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Pontos Singular Regulares∗
Hung Cheng
Massachusetts Institute of Technology – MIT
1 A Equação de Bessel
Considere a equação de Bessel
x2 d2y
dx2
+ x
dy
dx
− p2y = −x2y, (1)
para a qual buscamos uma solução na forma de uma expansão em série ao
redor do ponto x = 0.
Se x2 é muito menor que p2, o fator x2y pode ser negligenciando, já que
é muito menor que p2y. Nesta aproximação, igualamos o lado direito de (1)
a zero, e notamos que a EDO resultante é eqüidimensional. Então, a solução
da equação resultante é da forma xs. Substituindo esta solução na equação
diferencial, temos
s(s− 1) + s− p2 = 0
ou
s = p ou s = −p, (2)
Dáı, as soluções aproximadas são
y(x) ≈ xp ou x−p,
que são boas aproximações quando x é pequeno.
Essas aproximações podem ser melhoradas procurando solução na forma
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n+s, (3)
∗Tradução livre, por Andrea Genovese, do texto Regular Singular Points of Ordinary
Differential Equations.
1
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-305Fall-2004/43A28C0B-AA35-425F-AECE-D06D7FA80404/0/seven1.pdf
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-305Fall-2004/43A28C0B-AA35-425F-AECE-D06D7FA80404/0/seven1.pdf
2. Relação de Recorrência 2
onde supomos a0 6= 0. Isto significa que a0x
s é, por hipótese, o primeiro
termo não nulo da solução em série. A série (3) é conhecida como a serie
de Frobenius. Veremos que, substituindo y(x) na equação (1), podemos
determinar o ı́ndice s junto com os coeficientes an, n = 1, 2, . . . . Para n ≥ 1,
os valores de an dependem dos valores de s e do valor de a0. Existem dois
valores posśıveis de s, e portanto, exceto em casos especiais, obtemos duas
soluções em série de Frobenius. A solução geral da equação de Bessel é uma
superposição linear destas duas soluções. Este método é conhecido como o
método de Frobenius.
2 Relação de Recorrência
Determinar as dimensões dos termos da equação nos ajudará a reduzir
a quantidade de cálculo. Isto porque, quando aplicamos dois operadores
de mesma dimensão a uma série de Frobenius, as duas séries resultantes
podem ser somadas sem mudar os ı́ndices do somatório, já que ambos os
operadores mudam as potências xn+s da mesma quantidade. Vai nos salvar
papel e trabalho se lidarmos com os operadores de mesma dimensão ao mesmo
tempo.
O único termo do operador de Bessel (x2 d
dx2 +x d
dx
+x2−p2) de dimensão
2 é x2, onde
x2y =
∞∑
n=0
anx
n+s+2 =
∞∑
n=2
an−2x
n+s.
Os demais termos do operador são de dimensão zero, e lidaremos com todos
eles de uma só vez. Isso nos dá
(x2 d
dx2
+ x
d
dx
− p2)y =
∞∑
n=0
[(n + s)(n + s− 1) + (n + s)− p2]anx
n+s
=
∞∑
n=0
(n + s + p)(n + s− p)anx
n+s (4)
Logo, a relação de recorrência é
(s + p)(s− p)a0 = 0
(1 + s + p)(1 + s− p)a1 = 0
(n + s + p)(n + s− p)an = −an−2, n ≥ 2 .
Observe que existem somente os coeficientes an e an−2 nesta relação. Isto
porque existem somente duas dimensões diferentes para os operadores da
equação de Bessel.
3. As Funções de Bessel 3
Como estamos supondo a0 6= 0, da relação acima obtemos
(s + p)(s− p) = 0 (5)
que é chamada de equação indicial. Ela determina o ı́ndice s como sendo
s = p ou s = −p, o que está de acordo com (2). Sem perda de generalidade,
podemos assumir que p ≥ 0, e então s1 ≥ s2.
Para esses valores de s a relação de recorrência pode ser escrita como a1 = 0
an =
−an−2
(n + s + p)(n + s− p)
, n ≥ 2
(6)
3 As Funções de Bessel
Da relação de recorrência (6) segue-se que os coeficientes ı́mpares são
todos nulos. Para os coeficientes pares, substituindo n = 2m em (6) obtemos
a2m =
−a2(m−1)
4(m + s/2 + p/2)(m + s/2− p/2)
, n ≥ 1 (7)
Para obter os coeficientes em termos de a0, usaremos a igualdade
(m + a)(m + a− 1)...(1 + a) =
Γ(m + a + 1)
Γ(1 + a)
(8)
onde a função gama Γ(x) (a função fatorial generalizada) é definida por
Γ(x) =
∫ ∞
0
e−t tx−1 dt .
Aplicando a fórmula de recorrência m vezes e usando (8) obtemos que
a2m = (−1)m a0Γ(1 + s/2 + p/2)Γ(1 + s/2− p/2)
4mΓ(m + s/2 + p/2 + 1)Γ(m + s/2− p/2 + 1)
. (9)
Observe que o lado direito dessa igualdade depende de s, onde os valores
posśıveis desse parâmetro são s = p ou s = −p. Para s = p obtemos
a2m = (−1)m Γ(1 + p)a0
4mΓ(m + p + 1)Γ(m + 1)
. (10)
Logo, escolhendo a0 de modo que Γ(1 + p)a0 = 1, obtemos a solução da
equação de Bessel
Jp(x) =
∑
n≥0
(−1)m (x
2
)2m+p
Γ(m + p + 1)Γ(m + 1)
(11)
4. Pontos Singulares 4
conhecida como a função de Bessel de ordem p.
Podemos obter uma segunda solução da equação de Bessel escolhendo
s = −p, mas existe uma maneira ligeiramente mas fácil. A equação de Bessel
não muda se trocamos p por −p. Então, outra solução pode ser obtida
trocando p por −p na equação (11), obtendo-se a solução J−p(x).
Pela equação (6), vemos que a razão an/an−2 se anula como 1/n2 quando
n → ∞. Logo, a série em (11) converge para todos os valores de x. No
entanto, não é eficiente calcular os valores de Jp(x) para valores grandes de
x. Além disso, para valores grandes de x, a série dificilmente nos diz alguma
coisa sobre o comportamento qualitativo da função de Bessel. Para entender
o comportamento dessa função para valores grandes de x é uma boa idéia
obter sua expansão em série na variável x−1, e não da variável x.
4 Pontos Singulares
Considere agora a equação diferencial ordinária linear homogênea de se-
gunda ordem
y′′ + c(x)y′ + d(x)y = 0. (12)
Se c(x) e d(x) são ambas anaĺıticas em x0, então esse ponto é chamado de
ponto ordinário da equação (12). Caso contrário, x0 é chamado de ponto
singular da equação.
Se x0 é um ponto ordinário, podemos obter as duas soluções independentes
de (12) procurando por soluções na forma
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)
n (13)
Os coeficientes an, n = 2, 3, ... são determinados pela fórmula de recorrência
obtida substituindo a série dentro da equação diferencial. Estes coeficientes
dependem de a0 e a1, que são constantes arbitrárias. Obtemos assim duas
soluções independentes, a primeira escolhendo a0 = 1 e a1 = 0, e a segunda
escolhendo a0 = 0 e a1 = 1.
Existem dois tipos de pontos singulares. Se x0 é um ponto singular da
equação (12), mas tanto (x−x0)c(x) como (x−x0)
2d(x) são anaĺıticas em x0,
então x0 é chamado de um ponto singular regular. Caso contrário, o ponto é
dito singular irregular.
Por exemplo, a equação de Bessel (1) pode ser escrita na forma
y′′ +
1
x
y′ + (1− p2
x2
)y = 0. (14)
4. Pontos Singulares 5
em que os coeficientes são c(x) = 1/x e d(x) = 1 − p2
x2 . Logo, tanto xc(x)
como x2d(x) são anaĺıticas em x0 = 0, e esse é um ponto regular singular da
equação de Bessel.
No caso de um ponto regular singular x0 da equação (12), podemos obter
soluções expandidas em torno de x0 da mesma maneira que obtivemos solu-
ções da equação de Bessel expandidas em torno de x = 0. Mas precisamente,
procuramos essas soluções na forma de uma série de Frobenius
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)
n+s, (15)
e pode-se mostrar que esta série converge pelo menos até o próximo ponto
singular da equação (12).
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