 2014 -2024: Linha 
de Base, 2015. 
• Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fun-
damental de 9 (nove) anos – Parecer CNE/CBE no 
11/2010
• Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Edu-
cação Básica
• Parecer CNE/CEB no 07/2010
• Decreto no 9.099/2017
• Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – terceiro 
e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Introdução 
(cidadania, concepções de áreas, temas transversais, 
organização/gestão do trabalho escolar, adolescên-
cia, concepção de ensino e de aprendizagem)
• Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino 
Médio (PCNEM)
Bibliografia consultada
Livros, dissertações, artigos e documentos
ABRANTES, P.; SERRAZINA, M. de L.; OLIVEIRA, J. A Matemá-
tica na Educação básica. Lisboa: Ministério da Educação, 
Departamento de Educação básica, 1999.
ANUÁRIO Estatístico do Brasil. Rio de Janeiro: Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística, 2016.
ARAKI, T. As práticas avaliativas em sala de aula de Ma-
temática: possibilidades e limites. 2005. Dissertação 
(Mestrado) – Universidade São Francisco, Itatiba/SP.
BANNELL, R. I. et al. Educação no século XXI: cognição, 
tecnologias e aprendizagens. São Paulo: Vozes, 2016.
BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões em mosaicos. São 
Paulo: Atual, 2001.
BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. Trad. Elza F. 
Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 
2017.
_______. Ensino Fundamental de nove anos: orientações 
para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília: 
MEC/SEB, 2007.
_______. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional nº 
9.394. Brasília: MEC/SEB, 20 dez. 1996.
_______. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educa-
ção Básica. Brasília: MEC/SEB/Dicei, 2013.
_______. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino 
Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília: Parecer CNE/
CBE no 11/2010.
_______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática.
Brasília: MEC/SEF, 1998.
BURIASCO, R. Sobre avaliação em Matemática: uma re-
flexão. Educação em Revista (UFMG), Belo Horizonte, 
n. 36, dez. 2002.
CAPORALE, S. M. M. Formação continuada de professores 
que ensinam Matemática: possibilidades de desenvol-
vimento profissional a partir de um curso de especia-
lização. 2005. Dissertação (Mestrado) – Universidade 
São Francisco, Itatiba/SP.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da Matemática. 
Lisboa: Gradiva, 1998.
XXIV
https://www.cempem.fe.unicamp.br
https://www.cempem.fe.unicamp.br
http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/
http://www.sbm.org.br
http://www.sbmac.org.br/
http://www.ime.unicamp.br/lem
http://www.ime.usp.br/lem/
COLL, C. Os conteúdos na reforma: ensino e aprendizagem 
de conceitos, procedimentos e atitudes. Porto Alegre: 
Artmed, 1998.
_______. Psicologia e currículo. São Paulo: Ática,1999.
_______ et al. O construtivismo na sala de aula. São Paulo: 
Ática, 1997.
_______; TEBEROSKY, A. Aprendendo Matemática. São 
Paulo: Ática, 2000.
D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 
Campinas: Papirus, 2000.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Mate-
mática. São Paulo: Ática, 1989.
DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática.Trad. João 
Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985.
DEL GRANDE, J. J. Percepção espacial e Geometria primária. 
In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Orgs.). Aprendendo e 
ensinando Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São 
Paulo: Atual, 1994.
DELORS, J. (Org.). Educação: um tesouro a descobrir. Rela-
tório para a Unesco da Comissão Internacional sobre 
Educação para o século XXI. Lisboa: Edições Asa, 1996.
ESTATUTO da Criança e do Adolescente: Lei no 8.069, de 13 
de julho de 1990. São Paulo: Fisco e Contribuinte, [s.d.].
FAZENDA, I. Didática e interdisciplinaridade. Campinas: 
Papirus, 1998.
FERNANDES, D. Aspectos metacognitivos na resolução 
de problemas de Matemática. Viana do Castelo, Por-
tugal: Escola de Educação de Viana do Castelo, 1989. 
(Digitado)
FERREIRA, M. K. L. Ideias matemáticas de povos cultural-
mente distintos. São Paulo: Global, 2002. (Série Antro-
pologia e Educação).
FIORENTINI, D.; NACARATO, A. M.; PINTO, R. Saberes da expe-
riência docente em Matemática e educação continuada. 
Quadrante, Lisboa, v. 8, n. 1/2, p. 33 -60, 1999.
_______ et al. Formação de professores que ensinam Mate-
mática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira. 
Educação em Revista, Belo Horizonte, n. 36, p. 137 -160, 
2002.
FREIRE, P. A importância do ato de ler em três artigos que 
se completam. 23. ed. São Paulo: Cortez, 1989.
GARCIA, J. A interdisciplinaridade segundo os PCN. Revista 
de Educação Pública, Cuiabá, v. 17, n. 35, set. -dez. 2008.
GRANDO, R. C. O jogo e a Matemática no contexto da sala 
de aula. São Paulo: Paulus, 2004.
HADJI, C. Avaliação desmistificada. Trad. Patrícia C. Ramos. 
Porto Alegre: Artmed, 2001.
HOFFMANN, J. Avaliação mediadora: uma prática em 
construção da pré -escola à universidade. 18. ed. Porto 
Alegre: Mediação, 2000.
ITACARAMBI, R. A resolução de problemas de Geometria na 
sala de aula, numa visão construtivista. 1993. Disser-
tação (Mestrado) – FEUSP, São Paulo.
JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio 
de Janeiro: Imago, 1976.
KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na Mate-
mática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
LIMA, E. L. Medida e forma em Geometria: comprimento, 
área, volume e semelhança. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática (SBM), 1991.
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Orgs.). Aprendendo e 
ensinando Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São 
Paulo: Atual, 1994.
LOPES, A.; BERNARDES, A. et al. Actividades Matemáticas 
na sala de aula. Lisboa: Editora Texto, 1999.
LOPES, M. L. M. L. Tratamento da informação: explorando 
dados estatísticos e noções de probabilidade a partir de 
séries iniciais. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/
UFRJ – Projeto Fundão, 2005.
LORENZATO, S. Para aprender Matemática. 2. ed. rev. Cam-
pinas: Autores Associados, 2008a. (Coleção Formação 
de Professores).
LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. São 
Paulo: Cortez, 2001.
_______. Avaliação da aprendizagem: componente do ato 
pedagógico. São Paulo: Cortez, 2011.
MACEDO, L. Aprender com jogos e com situações -problema. 
Porto Alegre: Artmed, 2000.
_______. Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Porto 
Alegre: Artmed, 2005.
_______; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. 4 cores, senha e domi-
nó: oficinas de jogos em uma perspectiva construtivista 
e psicopedagógica. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1997.
MACHADO, S. D. A. Educação matemática: uma (nova) 
introdução. São Paulo: Educ, 2012.
MAINGAIN, A.; DUFOUR, B. Abordagens didáticas da inter-
disciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.
MARKHAM, T; LARMER, J.; RAVITZ, J. (Orgs.). Aprendizagem 
baseada em projetos: guia para professores de Ensino 
Fundamental e Médio. Porto Alegre: Artmed, 2008.
XXV
XXVIXXVI
MEDEIROS, K. M. de. A influência da calculadora na reso-
lução de problemas matemáticos abertos. Educação 
Matemática em Revista, Brasília, n. 14, p. 19 -28, 2003.
MONTEIRO, A.; JUNIOR, G. P. A Matemática e os temas 
transversais. São Paulo: Moderna, 2001.
MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. Matemática escolar, Mate-
mática científica, saber docente e formação de profes-
sores. Zetetiké, Campinas, v. 11, n. 19, p. 57 -80, 2003.
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) 
Standards. Normas para o currículo e a avaliação em 
Matemática escolar. Trad. Associação dos Professores 
de Matemática de Lisboa (APM). Lisboa, 1994.
NETO, E. R. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1998.
NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto 
Alegre: Artes Médicas, 1997.
_______. ; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educa-
ção matemática: números e operações numéricas. São 
Paulo: Cortez, 2005.
PAIS, L. C. Didática da Matemática: uma análise de influência 
francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
PARRA, C.; SAIZ, I. (Orgs.). Didática da Matemática: reflexões 
psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
PAVANELLO, R. M.; NOGUEIRA, C. M. I. Avaliação em Mate-
mática: algumas considerações. Estudos em Avaliação 
Educacional, São Paulo, v. 17, n. 33, jan./abr. 2006.
PERRENOUD, P. Construir competências desde a escola. 
Porto Alegre: Artmed, 1999.
_______.10 novas competências para ensinar. Porto Alegre: 
Artmed, 2000.
_______ et al. As competências para ensinar no século XXI: 
a formação dos professores e o desafio da avaliação. 
Porto Alegre: Artmed, 2002.
PIRES, C. M. C. Educação matemática: conversas com pro-
fessores dos anos iniciais. São Paulo: Zapt Editora, 2012.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do 
método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
PONTE, J. P. da. O ensino da Matemática em Portugal: uma 
prioridade educativa? Conferência plenária apresenta-
da no seminário “O Ensino da Matemática: situação e 
perspectivas”. Lisboa: CNE, 2002.
ROMANATTO, M. C. O livro didático: alcances e limites. 
Anais. VII Encontro Paulista de Educação Matemática, 
2004, São Paulo. 
SANTOS, V. M. P. dos. Avaliação de aprendizagem e raciocí-
nio em Matemática: métodos alternativos. Rio de Janei-
ro: Instituto de Matemática da UFRJ, 1997. v. 1. 224 p.
SÃO PAULO (SP). Secretaria Municipal de Educação. Coor-
denadoria Pedagógica. Currículo da Cidade: Ensino Fun-
damental – Matemática. São Paulo: SME/Coped, 2017.
SILVA, J. F. da; HOFFMANN, J.; ESTEBAN, M. T. (Orgs.). Prá-
ticas avaliativas e aprendizagens significativas: em 
diferentes áreas do currículo. 10. ed. Porto Alegre: 
Mediação, 2013.
SMOLE, K. S. ; DINIZ, M. I. (Orgs.). Ler, escrever e resolver pro-
blemas: habilidades básicas para aprender Matemática. 
Porto Alegre: Artmed, 2001.
TAILLE, Y. de la. Limites: três dimensões educacionais. São 
Paulo: Ática, 2002.
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática: como 
dois e dois: a construção da Matemática. São Paulo: 
FTD, 1997.
VILELA, D. S. Matemática nos usos e jogos de linguagem: 
ampliando concepções na Educação matemática. 2007.
Tese (Doutorado) – FE/Unicamp, Campinas/SP.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: 
Artmed, 1998.
Sites
• Portal da base (link Material de apoio).
Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.
br/>. Acesso em: 28 maio 2018.
• Estudo comparativo das versões da base – Consed 
e Undime. 
Disponível em: <http://cnebncc.mec.gov.br/docs/
BNCC_Estudo_Comparativo.pdf>. Acesso em: 28 
maio 2018.
• Indagações sobre o currículo– Currículo e Avaliação.
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/
arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf>. Acesso em: 28 
maio 2018.
• Currículo da cidade – São Paulo (Conceitos na parte 
Introdutória de todos os cadernos e caderno especial 
para tecnologias para aprendizagem).
Disponível em: <http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.
br/Portals/1/Files/47272.pdf>. Acesso em: 06 set. 
2018.
• Site de comunicação e mobilização social voltado 
para a educação brasileira (indicação do MEC em 
Reunião Técnica sobre materiais digitais).
Disponível em: <http://porvir.org/>. Acesso em: 28 
maio 2018.
XXVI
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
http://cnebncc.mec.gov.br/docs/BNCC_Estudo_Comparativo.pdf
http://cnebncc.mec.gov.br/docs/BNCC_Estudo_Comparativo.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf
http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.br/Portals/1/Files/47272.pdf
http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.br/Portals/1/Files/47272.pdf
http://porvir.org/
XXVII
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS 
O livro do 6o ano é composto de doze capítulos em que se desenvolvem as cinco Unidades Temá-
ticas propostas pela BNCC: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e 
estatística, intercaladas e, sempre que possível, integradas, exploradas no corpo do texto explicativo 
e nas atividades. 
Com o intuito de complementar, ampliar e enriquecer o conteúdo desenvolvido, aparecem ao longo 
do livro as seções especiais: Para saber mais, Trabalhando a informação e Diversificando. A seguir, 
apresentamos a distribuição dessas seções no livro do 6o ano.
Para saber mais
Capítulos Títulos
Capítulo 1 (p. 20) Utilizando outros agrupamentos
Capítulo 2 (p. 33, 36, 53)
Arredondar para fazer estimativas
Quadrado mágico
Multiplicação hindu
Capítulo 4 (p. 92, 104)
Sequências numéricas
mdc e mmc
Capítulo 5 (p. 119) A temperatura e a Álgebra
Capítulo 6 (p. 135) Ilusão de óptica
Capítulo 10 (p. 260, 270)
Uma propriedade importante dos triângulos
Ladrilhamento
Capítulo 11 (p. 292, 305)
Planta baixa de uma casa
Pesquisando no geoplano
Capítulo 12 (p. 328) Estimativas e medidas
Trabalhando a informação
Capítulos Títulos
Capítulo 1 (p. 26) Construindo tabelas
Capítulo 2 (p. 42, 70)
Interpretando um gráfico de colunas
Interpretando um gráfico de barras
Capítulo 3 (p. 82) Lendo embalagens
Capítulo 4 (p. 106) Construindo um gráfico de barras
Capítulo 5 (p. 116) Construindo um gráfico de colunas
Capítulo 7 (p. 162, 169)
Porcentagem nas ondas do rádio
Interpretando um gráfico de setores
Capítulo 8 (p. 182, 205)
Operando com porcentagens
Calculando probabilidades
Capítulo 9 (p. 238) Trabalhando com média
Capítulo 10 (p. 271) A probabilidade das cores
XXVIII
Diversificando
Capítulos Títulos
Capítulo 1 (p. 29) Quando a base é outra
Capítulo 2 (p. 72) Relações algébricas no quadrado mágico
Capítulo 3 (p. 84) Ampliar e reduzir
Capítulo 5 (p. 122) Desafiando a sua inteligência
Capítulo 10 (p. 278) Poliedros com massinha
Capítulo 11 (p. 308) Tangram
Cada capítulo aborda objetos de conhecimento, entendidos como conteúdos, conceitos, processos, 
com a intenção de desenvolver as habilidades relacionadas a eles. Esses conhecimentos são articulados, 
retomados e ampliados a fim de proporcionar sua apropriação pelos alunos, considerando a aprendiza-
gem um processo contínuo e integrado.
Os conteúdos matemáticos são desenvolvidos de modo que as habilidades, as Unidades Temáti-
cas, as competências e outras áreas do conhecimento se articulem e se relacionem e são tratados na 
perspectiva das aprendizagens dos anos anteriores e posteriores. Assim, no livro do 6o ano do Ensino 
Fundamental, levamos em conta os objetivos de aprendizagem para o 5o ano, conforme proposto na 
BNCC, visando preparar os alunos para se apropriarem dos conhecimentos previstos para o 7o ano.
A seguir, são feitos comentários sobre cada capítulo e o se que pretende que os alunos desenvol-
vam neles. Os conteúdos trabalhados são relacionados aos objetos de conhecimento e às habilidades 
da BNCC.
Há ainda textos complementares e sugestões de atividades, que possibilitam a ampliação do co-
nhecimento.
CAPÍTULO
A seleção brasileira foi tetracampeã no futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio, 
em 2016.
O futebol de cinco é uma modalidade de futebol praticada por deficientes visuais, exceto 
os goleiros, e exige silêncio das arquibancadas. Isso porque a bola tem guizos internos, que 
sinalizam a posição exata dela para os jogadores. Um guia (chamador), posicionado atrás do 
gol adversário, orienta os jogadores de ataque de sua equipe.
A quadra do futebol de cinco tem comprimento de 38 a 42 metros e largura de 18 a 
22 metros. Cada partida tem dois tempos com duração de 25 minutos cada um.
1Números
Capítulo
Brasil vence o Irã na final do futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, no Rio de Janeiro.
B
O
B
 M
AT
IN
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
11CAPÍTULO 1
1 Números
Neste capítulo, são desenvolvidos objetos de conhecimento da Unidade Temática Números. Nos 
conteúdos e atividades propostos, foram consideradas as aprendizagens dos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, especialmente as do 5o ano (EF05MA01), relativas aos sistemas de numeração e números 
naturais. 
Esse é o momento de ampliação dos conhecimentos desenvolvidos, na perspectiva de que a continui-
dade desse processo conduza o aluno a se apropriar das características do sistema de numeração decimal 
e da sequência dos números naturais. Para isso, apresentam-se conceitos e atividades que conduzam os 
alunos a reconhecer os principais aspectos dos números naturais: leitura, escrita e comparação.
Para que se perceba a supremacia do sistema de numeração indo-arábico, abordam-se outros sis-
temas de numeração desenvolvidos por antigas civilizações, como o egípcio e o romano, entre outros. 
Nessa exploração, espera-se que os alunos mobilizem seus conhecimentos acerca das operações com 
números naturais, desenvolvidos nos anos anteriores, para a compreensão das características desses 
sistemas de numeração.
XXIX
Além disso, ao ampliar os conhecimentos que os alunos já têm sobre os números naturais, espera-
-se prepará-los para a apropriação de outros tipos de número e a ampliação dos conjuntos numéricos 
que serão estudados posteriormente, caso dos números inteiros, abordados no 7o ano do Ensino Fun-
damental (EF07MA03).
Para promover a articulação entre as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística, 
destaca-se a habilidade relacionada a interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisa 
apresentados em tabelas. Essa ação amplia os conhecimentos desenvolvidos no 5o ano (EF05MA24) e 
relaciona-os com aqueles a serem abordados no 7o ano (EF07MA36).
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para 
este bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógi-
cas a serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. 
Capítulo 1 – Números
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Emprego do número e suas 
diferentes funções
• Sistemas de numeração
• Sistema de numeração 
indo-arábico
• Leitura e escrita de 
números: ordem e classes
• Números naturais: 
sequência, antecessor e 
sucessor
• Comparação de números 
naturais e reta numérica
Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e de 
números racionais representados na 
forma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e 
escrever números naturais e números 
racionais cuja representação decimal é 
finita, fazendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema 
de numeração decimal, como o que 
prevaleceu no mundo ocidental, e destacar 
semelhanças e diferenças com outros 
sistemas, de modo a sistematizar suas 
principais características (base, valor 
posicional e função dozero), utilizando, 
inclusive, a composição e decomposição 
de números naturais e números racionais 
em sua representação decimal.
• Construção de tabelas
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver 
situações que envolvam dados de 
pesquisas sobre contextos ambientais, 
sustentabilidade, trânsito, consumo 
responsável, entre outros, apresentadas 
pela mídia em tabelas e em diferentes 
tipos de gráficos e redigir textos escritos 
com o objetivo de sintetizar conclusões.
CAPÍTULO
A delegação brasileira superou marcas relevantes e quebrou recordes históricos nos Jogos 
Paralímpicos Rio 2016. 
O destaque �cou por conta do total de medalhas conquistadas nas arenas cariocas: 72, o maior 
número de pódios do país em todas as edições, superando, em muito, a marca anterior de 47, que 
havia sido estabelecida em Pequim (2008). 
Já em comparação com os Jogos de Londres (2012), o crescimento no número total de medalhas é 
ainda mais expressivo: 67%.
Fonte: BRASIL supera marcos históricos nos Jogos Paralímpicos Rio 2016. Comitê Paralímpico Brasileiro, 
18 set. 2016. Disponível em: <http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera-
marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016>. Acesso em: 14 set. 2017.
LU
C
A
S
 U
E
B
E
L/
G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
2Operações com números naturais
Capítulo
Cena da abertura dos Jogos Paralímpicos Rio 2016, no Rio de Janeiro.
30 CAPÍTULO 2
2 Operações com números naturais
Neste capítulo serão aprofundados os conhecimentos acerca dos números naturais. Serão exploradas 
as operações entre eles, considerando a Unidade Temática Números, dando continuidade e ampliando 
o que foi abordado no capítulo anterior.
O estudo das quatro operações fundamentais toma por base os conhecimentos consolidados até 
o 5o ano do Ensino Fundamental e tem como foco aqueles que serão explorados no 7o ano, entre eles 
a resolução de problemas envolvendo operações com números inteiros (EF07MA04).
http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera-marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016
XXX
Ainda nessa Unidade Temática, são apresentadas as operações potenciação e radiciação com nú-
meros naturais, conhecimentos que se articulam com aqueles a serem desenvolvidos no ano seguinte 
com relação aos números inteiros.
A Unidade Temática Álgebra articula-se com a Unidade Temática Números na seção Diversifican-
do, na qual se aplica a propriedade aditiva da igualdade, considerando o cenário das aprendizagens do 
5o ano (EF05MA10).
A Unidade Temática Geometria é abordada na construção de algoritmo para resolver situações passo 
a passo, o que ocorre na seção Para saber mais ao se apresentar o procedimento da multiplicação hindu.
Interpretar gráficos de colunas e de barras é a abordagem proposta neste capítulo para a Unidade 
Temática Probabilidade e estatística. Cabe observar que tais conhecimentos foram tratados no 
5o ano (EF05MA24), sendo agora ampliados e aprofundados na perspectiva de preparar os alunos 
para, no ano seguinte, utilizarem gráficos para comunicar informações obtidas na realização de 
pesquisa (EF07MA36).
Ainda nessa Unidade Temática, destacamos a construção de árvore das possibilidades ligada ao 
raciocínio combinatório da multiplicação, que desenvolve a habilidade (EF06MA34).
Capítulo 2 – Operações com números naturais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Comparação de números 
naturais
Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e de 
números racionais representados na 
forma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e 
escrever números naturais e números 
racionais cuja representação decimal é 
finita, fazendo uso da reta numérica.
• Situações de adição e suas 
propriedades
• Situações de subtração
• Arredondamento e 
estimativas
• Procedimentos de cálculo 
mental envolvendo adição e 
subtração
• Expressões numéricas com 
adições e subtrações
• Situações de multiplicação e 
suas propriedades
• Situações de divisão, a 
propriedade fundamental 
e procedimentos de cálculo 
mental
• Expressões numéricas 
envolvendo as quatro 
operações fundamentais
• Potenciação e radiciação 
com números naturais
Operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação) com 
números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou aproximados) com 
números naturais, por meio de estratégias 
variadas, com compreensão dos processos 
neles envolvidos com e sem uso de 
calculadora.
• Construção de algoritmo 
passo a passo apresentando 
o cálculo de multiplicação 
por método hindu
Construção de retas paralelas e 
perpendiculares fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares
(EF06MA23) Construir algoritmo para 
resolver situações passo a passo (como na 
construção de dobraduras ou na indicação 
de deslocamento de um objeto no plano 
segundo pontos de referência e distâncias 
fornecidas etc.).
XXXI
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Interpretação de gráficos de 
colunas e de barras
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos 
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em 
diferentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver 
situações que envolvam dados de 
pesquisas sobre contextos ambientais, 
sustentabilidade, trânsito, consumo 
responsável, entre outros, apresentadas 
pela mídia em tabelas e em diferentes 
tipos de gráficos e redigir textos escritos 
com o objetivo de sintetizar conclusões.
• Construção de árvore de 
possibilidades
Diferentes tipos de representação de 
informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver 
fluxogramas simples, identificando as 
relações entre os objetos representados 
(por exemplo, posição de cidades 
considerando as estradas que as unem, 
hierarquia dos funcionários de uma 
empresa etc.).
CAPÍTULO
No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados 
Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. 
O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas 
(pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com 
conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria).
Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e 
suas características.
3Estudando figuras geométricas
Capítulo
Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.)
M
IR
A
/A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
CAPÍTULO 3 73
3 Estudando figuras geométricas
Os conceitos e atividades relacionados ao estudo de figuras geométricas planas e figuras geométri-
cas não planas são o foco neste capítulo, desenvolvendo a Unidade Temática Geometria, envolvendo 
também os tópicos de características de sólidos e elementos de um poliedro. Vale ressaltar que ativi-
dades relacionadas a figuras geométricas foram desenvolvidas no 5o ano (EF05MA16 e EF05MA17) e 
sua retomada e ampliação pretendem consolidar esse conhecimento.
Ainda na Unidade Temática Geometria, este capítulo traz também a construção de figuras planas 
semelhantes em situações de ampliação e redução, aprofundando os conhecimentos abordados sobre 
esse tema no 5o ano (EF05MA18).
Os conhecimentos desenvolvidos sobre leitura de dados expressos em tabela, realizados no capítulo 
anterior, serão suporte para a articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística neste 
capítulo, em que os alunos procurarão informações em embalagens.
Capítulo 3 – Estudando figuras geométricasConteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Origem da Geometria
• Figuras geométricas 
planas e figuras 
geométricas não planas
• Sólidos geométricos: 
corpos redondos e 
poliedros
• Elementos de um poliedro
• Prismas e pirâmides
Prismas e pirâmides: planificações e 
relações entre seus elementos (vértices, 
faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer 
relações entre o número de vértices, faces e 
arestas de prismas e pirâmides, em função 
do seu polígono da base, para resolver 
problemas e desenvolver a percepção 
espacial.
XXXII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Ampliação e redução de 
figuras
Construção de figuras semelhantes: 
ampliação e redução de figuras planas em 
malhas quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas 
semelhantes em situações de ampliação e de 
redução, com o uso de malhas quadriculadas, 
plano cartesiano ou tecnologias digitais.
• Leitura de informações 
contidas em embalagens 
e seus rótulos
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre 
outros, apresentadas pela mídia em tabelas 
e em diferentes tipos de gráficos e redigir 
textos escritos com o objetivo de sintetizar 
conclusões.
CAPÍTULO
Terremotos, maremotos, tsunamis, tempestades solares... O calendário maia de conta 
longa previa o fim do mundo para 21/12/2012? Essa é uma história quase tão longa quanto 
os 1.872.000 dias do seu grande ciclo. 
Contaremos apenas horas, dias e outros múltiplos períodos desse calendário. O Haab, 
calendário civil maia (11/8/3114 a.C.-21/12/2012 d.C.), é organizado em 18 períodos (uinal) 
de 20 dias (kin), que formam o tun (18 8 20 5 360). Ao tun é adicionado um período (uayeb) 
de 5 dias de sacrifício em preparação ao novo ano (360 1 5 5 365). 
A contagem das seis horas que sobram no movimento de translação do Planeta, o que 
nos permite ter um ano bissexto de 4 em 4 anos, é corrigida a partir de um ciclo chamado 
“1.508 haab”, que é equivalente a 1.507 anos solares.
Dados obtidos em: SANTANA, Ana Lucia. Calendário Maia. Infoescola, s/d. Disponível em: <https://www.infoescola.
com/civilizacoes-antigas/calendario-maia/>. Acesso em: 13 nov. 2017.
4 Divisibilidade
Capítulo
Representação do Haab, 
calendário civil maia. 
(Sem data.)
Z
IM
M
Y
T
W
S
/IS
TO
C
K
 P
H
O
TO
S
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
Terremotos, maremotos, tsunamis, tempestades solares... O calendário maia de conta 
44
Representação do Haab, 
calendário civil maia. 
(Sem data.)
85CAPÍTULO 4
4 Divisibilidade
Neste capítulo, articulam-se todos os conhecimentos trabalhados nos capítulos anteriores que 
dizem respeito a Números. Assim, retomam-se atividades que envolvem as operações com números 
naturais na resolução de problemas, que compreendem as noções de múltiplos, divisores e critérios 
de divisibilidade. 
Além desses conteúdos, são abordados também números primos, números compostos e decompo-
sição de um número natural em fatores primos. 
Todos esses conhecimentos articulados constituem-se como subsídios para os estudos sobre a 
Unidade Temática Números a serem desenvolvidos no 7o ano do Ensino Fundamental, entre os quais 
destacamos múltiplos e divisores de um número natural (EF07MA01).
As Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística articulam-se nas atividades apre-
sentadas na seção Trabalhando a informação, com o objetivo de reconhecer elementos e interpretar 
informações expressas em tabelas e em gráficos de barras. Esse trabalho foi iniciado nos capítulos 
anteriores e é ampliado agora com a construção de gráficos de barras.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. 
Capítulo 4 – Divisibilidade
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
que envolvam cálculos 
mentais ou escritos com 
números naturais
Operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação) com 
números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam cálculos (mentais ou escritos, 
exatos ou aproximados) com números 
naturais, por meio de estratégias variadas, 
com compreensão dos processos neles 
envolvidos com e sem uso de calculadora.
https://www.infoescola.com/civilizacoes-antigas/calendario-maia/
XXXIII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Múltiplo e divisor de um 
número natural
• Sequências numéricas
• Critérios de divisibilidade
• Números primos e 
números compostos
• Decomposição de um 
número natural em 
fatores primos
• mdc e mmc
Fluxograma para determinar a paridade 
de um número natural
Múltiplos e divisores de um número 
natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em 
linguagem natural e representá-lo por 
fluxograma que indique a resolução de 
um problema simples (por exemplo, se um 
número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em 
primos e compostos, estabelecer relações 
entre números, expressas pelos termos 
“é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, 
e estabelecer, por meio de investigações, 
critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as ideias de múltiplo e de 
divisor.
• Construção de gráficos de 
barras
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos 
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em 
diferentes tipos de gráfico. 
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre 
outros, apresentadas pela mídia em tabelas 
e em diferentes tipos de gráficos e redigir 
textos escritos com o objetivo de sintetizar 
conclusões.
CAPÍTULO
As palavras algarismo e algoritmo, comuns nos livros de Matemática, têm origem no 
nome de Al-Khwarizm , o maior matemático da época de ouro do islamismo, no século IX, 
em Bagdá. 
Um dos mais importantes livros árabes da Idade Média, escrito por Al-Khwarizm , cujo 
título é Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr al-muqabala (“Pequena obra sobre o cálculo da 
redução e da confrontação”), deu origem à palavra álgebra.
Trata-se de um livro sobre a resolução de equações (a ser estudada no próximo ano) 
com o auxílio de duas operações: al-jabr, que seria a “restauração” ou a “transposição de 
termos”, e al-muqabala, que seria a “redução de termos semelhantes”.
5Um pouco de Álgebra
Capítulo
Estátua de Al-Khwarizm na cidade de Khiva, Uzbequistão. (Foto de 2014.)
R
A
IM
U
N
D
 F
R
A
N
K
E
N
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
109CAPÍTULO 5
5 Um pouco de Álgebra
Situações que desenvolvem o pensamento algébrico são o foco deste capítulo, que trata da Uni-
dade Temática Álgebra. Essas situações tomam por base tópicos tratados nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, em especial no 5o ano (EF05MA10 e EF05MA11), aprofundando o conceito de variável 
e as propriedades da igualdade, levando em conta os conhecimentos abordados no capítulo anterior 
sobre múltiplos e divisores.
As Unidades Temáticas Álgebra e Números articulam-se com a presença das operações com números 
naturais no processo de investigação de propriedades algébricas e em algumas demonstrações. Além 
disso, esses conteúdos associam-se com a Unidade Temática Geometria na construção de algoritmos 
para resolver situações de generalização do padrãode sequências geométricas.
Por fim, a Unidade Temática Álgebra se articula com as Unidades Temáticas Grandezas e medidas 
e Probabilidade e estatística nas atividades das seções Para saber mais (“A temperatura e a Álgebra”) 
e Trabalhando a informação (“Construindo um gráfico de colunas”), respectivamente.
Os conhecimentos tratados neste capítulo constituem-se como subsídios para a compreensão dos 
estudos sobre a Unidade Temática Álgebra a serem desenvolvidos no 7o ano do Ensino Fundamental 
(EF07MA13 e EF07MA15).
XXXIV
Capítulo 5 – Um pouco de Álgebra
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
que envolvam cálculos 
com números naturais
Operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação) com 
números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam cálculos (mentais ou escritos, 
exatos ou aproximados) com números 
naturais, por meio de estratégias variadas, 
com compreensão dos processos neles 
envolvidos com e sem uso de calculadora.
• Variável e generalizações
• Demonstrações de alguns 
critérios de divisibilidade
Fluxograma para determinar a paridade 
de um número natural
Múltiplos e divisores de um número 
natural
Números primos e compostos
(EF06MA05) Classificar números naturais em 
primos e compostos, estabelecer relações 
entre números, expressas pelos termos 
“é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, 
e estabelecer, por meio de investigações, 
critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as ideias de múltiplo e de 
divisor.
• Propriedades da 
igualdade
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação 
de igualdade matemática não se altera ao 
adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os 
seus dois membros por um mesmo número 
e utilizar essa noção para determinar valores 
desconhecidos na resolução de problemas.
• Construção de algoritmo 
para resolver situações 
de generalização do 
padrão de sequências 
geométricas
Construção de retas paralelas e 
perpendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares
(EF06MA23) Construir algoritmo para 
resolver situações passo a passo (como na 
construção de dobraduras ou na indicação 
de deslocamento de um objeto no plano 
segundo pontos de referência e distâncias 
fornecidas etc.).
• Construção de gráficos de 
colunas
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos 
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em 
diferentes tipos de gráfico. 
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre outros, 
apresentadas pela mídia em tabelas e em 
diferentes tipos de gráficos e redigir textos 
escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
CAPÍTULO
6 Um pouco de Geometria plana
Capítulo
 Kumi Yamashita. Constellation. 2011. Painel de madeira, tachinhas e linha. 
40 cm 3 30 cm.
Uma obra de arte 
que surge de pregos 
e de linhas – pontos e 
segmentos de reta – 
sobre a madeira – plano.
A Geometria está no 
mundo e na imaginação, 
basta saber olhar para 
fora e... para dentro de si.
A
C
E
R
V
O
 D
A
 A
R
T
IS
TA
 –
 N
E
W
 Y
O
R
K
123CAPÍTULO 6
6 Um pouco de Geometria plana
Este capítulo amplia e aprofunda os conhecimentos acerca das figuras geométricas planas explo-
rados no 5o ano do Ensino Fundamental (EF05MA17), integrantes da Unidade Temática Geometria, e 
também auxilia na apropriação de conhecimentos que serão abordados no 7o ano, cujos conteúdos 
relacionam-se a transformações geométricas (EF07MA19).
XXXV
As atividades desenvolvidas consideram tópicos básicos de Geometria plana, apresentando a ideia 
dos entes primitivos (ponto, reta e plano), alguns subconjuntos (semirreta e segmento de reta) e algumas 
relações entre eles (posições relativas de duas retas no plano). Exploram ainda o conceito, a medida e 
tipos de ângulos, e a construção de retas paralelas e de retas perpendiculares, traçadas com o uso de 
régua e esquadro e também com o uso de software.
Capítulo 6 – Um pouco de Geometria plana
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Construção de retas 
perpendiculares e de retas 
paralelas
Construção de retas paralelas e 
perpendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, 
como réguas e esquadros, ou softwares 
para representações de retas paralelas 
e perpendiculares e construção de 
quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para 
resolver situações passo a passo (como na 
construção de dobraduras ou na indicação 
de deslocamento de um objeto no plano 
segundo pontos de referência e distâncias 
fornecidas etc.).
• Entes primitivos: ponto, 
reta e plano e suas 
relações
• Posições relativas de duas 
retas em um plano
• Semirreta e segmento de 
reta
• Ângulos e suas medidas
• Tipos de ângulos
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do 
ângulo como grandeza associada às figuras 
geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que 
envolvam a noção de ângulo em diferentes 
contextos e em situações reais, como ângulo 
de visão.
(EF06MA27) Determinar medidas 
da abertura de ângulos, por meio de 
transferidor e/ou tecnologias digitais.
CAPÍTULO
Desprendeu-se na Antártica um dos maiores icebergs já identi�cados pela ciência, informou o 
relatório divulgado nesta quarta-feira por pesquisadores do Project Midas. O bloco gigante de gelo 
tem 5,8 mil quilômetros quadrados, 200 metros de espessura e pesa mais de um trilhão de toneladas — 
equivalente à área do Distrito Federal, no Brasil. O satélite Aqua, dos Estados Unidos, captou o iceberg 
ao passar próximo à plataforma Larsen C e identi�cou água limpa entre o bloco e o continente.
Fonte: ICEBERG do tamanho de Brasília se desprende na Antártica. Gazeta Online, 12 jul. 2017. Disponível em: 
<http://www.gazetaonline.com.br/noticias/mundo/2017/07/iceberg-do-tamanho-de-brasilia-se-desprende-na-
antartica-1014076632.html>. Acesso em: 04 out. 2017.
Você sabia que a parte visível de um iceberg corresponde a apenas 10
1 do seu volume e 
a 7
1 da sua altura?
7 Números racionais na forma de fração
Capítulo
Plataforma Larsen C, na Antártica, monitorada por satélite. (Foto de 2017.)
B
R
IT
IS
H
 A
N
TA
R
T
IC
 S
U
R
V
E
Y
/A
F
P
148 CAPÍTULO 7
7 Números racionais na forma de fração
Este capítulo trata de objetos de conhecimento da Unidade Temática Números, amplifica e detalha os 
conhecimentos tratados no 5o ano do Ensino Fundamental sobre números racionais na forma de fração 
(EF05MA03, EF05MA04 e EF05MA05), visando preparar o aluno para a continuidade desse estudo no 
7o ano (EF07MA08 e EF07MA010).
Os conteúdos e atividades propostos exploram, inicialmente, o conceito de número racional na forma 
de fração por meio da ideia de medida e abordam situações diversas que apresentam o uso de frações 
em variados contextos, de modo a consolidar e ampliar os conhecimentos construídos anteriormente.
Nas situações que apresentam a fração como razão, retoma-se a forma porcentual, aprofundando 
o cálculo com porcentagens e estimativas em diferentes circunstâncias. Essas situações também 
abordam de forma mais aguda os conceitos de equivalência e comparação de frações.
As Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística articulam-se em situações que en-
volvem análise de informações e interpretação de gráficos de colunas simples e de setores, com dados 
expressos em porcentagens. 
http://www.gazetaonline.com.br/noticias/mundo/2017/07/iceberg-do-tamanho-de-brasilia-se-desprende-na-antartica-1014076632.html
XXXVI
Capítulo 7 – Números racionais na forma de fração
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCCHabilidades
• Resolução de problemas 
que envolvam as 
ideias de múltiplo e de 
divisor no contexto de 
frações equivalentes e 
simplificação de frações
Fluxograma para determinar a paridade 
de um número natural
Múltiplos e divisores de um número 
natural
Números primos e compostos
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as ideias de múltiplo e de 
divisor.
• Noção de fração: parte/
todo
• Número racional na forma 
de fração
• Leitura e registro de 
frações
• Fração como quociente
• Forma mista
• Frações equivalentes
• Simplificação de frações
• Comparações de frações
Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, comparação, 
adição e subtração; cálculo da fração de 
um número natural; adição e subtração de 
frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e 
ordenar frações associadas às ideias de 
partes de inteiros e resultado de divisão, 
identificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números 
racionais positivos podem ser expressos nas 
formas fracionária e decimal, estabelecer 
relações entre essas representações, 
passando de uma representação para outra, 
e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam o cálculo da fração de uma 
quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam adição ou subtração 
com números racionais positivos na 
representação fracionária.
• Fração como razão
• Forma porcentual
• Cálculo de porcentagens 
• Resolução de problemas 
envolvendo frações e 
porcentagem
Cálculo de porcentagens por meio de 
estratégias diversas, sem fazer uso da 
“regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam porcentagens, com base na 
ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da 
“regra de três”, utilizando estratégias pessoais, 
cálculo mental e calculadora, em contextos 
de educação financeira, entre outros.
• Resolução de problemas 
que tratam da partição de 
um todo em duas partes 
desiguais
Problemas que tratam da partição de 
um todo em duas partes desiguais, 
envolvendo razões entre as partes e entre 
uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam a partilha de uma quantidade 
em duas partes desiguais, envolvendo 
relações aditivas e multiplicativas, bem como 
a razão entre as partes e entre uma das 
partes e o todo.
• Interpretação de gráficos 
de colunas e de setores
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos 
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em 
diferentes tipos de gráfico. 
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre outros, 
apresentadas pela mídia em tabelas e em 
diferentes tipos de gráficos e redigir textos 
escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
• Coleta de dados de 
pesquisa
Coleta de dados, organização e registro 
Construção de diferentes tipos de gráficos 
para representá-los e interpretação das 
informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados 
de pesquisa referente a práticas sociais 
escolhidas pelos alunos e fazer uso 
de planilhas eletrônicas para registro, 
representação e interpretação das 
informações, em tabelas, vários tipos de 
gráficos e texto.
XXXVII
CAPÍTULO
176 CAPÍTULO 8
Bioma
Caatinga
Bioma
Pampa
Bioma
Mata
Atlântica
Bioma Amazônia
Bioma
Cerrado
Bioma
Ambientes
Marinhos
Bioma
Pantanal
OCEANO 
ATLÂNTICO 
OCEANO 
PACÍFICO 
50º O
EQUADOR
0º
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO
Nos estudos sobre o meio ambiente, chama-se bioma o conjunto de sistemas que 
formam uma comunidade (todos os organismos, animais e vegetais, que habitam um 
mesmo ambiente) estável e desenvolvida, adaptada às condições naturais de uma região, 
e geralmente caracte rizada por um tipo principal de vegetação.
Este mapa representa os biomas brasileiros de modo simplificado, reunindo-os em sete 
grandes biomas. 
8
Capítulo
Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Moderno Atlas Geográfico. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2016.
BRASIL — DIVISÃO POR BIOMAS
S
O
N
IA
 V
A
Z
 S
O
B
R
E
 IM
A
G
E
M
 D
E
 
N
AT
IO
N
A
L 
O
C
E
A
N
IC
 A
N
D
 A
T
M
O
S
P
H
E
R
IC
 
A
D
M
IN
IS
T
R
AT
IO
N
/S
C
IE
N
C
E
 S
O
U
R
C
E
/
F
O
TO
A
R
E
N
A
Operações com 
números racionais 
na forma de fração
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
390 km
8 Operações com números racionais na forma de fração
Este capítulo dá continuidade ao estudo de frações, iniciado no capítulo anterior, ao abordar as 
operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, com base nas operações com 
números naturais e as noções de múltiplos e divisores, vinculadas à Unidade Temática Números.
As Unidades Temáticas Números e Geometria articulam-se na apresentação da potenciação de 
frações, na qual se destaca o passo a passo para a obtenção da potência 2
1 3c m .
Vinculam-se, ainda, as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística por meio do cál-
culo de probabilidades expressas na forma de fração e na forma porcentual. Além disso, apresentam-se 
situações que envolvem dados de pesquisa com gráficos de setores e de barras para serem interpre-
tadas e resolvidas.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. 
Capítulo 8 – Operações com números racionais na forma de fração
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
que envolvam as 
ideias de múltiplo e de 
divisor no contexto de 
frações equivalentes e 
simplificação de frações 
nas operações com 
frações
Fluxograma para determinar a paridade 
de um número natural
Múltiplos e divisores de um número 
natural
Números primos e compostos
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as ideias de múltiplo e de 
divisor.
• Adição e subtração 
com frações de mesmo 
denominador e com 
denominadores diferentes
• Multiplicação e divisão 
envolvendo frações
• Potenciação envolvendo 
frações com expoente 
natural
• Expressões numéricas 
envolvendo frações
Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, comparação, 
adição e subtração; cálculo da fração de 
um número natural; adição e subtração de 
frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e 
ordenar frações associadas às ideias de 
partes de inteiros e resultado de divisão, 
identificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números 
racionais positivos podem ser expressos nas 
formas fracionária e decimal, estabelecer 
relações entre essas representações, 
passando de uma representação para outra, 
e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam o cálculo da fração de uma 
quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam adição ou subtração 
com números racionais positivos na 
representação fracionária.
• Situações que envolvem 
operações na forma 
porcentual
• Cálculo de porcentagens 
Cálculo de porcentagens por meio de 
estratégias diversas, sem fazer uso da 
“regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam porcentagens, com base na 
ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da 
“regra de três”, utilizando estratégias pessoais, 
cálculo mental e calculadora, em contextos de 
educação financeira, entre outros.
XXXVIII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Situações que tratam da 
partição de um todo em 
duas partes desiguais
Problemas que tratam da partição deum todo em duas partes desiguais, 
envolvendo razões entre as partes e entre 
uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam a partilha de uma quantidade 
em duas partes desiguais, envolvendo 
relações aditivas e multiplicativas, bem como 
a razão entre as partes e entre uma das 
partes e o todo.
• Construção de algoritmo 
na resolução de situações 
passo a passo (como 
na construção de 
dobraduras)
Construção de retas paralelas e 
perpendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadros e softwares
(EF06MA23) Construir algoritmo para 
resolver situações passo a passo (como na 
construção de dobraduras ou na indicação 
de deslocamento de um objeto no plano 
segundo pontos de referência e distâncias 
fornecidas etc.).
• Cálculo de probabilidades
Cálculo de probabilidade como a razão 
entre o número de resultados favoráveis 
e o total de resultados possíveis em um 
espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de 
muitas repetições de um experimento 
(frequências de ocorrências e 
probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de 
um evento aleatório, expressando-a por 
número racional (forma fracionária, decimal 
e percentual) e comparar esse número 
com a probabilidade obtida por meio de 
experimentos sucessivos.
• Interpretação e resolução 
de situações com 
informações apresentadas 
em gráficos de setores e 
de barras
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre 
outros, apresentadas pela mídia em tabelas 
e em diferentes tipos de gráficos e redigir 
textos escritos com o objetivo de sintetizar 
conclusões.
CAPÍTULO
Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica, 
nem sempre tem a sua importância reconhecida.
9
Capítulo
Fonte: ABI – 100 anos lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. Disponível em: <http://www.
abi.org.br/poeta-cria-cordel-inspirado-na-campanha-de-cem-anos-da-abi/>. Acesso em: 31 jul. 2017.
Números racionais 
na forma decimal 
e operações
A vírgula 
A vírgula pode 
ser uma pausa…
ou não.
Não, espere.
Não espere.
Ela pode 
sumir 
com seu 
dinheiro.
23,4.
2,34.
[...]
M
A
R
T
IN
 K
O
N
O
P
K
A
/E
Y
E
E
M
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
207CAPÍTULO 9
9 Números racionais na forma decimal e operações
Os números racionais na forma decimal foram estudados no 4o e 5o anos do Ensino Fundamental. 
Neste momento, esses conhecimentos serão expandidos e aprofundados na perspectiva da cons-
trução de novos conhecimentos, o que favorece a sua apropriação pelos alunos e os prepara para 
o detalhamento do estudo desse tema no 7o ano do Ensino Fundamental (EF07MA10, EF07MA11 
e EF07MA012).
Assim, as atividades abordam conhecimentos relativos à notação decimal dos números racionais 
positivos, à ampliação do sistema de numeração decimal para as ordens decimais, à ordenação de nú-
meros racionais na forma decimal e sua relação com pontos da reta numérica, às operações de adição, 
subtração, multiplicação, divisão e potenciação com números racionais na forma decimal, ao cálculo 
de porcentagens na forma decimal e ao uso da calculadora.
Nesse caso, as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística associam-se em ativi-
dades de cálculo de média aritmética e de interpretação de gráfico de duplas colunas.
http://www.abi.org.br/poeta-cria-cordel-inspirado-na-campanha-de-cem-anos-da-abi/
XXXIX
Capítulo 9 – Números racionais na forma decimal e operações
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Números racionais na 
forma decimal: leitura, 
escrita, comparação e 
ordenação 
• Ampliação do sistema de 
numeração decimal para 
as ordens decimais
Sistema de numeração decimal: 
características, leitura, escrita e 
comparação de números naturais e de 
números racionais representados na 
forma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e 
escrever números naturais e números 
racionais cuja representação decimal é finita, 
fazendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de 
numeração decimal, como o que prevaleceu 
no mundo ocidental, e destacar semelhanças 
e diferenças com outros sistemas, de modo 
a sistematizar suas principais características 
(base, valor posicional e função do zero), 
utilizando, inclusive, a composição e 
decomposição de números naturais e números 
racionais em sua representação decimal.
• Frações decimais e a 
representação na forma 
decimal dos números 
racionais
• Representações decimais 
equivalentes
Frações: significados (parte/todo, 
quociente), equivalência, comparação, 
adição e subtração; cálculo da fração de 
um número natural; adição e subtração de 
frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e 
ordenar frações associadas às ideias de 
partes de inteiros e resultado de divisão, 
identificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números 
racionais positivos podem ser expressos nas 
formas fracionária e decimal, estabelecer 
relações entre essas representações, 
passando de uma representação para outra, 
e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam adição ou subtração 
com números racionais positivos na 
representação fracionária.
• Adição e subtração 
envolvendo números 
racionais na forma 
decimal
• Multiplicação e divisão 
envolvendo números 
racionais na forma 
decimal
• Potenciação envolvendo 
números racionais na 
forma decimal com 
expoente natural
• Expressões numéricas 
envolvendo números 
racionais na forma 
decimal 
• Representação decimal de 
frações não decimais
Operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação) com 
números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas 
com números racionais positivos na 
representação decimal, envolvendo as quatro 
operações fundamentais e a potenciação, 
por meio de estratégias diversas, utilizando 
estimativas e arredondamentos para verificar 
a razoabilidade de respostas, com e sem uso 
de calculadora.
• Cálculos aproximados
Aproximação de números para múltiplos 
de potências de 10
(EF06MA12) Fazer estimativas de 
quantidades e aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 mais próxima.
• Cálculo de porcentagens 
envolvendo números 
racionais na forma 
decimal
Cálculo de porcentagens por meio de 
estratégias diversas, sem fazer uso da 
“regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam porcentagens, com base na 
ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da 
“regra de três”, utilizando estratégias pessoais, 
cálculo mental e calculadora, em contextos de 
educação financeira, entre outros.
XL
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Interpretação e resolução 
de situações que 
envolvam dados de 
pesquisas apresentados 
em tabelas e gráficos
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre outros, 
apresentadas pela mídia em tabelas e em 
diferentes tipos de gráficos e redigir textos 
escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Texto complementar
Frações decimais
Embora o sistema de numeração posicional hindu já estivesse assentado no século V ou VI, sua extensão às 
frações decimais só ocorreu um milênio mais tarde.
A ideia das frações decimais apareceu primeiro em raízes aproximadas de números irracionais. Por volta do 
século XII, João de Sevilha acrescentou 2n zeros ao número dado, calculou a raiz quadrada, e tomou esta raiz 
como o numerador de uma fração cujo denominador era 1 seguido de n zeros. O alemão Adam Riese (1522)deu uma tábua de raízes quadradas, afirmando que, como os números tinham sido multiplicados por 1.000.000, 
as raízes eram 1.000 vezes maiores. A raiz quadrada de 2 aparece assim como 1.414, embora as partes inteiras e 
fracionárias figurassem em colunas separadas.
Outro alemão, Christoff Rudolff, ao construir uma tábua de juros compostos para um livro em 1530, usou 
uma barra vertical exatamente como usamos hoje a vírgula decimal.
É possível, pelo menos, que a ideia de fração decimal na Europa tenha surgido através dos contatos com 
o Oriente. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi (cerca de 1430) multiplicou 25,07 por 14,3 obtendo 358,501, 
embora não tivesse usado uma vírgula decimal como tal. Al-Kashi, por sua vez, pode ter sido influenciado pelos 
chineses e indianos, entre os quais se encontrou um certo emprego sistemático de frações decimais.
Em 1579, o francês François Viète (também conhecido como Vieta) publicou um trabalho que incluía o uso 
sistemático de frações decimais (usando tanto a vírgula como uma barra vertical como separatriz) e uma defesa 
intensa de sua adoção por todos os matemáticos.
Apesar dessas sugestões preliminares, a invenção das frações decimais é atribuída, na maioria das vezes, ao cientista 
holandês Simon Stevin. Em 1585 Stevin publicou La Disme, um livreto de sete páginas em que explicava as frações 
decimais e dava regras para sua aplicação às operações aritméticas. A ideia de Stevin foi transmitida à Inglaterra 
através de uma tradução, em 1608, de La Disme; no continente europeu, o suíço Jobst Bürgi (1592) e o alemão Johann 
Hartmann Beyer (1603) publicaram tratados sobre decimais. Beyer, inclusive, reivindicou para si a sua invenção.
O único aprimoramento significativo introduzido na formulação de Stevin das frações decimais foi quanto 
à notação. Stevin escrevia 5,912 como
0 1 2 3
5 9 1 2
Ou 5 0 9 1 1 2 2 3
Várias sugestões foram feitas para se separarem as partes inteira e fracionária de um numeral. Alguns autores 
escreviam 75/321, outros 75321, e outros ainda 75,321.
O maior impulso ao uso de frações decimais resultou da invenção dos logaritmos. Embora os primeiros loga-
ritmos (publicados por John Napier em 1614) não contivessem frações decimais, elas apareceram na versão inglesa 
de 1616 com um ponto como separatriz decimal. Em sua Rabdologia, de 1617, em latim, Napier propôs a notação 
1993,273 (com a sugestão de um ponto ou uma vírgula), embora ele também usasse 821,2’5” para o atual 821,25.
Mesmo hoje, apesar do amplo uso da notação decimal, não há uma forma universalmente aceita para a 
“separatriz decimal”. Para 3.25 (notação americana) os ingleses escrevem 3 ∙ 25 e os alemães e franceses 3,25.
MILLER, Leland; FEY, James. “Frações decimais”. In: DAVIS, Harold T. (Org.). Tópicos de História da Matemática 
para uso em sala de aula: computação.Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992.
XLI
CAPÍTULO
248 CAPÍTULO 10
Wassily Kandinsky (1866-1936) estudou Direito e Economia, mas foi como pintor que se 
realizou. Em 1895, em visita a uma exposição em Moscou sobre o Impressionismo francês, 
vê um quadro de Monet que o desperta para a Arte.
A sua primeira influência foi a escola impressionista, que o levou a perceber, segundo 
suas palavras, que a obra de arte não precisava se resumir a imitar a natureza. 
10 Polígonos e poliedros
Capítulo
Wassily Kandinsky. Curva dominante. 1936. Óleo sobre tela. 129,3 cm 3 194,3 cm.
C
O
LE
Ç
Ã
O
 S
O
LO
M
O
M
 R
/M
U
S
E
U
 G
U
G
G
E
N
H
E
IM
, N
O
V
A
 Y
O
R
K
10 Polígonos e poliedros
Os conhecimentos desenvolvidos ao longo do 5o ano do Ensino Fundamental acerca de polígonos, 
plano cartesiano e figuras geométricas não planas são, neste momento, retomados, ampliados e 
aprofundados. A perspectiva é de que o estudo das características de triângulos e quadriláteros e 
sua representação no plano cartesiano constitua embasamento necessário a fim de que, durante o 
7o ano, os alunos estudem e realizem transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano 
(EF07MA19), entre outros assuntos. 
Os conceitos e atividades ligados à Unidade Temática Geometria, foco deste capítulo, são abordados 
em dois momentos. A primeira abordagem trata de tópicos de Geometria plana, situação na qual se 
desenvolve a ideia de linha poligonal, de modo que os alunos possam ampliar e consolidar a noção de 
polígono e de seus elementos, promove o reconhecimento, a nomeação, a comparação e a classificação 
de triângulos e quadriláteros e trata da representação de vértices de polígonos no plano cartesiano. 
Algumas atividades exploram também a construção de triângulos com o uso de régua, compasso e 
transferidor e a análise de algumas de suas propriedades.
A segunda abordagem insere-se nos estudos de figuras geométricas não planas. Nesse momento, 
espera-se que os alunos quantifiquem e relacionem o número de vértices, de faces e de arestas de 
prismas e pirâmides ao polígono que determina suas bases.
Algumas das atividades vinculam-se também a outras Unidades Temáticas, caso da seção Para saber 
mais, que apresenta o tema “Ladrilhamento” e trabalha a noção de área, relativa à Unidade Temática 
Grandezas e medidas. Já a seção Trabalhando a informação explora o tema “A probabilidade das cores”, 
situação na qual se trabalha o cálculo de probabilidades, relativo à Unidade Temática Probabilidade e 
estatística.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. 
Capítulo 10 – Polígonos e poliedros
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Conceito de par ordenado 
e sua representação 
geométrica no plano 
cartesiano
• Localização de vértices 
de polígonos no plano 
cartesiano
Plano cartesiano: associação dos vértices 
de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de 
números a pontos do plano cartesiano do 1o 
quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
• Classificação de poliedros 
e planificação de sua 
superfície
• Quantificação de vértices, 
faces e arestas de prismas 
e pirâmides
• Desenvolvimento da 
percepção espacial
Prismas e pirâmides: planificações e 
relações entre seus elementos (vértices, 
faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer 
relações entre o número de vértices, faces e 
arestas de prismas e pirâmides, em função 
do seu polígono da base, para resolver 
problemas e desenvolver a percepção 
espacial.
XLII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Conceito e reconhecimento 
de linhas poligonais e de 
polígonos
• Nomeação e comparação 
de polígonos considerando 
seus lados, vértices e 
ângulos internos
• Classificação de polígonos 
em regulares ou não
• Identificação das 
características de um 
triângulo e de um 
quadrilátero
• Classificação de triângulos 
quanto às medidas de seus 
lados e quanto às medidas 
de seus ângulos internos
• Classificação de 
quadriláteros quanto ao 
paralelismo de seus lados 
Polígonos: classificações quanto ao 
número de vértices, às medidas de 
lados e ângulos e ao paralelismo e 
perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e 
comparar polígonos, considerando lados, 
vértices e ângulos, e classificá-los em 
regulares e não regulares, tanto em suas 
representações no plano como em faces de 
poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos 
triângulos e classificá-los em relação às 
medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos 
quadriláteros, classificá-los em relação a 
lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a 
intersecção de classes entre eles.
• Construção de triângulos 
com o uso de régua, 
compasso e transferidor 
e discussão de algumas 
propriedades
Construção de retas paralelas e 
perpendiculares, fazendo uso de réguas, 
esquadrose softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, 
como réguas e esquadros, ou softwares 
para representações de retas paralelas 
e perpendiculares e construção de 
quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver 
situações passo a passo (como na construção de 
dobraduras ou na indicação de deslocamento 
de um objeto no plano segundo pontos de 
referência e distâncias fornecidas etc.).
• Ladrilhamento de 
superfície poligonal 
explorando a noção de 
área
Problemas sobre medidas envolvendo 
grandezas como comprimento, massa, 
tempo, temperatura, área, capacidade e 
volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as grandezas comprimento, 
massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos 
formados por blocos retangulares), sem uso 
de fórmulas, inseridos, sempre que possível, 
em contextos oriundos de situações reais e/ou 
relacionadas às outras áreas do conhecimento.
• Cálculo da probabilidade 
de um evento em um 
experimento aleatório
Cálculo de probabilidade como a razão 
entre o número de resultados favoráveis 
e o total de resultados possíveis em um 
espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de 
muitas repetições de um experimento 
(frequências de ocorrências e 
probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de 
um evento aleatório, expressando-a por 
número racional (forma fracionária, decimal 
e percentual) e comparar esse número 
com a probabilidade obtida por meio de 
experimentos sucessivos.
• Identificação de variáveis 
e suas frequências
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas 
frequências e os elementos constitutivos 
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em 
diferentes tipos de gráfico. 
Texto complementar
A Matemática do origami
O papel aceita tudo. Isso vale também no contexto do estudo da Matemática do origami? O ditado, aplicado 
ao ato de escrever, parece ser verdade também quando o computador nos dá os passos de dobradura para che-
garmos a uma determinada figura com um pedaço de papel.
XLIII
Praticado por séculos como atividade lúdica e artística, só recentemente o origami passou a ser atração aca-
dêmica como objeto de estudos científicos. “Os pesquisadores foram atraídos provavelmente porque o origami 
instigou seus talentos matemáticos e científicos”, afirma o matemático Thomas Hull, do Merrimack College, de 
North Andover, nos Estados Unidos, e editor do “Imagiro”, publicação bimensal sobre origami que tem entre 
seus autores os mais renomados estudiosos no assunto.
“Tudo começou como um hobby para alguns pesquisadores”, continua Hull. Ele conta que começou a prati-
car origami aos oito anos de idade. Na pós-graduação, percebeu que poderia estudar a Matemática dessa arte e 
encontrou vários trabalhos sobre o assunto.
De hobby, o origami passou então a ser objeto de estudos matemáticos dos acadêmicos. Eles perceberam que a 
dobradura poderia ser usada para descrever movimentos e processos na natureza e na ciência, como o batimento 
das asas de um pássaro ou a deformação da capota de metal de automóveis em colisões. Os estudiosos passaram, 
então, a desenvolver teoremas para descrever os padrões matemáticos que viam nas dobraduras. 
Na Matemática, o origami pode ser tratado pela topologia e pela Geometria combinatória. Diferentemente 
da Geometria, na topologia as figuras podem ser esticadas ou deformadas de seu estado original sem passarem 
a ser consideradas objetos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer remendo nelas.
Os especialistas em origami trabalham na construção de algoritmos, que são sequências de passos definidos na 
solução de um problema, como, por exemplo, o algoritmo da divisão. Para desenvolver esse trabalho, eles recorrem 
à Geometria combinatória, que permite obter fórmulas computacionais para a construção, por meio de dobraduras, 
das formas complexas e sofisticadas de origami. Com essas técnicas, eles procuram também obter a melhor sequência 
de dobradura e o aproveitamento máximo da folha de papel para uma determinada figura que pretendam construir. 
Ao que tudo indica, qualquer procedimento que o computador fornecer pode ser feito no papel manualmente.
O desafio está em fazer o caminho inverso matematicamente. A partir de um origami aberto, com as marcas 
das dobras, os matemáticos recaem em complicados problemas com polinômios para descobrir, sem dobrar, em 
que figura um certo padrão de dobradura resultará.
Desse modo, o origami tornou-se nas últimas duas décadas inspiração para a busca de soluções de sofisticados 
problemas matemáticos e tecnológicos. Os especialistas obtiveram bons resultados e esperam aplicar seus estu-
dos, por exemplo, a projetos de painéis solares, microcircuitos e até telescópios, que, se pudessem ser dobrados, 
poderiam ser usados em dispositivos menores que os existentes hoje.
Para alguns, o ato de dobrar papel para obter formas conhecidas pode perder seu charme criativo e artístico. 
Mas os amantes do origami tradicional não precisam recorrer aos passos matemáticos de dobradura para dar a 
forma que querem a um simples pedaço de papel.
KAWANO, Carmen. A Matemática do origami. Disponível em: 
<http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT516776-2680,00.html>. Acesso em: 07 ago. 2018.
CAPÍTULO
Veja acima informações sobre algumas espécies do maior mamífero do mundo: a baleia. 
Expressões como 150 toneladas, 50 toneladas, 40 toneladas, 9 tone ladas, 1,3 tone lada, 
30 metros, 18 metros, 10 metros, 6 metros representam me didas no Sistema Internacional 
de Unida des (SI), que estudaremos adiante.
11Comprimentos e áreas
Capítulo
Comparação entre baleias de diferentes espécies.
0 m 5 m 10 m 15 m 20 m 25 m 30 m
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: É
B
E
R
 E
V
A
N
G
E
LI
S
TA
Baleia jubarte
Baleia orca
Baleia beluga
Cachalote
Baleia-azul
18 
metros
18 
metros
10 
metros
6 
metros
30 
metros
150
toneladas
50
toneladas
40
toneladas
9
toneladas
1,3
tonelada
279CAPÍTULO 11
11 Comprimentos e áreas
Neste capítulo, serão aprofundados os estudos relativos à Unidade temática Grandezas e medidas 
envolvendo as grandezas comprimento e área. Levam-se em conta os conhecimentos desenvolvidos 
no 5o ano do Ensino Fundamental (EF05MA19 e EF05MA20), aportes para a compreensão dos temas 
aqui tratados, que, por sua vez, visam preparar o aluno para o conhecimento acerca de equivalência 
de áreas de figuras planas e cálculo de áreas por decomposição (EF07MA31 e EF07MA32), a ser de-
senvolvido no 7o ano.
Em relação aos conhecimentos que envolvem medidas de comprimento, destacam-se algumas 
unidades de medida não padronizadas (braçada, cúbito, jarda e polegada), unidades de medida de 
comprimento do sistema métrico decimal (o metro, seus múltiplos e submúltiplos) e suas relações e 
cálculo de perímetro de um polígono. 
Já em relação aos conhecimentos que abrangem medidas de área, destacam-se: a noção de medida 
de superfície com unidades não padronizadas, o cálculo de áreas de figuras em malhas quadriculadas, 
a noção de planta baixa, unidades de medida de área do sistema métrico decimal (o metro quadrado, 
http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT516776-2680,00.html
XLIV
seus múltiplos e submúltiplos) e suas relações, medidas agrárias, o cálculo da área de superfícies re-
tangulares e, em particular, de superfícies quadradas por meio de uma relação envolvendo medidas de 
seus lados. Faz-se ainda análise e descrição de mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um 
quadrado ao ampliar ou reduzir igualmente as medidas de seus lados, buscando o entendimento de 
que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
A Unidade Temática Números também está presente neste capítulo, com atividades que abordam 
estimativas de áreas e cálculo de porcentagens.
A conexão coma Unidade Temática Geometria se concretiza por meio de atividades que promovem 
o reconhecimento de que perímetro e área são grandezas associadas a figuras geométricas planas, 
em particular, a polígonos.
A leitura e a interpretação de dados apresentados em tabela, em gráfico de colunas e em gráfico 
de setores estão presentes nas atividades que tratam sobre a Unidade Temática Probabilidade e esta-
tística. Ressaltamos que tais conhecimentos representam a ampliação daqueles abordados no 5o ano 
do Ensino Fundamental, relativos à análise de dados apresentados em tabela e gráfico, e que serão 
necessários para a construção de futuros conhecimentos relacionados ao planejamento e à realização 
de pesquisa, interpretação de dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, 
além de interpretação e análise de dados apresentados em gráficos de setores, conhecimentos a serem 
tratados no 7o ano (EF07MA36 e EF07MA37).
Capítulo 11 – Comprimentos e áreas
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Estimativas de áreas
Aproximação de números para múltiplos 
de potências de 10
(EF06MA12) Fazer estimativas de 
quantidades e aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 mais próxima.
• Resolução de problemas 
envolvendo porcentagens 
e áreas
Cálculo de porcentagens por meio de 
estratégias diversas, sem fazer uso da 
“regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam porcentagens, com base na 
ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da 
“regra de três”, utilizando estratégias pessoais, 
cálculo mental e calculadora, em contextos de 
educação financeira, entre outros.
• Resolução e elaboração 
de problemas que 
envolvam medidas de 
comprimento e medidas 
de superfície
• Reconhecimento 
das relações entre 
unidades de medida de 
comprimento e de área
Problemas sobre medidas envolvendo 
grandezas como comprimento, massa, 
tempo, temperatura, área, capacidade e 
volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as grandezas comprimento, 
massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos 
formados por blocos retangulares), sem 
uso de fórmulas, inseridos, sempre que 
possível, em contextos oriundos de situações 
reais e/ou relacionadas às outras áreas do 
conhecimento.
• Interpretação, descrição e 
desenho de plantas baixas
Plantas baixas e vistas aéreas 
(EF06MA28) Interpretar, descrever e 
desenhar plantas baixas simples de 
residências e vistas aéreas.
• Análise e descrição da 
variação de perímetro 
e área em relação às 
medidas dos lados de um 
quadrado ou com base 
nele
Perímetro de um quadrado como 
grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças 
que ocorrem no perímetro e na área de um 
quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, 
igualmente, as medidas de seus lados, para 
compreender que o perímetro é proporcional à 
medida do lado, o que não ocorre com a área.
• Interpretação e resolução 
de situações que 
envolvam dados de 
pesquisa expressos por 
tabelas e gráficos
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre outros, 
apresentadas pela mídia em tabelas e em 
diferentes tipos de gráficos e redigir textos 
escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
XLV
Texto complementar
Medidas na carta de Caminha
Muitas passagens da carta de Pero Vaz de Caminha citam distâncias medidas em léguas ou em braças, uni-
dades que hoje não se usam mais, a não ser em um sentido bastante impreciso. Vamos tentar entender o que 
representam essas medidas.
O sistema de pesos e medidas usado em Portugal à época do descobrimento, e posteriormente no Brasil, no 
tempo colonial, apresentava sérios inconvenientes: não era uniforme de região para região, mudava segundo 
o tempo e as circunstâncias e, além disso, as subdivisões eram numerosas e irregulares, tornando os cálculos 
trabalhosos e imprecisos.
A tabela seguinte dá uma ideia da variedade de unidades de medida usadas antigamente para distâncias (as 
igualdades devem ser entendidas sempre como aproximações):
1 polegada 2,54 cm
1 pé 12 polegadas 30,48 cm
1 passo 5 pés 1,52 m
1 palmo 8 polegadas 20,32 cm
1 estádio 125 passos 190 m
1 toesa 9 palmos 1,83 m
1 vara 5 palmos 1,02 m
1 jarda 4 palmos 81 cm
1 côvado 3 palmos 61 cm
1 corda 15 palmos 3,05 m
1 braça brasileira 2,2 m
1 milha brasileira 1.000 braças 2.200 m
1 légua brasileira 3.000 braças 6.600 m
Qual era a légua mencionada na carta de Caminha? A braça brasileira é citada no dicionário Aurélio e equi-
vale a 2,2 m, enquanto no sistema inglês a braça equivale a 1,8 m. Uma légua é definida no mesmo dicionário 
como sendo uma medida itinerária igual a 6.000 m. Entretanto, uma légua de sesmaria corresponde a 3.000 
braças, o que significa 6.600 m. Essas são medidas comumente empregadas para medir distâncias terrestres. 
Provavelmente, a légua citada na carta de Caminha era a légua marítima, que ainda diferia da légua terrestre.
Considerando a necessidade de uma uniformização, o rei da França, Luís XVI, em maio de 1790, decretou 
a criação de uma comissão para estabelecer um sistema padronizado de pesos e medidas. A comissão, formada 
por membros da Academia de Ciências de Paris, decidiu tomar como referência para as medidas de distância o 
comprimento de um meridiano terrestre. Assim, foi definido o metro como sendo o comprimento do meridiano 
terrestre, dividido por 40.000.000. O comprimento do meridiano foi estabelecido a partir de medições feitas em 
arcos do meridiano de Paris, entre a torre de Dunquerque e a cidade de Barcelona, comparadas com medições 
feitas anteriormente no Peru. Foi então construído um padrão para o metro, feito de platina e cuidadosamente 
guardado, em 1799, no prédio dos Arquivos do Estado, em Paris.
Assim nasceu o atual sistema métrico decimal, no qual as subdivisões e os múltiplos do metro são feitos 
de 10 em 10: temos portanto o centímetro, o decímetro, o milímetro, bem como os múltiplos do metro, como 
o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro.
Atualmente as crescentes necessidades tecnológicas exigem um padrão mais preciso e facilmente reprodu-
tível. O metro é hoje definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um 
intervalo de tempo de 1 
299.792.456
 de segundo.
Mas voltemos ao tempo do descobrimento do Brasil. Como já mencionamos, a légua a que se refere 
Caminha em sua carta é, provavelmente, a légua marítima, cuja definição também variava de lugar para 
lugar e de navegador para navegador. No século XVI, considerava-se que um grau do meridiano terrestre 
XLVI
correspondia a um certo número de léguas, que alguns navegadores diziam ser 16,7; enquanto outros diziam 
que era 18 ou mesmo 17,5.
Se o meridiano terrestre mede 40.000.000 m, dividindo esta quantia por 360 teremos que um grau do meridiano 
equivale a aproximadamente 111.111 m. Admitindo que um grau corresponde a 18 léguas, isso nos dá a medida
1 légua marítima 5 6.173 m
No entanto, os registros desses padrões são tão imprecisos, que é possível encontrar documentos atribuindo 
para a légua marítima o equivalente a 5.555 m.
A milha marítima é talvez a única dessas unidades extravagantes que deverá permanecer sendo usada. Ela 
é hoje definida como valendo 1.852 m, o que a torna igual ao comprimento de um arco de 1 minuto do meri-
diano terrestre, ou seja, 1 
21.600
 do comprimento do meridiano. Em navegação, posições são determinadas 
por ân gulos (latitude e longitude), o que torna extremamente cômodo adotar como unidade de distância o 
comprimento de um arco de ângulo central unitário. Aliás, foi algo parecido com isso que os matemáticos 
fizeram ao adotar o radiano.
Felizmente, na atualidade, quase todos os países do mundoadotam o sistema métrico decimal. No Brasil, 
a lei de 26 de junho de 1862 e o decreto número 5.089 de 18 de setembro de 1872 tornaram o sistema métrico 
decimal obrigatório a partir de 1o de janeiro de 1874.
Observações
1. As definições das unidades legais de medidas no Brasil são feitas pelo Conselho Nacional de Metrologia, Norma-
lização e Qualidade Industrial – Conmetro.
2. O autor pede para citar seus colegas Nilton Lapa (SP) e Maria Inês V. Faria (MG), com os quais desenvolveu a ativi-
dade que deu origem a este trabalho.
COELHO, Mozart Cavazza P. “Medidas na carta de Caminha”. Revista do professor de Matemática. 
Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, no 36. 1998.
CAPÍTULO
Podemos dizer que uma das coisas que diferencia o ser humano de outros animais é a sua 
habilidade para medir. Medir implica comparar objetos da mesma grandeza. 
Na verdade, estamos o tempo todo medindo. E, por falar em tempo, podemos obter as horas 
do dia por meio do comprimento da sombra na superfície de um relógio de sol.
12Outras unidades de medida
Capítulo
Relógio de sol na Nova Zelândia. (Foto de 2012.)
E
A
S
Y
F
O
TO
S
TO
C
K
/E
A
S
Y
P
IX
 B
R
A
S
IL
309CAPÍTULO 12
12 Outras unidades de medida
Os conhecimentos abordados neste capítulo também se referem à Unidade Temática Grandezas 
e medidas, oportunidade para desenvolver as ideias que envolvem medidas de tempo, de volume, de 
capacidade e de massa. As conexões com outras Unidades Temáticas, no entanto, estão presentes 
nas diversas atividades propostas que compreendem medidas. 
A relação com a Unidade Temática Números se dá ao observar que os conhecimentos construídos 
sobre números racionais (seja na forma de fração ou decimal) permitem a resolução e a elaboração de 
problemas envolvendo grandezas e medidas como volume, capacidade e massa, com recurso a trans-
formações entre unidades de medida. 
A conexão com a Unidade Temática Álgebra aparece quando aplicamos as propriedades da igual-
dade em atividades que envolvem medidas de massa, por meio da análise de balança de dois pratos. 
O vínculo com a Unidade Temática Geometria ocorre por meio de atividades que promovem o reco-
nhecimento do volume como grandeza associada a figuras geométricas não planas. 
A conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística se efetiva por meio de atividades 
de resolução de situações que apresentam dados de pesquisa e organização dos dados coletados em 
tabela e interpretação de gráfico de colunas.
Além disso, conhecimentos apreendidos pelos alunos ao longo do 5o ano do Ensino Fundamental 
relativos a grandezas e medidas favorecem a construção de novos conhecimentos, como os deste capí-
XLVII
tulo. Da mesma maneira, esses novos conhecimentos serão alicerces para outros, relativos à resolução 
e à elaboração de problemas envolvendo as mesmas grandezas, inseridos em variados contextos, a 
serem construídos durante o 7o ano.
Capítulo 12 – Outras unidades de medida
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
envolvendo medidas e 
frações
Frações: significados (parte/todo, quociente), 
equivalência, comparação, adição e 
subtração; cálculo da fração de um número 
natural; adição e subtração de frações
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam o cálculo da fração de uma 
quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
• Resolução de problemas 
envolvendo medidas e 
números racionais na 
forma decimal
Operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação) com 
números racionais 
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas 
com números racionais positivos na 
representação decimal, envolvendo as quatro 
operações fundamentais e a potenciação, 
por meio de estratégias diversas, utilizando 
estimativas e arredondamentos para verificar a 
razoabilidade de respostas, com e sem uso de 
calculadora.
• Resolução de situações 
que envolvem estimativas 
e medidas
Aproximação de números para múltiplos 
de potências de 10
(EF06MA12) Fazer estimativas de 
quantidades e aproximar números para 
múltiplos da potência de 10 mais próxima.
• Reconhecimento das 
propriedades de uma 
igualdade
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação 
de igualdade matemática não se altera ao 
adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os 
seus dois membros por um mesmo número 
e utilizar essa noção para determinar valores 
desconhecidos na resolução de problemas.
• Resolução e elaboração 
de problemas que 
envolvam as grandezas 
tempo, volume, 
capacidade e massa
• Reconhecimento das 
relações entre unidades 
de medidas para cada 
grandeza estudada
Problemas sobre medidas envolvendo 
grandezas como comprimento, massa, 
tempo, temperatura, área, capacidade e 
volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas 
que envolvam as grandezas comprimento, 
massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos 
formados por blocos retangulares), sem uso 
de fórmulas, inseridos, sempre que possível, 
em contextos oriundos de situações reais e/ou 
relacionadas às outras áreas do conhecimento.
• Interpretação de gráficos 
de colunas
Leitura e interpretação de tabelas e 
gráficos (de colunas ou barras simples 
ou múltiplas) referentes a variáveis 
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre 
contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre 
outros, apresentadas pela mídia em tabelas 
e em diferentes tipos de gráficos e redigir 
textos escritos com o objetivo de sintetizar 
conclusões.
• Organização de dados 
coletados por meio de 
pesquisa em uma tabela
Coleta de dados, organização e registro 
Construção de diferentes tipos de gráficos 
para representá-los e interpretação das 
informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados 
de pesquisa referente a práticas sociais 
escolhidas pelos alunos e fazer uso 
de planilhas eletrônicas para registro, 
representação e interpretação das 
informações, em tabelas, vários tipos de 
gráficos e texto.
XLVIII
Capítulo 1
Sistemas de numeração
1. O ábaco
Segundo os historiadores, os ábacos surgiram milhares de 
anos antes da era cristã. Esses instrumentos foram inventa-
dos para ajudar as pessoas a resolver alguns de seus proble-
mas de contagem e realizar operações.
Os mais antigos ábacos eram formados por sulcos feitos na 
areia, nos quais eram colocadas pedrinhas conforme a figura 
abaixo. De acordo com a quantidade de pedrinhas nos sulcos, 
tinha-se a representação de um número. 
Representação de um número por meio de pedras 
colocadas em sulcos na areia.
Com o tempo, surgiram outros tipos de ábaco. Veja alguns 
deles:
Ábaco russo
Suan pan, ábaco chinês 
Soroban, ábaco japonês
É
B
E
R
 E
V
A
N
G
E
LI
S
TA
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: P
A
U
LO
 M
A
N
Z
I
Observe agora como efetuar contagens com o auxílio de um 
ábaco constituído de cinco fios de arame verticais. A cada uni-
dade a ser contada, coloca-se uma conta no 1o fio (o da direita).
Ao completar dez contas nesse fio, estas são substituídas 
por uma única conta, que é colocada no 2o fio. Então, cada 
conta do 2o fio vale 10 vezes mais do que uma conta do 1o fio.
Esse procedimento se repete até que o 2o fio tenha dez 
contas, que são, então, substituídas por uma única conta, 
colocada no 3o fio. Assim, cada conta do 3o fio vale 10 vezes 
mais do que uma conta do 2o fio, e assim por diante.
No ábaco, cada fio representa uma ordem. O 1o fio representa 
a ordem das unidades simples (U), o 2o, a ordem das dezenas 
(D), o 3o, a ordem das centenas (C), o 4o, a ordem das unidades 
de milhar (UM) etc.
Por exemplo, neste ábaco está representado o número 
52.423:
Solicite aos alunos que construam um ábaco seguindo as 
instruções e, depois, respondam às questões.
Material necessário
• 6 copos descartáveis
• um pedaço de cartolina
• 60 palitos de sorvete (podem ser substituídos por palitos 
dechurrasco de tamanhos iguais) ILU
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: P
A
U
LO
 M
A
N
Z
I
SUGESTÕES DE ATIVIDADES
XLIX
Instruções
Após colar os 6 copos na cartolina, como mostrado na figura 
abaixo, coloquem os palitos de sorvete dentro dos copos 
para representar o número desejado.
Com o ábaco pronto, resolvam as questões a seguir e regis-
trem as respostas no caderno.
a) Como representar os números 521 e 125? De que modo 
as representações desses números se diferenciam?
b) Qual é o maior número com algarismos diferentes que vocês 
podem representar em seu ábaco?
c) Qual é o maior número que vocês podem representar nesse 
ábaco?
d) Como representar o número 101?
Respostas: a) Espera-se que os alunos expliquem que, apesar 
de usarem a mesma quantidade de palitos nas duas repre-
sentações, estas se diferenciam porque, para representar o 
número 521, usaram 5 palitos no copo das centenas, 2 no das 
dezenas e 1 no das unidades simples e, na representação do 
número 125, usaram 1 palito no copo das centenas, 2 no das 
dezenas e 5 no das unidades simples; b) 987.654; c) 999.999; 
d) 1 palito no copo das centenas e 1 no copo das unidades 
simples. O copo vazio, o das dezenas, representa o zero.
2. Um extraterrestre chega à Terra vindo de uma galáxia próxima. 
Sua missão é obter informações sobre nossos conhecimentos 
matemáticos. Superando as dificuldades da língua, o extra-
terrestre está interessado, entre outras coisas, no nosso 
sistema de numeração. Após a explicação de como funciona 
o nosso sistema de numeração, o extraterrestre exclama: 
“Ah! O sistema de numeração que vocês usam na Terra tem 
muitas características iguais às do nosso sistema, a única 
diferença é que usamos apenas quatro símbolos: o zero (♠), 
o um (♣), o dois (♥) e o três (♦)”.
a) Como os extraterrestres escrevem os números de 1 a 10?
b) Quais são as características comuns a esses sistemas?
Respostas:
a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) São sistemas posicionais e possuem um símbolo para 
representar o zero.
3. Uma comunidade científica de um país, depois de muita pes-
quisa, decidiu alterar a quantidade de símbolos do sistema de 
numeração que utilizam. As novas propostas incluem o uso 
de apenas sete algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) ou a utilização 
de doze algarismos, com a introdução de dois novos (0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b). 
Como poderíamos escrever os números de 1 a 16 nesses 
novos sistemas de numeração?
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
Resposta:
Base 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Base 7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22
Base 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b 10 11 12 13 14
4. Reúna-se com um colega e criem um novo sistema de nume-
ração.
a) Quais são as características que vocês precisam definir 
para esse novo sistema?
b) Escrevam os números de 1 a 20 com o sistema de numera-
ção criado por vocês e troquem com os de outros colegas. 
Tentem descobrir quais são as características dos sistemas 
de numeração criados pelos colegas.
Respostas: a) Espera-se que os alunos percebam que pre-
cisarão definir a quantidade de símbolos do seu sistema, 
os respectivos símbolos, se terá um símbolo para o zero ou 
não e se será posicional ou aditivo; b) Respostas pessoais.
Números naturais
1. Complete os quadros corretamente.
a) 100
antecessor par: 
sucessor par: 
b) 
antecessor ímpar: 499
sucessor ímpar: 
Respostas: a) O antecessor par de 100 é 98, e o sucessor 
é 102; b) Respostas possíveis: 501 é um número cujo ante-
cessor ímpar é 499; o sucessor ímpar de 501 é 503. O 500 é 
um número cujo antecessor ímpar é 499; o sucessor ímpar 
de 500 é 501.
Pode-se pedir aos alunos que apresentem a sequência dos 
números naturais pares (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...) e a 
dos números naturais ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...).
2. Quebra-cabeça numérico
Coloque dentro dos círculos números de 1 a 10, de modo que 
dois números consecutivos não sejam vizinhos.
F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
LL
Respostas possíveis:
9
4 6
17 8 2
3 5
10
2
7 5
94 3 10
6 1
8
Estimule os alunos a registrarem a estratégia utilizada para 
a realização da atividade.
Capítulo 2
Adição, subtração e expressões numéricas
1. A prefeitura de uma cidade decidiu fazer um processo 
de arborização e plantou 45 mudas de ipê-amarelo e 38 
mudas de pau-brasil.
a) Para saber quantas mudas de árvores foram plantadas 
nessa cidade, o que devemos fazer?
b) Quantas mudas foram plantadas?
Respostas: a) Devemos juntar as duas quantidades de 
mudas, efetuando uma adição: 45 1 38 5 83; b) 83 mudas.
2. Uma grande indústria possuía 846 funcionários. Houve 
uma ampliação de suas instalações e foram contratados 
outros 328 funcionários.
a) Para saber quantos funcionários essa indústria passou a 
ter após as novas contratações, o que devemos fazer?
b) Quantos funcionários a indústria passou a ter? 
Respostas: a) Devemos acrescentar a quantidade de 
funcionários contratados ao número de funcionários que 
a indústria já tinha, efetuando uma adição: 846 1 328 5 
5 1.174; b) 1.174 funcionários.
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
3. Uma prova de atletismo entre escolas foi disputada por 
alunos de 11 a 13 anos. Cada escola inscreveu uma equipe 
com quatro alunos. O primeiro atleta correu 400 metros 
e entregou um bastão ao segundo atleta. Este correu 
200 metros mais que o primeiro e entregou o bastão ao 
terceiro. Este correu 100 metros mais que o segundo e 
entregou o bastão ao quarto, que correu 50 metros mais 
que o terceiro.
a) Quantos metros correu o quarto atleta?
b) Quantos metros tinha toda a prova?
Respostas: a) 750 metros; b) 2.450 metros.
4. Uma tartaruga percorreu 3 quilômetros em um dia. Em 
cada um dos dias seguintes, em seu percurso acrescentou 
2 quilômetros ao que havia andado no dia anterior. Assim, 
ela levou 4 dias para chegar a seu destino. Descubra a 
distância, em quilômetro, que a tartaruga percorreu para 
chegar ao seu destino.
Podem-se explorar as diferentes formas de registro de quanti-
dades que se inter-relacionam. A situação apresentada exige 
que os alunos percebam a existência de uma relação entre 
quanto a tartaruga se movimenta por dia e quanto se mo-
vimentou no dia anterior. Na busca da solução, é importante 
que o aluno faça algum registro que possibilite visualizar e 
calcular essa relação organizando as informações contidas 
no enunciado. Entre os tipos de registro, destacamos, a 
seguir, dois. 
Esquema: 
1o dia 2o dia 3o dia
3 3 1 2 3 1 2 1 2
4o dia
3 1 2 1 2 1 2
Tabela:
Percurso da tartaruga 
Distância (em km)
1o dia 3
2o dia 3 1 2 5 5
3o dia 5 1 2 5 7
4o dia 7 1 2 5 9
Total 3 1 5 1 7 1 9 5 24
Logo, o total percorrido pela tartaruga é:
3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 5 24 (24 quilômetros).
5. Uma calculadora está com algumas teclas quebradas, 
conforme mostra a figura abaixo.
D
A
N
IL
LO
 S
O
U
Z
A
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
L
Com apenas os recursos disponíveis, descubra quais teclas 
você deve usar para que apareçam no visor os números 
pedidos:
a) 11
b) 70
c) 60
d) 67
e) 143
Exemplos de respostas:
31 27 7 5
337 2 5
7373 1 2 27 7 5
337 2 2 3 5
737 1 3 2 3 5
A atividade supõe uma calculadora quebrada, em que só 
funcionam algumas teclas. Os alunos podem chegar aos 
resultados por diferentes caminhos. Por exemplo, para 
chegar a 11, eles podem fazer 7 1 7 2 3 ou 77 2 33 2 33, 
dentre inúmeras outras possibilidades. É importante incen-
tivar o diálogo entre os alunos para troca de experiências e 
descoberta de outras estratégias de resolução. Também é 
possível utilizar calculadoras, orientando os alunos a usar 
somente as teclas citadas.
6. Somente oitos
Usando apenas 8 oitos, encontre as parcelas de uma adição 
que resulte no número 1.000.
Exemplo de resposta: 888 1 88 1 8 1 8 1 8 5 1.000
7. No quadro a seguir, estão os resultados que Laura e Guilherme 
obtiveram para as três expressões abaixo.
1a) 108 1 32 2 50 1 26
2a) 1.725 2 762 1 506 21.469
3a) 170 2 34 2 34 2 34 2 34
1a 2a 3a
Laura 116 0 0
Guilherme 126 0 34
Quais expressões Laura acertou? E quais expressões Guilher-
me errou?
Respostas: Laura acertou a 1a e a 2a expressão. Guilherme 
errou apenas a 1a.
Antes de os alunos efetuarem os cálculos escritos para veri-
ficar se Laura e Guilherme chegaram às respostas corretas, 
eles devem ser incentivados a estimar resultados, especial-
mente nas expressões em que os personagens encontraram 
resultados distintos.
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
Explorando gráficos e tabelas
1. Solicite aos alunos que realizem a atividade em grupos de 
3 ou 4. O objetivo é organizar dados numéricos por meio de 
gráficos.
Material necessário
Recortes de jornais e revistas ou páginas de internet pre-
viamente selecionados pelo professor. Devem conter dados 
numéricos interessantes, que podem estar em tabelas, textos 
ou gráficos.
Desenvolvimento
1a etapa
Organize a turma em grupos de 3 ou 4 alunos e exponha o 
objetivo do trabalho: cada grupo receberá uma diversidade 
de recortes com dados numéricos que não podem ser vistos 
pelos outros grupos, pois a ideia é fazer uma apresentação 
desses dados sem que os outros alunos conheçam as “fontes 
originais”. Com esses recortes, o grupo deverá selecionar os 
temas que mais interessam.
2a etapa
A partir da seleção dos recortes, os alunos devem ler com 
cuidado todas as informações ali contidas e conversar com 
os colegas de grupo sobre o que entenderam e o que acha-
ram daqueles números, lembrando sempre que são números 
associados a situações reais. Alguém do grupo deve fazer 
as anotações dessas explicações, que serão inseridas na 
“apresentação” final.
3a etapa
Chegou o momento de escolher como aqueles dados serão 
apresentados aos outros colegas, destacando que não se 
pode usar apenas uma cópia daquilo que receberam. Por 
exemplo, se eles selecionaram uma tabela de dados, poderão 
fazer um gráfico que tenha aqueles dados; se selecionaram 
um gráfico de colunas, podem transformá-lo em um gráfico 
de barras e assim por diante.
4a etapa
Neste momento, faça uma primeira avaliação questionando 
os alunos se as representações construídas estão completas. 
Eles devem estar atentos especialmente a:
• títulos;
• legendas;
• valores e escalas.
5a etapa
Retoques e ajustes finais antes de apresentar aos demais 
colegas. É o momento de verificar também a estética do 
trabalho.
Final
Apresentação de cartazes com os dados e as conclusões. No 
verso de cada cartaz devem estar colados os recortes que 
deram origem às representações.
LI
LIILII
Multiplicação e divisão
1. Em um tanque havia 2.400 litros de água. Dele foram retirados 
12 baldes com 18 litros cada um. Abriu-se, então, uma torneira 
que derrama 32 litros de água por minuto até que o tanque 
ficasse totalmente cheio, isto é, com 5.000 litros. 
a) Durante quantos minutos a torneira ficou aberta? 
b) Sabendo que 1 hora é igual a 60 minutos, determine quan-
tas horas e quantos minutos essa torneira ficou aberta. 
Respostas: 
a) 88 minutos; 
b) 1 hora e 28 minutos.
A resolução desta questão exige muito mais que a realização 
de simples multiplicações e divisões, pois os alunos terão de 
lidar com diferentes grandezas (capacidade e tempo), esta-
belecendo relações de proporcionalidade. Além disso, no caso 
da grandeza tempo, farão relações entre duas unidades de 
tempo muito usuais: hora e minuto. Por isso, é interessante 
reservar um tempo maior para discutir coletivamente a re-
solução, buscando sanar todas as dúvidas a esse respeito.
2. Veja como Ana fez para dividir 46 por 8:
46 9 8
5 8 8 5 40
6 8 8 5 48
46 é maior que 40 e menor que 48.
Logo, 46 dividido por 8 dá 5 com resto 6.
Utilize o procedimento de Ana e calcule mentalmente:
a) 29 9 3
b) 41 9 7
c) 66 9 8
d) 83 9 9
Respostas: 
a) quociente 9 e resto 2; 
b) quociente 5 e resto 6; 
c) quociente 8 e resto 2; 
d) quociente 9 e resto 2.
Expressões numéricas
1. Brigite lançou o seguinte desafio a Bruno: Escreva uma ex-
pressão numérica que tenha como resultado 32, utilizando 
apenas os números 3 e 7 e as operações: adição, subtração 
e multiplicação.
Bruno pensou um pouco e apresentou esta expressão:
(7 2 3) 8 [(7 2 3) 1 (7 2 3)]
a) Bruno acertou?
b) Usando os números 3 e 7, invente uma expressão que tenha 
como resultado 24.
Respostas: 
a) sim; 
b) Exemplo de resposta: 3 1 3 8 7.
Essa questão dá a oportunidade aos alunos de desenvolve-
rem a escrita matemática. Proponha a tarefa em pequenos 
grupos e socialize as soluções obtidas para o item b . 
2. Calcule o valor destas expressões:
a) 7 8 23 2 22 8 5
b) 16 8 32 2 62 8 9
c) 112 2 (68 1 72)
d) 825 ( 196 2 )2 3
Respostas: 
a) 36; 
b) 24; 
c) 4; 
d) 30.
O cálculo do valor das expressões exige dos alunos a mobi-
lização de diversos conhecimentos a respeito dos números 
e das operações. Sabemos que, nesses cálculos, um peque-
no deslize levará a um resultado incorreto. Na correção do 
exercício, pode-se pedir aos alunos que, após a resolução 
individual, formem duplas e comparem os resultados; no 
caso de eles não coincidirem, tendo em vista que só há 
uma resposta possível, devem detectar o erro. Em seguida, 
revele a resposta final, e as duplas devem empreender nova 
conferência; em caso de discordância com suas respostas, 
devem retomar cada passo da resolução, para encontrar o 
“erro” cometido. Para finalizar, um aluno pode resolver uma 
expressão na lousa, fazendo os registros de cada passo.
Capítulo 3
Ampliação
1. Apresente a figura abaixo para os alunos e peça a eles que 
determinem o comprimento do lado do quadradinho da nova 
malha para que a figura seja ampliada em 4 vezes. 
Resposta: Como o quadradinho que compõe a malha da figu-
ra original tem comprimento de meio centímetro, espera-se 
que os alunos percebam que, para fazer uma ampliação de 
4 vezes, cada lado do quadradinho da nova malha deverá ter 
2 centímetros de comprimento (4 vezes o comprimento do 
lado do quadradinho da malha da figura original).
Capítulo 4
Múltiplos e divisores
1. Jogo produto secreto
Número de participantes: 2 jogadores (o desafiante e o 
descobridor)
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
LII
Regras
• Chame um amigo e decidam no par ou ímpar quem começa 
o jogo.
• O 1o jogador (o desafiante) escolhe um número natural de 
1 a 100 e o decompõe em dois fatores, para o outro joga-
dor descobrir a multiplicação formada; escreve num papel 
e guarda.
• O descobridor tenta encontrar esse produto e os dois fato-
res, registrando no caderno suas tentativas.
• Para cada palpite, o desafiante indica os acertos e dá dicas 
sobre os demais valores: diz se o produto e cada fator são 
maiores ou menores que os escolhidos.
• Utilizando as dicas, o descobridor vai fazendo as tentativas 
até encontrar a multiplicação escolhida.
• Depois, invertem-se as posições.
• Vence o jogo quem descobre o produto no menor número 
de tentativas.
Questões para que os alunos respondam pensando na es-
trutura do jogo:
a) O descobridor sabe que o 2 não é um dos fatores. Ele pode 
afirmar que o produto escolhido pelo desafiante não é um 
número par? Por quê?
b) O descobridor já acertou um dos fatores. O que ele pode 
afirmar sobre o produto procurado?
Respostas: 
a) Não, pois existem números pares que podem ser escritos 
como produto de dois fatores diferentes do número 2; 
b) O produto procurado é um múltiplo do fator já conhecido.
Divisibilidade
1. Observando o esquema, responda às questões a seguir.
JO
S
É
 L
U
IS
 J
U
H
A
S
a) Depois de caminhar pela trajetória correta, em que lugar 
deve ficar cada número de 1 a 20: A, B, C, ou D?
b) Os números que ficam em A, além de serem pares e divisí-
veis por 3, são divisíveis por quais números?
Respostas: 
a) A " 6, 12 e 18; B " 2, 4, 8, 10, 14, 16 e 20; C " 3, 9 e 15; 
D " 1, 5, 7, 11, 13, 17 e 19; 
b) Por 2 e 6.
Esse exercício oferece aos alunos mais uma oportunidade de 
refletirem a respeito dos critérios de divisibilidade por 2, 3e 6, 
buscando a relação entre eles. A experimentação que farão 
com os números de 1 a 20 será significativa para a generali-
zação de suas observações.
Máximo divisor comum
1. Em uma classe há 28 meninos e 21 meninas. A professora quer 
formar grupos só de meninas ou só de meninos, com a mesma 
quantidade de alunos e com a maior quantidade possível.
a) Quantos alunos terá cada um desses grupos?
b) Quantos grupos de meninas podem ser formados?
c) E quantos grupos de meninos?
Respostas: 
a) 7 alunos; 
b) 3 grupos; 
c) 4 grupos.
Em situações-problema que podem ser resolvidas pelo cál-
culo do máximo divisor comum, como a apresentada nessa 
questão, é preciso ficar atento às respostas dos alunos, pois, 
mesmo quando realizam o cálculo adequadamente, nem 
sempre conseguem responder às questões propostas. Os 
itens b e c, por exemplo, só poderão ser respondidos corre-
tamente se os alunos interpretarem de maneira adequada o 
mdc encontrado em a.
Mínimo múltiplo comum
1. Em certo país, as eleições para presidente ocorrem a cada 4 
anos, e para senador, a cada 8 anos. Em 2014, essas eleições 
coincidiram. Determine os anos das quatro próximas vezes em 
que elas voltarão a coincidir.
Resposta: 2022, 2030, 2038, 2046
Espera-se que os alunos percebam que a quantidade de anos 
que se passa entre um dado ano e o próximo em que essas 
eleições coincidem é o menor múltiplo comum (não nulo) 
entre 4 e 8, ou seja, a partir de um ano em que houve essa 
coincidência (2014), ela ocorrerá de 8 em 8 anos.
Capítulo 5
Variáveis, generalizações e sequências
1. Descubra o segredo da tabela e complete-a. 
X 27 59 74 92 44 87 35
Y 9 14 8
Resolução: Os números da linha do Y são obtidos adicionando-
-se os algarismos dos números da linha do X, na coluna cor-
respondente. Assim, da esquerda para a direita, os números 
que completam a tabela são 11, 11, 8 e 15, pois:
11 5 7 1 4
11 5 9 1 2
8 5 4 1 4
15 5 8 1 7
LIII
LIVLIV
2. Os números colocados nas figuras a seguir estão em uma 
sequência. Reproduza a figura no seu caderno e complete os 
espaços vazios com o número correto.
a) 
8
25664
32
416
128
b) 
5
122
83
Resoluções: 
a) Dividindo por 2 cada número a partir do 256, no sentido 
horário, obtemos que o número que ocupa o espaço vazio é 
2. Multiplicando por 2 cada número, no sentido anti-horário, 
obtemos que o número que ocupa o espaço vazio é 512; 
b) Sentido horário: Observando que a diferença entre dois nú-
meros vizinhos vai aumentando sempre 1 unidade, começando 
de 3 2 2, concluímos que a diferença entre o número que falta 
e 12 deve ser 5. Assim, o número que ocupa o espaço vazio é 
17 (12 1 5). Sentido anti-horário: Usando o mesmo raciocínio, 
mas no sentido contrário, descobrimos que o número que falta 
terá diferença 0 em relação ao número 2. Assim, obtemos que 
o número que ocupa o espaço vazio é o próprio 2.
Propriedades da igualdade
1. Utilizando o princípio aditivo da igualdade, determine o valor 
de x em x 1 9 5 14, obtendo uma igualdade do tipo: x 5 ... 
Resolução:
x 1 9 5 14
x 1 9 2 9 5 14 2 9
x 1 0 5 5
x 5 5
Os alunos não necessariamente iniciarão subtraindo 9, mas 
todas as estratégias utilizadas são válidas, desde que se 
aplique o princípio corretamente para isolar o x no primeiro 
membro e se obtenha o valor 5 para x. Socialize e valide as 
diferentes estratégias com os alunos.
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
2. Utilizando os princípios da igualdade convenientemente, par-
tindo da igualdade x 5 8, obtenha a igualdade 2x 1 34 5 50 
equivalente à primeira.
Resolução:
x 5 8
2 8 x 5 2 8 8
2x 5 16
2x 1 34 5 16 1 34
2x 1 34 5 50
Os alunos podem utilizar outros caminhos desde que apli-
quem corretamente os princípios da igualdade e que, ao final, 
obtenham a igualdade 2x 1 34 5 50. Discuta os diferentes 
procedimentos com os alunos.
3. O esquema abaixo representa uma balança de dois pratos 
nivelados (ou seja, os dois pratos estão na mesma altura). Os 
três ovos de Páscoa têm massas iguais.
250 g
2.500 g
Escreva uma igualdade que traduza a situação da balança, 
indicando por x a massa de cada ovo.
Resolução: Considerando as massas em gramas, temos:
massa de cada ovo " x
massa dos 3 ovos " 3 8 x ou 3x
nivelamento da balança " 3x 1 250 5 2.500 
4. Determine o número natural x considerando a igualdade 
abaixo.
2x 1 7 5 x 1 25
Resolução:
2x 1 7 5 x 1 25
2x 1 7 2 7 5 x 1 25 2 7
2x 1 0 5 x 1 18
2x 5 x 1 18
2x 2 x 5 x 1 18 2 x
x 5 18
Capítulo 6
Posições relativas de duas retas no plano
1. Na figura a seguir, a distância do ponto P à reta r é a mesma 
do ponto S à reta r:
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
LIV
Q
SP
r
a) Qual a posição relativa das retas PS e r?
b) Qual a posição relativa das retas QP e r?
Resolução:
a)
SP
PS
Q
r
Portanto, as retas são paralelas.
b) 
SP
PQ
Q
r
Portanto, as retas são concorrentes.
Capítulo 7
Fração como razão
1. Em uma urna há bolas verdes e azuis. Sabe-se que para cada 
2 bolas azuis há 4 bolas verdes.
a) Qual é a razão entre a quantidade de bolas azuis e a quan-
tidade de bolas verdes dessa urna? 
b) Sabendo que há 20 bolas azuis, quantas bolas verdes 
existem nessa urna?
c) Quantas bolas há ao todo nessa urna?
Respostas: 
a) Se para cada 2 bolas azuis há 4 verdes, podemos dizer que 
a razão entre essas quantidades (azuis para verdes) é de 2 
para 4, ou seja, 4
2 , o que significa que a quantidade de bolas 
azuis é 4
2 da quantidade de bolas verdes; 
b) Pelo item a, concluímos que: 4
2
 
da quantidade de bolas 
verdes corresponde a 20 bolas; 4
1 da quantidade de bolas 
verdes corresponde a 10 bolas (20 9 2); 4
4
 
da quantidade 
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
de bolas verdes corresponde a 40 bolas (4 8 10). Logo, há 40 
bolas verdes nessa urna; 
c) Se há 20 bolas azuis e 40 bolas verdes, há 60 bolas ao 
todo nessa urna.
Comparação de números racionais na forma 
de fração
1. Observe as duas figuras abaixo. Note que elas são formadas 
apenas por quadrados.
Figura A
Figura B
a) Que fração pode representar a parte pintada em cada 
figura?
b) Compare essas duas frações e justifique sua resposta.
c) O que se pode concluir sobre essas duas frações?
Respostas: 
a) A: 4
1 ; B: 16
4 ; 
b) Podemos dizer que essas frações representam números 
racionais iguais, pois representam a mesma parte de um 
mesmo inteiro; 
c) Podemos concluir que essas frações são equivalentes.
2. Observe a figura a seguir.
a) Qual é a fração que corresponde à parte pintada da figura? 
E a que corresponde à parte branca?
b) Qual dessas duas frações é maior? Por quê?
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
LV
LVILVI
Respostas: 
a) parte pintada: 48
30 ; parte branca: 48
18 ; 
b) A maior fração é a que representa a parte colorida (que 
tem mais quadradinhos em relação ao todo), ou seja, é a 
fração 48
30 .
3. Muitas situações da vida ficam mais fáceis de resolver quando 
temos uma referência, isto é, uma informação que serve de 
termo de comparação, para analisarmos melhor o problema 
a ser resolvido.
Isso vale também para a Matemática. Por exemplo, para 
comparar dois ou mais números racionais escritos na forma 
de fração, você pode usar o número 1 como referência, pois 
é fácil perceber se um número é maior, menor ou igual a 1.
Para resolver as questões, considere as frações.
5
2
5
4
3
2
4
8
2
3
4
1
3
7
8
8
10
5
a) Descubra qual das frações acima representa o número 1. 
Depois, complete o quadro com as outras frações compa-
rando-as com o número 1, que será sua referência.
Menor que 1 Igual a 1 Maior que 1
5
2
5
4
3
2
4
1
10
5 8
8 3
7
4
8
2
3
Incentive os alunos a observarem que uma fração representa 
um número maior que 1 quando seu numerador é maior que 
seu denominador.
b) Descubra qual das frações acima representa o número 
1
2 . Depois, complete o quadro com as outras frações 
comparando-as com o número 12 , que será sua referência.
Menor que 
2
1 Igual a 
2
1 Maiorque 
2
1
4
1
5
2
10
5
3
2
5
4
8
8
3
7 8
4 2
3
Os alunos devem observar que uma fração representa um 
número maior que 12 quando seu numerador é menor que a 
metade de seu denominador.
c) Consultando os quadros completados nos itens anteriores, 
analise as comparações a seguir e classifique cada uma 
como verdadeira ou falsa.
falsa
4
1
3
2
.
verdadeira
5
2
3
7
,
falsa
10
5
2
3
.
falsa
3
7
8
8
,
Neste item, os alunos não precisam efetuar cálculos 2 basta 
usar as relações de comparação já feitas nos itens a e b.
Capítulo 8
Operações com números racionais na forma 
de fração
1. Um pouco de história
As frações aparecem nos mais antigos documentos mate-
máticos e, em geral, foram resultado dos vários modos de se 
efetuar a divisão. Os babilônios já empregavam as frações por 
volta do ano 2000 a.C., os egípcios usaram frações no Papiro 
de Rhind – um texto matemático muito rico, escrito por volta 
de 1650 a.C., contendo 85 problemas copiados de trabalhos 
mais antigos – e os gregos passaram a usá-las em períodos 
posteriores. Os antigos não desenvolveram uma maneira geral 
para lidar com frações. Eles tinham métodos especiais de 
trabalhar com elas, que serviam para casos particulares, ou 
seja, para cada caso havia um método adequado. Nas tradi-
ções aritméticas da Grécia e do Egito antigos, por exemplo, os 
cálculos com frações recorriam em geral às frações unitárias, 
que são aquelas com numerador igual a 1.
Observe como podemos decompor a fração 34 . 
5 54
3
4 4 41 1
1 2 1
2
1
Decomponha as frações 8
7 e 6
5 em adição de frações unitá-
rias diferentes.
Respostas:
5 1 5 1 5 18
7
8
1
8
6
8
1
4
3
8
1
4
1
2
11
5 1 5 1 5 1 1 5 1 5 16
5
6
1
6
4
6
1
3
2
6
1
2
1
6
1
6
2
2
1
3
1
2
1
2. A divisão de moedas
Ao sair de casa, dona Lídia deixou para seus dois filhos, Rômulo 
e Rêmulo, uma certa quantia de moedas de 1 real e um bilhete 
que dizia: “Metade destas moedas para cada um”. Quando 
Rômulo chegou em casa, leu o bilhete, pegou metade das 
moedas e saiu. Ao chegar, Rêmulo leu o bilhete e, pensando 
ser o primeiro, pegou metade das moedas e saiu. Mais tarde, 
ao voltar, dona Lídia encontrou ainda 3 moedas. Quantas 
foram as moedas que ela havia deixado para seus dois filhos?
Resposta: 12 moedas.
3. Jogo dos resultados alinhados
Número de participantes: 2 jogadores
LVI
Material necessário
• 2 canetas de cores diferentes
• papel sulfite
Regras
• Os jogadores devem fazer dois tabuleiros numa folha de 
papel sulfite. Cada tabuleiro é formado por um quadrado 
dividido em 9 quadrados menores (casas).
• Um dos tabuleiros deve ser preenchido conforme este 
modelo:
subtraia adicione multiplique por
divida por multiplique por 1 subtraia
some multiplique por divida por
• Os dois jogadores devem escolher juntos um único número 
para colocar em cada operação, assim como foi feito com 
o número 1, no quadrado do meio (que é valor fixo).
Esses números devem ser todos diferentes e escolhidos de 
0 a 100 do seguinte modo:
" 2 frações unitárias (numerador igual a 1)
" 1 número primo
" 1 número par
" 1 número natural divisível por 5
" 3 números naturais quaisquer diferentes dos demais
• Após escolher quem começa por meio da disputa de par 
ou ímpar, cada jogador pega uma das canetas coloridas, 
escolhe outro número de 0 a 100 e escreve no papel sulfite.
• Depois, um de cada vez escolhe uma casa do tabuleiro das 
operações (ainda não selecionada) e efetua o cálculo, na 
folha de sulfite, com o seu número. Em seguida, escreve o 
resultado no outro tabuleiro, na casa correspondente à da 
operação realizada.
• A partir da segunda jogada de cada um, as operações são 
efetuadas com o resultado da operação anterior do próprio 
jogador.
• O jogador que errar a operação perde a vez e não pode 
marcar nada na casa.
• Vence o jogo quem primeiro conseguir alinhar três resulta-
dos na horizontal, na vertical ou na diagonal.
• Caso nenhum jogador consiga alinhar três resultados numa 
rodada, outros números devem ser escolhidos e o jogo rei-
nicia com o mesmo tabuleiro das operações.
Proponha as questões a seguir para os alunos responderem: 
a) Pensando na estrutura do jogo, analisem a seguinte situa-
ção: Paulo e Patrícia montaram o tabuleiro a seguir para 
jogar. Esse tabuleiro está dentro das especificações do 
jogo? Justifique.
subtraia
20
adicione 5 multiplique por 0
divida por
10
multiplique 
por 1
subtraia
18
adicione 15 multiplique por 1/4
divida por
1/2
b) Patrícia escolhe o número 25 e Paulo, o 10. Ele joga na 1a 
vez. Existe alguma casa que Paulo não pode escolher?
c) Depois de algumas jogadas, veja como está o jogo:
Paulo 
(cor vermelha)
Patrícia 
(cor azul)
início 10 25
1a jogada 10 9 10 5 1 250 9 1 2 5 50
2a jogada 1 1 15 5 16 50 2 20 5 30
3a jogada 16 8 1 5 16 ainda vai jogar
30
1 16
16 50
É a vez de Patrícia jogar. O que ela deve fazer? Na situação 
apresentada, Paulo já ganhou o jogo? Justifique.
Respostas: 
a) Sim, pois ele segue o modelo dado. Além disso, os oito nú-
meros colocados foram escolhidos conforme as regras: duas 
frações unitárias 4
1 e 2
1c m, um número primo (5), um número 
par, um número natural divisível por 5 e outros três números 
diferentes dos demais; 
b) Sim. Ele não pode escolher “subtraia 20” nem “subtraia 18”; 
c) Para impedir Paulo de ganhar o jogo, Patrícia deve escolher 
a casa “multiplique por 0”, pois Paulo não poderá escolher a 
casa “subtraia 18”.
LVII
LVIIILVIII
4. Em cada caso, determine qual é o número cujo quadrado é:
a) 46
1
b) 94
25
c) 369
Respostas: 
a) 8
1 ; 
b) 7
5 ; 
c) 3
6 5 2.
Capítulo 9
Comparação e representação de números 
racionais na forma decimal
1. Reproduza o esquema abaixo no caderno. Depois, começando 
pelo menor, ligue os números na forma decimal em ordem 
crescente. Em seguida, responda às questões.
2,8 1,9
1,279
3,91
2,745
1,49
3,75
4,1
0,0834
a) Por qual número você começou?
b) Em que número você terminou?
Respostas: a) Pelo número 0,0834 (menor valor observado); 
b) No número 4,1.
2,8 1,9
1,279
3,91
2,745
1,49
3,75
4,1
0,0834
2. Lembrando que uma das ideias de fração é representar o 
quociente entre o numerador e o denominador, faça o que se 
pede.
a) Use a tecla 4 de uma calculadora e obtenha a forma 
decimal de:
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
10
5 , 100
5 , 100
23 , 1.000
4 , 10
48 , 10.000
607 , 1.000
2.901 , 1.000.000
5 ,
10
23 , 10.000
23
(Atenção: Na maioria das calculadoras, a vírgula é indicada 
por um ponto.)
b) Compare a quantidade de zeros dos denominadores das 
frações decimais do item a com a quantidade de casas 
decimais dos resultados escritos na forma decimal. Em se-
guida, descreva um procedimento prático para representar 
uma fração decimal como um número na forma decimal.
Respostas: 
a) 0,5; 0,05; 0,23; 0,004; 4,8; 0,0607; 2,901; 0,000005; 2,3; 
0,0023; 
b) Espera-se que os alunos concluam que, para representar 
uma fração decimal como um número decimal, basta escrever 
o número com tantas casas decimais quantos forem os zeros 
do denominador da fração.
3. Agora, sem usar a calculadora e sem efetuar cálculos, faça o 
que se pede. 
a) Escreva cada fração na forma decimal:
10
127
100
123
1.000
254
1.000
3.254
100
2.045
10.000
814
b) Represente na forma de fração decimal:
0,5
0,035
4,45
0,04
13,2
0,5424
Respostas: 
a) 12,7; 1,23; 0,254; 3,254; 20,45; 0,0814
b) 10
5 , 1.000
5 , 100
445 , 100
4 , 10
132 , 10.000
5.4243
Operações com números racionais na forma 
decimal
1. Veja abaixo a sequência de teclas que Dário e Maísa digitaram 
na calculadora.
Dário: 51 0 0 00 06 $
Maísa: 51 0 0 0 00 06 $
a) Que número apareceu no visor de cada um?
b) Entre esses números, qual é o maior?
Respostas: 
a) Dário: 0,6; Maísa: 0,06; 
b) 0,6 é maior que 0,06.
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
LVIII
2. Reproduza a figura no caderno e complete corretamente.
2,94 1
5
2
1,2
56
1,196
3
3,484 4 12 5
5
5
Resposta: 
2,94 1 1,256 5 4,196 2 1,196 5 3 8 3,484 5 10,452 9 12 5 
5 0,871
3. Que valor você deve atribuir ao para que se tenha:
a) 3,2 3 5 16
b) 11,16 9 5 3,1
c) 5,3 3 5 18,55
d) 9 2,7 5 13,5 
Respostas: 
a) 5; 
b) 3,6; 
c) 3,5; 
d) 36,45.
Capítulo 10
Classificação de linhas poligonais
1. Em duplas, tracem linhas coloridas em um cartaz, conforme 
o que se pede abaixo, de modo que componham um único 
desenho:
• uma linha não poligonal aberta;
• uma linha poligonal fechada;
• uma linha não poligonal fechada não simples;
• uma linha poligonal aberta simples;
• uma linha poligonal não simples.
Em seguida, exponham aos colegas e expliquem como pen-
saram, identificando as linhas solicitadas.
Resposta pessoal. 
Polígonos
1. Utilize canudinhos de refresco, papel e cola para construir 
polígonos, de acordo com as considerações a seguir:
• um polígono convexo formado por 3 canudinhos de mesmo 
comprimento;
F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
• um polígono não convexo formado por 5 canudinhos quais-
quer;
• um polígono não convexo formado por 3 canudinhos quais-
quer;
• um polígono convexo formado por 4 canudinhos, dois a dois 
de mesmo comprimento.
Resposta pessoal.
Espera-se que os alunos percebam que não existe um polígono 
não convexo formado por 3 canudinhos (não existe triângulo 
não convexo), ou seja, essa construção é impossível.
2. A professora de Rubens pediu aos alunos que desenhassem 
figuras delimitadas por polígonos em cartolinas coloridas, 
recortassem essas figuras obedecendo ao contorno dos polí-
gonos e depois montassem uma nova figura usando somente 
os “pedaços” obtidos. Veja o que Rubens fez:
Escreva o nome do polígono que Rubens desenhou para for-
mar cada uma das partes desse boneco indicadas a seguir e 
responda: Quantos polígonos ele desenhou no total?
a) boca
b) tronco
c) pés
d) mãos
e) olhos 
f) nariz
Respostas: 
a) trapézio; 
b) pentágono; 
c) trapézios; 
d) hexágonos; 
e) retângulo; 
f) triângulo. Ao todo, Rubens desenhou 15 polígonos.
3. Pegue alguns palitos de sorvete de mesmo comprimento e 
com eles construa:
a) a representação de 1 triângulo com 3 palitos;
b) a representação de 2 triângulos com 5 palitos;
c) a representação de 3 triângulos com 7 palitos;
d) a representação de 4 triângulos com 9 palitos.
Agora, responda às questões:
F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
LIX
LXLX
• Com 31 palitos, quantas representações de triângulos você 
pode construir sem que sobre nenhum palito?
• Que tipo de triângulo aparece nas figuras formadas?
Exemplos de figuras:
a) 3 palitos representação de 1 
triângulo (3 5 2 3 1 1 1)
b) 5 palitos representação de 2 
triângulos (5 5 2 3 2 1 1)
c) 7 palitos representação de 3 
triângulos (7 5 2 3 3 1 1)
d) 9 palitos representação de 4 
triângulos (9 5 2 3 4 1 1)
• Observando o padrão para a construção dos triângulos, 
notamos que devemos ter:
 31 5 2 3 ? 1 1
 quantidade de triângulos formados
• A quantidade procurada é um número cujo dobro é o ante-
cessor de 31. Como 30 é o antecessor de 31, temos que 
30 é o dobro da quantidade procurada. Isso significa que é 
possível construir 15 triângulos.
• Todos os triângulos serão equiláteros se os palitos forem 
todos de mesmo comprimento.
4. Desenhe um polígono que tenha dois ângulos retos, um ângulo 
agudo e dois ângulos obtusos e trace pelo vértice de um dos 
ângulos retos todas as diagonais possíveis.
a) Dê o nome desse polígono.
b) Em quantos triângulos o polígono ficou dividido?
c) Algum desses triângulos é retângulo? 
Exemplo de resposta:
E B
D C
A
 
Respostas de acordo com a figura anterior: 
a) Pentágono; 
b) Ficou dividido em três triângulos; 
c) Sim, o triângulo EDC.
5. Construa com palitos de fósforo usados a seguinte figura:
Transforme a construção que você fez em outra que lembre 
3 quadrados, movendo apenas 3 palitos.
Exemplo de resposta:
Diagonais de paralelogramos
1. Quando dois segmentos são concorrentes e formam entre 
si quatro ângulos retos, dizemos que eles são segmentos 
perpendiculares.
A B
CD
AC t BD
 
A seguir estão desenhados quadriláteros. Reproduza-os em 
seu caderno e trace as duas diagonais de cada um deles.ILU
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
IN
A
LD
O
 V
IG
N
AT
I
LX
retângulo
losango
trapézio
quadrado
a) Verifique com um esquadro quais deles têm suas diagonais 
perpendiculares entre si.
b) Verifique, usando uma régua, quais têm suas diagonais 
congruentes.
Respostas:
retângulo trapézio
losango quadrado
a) Losango e quadrado; 
b) Retângulo e quadrado.
Planificação da superfície de poliedros
1. Reproduza o molde a seguir em uma folha de cartolina e, com 
um colega, construam o poliedro. 
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
IN
A
LD
O
 V
IG
N
AT
I
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
Observando a planificação da superfície desse poliedro, res-
pondam às perguntas. 
a) Quantas faces, arestas e vértices tem esse poliedro? 
b) Quantas e quais são as regiões poligonais que formam esse 
poliedro? 
c) O que você observa de especial nessas regiões poligonais? 
Você sabe nomeá-las? 
Respostas: a) 26 faces, 48 arestas e 24 vértices; b) 26 regiões 
poligonais, 18 quadrangulares e 8 triangulares; c) Resposta 
possível: As regiões quadrangulares são todas idênticas e 
têm os 4 lados de mesma medida (ou seja, são delimitadas 
por quadrados). As regiões triangulares também são todas 
idênticas e têm os 3 lados de mesma medida (ou seja, são 
delimitadas por triângulos equiláteros).
Para responder às questões desta atividade, os alunos devem 
observar atentamente todas as faces do poliedro planificado, 
em relação tanto à forma quanto às medidas. Incentive-os a 
usar a reprodução da planificação para fazer registros e tentar 
identificar e quantificar os elementos do poliedro. Pode-se 
enriquecer a discussão com alguns questionamentos que 
seguem.
• Um aluno marcou na planificação os pontos a seguir e con-
cluiu que o poliedro tinha um total de 26 vértices.
 Por que essa conclusão está errada? (Porque há vértices 
repetidos marcados e há vértices faltantes não marcados.)
 Essa estratégia não é válida para contar os vértices? (Não, 
pois nem todos os vértices das regiões poligonais presentes 
na planificação serão vértices do poliedro montado.)
 Qual seria a estratégia válida? (Montar o poliedro e, depois, 
contar os vértices.)
Ladrilhamento
1. É comum vermos nas ruas de certas cidades calçadas forma-
das com ladrilhos do tipo , ou . Veja um exemplo:
Em uma malha quadriculada, reproduza o modelo acima e 
continue o ladrilhamento.
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
LXI
LXIILXII
Exemplo de desenho:
2. De acordo com o padrão de montagem, quantos faltam 
para completar a região quadrada abaixo?
 
Resposta: 10 
Capítulo 11
Construção do metro quadrado
Medida de comprimento
1. Dagoberto quer fazer um galinheiro em seu sítio. Para isso, 
pretende aproveitar uma parede já existente e fazer um cer-
cado em forma de quadrado, como o da figura a seguir.
6 m
6 m
Para fazer o cercado, ele precisa fincar no chão estacas de 
madeira com 2,20 m de altura cada uma e distantes 1,5 m 
umas das outras.
a) Marque no desenho onde ficarão essas estacas de madeira, 
sabendo que a primeira e a última serão colocadas junto à 
parede.
b) Quantas estacas Dagoberto precisará usar? 
c) Quantos metros de madeira, no total, serão necessários 
para fazer essas estacas?
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
Respostas:
a)
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
b) 13 estacas
c) 28,6 metros de madeira
2. Uma senhora encomendou um quadro a uma artista. O com-
primento do quadro poderia ser qualquer medida entre 1 m e 
1,20 m, mas a altura deveria ter 3 
4
 do comprimento. A pintora 
realizou a obra com 1,04 m de comprimento.
a) Qual é a altura da tela?
b) Quantos metros de molduraforam utilizados nesse quadro?
c) Se o metro de moldura custa R$ 98,00, a tela custa 
R$ 200,00, e o trabalho artístico, R$ 960,00, qual é o preço 
desse quadro?
Respostas: 
a) 0,78 m; 
b) 3,64 m; 
c) R$ 1.436,72 
3. Para fazer um lanche comunitário, alunos de uma escola junta-
ram várias mesas, cujos tampos formaram uma região retan-
gular de 3 m de comprimento por 0,8 m de largura. Sabendo 
que o tampo de cada mesa mede 60 cm de comprimento por 
40 cm de largura, quantas mesas foram usadas para esse fim?
Resposta: 10 mesas
Medida de área
1. (Saresp) Veja o desenho que alguém fez no papel quadriculado.
uma unidade
Qual é a área que essa figura ocupa no papel quadriculado?
a) 26 unidades.
b) 28 unidades.
c) 30 unidades.
d) 32 unidades.
Resposta: Alternativa b
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: J
O
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
LXII
Unidades de medida de superfície
1. Construção do metro quadrado
Traga jornal e fita adesiva, tesoura sem ponta e uma trena. 
Em seguida, emende as folhas de jornal de modo que possa 
construir uma região quadrada de lado medindo 1 metro. De-
pois, recorte as sobras, de modo que fique apenas a região 
quadrada construída. Essa construção representa a área de 1 
metro quadrado. Convide alguns colegas e verifiquem quantos 
de vocês cabem sobre essa região.
Medidas agrárias
1. A área de uma fazenda é 3 alqueires goianos. Quantos metros 
quadrados tem essa fazenda? E quantos hectares ela tem?
Resposta: 145.200 m2; 14,52 ha
2. Que fazenda é maior: uma que tem 1 alqueire baiano de área 
ou outra que tem 3 alqueires paulistas de área? 
Resposta: A fazenda cuja área é de 1 alqueire baiano é a maior.
Área da superfície retangular
1. Uma casa ocupa uma parte quadrada de um terreno, como 
mostra o esquema abaixo. Qual é a área do jardim?
2 m 
2 m 
casa jardim
144 m2 
Resposta: 52 m2
Capítulo 12
Medida de tempo
1. Durante a semana, Flávia acorda às 7 h 15 min para ir à 
escola. Neste domingo, às 20 h 56 min, ela começou a 
assistir a um filme com duração de 1 h 48 min.
a) A que horas terminou o filme?
b) Considerando que Flávia demora cerca de 20 minutos para 
adormecer, ela conseguiu dormir as 8 horas necessárias 
para seu descanso noturno?
Respostas: a) 22 h 44 min; b) Sim.
Discuta com os alunos a diferença em se adicionar (ou 
subtrair) intervalos de tempo e horários demarcados. Por 
exemplo, se uma viagem durou 22 horas e 44 minutos de 
avião, 20 minutos de espera e outras 8 horas de trem, ao 
todo foram gastas 31 horas e 4 minutos nesse trajeto. 
No entanto, se pensarmos na situação de Flávia, essa 
medida não tem sentido, pois ultrapassa 24 h. Nesse 
caso, devemos fazer 22 h 44 min 1 20 min, obtendo 23 h 
4 min; depois 23 h 4 min 1 1 h 5 24 h 4 min (ou 0 h 4 min); 
e por fim acrescentar as 7 h restantes, obtendo 7 h 4 min 
(horário em que Flávia completa 8 horas de sono).
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
T
E
L
Medidas de volume
1. Considere um cubo modelado em isopor em que fizeram 
alguns cortes, conforme mostra a figura a seguir. Depois, 
desenhe em seu caderno cada um dos quatro paralelepípe-
dos de faces retangulares em que esse cubo ficou dividido.
5 cm
1,5 cm
1,2 cm
5 cm
5 cm
Respostas:
3,5
3,8
5
3,8
1,5 5 1,5 5
1,2
1,2
3,5
51
4
2
3
2. (Enem) Um pedreiro necessita comprar tijolos para construir 
uma mureta de 2 metros de comprimento. As dimensões de 
um tijolo e a forma da mureta estão descritas nas figuras a 
seguir.
Dimensões do tijolo
20 cm
10 cm
8 cm
2 m
Forma e extensão da mureta
A espessura da massa é considerada para compensar as 
perdas que normalmente ocorrem. O total de tijolos que o 
pedreiro deverá adquirir para realizar o serviço é:
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
F
E
R
N
A
N
D
O
 J
O
S
É
 F
E
R
R
E
IR
A
LXIII
LXIVLXIV
a) 40.
b) 60.
c) 80.
d) 100.
e) 70.
Resposta: Alternativa c
Medida de capacidade
1. (Enem) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume 
mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), 
que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cℓ). Sabe-
-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata 
de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem 
capacidade de 355 mℓ.
Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mℓ, 
em onça fluida (fl oz), é mais próxima de:
a) 0,83.
b) 1,20.
c) 12,03.
d) 104,73.
e) 120,34.
Resolução: Como 1 onça fluida equivale a cerca de 2,95 
centilitros e 1 cℓ 5 10 mℓ, temos que 1 onça fluida é cerca de 
29,5 mililitros, pois: 2,95 cℓ 5 10 8 2,95 mℓ 5 29,5 mℓ. Como 
a lata de refrigerante comercializada no Brasil tem 355 mℓ 
de capacidade, para saber quanto é isso em onças fluidas 
devemos verificar quantos 29,5 mℓ cabem em 355 mℓ, ou seja, 
devemos efetuar a divisão de 355 por 29,5, cujo quociente 
aproximado é 12,03. Assim, 355 mℓ são cerca de 12,03 onças 
fluidas. Logo, a alternativa correta é c.
Medidas de massa
1. Um caminhão entregou meia tonelada de pedras em uma 
construção. Quantos gramas de pedra foram entregues?
Resposta: 500.000 gramas
2. Indique qual é a unidade de medida mais apropriada para medir 
a massa de:
a) um saco de arroz;
b) um anel de ouro;
c) a carga de um caminhão carregado de feijão;
d) um componente de produto químico em um comprimido.
Exemplos de respostas: 
a) quilograma; 
b) grama; 
c) tonelada; 
d) miligrama 
Esse exercício é interessante para trabalhar o pensamento 
crítico dos alunos e promover uma discussão perguntando 
qual é a melhor unidade de medida para cada objeto e 
por quê.
3. No quadro a seguir, os sólidos iguais representam objetos 
de mesma medida de massa. As setas indicam a soma das 
medidas da massa dos objetos representados em cada linha 
ou coluna.
Descubra a massa, em gramas, de cada um dos objetos re-
presentados.
36,9 g
33,7 g
38,5 g
36,5 g 38 g
Resolução: Na resolução abaixo vamos representar a medida 
da massa de cada objeto por sua representação.
Como 3 5 36,9 g, então: 5 12,3 g.
Sabemos que 5 12,3 g, então: 1 2 5 
5 12,3 g 1 2 5 33,7 g. Ou seja: 2 5 21,4 g. Logo, 
 5 10,7 g.
Sabemos que 5 12,3 g, então: 2 1 5 
5 36,5 g 5 24,6 g 1 5 36,5 g. Ou seja: 5 11,9 g.
Sabemos que 5 12,3 g e 5 10,7 g, então: 
 1 1 5 12,3 g 1 10,7 g 1 5 38 g. 
Ou seja: 5 15 g.
Sabemos que 5 11,9 g e 5 15 g, então: 
 1 1 5 11,9 g 1 15 g 1 5 38,5 g.
Ou seja:  5 11,6 g. ILU
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: R
E
IN
A
LD
O
 V
IG
N
AT
I
LXIV
1
Componente curricular: MATEMÁTICA
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino 
de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, 
Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP). 
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo, 
no ensino fundamental e médio, por 25 anos.
MATEMÁTICA 
BIANCHINI
9a edição
São Paulo, 2018
6oano
LI
V
R
O
 D
O
 E
ST
U
D
A
N
TE
 —
 O
R
IE
N
TA
ÇÕ
ES
 P
Á
G
IN
A
 A
 P
Á
G
IN
A
2
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição: Glaucia Teixeira 
Edição de conteúdo: Dário Martins de Oliveira
Revisão técnica: Kauan Pastini Paula Leite
Assistência editorial: Francisco Mariani Casadore
Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Andreza Moreira
Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto
 Foto: Pessoas em barco a remo em Buchelay, França, 2017. 
 Crédito: Julien Brochard/EyeEm/Getty Images
Coordenação de arte: Aderson Assis 
Editoração eletrônica: Grapho Editoração, Marcel Hideki
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani 
Revisão: Ana Maria Marson, Clara Altenfelder, Daniela Uemura, Erika Nakahata,Kátia Godoi, Lilian Xavier
Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi
Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas 
de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.”
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2018
Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo
Matemática - Bianchini / Edwaldo Bianchini. – 
9. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.
Obra em 4 v. para alunos de 6o ao 9o ano.
Componente curricular: Matemática.
Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16603 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Iolanda Rodrigues Biode – Bibliotecária – CRB-8/10014
3
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
APRESENTAÇÃO
Caro estudante,
Este livro foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de 
facilitar sua aprendizagem.
Para tornar mais simples o entendimento, a teoria é apresentada 
por meio de situações cotidianas. Assim, você vai notar o 
quanto a Matemática faz parte do nosso dia a dia e nos permite 
compreender melhor o mundo que nos rodeia. 
Por isso, aproveite ao máximo todo o conhecimento que este livro 
pode lhe oferecer. Afinal, ele foi feito especialmente para você!
Faça dele um parceiro em sua vida escolar! 
O autor
4
CONHEÇA SEU LIVRO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
47CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Situação 1
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
 39 Um alpinista, depois de subir 455 metros de 
uma montanha, subiu mais 325 me tros, porém 
escorregou e desceu 18 metros. Depois, ele 
tornou a subir 406 metros.
a) Determine a expressão correspondente a 
essa situação. 
b) Qual é o valor dessa expressão? 
c) A que altura se encontra esse alpinista?
 40 Hora de criar – Pense em um número de três 
algarismos e escreva esse número por meio 
de uma soma de quatro números. Substitua 
dois desses quatro números por diferenças 
de outros números. Troque com um colega 
essas expressões numéricas criadas por 
vocês. Depois de cada um calcular o valor 
da expressão do outro, destroquem para 
corrigi-las.
Bruna comprou um sofá, que pretende pagar em 
10 parcelas de 230 reais cada uma. Qual será o valor 
total que Bruna pagará pelo sofá?
Podemos resolver esse problema usando uma adição 
de 10 parcelas iguais. Observe:
230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 5 2.300
10 parcelas
4 Multiplicação
Acompanhe as situações a seguir.
Pense mais um pouco...
Giovana achou um velho caderno 
com exercícios numa caixa guardada 
por seu pai. Mas veja o que as traças 
fizeram!
Descubra as contas que havia no ca-
derno do pai de Giovana e escreva-as 
em seu caderno.
 36 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 36 2 5 1 12 1 10 
b) 36 2 (5 1 12) 2 10 
c) 36 2 (12 1 10 2 15) 
d) (36 2 5) 2 (12 1 10) 
 37 Se Carlos tivesse mais 8 reais, poderia com-
prar um sorvete por 1 real, um sanduíche por 
8  reais e ainda lhe sobraria 1 real. Quantos 
reais Carlos tem? 
 38 Na caixa de entrada de seu e-mail, Pedro acu-
mulou 650 mensagens e deletou 288 delas. 
Dias depois, recebeu 740 novas mensagens, e 
ele apagou 1.000 mensagens.
a) Determine a expressão que corresponde a 
essa situação. 
b) Quantas mensagens ficaram na caixa de 
entrada de Pedro? 
A
LA
N
 C
A
R
V
A
LH
O
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 1 Usando os algarismos indo-arábicos, escreva 
os números que aparecem por extenso nas 
informações.
a) O rio Amazonas tem seis mil, novecentos e 
trinta e sete quilômetros de comprimento. 
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
C
A
R
LO
S
 F
A
B
A
L/
G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
Vista aérea do rio Amazonas (Amazonas). 
(Foto de 2017.)
b) Segundo estimativa do Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (IBGE), a popu-
lação da cidade de Belo Horizonte (MG), 
em 2017, seria de dois milhões, quinhentos 
e vinte e três mil, setecentos e noventa e 
quatro habitantes. 
 2 Considere os seguintes cartões:
1 6 7
Colocando os três cartões um ao lado do outro, 
de todos os modos possíveis, obtemos a repre-
sentação de seis números naturais. Determine:
a) o maior número encontrado; 
b) o menor número encontrado; 
c) o menor número que começa com o alga-
rismo 7; 
d) o maior número que começa com o alga-
rismo 6. 
 3 Um número tem dois algarismos. O algarismo 
das dezenas é o dobro do algarismo das uni-
dades.
a) Qual será o número se ele for menor que 40?
b) Qual será o número se ele for maior que 70?
 4 Ao formar números com os algarismos 0, 0, 0, 
1, 2, 2, 3, responda:
a) Qual é o menor número que pode ser for-
mado? 
b) Qual é o maior número que pode ser for-
mado? 
a) Nesse salário, qual é o valor posicional do 
algarismo 7 antes da medida provisória? 
E depois? 
b) Nesse salário, qual é o valor posicional do 
algarismo 4 depois da medida provisória? 
E antes? 
c) Pesquise com algum adulto da família (pais, 
tios, avós), com base na carteira profis-
sional deles, e registre em seu caderno as 
alterações de salário ocorridas com planos 
econômicos que mudaram o dinheiro no 
Brasil. 
 5 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Nu-
merou as páginas começando pelo 1.
a) Quantos algarismos ela escreveu? 
b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?
 6 Lúcia escreveu todos os números de dois 
algarismos; Paula escreveu todos os núme-
ros de dois algarismos distintos (diferentes); 
Rogério escreveu todos os números pares de 
dois algarismos; e Renato escreveu todos os 
números pares de dois algarismos distintos. 
Entre os cartões coloridos abaixo, aparecem 
as quantidades de números que cada um 
escreveu.
90814541 85 95
Descubra qual é o cartão de cada um.
 7 No Brasil, o dinheiro já teve outros nomes. Em 
julho de 1993, chamava-se cruzeiro. Nesse mês, 
o presidente Itamar Franco editou uma medida 
provisória criando o cruzeiro real: a quantia de 
1.000 cruzeiros passou a valer 1 cruzeiro real. 
Assim, um salário de 4.750.000 cruzeiros, que 
era pouco mais de um salário mínimo, passou 
para 4.750 cruzeiros reais, ou seja, foram tira-
dos três zeros do número anterior.
Nota de 500.000 cruzeiros.
A
C
E
R
V
O
 D
O
 B
A
N
C
O
 C
E
N
T
R
A
L 
D
O
 B
R
A
S
IL
Seu livro está organizado em 12 capítulos. A estrutura de cada capítulo é muito simples e 
permite localizar com facilidade os assuntos estudados, os exercícios e as seções enrique-
cedoras. Veja a seguir.
Página de abertura
O tema do capítulo é introduzido 
por meio de uma imagem 
motivadora e um breve texto.
Exercícios
O livro traz exercícios variados, organizados após os conteúdos na seção Exercícios 
Propostos e, ao final de cada capítulo, na seção Exercícios Complementares.Hora de criar – Atividades 
em que você elabora um 
problema com base no 
assunto estudado.
Apresentação 
dos conteúdos
Os conteúdos são 
apresentados 
em linguagem 
clara e objetiva e 
acompanhados 
de exemplos 
e ilustrações 
cuidadosamente 
elaborados.
No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados 
Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. 
O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas 
(pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com 
conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria).
Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e 
suas características.
3Estudando figuras geométricas
Capítulo
Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.)
M
IR
A
/A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
CAPÍTULO 3 73
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
38 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Os oceanos abrigam a maior diversidade da 
Terra. O Registro Mundial de Espécies Marinhas 
é um banco de dados com a listagem dos seres 
conhecidos nos oceanos. Por enquanto, a lista 
soma 224.804 espécies catalogadas, de um 
total de 240.867 conhecidas. (Dados obtidos 
em: Marine Species. Disponível em: <http://www.
marinespecies.org>. Acesso em: 20 jul. 2017.)
FA
B
IO
 C
O
LO
M
B
IN
I
JO
E
 Q
U
IN
N
/A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
0 22 01 0 5
N
E
LS
O
N
 
M
AT
S
U
D
A
2 Subtração
Acompanhe estas situações.
Em apenas 20 anos, a população de onças-pintadas caiu 90% no Parque 
Nacional do Iguaçu (ParNa), em Foz do Iguaçu (PR), área que protege uma ri-
quíssima biodiversidade da fauna e flora brasileiras. Segundo o Instituto para a 
Conservação dos Carnívoros Neotropicais (Pró-carnívoros), que trabalha com 
o monitoramento da espécie no Parque, as onças-pintadas foram reduzidas de 
100 indivíduos para 20 indivíduos. [...]
Entre as ameaças para garantir a espécie viva na reserva, o Instituto aponta a 
falta de investimentos em estrutura e fiscalização, a caça predatória e de retaliação 
e a possibilidade de reabertura da Estrada do Colono.
Na Mata Atlântica, a estimativa é de que existam apenas 250 onças-pintadas, 
maior felino do continente americano e maior predador terrestre do Brasil. 
A perda do hábitat natural da espécie em razão do desmatamento para dar lugar 
a atividades agropecuárias ou pastagens nativas é crítica para o animal.
Fonte: WWF-BRASIL APOIA monitoramento de onças-pintadas no Parque 
Nacional de Iguaçu. WWF-Brasil. Disponível em: <http://www.wwf.org.br/
wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque-
nacional-de-iguau>. Acesso em: 06 jul. 2017. 
Com os dados obtidos no texto acima, é possível descobrir quanto diminuiu a população de 
onças-pintadas do Parque Nacional do Iguaçu em 20 anos. Para isso, devemos tirar do total 
de indivíduos que existiam há 20 anos o total de indivíduos que existem hoje.
Logo, foram reduzidas 80 onças-pintadas.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Colônia de corais em um recife de Aruba (Caribe). 
Onças-pintadas, Manaus 
(Amazonas).
Situação 1
Situação 2
Total de indivíduos 
há 20 anos
minuendo
100
Total de indivíduos 
atualmente
subtraendo
20
Redução do total 
de indivíduos
diferença ou resto
802 5 Rep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
124 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA
1 Ponto, reta e plano
O ponto, a reta e o plano são noções aceitas sem definição na Geometria, por isso são 
chamadas noções primitivas. Elas podem ser associadas, de maneira intuitiva, a diferentes 
coisas que nos rodeiam. 
P
R
O
C
Y
/S
H
U
T
T
E
R
S
TO
C
K
Z
H
Y
K
O
V
A
/S
H
U
T
T
E
R
S
TO
C
K
E
D
U
A
R
D
O
 T
A
V
A
R
E
S
Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho de água do lago dão a ideia das noções 
primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, respectivamente.
Cada estrela que vemos no céu dá a ideia de um ponto. Um raio de luz dá a ideia de uma reta.
O espelho de água dá a ideia de plano. Parque Farroupilha, Porto Alegre (Rio Grande do Sul). (Foto de 2017.)
Determine a expressão correspondente a 
 Qual é o valor dessa expressão? 
 A que altura se encontra esse alpinista?
Hora de criar – Pense em um número de três 
algarismos e escreva esse número por meio 
de uma soma de quatro números. Substitua 
dois desses quatro números por diferenças 
de outros números. Troque com um colega 
essas expressões numéricas criadas por 
vocês. Depois de cada um calcular o valor 
da expressão do outro, destroquem para 
corrigi-las.
c) A que altura se encontra esse alpinista?
 40 Hora de criar – Pense em um número de três 
algarismos e escreva esse número por meio 
de uma soma de quatro números. Substitua 
dois desses quatro números por diferenças 
de outros números. Troque com um colega 
essas expressões numéricas criadas por 
vocês. Depois de cada um calcular o valor 
da expressão do outro, destroquem para 
c) A que altura se encontra esse alpinista?
 40 Hora de criar – Pense em um número de três 
algarismos e escreva esse número por meio 
de uma soma de quatro números. Substitua 
dois desses quatro números por diferenças 
de outros números. Troque com um colega 
essas expressões numéricas criadas por 
vocês. Depois de cada um calcular o valor 
da expressão do outro, destroquem para 
http://www.marinespecies.org
http://www.wwf.org.br/wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque-nacional-de-iguau
http://www.wwf.org.br/wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque-nacional-de-iguau
5
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
DIVERSIFICANDO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
308 CAPÍTULO 11 COMPRIMENTOS E ÁREAS 
 1 No tangram, são necessários quatro triângulos pequenos para compor um triângulo grande. Já para 
compor o quadrado, o paralelogramo ou o triângulo médio, são necessários dois triângulos pequenos. 
 Sabendo disso e tomando como unidade de medida de área o triângulo menor, qual é a área do qua-
drado formado pelas sete peças? E das figuras ao lado do quadrado? 
 2 Se a unidade de medida de área fosse o quadrado menor, qual seria a área de uma figura construída 
com as sete peças do tangram? 
 3 Forme um grupo com três colegas. Em uma cartolina, desenhem as peças do tangram e recortem-nas 
para formar uma das figuras abaixo. Utilizem todas as peças sem sobrepor nenhuma. 
 4 Ainda em grupo, usem a imaginação, inventem uma figura e troquem com outro grupo. Não se es-
queçam de fazer um esquema da composição da figura que vocês inventaram. 
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
Tangram
O tangram é um antigo quebra-cabeça de ori-
gem chinesa composto de sete peças: cinco 
triângulos retângulos isósceles (dois triângulos 
pequenos, um médio e dois grandes), um qua-
drado e um paralelogramo. 
Com esse quebra-cabeça, é possível formar 
milhares de figuras diferentes.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
Diversificando
Esta seção oferece a você a 
oportunidade de entrar em 
contato com temas variados, 
em diferentes contextos e 
áreas do saber.
Para saber mais
É uma seção que 
traz textos sobre 
Geometria e 
História da 
Matemática 
para enriquecer 
e explorar diversos 
conteúdos 
matemáticos 
estudados.
Ícones da coleção
 Atividade em dupla 
ou em grupo
 Cálculo mental
 Calculadora
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
194 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Junte-se a um colega e façam o que se pede.
1. Efetuem as multiplicações das fichas e comparem os resultados.
a) 8 8 884
3
3
5
3
3
4
5
1
1
4
5
4
1
1
5
 
b) 8 8 883
8
4
5
4
8
3
5
1
2
3
5
3
2
1
5
 
c) 8 8 8 8 8 8 8 83
5
5
2
2
7
5
5
2
2
3
7
1
1
1
1
3
7
3
1
1
1
1
7
 
2. A professora pediu aos alunos que calculassem o 
valor da expressão 883
55
5
13
26
7 .
 � Fábio multiplicou todos os numeradores e, depois, 
todos os denominadores. Em seguida, simplificou o 
resultado dividindo o numerador e o denominador 
por 5 e então por 13.
. .8 8 8 8
8 8
3
55
5
13
26
7
3 5 26
55 13 7
390
5 005
78
1 001
6
77
5 5 5 5
 � Débora, antes de multiplicar, dividiu por 5 o numerador 55 e o denominador 5, dividiu por 
13 o numerador 13 e o denominador 26 (ela registrou esse procedimento com traços sobre 
os números divididos). Em seguida, multiplicou todos os novos numeradores e todos os 
novos denominadores:
8 8 8 8 8 83
55
5
13
26
7
3
55
5
13
26
7
3
11
1
1
2
7
6
77
5 5 5
11
1
1
2
Discutam e respondam: qual é o procedimento mais prático, o de Fábio ou o de Débora?
3. Calculem, pelo procedimento de Débora, o valor da expressão: 
8 89
4
15
21
16
10
4. Calculem, da maneira que acharem mais prática, os produtos a seguir.
a) 8
8
3
3
8 b) 8
9
1 9 c) 8
6
7
7
6 d) 812 12
1 
Quando os números racionais são inversos
Observe as frações a seguir.
 � 5
2
2
5e � 3
1 3e � 7
4
4
7e � 8 8
1e
Uma fração tem como numerador o denominador da outra e como denominador o nume-
rador da outra.
Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que um desses números 
é o inverso do outro. Esses números são chamados de números inversos. 
D
A
N
IE
L 
Z
E
P
P
O
Pense mais um pouco...
Propõe atividades desafiadoras 
que permitem aprofundar 
conteúdos ao longo do 
capítulo.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
26 27CAPÍTULO 1 NÚMEROS CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Construindo tabelas
Artur Ávila foi o primeiro matemático brasileiro a ganhar a Me-
dalha Fields, o prêmio mais importante dessa área, geralmente 
comparado ao Prêmio Nobel.
A Medalha Internacional 
de Descobrimentos Proe-
minentes em Matemática, 
conhecida popularmente 
como Medalha Fields, é 
concedida a dois, três ou 
quatro matemáticos com 
idade máxima de 40 anos.
Desde que foi instituída pelo matemático canadense John 
Charles Fields, em 1936, essa medalha tem sido entregue a 
cada quatro anos a jovens matemáticos que tenham grandes 
destaques em suas pesquisas.
Em 2014, três outros matemáticos também foram premiados: 
a iraniana Maryam Mirzakhani, a primeira mulher condecorada, o 
canandense Manjul Bhargava e o austríaco Martin Hairer. 
De maneira aleatória, as Medalhas Fields distribuídas até 2014 
estão listadas abaixo, de acordo com os países de naturalidade 
dos condecorados.
Artur Ávila, primeiro brasileiro a ser 
condecorado com a Medalha Fields. 
(Foto de 2011.)
A iraniana Maryam Mirzakhani foi 
a primeira mulher a ganhar uma 
Medalha Fields. (Foto de 2014.)
Frente e verso da Medalha Fields. 
(Foto de 2007.)
Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática 
para sabermos quantas Medalhas Fields foram concedidas a cada país. Organizando as informações 
em uma tabela, a análise dos dados será mais fácil. Para isso, inicialmente, podemos percorrer a 
lista e atribuir um traço para cada vez que cada país aparece.
LI
G
IA
 D
U
Q
U
E
A
N
D
R
E
 V
A
LE
N
T
IM
/A
B
R
IL
 
C
O
M
U
N
IC
A
Ç
Õ
E
S
 S
/A
LE
E
 Y
O
U
N
G
 H
O
/A
P
/G
LO
W
 IM
A
G
E
S
S
T
E
FA
N
 Z
A
C
H
O
W
 –
 IN
T
E
R
N
AT
IO
N
A
L 
M
AT
H
E
M
AT
IC
A
L 
U
N
IO
N
, B
E
R
LI
M
 
EUA Bélgica Noruega França EUA Reino Unido EUA
Ucrânia Finlândia EUA Rússia Itália França Rússia
Japão Reino Unido Suécia Japão EUA Reino Unido Irã
Rússia França Rússia EUA França Alemanha Nova Zelândia
França Rússia EUA França Áustria Austrália EUA
Canadá EUA Japão África do Sul Rússia França Israel
EUA França Brasil EUA EUA Bélgica China
Reino Unido Vietnã França Rússia Reino Unido Rússia França
Essa tabela tem como título Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos 
matemáticos premiados até 2014, além de duas colunas (divisões na vertical) e oito linhas (divi-
sões na horizontal).
Na 1a linha, são apresentados:
• na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, o país de naturalidade dos ganhadores 
das Medalhas Fields);
• na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de 
Medalhas Fields conquistadas por país).
Da 2a à 8a linha são especificados:
• na coluna da esquerda, alguns países de naturalidade dos ganhadores e a categoria “Outros”;
• na coluna da direita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada país e à categoria 
“Outros”.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
Observe que na 
categoria “Outros” 
agrupamos os países 
que ganharam apenas 
uma Medalha Fields.
Distribuição de Medalhas Fields por país de 
naturalidade dos matemáticos premiados até 2014
País de naturalidade Quantidade de Medalhas Fields conquistadas
EUA 12
Bélgica 2
França 10
Japão 3
Reino Unido 5
Rússia 8
Outros (16 países) 16
 1 Cada aluno da classe de Enrico escreveu no quadro sua fruta preferida.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Com base nas informações do quadro, construa uma tabela. Não se esqueça de dar um título à tabela 
e de identificar a categoria dos dados e os dados obtidos. Agora, responda:
a) Quantos alunos têm seriguela como fruta preferida? 
b) Qual fruta é apontada como a preferida dos alunos da classe de Enrico? 
c) Quantos alunos preferem caju a outras frutas? 
d) Qual fruta tem a maior preferência: jabuticaba ou morango? 
 2 Faça uma pesquisa com os alunos da classe sobre o animal de estimação preferido e organize os 
dados obtidos em uma tabela. Compare a tabela construída por você com a de outros colegas. Há 
diferenças entre as tabelas construídas? Justifique.
LI
G
IA
 D
U
Q
U
E
Dados obtidos 
em: IMU. 
Disponível em: 
<https://www.
mathunion.org/
imu-awards/fields-
medal>. Acesso em: 
27 mar. 2018.
Trabalhando a informação
Esta seção permite que você 
trabalhe com informações 
apresentadas em diferentes 
linguagens.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
“Tique-taque, tique-taque. Relógios de pa-
rede, de pulso, de bolso, de pilha etc. Nos dias 
de hoje, somando os modelos novos e os anti-
gos, caros e baratos, simples e complexos, são 
produzidos cerca de um bilhão de relógios por 
ano, em todo o mundo! [...] Olhando para um 
modelo tradicional, vemos que o movimento dos 
ponteiros tem uma direção (sempre para direita) 
e que esse movimento obedece a ritmos bem 
definidos (os segundos, os minutos e as horas). 
Você já deve ter estudado que precisamos de 
60 segundos para formar um minuto (o ritmo 
do ponteiro maior), da mesma forma como 
precisamos de 60 minutos para formar uma hora 
(o ritmo do ponteiro menor). Para completar 
um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o 
ponteiro menor percorra duas vezes (12 1 12) 
a sequência das horas.
Utilizando outros agrupamentos
Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10 
em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamen-
tos,como é o caso dos minutos e dos segundos.
Como os ponteiros de um relógio, todos os fe-
nômenos que começam num ponto e a eles retor-
nam, repetindo o seu movimento, formam o que 
chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as 
fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova), 
as estações do ano (primavera, verão, outono, in-
verno). [...] esses ciclos, observados na natureza, 
ajudaram os homens a contar a duração do tempo, 
criando medidas como o dia de 24 horas, o mês de 
30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram 
com que muitas pessoas, em diferentes épocas e 
lugares, acreditassem que os acontecimentos de 
suas vidas e os acontecimentos da história dos 
povos também pudessem se repetir, exatamente 
como os fenômenos observados na natureza.”
Fonte: TURAZZI, Maria Inez; GABRIEL, 
Carmen Teresa. Tempo e história. 
São Paulo: Moderna, 2000.
Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta 
completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para 
outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o 
ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou.
Ao acordar, Lucas lembrou que 
seu relógio de pulso estava atrasado 
em relação ao relógio digital do des-
pertador. Veja abaixo o que marcava 
cada relógio e descubra em quantos 
minutos o relógio de pulso de Lucas 
estava atrasado.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
PARA SABER MAIS
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
6
SUMÁRIO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAPÍTULO 1 Números 11
1. Para que servem os números? .................................................................................. 12
2. Sistemas de numeração .............................................................................................. 12
Sistema egípcio de numeração ................................................................................. 13
Sistema babilônico de numeração ........................................................................... 13
Sistema romano de numeração ................................................................................ 14
Sistema de numeração indo-arábico ....................................................................... 16
Para saber mais – Utilizando outros agrupamentos ............................................. 20
3. Números naturais ........................................................................................................... 22
Comparando números naturais ................................................................................. 23
Reta numérica ................................................................................................................... 24
Trabalhando a informação – Construindo tabelas ................................................. 26
Diversificando – Quando a base é outra ...................................................................... 29
CAPÍTULO 2 Operações com números naturais 30
1. Adição .................................................................................................................................. 31
Para saber mais – Arredondar para fazer estimativas ......................................... 33
Propriedades da adição................................................................................................. 34
Para saber mais – Quadrado mágico ............................................................................. 36
2. Subtração ........................................................................................................................... 38
3. Adição e subtração ........................................................................................................ 40
Trabalhando a informação – Interpretando um gráfico de colunas .............. 42
Adicionando e subtraindo mentalmente ............................................................... 44
Expressões numéricas com adições e subtrações ........................................... 45
4. Multiplicação .................................................................................................................... 47
Outra ideia associada à multiplicação .................................................................... 50
Para saber mais – Multiplicação hindu ......................................................................... 53
Propriedades da multiplicação ................................................................................... 54
5. Divisão ................................................................................................................................. 58
Propriedade fundamental da divisão ...................................................................... 60
Dividindo mentalmente ................................................................................................. 62
6. Expressões numéricas envolvendo as quatro operações ............................. 63
7. Potenciação ...................................................................................................................... 64
Quadrado de um número .............................................................................................. 65
Cubo de um número ....................................................................................................... 65
Potências de expoente zero, de expoente 1 e de base 10 ............................ 65
Números quadrados perfeitos ................................................................................... 67
8. Radiciação .......................................................................................................................... 68
Trabalhando a informação – Interpretando um gráfico de barras ................. 70
Diversificando – Relações algébricas no quadrado mágico............................... 72
CAPÍTULO 3 Estudando figuras geométricas 73
1. Um pouco de história .................................................................................................... 74
2. Figuras planas e não planas ....................................................................................... 75
3. Os sólidos geométricos ................................................................................................ 76
Corpos redondos e poliedros ...................................................................................... 77
4. Conhecendo um pouco mais os poliedros ............................................................ 79
Elementos de um poliedro ........................................................................................... 79
Nomeando poliedros ...................................................................................................... 79
Trabalhando a informação – Lendo embalagens .................................................... 82
Diversificando – Ampliar e reduzir .................................................................................. 84
B
O
B
 M
AT
IN
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
LU
C
A
S
 U
E
B
E
L/
G
E
T
T
Y
 
IM
A
G
E
S
M
IR
A
/A
LA
M
Y
/F
O
TO
A
R
E
N
A
7
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAPÍTULO 4 Divisibilidade 85
1. Múltiplos e divisores ..................................................................................................... 86
Os múltiplos de um número ........................................................................................ 88
Os divisores de um número ......................................................................................... 90
Para saber mais – Sequências numéricas ..................................................................92
2. Critérios de divisibilidade ........................................................................................... 94
Divisibilidade por 2 .......................................................................................................... 94
Divisibilidade por 5 .......................................................................................................... 94
Divisibilidade por 10 ....................................................................................................... 95
Divisibilidade por 3 .......................................................................................................... 96
Divisibilidade por 6 .......................................................................................................... 97
Divisibilidade por 9 .......................................................................................................... 98
Divisibilidade por 4 .......................................................................................................... 99
3. Números primos .............................................................................................................. 101
Decomposição em fatores primos ............................................................................ 102
Para saber mais – mdc e mmc .......................................................................................... 104
Trabalhando a informação – Construindo um gráfico de barras ..................... 106
CAPÍTULO 5 Um pouco de Álgebra 109
1. Apresentando a variável ............................................................................................. 110
2. Generalizando conclusões .......................................................................................... 112
3. Critérios de divisibilidade ........................................................................................... 113
Trabalhando a informação – Construindo um gráfico de colunas .................. 116
4. Propriedades da igualdade ......................................................................................... 118
Para saber mais – A temperatura e a Álgebra.......................................................... 119
Diversificando – Desafiando a sua inteligência ....................................................... 122
CAPÍTULO 6 Um pouco de Geometria plana 123
1. Ponto, reta e plano ........................................................................................................ 124
O ponto e a reta ............................................................................................................... 125
O plano ................................................................................................................................. 126
2. Posições relativas de duas retas em um plano ................................................. 127
3. Semirreta e segmento de reta .................................................................................. 129
Semirreta ............................................................................................................................ 129
Segmento de reta ........................................................................................................... 130
Medida de um segmento de reta .............................................................................. 132
Para saber mais – Ilusão de óptica ................................................................................. 135
4. Ângulos ............................................................................................................................... 135
Ângulo e giro ..................................................................................................................... 137
Medida de um ângulo ..................................................................................................... 138
Construção de um ângulo com o transferidor ..................................................... 141
Tipos de ângulo ................................................................................................................ 142
Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas ........................... 144
Para saber mais – Retas perpendiculares e retas paralelas 
traçadas com o uso de software .................................................................................... 145
Z
IM
M
Y
T
W
S
/IS
TO
C
K
 P
H
O
TO
S
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
Z
IM
M
Y
T
W
S
/IS
TO
C
K
 P
H
O
TO
S
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
R
A
IM
U
N
D
 F
R
A
N
K
E
N
/
G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
K
U
M
I Y
A
M
A
S
H
IT
A
. A
C
E
R
V
O
 
D
A
 A
R
T
IS
TA
 –
 N
E
W
 Y
O
R
K
8
CAPÍTULO 7 Números racionais na forma de fração 148
1. Os números com os quais convivemos .................................................................. 149
2. Número racional e a fração que o representa .................................................... 150
Como se leem as frações ............................................................................................. 151
Algumas situações que envolvem números racionais 
na forma de fração ......................................................................................................... 152
A forma percentual ........................................................................................................ 155
3. A fração também pode representar um quociente ......................................... 156
Como trabalhar com a divisão e a forma mista................................................... 158
4. A fração como razão...................................................................................................... 160
Trabalhando a informação – Porcentagem nas ondas do rádio ...................... 162
5. Frações equivalentes .................................................................................................... 165
Como obter frações equivalentes ............................................................................ 165
6. Simplificação de frações ............................................................................................. 167
Trabalhando a informação – Interpretando um gráfico de setores ............... 169
7. Comparação de números escritos na forma de fração .................................. 171
 Operações com números racionais 
na forma de fração 176
CAPÍTULO 8
1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador .......................... 177
Trabalhando a informação – Operando com porcentagens .............................. 182
2. Adição e subtração com frações de denominadores diferentes ............... 183
3. Multiplicação .................................................................................................................... 188
Quando um dos fatores é um número natural ..................................................... 188
Quando os dois fatores são escritos na forma de fração ............................... 191
Quando os números racionais são inversos.......................................................... 194
4. Divisão ................................................................................................................................. 195
Quando o divisor é um número natural ................................................................... 195
Quando o dividendo é um número natural ............................................................ 197
Quando a divisão envolve números racionais na forma de fração .............. 198
5. Potenciação ...................................................................................................................... 200
6. Expressões numéricas ................................................................................................. 202
Trabalhando a informação – Calculando probabilidades .................................... 205
 Números racionais na forma decimale operações 207
CAPÍTULO 9
1. Números com vírgula .................................................................................................... 208
2. As frações decimais e a representação na forma decimal .......................... 209
3. Números na forma decimal ........................................................................................ 211
Como se leem os números escritos na forma decimal .................................... 212
4. Representações decimais equivalentes ............................................................... 215
5. Comparação de números racionais na forma decimal ................................... 216
6. Reta numérica .................................................................................................................. 218
B
R
IT
IS
H
 A
N
TA
R
T
IC
 
S
U
R
V
E
Y
/A
F
P
M
A
R
T
IN
 K
O
N
O
P
K
A
/E
Y
E
E
M
/ 
G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
S
O
N
IA
 V
A
Z
 S
O
B
R
E
 IM
A
G
E
M
 
D
E
 N
AT
IO
N
A
L 
O
C
E
A
N
IC
 A
N
D
 
AT
M
O
S
P
H
E
R
IC
 A
D
M
IN
IS
T
R
AT
IO
N
/
S
C
IE
N
C
E
 S
O
U
R
C
E
/F
O
TO
A
R
E
N
A
Bioma
Caatinga
Bioma
Pampa
Bioma
Mata
Atlântica
Bioma Amazônia
Bioma
Cerrado
Bioma
Ambientes
Marinhos
Bioma
Pantanal
OCEANO 
ATLÂNTICO 
OCEANO 
PACÍFICO 
50º O
EQUADOR
0º
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO
BRASIL — DIVISÃO POR BIOMAS
9
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
7. Adição e subtração ........................................................................................................ 219
8. Multiplicação por potências de 10 ......................................................................... 223
9. Multiplicação .................................................................................................................... 225
10. Divisão por uma potência de 10 ............................................................................... 228
11. Divisão ................................................................................................................................. 230
Divisão de números naturais com quociente na forma decimal .................. 230
Divisão de números naturais com quociente aproximado .............................. 232
Divisão de dois números na forma decimal .......................................................... 234
Trabalhando a informação – Trabalhando com média ......................................... 238
12. Potenciação ...................................................................................................................... 239
13. Expressões numéricas e problemas ....................................................................... 240
14. Representação decimal de frações ........................................................................ 242
15. Porcentagem .................................................................................................................... 244
CAPÍTULO 10 Polígonos e poliedros 248
1. Linhas poligonais ............................................................................................................ 249
Interior, exterior e convexidade ................................................................................. 250
2. Polígonos ............................................................................................................................ 252
Elementos de um polígono .......................................................................................... 254
Classificação dos polígonos ........................................................................................ 256
3. Triângulos .......................................................................................................................... 257
Elementos de um triângulo ......................................................................................... 257
Classificação dos triângulos ....................................................................................... 257
Construção de triângulos............................................................................................. 258
Para saber mais – Uma propriedade importante dos triângulos .................... 260
4. Quadriláteros.................................................................................................................... 262
Classificação dos quadriláteros ................................................................................ 262
5. O conceito de par ordenado ....................................................................................... 264
Representação geométrica de pares ordenados ............................................... 266
6. Planificação da superfície dos poliedros.............................................................. 268
Classificação dos poliedros ......................................................................................... 268
Planificações ..................................................................................................................... 268
Para saber mais – Ladrilhamento .................................................................................... 270
Trabalhando a informação – A probabilidade das cores ..................................... 271
7. Prismas ................................................................................................................................ 272
Classificação dos prismas ........................................................................................... 272
Paralelepípedo reto-retângulo: um sólido especial ........................................... 274
8. Pirâmides ............................................................................................................................ 276
Classificação das pirâmides ........................................................................................ 276
Diversificando – Poliedros com massinha .................................................................. 278
CAPÍTULO 11 Comprimentos e áreas 279
1. Conhecendo algumas unidades de medida de comprimento ..................... 280
2. Metro, seus múltiplos e submúltiplos ................................................................... 283
Transformação de unidades de medida ................................................................. 285
3. Perímetro ........................................................................................................................... 288
4. Medindo superfícies ...................................................................................................... 290
Para saber mais – Planta baixa de uma casa ............................................................ 292
W
A
S
S
IL
Y
 K
A
N
D
IN
S
K
Y.
 
C
O
LE
Ç
Ã
O
 S
O
LO
M
O
M
 R
/
M
U
S
E
U
 G
U
G
G
E
N
H
E
IM
, 
N
O
V
A
 Y
O
R
K
É
B
E
R
 E
V
A
N
G
E
LI
S
TA
Baleia jubarte
Baleia orca
Baleia beluga
Cachalote 50
toneladas
40
toneladas
9
toneladas
1,3
tonelada
10
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
5. Metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos .............................................. 293
Transformação de unidades de medida ................................................................. 296
6. Medidas agrárias ............................................................................................................. 300
7. Área da superfície retangular ................................................................................... 302
Área de um quadrado .................................................................................................... 304
Para saber mais – Pesquisando no geoplano............................................................ 305
Diversificando– Tangram ................................................................................................... 308
CAPÍTULO 12 Outras unidades de medida 309
1. Unidades de medida de tempo ................................................................................. 310
2. Volume ................................................................................................................................. 313
3. Unidades de medida de capacidade ....................................................................... 315
Transformação de unidades de medida ................................................................. 317
4. Medindo a massa de um corpo ................................................................................. 320
Unidades de medida de massa .................................................................................. 320
Transformação de unidades de medida ................................................................. 323
Unidades de medida de massa usadas no comércio atacadista ................. 325
Para saber mais – Estimativas e medidas .................................................................. 328
Respostas ................................................................................................................................... 330
Lista de siglas .......................................................................................................................... 335
Sugestões de leitura para o aluno ................................................................................ 335
Bibliografia ................................................................................................................................ 336
E
A
S
Y
F
O
TO
S
TO
C
K
/E
A
S
Y
P
IX
 B
R
A
S
IL
11BIMESTRE 1
Material Digital 
Audiovisual
• Vídeo: A contagem 
do rebanho
Orientações para o 
professor acompanham 
o Material Digital 
Audiovisual
A seleção brasileira foi tetracampeã no futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio, 
em 2016.
O futebol de cinco é uma modalidade de futebol praticada por deficientes visuais, exceto 
os goleiros, e exige silêncio das arquibancadas. Isso porque a bola tem guizos internos, que 
sinalizam a posição exata dela para os jogadores. Um guia (chamador), posicionado atrás do 
gol adversário, orienta os jogadores de ataque de sua equipe.
A quadra do futebol de cinco tem comprimento de 38 a 42 metros e largura de 18 a 
22 metros. Cada partida tem dois tempos com duração de 25 minutos cada um.
1Números
Capítulo
Brasil vence o Irã na final do futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, no Rio de Janeiro.
B
O
B
 M
AT
IN
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
11CAPÍTULO 1
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer os significados 
dos números naturais em 
diferentes contextos.
• Conhecer outros sistemas 
de numeração (egípcio, 
babilônico e romano).
• Conhecer a origem do sis-
tema de numeração indo-
-arábico.
• Compreender o sistema de 
numeração decimal, iden-
tificando o conjunto de 
regras e símbolos que o ca-
racterizam.
• Praticar a leitura e a escrita 
dos números naturais.
• Comparar números natu-
rais, assim como reconhe-
cer sucessor e antecessor 
de qualquer um deles.
• Iniciar a construção de ta-
belas como maneira de 
organizar, representar e 
interpretar dados.
Orientações gerais 
Nesse primeiro contato mais 
formal com o mundo nu-
mérico, é importante que 
o professor trabalhe com 
os alunos a ideia da grande 
presença e importância dos 
números em nosso dia a dia.
Os alunos deverão ter uma 
noção clara dos diferentes 
empregos da numeração, 
nas situações de quantifica-
ção (contagem), medição, 
codificação e ordenação.
O texto da abertura suge-
re alguns elementos para 
iniciar uma discussão sobre 
esse tema. Destaque com os 
alunos os números do tex-
to, registrando-os na lousa, 
e converse com eles sobre 
o uso desses números. Por 
exemplo: 
• 2016 – refere-se a determi-
nado ano, ou seja, indica 
uma medida de tempo;
• futebol de cinco – nesse 
caso, o 5 faz parte do nome 
da modalidade, tem o papel 
de um código, embora tam-
bém faça alusão ao total 
de jogadores de cada time 
e, desse modo, indica uma 
quantidade (contagem);
• 38 a 42 metros, 18 a 22 me-
tros, 25 minutos – referem-
-se a medidas de compri-
mento e de tempo.
12
Para que servem os 
números?
É importante recorrer ao 
máximo às situações cotidia-
nas em que os números este-
jam presentes. Uma maneira 
simples e eficiente de discu-
tir isso com a classe é suge-
rir aos alunos que relatem 
a rotina de um dia comum, 
tentando detectar todas as 
ações em que os números, 
de maneira direta ou indire-
ta, são relevantes: o horário 
de acordar; o cálculo auto-
mático (e quase inconscien-
te) para as ações de levantar 
da cama e caminhar até o 
banheiro, por exemplo; a 
quantidade de creme dental 
que se coloca na escova de 
dentes ou a quantidade de 
água que se usa na higiene 
pessoal; o cálculo do tempo 
de que dispomos para nos 
vestir, tomar café da manhã 
e nos preparar para as ações 
fora de casa etc.
Outro recurso de fácil acesso 
é a pesquisa de números em 
mídias diversas, como livros, 
jornais, revistas, televisão ou 
internet. Na própria sala de 
aula, certamente é possível 
explorar a presença de nú-
meros variados.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que 
prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas prin-
cipais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números 
naturais e números racionais em sua representação decimal.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
12 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
1 Para que servem os números?
Ao observar o mundo que nos cerca, percebemos que é difícil encontrar uma situação que 
não esteja direta ou indiretamente relacionada com números. 
Na situação apresentada na página anterior, os números são empregados para:
 � contar, por exemplo, quantos atletas participaram da prova, qual foi o placar ou quantas 
pessoas assistiram à partida;
 � medir, por exemplo, o tamanho da quadra ou o tempo total da partida;
 � codificar, por exemplo, o número do uniforme dos atletas;
 � ordenar, por exemplo, qual equipe ficou em primeiro, em segundo ou em quarto lugar.
Hoje, contamos e registramos quaisquer quantidades com símbolos e regras estabelecidos, 
mas isso nem sempre foi assim. Na Antiguidade, os seres humanos utilizavam muitas formas 
para contar e registrar quantidades.
Com a ajuda da Arqueologia, ciência que estuda os costumes e a cultura de povos antigos 
por meio dos vestígios (artefatos, monumentos, fósseis) foram encontradas, em muitas es-
cavações, marcas em paredes de cavernas, em ossos de animais e em gravetos que sugerem 
formas primitivas de contagem.
Sem dúvida, podemos dizer que a ideia de número acompanha a humanidade desde a An-
tiguidade.
O osso de Ishango é uma ferramenta que data do Paleolítico Superior, aproximadamente entre 
20000 e 18000 a.C. Esse objeto consiste em um longo osso castanho (a fíbula de um babuíno) que 
tem um pedaço pontiagudo de quartzo incrustado em uma de suas extremidades, possivelmente 
utilizado para gravar ou escrever.
R
O
YA
L 
B
E
LG
IA
N
 IN
S
T
IT
U
T
E
 O
F
 
N
AT
U
R
A
L 
S
C
IE
N
C
E
S
, B
R
U
S
S
E
LS
2 Sistemas de numeração
Demorou muito para chegarmos à escrita numérica empregada atualmente. Os povos 
substituíram as antigas formas de registro por símbolos e regras que pudessem representar 
os números. Esse conjunto de símbolos e regras é chamado de sistema de numeração.
Algumas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. No quadro a 
seguir, é possível comparar a escrita de 1 a 10, em alguns desses sistemas, com a escrita 
que vocêconhece.
13BIMESTRE 1
Sistemas de 
numeração
Na apresentação dos mais 
conhecidos sistemas de nu-
meração elaborados pelo ser 
humano, pode-se aproveitar 
a oportunidade para discutir 
a importância do conheci-
mento dos fatos históricos es-
senciais que nortearam o de-
senvolvimento das ciências 
e das civilizações, introdu-
zindo as primeiras reflexões 
sobre os percursos que con-
duziram ao atual estágio do 
conhecimento e incentivan-
do os alunos a comparações 
significativas.
Reúna os alunos em gru-
pos de 3 e peça a eles que 
destaquem as principais di-
ferenças entre os sistemas 
de numeração egípcio e 
babilônico. Depois, os gru-
pos podem apresentar suas 
conclusões para os outros 
grupos. Pode-se fazer um 
fechamento registrando na 
lousa a conclusão da turma.
Espera-se que os alunos 
percebam diferenças entre 
os sistemas, como o tipo 
de agrupamento utilizado 
(egípcio: decimal, babilôni-
co: sexagesimal) e a posição 
dos símbolos (egípcio: não 
posicional, babilônico: posi-
cional “rudimentar”).
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
13CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Sistema egípcio
Sistema babilônico
Sistema romano
Sistema chinês
Sistema maia
Nosso sistema 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vamos conhecer um pouco mais sobre alguns desses sistemas de numeração.
Sistema egípcio de numeração
Observe mais alguns símbolos do sistema egípcio e os valores que eles representam.
haste calcanhar corda enrolada flor de lótus dedo indicador peixe ou girino homem ajoelhado
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
23 110 432 1.666 3.210
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Segundo esse sistema, deviam ser obedecidas as seguintes regras:
 � cada símbolo podia ser repetido até nove vezes;
 � a ordem de escrita dos símbolos não era importante, pois seus valores eram somados.
Veja alguns exemplos.
Sistema babilônico de numeração
Os símbolos usados no sistema babilônico, conhecidos por sím-
bolos cuneiformes, graças à forma de cunha, eram impressos com 
estilete em placas de barro que, após a impressão, eram cozidas.
Nesse sistema, também existiam algumas regras a serem 
seguidas:
 � o cravo ( ) podia ser repetido até nove vezes para repre-
sentar números de 1 a 9;
 � a asna ( ) representava o número dez e podia ser repetida 
até cinco vezes.
Tábua (1800 a.C. a 1600 a.C.) 
com escrita cuneiforme da antiga 
Mesopotâmia.
G
. D
A
G
LI
 O
R
T
I/A
LB
U
M
/F
O
TO
A
R
E
N
A
 –
 M
U
S
E
U
 D
O
 
LO
U
V
R
E
, P
A
R
IS
14
Sistema romano de 
numeração
Inicialmente, explore o sis-
tema romano de numeração 
com indagações para veri-
ficar o que os alunos já co-
nhecem dele, por exemplo:
• Vocês sabem quais são os 
símbolos usados na nume-
ração romana?
• Quais são as letras princi-
pais para a composição de 
um número na numeração 
romana?
• Há símbolos que podem se 
repetir? Quais?
• Vocês sabem como escre-
ver os números 4, 6, 9, 40, 
60, 90, 400, 600 e 900 na 
numeração romana?
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
14 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Veja alguns exemplos de escrita no sistema babilônico de numeração.
1 # 101 # 60
70
241 # 60 1 1 1 1
84
2 # 60 42
162
1 # 60 1 # 1
61
Com esses dois símbolos ( e ), os babilônios representavam até o número 59. Para quan-
tidades maiores que 59, contava-se em grupos de 60, com os símbolos separados por um 
espaço, pois nessa escrita a posição dos símbolos era importante. Veja.
24
2 # 10 1 4 # 1
42
4 # 10 1 2 # 1
59
5 # 10 1 9 # 1
Muitas escritas numéricas babilônicas deixaram dúvidas, pois podia representar 1 ou 60. 
Hoje, em casos assim, os estudiosos da história da Matemática levam em consideração o 
contexto dos documentos para decifrar a quantidade representada.
Sistema romano de numeração
A representação de números adotada pelos romanos foi, durante muitos séculos, a mais 
utilizada na Europa. Essa representação era feita por meio de letras maiúsculas do próprio 
alfabeto romano.
O quadro abaixo mostra os símbolos empregados no sistema romano e seus respectivos 
valores no nosso sistema de numeração.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1.000
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Para representar um número, uma letra é escrita ao lado da outra, obedecendo às regras:
 � Quando uma letra é escrita à direita de outra, de valor igual ou maior, adicionam-se os 
valores. Veja alguns exemplos.
a) VII 5 5 1 2 5 7
b) XV 5 10 1 5 5 15
c) XX 5 10 1 10 5 20
d) CLXXI 5 100 1 50 1 10 1 10 1 1 5 171
 � Somente as letras I, X, C e M podem ser repetidas, seguidamente, até três vezes. Veja.
a) III 5 3 c) XXI 5 21 e) CCCXXIII 5 323
b) XXX 5 30 d) CC 5 200 f) MM 5 2.000
A repetição das letras V, L e D não ocorre, pois VV, LL, DD e VVV, por exemplo, têm como 
representação X, C, M e XV, respectivamente.
15BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios ex-
plora os sistemas de nume-
ração estudados de maneira 
contextualizada e criativa. 
No exercício 2, pode-se es-
timular a discussão sobre 
a presença da Matemática 
em diversos contextos cul-
turais e históricos, como na 
construção de monumentos 
arquitetônicos. A leitura dos 
símbolos egípcios permite 
retomar as ideias básicas 
do sistema de numeração 
decimal. Pode-se, por exem-
plo, solicitar aos alunos que, 
em grupo, elaborem uma 
situação de adição ou de 
subtração usando os símbo-
los da numeração egípcia e 
troquem-nas com os cole-
gas. Será possível observar 
como os grupos efetuaram 
as operações.
Atenção: se perceber que 
há na turma necessidade de 
discutir os fatos fundamen-
tais da adição para retomar 
as “trocas” de unidades, de-
zenas e centenas, proponha 
situações de jogos que en-
volvam trocas para os alunos 
superarem tais dificuldades. 
Para o exercício 3, incenti-
ve os alunos a realizarem 
a leitura dos números di-
retamente dos caracteres 
egípcios ou babilônicos, 
sem fazer a conversão para 
o sistema indo-arábico. En-
tretanto, alguns números 
babilônicos representados 
podem causar dificuldade, 
pois há um espaço entre os 
símbolos, e isso deve ser dis-
cutido com os alunos. Assim, 
no item c, o número repre-
sentado é, no sistema indo-
-arábico, 1 8 60 1 5 8 10 5 
5 110. No item e, o núme-
ro representado é 2 8 60 1 
1 2 8 1 5 122. E, no item g, 
está representado o número 
2 8 10 8 60 1 2 8 10 5 1.220. 
Desse modo, os pares de fi-
chas que possuem números 
iguais são: a e d, b e e, c e 
h, f e g. 
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
15CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 � Quando uma das letras I, X ou C é escrita à esquerda de outra letra de maior valor, subtrai-
-se o respectivo valor (de I, X ou C) nas seguintes condições:
• I só pode aparecer antes de V ou de X.
• X só pode aparecer antes de L ou de C.
• C só pode aparecer antes de D ou de M.
Veja alguns exemplos.
a) IV 5 5 2 1 5 4 d) XC 5 100 2 10 5 90
b) IX 5 10 2 1 5 9 e) CD 5 500 2 100 5 400
c) XL 5 50 2 10 5 40 f) CM 5 1.000 2 100 5 900
 � Um traço colocado sobre uma letra significa que o valor dessa letra deve ser multiplica-
do por 1.000; dois traços indicam que o valor dela deve ser multiplicado por 1.000.000. 
Exemplos:
a) V 5 5 # 1.000 5 5.000 c) LX 5 60 # 1.000 5 60.000
b) IX 5 9 # 1.000 5 9.000 d) XXI 5 21 # 1.000.000 5 21.000.000
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 1 Escreva no sistema de numeração romano:
a) a data de seu nascimento (dia/mês/ano); 
b) a data de hoje (dia/mês/ano);
c) a data da proclamação da República no Bra-
sil (dia/mês/ano). XV/XI/MDCCCLXXXIX
 2 Escreva no caderno os números das frases a 
seguir no nosso sistema de numeração.
a) A altura do Coliseu é de, aproximadamente, 
 metros. 50
Localizado no centro arqueológico da cidade de 
Roma, o Coliseu é um dos maioresanfiteatros do 
mundo. (Foto de 2017.)
1. a) Resposta pessoal. 
b) Resposta pessoal.
D
E
A
G
O
S
T
IN
I/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
V
A
LE
R
IO
M
E
I/S
H
U
T
T
E
R
S
TO
C
K
b) Na construção da pirâmide Quéops, foram 
utilizados blocos de 
pedra. 2.311.000
A grande pirâmide Quéops é a maior e a mais antiga 
das pirâmides de Gizé, no Egito. (Foto de 2016.)
 3 Reproduza no caderno as fichas a seguir e pinte 
da mesma cor aquelas que têm números iguais.
a) 
b) 
c) 
d) 
11
122
110
11
e) 
f) 
g) 
h) 
122
1.220
1.220
110
Terão a mesma cor as �chas: a e d; c e h; e e 
b; g e f.
16
Exercícios propostos
Na época em que o texto do 
exercício 4 foi elaborado, 
Oscar Niemeyer era vivo e 
tinha 103 anos. Esse famoso 
arquiteto faleceu em 15 de 
dezembro de 2012.
O exercício 5 permite propor 
comparações entre os aspec-
tos comuns e os divergentes 
do cotidiano do aluno, valo-
rizando a contextualização. 
Além disso, valoriza princi-
palmente a expressão escrita 
ao solicitar aos alunos que 
“criem três situações”. A es-
crita na aula de Matemática 
tem um papel importante na 
aprendizagem, pois dá a eles 
a oportunidade de repensar 
e aprofundar os textos que 
produziram, registrar suas 
reflexões, percepções e o que 
descobriram sobre um con-
ceito ou mesmo sobre uma 
situação vivida. Para o pro-
fessor, a produção escrita dá 
não apenas uma boa noção 
do que o grupo aprendeu 
sobre o que foi desenvolvido 
nas aulas, mas também per-
mite avaliar como os alunos 
expressam suas ideias.
Proponha novos questiona-
mentos para averiguar o que 
os alunos já conhecem sobre 
o sistema de numeração in-
do-arábico. Por exemplo:
• Vocês sabem de qual siste-
ma de numeração estamos 
tratando? Conhecem seus 
símbolos?
• Citem duas características 
que conhecem desse sis-
tema.
• Na sua opinião, por que 
o sistema de numeração 
indo-arábico se destacou?
Sugestões de leitura
Para ampliar seu trabalho com esse 
tema, sugerimos:
<http://www.matematica.br/historia/
indoarabico.html>;
<http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/
teses/t_000369009.pdf>.
Acessos em: 14 abr. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme-
ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan-
ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função 
do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação 
decimal.
AFEGANISTÃO
PAQUISTÃO
ÍNDIA
OCEANO
ÍNDICO
TRÓPICO DE CÂNCER
70º L
Rio
 Ind
o
Vale do Rio Indo
REGIÃO DO RIO INDO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
16 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 4 No texto abaixo, o jornalista faz uma brin-
cadeira. Escrevendo como se a faixa do 
presidente da República pudesse falar, ele 
cita o decreto que a instituiu, com a escrita 
da época. Leia o texto e escreva os números 
que aparecem nele usando o sistema de nu-
meração romano.
Com a palavra, a Faixa
[...] Antes que alguém cometa a desele-
gância de perguntar, vou logo dizendo: tenho 
100  anos, recém-completados essa semana. 
Qual o problema? Sou mais jovem que o Nie-
meyer. Está na minha certidão de nascimento: 
Decreto no 2.299, de 21 de dezem bro de 1910. 
Faço saber que o Congresso Nacional decretou 
e eu sancciono a resolução seguinte: Art. 1o. 
Como distinctivo de seu cargo o Presidente 
da Republica usará, a tiracollo, da direita para 
a esquerda, uma faixa de seda com as cores 
nacionaes, ostentando o escudo da Republica 
bordado a ouro. A faixa, cuja largura será de 15 
centimetros, terminará em franjas de ouro de 
Esse sistema passou a ser conhecido 
como sistema de numeração indo-arábico 
(indo, em reconheci mento ao povo que criou 
o sistema, e arábico, em homenagem ao 
povo árabe, que o aperfeiçoou e o divulgou 
pela Europa).
Com o passar do tempo, os símbolos cria-
dos pelos indianos para a escrita de números 
sofreram várias modificações até chegar à 
representação atual — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 e 9 —, composta de dez símbolos denomi-
nados algarismos indo-arábicos.
Observe no quadro a seguir como alguns 
sinais, que já foram usados para escrever 
os algarismos indo-arábicos, foram se mo-
dificando.
 Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria 
Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. 4. ed. 
rev. e ampl. São Paulo: Moderna, 2013. p. 97.
A
N
D
E
R
S
O
N
 D
E
 A
N
D
R
A
D
E
 P
IM
E
N
T
E
L
NE
LO
SE
S
N
NO
SO
400 km
10 centimetros de largo e supportará, pendente 
do porto de cruzamento das suas extremidades, 
uma medalha, de ouro, mostrando no verso o 
mesmo escudo de que falla o artigo anterior 
e no anverso o dístico – Presidencia da Re-
publica do Brazil. Assina o marechal Hermes 
Rodrigues da Fonseca, na data do 88o ano da 
Independência e 21o da proclamação da Re-
pública. Já que esticamos a prosa, vou falar 
um pouco mais de mim. A medalha que eu 
tenho é de ouro 18 quilates, cravejada com 21 
brilhantes – o número de toques de canhão 
disparados em honra aos chefes de Estado. [...]
Fonte: MARSIGLIA, Ivan. Com a palavra, a faixa. 
O Estado de S. Paulo, São Paulo, 25 dez. 2010. 
 5 Hora de criar – Escreva três situações do dia 
a dia que expressem números. Depois, troque 
esses textos com um colega para que cada um 
possa escrever os números do outro usando 
os sistemas de numeração dos egípcios, dos 
babilônios e dos romanos. Resposta pessoal.
C, MMCCXCIX, XXI, MCMX, I, XV, X, LXXXVIII, XXI, 
XVIII, XXI.
Sistema de numeração indo-arábico
Na região ocupada hoje pelo Paquistão, onde se encontra o vale do Rio Indo, vive, há milha-
res de anos, o povo indiano. Foi esse povo que criou o sistema de numeração que adotamos 
atualmente.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
http://www.matematica.br/historia/indoarabico.html
http://www.matematica.br/historia/indoarabico.html
http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/teses/t_000369009.pdf
http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/teses/t_000369009.pdf
17BIMESTRE 1
Orientações
Retome com os alunos a 
noção de “ordem” que eles 
devem ter de seus estudos 
nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental. Proponha no-
vos números para que eles 
possam identificar a ordem 
de cada algarismo que os 
compõe e determinar o valor 
posicional desses algarismos.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
17CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Essas modificações podem ser explicadas pelo fato de, naquela época, os livros serem es-
critos manualmente e, portanto, dependerem da caligrafia de seus autores. Com a invenção da 
imprensa moderna na Europa, por volta de 1450, os algarismos começaram a ser finalmente 
padronizados.
O sistema de numeração indo-arábico é um sistema posicional. Isso porque um mesmo 
algarismo tem valores diferentes para cada posição que ocupa no número.
Considere, por exemplo, os números 52 e 25.
 � No número 52, o algarismo 5 vale 5 dezenas ou 50 unidades (5 # 10), enquanto no 
número 25 ele vale 5 unidades (5 # 1).
 � No número 25, o algarismo 2 vale 2 dezenas ou 20 unidades (2 # 10), enquanto no nú-
mero 52 ele vale 2 unidades (2 # 1).
No número 2.378, temos:
 � o valor posicional do algarismo 8 é 8;
 � o valor posicional do algarismo 7 é 70;
 � o valor posicional do algarismo 3 é 300;
 � o valor posicional do algarismo 2 é 2.000.
Lendo da direita para a esquerda, o primeiro algarismo de um número é chamado algarismo 
de 1a ordem; o segundo, algarismo de 2a ordem; o terceiro, algarismo de 3a ordem; e assim 
por diante. Isso ocorre porque:
 � cada unidade de 2a ordem vale dez vezes uma unidade de 1a ordem;
 �cada unidade de 3a ordem vale dez vezes uma unidade de 2a ordem;
 � cada unidade de 4a ordem vale dez vezes uma unidade de 3a ordem; e assim por diante.
No número 4.527, por exemplo, temos:
Elaborado a partir de: IFRAH, 
Georges. Os números: a 
história de uma grande 
invenção. Trad. Sylvia 
Taborda. 10. ed. São Paulo: 
Globo, 2001. p. 310.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Século XII
Século XIII
Século XIV
Século XV
Por volta de 1524
IL
U
S
T
R
A
Ç
Ã
O
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
ou seja: 4.527 5 7 1 20 1 500 1 4.000
algarismo de 1a ordem p 7
algarismo de 2a ordem p 2 # 10 5 20
algarismo de 3a ordem p 5 # 10 # 10 5 500
algarismo de 4a ordem p 4 # 10 # 10 # 10 5 4.000
4.527
18
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios 
explora as principais ca-
racterísticas do sistema de 
numeração indo-arábico. 
Espera-se que também seja 
um norteador das dificul-
dades que os alunos ainda 
possam ter sobre a identi-
ficação das ordens de um 
número em nosso sistema 
de numeração e o valor po-
sicional dos algarismos.
No exercício 6, é importan-
te notar que o brinquedo 
apresentado não tem por 
finalidade fazer o jogador 
observar ou compreender 
o valor posicional dos alga-
rismos em um número. En-
tretanto, com as interven-
ções e os questionamentos 
propostos, o aluno poderá 
analisar o que acontece 
com um mesmo algarismo 
conforme a posição que ele 
ocupa em um número. Nes-
se caso, como o deslocamen-
to dos algarismos ocorre de 
maneira concreta, é possível 
ampliar as discussões com 
perguntas do tipo:
• O que interfere no valor po-
sicional: a linha ou a coluna 
que o algarismo ocupa?
• Em que lugar devemos co-
locar o algarismo 8 para 
que ele tenha o maior va-
lor posicional?
• Escreva números diferen-
tes de modo que o alga-
rismo 4 tenha valores posi-
cionais diferentes.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números 
racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
18 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 � Tem base dez, ou seja, cada dez unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem 
imediatamente superior.
 � Utiliza apenas dez símbolos, chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
 � É um sistema posicional, isto é, um mesmo símbolo representa quantidades diferentes, 
dependendo da posição em que se encontra no número.
 � Possui um símbolo para representar o zero.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 6 Reúna-se com um colega e vejam o brinquedo 
que Débora ganhou:
Que número vocês leem em cada linha?
Nesse brinquedo, as dez fichas numeradas e a 
ficha só podem ser deslocadas para ocu-
par a casa que estiver vazia, sem pular ficha, e 
andar só uma posição por vez, de acordo com 
os comandos:
direita ( ), esquerda ( ), baixo ( ) e 
cima ( ). Além do tabuleiro, o brinquedo 
tem cartelas com diferentes sequências de 
comandos.
123; 7.654; 89
Débora escolheu a cartela
e aplicou esses comandos a partir da dispo-
sição inicial, fazendo o tabuleiro ficar assim:
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: J
O
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
Após essas mudanças no tabuleiro, temos os 
números 123, 76 e 8.945.
a) considerando os números das linhas do 
tabuleiro, respondam:
• Qual é o valor posicional do 5 e do 4 na 
disposição inicial? E na final? 50, 4; 5, 40
• Qual é o valor posicional do 7, do 6, do 
8, do 9 e do 1 na disposição inicial? E na 
final?
b) Partindo da disposição inicial, apliquem os 
comandos da cartela
 e descubram quais são os números que 
ficaram em cada linha. 7.012; 8.653; 9, 4
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: J
O
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
Como cada dez unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem imediatamente 
superior, o sistema de numeração indo-arábico tem base dez. Por isso, esse sistema também 
é chamado de sistema de numeração decimal.
Assim, o sistema de numeração usado em quase todo o mundo atual é uma combinação 
de quatro características fundamentais:
7.000, 600, 80, 9, 100; 70, 6, 8.000, 
900, 100
19BIMESTRE 1
Leitura e escrita 
de um número no 
sistema de numeração 
indo-arábico
Explore a leitura e a escrita 
de números grandes tendo 
como suporte as ordens e as 
classes no sistema de nume-
ração indo-arábico. Espera-se 
que os alunos percebam a re-
lação entre a decomposição 
do número e sua leitura.
Para enriquecer, traga notí-
cias ou imagens que conte-
nham “números grandes” 
e discuta com os alunos as 
diferentes maneiras que 
aparecem. É possível pedir 
a eles que observem alguns 
números que aparecem no 
texto a seguir.
Existem pelo menos um 
milhão de asteroides que po-
dem atingir a Terra e destruir 
uma cidade – destes, menos 
de 10 mil foram descobertos.
(Dados obtidos em: 
<http://revistagalileu.
globo.com/blogs/Luneta/
noticia/2017/07/luneta-51-
tudo-o-que-voce-precisa-
saber-sobre-asteroides.html>. 
Acesso em: 14 abr. 2018.)
Comente com os alunos que 
geralmente recebemos in-
formações numéricas através 
dos meios de comunicação. 
Proponha que escrevam, 
com todos os algarismos, os 
números que aparecem nes-
sa informação. Espera-se que 
identifiquem: 
• 1 milhão 5 1.000.000 
• 10 mil 5 10.000 
Ressalte que a forma mista 
(que mistura quantidades 
escritas em algarismos com 
quantidades escritas em pala-
vras), além de economizar es-
paço, torna a leitura mais fá-
cil para a maioria das pessoas. 
Situações desse tipo, que 
ampliam o trabalho com 
as ordens e classes no siste-
ma decimal, extrapolam o 
simples contato com dados 
numéricos, pois introduzem 
informações sobre a realida-
de. Se considerar adequado, 
solicite aos alunos pesqui-
sas adicionais nas quais os 
números naturais estejam 
relacionados a situações co-
tidianas.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
19CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 7 No número 5.757, determine:
a) o valor posicional do algarismo 7 de 1a or-
dem e o valor posicional do algarismo 7 de 
3a ordem; 7; 700
b) o valor posicional do algarismo 5 de 2a or-
dem e o valor posicional do algarismo 5 de 
4a ordem. 50; 5.000
 8 Determine o valor posicional do algarismo 3 
nos seguintes números:
a) 3.765 3.000 b) 32.000.000 
30.000.000
 9 Determine o menor e o maior número de três 
algarismos diferentes que se pode escrever 
com os algarismos 0, 5, 6, 8 e 9. 506 e 986
 10 Hora de criar – Agora, cada um deve desenhar 
um tabuleiro igual ao do exercício 6 e inventar 
uma disposição para as fichas. Depois, deve 
criar uma cartela com seis comandos e passar 
para o outro descobrir que números ficaram 
nas linhas após aplicar todos os comandos.
Resposta pessoal.
Leitura e escrita de um número no sistema de numeração indo-arábico
Na escrita de um número no sistema indo-arábico, os algarismos são separados em classes 
e cada classe é dividida em três ordens. Com isso, facilitam-se a leitura e a escrita do número. 
Observe as quatro primeiras classes e suas ordens:
Veja, nos exemplos a seguir, como são lidos os números destacados. Observe também como 
é a decomposição (a separação em classes e ordens) de cada um deles.
a) No ano de 2016 foram matriculados no Brasil 27.588.905 alunos em classes do Ensino 
Fundamental. 
Dados obtidos em: Inep. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_basica/censo_escolar/notas_
estatisticas/2017/notas_estatisticas_censo_escolar_da_educacao_basica_2016.pdf>. Acesso em: 13 set. 2017.
 27.588.905 (Lemos: “vinte e sete milhões, quinhentos e oitenta e oito mil, novecentos 
e cinco”.)
 27.588.905 5 2 3 10.000.000 1 7 3 1.000.000 1 5 3 100.000 1 8 3 10.000 1 
1 8 3 1.000 1 9 3 100 1 5
b) A população mundial pode chegar a 11.200.000.000 de pessoas em 2100. 
Dados obtidos em: O Globo. Disponível em: <https://oglobo.globo.com/sociedade/populacao-mundial-deve-atingir-quase-
10-bilhoes-em-2050-21503502>.Acesso em: 13 set. 2017.
 11.200.000.000 (Lemos: “onze bilhões e duzentos milhões”.)
 11.200.000.000 5 1 3 10.000.000.000 1 1 3 1.000.000.000 1 2 3 100.000.000
4a classe 
(bilhões)
3a classe 
(milhões)
2a classe 
(milhares)
1a classe 
(unidades simples)
12a 
ordem
11a 
ordem
10a 
ordem
9a 
ordem
8a 
ordem
7a 
ordem
6a 
ordem
5a 
ordem
4a 
ordem
3a 
ordem
2a 
ordem
1a 
ordem
centenas 
de bilhão
dezenas 
de bilhão
unidades 
de bilhão
centenas 
de milhão
dezenas 
de milhão
unidades 
de milhão
centenas 
de milhar
dezenas 
de milhar
unidades 
de milhar
centenas dezenas unidades
Bilhões Milhões Milhares Unidades simples
C D U C D U C D U C D U
1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
Milhões Milhares Unidades simples
C D U C D U C D U
2 7 5 8 8 9 0 5
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
http://revistagalileu.globo.com/blogs/Luneta/noticia/2017/07/luneta-51-tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-asteroides.html
http://revistagalileu.globo.com/blogs/Luneta/noticia/2017/07/luneta-51-tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-asteroides.html
http://revistagalileu.globo.com/blogs/Luneta/noticia/2017/07/luneta-51-tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-asteroides.html
http://revistagalileu.globo.com/blogs/Luneta/noticia/2017/07/luneta-51-tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-asteroides.html
http://revistagalileu.globo.com/blogs/Luneta/noticia/2017/07/luneta-51-tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-asteroides.html
http://revistagalileu.globo.com/blogs/Luneta/noticia/2017/07/luneta-51-tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-asteroides.html
http://download.inep.gov.br/educacao_basica/censo_escolar/notas_estatisticas/2017/notas_estatisticas_censo_escolar_da_educacao_basica_2016.pdf
http://download.inep.gov.br/educacao_basica/censo_escolar/notas_estatisticas/2017/notas_estatisticas_censo_escolar_da_educacao_basica_2016.pdf
https://oglobo.globo.com/sociedade/populacao-mundial-deve-atingir-quase-10-bilhoes-em-2050-21503502
https://oglobo.globo.com/sociedade/populacao-mundial-deve-atingir-quase-10-bilhoes-em-2050-21503502
20
Habilidade trabalhada: (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ociden-
tal, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor 
posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em 
sua representação decimal.
Para saber mais
Esta seção mostra que pode-
mos fazer agrupamentos de 
outras maneiras, além dos 
agrupamentos de 10 em 10 
característicos do sistema de 
numeração decimal.
Na questão do Agora é com 
você!, os alunos devem per-
ceber que, enquanto o reló-
gio de pulso de Lucas está 
marcando 5 h 50 min, o re-
lógio digital do despertador 
marca 6 h 15 min. Assim, o 
relógio de pulso está atrasa-
do em 25 min.
Para enriquecer a discussão, 
podem-se fazer outras per-
guntas aos alunos, como: 
“Quando o ponteiro dos 
minutos se desloca 10 risqui-
nhos, isso equivale a quan-
tos segundos?”. (Resposta: 
600 segundos.)
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
“Tique-taque, tique-taque. Relógios de pa-
rede, de pulso, de bolso, de pilha etc. Nos dias 
de hoje, somando os modelos novos e os anti-
gos, caros e baratos, simples e complexos, são 
produzidos cerca de um bilhão de relógios por 
ano, em todo o mundo! [...] Olhando para um 
modelo tradicional, vemos que o movimento dos 
ponteiros tem uma direção (sempre para direita) 
e que esse movimento obedece a ritmos bem 
definidos (os segundos, os minutos e as horas). 
Você já deve ter estudado que precisamos de 
60 segundos para formar um minuto (o ritmo 
do ponteiro maior), da mesma forma como 
precisamos de 60 minutos para formar uma hora 
(o ritmo do ponteiro menor). Para completar 
um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o 
ponteiro menor percorra duas vezes (12 1 12) 
a sequência das horas.
Utilizando outros agrupamentos
Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10 
em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamen-
tos, como é o caso dos minutos e dos segundos.
Como os ponteiros de um relógio, todos os fe-
nômenos que começam num ponto e a eles retor-
nam, repetindo o seu movimento, formam o que 
chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as 
fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova), 
as estações do ano (primavera, verão, outono, in-
verno). [...] esses ciclos, observados na natureza, 
ajudaram os homens a contar a duração do tempo, 
criando medidas como o dia de 24 horas, o mês de 
30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram 
com que muitas pessoas, em diferentes épocas e 
lugares, acreditassem que os acontecimentos de 
suas vidas e os acontecimentos da história dos 
povos também pudessem se repetir, exatamente 
como os fenômenos observados na natureza.”
Fonte: TURAZZI, Maria Inez; GABRIEL, 
Carmen Teresa. Tempo e história. 
São Paulo: Moderna, 2000.
Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta 
completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para 
outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o 
ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou.
Ao acordar, Lucas lembrou que 
seu relógio de pulso estava atrasado 
em relação ao relógio digital do des-
pertador. Veja abaixo o que marcava 
cada relógio e descubra em quantos 
minutos o relógio de pulso de Lucas 
estava atrasado.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
25 minutos
PARA SABER MAIS
21BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, os 
alunos perceberão a leitura, 
a escrita e a representação 
com algarismos de números 
em variados contextos. 
No exercício 11, destaca-
mos que, em geral, os alu-
nos dessa faixa etária têm 
fascínio e curiosidade por 
“números grandes”, mas 
dão pouca importância à 
sua leitura ou não gostam 
de escrevê-los por extenso. 
Esse tipo de atividade con-
tribui para a ampliação do 
conhecimento sobre os nú-
meros.
Esse exercício também pode 
se relacionar com Geogra-
fia, oferecendo a oportu-
nidade para discutirem, 
por exemplo, noções de: 
população absoluta versus 
densidade demográfica; 
distribuição populacional 
(ou seja, a relação entre su-
perfície territorial e popu-
lação absoluta); diferenças 
regionais no Brasil quanto à 
ocupação do espaço, assim 
como o fenômeno da urba-
nização e sua contraposição 
ao mundo rural; ou ainda 
as diferentes esferas admi-
nistrativas (municipal, esta-
dual, federal).
Durante a resolução do 
exercício 12, pode ser discu-
tida a importância da Mate-
mática em aproximações e 
estimativas que dão supor-
te a, por exemplo, ações de 
proteção à vida na Terra.
Já a resolução do exercício 
14 é uma boa oportunidade 
para trabalhar:
• O uso de arredondamen-
tos pelos meios de comu-
nicação. É importante os 
alunos perceberem que, 
nesses casos, o arredon-
damento não prejudica a 
precisão da informação, 
pois o que se destaca na 
comunicação jornalística é 
a ordem de grandeza, não 
os valores exatos dos da-
dos tratados.
• O emprego da escrita mista pelos meios de comunicação. Não há 
erro nesse tipo de registro, a intenção é facilitar a comunicação, 
deixando sempre em destaque a ordem de grandeza.
• A organização e representação das classes numéricas. De modo si-
milar ao que fazemos quando escrevemos um número por extenso, 
o processo inverso – escrever um número em algarismos a partir de 
sua escrita por extenso – exige a noção de como são organizadas 
as classes e de como tal organização é expressa na escrita, especial-
mente quanto ao uso do ponto como um “separador de classes”.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
21CAPÍTULO 1 NÚMEROS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 12 Use as palavras mil, milhão (ou milhões) ou 
bilhão (ou bilhões) para escrever os números 
em destaque.
a) Analistas das mudanças climáticas mundiais 
estimam que, por volta de 2080, 1.000.000 de 
pessoas sofrerão de fome e sede no planeta.
b) As praias dos rios Araguaia e Tocantins (TO) 
atraem todos os anos cerca de 100.000 tu-
ristas de todo o país. 100 mil
c) Estima-se que, até 2050, nosso planeta terá 
9.000.000.000 de habitantes. 9 bilhões
1 milhão
 13 Quantias em documentos (cheques, recibos 
de compra e venda etc.) também devem ser 
escritas por extenso, pois assim não podem 
ser alteradas. Escreva por extenso a quantia 
indicada no recibo abaixo.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
11. a) quarenta e quatro milhões, setecentos e quarenta e nove mil, seiscentos e noventa e nove
 11 Escreva por extenso os nú me ros destacados 
nas informações a seguir. (Dados obtidos em: 
<http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/
projecao/>. Acesso em: 18 jul. 2017.) No ano 
de 2016:
a) o estado mais populoso do Brasil era São 
Paulo, com estimativa de 44.749.699 habi-
tantes;
b) o estado menos populoso do Brasil era 
Roraima, com estimativa de 514.229 habi-
tantes;
c) a região brasileira com maior número de 
municípios era a Nordeste, com 1.794.
um mil, setecentos e noventa e quatro
b) quinhentos e catorze mil, 
duzentos e vinte e nove
dezessete mil, trezentos e oitenta e cinco reais
 14 Represente os números em destaque escre-
vendo-os apenas com algarismos.
a) O diamante chamado “The Blue” foi lei-
loado em Genebra por um valor entre 
US$ 21 milhões e US$ 25 milhões.
b) Na chapada do Araripe, Ceará, foram en-
contrados fósseis de répteis voadores que 
viveram cerca de 110 milhões de anos 
atrás.
21.000.000; 
25.000.000
 15 A figura abaixo mostra um medidor de con-
sumo de energia elétrica. Quando o ponteiro 
está entre 0 e 9 (ou entre 9 e 0), ele indica o 9. 
Entre outros dois algarismos, sempre indica o 
de menor valor.
O medidor acima mostra o número 1.739.
Determine o número indicado nos medidores 
a seguir.
milhar
1
centena
7
dezena
3
unidade
9
0 9
8
7
654
3
2
1 0 1
2
3
456
9 0 9
8
7
654
1 0 1
2
3
456
9
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: P
A
U
LO
 M
A
N
Z
I
0 9
8
7
654
3
2
1 0 1
2
3
456
9 0 9
8
7
654
1 0 1
2
3
456
9
a)
0 9
8
7
654
3
2
1 0 1
2
3
456
9 0 9
8
7
654
1 0 1
2
3
456
9
b)
4.175
8.921
Z
U
LM
A
IR
 R
O
C
H
A
/F
O
LH
A
P
R
E
S
S
 –
 M
U
S
E
U
 
N
A
C
IO
N
A
L/
U
F
R
J,
 R
IO
 D
E
 J
A
N
E
IR
O
Fóssil do 
réptil voador 
Thalassodromeus 
sethi, com 4,5 m 
de envergadura, 
que viveu na 
região do Araripe 
(Ceará).
110.000.000
http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/
http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/
22
Exercícios propostos
No exercício 17, destacamos 
que os “números astronômi-
cos” não fazem parte do dia 
a dia dos alunos, mas apare-
cem como curiosidade para 
aqueles dispostos a buscar in-
formações em jornais, revis-
tas ou livros. É possível ainda 
aprofundar o assunto junto 
aos professores de Geogra-
fia e Ciências, que podem 
sugerir exemplos de “núme-
ros grandes” usados em suas 
áreas de conhecimento.
Pense mais um 
pouco…
Espera-se que os alunos per-
cebam que o número de fle-
chas é 12 nos dois casos, as-
sim distribuídos:
• duas flechas no 1.000, cin-
co no 100, duas no 10 e 
três no 1, para o 2.523;
• cinco flechas no 1.000, 
duas no 100, duas no 10 e 
três no 1, para o 5.223.
Após a resolução, vale solici-
tar que os alunos expliquem 
como chegaram às respos-
tas, refletindo sobre:
• a necessidade da palavra 
“menor” no enunciado. 
Caso contrário, existiriam 
diversas possibilidades de 
respostas, sendo 2.523 a 
maior delas, no caso de 
todas as flechas acertarem 
a faixa do alvo correspon-
dente ao número “1”;
• por que existem duas res-
postas “12”. Eles devem 
observar que não foi coin-
cidência ser necessário um 
mínimo de 12 flechas para 
marcar 2.523 ou 5.223 
pontos. O mesmo resulta-
do seria válido para qual-
quer número de quatro 
algarismos cuja soma dos 
algarismos fosse igual a 12;
• a relação entre a pontua-
ção final e a quantidade 
de acertos em cada área de 
pontuação.
Espera-se que os alunos con-
cluam que, quando em ne-
nhuma das áreas de pontua-
ção o acerto é superior a 9, 
a pontuação final pode ser 
mais facilmente calculada, 
pois cada algarismo ocupa 
uma posição no número que 
compõe a pontuação final.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
22 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
que a luz percorre, no vácuo, em um ano). A luz 
percorre, no vácuo, 300.000 quilômetros em 
um segundo e, em um ano, aproximadamente 
9.500.000.000.000 de quilômetros.
A Via Láctea é uma galáxia espiral, em cuja 
periferia está localizado o nosso sistema solar. 
A distância de uma ponta a outra dessa galáxia é 
de 100.000 anos-luz, ou seja, aproximadamen-
te 950.000.000.000.000.000 de quilômetros.
 18 Hora de criar – Pesquise um texto que tenha 
números. Troque-o com o texto de um colega 
para escreverem por extenso os números que 
estejam escritos com algarismos e escreverem 
com algarismos aqueles que estejam escritos 
por extenso. Depois destroquem para corrigir.
3 Números naturais
Quando desejamos saber quantos objetos ou pessoas há em um grupo, estamos diante 
de uma situação de contagem.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
17. trezentos mil; nove trilhões e 
quinhentos bilhões; cem mil; 
novecentos e cinquenta quatrilhões
Resposta pessoal.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
 16 Reproduza em seu caderno o registro do me-
didor de energia elétrica de onde você mora e 
escreva esse número por extenso.
 17 Você já conhece as quatro primeiras classes nu-
méricas (unidades simples, milhares, mi lhões e 
bilhões) e suas ordens. As 5a, 6a, 7a  classes 
e assim por diante também recebem nomes, 
que são, respectivamente, trilhões, quatrilhões, 
quintilhões etc. 
Escreva em seu caderno como se leem os 
números destacados no texto a seguir.
As distâncias entre as estrelas, os planetas etc. 
são muito grandes. Para medir essas distâncias 
astronômicas, foi criado o ano-luz (distância 
Resposta pessoal.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
novecentos e cinquenta quatrilhões
Resposta pessoal.
Pense mais um pouco...
Qual é o menor número 
de flechas que devem 
ser atiradas no alvo 
mostrado ao lado para 
marcar 2.523 pontos? 
E para marcar 5.223 
pontos? 12; 12 AN
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
23BIMESTRE 1
Orientações
Os alunos têm trabalhado 
com os números naturais ao 
longo de todos os anos ini-
ciais do Ensino Fundamental, 
mas aqui apresenta-se uma 
sistematização do tema. O 
intuito não é tratar de con-
juntos, mas apenas apresen-
tar a sequência dos números 
naturais, já conhecida deles, 
nesse novo formato. 
Nesta etapa, esperamos res-
gatar os conhecimentos que 
os alunos trazem acerca da 
sequência dos números na-
turais – como saber que eles 
servem para indicar uma 
contagem – e ampliar esses 
conceitos – como observar 
que o sucessor de um núme-
ro natural tem 1 unidade a 
mais do que o número con-
siderado, assim como o ante-
cessor de um número natural 
não nulo tem 1 unidade a 
menos que esse número.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números 
racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
23CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Quantos jogadores formam um time titular de futebol? O número associado à resposta 
dessa questão é o 11.
Quantos brasileiros pisaram no solo da Luano século passado? A resposta é nenhum. 
O número associado a essa situação é o zero.
Números como esses, que expressam o resultado de uma contagem, são chamados de 
números naturais. Em ordem crescente, os números naturais formam a seguinte sequência:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Essa sequência constitui o conjunto dos números naturais, cuja indicação é:
v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Em relação à sequência dos números naturais, podemos dizer que:
 � Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é obtido 
somando-se 1 a esse número. Veja alguns exemplos.
a) O sucessor de 4 é 5, pois 4 1 1 5 5.
b) O sucessor de 10 é 11, pois 10 1 1 5 11.
 � A sequência dos números naturais é infinita. Portanto, não existe o maior número natural, 
pois, qualquer que seja ele, sempre haverá um número sucessor.
 � Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. O antecessor de um 
número natural é obtido subtraindo-se 1 desse número. Veja alguns exemplos.
a) O antecessor de 8 é 7, pois 8 2 1 5 7.
b) O antecessor de 1 é zero, pois 1 2 1 5 0.
 � O zero é o menor dos números naturais.
 � Dois ou mais números naturais em que um é sucessor ou antecessor do outro são cha-
mados de números consecutivos. Veja alguns exemplos.
a) 5 e 6 c) 20, 21 e 22
b) 2, 3 e 4 d) 59, 60, 61 e 62
Comparando números naturais
O quadro a seguir mostra o número de alunos das quatro turmas do 6o ano da Escola Jotabê.
Vamos estabelecer algumas relações entre os números de alunos de cada turma.
 � O número de alunos da turma A é maior que o número de alunos da B. Escreve-se: 42 . 38.
 � O número de alunos da turma D é menor que o número de alunos da C. Escreve-se: 38 , 40.
 � O número de alunos da turma A é diferente do número de alunos da D. Escreve-se: 42 % 38.
 � O número de alunos da turma B é igual ao número de alunos da D. Escreve-se: 38 5 38.
Turma A B C D
Número de alunos 42 38 40 38
24
Habilidade trabalhada: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representa-
ção decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
Reta numérica
Retome com os alunos o 
conceito de reta numérica 
para averiguar o que eles já 
conhecem de seus estudos 
anteriores. Se necessário, 
comente com eles sobre essa 
representação. Peça que 
registrem os elementos de 
algumas sequências numéri-
cas crescentes em uma reta 
numérica. Eles podem trocar 
ideias com os colegas para 
fazer essas representações. 
Depois valide cada uma de-
las com os alunos. 
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios ex-
plora a sequência dos núme-
ros naturais e a representa-
ção na reta numérica. 
A situação de partida para o 
exercício 22 dá chance para 
o debate de questões sobre 
cidadania, como o respeito 
às filas e aos processos que 
procuram agilizar o atendi-
mento ao público.
0
O A B C D E F
1 4 …
…
62 3 5 r
0
O
r
MarianaDirceu R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
24 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Reta numérica
Podemos representar a sequência dos números naturais associando-os a pontos de 
uma reta.
Para isso, tomamos a reta r e, sobre ela, marcamos um ponto que chamamos de O, fazen-
do-o corresponder ao número 0 (zero).
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
A partir de O e à sua direita, marcamos pontos que se distanciam um do outro sempre com 
a mesma medida, como, por exemplo, 1 centímetro.
Ao ponto A fazemos corresponder o número 1; ao ponto B, o número 2; ao ponto C, o nú-
mero 3; e assim por diante.
Para cada número natural podemos associar um ponto da reta r. 
Essa reta é chamada de reta numérica.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 19 Discuta em grupo e responda às questões 
a seguir.
a) Que número natural não é sucessor de 
nenhum outro número natural? zero
b) O sucessor de um número natural é maior 
ou menor do que esse número? E o ante-
cessor de um número natural? maior; menor
c) Na sequência dos números naturais 0, 1, 2, 
3, 4, 5, ..., o sucessor de um número fica à 
esquerda ou à direita desse número? E onde 
fica o antecessor de um número?
 22 Na recepção de um laboratório, os pacientes 
preferenciais têm senha com dois algarismos; 
os pacientes agendados têm senha com três al-
garismos; e os demais têm senha com quatro 
algarismos.
a) Mariana acabou de pegar a senha. Qual será 
a senha do próximo paciente preferencial? 
Qual foi a senha anterior? 60; 58
b) Dirceu agendou seu exame. Qual foi a se-
nha do agendamento que o antecedeu? E a 
senha que o sucedeu? 130; 132
c) Que senha de quatro algarismos sucederá 
a do painel? Qual a antecedeu? 1.211; 1.209
 20 Determine:
a) o antecessor e o sucessor de 49; 48, 50
b) o sucessor do sucessor de 100; 102
c) o antecessor do antecessor de 1.201. 1.199
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
 21 Determine a sequência de números indicada 
em cada caso.
a) Números naturais maiores que 5. 6, 7, 8, ...
b) Números naturais menores ou iguais a 5.
c) Números naturais maiores que 5 e menores 
que 10. 6, 7, 8, 9
d) Números naturais entre 5 e 10. 6, 7, 8, 9
e) Números naturais de 5 a 10. 5, 6, 7, 8, 9, 10
à direita; à esquerda
b) 0, 1, 2, 3, 4, 5
25BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Para enriquecer o trabalho, 
a partir do exercício 24, po-
de-se perguntar por que os 
alunos acham que as placas 
de numeração de casas são 
vendidas em algarismos se-
parados, não em números já 
compostos.
Espera-se que concluam que 
as placas com algarismos iso-
lados possibilitam diferentes 
combinações, em relação 
tanto à quantidade de alga-
rismos quanto à posição que 
eles ocupam no número.
Outro ponto a destacar é 
que, quando a numeração 
das casas de uma rua não é 
aleatória, está relacionada 
com a distância da casa em 
relação ao início da rua, o 
que justifica o fato de casas 
vizinhas não terem números 
necessariamente sucessores 
ou antecessores.
Pense mais um 
pouco...
A atividade 3 da seção solicita 
a reflexão sobre os procedi-
mentos de resolução das ati-
vidades anteriores. No item 
a, os alunos são instigados a 
encontrar o erro de resolu-
ção na situação apresentada. 
No item b, devem justificar 
os procedimentos emprega-
dos para a resolução. Essa é 
uma maneira significativa 
de conhecer e compreender 
processos de resolução, trocar 
ideias com os colegas e refi-
nar estratégias.
Atenção: caso alguns alunos 
ainda estejam registrando 
todas as possibilidades para 
então contá-las, é preciso 
incentivá-los a observar re-
gularidades e a fazer gene-
ralizações. 
Aproveite a atividade 4 para orientar os alunos quanto à utilização 
da internet para pesquisas, enfatizando a necessidade de consulta-
rem, preferencialmente, sites que contenham informações fidedig-
nas (ou seja, que pertençam a universidades, órgãos governamentais, 
bibliotecas, museus etc.).
Explique que os materiais selecionados por eles vão auxiliá-los na ela-
boração de seus trabalhos. Ressalte, porém, que qualquer material de 
consulta (enciclopédias, sites, revistas etc.) não deve ser simplesmente 
reproduzido, pois é importante produzirem textos com suas próprias 
palavras, com base nas informações obtidas na pesquisa. Além disso, 
esclareça que o uso desses materiais geralmente é regulamentado por 
leis de direitos autorais, que protegem a propriedade intelectual.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
25CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 26 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema sobre números naturais criado 
por vocês. Depois de cada um resolver o pro-
blema elaborado pelo outro, destroquem para 
corrigi-los. Resposta pessoal.
 23 Qual é o número natural que antecede o menor 
número de três algarismos? E qual número 
sucede o maior número natural de quatro 
algarismos? 99; 10.000
 25 Em uma folha de papel comprida,desenhe uma 
reta numérica e escreva o nome de cada colega 
da sua classe junto ao respectivo número de 
chamada.
 24 Paulo comprou as três plaquinhas que formam 
o número da casa onde ele mora.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
24. a) 579, 597, 759, 795, 957, 975 
b) 579
Resposta 
pessoal.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Reúna-se com um colega e considerem os problemas a seguir.
1. Em um livro de História, o capítulo sobre expansões marítimas começa na página 38 e termina 
na página 53. Quantas páginas tem esse capítulo? 16 páginas
2. Quantos algarismos são usados para escrever os números naturais de 1 a 150? 342
3. Analisem as resoluções de Juliana e Alberto para os problemas 1 e 2.
a) Para resolver o problema 1, Juliana subtraiu 38 de 53, encontrando 15 como resposta. A 
resposta de Juliana está correta? Expliquem. 
b) Alberto resolveu o problema 2 da seguinte maneira:
Não. Ao fazer esse cálculo, Juliana 
desconsiderou a página 38.
Logo, para escrever os números de 1 a 150 utilizam-se 337 algarismos.
Ao resolver o problema dessa maneira, Alberto cometeu alguns erros. Que erros foram esses? 
4. Agora, resolvam o problema a seguir explicando os procedimentos empregados.
Ao fazer uma pesquisa na internet, Ana precisa imprimir algumas páginas de um documento. 
Sabendo que o assunto de interesse de Ana começa na página 37 e termina na página 75, 
descubram quantas páginas ela precisa imprimir. Em seguida, calculem quantos algarismos 
são necessários para numerar essas páginas. 39; 78
1, 2, 3, ..., 9
números de 
um algarismo
10, 11, 12, ..., 99
números de 
dois algarismos
100, 101, 102, ..., 150
números de 
três algarismos
De 1 a 9 são 9 números de um algarismo
De 10 a 99 são 89 números de dois algarismos
De 100 a 150 são 50 números de três algarismos
9 8 1 5
89 8 2 5
50 8 3 5
 9
178 1
150
337
São 90 números de dois algarismos, e não 89. São 51 números de três algarismos, e não 50.
a) Que número pode ter a casa de Paulo?
b) Para qual desses números a casa onde Paulo 
mora estaria mais próxima do início da rua?
c) Para qual número a casa onde Paulo mora 
estaria mais próxima do final da rua? 975
d) Qual é o sucessor do número da sua casa? 
Esse número coincide com o da casa de seu 
vizinho? Resposta pessoal.
e) O número da casa onde você mora é su-
cessor ou antecessor do número da casa 
de algum colega de sua classe?
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
A resposta depende dos alunos que 
compõem a sala de aula.
26
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pes-
quisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em 
tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Trabalhando a 
informação
Nesta seção, a compilação 
em tabela dos dados levan-
tados por uma contagem 
dos países de naturalidade 
dos ganhadores de Me-
dalhas Fields dá início aos 
processos de construção de 
tabelas, destacando as alter-
nativas para sua organiza-
ção e desafiando os alunos, 
nas atividades subsequen-
tes, a construir e interpretar 
novas tabelas. 
É sempre bom lembrar 
quanto a vida moderna 
exige em relação à correta 
leitura de tabelas, que dão 
suporte a muitas das infor-
mações veiculadas pelos 
meios de comunicação. Nes-
sa seção, pode-se chamar a 
atenção para a participação 
dos brasileiros e das mulhe-
res no desenvolvimento da 
Matemática.
No caso de Artur Ávila, foi 
condecorado com a meda-
lha por seu trabalho em 
sistemas dinâmicos. Já a ira-
niana Maryam Mirzakhani 
recebeu a medalha por des-
cobrir como calcular o volu-
me em espaços de superfí-
cies hiperbólicas.
Caso julgue necessário, ex-
plique aos alunos que o Rei-
no Unido é constituído por 
Inglaterra, País de Gales, Es-
cócia e Irlanda do Norte.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
26 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Construindo tabelas
Artur Ávila foi o primeiro matemático brasileiro a ganhar a Me-
dalha Fields, o prêmio mais importante dessa área, geralmente 
comparado ao Prêmio Nobel.
A Medalha Internacional 
de Descobrimentos Proe-
minentes em Matemática, 
conhecida popularmente 
como Medalha Fields, é 
concedida a dois, três ou 
quatro matemáticos com 
idade máxima de 40 anos.
Desde que foi instituída pelo matemático canadense John 
Charles Fields, em 1936, essa medalha tem sido entregue a 
cada quatro anos a jovens matemáticos que tenham grandes 
destaques em suas pesquisas.
Em 2014, três outros matemáticos também foram premiados: 
a iraniana Maryam Mirzakhani, a primeira mulher condecorada, o 
canandense Manjul Bhargava e o austríaco Martin Hairer. 
De maneira aleatória, as Medalhas Fields distribuídas até 2014 
estão listadas abaixo, de acordo com os países de naturalidade 
dos condecorados.
Artur Ávila, primeiro brasileiro a ser 
condecorado com a Medalha Fields. 
(Foto de 2011.)
A iraniana Maryam Mirzakhani foi 
a primeira mulher a ganhar uma 
Medalha Fields. (Foto de 2014.)
Frente e verso da Medalha Fields. 
(Foto de 2007.)
Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática 
para sabermos quantas Medalhas Fields foram concedidas a cada país. Organizando as informações 
em uma tabela, a análise dos dados será mais fácil. Para isso, inicialmente, podemos percorrer a 
lista e atribuir um traço para cada vez que cada país aparece.
LI
G
IA
 D
U
Q
U
E
A
N
D
R
E
 V
A
LE
N
T
IM
/A
B
R
IL
 
C
O
M
U
N
IC
A
Ç
Õ
E
S
 S
/A
LE
E
 Y
O
U
N
G
 H
O
/A
P
/G
LO
W
 IM
A
G
E
S
S
T
E
FA
N
 Z
A
C
H
O
W
 –
 IN
T
E
R
N
AT
IO
N
A
L 
M
AT
H
E
M
AT
IC
A
L 
U
N
IO
N
, B
E
R
LI
M
 
EUA Bélgica Noruega França EUA Reino Unido EUA
Ucrânia Finlândia EUA Rússia Itália França Rússia
Japão Reino Unido Suécia Japão EUA Reino Unido Irã
Rússia França Rússia EUA França Alemanha Nova Zelândia
França Rússia EUA França Áustria Austrália EUA
Canadá EUA Japão África do Sul Rússia França Israel
EUA França Brasil EUA EUA Bélgica China
Reino Unido Vietnã França Rússia Reino Unido Rússia França
27BIMESTRE 1
Agora quem trabalha 
é você!
Ao construir a tabela pro-
posta na atividade 1, po-
dem-se discutir as diversas 
formas de apresentação dos 
dados. É importante res-
saltar também que, nessa 
construção, a tabela pode 
aparecer na horizontal ou 
na vertical.
Uma possível tabela para 
essa atividade é:
Frutas preferidas dos alunos
Fruta 
preferida
Quantidade 
de alunos
kiwi 2
manga 2
maçã 9
caju 5
morango 4
banana 2
uva 3
jabuticaba 5
laranja 3
pera 2
goiaba 1
seriguela 2
Dados obtidos na classe de Enrico 
(out. 2018).
Ao analisar os dados da tabe-
la, os alunos podem respon-
der às questões propostas.
Na atividade 2, espera-se que 
os alunos percebam que ha-
verá somente dois tipos de 
tabelas e que elas só se dife-
renciarão pela disposição dos 
dados (vertical e horizontal), 
já que os dados coletados 
deverão ser os mesmos para 
todos os alunos.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
27CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Essa tabela tem como título Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos 
matemáticos premiados até 2014, além de duas colunas (divisões na vertical) e oito linhas (divi-
sões na horizontal).
Na 1a linha, são apresentados:
• na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, o país de naturalidade dos ganhadores 
das Medalhas Fields);
• na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de 
Medalhas Fields conquistadas por país).
Da 2a à 8a linha são especificados:
• na coluna da esquerda, alguns países de naturalidade dos ganhadores e a categoria “Outros”;
• na coluna dadireita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada país e à categoria 
“Outros”.
A
N
D
R
É
 L
U
IZ
 D
A
 S
IL
V
A
 P
E
R
E
IR
A
Observe que na 
categoria “Outros” 
agrupamos os países 
que ganharam apenas 
uma Medalha Fields.
Distribuição de Medalhas Fields por país de 
naturalidade dos matemáticos premiados até 2014
País de naturalidade Quantidade de Medalhas Fields conquistadas
EUA 12
Bélgica 2
França 10
Japão 3
Reino Unido 5
Rússia 8
Outros (16 países) 16
 1 Cada aluno da classe de Enrico escreveu no quadro sua fruta preferida.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Com base nas informações do quadro, construa uma tabela. Não se esqueça de dar um título à tabela 
e de identificar a categoria dos dados e os dados obtidos. Agora, responda:
a) Quantos alunos têm seriguela como fruta preferida? 2
b) Qual fruta é apontada como a preferida dos alunos da classe de Enrico? maçã
c) Quantos alunos preferem caju a outras frutas? 5
d) Qual fruta tem a maior preferência: jabuticaba ou morango? jabuticaba
 2 Faça uma pesquisa com os alunos da classe sobre o animal de estimação preferido e organize os 
dados obtidos em uma tabela. Compare a tabela construída por você com a de outros colegas. Há 
diferenças entre as tabelas construídas? Justifique.
LI
G
IA
 D
U
Q
U
E
Dados obtidos 
em: IMU. 
Disponível em: 
<https://www.
mathunion.org/
imu-awards/fields-
medal>. Acesso em: 
27 mar. 2018.
construção de tabela
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
28
Exercício 
complementares
Nesta seção, são oferecidas 
novas oportunidades para 
os alunos retomarem e apli-
carem os principais concei-
tos tratados no capítulo. 
O exercício 3 pode ser en-
riquecido solicitando a eles 
que formulem novas per-
guntas, com mais de uma 
solução ou sem nenhuma 
solução, com base no mesmo 
enunciado, por exemplo:
• Qual será o número se ele 
for par? (Poderá ser 42 ou 
84.)
• Qual será o número se ele 
for maior que 10? (Poderá 
ser 21, 42, 63 ou 84.)
• Qual será o número se ele 
terminar em 5? (Impossí-
vel, porque, nesse caso, o 
algarismo das dezenas se-
ria “10”.)
• Qual será o número se ele 
for maior que 90? (Impossí-
vel, já que o algarismo das 
dezenas será necessaria-
mente o 9, e a metade de 9 
não é um número natural.)
Atenção: como os alunos já 
foram desafiados com pro-
blemas sobre numeração de 
páginas, o exercício 5 é um 
momento oportuno para 
verificar se ainda há difi-
culdades na generalização 
de regularidades, isto é, se 
ainda há alunos que preci-
sam registrar cada um dos 
números e contá-los para 
chegar à resposta final. Uma 
possibilidade de trabalho, 
nesse caso, é formar grupos 
misturando os que apresen-
taram facilidade nas gene-
ralizações com aqueles que 
ainda têm dificuldade nesse 
raciocínio.
Ao trabalhar com o exercí-
cio 7, você poderá discutir 
com a classe a razão pela 
qual, em 1993, houve corte 
de três zeros na moeda na-
cional, destacando aspectos 
como a dificuldade na co-
municação pelo uso de nú-
meros muito grandes até 
para representar preços 
de produtos básicos, como 
café e feijão.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
 1 Usando os algarismos indo-arábicos, escreva 
os números que aparecem por extenso nas 
informações.
a) O rio Amazonas tem seis mil, novecentos e 
trinta e sete quilômetros de comprimento. 
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
C
A
R
LO
S
 F
A
B
A
L/
G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
Vista aérea do rio Amazonas (Amazonas). 
(Foto de 2017.)
b) Segundo estimativa do Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (IBGE), a popu-
lação da cidade de Belo Horizonte (MG), 
em 2017, seria de dois milhões, quinhentos 
e vinte e três mil, setecentos e noventa e 
quatro habitantes. 2.523.794
 2 Considere os seguintes cartões:
1 6 7
Colocando os três cartões um ao lado do outro, 
de todos os modos possíveis, obtemos a repre-
sentação de seis números naturais. Determine:
a) o maior número encontrado; 761
b) o menor número encontrado; 167
c) o menor número que começa com o alga-
rismo 7; 716
d) o maior número que começa com o alga-
rismo 6. 671
 3 Um número tem dois algarismos. O algarismo 
das dezenas é o dobro do algarismo das uni-
dades.
a) Qual será o número se ele for menor que 40?
b) Qual será o número se ele for maior que 70?
 4 Ao formar números com os algarismos 0, 0, 0, 
1, 2, 2, 3, responda:
a) Qual é o menor número que pode ser for-
mado? 1.000.223
b) Qual é o maior número que pode ser for-
mado? 3.221.000
a) Nesse salário, qual é o valor posicional do 
algarismo 7 antes da medida provisória? 
E depois? 700.000; 700
b) Nesse salário, qual é o valor posicional do 
algarismo 4 depois da medida provisória? 
E antes? 4.000; 4.000.000
c) Pesquise com algum adulto da família (pais, 
tios, avós), com base na carteira profis-
sional deles, e registre em seu caderno as 
alterações de salário ocorridas com planos 
econômicos que mudaram o dinheiro no 
Brasil. Resposta pessoal.
 5 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Nu-
merou as páginas começando pelo 1.
a) Quantos algarismos ela escreveu? 660
b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?
 6 Lúcia escreveu todos os números de dois 
algarismos; Paula escreveu todos os núme-
ros de dois algarismos distintos (diferentes); 
Rogério escreveu todos os números pares de 
dois algarismos; e Renato escreveu todos os 
números pares de dois algarismos distintos. 
Entre os cartões coloridos abaixo, aparecem 
as quantidades de números que cada um 
escreveu.
90814541 85 95
Descubra qual é o cartão de cada um.
 7 No Brasil, o dinheiro já teve outros nomes. Em 
julho de 1993, chamava-se cruzeiro. Nesse mês, 
o presidente Itamar Franco editou uma medida 
provisória criando o cruzeiro real: a quantia de 
1.000 cruzeiros passou a valer 1 cruzeiro real. 
Assim, um salário de 4.750.000 cruzeiros, que 
era pouco mais de um salário mínimo, passou 
para 4.750 cruzeiros reais, ou seja, foram tira-
dos três zeros do número anterior.
Nota de 500.000 cruzeiros.
A
C
E
R
V
O
 D
O
 B
A
N
C
O
 C
E
N
T
R
A
L 
D
O
 B
R
A
S
IL
6.937
21
84
113
Lúcia – 90; Paula – 81; Rogério – 45; Renato – 41
29BIMESTRE 1
Diversificando
A seção apresenta o sistema 
binário. Uma das maneiras 
de fazer a atividade do Ago-
ra é com você! é por meio 
de figuras, distribuindo os 
agrupamentos. Veja como 
isso pode ser feito para o 
caso do número 20:
10 agrupamentos 0
5 agrupamentos
2 agrupamentos
1 agrupamento
0
01
0
01
1
1
0
0
0
0
0
0
Nenhum
agrupamento
(resto)
Nenhum
agrupamento
(resto)
Nenhum
agrupamento
(resto)
Outra maneira de fazer a 
atividade é por meio de di-
visões sucessivas por 2, que 
consiste em: dividir o núme-
ro escrito na base decimal e 
os seus quocientes por 2, até 
que o quociente em uma 
das divisões seja zero. O nú-
mero binário procurado é 
o obtido pelos restos na or-
dem inversa dessas divisões. 
Veja esse procedimento 
para os números 20 e 33:
20 2
0 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
10 100
33 2
1 16 2
0 8 2
0 4 2
0 2 2
0 1 2
1 0
100 001
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme-
ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan-
ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função 
do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação 
decimal.
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
DIVERSIFICANDO
R
epro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
29CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Quando a base é outra
Você já aprendeu que o sistema de numeração 
que usamos atualmente tem base decimal, ou 
seja, tem base dez.
A seguir, vamos ver como funciona um sis-
tema de numeração um pouco diferente do 
nosso, um sistema de base dois – o sistema 
binário. Por isso, em vez de usar dez símbo-
los diferentes, esse sistema usa apenas dois 
símbolos: 0 e 1. 
O sistema binário de numeração é amplamen-
te utilizado pelos hardware dos computado-
res, pois operam em níveis lógicos de tensão, 
associados aos números zero e 1.
Veja no quadro ao lado e nas ilustrações abai-
xo como escrevemos alguns números nesse 
sistema.
Números na base 10 Números na base 2
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
� �
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
Escreva os números 20 e 33, que estão na base dez, na base binária. 20 p 10100; 33 p 100001
O número 3, na base 
dez, é escrito como 
11 na base dois.
O número 7, na base 
dez, é escrito como 
111 na base dois.
O número 25, na base dez, 
é escrito como 11001 na 
base dois.
• Número 7:
• Número 25:
• Número 3:
1
11
1
3
11
111
1
1100
11001
12 1
IL
U
S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
AT
S
U
D
A
30
A delegação brasileira superou marcas relevantes e quebrou recordes históricos nos Jogos 
Paralímpicos Rio 2016. 
O destaque �cou por conta do total de medalhas conquistadas nas arenas cariocas: 72, o maior 
número de pódios do país em todas as edições, superando, em muito, a marca anterior de 47, que 
havia sido estabelecida em Pequim (2008). 
Já em comparação com os Jogos de Londres (2012), o crescimento no número total de medalhas é 
ainda mais expressivo: 67%.
Fonte: BRASIL supera marcos históricos nos Jogos Paralímpicos Rio 2016. Comitê Paralímpico Brasileiro, 
18 set. 2016. Disponível em: <http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera-
marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016>. Acesso em: 14 set. 2017.
LU
C
A
S
 U
E
B
E
L/
G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
2Operações com números naturais
Capítulo
Cena da abertura dos Jogos Paralímpicos Rio 2016, no Rio de Janeiro.
30 CAPÍTULO 2
Objetivos do 
capítulo
Levar o aluno a:
• Resolver situações-pro-
blema compreendendo 
diferentes significados 
das operações de adição, 
subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação e ra-
diciação que envolvem nú-
meros naturais.
• Realizar cálculos relativos 
a operações com núme-
ros naturais, por meio de 
estratégias variadas, com 
compreensão dos proces-
sos nelas envolvidos.
• Reconhecer e usar as pro-
priedades das operações 
de adição e multiplicação 
com números naturais.
• Resolver expressões nu-
méricas que contenham 
operações com números 
naturais.
• Relacionar a potência com 
expoente natural a um 
produto reiterado de fato-
res iguais.
• Compreender e calcular 
a raiz quadrada exata, a 
raiz cúbica exata (e de ou-
tros índices) de um núme-
ro natural.
• Arredondar números natu-
rais para diferentes ordens.
• Perceber a utilidade dos 
arredondamentos para fa-
zer estimativas.
• Ler, identificar e interpretar 
dados expressos em gráficos 
de colunas e de barras.
Orientações gerais 
Este capítulo amplia os 
conhecimentos sobre nú-
meros naturais do capítu-
lo anterior e aprofunda o 
estudo das operações feito 
nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental. Associamos 
as operações a situações 
cotidianas e mostramos 
seus diferentes significados. 
Também damos sentido às 
expressões numéricas vin-
culando-as a situações-pro-
blema. Iniciamos ainda o 
trabalho mais formal com a 
linguagem gráfica – a leitu-
ra e a interpretação de grá-
ficos de colunas e de barras.
Aproveite para discutir com os alunos sobre a inclusão e o papel de cada pessoa na sociedade, independen-
temente de suas limitações. Explore também a diferença entre o total de medalhas conquistadas no Rio 
(2016) e o total de medalhas obtidas em Pequim (2008), destacando a operação de subtração.
http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera-marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016
http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera-marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016
http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera-marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016
31
Habilidade trabalhada: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou 
aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com 
e sem uso de calculadora.
BIMESTRE 1
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
31CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
1 Adição
Nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, a natação brasileira conquistou cinco medalhas a mais 
do que nos Jogos de Londres 2012, quando o Brasil ficou com um total de 14 medalhas, sendo 
nove ouros, quatro pratas e um bronze.
Leia o texto abaixo, que trata de conquistas da natação nos Jogos Paralímpicos.
A equipe brasileira masculina 
de natação paralímpica ganhou a 
medalha de bronze no revezamento 
4 # 100 medley masculino, última 
competição da natação nas Paralim-
píadas 2016. [...]
Os brasileiros fizeram o tempo de 
4:17.51. A medalha de ouro ficou com 
a equipe da China, que fez o tempo 
de 4:06.44 e a medalha de prata ficou 
com os ucranianos, que fizeram um 
tempo de 4:07.89.
Com a conquista da medalha de 
bronze pela equipe brasileira, o na-
dador Daniel Dias tornou-se o maior 
medalhista da natação paralímpica da 
história da competição.
A marca de Daniel Dias foi atin-
gida neste sábado com a conquista 
das medalhas de ouro nos 100 metros rasos S-5 e de bronze no revezamento 4 # 100 medley masculino. [...] Ele 
superou o australiano Matthew Cowdrey, que era o recordista [...].
Daniel Dias tem agora 14 medalhas de ouro, sete de prata e três de bronze. O australiano, que agora ocupa a 
segunda colocação na natação paralímpica, tem 13 medalhas de ouro, sete de prata e três de bronze. Na Rio 2016, 
o brasileiro subiu ao pódio nove vezes.
Fonte: DANIEL Dias: o maior medalhista da história das Paralimpíadas. Veja.com, 17 set. 2016. Disponível em: <http://
veja.abril.com.br/brasil/daniel-dias-o-maior-medalhista-da-historia-das-paralimpiadas/>. Acesso em: 14 set. 2017.
Em 2016, Daniel Dias tornou-se o maior medalhista brasileiro da história 
das Paralimpíadas. (Foto de 2016.)
B
U
D
A
 M
E
N
D
E
S
/G
E
T
T
Y
 IM
A
G
E
S
Com base no texto, podemos descobrir, por exemplo, o total de medalhas conquistadas 
pelo nadador Daniel Dias nos Jogos Paralímpicos ao longo de sua carreira. Para isso, basta 
juntarmos as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze:
Portanto, Daniel tornou-se recordista com 24 medalhas nos Jogos Paralímpicos que dispu-
tou até 2016.
Na calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira:
Medalhas 
de ouro
Medalhas 
de prata
Medalhas 
de bronze
Total de 
medalhas
14 1 7 1 3 5 24
parcelas soma
41 371 1 5 24
N
E
LS
O
N
 
M
AT
S
U
D
A
Adição
Para retomar e ampliar a 
operação de adição, manti-
vemos o contexto da aber-
tura apresentando um texto 
sobre o nadador brasileiro 
Daniel Dias, que se consa-
grou no Rio, em 2016, o 
maior medalhista da nata-
ção paralímpica da história 
da competição. Na adição 
que produz o total de me-
dalhas desse nadador, os 
alunos retomam o signifi-
cado de juntar associado a 
essa operação.
Se possível, peça aos alunos 
que tragam para a sala de 
aula calculadoras simples a 
fim de explorarem um pou-
co esse recurso em situações 
de adição.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho com nú-
meros naturais e suas operações, 
sugerimosos livros:
RAMOS, Luzia Faraco. O que fazer 
primeiro? São Paulo: Ática, 2001. 
(Coleção A Descoberta da Matemá-
tica).
______. Uma raiz diferente. São Pau-
lo: Ática, 2001. (Coleção A Desco-
berta da Matemática).
Complemente os estudos com 
a Sequência didática 1 – 
Operações com números 
naturais e a Sequência 
didática 2 – Interpretação 
de tabelas e gráficos, 
disponíveis no Manual 
do Professor – Digital. 
As atividades propostas 
permitem desenvolver de 
forma gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
http://veja.abril.com.br/brasil/daniel-dias-o-maior-medalhista-da-historia-das-paralimpiadas/
http://veja.abril.com.br/brasil/daniel-dias-o-maior-medalhista-da-historia-das-paralimpiadas/
32
Orientações
Nesta página, destacamos o 
significado de acrescentar 
da adição. Proponha novas 
situações que envolvam os 
significados da adição para 
os alunos identificarem e 
resolverem, com ou sem o 
uso de calculadora. Em cada 
uma das adições efetuadas, 
retome com eles os elemen-
tos que participam de uma 
adição: parcelas e soma (re-
sultado da adição).
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos 
neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
32 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Com os dados da página anterior, podemos obter também outras informações. Se quiser-
mos saber, por exemplo, a quantidade de medalhas conquistadas pelas equipes brasileiras 
— masculina e feminina — de natação nos Jogos Paralímpicos do Rio, devemos acrescentar à 
quantidade de medalhas conquistadas nos Jogos de Londres (14) a quantidade de medalhas 
conquistadas a mais em 2016 (5):
Em uma calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira:
541 51 19
N
E
LS
O
N
 
M
AT
S
U
D
A
 1 Uma piscina está com 35.750 litros de água. 
Colocando-se outros 12.250 litros, ela ficará 
cheia. Quan tos litros de água cabem nessa 
piscina? 48.000 litros
 2 Dados dois números naturais, em que um é 
menor que 3 e o outro é menor que 5, é possível 
a soma deles ser 6? Justifique sua resposta com 
um exemplo. sim; 2 1 4
Quantidade de medalhas 
conquistadas em Londres
Quantidade de medalhas 
conquistadas a mais no Rio
Total de medalhas 
conquistadas no Rio
14 1 5 5 19
 
parcelas soma
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
As ideias de juntar e acrescentar quantidades estão relacionadas à operação de adição.
Quantos quilômetros percorre um automó-
vel que vai de:
a) A até D passando por B e C? 
b) A até D passando por E? 356 quilômetros
c) A até D passando por B e voltando até C? 
d) B até E passando por D? 
364 quilômetros
485 quilômetros
513 quilômetros
 3 Segundo estimativa do Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE), em 2016, o es-
tado do Maranhão, sem considerar a capital, 
São Luís, tinha 5.871.101 habitantes. Quantos 
habitantes tinha todo o estado do Maranhão, 
se São Luís tinha 1.082.935 habitantes? 
 4 Na ilustração abaixo, está representada a 
distância rodoviária, em quilômetros, entre as 
cidades A, B, C, D e E.
PA
U
LO
 S
O
A
R
E
S
/F
O
TO
A
R
E
N
A
Vista aérea da Lagoa Jansen em São Luís 
(Maranhão). (Foto de 2017.)
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
6.954.036
 5 É possível que a soma de dois números na-
turais maiores que 3 seja 7? Justifique.
Não, pois o menor número natural maior que 3 é 4 e, 
como 4 1 4 5 8, a soma é maior que 7.
33
Exercícios propostos
No exercício 8, o aluno pre-
cisará compreender que o 
enunciado restringe os nú-
meros que podem ser parce-
las da soma, já que um de-
les deverá ter um algarismo 
e o outro, dois algarismos. 
Como existem apenas dez 
números de um algarismo 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), 
para o item a, uma das pos-
sibilidades é testar cada um 
desses números para, então, 
encontrar seu par, observan-
do que apenas o número 
zero não pode ser usado, 
pois teríamos 0 1 100, ou 
seja, uma das parcelas teria 
três algarismos. No item b, a 
única possibilidade de obter 
soma 108 é usar o maior nú-
mero de um algarismo, ou 
seja, o número 9, para obter 
a seguinte adição: 99 1 9 5 
5 108. No entanto, mesmo 
usando o maior número de 
um algarismo, não é possí-
vel obter a soma 109.
Para saber mais
A seção constitui uma opor-
tunidade para discutir com a 
classe o uso de cálculos esti-
mativos em diferentes situa-
ções cotidianas. 
BIMESTRE 1
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
33CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
PARA SABER MAIS
Arredondar para fazer estimativas
Conhecer o valor exato de uma conta-
gem nem sempre é tão importante. Em re-
lação à população de um país, por exemplo, 
se dissermos que ela é de 169.799.170 ou 
de 170 milhões, não estaremos mudando 
a ideia da quantidade de habitantes que 
queremos passar.
Nesse caso, dizemos que o núme-
ro 169.799.170 foi arredondado para 
170  milhões.
É importante saber arredondar núme-
ros, pois, em muitas situações do dia a dia, 
isso nos ajuda a fazer uma estimativa do 
resultado que queremos.
Arredondar um número significa trocá-
-lo por outro mais próximo de uma ordem 
escolhida. Por exemplo, ao comprar três 
produtos que custam 41, 28 e 19 reais, 
podemos arredondar esses números para 
40, 30 e 20. Assim, é possível saber mais 
facilmente que o total a pagar é um valor 
próximo de 90 reais.
Para arredondar um número para de-
terminada ordem, deve-se observar o 
primeiro algarismo que está à direita do 
algarismo da ordem escolhida: se for 0, 
1, 2, 3 ou 4, mantém-se a ordem; se for 
5, 6, 7, 8 ou 9, soma-se 1 ao algarismo da 
ordem escolhida.
Veja alguns exemplos de arredonda-
mentos.
a) Arredondar para a dezena mais 
próxima:
 36 " 40 
 75 " 80 
 183 " 180
 552 " 550
b) Arredondar para a centena mais 
próxima:
 236 " 200 
 657 " 700 
 5.418 " 5.400
 7.873 " 7.900
c) Arredondar para o milhar mais pró-
ximo:
 5.982 " 6.000 
 24.157 " 24.000 
 37.539 " 38.000
 44.499 " 44.000
 6 Durante a decisão de um campeonato de fute-
bol, foram realizadas duas partidas. Na primei-
ra, o público pagante foi de 54.321 pessoas, e 
o público não pagante foi de 3.895 pessoas. 
Na segunda partida, a quantidade de pessoas 
aumentou: os pagantes foram 63.247 pessoas, 
e os não pagantes, 5.894 pessoas. Use uma cal-
culadora para responder às questões a seguir.
a) Quantas pessoas compareceram à primeira 
partida? E à segunda? 58.216; 69.141
b) Qual o total de pessoas que assistiram a 
esses jogos? 127.357
 7 Escreva no caderno todos os números com três 
algarismos distintos usando os algarismos 2, 
5 e 7. Use uma calculadora para determinar a 
soma desses números. 
257, 275, 527, 572, 725 e 752; 3.108
 8 Quero adicionar um número de um algarismo 
a um número de dois algarismos.
a) Para obter a soma 100, que pares de núme-
ros posso escolher? 
b) E para obter a soma 108? E para obter a 
soma 109?
 9 Descubra uma forma de determinar a soma 
1.893 1 5.794 usando a calculadora, sabendo 
que a tecla 8 está quebrada.
 10 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema sobre adição com números naturais 
criado por vocês. Depois de cada um resolver 
o problema elaborado pelo outro, destroquem 
para corrigi-los. Resposta pessoal.
8. a) 1 e 99; 2 e 98; 3 e 97; 4 e 96; 5 e 95; 6 e 94; 7 e 
93; 8 e 92; 9 e 91
Para obter 108, posso escolher 
resposta possível: 
1.493 1 400 1 5.794.
apenas o par 9 e 99. Para obter 109, nenhum par é possível.
34
Agora é com você!
Na primeira questão, a en-
fermeira do posto de saúde 
tinha a intenção de obter 
um número aproximado do 
total de vacinas. Para isso,fez arredondamento dos 
números para 600, 1.600 e 
700, chegando ao total de 
2.900. Com os arredonda-
mentos, o resultado é sufi-
ciente para atender a algu-
mas situações, por exemplo:
• saber se o total de vacinas 
é suficiente para atender 
aos usuários esperados 
naquele posto, tomando 
como base a quantidade 
média diária de atendi-
mentos;
• conferir o custo aproxi-
mado de todas as vacinas, 
conhecendo seu preço 
unitário.
É importante reforçar aos 
alunos que, apesar do gran-
de uso cotidiano de cálculos 
exatos, muitos deles com o 
uso de calculadora, diversas 
situações do dia a dia po-
dem ser resolvidas por cál-
culos aproximados. Solicite a 
eles que deem exemplos de 
situações nas quais é comum 
fazer uso de estimativas.
Propriedades da 
adição
Iniciamos o estudo das pro-
priedades da adição am-
pliando as noções que os 
alunos já trazem dos anos 
anteriores.
A propriedade do fechamen-
to não foi considerada aqui 
porque não estamos reali-
zando um estudo axiomático 
da teoria dos conjuntos.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais 
ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos 
neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
34 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
A
LA
N
 C
A
R
V
A
LH
O
 1 Em um posto de saúde, a enfermeira pe-
diu a uma auxiliar que contasse quantas 
vacinas contra a gripe ainda havia nas 
três caixas. A auxiliar contou as vacinas 
de cada caixa e anotou em um papel: 
 617 1 1.578 1 736
 Para ter uma ideia do total de vacinas, 
a enfermeira fez um cálculo mental, ar-
redondando as parcelas para a centena 
mais próxima. Veja como ela fez isso.
 2 Em uma loja, Lúcio fez uma estimativa para 
saber quanto pagaria por suas compras.
a) O que Lúcio fez para perceber o en-
gano do vendedor? 
b) Qual foi o valor da compra dele? 
c) Quando você precisa comprar mais 
de um item, costuma fazer estima-
tiva do valor total antes de pagar? 
Seus pais costumam fazer isso? Você 
acha esse procedimento importante? 
Por quê? Respostas pessoais.
2. b) 121 reais
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 Faça como a enfermeira e verifique se o 
cálculo dela está correto.
2. a) Estimou o total arredondando os números e 
fazendo um cálculo mental.
600 1 1.600 1 700 5 2.900; o cálculo dela está correto.
Propriedades da adição
Para ir à escola, Adara gasta, em média, 10 minutos andando e 
35 minutos no ônibus. Para voltar da escola, ela gasta, em média, 
35 minutos no ônibus e 10 minutos andando. Adara leva mais tempo 
na ida ou na volta da escola?
Para saber, devemos adicionar os tempos gastos:
Tempo gasto na ida: 10 1 35 5 45
Tempo gasto na volta: 35 1 10 5 45
Em média, o tempo gasto é o mesmo, 45 minutos.
A ordem das parcelas não alterou a soma. Isso sempre ocorre quando adicionamos dois nú-
meros naturais quaisquer. Trata-se da propriedade comutativa da adição, enunciada a seguir.
Veja mais alguns exemplos.
a) 20 1 400 5 400 1 20 b) 130 1 500 5 500 1 130
Agora, observe dois modos de efetuar a adição 5 1 3 1 7.
1o modo
Efetua-se a adição das duas primeiras 
parcelas e adiciona-se ao resultado obtido a 
terceira parcela.
2o modo
Efetua-se a adição das duas últimas par-
celas e adiciona-se ao resultado obtido a 
primeira parcela.
Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
19
� 38
64
Então, há 
aproximadamente 
2.900 vacinas.
São 
151 reais.
20
� 40
60
120
T
E
L 
C
O
E
LH
O
5 1 3 1 7 5 8 1 7 5 15 5 1 3 1 7 5 5 1 10 5 15
Não pode ser! Dá 
aproximadamente 
120 reais.
617 � 1.578 � 736
Agora é com você!
35
Orientações
Mostre na lousa situações 
em que os alunos podem 
verificar o quanto as pro-
priedades da adição auxi-
liam no cálculo mental. Por 
exemplo, peça a eles que 
obtenham o valor da soma 
da seguinte adição: 
345 1 0 1 99 1 5 1 21 
Discuta cada passagem abai-
xo com eles, de modo que 
percebam o que foi feito.
• Pela propriedade comu-
tativa, podemos trocar a 
ordem das parcelas, con-
venientemente, já que a 
soma não é alterada:
345 1 0 1 99 1 5 1 21 5
5 345 1 5 1 0 1 99 1 21 
• Pela propriedade associa-
tiva, podemos associar as 
parcelas de maneira con-
veniente, pois a soma tam-
bém não se altera:
345 1 0 1 99 1 5 1 21 5
5 345 1 5 1 0 1 99 1 21 5
5 (345 1 5) 1 0 1
1 (99 1 21) 5
5 350 1 0 1 120
• Como o zero é o elemento 
neutro da adição, sabemos 
que 350 1 0 5 350, ou seja:
345 1 0 1 99 1 5 1 21 5
5 345 1 5 1 0 1 99 1 21 5
5 (345 1 5) 1 0 1
1 (99 1 21) 5
5 350 1 0 1 120 5
5 350 1 120 5 470
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios ex-
plora a aplicação das pro-
priedades da adição. Ob-
serve se os alunos associam 
de maneira conveniente, 
de modo que o cálculo seja 
facilitado. Socialize os dife-
rentes procedimentos utili-
zados para que eles possam 
comparar o que fizeram 
com o modo utilizado por 
outro colega e, assim, refle-
tir sobre suas escolhas. 
BIMESTRE 1
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
35CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Ao associar as parcelas de modos diferentes, não houve alteração na soma. Isso sempre 
ocorre quando adicionamos três ou mais números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade 
associativa da adição, enunciada a seguir.
Observe mais alguns exemplos.
Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as 
parcelas de modos diferentes sem alterar a soma.
2 1 37 1 8 5 
5 37 1 8 1 2 5 37 1 10 5 47
a) 9 1 26 1 21 1 34 5 
5 9 1 21 1 26 1 34 5 30 1 60 5 90
b)
Agora, considere as seguintes adições:
 � 5 1 0 5 0 1 5 5 5
 � 0 1 7 5 7 1 0 5 7
 � 53 1 0 5 0 1 53 5 53
 � 0 1 129 5 129 1 0 5 129
Note que em todas essas adições há um número (o zero) que, em qualquer posição, não 
influi no resultado. Esse número é o elemento neutro da adição. A adição de um número natural 
qualquer com zero (ou vice-versa) é o próprio número. Trata-se de mais uma propriedade da 
adição: a existência do elemento neutro, enunciada a seguir.
O zero é o elemento neutro da adição.
 11 Efetue mentalmente estas adições. Para facili-
tar o cálculo, utilize as propriedades comutativa 
e associativa da adição. Registre no caderno 
como calculou.
a) 73 1 15 1 5 93
b) 20 1 13 1 7 40
c) 18 1 12 1 61 91
d) 28 1 17 1 12 57
e) 15 1 0 1 5 1 9 
f) 43 1 51 1 27 
29
121
32 1 25 1 41 5
5 (30 1 20 1 40) 1 (2 1 5 1 1) 5 
5 90 1 8 5
5 98
 Refaça os cálculos da atividade anterior apli-
cando a estratégia usada pela Mônica.
 13 Tatiana jogou dois dados, obtendo uma soma 
de 9 pontos. Quais são os possíveis pares de 
números para que ocorra essa soma?
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
C
LÁ
U
D
IO
 C
H
IY
O
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 12 Para calcular mentalmente, Mônica usa a de-
composição dos números. Veja como ela faz:
3 e 6, 4 e 5
 14 Bruno mora em Uberlândia e vai viajar para 
 Aracaju. Ele terá de percorrer 1.837 quilô-
metros de carro. No painel do carro há um 
instrumento chamado hodômetro, que marca 
quantos quilômetros o veículo já percorreu. No 
início da viagem o hodômetro marcava 18.540 
quilômetros. 
a) Que número marcará o hodômetro quando 
Bruno chegar a Aracaju? 20.377
b) Durante a estadia em Aracaju, Bruno supõe 
que vai percorrer cerca de 1.400 quilôme-
tros. Quanto deverá marcar o hodômetro 
quando ele iniciar a volta para casa? 21.777
36
Pense mais um 
pouco...
Na situação proposta nesta 
seção, o caminho pode ser 
descoberto por tentativa e 
erro. Um possível caminho 
deve passar pelos números 
1, 5, 6, 7, 8, 4, 1, 2, 1 e 2, 
conforme indicado na figura 
abaixo.
1
5
Entrada
Saída
2 3 4 1
6 7 8 2
0 1 3 4 1
5 6 7 1 2
Para saber mais