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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Prof. Celius A. Magalhães
Cálculo II
Notas da Aula 34∗
Funções de Bessel
Bessel introduziu suas funções por volta de 1824 como parte de seus estudos sobre gravitacão. Hoje, além
da Astronomia, as funçõs de Bessel são importantes também no Eletromagnetismo, no Processamento
de Sinais, na Termodinâmica e na Mecânica Quântica. Para a Física-Matemática, as funções de Bessel
são quase tão populares quanto as funções trigonométricas.
Lembrando: Corda Vibrante
Como guia para o que se vai fazer adiante, vale lembrar
alguns resultados da Aula 29 sobre a corda vibrante. Na-
quele estudo supõe-se que a corda tem comprimento π ,
que está presa em suas extremidades e que oscile com
pequenas amplitudes, como uma corda de violão.
x π
y(x,t)
Neste caso, a função y(x, t), que mede a altura do ponto x no tempo t, é solução da equação da onda
σ 2 ∂ 2
∂x2 y(x, t) = ∂ 2
∂ t2 y(x, t) (1)
onde σ é a velocidade de propagação da onda. Com algumas hipóteses adicionais, e usando o honorável
método de separação de variáveis, foi visto que as funções yn(x, t) = cn sen(nx)cos(σ nt) são soluções
de (1) que satisfazem yn(x,0) = cn sen(nx), onde n ∈N e cn é uma constante. As figuras abaixo ilustram
os gráficos de alguns dessas funções, que são os harmônicos da corda.
x x x
y1 y2 y3
A solução geral de (1) é uma superposição desses harmônicos yn, que oscilam com frequências
ζn = nζ1, onde ζ1 =
σ
2π é a frequência do harmômico fundamental y1. Como as frequências são multiplas
umas das outras, as interferências entre eles são construtivas, e produzem um som rico e profundo.
Membrana Vibrante
As funções trigonométricas são importantes para o estudo da corda vibrante. Para o estudo da membrana
vibrante o importante são as funções de Bessel, como se verá a seguir.
Considere então o problema de modelar as vibrações de uma menbrana
elástica na forma do disco D = {(x,y); x2 + y2 ≤ 1}. Suponha que a mem-
brana esteja presa ao longo de seu bordo, como em um tambor, e despreze
a resitência do ar. Neste caso, a função de três variáveis z(x,y, t), que mede
a altura do ponto (x,y) no tempo t, é solução da equação de onda
σ 2
[
∂ 2
∂x2 z(x,y, t)+
∂ 2
∂y2 z(x,y, t)
]
= ∂ 2
∂ t2 z(x,y, t) (2)
onde σ > 0 é a velocidade de propagação da onda. Esta é a generalização natural da equação (1), e pode
ser deduzida de forma análoga ao que se fez na Aula 29.
A menos da constante σ , o lado esquerdo de (2) é conhecido como o operador de Laplace, o mesmo
da equação do calor estudada na Aula 32. Este é um dos operadores fundamentais da Física-Matemática.
∗Texto digitado e diagramado por Henrique Reis a partir de anotações de sala de Olaia Diniz
No estudo de (2) a ideia é, como antes, usar o honorável método de separação de variáveis. Mas,
antes, é necessário mudar as coordendas cartesianas (x,y) para as coordenadas polares (r,θ), onde
x = r cos(θ) e y = r sen(θ). O significado geométrico desta mudança está ilustrado nas figuras abaixo.
x
y
r θ
1
1
D
r
θ
1
2π
Das figuras é claro que o raio r varia no intervalo (0,1), e isso independentemente da variação do
ângulo θ , que se dá no intervalo (0,2π). Essa é a vantagem das coordenadas polares: uma coordenada
varia independentemente da outra, o que não acontece com as coordendas cartesianas do disco.
Em coordenadas polares a função z(x,y, t) é dada por u(r,θ , t) = z(r cos(θ),r sen(θ), t). Usando a
expressão do operador de Laplace em coordenadas polares, visto anteriormente na aula Aula 32, de (2)
segue-se que u(r,θ , t) é solução da equação
σ 2
[
∂ 2
∂ r2 u(r,θ , t)+ 1
r
∂
∂ r
u(r,θ , t)+ 1
r2
∂ 2
∂θ 2 u(r,θ , t)
]
= ∂ 2
∂ t2 u(r,θ , t) (3)
O problema pode ser simplicadado admitindo-se que as vibrações
tenham uma forma radialmente simétrica, como ilustra a figura ao lado,
em que a altura u(r,θ , t) do ponto (r,θ) é a mesma para todo ângulo θ .
Isso corresponde a supor que u(r,θ ,r) = u(r, t) é independente de θ . Esse
é o caso de um tambor em que a percusão ocorre no centro da membrana.
Com essa hipótese de simetria a equação (3) escreve-se como
σ 2
[
∂ 2
∂ r2 u(r, t)+ 1
r
∂
∂ r
u(r, t)
]
= ∂ 2
∂ t2 u(r, t) (4)
Explorando agora que as variações de r e t são independentes uma da outra, pode-se usar separação
de variáveis e tentar solução de (4) na forma u(r, t) = g(r)h(t). Obtém-se então que
σ 2
[
d2
dr2 g(r)h(t)+ 1
r
d
dr
g(r)h(t)
]
= g(r) d2
dt2 h(t)
Dividindo essa equação pelo produto g(r)h(t) segue-se que
σ 2
[
d2
dr2 g(r) 1
g(r) +
1
r
d
dr
g(r) 1
g(r)
]
= d2
dt2 h(t) 1
h(t)
onde as variáveis estão separadas! Daí obtém-se que, mudando o valor de t, o lado direito não muda,
pois é igual ao lado esquerdo que não depende de t. Logo, o lado direito é constante. Consequentemente,
o lado esquerdo é também igual à mesma constante. Indicando por K essa constante, tem-se que
σ 2
[
d2
dr2 g(r) 1
g(r) +
1
r
d
dr
g(r) 1
g(r)
]
= d2
dt2 h(t) 1
h(t) = K (5)
Pode-se inferir o sinal da constante K com o seguinte argumento: do fato de que a membrana oscila
sem amortecimento, segue-se que h(t) deve ser periódica; como h(t) é solução de d2
dt2 h(t)−Kh(t) = 0,
deve-se ter necessáriamente que K ≤ 0, pois, do contrário, h(t) seria uma função exponencial monótona.
Assim, indicando por K =−ω2, de (5) obtém-se as equações





d2
dt2 h(t)+ω2h(t) = 0 (6)
σ 2
[
d2
dr2 g(r) 1
g(r) +
1
r
d
dr
g(r) 1
g(r)
]
=−ω2 (7)
Cálculo II Notas da Aula 34 2/6
Ótimo! Até aqui os argumentos parecem bem coerentes. Isso porque a solução geral da equação (6) é
uma combinação linear das funções cos(ωt) e sen(ωt), que são periódicas de período 2π/ω . Ora! Esse
é exatamente o comportamento esperado para as vibrações da membrana, e já se obtém que a constante
ω determina o período das vibrações. Muito bom.
Multiplicando por r2g(r)
σ2 e usando a notação µ = ω
σ , a equação (7) escreve-se na forma
r2 d2
dr2 g(r)+ r d
dr
g(r)+µ2r2g(r) = 0 (8)
Vale ainda simplificar (8) um pouquinho usando a mudança de variável x = µr e indicando por
y(x) = g( x
µ ) = g(r). Então, d
dx
y(x) = d
dr
g( x
µ )
1
µ e d2
dx2 y(x) = d2
dr2 g( x
µ )
1
µ2 , e, de (8), segue-se que
0 = r2 d2
dr2 g(r)+ r d
dr
g(r)+µ2r2g(r)
= r2µ2 d2
dx2 y(x)+ rµ d
dx
y(x)+ (µr)2y(x)
= x2 d2
dx2 y(x)+ x d
dx
y(x)+ x2y(x) (9)
Pronto! Essas são as simplificações necessárias. (9) é a equação de Bessel de ordem zero, e as
soluções correspondentes são as funções de Bessel de ordem zero.
É claro que x = 0 é um ponto singular para a equação (9) , e as soluções y(x) podem não estar
definidas nesse ponto. No entanto, em coordenadas polares, x = 0 corresponde a r = 0, que é o centro
da membrana, e as soluções devem descrever como são as vibrações nesse ponto. Então, para se obter
soluções que sejam fisicamente aceitaveis, deve-se procurar soluções de (9) que sejam bem comportadas
em x = 0, no sentido de que exista o limite limx→0 y(x) = y0 ∈ R.
Funções de Bessel de Ordem Zero
O primeiro passo no estudo de (9) é notar que x = 0 é um ponto singular regular. Com efeito, como os
coeficientes da equação são P(x) = x2, Q(x) = x e R(x) = x2, segue-se que p(x) = Q(x)/P(x) = 1/x e
q(x) = R(x)/P(x) = 1 são tais que
lim
x→0
xp(x) = p0 = 1 e lim
x→0
x2q(x) = q0 = 0
Isso mostra que x = 0 é um ponto singular regular. Mostra ainda que a equação indicial correspondente
s(s−1)+ p0s+q0 = s2 = 0
tem raízes s0 = s1 = 0. Daqui, e do que foi visto na aula passada, segue-se que as soluções da equação
(9) são combinações lineares das funções
y0(x) = x0
(
1+
∞
∑
n=1
anxn
)
, x > 0 (10)
y1(x) = y0(x) ln(x)+ x0
(
∞
∑
n=1
bnxn
)
, x > 0 (11)
A função em (10) é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero. Já a
função em (11), com uma normalização conveniente, é a função de Bessel de segunda espécie de ordem
zero. Destas duas, apenas a de primeira espécie é bem comportada perto de x = 0, pois a de segunda
espécie inclui um termo logarítmico, e portanto não existe o limx→0 y1(x).
O próximo passo é simplificar a notaçãoe usar y′(x) e y′′(x) para indicar a primeira e a segunda
derivadas, pois só se vai usar a variável x no restante desta seção.
� Exemplo 1 Obtenha as relações de recorrência para a função y0(x) = 1+∑∞
n=1 anxn em (10). Em
seguida, calcule os quatro primeiros termos não nulos desta série. �
Cálculo II Notas da Aula 34 3/6
Solução. Já se tem que a0 = 1. Para os demais coeficientes, da expressão de y0(x) tem-se que
y′0(x) =
∞
∑
n=1
nanxn−1 = a1 +2a2x+3a3x2 + · · ·+nanxn−1 + · · ·
y′′0(x) =
∞
∑
n=2
n(n−1)anxn−2 = 2a2 +3 ·2a3x+4 ·3a4x2 + · · ·+n(n−1)anxn−2 + · · ·
Para substituir essas expressões em (10), notando que xy′0(x) e x2y′′0(x) possuem as mesmas potências
de x, vale primeiro somar esses dois termos e obter
x2y′′0(x)+ xy′0(x) =
∞
∑
n=2
n(n−1)anxn +
∞
∑
n=1
anxn = a1x+
∞
∑
n=2
[n(n−1)+n]anxn
= a1x+
∞
∑
n=2
n2anxn (12)
Para somar o termo x2y0(x), o melhor é fazer a mudança de índice n = k−2, como a seguir:
x2y0(x) = x2
(
1+
∞
∑
n=1
anxn
)
= x2 +
∞
∑
n=1
anxn+2 = x2 +
∞
∑
k=3
ak−2xk (13)
Somando (12) e (13), voltando ao índice n em (13) e agrupando os temos semelhantes, obtém-se
x2y′′0(x)+ xy′0(x)+ x2y0(x) = a1x+
∞
∑
n=2
n2anxn + x2 +
∞
∑
n=3
an−2xn
= a1x+22a2x2 +
∞
∑
n=3
n2anxn + x2 +
∞
∑
n=3
an−2xn
= a1x+(22a2 +1)x2 +
∞
∑
n=3
(n2an +an−2)x
n
Por (9), os coeficientes das potências de x acima devem ser nulos, e daí as relações de recorrência
a1 = 0, a2 =− 1
4 e an =− an−2
n2 , n = 3,4,5, · · ·
Segue-se então que todos os coeficientes ímpares se anulam, pois eles são determinados por a1 = 0.
Já os coeficentes pares são determinados por a0 = 1, e os primeiros desses coeficientes são dados por
a2 =− 1
22 , a4 =− a2
42 =
1
2224 = 1
64 , a6 =− a4
62 =− 1
(3·2)226 =− 1
2304 , · · ·
Em geral, os coeficientes pares são dados por a2k =
(−1)k
(k!)222k , e a solução y0(x) em (10) é dada por
y0(x) = 1+
∞
∑
k=1
(−1)k
(k!)222k x2k = 1− 1
4x2 + 1
64x4 − 1
2304 x6 + · · ·
Esta é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, usualmente denotada por J0(x). �
A função J0(x) = y0(x) tem uma curiosa relação com
as funções trigonométricas. De fato, pode-se mostrar que
J0(x) ≈
√
2
πx
cos(x− π
4 ) quando x → ∞
A figura ao lado ilustra o gráfico de J0(x) em azul e o
gráfico de
√
2
πx
cos(x− π
4 ) em vermelho. Destes gráficos
percebe-se que a aproximação já é muito boa para x ≥ 1.
1 µ1 µ2 µ3 µ4
Os gráficos ilustram também o carater ondulatório da função J0(x), que ora é positiva, ora é negativa,
e com amplitude que diminui à medida que x aumenta.
Em particular, assim como o cosseno, J0(x) tem uma infinidade de zeros µ1,µ2, . . . ,µn, . . . no semi-
eixo positivo. Os primeiros desses números são µ1 ≈ 2,4048, µ2 ≈ 5,5201, µ3 ≈ 8,6537 e µ4 ≈ 11,7915,
e é curioso notar que as diferenças µ2 − µ1 ≈ 3,1153, µ3 − µ2 ≈ 3,1336, µ4 − µ3 ≈ 3,1378 . . . tendem
a se aproximar do número π , exatamente como acontece para o cosseno. As semelhanças são mesmo
impressionantes! Os zeros de J0(x) vão desempenhar um papel importante logo a seguir.
Cálculo II Notas da Aula 34 4/6
Volta à Membrana Vibrante
Além da hipótese de simetria u(r,θ , t) = u(r, t), usada no início da seção anterior, e exatamente como na
corda vibrante, a membrana será estudada com as seguintes hipóteses adicionais:
x
y
r θ
1
1
DC





u(1, t) = 0 ∀t ≥ 0 (14)
∂
∂ t
u(r,0) = 0 ∀r ∈ [0,1] (15)
u(r,0) = f (r) ∀r ∈ [0,1] (16)
Como no caso da corda vibrante, a interpretação física de (14) é
bem simples. Significa que a membrana está presa ao longo do bordo
C = {(x,y);x2 + y2 = 1}, pois nesses pontos r = 1. Assim, a altura da
membrana nesses pontos deve ser zero para todo tempo t. Veja a figura.
Como ∂
∂ t
u(r, t) é a velocidade de oscilação do ponto (r,θ) no tempo t, a hipótese (15) significa que
todos os pontos da membrana iniciam o movimento com velociade nula.
Finalmente, (16) significa que, no início, o ponto (r,θ) da membrana está a uma altura f (r), onde f (r)
é uma função dada. Assim, o gráfico de u(r,0) coincide com o gráfico de f (r) no início do movimento.
Bem, como u(r, t) = g(r)h(t), resta agora saber como essas hipóteses adicionais se refletem no com-
portamento das função g(r) e h(t).
Neste sentido, foi visto que h(t) é solução de (6), e, portanto, é uma combinação linear das funções
cos(ωt) e sen(ωt). Mas, da hipótese adicional ∂
∂ t
u(r,0) = g(r)h′(0) = 0, deve-se ter que h′(0) = 0, pois,
do contrário, g(r) deveria ser nula, o que não é interessante! Com essa condição, h(t) é um múltiplo de
cos(ωt). Finalmente, com a notação µ = ω
σ usada para se obter (11), h(t) é da forma h(t) = acos(σ µt).
Já com respeito a g(r) existem duas considerações a serem feitas.
A primeira é que, com a mudança de variável x = µr e a função y(x) = y(µr) = g(r), foi visto que
y(x) é uma solução da equação de Bessel de ordem zero, e uma solução que deve ser bem comportada
perto de x = 0. Assim, y(x) é um múltiplo y(x) = bJ0(x) da função de Bessel de primeira espécie de
ordem zero. Daqui conclui-se que g(r) é da forma g(r) = y(µr) = bJ0(µr) para alguma constante b.
A segunda consideração é a respeito dos possíveis valores de µ . Com efeito, da hipótese adicional
u(1, t) = g(1)h(t) = 0, para se obter soluções h(t) que sejam não nulas, deve-se ter que g(1) = kJ(µ) = 0.
Surpresa! Os possíveis valores de µ são os zeros µ1, µ2, µ2, . . . , µn, . . . da função J0(x). Com isso obtém-
se toda uma família de soluções g(r) = gn(r) = bnJ0(µnr), com n = 1,2,3, . . . e constantes bn
Usando esses valores de µ , e que h(t) é um múltiplo de cos(σ µt), obtém-se também que
h(t) = hn(t) = an cos(σ µnt), em que an é constante. Esses argumentos mostram que
u(r, t) = un(r, t) = gn(r)hn(t) = cnJ0(µnr)cos(σ µnt), n = 1,2,3, . . .
onde cn = anbn é constante, são soluções da equação (4) que satisfazem un(r,0) = cnJ0(µnr). Elas são as
soluções elementares, e podem ser comparadas com os harmônicos da corda vibrante. As figuras abaixo
ilustram os gráficos de algumas funções un(r,0) = cnJ0(µnr), já em coordenadas cartesianas.
u2 u3 u4
No início da aula foi visto que os harmônicos da corda oscilam com frequências que são múltiplos
inteiros da frequência fundamental, e daí a qualidade acústica do som da corda.
Isso já não é verdade para a membrana. Com efeito, as soluções elementares un oscilam com frequên-
cias ζn = µn
σ
2π que não são multiplos inteiros da frequência fundamental µ1
σ
2π , pois os zeros µn não são
multiplos inteiros de µ1. Esse fato explica a diferença acústica entre o som da corda e o da membrana:
na primeira, os harmônicos interagem construtivamente, enquanto que, na segunda, a interferência é
destrutiva. Essa é uma bonita interpretação musical dos zeros das funções de Bessel!
Voltanto à equação da onda, por superposição das soluções elementares, obtém que
u(r, t) =
∞
∑
n=1
cnJ0(µnr)cos(σ µnt) (17)
Cálculo II Notas da Aula 34 5/6
é também solução da equação da onda que satisfaz as hipóteses adicionais (14) e (15).
Agora, exatamente como no caso da corda vibrante, a pergunta é: dada uma função f (r), como fazer
para que a hipótese adcional u(r,0) = f (r) seja satisfeita?
Para isso, usando a expressão de u(r, t) acima, a ideia é escolher constantes cn de modo que
u(r,0) =
∞
∑
n=1
cnJ0(µnr) = f (r) (18)
Como no caso das séries de Fourier, estudadas na Aula 29, essa ideia gera pelo menos duas perguntas
interessantes. A primeira é: quais funções podem ser escritas como em (18)? É uma pergunta difícil,
mas pode-se mostrar que uma grande quantidade de funções podem ser escritas nesta forma.
Caso f (r) possa ser escrita como em (18), a segunda pergunta é: como calcular os coeficentes cn?
Surpreendentemente, essa pergunta é mais fácil do que a primeira. Isso porque, com um produto escalar
adequado, as funções J0(µnr) formam um conjunto ortogonal! Esse é o conteúdo do lema a seguir, cuja
demonstração pode ser encontrada em (G. Simmons).
Lema 1 Para as funções gm(r) = J0(µmr) e gn(r) = J0(µnr), com m e n em N e n 6= m, tem-se que
〈gm,gn〉=
∫ 1
0
rJ0(µm r)J(µn r)dr= 0
�
Caramba! Que resultado interessante. Ele significa que, com o produto escalar introduzido no lema,
(18) é a expressão de f (r) como combinação linear de funções ortogonais, e, portanto, que cnJ0(µnr) é
a projeção ortogonal de f (r) sobre J0(µnr). É impressionante a semelhança com as séries de Fourier, e
(18) é dita a série de Fourier-Bessel de f (r).
Esses argumentos resolvem inteiramente o problema da membrana vibrante com as hipóteses adici-
onais (14), (15) e (16). Com efeito, as soluções elementares un(r, t) = cnJ0(µnr)cos(σ µnt) são soluções
da equação da onda que satisfazem (14) e (15). Por superposição obtém-se que a função em (17) é
também solução que satisfaz as mesmas hipóteses (14) e (15). Finalmente, para (16), basta calcular os
coeficiêntes cn da projeção ortogonal de f (r) sobre J0(µnr), que são dados por
cn =
1
‖gn‖2 〈 f ,gn〉=
1
‖gn‖2
∫ 1
0
r f (r)J0(µnr)dr
onde ‖gn‖
2 =
∫ 1
0 rJ0(µnr)2 dr é o quadrado da norma da função gn(r) = J0(µnr).
Com esses coeficientes (17) é a solução procurada. Talvez, o melhor seria dizer candidato a solução,
pois ainda falta estudar os problemas de convergência, e tanto para (17) como para (18).
Mas essas questões de convergência escapam ao alcance do curso, e são motivos para muito tempo de
estudo. O que se pretende aqui é ilustrar a importância das funções de Bessel em um contexto físico de
interesse, mas simples de se entender. Foi usado a membrana vibrante como motivação, mas as funções
de Bessel desempenham um papel fundamental também no Eletromagnetismo, no Processamento de
Sinais, na Termodinâmica, na Mecânica Quântica, etc.
Cálculo II Notas da Aula 34 6/6