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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo II
Módulo 3 Lista 3 2.◦/2021
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) No PVI envolvendo a equaçao de Euler
t2y′′(t) + 3ty′(t)− 3y(t) = 0, y(1) = a y′(1) = b
o coeficiente de y′′(t) se anula em t = 0, o que pode causar problemas para a solução nesse
ponto. É importante, então, verificar a existência de soluções que são bem comportadas em
t = 0, isto é, soluções para as quais existe limt→0 y(t). Nesse sentido, em razão da simetria
dos coeficiente, a equação possui duas soluções na forma y0(t) = tr0 e y1(t) = tr1 com r0 < r1.
C E a) Apenas uma das soluções y0(t0) e y1(t) é bem compor-
tada na origem.
C E b) O wronskiano entre y0 e y1 envolve um potência posi-
tiva de t
C E c) Como os coeficientes são variáveis, a equação pode ter
solução que não é combinação linear de y0 e y1.
C E d) No caso do PVI, a solução é da forma y(t) = c0y0(t) + c1y1(t) onde c0 depende
apenas de a.
C E e) Para que a solução do PVI seja bem comportada na origem deve-se ter necessa-
riamente que a− b = 0.
2) Os polinômios de Chebyshev pm(x) e pn(x) são as soluções polinomiais de (∗) com k = m
e k = n. Uma propriedade desses polinônios é que são funções ortogonais, como indi-
cado a seguir. Para isso, deve-se usar que (∗) se transforma em (∗∗) por meio da mu-
dança x = cos(θ) e Y (θ) = y(cos(θ)). Alem disso, pm(x) e pn(x) correspondem às soluções
Yk(θ) = pk(cos(θ)) = cos(kθ) de (∗∗) com k = m e k = n.
(∗) (1− x2)y′′(x)− xy′(x) + k2y(x) = 0, (∗∗) d2
dθ2
Y (θ) + k2Y (θ) = 0
Chebyshev (1821-1894)
a) Use as equações satisfeitas por Ym(θ) e Yn(θ) para mostrar que
d
dθ
(
d
dθ
Ym(θ)Yn(θ)−
d
dθ
Yn(θ)Ym(θ)
)
= (n2
−m2)Ym(θ)Yn(θ).
Resposta:
b) Use o item anterior para verificar que Ym(θ) = cos(mθ) e
Yn(θ) = cos(nθ) são tais que
∫ π
0
Ym(θ)Yn(θ) dθ = 0.
Resposta:
c) Verifique a afirmação de que (∗) se transforma em (∗∗).
Resposta:
d) Usando que pk(cos(θ)) = cos(kθ) e a mudança x = cos(θ), conclua que pm(x) e pn(x)
são ortogonais no sentido de que
∫ 1
−1
pm(x)pn(x)√
1−x2
dx = 0.
Resposta:
e) Finalmente, calcule a integral
∫ 1
−1
pm(x)2√
1−x2
dx.
Resposta:
Cálculo II Módulo 3 Lista 3 2.◦/2021 – 1/3
3) Considere a equação de Schrödinger para o elétron
(∗) − ky′′(x) + U(x)y(x) = Ey(x), x ∈ R
onde k > 0 é uma constante e U(x) e E são as energias potencial e total do elétron, respec-
tivamente. O ponto x = 0, onde U(0) = E, é de especial interesse em mecânica quântica,
pois nele acontece a transição entre uma part́ıcula livre e uma part́ıcula em tunelamento.
Considere o problema de encontrar a solução de (∗) para pontos próximos de x = 0, e indique
por p1(x) o polinômio de Maclaurin de ordem 1 para U(x).
a) Obtenha a expressão de p1(x).
b) Aproximando U(x) por p1(x) em (∗), obtém-se uma nova
equação (∗∗) da forma y′′(x)− cxy(x) = 0. Determine a
constante c.
c) Com a mudança de variáveis z = c1/3x e Y (z(x)) = y(x),
mostre que (∗∗) se transforma na equação (∗∗∗) de Airy,
Y ′′(z)− zY (z) = 0.
x
y
E
U(x)
p1(x)
d) Tente solução de (∗∗∗) na forma Y (z) =
∑∞
n=0 an z
n e obtenha as relações de recorrência
para os an’s.
e) Descreva a solução do item anterior na forma Y (z) = a0Y0(z) + a1Y1(z) e obtenha os
3 primeiros termos das séries Y0(z) e Y1(z).
4) A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico quântico é
(∗) w′′(x) + (2λ+ 1− x2)w(x) = 0 , x ∈ R,
e as soluções admisśıveis são aquelas para as quais lim|x|→∞w(x) = 0. Apenas para essas
soluções, a energia do oscilador é finita e igual a E = 2λ + 1. Para simplificar os cálculos é
usual fazer a mudança w(x) = e−x2/2 y(x), que transforma (∗) na equação de Hermite
Hermite (1822-1901)
(∗∗) y′′(x)− 2xy′(x) + 2λy(x) = 0 , x ∈ R
a) Verifique a afirmação feita acima, de que a mudança w(x) =
e−x2/2 y(x) transforma (∗) em (∗∗).
b) Procure solução de (∗∗) na forma y(x) =
∑∞
n=0 anx
n e determine
as relações de recorrência para os an
′s.
c) Descreva a solução geral na forma y(x) = a0y0(x) + a1y1(x), e de-
termine os três primeiros termos das séries y0(x) e y1(x).
d) Verifique que, se λ é um inteiro não negativo, então uma das funções w0(x) = e−x2/2 y0(x)
ou w1(x) = e−x2/2 y1(x) é uma solução admisśıvel para (∗).
e) Pode-se mostrar que as únicas soluções admisśıveis são aquelas obtidas no item anterior.
Use essa informação para determinar todos os valores finitos para a energia do oscilador.
Cálculo II Módulo 3 Lista 3 2.◦/2021 – 2/3
Í Computational Assistance Resource
Atenção: Para baixar o Maxima: no Linux, no Windows, no Android. Manuais do Maxima e extra para
o Android. Executar comandos: shift+enter. Comandos uteis: f(x):=sin(x), plot2d(x,[x,0,1]),
limit(exp(-x),x,inf), diff(sin(x),x), integrate(sin(x)^3,x), ode2('diff(y,x)=y,y,x). Constan-
tes: e=%e, π=%pi.Números complexos: a+ib= a+%i*b. Sintaxe: resultado do último comando= %.
Digite os comandos a seguir no Maxima para obter ajuda na resolução dos itens.
Limpe a memória do programa no ińıcio de cada questão.
1) a) raizes:solve(t^2*diff(t^r,t,2)+3*t*diff(t^r,t)-3*t^r,r);
define(y0(t),t^rhs(raizes[1])); define(y1(t),t^rhs(raizes[2]));
b) load("functs")$ wronskian([y0(t),y1(t)],t); determinant(%);
d) y=%k1*y0(t)+%k2*y1(t); ic2(%,t=1,y=a, ' diff(y,t)=b);
define(y(t),rhs(%));
e) limit(y(t),t,0);
2) a) eq2:diff(diff(Ym(t),t)*Yn(t)-diff(Yn(t),t)*Ym(t),t);
subst([diff(Ym(t),t,2)=-m^2*Ym(t),diff(Yn(t),t,2)=-n^2*Yn(t)],eq2);
factor(%);
b) declare(m,integer); declare(n,integer);
integrate(cos(m*t)*cos(n*t),t,0,%pi);
c) Y(t):=y(cos(t)); Y1(t):=diff(y(x),x)*diff(cos(t),t);
Y2(t):=diff(y(x),x,2)*diff(cos(t),t)^2+diff(y(x),x)*diff(cos(t),t,2);
subst([cos(t)=x,sin(t)^2=1-x^2],Y2(t)+k^2*Y(t));
d) I1:changevar(integrate(pm(x)*pn(x)/sqrt(1-x^2),x,-1,1),x=cos(t),t,x);
I2:subst([pm(cos(t))=cos(m*t),pn(cos(t))=cos(n*t)],I1);
subst(sqrt(1-cos(t))*sqrt(cos(t)+1)=sin(t),I2)=integrate(cos(m*t)*cos
(n*t),t,0,%pi);
e) I1:changevar(integrate(pm(x)^2/sqrt(1-x^2),x,-1,1),x=cos(t),t,x);
I2:subst([pm(cos(t))=cos(m*t)],I1);
subst(sqrt(1-cos(t))*sqrt(cos(t)+1)=sin(t),I2)=integrate(cos(m*t)^2,t
,0,%pi);
3) a) taylor(U(x),x,0,1); p1(x):=U(0)+dU(0)*x;
b) eq3:-k* ' diff(y(x),x,2)+U(x)*y(x)=E*y(x);
expand(subst([U(x)=p1(x),U(0)=E],eq3-E*y(x)));
c) z(x):=c^(1/3)*x; dy1: ' diff(Y(z),z)*diff(z(x),x);
dy2: ' diff(Y,z,2)*diff(z(x),x)^2; eq4:dy2-c*x*Y=0;
radcan(subst(x=c^(-1/3)*z,eq4));
d) Y:sum(a[n]*z^n,n,0,inf); Y1:sum(n*a[n]*z^(n-1),n,1,inf);
Y2:2*a[2]+sum((n-1)*n*a[n]*z^(n-2),n,3,inf);
zY:changevar(intosum(z*Y),n+1=k,k,n); Y2c:changevar(Y2,n=k+2,k,n);
serie:radcan(sumcontract(intosum(Y2c - zY))); CON:part(%,2);
define(b[k],part(serie,1,1)/z^k); solve(b[k]=0,a[k+2]);
e) powerdisp:true$ makelist(b[k]=0,k,1,6); append(%,[CON=0]);
SOL:linsolve(%,makelist(a[k],k,2,8));
subst([a[0]=1,a[1]=0],SOL); "Y0(z)"=1+subst(%,sum(a[k]*z^k,k,2,8));
subst([a[0]=0,a[1]=1],SOL); "Y1(z)"=x+subst(%,sum(a[k]*z^k,k,2,8));
4) a) w(x):=%e^(-x^2/2)*y(x); radcan(diff(w(x),x,2)+(2*b+1-x^2)*w(x));
b) y:sum(a[n]*x^n,n,0,inf); y1:sum(n*a[n]*x^(n-1),n,1,inf);
y2:sum((n-1)*n*a[n]*x^(n-2),n,2,inf);
y2r:changevar(intosum(y2),n-2=k,k,n);
serie:factorsum(sumcontract(intosum(y2r-2*x*y1+2*b*y)));
CON:part(%,2);define(b[n],part(serie,1,1)/x^n);solve(b[n]=0,a[n+2]);
c) powerdisp:true$ makelist(b[n]=0,n,1,6); append(%,[CON=0]);
SOL:factor( linsolve(%,makelist(a[k],k,2,8)));
subst([a[0]=1,a[1]=0],SOL); "Y0(x)"=1+subst(%,sum(a[n]*x^n,n,2,8));
subst([a[0]=0,a[1]=1],SOL); "Y1(x)"=x+subst(%,sum(a[n]*x^n,n,2,8));
Cálculo II Módulo 3 Lista 3 2.◦/2021 – 3/3
https://pkgs.org/download/wxmaxima
http://maxima.sourceforge.net/windows-install.html
https://play.google.com/store/apps/details?id=jp.yhonda&feature=search_result#?t=W251bGwsMSwxLDEsImpwLnlob25kYSJd
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima.htmlhttps://sites.google.com/site/maximaonandroid/
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/maxima_36.html
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_8.html#SEC31
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_18.html#SEC59
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_19.html#SEC61
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_20.html#SEC63
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_22.html#SEC71