Metodologia de Manutenção

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Metodologia da Manutenção 
Estatística e Probabilidade na Manutenção 
 
 
Prof. Heldemarcio Leite Ferreira 
 
 
Objetivo Geral: 
Proporcionar uma visão probabilística adequada, necessária ao profissional de 
manutenção, para o entendimento e tratamento dos eventos aleatórios que 
caracterizam as ocorrências em ativos físicos dos sistemas de produção. 
 
 
Objetivos Específicos: 
- Desenvolver a noção da incerteza associada à Manutenção. 
- Aplicar os recursos da estatística descritiva na análise exploratória de dados. 
- Aplicar os recursos da Inferência estatística na obtenção de parâmetros de uma 
população a partir dos dados amostrais. 
- Conhecer os princípios da teoria das probabilidades para aplicação a eventos 
estocásticos 
 
 
 Programa – Conteúdo programático: 
1. Introdução 
2. Mensuração, 
2.1 Escalas e tipos de variáveis 
3. Estatística descritiva 
3.1 Amostras e Populações 
3.2 Medidas de tendência central 
3.3 Medidas de dispersão 
4. Regressão Linear 
5. Cálculo das Probabilidades 
6. Modelos Probabilísticos 
6.1 Revisão de Estatística Descritiva 
6.2 Principais distribuições aplicadas em Manutenção 
7. Estatística Indutiva 
7.1 Inferência e decisões estatísticas 
7.2 Estimação e Teste de Hipótese 
. 
 
 
 
 
 
 
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1. Introdução 
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir 
o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que 
melhor o explique. 
 
Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo 
em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra, 
dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. 
 
Para a explicação desses fenômenos muito comuns na área de manutenção, 
designados por eventos aleatórios, adota-se um modelo matemático probabilístico. 
Nesse caso, o modelo utilizado será o cálculo das probabilidades. 
 
1.a Origem da palavra 
Embora a palavra ESTATÍSTICA ainda não existisse, há indícios de que 3000 
anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, China e Egito. A própria Bíblia, em 
seu livro quarto do velho testamento (Números) começa com uma instrução a 
Moisés: Fazer um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para 
guerrear. 
 
A palavra ESTATÍSTICA vem do grego “STATUS” (ESTADO, em latim). Sob essa 
palavra acumularam-se descrições e dados relativos ao Estado. A ESTATÍSTICA 
nas mãos dos estadistas constituiu-se em uma verdadeira ferramenta 
administrativa. 
 
Em 1085, Guilherme, O Conquistador, ordenou que se fizesse um levantamento 
estatístico da Inglaterra. Esse levantamento deveria incluir informações sobre 
terras, proprietários, empregados, animais e serviria de base para o cálculo de 
impostos. Tal levantamento originou um volume intitulado “Domesday Book”. 
 
A palavra ESTATÍSTICA foi cunhada pelo acadêmico alemão Gottfried Achenwall 
por volta da metade do século XVIII (o verbete “Statistics” apareceu na 
enciclopédia Britânica em 1797). 
 
1.b Objetivo do estudo de Estatística 
Estuda-se Estatística para aplicar seus conceitos como auxílio nas tomadas de 
decisão diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões. Os 
princípios estatísticos são utilizados em uma grande variedade de situações – no 
governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito das ciências sociais, 
biológicas e físicas. A Estatística presta-se a aplicações operacionais e de 
pesquisas, sendo efetiva não só em experimentos de laboratório, mas também em 
estudos fora dele. 
 
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A Estatística compreende o planejamento e a execução de pesquisas, a descrição 
e a análise dos resultados e a formulação de predições com base nesses 
resultados. 
Método Estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar 
características ou valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em 
situações de incerteza. Os passos da metodologia estatística são os seguintes: 
 
• Definição cuidadosa do problema; 
• Formulação de um plano para a coleta de unidades de observação; 
• Coleta, resumo e apresentação das unidades de observação ou de seus 
valores numéricos; 
• Divulgação de relatórios com as conclusões, de tal modo que estas sejam 
facilmente entendidas por quem as for usar na tomada de decisões. 
 
Entre as características do método estatístico, citam-se: 
 
• É o único modo de lidar com uma grande quantidade de observações ou 
de valores; 
• Aplica-se somente a observações que sejam redutíveis a uma forma 
quantitativa; 
• É o mesmo tanto para as ciências humanas e sociais como para as 
ciências tecnológicas; 
• é objetivo; entretanto, os resultados são influenciados (embora não 
devessem) pela necessária interpretação subjetiva. 
 
2. Mensuração 
A invenção dos números (símbolos capazes de expressar quantidades) permitiu 
que o homem deixasse de guardar as informações num lugar físico para guarda-
las num lugar psicológico: a memória . 
 
Porém, as informações guardadas na memória humana podem ser perdidas por 
esquecimento. Com a escrita, o homem supera esse problema. O algarismo , que 
é a representação gráfica do número, possibilitou-lhe anotar as informações como 
garantia contra o esquecimento. 
 
Medir uma magnitude (grandeza) significa associar a essa magnitude um número 
real. Portanto, quando se mede uma grandeza, realizam-se, em cadeia as 
seguintes ações: 
 
• Definição do que vai ser medido ; 
• Definição de um critério para medição, isto é, de uma escala ; 
• Leitura ; 
• Interpretação . 
 
A medida é uma relação entre a magnitude e o critério. 
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Embora número seja sempre número, as magnitudes diferem umas das outras 
quanto à classe a que pertencem, ou seja, a informação que fornecem, por 
exemplo: estatura, peso, velocidade, inteligência, maturidade, temperatura etc. 
O processo de mensuração depende do nível , isto é da classe a que pertence a 
magnitude (grandeza). Cada nível supõe certas características associadas às 
grandezas nele contidas. Assim, há características de 1º nível, 2º nível, 3º nível e 
4º nível. A complexidade e a informação aumentam com o nível. 
 
2.1 Escalas e tipos de variáveis 
Escalas ou Níveis de Mensuração 
1º Nível – compreende o nível de mensuração mais baixo e rudimentar possível. A 
escala de medida desse nível chama-se Escala Nominal. A base, ou seja, o 
fundamento para a atribuição dos números é de natureza qualitativa , distintiva. 
 
Na escala nominal, as características classificam-se em várias categorias, nas 
quais um valor numérico associado não tem significado real. 
 
• Exemplo de escala nominal: 
 
A variável sexo tem as categorias masculino e feminino, as quais podem ser 
classificadas numericamente pela atribuição do número 1 para o sexo masculino e 
do 2 para o feminino. 
 
Esse exemplo mostra que no 1º nível não são possíveis operações aritméticas 
com os valores atribuídos às variáveis . O 1º nível presta-se a codificações e 
estas comportam, no máximo, contagens . 
 
Outros exemplos de magnitude (grandezas) de 1º nível: 
• Números de telefones; 
• Placas de automóveis; 
• Camisas de jogadores etc. 
 
2º Nível – compreende um nível de mensuração um pouco mais elaborado que o 
anterior e corresponde ao que popularmente se designa por ordenação . A escala 
de medida desse nível chama-se Escala Ordinal. As grandezas de 2º nível 
podem ser avaliadas em termos de maior ou menor, embora a quantificação 
precisa seja impossível. 
 
Na escala ordinal, as características são ordenadas (de maneira crescente ou 
decrescente) em situações para as quais a posição associada é importante.• Exemplo de escala ordinal: 
 
As notas escolares resultantes de provas tradicionais produzem mensurações de 
2º nível. Assim, se o aluno A obteve nota 8 e o aluno B, 4. É possível concluir que 
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o aluno A teve um aproveitamento maior que o aluno B, embora não seja possível 
afirmar que o primeiro saiba o dobro do segundo. 
A atribuição de notas pelo método tradicional é algo falacioso, que sofre influência 
das variações de humor, critério, fadiga etc. do avaliador (professor). 
 
Como a multiplicação é uma adição abreviada e a divisão, uma subtração 
abreviada, não sendo possíveis as operações de ( × ) ou ( ÷ ), não são também 
possíveis, no 2º nível, as de ( + ) e ( − ). 
 
3º Nível – compreende um nível de mensuração em que surge, pela primeira vez, 
uma escala de medida propriamente dita. A escala de medida desse nível chama-
se Escala Intervalar , caracterizada pela existência de: 
o Uma unidade de medida (arbitrária, porém fixa); 
o Um zero relativo, isto é, convencional. 
 
Na escala intervalar, as características tem atribuído a elas valores que permitem 
comparar não só a ordem, como também a variação numérica entre as mesmas. 
 
• Exemplo de escala intervalar: 
 
As escalas termométricas. O zero é convencional em todas, bem como a distância 
entre dois traços contíguos – os chamados graus. 
 
Assim, se um corpo A está a 40ºC e outro, B, a 10ºC, não tem sentido dizer que A 
é “quatro vezes mais quente” que B, pois uma vez mudando a escala de graus 
Celsius para graus Fahrenheit este resultado não se confirmaria. 
 
Utilizando-se a equação de conversão de escalas termométricas: 32+C
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=F , 
onde C representa a temperatura medida em graus Celsius e F a temperatura 
medida convertida para graus Fahrenheit, chegamos aos seguintes valores 
convertidos: 
40ºC⇒ 104ºF 
10ºC⇒ 50ºF 
 
Com os quais concluímos imediatamente que a relação de quatro vezes não se 
confirma. No entanto, é interessante atentar para as diferenças de 3º Nível, para 
as quais todas as operações aritméticas são possíveis. É só observar a tabela a 
seguir: 
Corpos ºC Diferenças em 
ºC 
ºF Diferenças em 
ºF 
A 10 - 50 - 
B 20 10 68 18 
C 40 20 104 36 
D 100 60 212 108 
 
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Concluímos que as relações entre as diferenças de temperatura nas escalas 
Celsius e fahrenheit se mantêm: 
 
ESCALA CELSIUS ESCALA FAHRENHEIT 
60 = 3 X 20 108 = 3 X 36 
 
 
4º Nível – compreende a chamada Escala Proporcional ou Racional . Essa 
escala é muito parecida com a de 3º Nível, exceto quanto à origem: o zero é 
absoluto, isto é, independente de escalas utilizadas. 
 
Na escala racional ou proporcional, as características são ordenadas e a variação 
entre elas pode ser comparada, havendo um zero natural para a escala de 
medição. 
 
2.2 Tipos de Variáveis 
 
Nos subitens anteriores temos utilizado o termo variável sem que tenha havido 
uma apresentação formal deste vocábulo. Em Estatística, variável é uma 
atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, ou seja, 
é uma função matemática definida na população. 
 
Quando uma característica ou variável é não-numérica, denomina-se variável 
qualitativa ou atributo . 
 
Exemplos: tipo de equipamento, origem, fabricante, faixa etária etc. 
 
Uma variável qualitativa é expressa em categorias. Quando os dados são 
qualitativos, o interesse reside, normalmente, na quantidade ou na proporção de 
cada categoria em relação à população. 
 
Quando pode ser expressa numericamente, a variável estudada denomina-se 
variável quantitativa . 
 
Exemplos: duração de uma bateria, quantidade de falhas observada, tempo de 
manutenção. 
 
Observe que o fato de uma variável ser expressa por números não significa que 
ela seja necessariamente quantitativa, porque a classificação da variável depende 
de como foi medida, e não do modo como se manifesta. 
 
As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas . 
 
As variáveis discretas podem assumir apenas determinados valores inteiros, e 
resultam de uma contagem. 
 
Exemplo: número de falhas observadas em período 
 
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Por outro lado, variáveis contínuas são aquelas cujo conjunto de valores possíveis 
é um intervalo de números reais, resultado de uma medição em qualquer grau de 
precisão. Na prática, entretanto, os mecanismos de medição têm precisão 
limitada, tal que os dados coletados de variáveis contínuas são necessariamente 
discretos. Isto é, há somente um conjunto finito (mesmo que muito grande) de 
valores possíveis que realmente podem ser medidos (devido a limitações dos 
instrumentos de medida). 
 
Exemplo: tempo de reparo de um equipamento 
 
A seguir, apresenta-se um diagrama resumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios 
 
1. Na Engenharia de Avaliações, diversas características de uma unidade 
Industrial são consideradas para o cálculo do valor do empreendimento. 
 
a. Identifique o tipo de escala a ser utilizada para as seguintes características: 
área, localização (em relação às fontes dos insumos e aos centros de 
distribuição dos produtos acabados), produtividade, lucratividade e tempo 
de existência no mercado. 
b. Explique como quantificar a existência ou ausência de tecnologia 
inovadora. 
 
2. Identifique os tipos de escalas utilizadas para cada uma das seguintes 
características das unidades de observação, retiradas de uma tabela do Guia 
do Usuário do aplicativo Microsoft Excel: mês, tipo de produto, vendedor, 
região, país, unidades vendidas e total de vendas. 
 
3. Explique por que não faz sentido o método convencional para cálculo das 
médias aritméticas em avaliações escolares. 
VARIÁVEIS 
QUALITATIVAS 
(são atributos) 
QUANTITATIVAS 
(são numéricas) 
DISCRETAS 
(são valores inteiros 
obtidos por contagem) 
CONTÍNUAS 
(São valores reais 
obtidos por medição) 
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3. Estatística Descritiva 
 
3.1 Amostras e Populações 
 
À Estatística não interessa concluir a respeito de unidades individuais de 
observação, mas sim de grupos, conjuntos ou agregados, porque seu objetivo é o 
estudo da chamada população a qual pode ser finita ou infinita. 
 
O conceito de população consiste na totalidade de unidades de observação 
(usualmente pessoas, objetos ou eventos) a partir das quais se deseja tomar uma 
decisão. Portanto, em uma população o principal interesse reside sobre qual a 
variável estudada. 
 
População finita é aquela em que o número de unidades de observação pode ser 
contado e é limitado. 
 
Exemplo: total de equipamentos de disjunção instalados em um sistema elétrico 
de um concessionário de energia elétrica. 
 
Uma população infinita corresponde àquela em que a quantidade de unidades de 
observação é ilimitada, ou a sua composição é tal que as unidades da população 
não podem ser contadas. 
 
Exemplo: conjunto de medidas de comprimento um determinado componente de 
um equipamento, uma vez que não há limite para o número de vezes em que se 
pode medir essa dimensão. 
 
O número de unidades de observação de uma população denomina-se tamanho 
e, no caso finito, é designado pela letra N. Ademais, realiza-se uma pesquisa 
estatística em uma população, observando-se todas as suas unidades e uma ou 
mais características passíveis de estudo; também se identifica a área de 
abrangência, aquela que fisicamente, limita as unidades de observação que se 
deseja estudar.Ao se descrever uma população estatística, deve-se diferenciar unidades de 
observação das características dessa população. Uma unidade de observação é 
um objeto (ou grupo de objetos) do qual são se coletam dados , e que se pode ter 
muitas características, embora o interesse costumeiramente recai sobre apenas 
uma ou poucas dessas características, cujos valores se anotam (variáveis 
qualitativas ou quantitativas) e cujos princípios estatísticos se aplicam. 
 
Exemplo: em uma população de motores de indução, uma unidade de observação 
é o motor de indução, o qual apresenta muitas características, entre as quais a 
potência o número de pólos, o grau de proteção, a tensão nominal etc. 
 
Todavia examinar uma população inteira nem sempre é viável; na maioria das 
vezes, há escassez de tempo e de recursos (humanos e/ou financeiros, por 
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exemplo) ou impraticabilidade do censo. Além disso, as populações, geralmente, 
encontram-se em constante mudança e, por essa razão, nunca as observações 
refletirão, de maneira completamente precisa ou perene, as condições reais e 
atuais de todas as unidades de observação. 
 
Nesses casos, o estudo estatístico inicia-se com a coleta de parte da população, 
denominada amostra , constituída por n (n<N) unidades de observação e que 
deve ter as mesmas características da população. Essa coleta recebe o nome de 
amostragem, que envolve pelo menos dois passos: 
o Escolha das unidades; 
o Registro das observações. 
O tamanho da amostra a ser coletada da população é aquele que minimiza os 
custos de amostragem, podendo ser até de tamanho 1. 
 
A amostra constitui uma redução da população a dimensões menores, sem perda 
das características essenciais. 
 
Composição da Amostra 
 
Há diferentes maneiras pelas quais as amostras podem ser selecionadas, cada 
qual com vantagens e desvantagens, e um dos problemas associado à 
amostragem é a definição do tamanho da amostra a ser retirada da população. 
Quanto à composição da amostra, basicamente existem dois métodos a serem 
escolhidos: probabilístico e não probabilístico ou intencional. Nosso estudo será 
direcionado aos métodos probabilísticos por tratar-se do método que garante 
cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências. 
 
Métodos Probabilísticos 
 
O método de amostragem probabilística exige que cada elemento da população 
possua determinada probabilidade (chance) de ser selecionado. Normalmente 
possuem a mesma probabilidade. Assim se N for o tamanho da população, a 
probabilidade de cada elemento será 1/N. Somente com base em amostragens 
probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população 
a partir do conhecimento da amostra. 
 
Três tipos de amostragens principais compõem as amostras, segundo o método 
probabilístico: Amostragem Aleatória Simples, Amostragem Sistemática e 
Amostragem Estratificada. 
 
O processo de retirada de uma amostra de uma população na qual cada unidade 
tem a mesma chance (oportunidade) de ser retirada denomina-se amostragem 
aleatória simples; a amostra assim obtida é chamada de amostra aleatória. 
 
Uma amostragem é sistemática quando a retirada das unidades de observação é 
feita periodicamente, sendo o intervalo de seleção calculado, para uma população 
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finita, por meio da divisão do tamanho da população pelo tamanho da amostra a 
ser selecionada. Trata-se de uma variação da amostragem aleatória simples, 
conveniente quando a população está ordenada, segundo algum critério, como 
fichas em um fichário. 
Calcula-se o intervalo de amostragem (seleção) N/n aproximando-o para o inteiro 
mais próximo: a. Utilizando-se a tábua de números aleatórios*, sorteia-se um 
número x entre 1 e a, formando-se a amostra dos elementos correspondentes aos 
números x; x+a; x+2a; ... 
 
Às vezes, a população é heterogênea e a amostragem aleatória simples não 
refletiria essa heterogeneidade. Nesses casos, utiliza-se uma amostragem 
denominada estratificada, obtida pela separação das unidades da população em 
grupos distintos (chamados estratos); em seguida, seleciona-se uma amostra 
aleatória a partir de cada estrato. A amostra completa compõe-se da agregação 
das amostras de cada estrato e, geralmente, a proporcionalidade do tamanho de 
cada estrato na população é mantida na amostra. 
 
Logo, para uma amostra ser considerada adequada deve ser representativa , ou 
seja, deve conter em proporção tudo o que a população possui qualitativa e 
quantitativamente . E tem que ser imparcial , isto é, todas as unidades de 
observação da população devem ter igual oportunidade de fazer parte da 
amostra. Para assegurar a representatividade e a imparcialidade é preciso atender 
aos seguintes procedimentos: 
 
Requisito Procedimento 
 
 
Representatividade 
Análise da população para verificar se seus elementos 
distribuem-se homogeneamente ou se formam grupos 
com características peculiares. Sendo esse o caso, deve-
se respeitar as proporções com que esses grupos 
integram a população. 
 
Imparcialidade 
Sorteio (mediante a utilização de uma máquina geradora 
de números aleatórios ou de uma tábua de números 
aleatórios)* das unidades de observação que farão parte 
da amostra. 
 
* É comum o uso da expressão tabela de números aleatórios, porém o mais 
correto seria dizer tabela de dígitos pseudo-aleatórios, porque eles são gerados a 
partir de uma expressão matemática e de um conjunto inicial de dígitos (semente); 
se esse conjunto for gerado novamente, os dígitos subseqüentes poderão ser 
previstos e, então, a tabela não será mais aleatória. Como o conjunto de dígitos se 
assemelha a um número porque as tabelas publicadas inserem espaços entre 
grupos de dígitos para facilidade de leitura, induz-se, erradamente, a que se esteja 
lendo números, e não dígitos. A tábua a seguir representa um tipo. 
 
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Adiante, após serem introduzidos os conceitos relativos às medidas de tendência 
central e de dispersão, será apresentado o procedimento para dimensionamento 
do tamanho da amostra. 
 
 
 
 Coluna 
 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
1 9 8 9 6 9 9 0 9 6 3 
2 3 5 6 1 7 4 1 3 2 6 
3 4 0 6 1 6 9 6 1 5 9 
4 6 5 6 3 1 6 8 6 7 2 
5 2 4 9 7 9 1 0 3 9 6 
6 7 6 1 2 7 5 6 9 4 8 
7 8 2 1 3 4 7 4 6 3 0 
8 6 9 5 6 5 6 0 9 0 7 
 
Extraído da tabela H de Levin, Jack, 
ESTATÍSTICA APLICADA A CIÊNCIAS HUMANAS 
 
A partir dos valores obtidos na amostra, começa-se a descrevê-la para se poder 
pensar em caracterizar a população como um todo, generalizando para a 
população o dado proveniente da amostra. As atividades exploratórias das 
informações obtidas caracterizam a chamada estatística descritiva , a qual se 
ocupa da descrição, da organização e do resumo das observações obtidas para 
proporcionar discernimento entre o comportamento de uma população e o 
comportamento de uma amostra. 
 
Portanto, a estatística descritiva ou dedutiva é a parte da estatística que descreve 
os aspectos importantes de um conjunto de características observadas. 
 
Generalizar para a população aquilo que se observou na amostra caracteriza a 
inferência estatística . A palavra inferência é utilizada em Estatística com dois 
significados: 
• Conclusões tiradas a partir de valores ou evidências; 
• Processo utilizado para se chegar a essas conclusões. 
 
A inferência estatística é a parte da estatística que usa uma amostra para fazer 
generalizações a respeito de aspectos importantes da população. 
 
Como as informações provêm de um conjunto menor que a população, cometem-
se erros ao se fazer uma inferência. Esseserros são quantificados por um valor 
numérico, denominado probabilidade , o qual, além de lidar com situações 
influenciadas por fatores não controlados pelo analista, proporciona um modelo 
racional para lidar com a variabilidade inerente à natureza, bem como com 
situações relacionadas com o acaso. O conhecimento das probabilidades 
associadas a uma situação fornece a base para o desenvolvimento de técnicas da 
Linha 
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tomada de decisão, explica o funcionamento dessas técnicas e indica de que 
modo as conclusões podem ser apresentadas e interpretadas corretamente. 
 
É importante destacar que a estatística descritiva e as probabilidades são 
ferramentas para a inferência estatística, a qual interpreta de duas maneiras os 
resultados obtidos a partir das amostras retiradas de uma população, cujo valor se 
desconhece, ou realizando um teste sobre essa característica, da qual se afirma 
ter um determinado valor. 
 
A Estatística pode ser entendida como sendo constituísda das três seguintes 
áreas: a estatística descritiva, o cálculo das probabilidades e a inferência 
estatística ou estatística indutiva. Uma visão sistêmica do que se estuda naquilo 
que se conhece por Estatística está representada nafigura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visando uniformizar a nomenclatura, sempre que as relações forem calculadas 
com base em dados de uma amostra serão chamadas estatísticas; sempre que 
essas relações se referirem à população (de onde se originou a amostra) 
passarão a ser chamadas parâmetros . 
 
 
 
 
 
AMOSTRA 
POPULAÇÃO 
Estatística 
Descritiva 
Probabilidades 
Erro 
Inferência 
Estatística 
Visão sistêmica da Estatística 
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Exercício 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
1. Uma amostra de 8.548 componentes de um sistema foi examinada através de 
testes destrutivos. Dessa amostra, 683 foram danificados. 
 
a. Diga como esse resultado poderia ser apresentado de forma mais sucinta 
(resumida) e geral. 
b. Explique as possíveis razões pelas quais se optou pela retirada de uma 
amostra para a realização do referido experimento. 
c. Identifique se este é um exemplo de estatística descritiva ou de estatística 
inferencial. 
 
 
Análise Exploratória de Dados 
 
É a fase inicial do processo de estudo dos elementos coletados nas amostras. 
Nesta etapa de avaliação, utilizam-se técnicas que resumem e classificam o 
conjunto de dados coletados para que se obtenha as informações pertinentes que 
serão utilizadas na fase final do processo, a chamada inferência estatística, 
também conhecida como análise confirmatória de dados. 
 
A exploração ou avaliação analítica dos dados da amostra é um enfoque (ou 
filosofia) para a análise de dados que utiliza uma variedade de técnicas gráficas, 
com os seguintes objetivos: 
• ter o melhor discernimento possível sobre um conjunto de dados existentes 
em uma amostra; 
• descobrir estruturas básicas da organização da população; 
• identificar anomalias e dados dispersos; 
• desenvolver modelos matemáticos adequados para uso no cálculo das 
probabilidades e na inferência estatística. 
 
Uma vez coletados os dados de todas as variáveis envolvidas em determinado 
estudo, o passo seguinte é descobrir o que os dados têm a dizer a respeito do que 
está sendo investigado. 
Olhar uma extensa listagem de dados não permite qualquer conclusão, do ponto 
de vista prático; é preciso utilizar medidas, tabelas ou gráficos que resumam e 
mostrem o comportamento das variáveis, permitindo interpretações práticas. Em 
outras palavras, deve-se utilizar técnicas que mostrem as informações contidas 
nas variáveis. 
Informações são obtidas de dados que passaram por algum tipo de análise, de 
modo que se tornassem úteis para fins de uma tomada de decisão. 
 
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 14
A estatística descritiva tem por finalidade descrever as unidades de observação 
coletadas na amostra. Ela permite fazer comentários simples, da maneira mais 
informativa possível, usando métodos numéricos e métodos gráficos. A 
interpretação dos resultados, porém, não está incluída no foco da estatística 
descritiva – é função da inferência estatística (estatística indutiva). 
 
3.2 Medidas de Posição ou de Tendência central 
 
Para melhor caracterizar um conjunto de valores de uma amostra, é preciso 
escolher um valor único que represente todos os outros valores dessa amostra. 
Poderiam ser escolhidas inúmeras medidas, mas existem algumas que sugerem 
uma concentração em torno delas. 
Essas medidas tendem a se localizar em um valor central dentro de um conjunto 
de dados. A média é um valor característico de um conjunto de dados. Há vários 
tipos de medidas ou estatísticas, cujos valores estão próximos do centro dentre 
elas serão discutidas: média aritmética, mediana e moda. 
 
Média Aritmética (dados isolados) 
 
n
X
=
n
1=i
i_
X
∑
 
 
A média aritmética é o valor que pode substituir todos os valores da variável, isto 
é, é o valor que a variável teria se ela fosse constante . 
 
Mediana (dados isolados) 
 
 
 
 
 
Após ordenar os dados em ordem crescente ou decrescente, indica-se a mediana 
por Md e o número de dados por n. Devem ser considerados dois casos: 
 
1. n é impar ⇒ T = (n+1)/2 
 
 
Nesse caso, a mediana é um valor obtido do próprio conjunto de dados. 
 
 
 
 
Média aritmética 
De um conjunto de 
Dados (valores) 
= 
Soma de todos 
os valores 
Quantidade de 
valores (dados) 
Mediana de um conjunto 
de dados (valores) = 
Valor (do próprio conjunto ou teórico) 
que tem antes e depois de si igual 
quantidade de dados. 
Onde T corresponde à ordem do termo que 
representa a mediana do conjunto de dados 
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 15
Exemplo - Calcular a mediana de: 9, 26, 15, 2, 5, 50, 31, 44, 21. 
• Primeiro ordenam-se os valores. 
• Em seguida aplica-se a fórmula acima. Assim: 
 
T =( n+1)/2 = (9+1)/2= 10/2 = 5 (isto é, o 5º termo) 
 
Dados ordenados: 2, 5, 9, 15, 21, 26, 31, 44, 50 
 
 
 
2. n é par ⇒ T1 = n/2 
 T2 = (n+2)/2 
 
 T = (T1+ T2)/2 
 
A mediana é um valor teórico que não figura entre os dados originais. 
 
Exemplo - Calcular a mediana de: 9, 26, 15, 2, 5, 50, 31, 44 
• Primeiro ordenam-se os valores. 
• Em seguida, aplicam-se as fórmulas acima. Assim: 
 
T1 = n/2 = 8/2 = 4 T2 = (n+2)/2 = (8+2)/2 = 10/2 = 5 
 
Dados ordenados: 2, 5, 9, 15, 26, 31, 44, 50 
 
Então: T = (T1+ T2)/2 ⇒ Md = (15+26)/2 = 20,5 
 
Moda (dados isolados) 
 
 
 
 
 
Exemplo - Calcular a moda de: 8, 2, 18, 8, 10, 8, 12, 10, 6, 8, 12 
 
Chamando a variável de X, as freqüências de ni e a moda de Mo, vem: 
 
Xi ni 
2 1 
6 1 
8 4 
10 2 
12 2 
18 1 
Estas fórmulas indicam os dois termos centrais 
que devem ser usados no cálculo da ordem do 
termo correspondente à mediana 
Moda de um conjunto de 
dados (valores) = 
Valor do conjunto que aparece mais vezes, isto é, 
o valor ao qual esteja associada a freqüência 
absoluta mais alta. 
Md 
Mo Freqüência 
maior 
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As medidas de tendência central também podem ser calculadas relativamente a 
dados agrupados (em classes de freqüências). Aí, as fórmulas tornam-se um 
pouco mais complexas. 
 
Nesse caso, apresenta-se a terminologia empregada para o tratamento dos dados 
tabulados: 
 
Dados Brutos: É o conjunto de dados numéricos obtidos após a crítica dos valores 
coletados e que não estão numericamente organizados. 
 
Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. 
 
Amplitude total ou range (R): É a diferença entre o maior e o menor valor 
observados. 
 
Freqüência absoluta: É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, 
ou o número de elementos pertencente a uma classe. 
 
Distribuição de freqüência: É o arranjo dos valores e suas respectivas freqüências, 
normalmente expresso de forma tabular em intervalos de classe. 
 
• Número de classes (k) 
 
Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Em geral, adota-
se: 
a. k = 5 para n ≤ 25 e k ≅ √n , para n > 25 (aproximada para o maior inteiro) 
b. Fórmula de Sturges k ≅ 1 + 3,22 log n (aproximada para o maior inteiro) 
 
Onde n é o tamanho da amostra 
 
• Amplitude das classes (h) 
 
h ≅ R ÷ k (aproximada para o maior inteiro) 
 
Média Aritmética (dados agrupados) 
 
Para o caso de dados tabulados, o cálculo da média aritmética segue uma das 
seguintes fórmulas abaixo apresentadas: 
 
 
 
 
 
 
 
∑
∑
n
1=i i
n
1=i
ii
n
nx
=X
_
 
Processo Longo 
h
n
nd
+X=X
∑
∑
n
1=i
i
n
1=i
ii
p
_
Processo Breve 
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 17
 
Na fórmula do processo longo, Xi representa o ponto médio de cada classe. Esse 
ponto médio é a semi-soma dos limites de cada classe (intervalo). Encontrados os 
Xi’s, o passo seguinte é obter ΣXini = (X1.n1) + (X2.n2) + (X3.n3) +.... 
 
Tomando como exemplo os tempos de manutenção em um determinado 
componente, conforme tabela abaixo: 
 
T (h) n i Xi Xi n i 
140|145 3 142,5 427,50 
145|150 5 147,5 737,50 
150|155 2 152,5 305,00 
155|160 7 157,5 1102,50 
160|165 14 162,5 2275,00 
165|170 6 167,5 1005,00 
170|175 0 172,5 0,00 
175|180 1 177,5 177,50 
180|185 2 182,5 365,00 
 40 6395,00 
 
Tabela 1. 
| = intervalo fechado à esquerda (ex.:140|145 =140≤ x <145) 
 
Então: 
 
 
Para que a média aritmética possa ser calculada pelo processo breve é preciso 
que os pontos médios formem uma progressão aritmética; Ou seja: h = L - l seja 
constante. Onde: L= limite superior do intervalo; l = limite inferior do intervalo e h= 
amplitude do intervalo. 
 
A fórmula do processo breve usa o ponto médio do intervalo ao qual corresponde 
a maior freqüência absoluta como um valor provisório de X (Xp). Se esse valor 
provisório (estimativa) estiver correto então: 
 
 
 E 
 
 
 
Se, entretanto, X ≠Xp, a distorção será corrigida por ( ∑di .ni /∑ni).h, nesse caso, 
diferente de 0 (zero). 
 
Σn i Σ Xi n i 
h875,159=
40
0,395.6
=X⇒
n
nX
=X
_
i
ii
_
∑
∑ 
0=h.
n
nd
∑
∑
i
ii
 p
__
X=X 
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 18
Nessa fórmula aparece um símbolo - di - que representa uma variável discreta que 
começa em 0 e vai aumentando de 1 em 1 tanto para o lado positivo como para o 
negativo. O zero fica na altura do maior ni (maior freqüência). Na tabela, os 
valores negativos ficam do 0 para cima (↑) e os positivos, do 0 para baixo (↓). 
Assim: 
T (h) n i d i Xi n i 
140|145 3 -4 -12 
145|150 5 -3 -15 
150|155 2 -2 -4 
155|160 7 -1 -7 
160|165 14 0 0 
165|170 6 1 6 
170|175 0 2 0 
175|180 1 3 3 
180|185 2 4 8 
 40 -21 
 
Tabela 2. 
 
Entrando na fórmula: 
h875159=5
40
21
+5162=h
n
nd
+X=X
i
ii
p ,.
)(
)(
,.
∑
∑
 
 
Que foi o mesmo valor obtido anteriormente. 
 
Mediana (dados agrupados) 
Ainda utilizando a mesma tabela, pode-se construir uma nova coluna: Ni. Nessa 
coluna escreve-se os ni’s acumulados no sentido descendente. 
T (h) n i Ni 
140|145 3 3 
145|150 5 8 
150|155 2 10 
155|160 7 17 
160|165 14 31 
165|170 6 37 
170|175 0 37 
175|180 1 38 
180|185 2 40 
 40 
Tabela 3. 
 
Σn i Σ d i n i 
- 38 
+17 
5ª
 c
la
ss
e LMd 
Lugar da 
classe 
Mediana 
Este último valor 
será sempre ∑ni 
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 19
Para encontrar o Lugar Mediano (LMd), isto é, a classe (intervalo) onde a mediana 
deverá situar-se, calcula-se o valor de: ∑ni/2 que, neste caso, vale 40/2 = 20. 
Percorrendo a coluna Ni no sentido descendente verifica-se que o elemento de 
ordem 20 situa-se na 5ª classe, ou seja, no intervalo 160|165. Daí, utiliza-se a 
seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
lMd = limite inferior da classe mediana 
NaMd = Ni anterior ao do LMd 
nMd = ni da própria classe mediana 
hMd = h da classe mediana 
Aplicando ao caso ilustrado: 
 
Md= 160 + [(20-17)/14].5 = 161,07h 
 
Moda (dados agrupados) 
Para o cálculo da moda de um conjunto de dados agrupados deve-se utilizar a 
seguinte fórmula, conhecida por fórmula de Czuber: 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 lMo = limite inferior da classe modal* 
naMo = ni anterior ao do intervalo de maior ni 
npMo = ni posterior ao do intervalo de maior ni 
hMo = intervalo da classe modal 
 
*classe modal= classe de maior freqüência absoluta (maior ni ) 
 
Aplicando ao caso sob estudo vem (ver tabela 3.): 
 
Mo = 160 + 7 - 14 . 5 ≅ 162,33h 
 7+6 -2(14) 
 
Fórmula alternativa: 
)()(
)(
pMoMoaMoMo
aMoMo
Mo nn+nn
nn
+l=Mo 
Md
Md
aMdi
Md h
n
Nn
2
1
+l=Md
∑
.
)(
 
- 
- 
- 
Mo
MopMoaMo
MoaMo
Mo h
n2n+n
nn
+l=Mo . 
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 20
 
Aplicando ao caso sob estudo vem (ver tabela 3.): 
 
Mo = 160 + 14 - 7 . 5 = 162,33h 
 (14 – 7) + (14 – 6) 
 
Retomando os valores de X, Md e Mo verifica-se que: 
 
(X = 159,875h) < (Md= 161,07h) < (Mo= 162,33h) 
 
Como o próprio nome sugere, o valor da mediana deve estar em algum lugar entre 
a média e a moda. 
 
Uma distribuição de freqüência de dados, quanto à relação entre as medidas de 
tendência central, pode ser considerada de três tipos distintos de simetria: 
• Assimétrica negativa ⇒ X < Md < Mo 
• Assimétrica positiva ⇒ Mo < Md < X 
• Simétrica ⇒ Mo = Md = X 
Uma distribuição de freqüência de dados pode ter mais de uma moda. Sendo 
chamadas de multimodais. De acordo com o número de modas que apresentem 
podem ser denominadas bimodais, trimodais, etc. 
 
Moda (Processo de Pearson) 
 
Se uma distribuição de freqüência for unimodal e pouco assimétrica, a moda pode 
ser aproximada pela seguinte fórmula empírica devida a Pearson: 
 
Mo = 3Md – 2X 
 
Ou seja, a moda é aproximadamente a diferença entre o triplo da mediana e o 
dobro da Média. Esta fórmula dá uma boa aproximação quando a distribuição 
apresenta razoável simetria em relação à média. 
 
Conclusões 
• A média aritmética é a medida de tendência central mais usada em virtude 
de suas propriedades algébricas. 
• A média aritmética sofre influência de todos os dados. Por isso, o estatístico 
prefere, às vezes, trabalhar com a mediana – que não sofre a influência de 
valores extremos (muito altos ou muito baixos). 
• É preciso ter cuidado com a média aritmética. Ela requer uma interpretação 
cautelosa. 
 
 
 
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 21
Exercícios 
 
1. Dado o rol de dados abaixo, referentes ao tempo entre falhas dos componentes 
de um sistema,agrupar os elementos em classes e obter as medidas de tendência 
central: 
 
33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 – 48 – 50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 
59 – 60 – 60 – 61 – 64 – 65 – 65 – 66 – 66 – 66 – 67 – 68 – 69 – 71 – 73 – 73 – 74 
74 – 76 – 77 – 77 – 78 – 80 – 81 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 97. 
 
 
Observações sobre a Mediana para variáveis contínuas: 
 
1. Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é contínua não importa se n é par ou 
ímpar. 
2. Identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md). 
3. Utiliza-se a fórmula: 
Md
Md F
∑ hf
2
n
+l=Md
).(
 
 
lMd = limite inferior da classe Md 
n = tamanho da amostra ou número de elementos 
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Md 
h = amplitude da classe Md 
FMd = freqüência da classe Md 
 
Separatrizes 
 
Quartis 
 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
Q1 = 1º quartil deixa 25% dos elementos 
 
Q2 = 2º quartil coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos 
 
Q3 = 3º quartil deixa 75% dos elementos 
 
 
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 22
A fórmula para obtenção do i-ésimo quartil é: 
 
( )
h.
F
f4/in
lQ
1
i
Q
Qi
∑
+= 
onde: 
lQi = limite inferior da classe correspondente ao i-ésimo quartil 
i = indicador da ordem do quartil 
n = somatório das freqüências absolutas de todas as classes 
∑f = soma das freqüências absolutas das classes anteriores à do i-ésimo quartil 
FQi = freqüência absoluta da classe correspondente ao i-ésimo quartil 
 
Exemplo: Dada a distribuição abaixo, determinar os quartis (Q1 e Q3) e a mediana. 
 
Classes Fi Fac 
7| 17 6 6 
17| 27 15 21 
27| 37 20 41 
37| 47 10 51 
47| 57 5 56 
∑ 56 
 
1º Passo: n = 56 
Q1 = ? Md = ? Q3 = ? 
n/4 = 56/4 = 14º n/2 = 56/2 = 28º 3n/4 = 42º 
 
2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3. 
3º Passo: Uso das Fórmulas 
Para Q1: lQ1 = 17, n = 56, ∑f = 6, h =10, FQ1= 15 
Para Md: lMd = 27, n = 56, ∑f = 21, h =10, FMd = 20 
Para Q3: lQ3 = 37, n = 56, ∑f = 41, h =10, FQ3= 10 
 
Logo: 
33,22
15
10).64/56(
17Q1 =+= 
 
5,30
20
10).212/56(
27Md =+= 
 
38
10
10).414/56.3(
37Q3 =+= 
 
Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem-se: 
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 23
 
0% 25% 50% 75% 100% 
 
 
7 22,33 30,5 38 57 
 
Isto é: 
 
22,33 deixa 25% dos elementos 
30,5 deixa 50% dos elementos 
38 deixa 75% dos elementos 
 
 Percentis 
 
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Assim: 
 
0% … 5% . 8% …… 21% ……………………………………………. 93% .… 100% 
 
 
 P5 P8 P21 P93 
 
O cálculo de um percentil é dado por: 
 
1º Passo: Calcula-se in/100, em que i = 1, 2, 3, ..., 98, 99. 
2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe Pi. 
3º Passo: Usa-se a fórmula 
 
Pi
Pii F
h).f100/in(
lP
∑
+= 
 
em que: lPi = limite da classe Pi , em que i = 1, 2, 3, ..., 99 
n = tamanho da amostra 
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Pi 
h = amplitude da classe Pi 
FPi = freqüência da classe Pi 
 
Exemplo: Determinar o 72º Percentil da seguinte distribuição: 
 
Classes Fi Fac 
4| 9 8 8 
9| 14 12 20 
14| 19 17 37 
19| 24 3 40 
∑ 40 
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 24
Cálculo do P72 : 
 
1º Passo: 
in/100 = 72.(40)/100 = 28,8º 
 
2º Passo: Identifica-se a classe de P72 pela Fac . 
 
3º Passo: Para P72 : l P72 = 14, ∑f = 20, n = 40, h= 5, FP72 = 17 
 
89,16
17
5].20100/)40.(72[
14P72 =+= 
 
Portanto, nesta distribuição, o valor 16,89 indica que 72% da distribuição estão 
abaixo dele e 28% acima. 
 
3.3 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 
Se a natureza fosse estável e as mesmas causas produzissem sempre os 
mesmos efeitos é bem possível que o homem nunca tivesse desenvolvido a noção 
de variação . Assim como o homem sempre se preocupou em medir as coisas, 
também se preocupou com a criação de métodos matemáticos que lhe 
possibilitasse medir as variações ocorridas. Particularmente em manutenção, esta 
consciência da variabilidade deve permear a mente dos profissionais dadas as 
oscilações de comportamento (desempenho) que os ativos físicos apresentam ao 
longo de sua vida útil. 
 
Ao conjunto das medidas, isto é, das estatísticas, que medem oscilações de uma 
variável deu-se o nome de medidas de variabilidade . Embora existam várias 
medidas de variabilidade ou dispersão, serão discutidas as de uso mais freqüente. 
 
Amplitude Total (A t) 
É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados observados. Na sua 
determinação podem ser consideradas as seguintes situações: 
 
• dados não tabulados: 
X = {1, 3, 5, 7, 9} At = 9 – 1 = 8 ∴ At = 8 
 
• dados tabulados não agregados em classes (dados discretos) 
 
Xi fi 
1 10 
3 20 
5 40 
7 20 
9 10 
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 25
 
 At = 9 – 1 = 8 ∴ At = 8 
 
• dados tabulados agregados em classes (dados contínuos) 
 
CLASSES fi 
2| 4 10 
4| 6 20 
6| 8 40 
 8|10 20 
10|12 10 
 
Admitem-se duas soluções: 
 
1ª) A diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da 1ª 
classe. At = 12 – 2 = 10 ∴ At = 10 
2ª) A diferença entre o ponto médio da última classse e o ponto médio da da 1ª 
classe. A t = 11 – 3 = 8 ∴ A t = 8 
Desvio Médio Absoluto (DMA) 
 
É igual à média dos valores absolutos dos desvios calculados em relação à média 
do conjunto de valores: 
 
• dados não tabulados: 
 
X = {1, 3, 5, 7, 9}; x = 5 e n = 5 
 
x i d i = x i - x |d i | 
1 1 – 5 = -4 4 
3 3 – 5 = - 2 2 
5 5 – 5 = 0 0 
7 7 – 5 = 2 2 
9 9 – 5 = 4 4 
total 12 
 
Assim, o DMA = ∑|d i | / n = 12/5 = 2,4 ∴ DMA = 2,4 
 
• dados tabulados não agregados em classes (dados discretos) 
 
x i fi d i = x i - x |d i | |d i |. fi 
1 10 -4 4 40 
3 20 -2 2 40 
5 40 0 0 0 
7 20 2 2 40 
9 10 4 4 40 
total 100 160 
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 26
 
Assim, o DMA = ∑|d i |. fi / ∑ fi = 160/100 = 1,6 ∴ DMA = 1,6 
 
• dados tabulados agrupados em classes (dados contínuos) 
 
O cálculo a ser feito é análogo ao dos dados discretos, devendo-se iniciá-lo pela 
determinação dos pontos médios das classes, que representarão os valores de x i 
do conjunto de dados. 
 
Amplitude Semi-Interquartílica (desvio quartílico) 
 
É a metade da diferença entre o terceiro quartil ( Q3) e o primeiro quartil ( Q1): 
2
QQ
D 13
q = 
 
Desvio Padrão (S) 
 
É a medida de dispersão mais usada. É a média quadrática dos afastamentos 
(desvios) em relação à média aritmética. 
 
xxd:onde,
n
d
S ii
2
i =
∑
= para dados agrupados 
 
xxd:onde,
n
f.d
S ii
i
2
i =
∑
= para dados tabulados 
 
Obs.: Cálculos aplicados sobre dados de uma amostra utilizam n-1 ao invés de n 
nas duas fórmulas. É o que se chama de “fator de correção de Bessel”. 
 
Propriedades do Desvio Padrão 
 
1ª) Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um conjunto de valores 
uma constante arbitrária, o desvio padrão não se altera. 
 
2ª) Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjuntomde valores 
por um valor constante, arbitrário e diferente de zero, o desvio padrão fica 
multiplicado (ou dividido) por esta constante. 
 
Variância (S2) 
 
É igual ao quadrado do desvio padrão. 
 
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 27
n
d
S
2
i2∑
= para dados não tabulados 
 
n
f.d
S i
2
i2
∑
= para dados tabulados 
 
Obs.: É válida a mesma observação feita no cálculo do desvio padrão, quanto ao 
uso do “fator de correção de Bessel”. 
 
Fórmula da Variância pelo Processo breve 
])
∑n
n.∑d
(
∑n
∑ n.d
.[h=S 2
n
1=i
i
i
n
1=i
i
n
1=i
i
n
1=i
i
2
i
22 
 
 
Propriedades da Variância 
 
Observa-se que a 1ª propriedade é idêntica à do desvio padrão, quanto à soma 
(ou subtração). 
No entanto, a 2ª propriedade (multiplicação ou divisão) apresenta a seguinte 
modificação: “a variância fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da 
constante”. 
 
Dispersão Relativa – Coeficiente de Variação 
 
Dentre as medidas de dispersão, o coeficiente de variação mais utilizado é o de 
Pearson (CVp), que é o quociente entre o desvio padrão e a média aritmética do 
conjunto de dados. 
 
x
S
CVp = 
 
Quanto menor o valor do coeficiente de Pearson, mais homogêneo será o 
conjunto de dados. Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade 
(dispersão) quando o coeficiente de variação for menor que 15%; média dispersão 
entre 15% e 30% e alta dispersão a partir de 30%. 
 
Em suma, as medidas de dispersão são medidas estatísticas utilizadas para 
avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. 
Servem para medir a representatividade da média. 
 
 
 
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 28
Medidas de Assimetria 
 
Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de Assimetria, dentre elas 
são úteis: 
 
1º Coeficiente de Pearson 
 
S
Mox
AS = 
 
2º Coeficiente de Pearson 
 
13
31
QQ
Md2QQ
AS
+
= 
 
Se: AS = 0 diz-se que a distribuição de dados é simétrica 
 AS > 0 diz-se que a distribuição de dados é assimétrica positiva 
 AS < 0 diz-se que a distribuição de dados é assimétrica negativa 
 
Pode-se utilizar qualquer uma das fórmulas para identificar o grau de assimetria. 
 
Medidas de Curtose 
 
Denomina-se curtose o grau de achatamento da distribuição. 
 
Uma distribuição com grau de achatamento médio (nem chata, nem delgada) 
chama-se mesocúrtica; uma distribuição delgada chama-se leptocúrtica; e uma 
distribuição achatada denomina-se platicúrtica. 
 
Para medir o grau de curtose utiliza-se o coeficiente: 
 
)PP.(2
QQ
=K
1090
13 
 
Em que: 
Q3 = 3º quartil 
Q1 = 1º quartil 
P90 = 90º percentil 
P10 = 10º percentil 
 
Se K = 0,263, diz-se que a curva correspondente à distribuição de freqüência é 
mesocúrtica. 
Se K > 0,263, diz-se que a curva correspondente à distribuição de freqüência é 
platicúrtica. 
Se K < 0,263, diz-se que a curva correspondente à distribuição de freqüência é 
leptocúrtica. 
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 29
Exercícios 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
1. Considere a distribuição de freqüências dos tempos de funcionamento de um 
item entre falhas. 
 
Tempo entre falhas TBF (h) Freqüência 
100  190 10 
200  290 20 
300  390 40 
400  490 20 
500  590 10 
 
Assinale V nas opções corretas e F nas incorretas 
a) O intervalo de classe modal é dado por [300,390] 
b) O tempo médio de auditoria é dado por 340,5 horas 
c) A mediana, a moda e a média da distribuição são coincidentes. 
d) A distribuição acima é assimétrica. 
e) Trinta por cento dos tempos entre falhas demoraram menos de 300 horas. 
 
2. Uma empresa que possui cinco máquinas registrou em cada uma delas no 
último ano os seguintes números de intervenções: 20; 23; 25; 27 e 30, 
respectivamente. Obtenha as medidas de dispersão verificadas para esta amostra. 
 
3. Doze máquinas de uma empresa foram selecionadas ao acaso; foram anotados 
os números de defeitos encontrados, na ordem de seleção, a saber: 3; 0; 5; 2; 3; 
6; 4; 1; 3; 2; 4 e 3. Para a variável número de defeitos , resolvam a expressão: 
Média + Moda + Mediana + Variância + 1,5. 
 
4. Regressão Linear 
 
Regressão é a estimação de uma variável (dependente) em função de uma ou 
mais variáveis (independentes). Sendo x uma variável independente (ex.: tempo 
de operação) e y uma variável dependente (ex.: número de falhas), pode-se 
determinar uma relação funcional entre as mesmas y = f(x) a partir de uma 
amostra de valores de x e y. 
 
Regressão Linear Simples 
 
È um modelo do tipo y = a + bx, sendo esta reta chamada reta de regressão em 
que a é o coeficiente de intercessão e b o coeficiente de inclinação da regressão. 
A palavra linear que compõe o nome da regressão indica que a disposição dos 
pontos permite interpolar-lhes uma reta; e a palavra simples indica que estão 
envolvidas apenas duas variáveis no processo. 
 
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 30
De modo que, dada uma nuvem de pontos de configuração aproximadamente 
retilínea, é sempre possível interpolar a esses pontos uma reta com o objetivo de 
produzir uma informação simplificada (lei). Ocorre que por dois pontos passa 
uma e somente uma reta; mas quando existem muitos pontos (como é o caso de 
uma nuvem), a questão torna-se mais complicada porque passam a existir 
inúmeras retas. 
De todas as retas possíveis, somente a de melhor ajustamento a todos os 
pontos é que deve ser escolhida. A escolha dessa reta obedece a um critério 
chamado método dos mínimos quadrados. 
 
Método dos Mínimos Quadrados 
 
O método dos mínimos quadrados é devido ao matemático e astrônomo francês 
Pierre Simon Laplace. Há autores que preferem creditar a Legendre a autoria do 
método. 
 
A figura a seguir ajuda na compreensão do método, mediante uma visão gráfica 
do procedimento, cuja finalidade é obter uma reta que melhor se ajuste ao 
conjunto de pontos, minimizando os módulos das diferenças ou distâncias entre 
esses pontos e aqueles da reta. 
 y 
 . . . y = a + bx 
 . . 
 . . 
 . 
 
 
4. x 
 
Assim, cada ponto do gráfico representado por seu par ordenado (x,y) é ajustado 
pela reta, cujas coordenadas associadas são (x,ŷ). Portanto, o método consiste 
em encontrar a reta que minimize o erro que é dado por: 
 
( )
2
1
ˆ∑
=
−=
n
i
yyξ 
 
Através do desenvolvimento da fórmula do erro total, chega-se às chamadas 
equações normais. Para obtenção dos parâmetros a e b deve-se resolver o 
seguinte sistema: 
 
∑y = n.a + b.∑x 
∑x.y = a.∑x + b.∑x2 
 
 
No gráfico temos os pontos 
observados e a reta estimada. O 
método dos mínimos quadrados nos 
fornece as estimativas dos parâmetros 
a e b tal que ∑ (y - ŷ)2 seja mínima. 
Onde y representa o valor observado 
da variável e ŷ o valor ajustado pela 
reta. 
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 31
Onde os “n” dados x e y são observados e tabulados na forma: 
 
x y 
x1 y1 
x2 y2 
x3 y3 
: : 
Xn Yn 
 
A solução do sistema de equações normais resulta nos seguintes valores para os 
parâmetros: 
 
( ) ( )( )
( ) ( )22.
..
.
∑∑
∑∑∑
∑ ∑
−
−
=
−
=
xxn
yxxyn
b
n
xby
a
 
 
 
Coeficiente de Correlação 
 
O termo correlação significa relação em dois sentidos (co+relação) e é usado em 
estatística para designar a força que mantém “unidos” dois conjuntos de valores. 
Em certas situações, como o cálculo do coeficiente de correlação é trabalhoso, 
convém fazer o gráfico antes de começar qualquer cálculo. Se os pontos do 
gráfico distribuírem-se de tal modo que lembrem uma linha reta, deve-se calcular o 
coeficiente, se os pontos estiverem dispersos de modo não-linear, não convém 
calcular o coeficiente. Em suma, só vale a pena gastar tempo com o cálculo do 
coeficiente de correlaçãose a disposição dos pontos no gráfico lembrar uma reta. 
 
Na construção do gráfico, a primeira coisa que devemos fazer é ordenar os 
valores de x, do menor para o maior (ordem crescente) e distribuir, ao longo do 
eixo das abscissas, os valores que compõem a tabela. 
Como os pares (x, y) são fixos, a ordenação de y será determinada pela 
ordenação de x. Em seguida, deve-se colocar os valores de y no eixo das 
ordenadas e mondar o gráfico, também chamado Diagrama de Dispersão. 
Um coeficiente de correlação para a regressão linear é dado pela estimativa r, 
obtido por: 
( )[ ] ( )[ ] yx
xy
SS
S
yynxxn
yxyxn
r
...
...
2222
=
−−
−
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑ 
 
n pares de dados 
x e y 
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 32
Onde: Sx, Sy e Sxy representam os desvios padrões dos dados tabulados para as 
variáveis x, y e seu produto x.y. 
Através de uma mudança adequada de variáveis, pode-se simplificar a equação 
acima. Ou seja, fazendo: 
( ) ( )22
'.'
''.
:
'
'
∑∑
∑=
−=
−=
−
−
yx
yx
r
resulta
yyy
xxx
 
 
O coeficiente de correlação linear de Pearson pode ser calculado por uma fórmula 
alternativa que é: 
yx
xy SSn
yx
r
..
.∑= 
 
Para r = +1, significa que existe uma perfeita correlação direta entre y e x, isto é, 
se a variável independente x aumenta, a variável y aumenta em conseqüência. Se 
r > 0, existe correlação direta entre as variáveis. Se r = 0 não existe correlação 
entre as variáveis. Se r < 0, existe correlação inversa entre as variáveis. Para r= -1 
existe perfeita correlação inversa. Ou seja, se a variável independente x aumenta, 
a variável y diminui em conseqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A análise de correlação fornece um número que resume o grau de relacionamento 
entre duas variáveis. Ela é útil em um trabalho exploratório, quando o analista 
procura determinar quais variáveis são potencialmente importantes e o interesse 
está no grau ou na força desse relacionamento. Por exemplo, quando uma 
variável aumenta de valor, de que maneira é influenciada a outra variável? 
 
Observação: Correlação não é o mesmo que causa-e-efeito. Duas variáveis 
podem estar altamente correlacionadas e, no entanto, não haver entre elas 
relação de causa-e-efeito. Porém, com o inverso! Se duas variáveis estiverem 
Onde, x e y são as médias aritméticas dos dados 
tabulados para as variáveis x e y. 
 
 
, -1 ≤ r ≤ +1 
Correlação Positiva 
 
Quando as variáveis x e y variam 
no mesmo sentido . 
Isto é, se, aumentando x, y também 
aumenta (ou se diminuindo x, y 
também diminui), r > 0 
Correlação Negativa 
 
Quando as variáveis x e y variam 
em sentidos contrários . 
Isto é, se, com o aumento de x, y 
diminui (ou se diminuindo x, y 
aumenta), r < 0 
 
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 33
amarradas por uma relação de causa-e-efeito, elas estarão obrigatoriamente 
correlacionadas. Os coeficientes de correlação recebem nomes especiais 
conforme estejam próximos ou distantes do zero. Ver tabela abaixo: 
 
Coeficiente de Correlação Tipo de Correlação 
 r = -1 Correlação Negativa Perfeita 
-1< r < -0,8 Correlação Negativa Forte 
-0,8 ≤ r < -0,6 Correlação Negativa Média 
-0,6 ≤ r < -0,4 Correlação Negativa Fraca 
-0,4 ≤ r < 0 Correlação Negativa Muito Fraca 
r = 0 Correlação Linear Inexistente 
0,4 ≥ r > 0 Correlação Positiva Muito Fraca 
0,6 ≥ r > 0,4 Correlação Positiva Fraca 
0,8 ≥ r > 0,6 Correlação Positiva Média 
1> r > 0,8 Correlação Positiva Forte 
r = +1 Correlação Positiva Perfeita 
Obs: A natureza não produz correlações perfeitas (do tipo rxy = +1 ou rxy = -1). 
 
O estudo da correlação aqui abordado pressupõe que as duas variáveis, x e y, 
têm distribuição normal . 
Coeficiente de Determinação 
 
Em determinadas situações, o valor de r pode enganar. Na verdade, uma 
estatística mais significativa é r², denominado coeficiente de determinação, o qual 
fornece a porcentagem de variação da variável dependente que é devida 
estatisticamente à variação da variável independente. Outra maneira de 
apresentar o coeficiente de determinação é através da forma percentual a seguir: 
 
D = 100.r² (%) 
 
O intervalo de variação de r² é agora entre 0 e + 1 (ou +100%). O uso do 
coeficiente de determinação, em lugar do coeficiente de correlação, é, de certa 
forma, até recomendável pois, leva a valores mais conservadores (menores). 
 
O coeficiente de determinação r² pode ser calculado diretamente, sem 
necessidade de se ter primeiro o coeficiente de correlação. Esse cálculo pode se 
feito com o auxílio da fórmula seguinte: 
 
 
( )
( )∑
∑
−
−
= 2
2
2
ˆ
YY
YY
r 
Onde: 
ŷ = valor estimado pela equação de regressão 
y = média aritmética dos dados tabulados 
y = valor tabulado para a variável dependente 
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 34
Exercício-Exemplo 
 
A tabela a seguir apresenta, na coluna referente à variável independente x, o 
número de intervenções corretivas realizadas por uma equipe de manutenção, 
enquanto a coluna y descreve os tempos totais efetivamente gastos na execução 
dessas manutenções. Pede-se determinar: 
a. a equação de regressão para os dados tabulados das variáveis x e y; 
b. os coeficientes de correlação e determinação; 
c. o número estimado de intervenções corretivas para 500 h. 
 X (Nº de cor.) Y (horas) 
2 3,5 
3 5,7 
5 9,9 
8 16,3 
10 19,3 
12 25,7 
14 28,2 
15 32,6 
 
Solução: 
Iniciemos a solução do problema obtendo os parâmetros a e b da equação de 
regressão: y = a + bx . Para esse cálculo, é necessário conhecermos os valores 
de ∑x, ∑y, ∑xy, ∑x² e ∑y² para o cálculo dos coeficientes, que serão obtidos pela 
extensão da tabela, conforme mostrado a seguir: 
 
X (Nº de cor.) Y (horas) X.Y X² Y² 
2 3,5 7 4 12,25 
3 5,7 17,1 9 32,49 
5 9,9 49,5 25 98,01 
8 16,3 130,4 64 265,69 
10 19,3 193 100 372,49 
12 25,7 308,4 144 660,49 
14 28,2 394,8 196 795,24 
15 32,6 489 225 1062,76 
∑x = 69 ∑y = 141,2 ∑x.y =1589,27 ∑x² = 767 ∑y² = 3299,42 
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 35
a) a equação de regressão: 
Y = a + bX 
 
Onde: 
( ) ( )( )
( ) ( )22.
..
.
∑∑
∑∑∑
∑ ∑
−
−
=
−
=
xxn
yxxyn
b
n
xby
a
 
 
b = 8. (1589,27) – (69).(141,2) = 2971,36 = 2,16 
 8.(767) – (69)2 1375 
 
a = 141,2 – 2,16.69 = -0,985 
 8 
 
Portanto, 
 
Y = -0,985 + 2,16X 
 
5. Cálculo dos coeficientes de correlação e determinação: 
 
Coeficiente de correlação: 
 
( )[ ] ( )[ ] yx
xy
SS
S
yynxxn
yxyxn
r
...
...
2222
=
−−
−
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑ 
 
r = 8.( 1589,27) – (69).(141,2) = 2971,36 = 0,997 
 √8.(767) – (69)² √8.( 3299,42) – (141,2)² √1375.√6457,92 
 
Coeficiente de determinação: 
 
r² = 0,994 
 
Os resultados apontam para uma correlação linear quase perfeita entre os dados 
e 99% das variações de Y são devidas a variações em x. 
 
c) dado que ŷ = 500 h, o valor de x é obtido da equação de regressão 
 
500 = - 0,985 + 2,16.x 
2,16x = 500 – 0,985 
x = 499,015 ≅ 231 
 2,16 
Estima-se que em 500 horas a equipe de manutenção possa realizar 231 
intervenções corretivas. 
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 36
6. Cálculo das Probabilidades 
 
Em virtude da natureza dos modelos e dados estatísticos, é natural que a 
Probabilidade seja a segunda ferramenta da teoria estatística (a Estatística 
Descritiva é a primeira). Devido ao fato de a probabilidade ser uma ferramenta 
importante nos métodos estatísticos teóricos e práticos, uma introduçãoao cálculo 
de probabilidades é, sempre, estudada antes da Inferência Estatística. 
 
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir 
o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que 
melhor o explique. Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo 
resultado, mesmo em condições normais de experimentação variam de uma 
observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado 
futuro. 
Entretanto, a prática mostra que os resultados de uma seqüência razoavelmente 
longa de repetições do mesmo fenômeno apresentam uma regularidade no 
sentido de que a freqüência relativa com que determinado resultado aparece 
tende a se ma ter constante. Os fenômenos que apresentam essa regularidade 
estatística denominam-se fenômenos aleatórios. 
 
Para a explicação desses fenômenos, adota-se um modelo matemático 
probabilístico. Nesse caso, o modelo utilizado será o cálculo das probabilidades . 
 
O objetivo do cálculo das probabilidades é obter um valor numérico da 
possibilidade de ocorrência de determinado acontecimento para que seja facilitada 
a tomada de decisão relacionada a ele. 
 
A seguir, são apresentados alguns dos termos fundamentais do vocabulário 
estatístico utilizados no cálculo das probabilidades. 
 
Experimento aleatório 
 
Definição: experimento aleatório é aquele que pode gerar diferentes resultados, 
mesmo repetido sob as mesmas condições e em qualquer ocasião. 
 
Espaço Amostral 
 
Definição: Para cada experimento aleatório E, define-se Espaço Amostral S o 
conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. É também chamado 
de conjunto universo. 
 
Evento 
 
Definição: Evento é um conjunto de resultados do experimento. Em termos de 
conjuntos, é um subconjunto de S. Em particular, S e φ (conjunto vazio) são 
eventos, S é dito o evento certo e o φ o evento impossível. 
 
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 37
 
Tipos de Eventos: 
 
Evento Complementar 
 
São todos os resultados do espaço amostral que não fazem parte do evento de 
interesse. 
 
Assim: (simbologia usada) 
 
Evento: A 
Complemento: A ou A’ A ∩ A = φ e A ∪ A = S 
A é o evento que ocorre se A não ocorre. 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
São eventos que não têm elemento comum ou, então, são aqueles em que a 
ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos outros. 
 
Assim temos a simbologia: 
Se A e B são dois eventos disjuntos têm-se que: A ∩B = φ 
A ∩ B é o evento que ocorre se A e B ocorrem. 
A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem. 
 
Eventos independentes 
 
São aqueles em que a ocorrência de um deles não fornece informação a respeito 
da ocorrência ou não de outro, ou seja, a ocorrência de um evento não tem 
influência na ocorrência do outro. 
 
Definição de Probabilidade 
 
Dado um experimento aleatório E e S o espaço amostral, probabilidade de um 
evento A – P(A) – é uma função definida em S que associa a cada evento um 
número real; satisfazendo os seguintes axiomas: 
 
I. 0 ≤ P(A) ≤ 1 
II. P(S) = 1 
III. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, onde (A ∩ B = φ); 
 Então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
 
Os axiomas foram estabelecidos pelo matemático russo Andrei Nicolaievitch 
Kolmogorov. 
 
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 38
Os três axiomas não necessitam de prova; entretanto, se a teoria resultante é 
aplicada no mundo real, deve-se mostrar de algum modo que os axiomas são 
realistas, isto é, apresentam resultados razoáveis. 
 
Os axiomas não dizem como atribuir probabilidades aos vários resultados de um 
experimento; apenas restringem as maneiras pelas quais isto pode ser feito. Na 
prática, as probabilidades são atribuídas com base nas estimativas obtidas de 
experiências passadas, em um estudo cuidadoso a respeito do experimento ou em 
suposições de que os vários resultados mantêm a mesma probabilidade. 
 
Principais Teoremas 
 
1. Se φ é o conjunto vazio, então P(φ) = 0 
 
2. Se A é o complemento do evento A, então P( A ) = 1 – P(A) 
 
3. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B) 
 
 
4. Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
A probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos 
favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis. 
 
P(A) = número de casos favoráveis 
 número de casos possíveis 
 
Essa foi a primeira definição do conceito de probabilidade, conhecida como lei de 
Laplace. 
 
A probabilidade calculada com base num experimento chama-se probabilidade a 
posteriori ou probabilidade experimental . 
 
A probabilidade calculada a partir de dados teóricos, sem manipulação 
experimental, chama-se probabilidade a priori ou probabilidade matemática . 
 
Ao longo dos últimos três séculos, várias foram as teorias propostas: 
Experimentalista (Bernoulli), Clássica (Laplace), Freqüentista (Ellis, Veen e R. Von 
Mises) e Axiomática (Kolmogorov). 
 
Interpretação e determinação de probabilidades 
 
A teoria moderna define probabilidade como um número que satisfaz a uma série 
de postulados, mas não fornece indicação de como se obter esse número: apenas 
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estabelece as regras que devemos obedecer ao manipularmos as probabilidades 
obtidas. Em conseqüência, há duas grandes correntes a respeito do problema da 
determinação da probabilidade. 
A escola objetivista ou freqüencialista considera que a probabilidade só pode ser 
obtida por meio das freqüências relativas e, portanto, somente é aplicável a 
situações em que a experiência pode ser repetida várias vezes, sob mesmas 
condições. 
Fica, portanto excluída, para os freqüencialistas, uma grande classe de problemas 
em que não é possível falar em freqüência relativa. Por exemplo, para os 
freqüencialistas não há sentido em perguntar qual a probabilidade do homem ir a 
Marte nos próximos cinco anos. 
 
A escola subjetivista ou personalista considera a probabilidade como a medida da 
crença de uma pessoa racional, em uma dada proporção. Diferentes indivíduos 
racionais podem ter graus diferentes de crença, mesmo em face da mesma 
evidência  e, portanto, as probabilidades pessoais para o mesmo acontecimento 
podem ser diferentes, porque as informações de que dispõem podem ser 
diferentes. 
 
Uma subjetivista aplica ao conceito de probabilidade a todos os problemas 
considerados pelo freqüencialista, e a muito mais, como a viagem a Marte, por 
exemplo. 
 
À medida que vamos tendo mais observações, podemos ir revendo a nossa 
avaliação da probabilidade de uma situação em face de novas informações. Assim 
é que, no caso de haver freqüências relativas disponíveis, baseadas em um 
número grande de observações semelhantes, a avaliação subjetiva tende a se 
igualar à avaliação freqüencialista. 
 
A definição clássica, quando admite que todos os casos possíveis são igualmente 
prováveis, pode ser afiliada, de certo modo, à corrente subjetivista. Ao afirmamos 
que encontrar qualquer número de guichês vazios é igualmente provável, estamos 
manifestando a nossa crença de que isso é verdade. Para um verdadeiro 
freqüencialista, deveríamos observar o resultado de milhares de observações para 
comprovar se isso é real. 
 
Por não haver concordância entre os conceitos clássico, freqüencial e subjetivo, a 
teoria das probabilidades teve que se basear em um conjunto de axiomas em que 
as probabilidades são associadas aos resultados com base no conhecimento da 
situação em estudo. Os axiomas asseguram que as probabilidades associadas a 
cada experimento podem ser interpretadas como freqüências relativas e que as 
associações são consistentes com a compreensão intuitivado relacionamento 
entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis. Ademais, os axiomas 
facilitam os cálculos das probabilidades de ocorrência de alguns eventos a partir 
do conhecimento das probabilidades de outros eventos. 
 
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Probabilidade Condicional 
 
Em muitas situações, a estimativa da probabilidade de um evento é atualizada 
com base em uma informação adicional, antes provável, mas agora certa, 
devendo o espaço amostral ser atualizado com base nessa nova informação. 
 
A definição de probabilidade condicional pode ser utilizada para fornecer uma 
expressão geral para a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos. 
A probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B, P(A e B), é igual a: 
 
1. probabilidade de A vezes a probabilidade de B, se A ocorreu primeiro, 
 P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(BA) 
P(BA) é a probabilidade de ocorrência do evento B dado que ocorreu o evento A 
 
2. probabilidade de A vezes a probabilidade de B, se B ocorreu primeiro, 
 P(A e B) = P(A ∩ B) = P(B) x P(AB) 
P(AB) é a probabilidade de ocorrência do evento A dado que ocorreu o evento B 
 
Se os eventos A e B forem independentes, P(AB) = P(A) e P(BA) = P(B); nesse 
caso, P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(BA) = P(B) x P(AB) = P(A) x P(B) 
Esta é a propriedade multiplicativa das probabilidades. 
 
Pode-se deduzir de 1 e 2 que a probabilidade de A tendo ocorrido B é dada por: 
 
P(AB) = P(A ∩ B) 
 P(B) 
 
E a probabilidade de B tendo ocorrido A é dada por: 
 
P(BA) = P(A ∩ B) , 
 P(A) 
 
desde que P(A) e P(B) sejam diferentes de zero (o que é óbvio). Esta é a definição 
de probabilidade condicional. 
Se os eventos A e B forem independentes: 
 
P(BA) = P(A) x P(B) = P(B), conforme vimos. 
 P(A) 
 
Por outro lado, a probabilidade de ocorrência de dois eventos, A e B, em que A 
ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem, é igual à soma da probabilidade de A com 
a probabilidade de B, menos a probabilidade da ocorrência de ambos. 
 
A probabilidade de ocorrência de ao menos um dos eventos A ou B, P(A ou B) é 
igual a: 
 
P(A ou B) = P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A e B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 = P(A) + P(B) – P(B) x P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) x P(BA) 
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Se os eventos A e B forem independentes: 
 
P(A ou B) = P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A) x P(B) 
 
Esta é a propriedade aditiva das probabilidades. 
 
 
Teorema de Bayes 
 
Sejam A1, A2, A3, ..., An n eventos mutuamente exclusivos, tais que A1∪A2∪A3....∪ 
An = S. Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um 
evento qualquer de S tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais 
P(B/Ai). 
 
Então, para cada “i”, tem-se: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn2211
ii
i A/BP.AP+...+A/BP.AP+A/BP.AP
A/BP).A(P
=B/AP 
 
O resultado acima é bastante importante, pois relaciona probabilidades a priori 
P(A i) com probabilidades a posteriori P(A i/B), probabilidade de Ai depois de 
ocorrer B. 
Exemplo : Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% 
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas 
respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e 
verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da 
máquina B? 
 
Solução 
Dados: P(A)=0,4; P(B)=0,5 e P(C)=0,1; P(d/A)=3%; P(d/B)=5% e P(d/C)=2%. 
Deseja-se calcular P(B/d). 
Logo, usando a expressão do Teorema de Bayes: 
 
( )
( ) 64,0=
02,0x1,0+05,0x5,0+03,0x4,0
05,0x5,0
=
)C/d(P).C(P+)B/d(P).B(P+A/dP).A(P
)B/d(P).B(P
=d/BP 
 
Ou seja, existe cerca de 64% de chance de que a peça defeituosa tenha sido 
produzida pela máquina B 
 
 
 
 
 
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6. Modelos Probabilísticos 
Nessa etapa, faz-se necessária uma rápida revisão de alguns aspectos abordados 
na estatística descritiva, conforme a seguir: 
6.1 Revisão de Estatística Descritiva 
 
 
Estatística Descritiva é o nome dado ao conjunto de técnicas analíticas utilizado 
para resumir o conjunto de todos os dados coletados numa dada investigação a 
relativamente poucos números e gráficos. Ela envolve basicamente: 
 
• Distribuição de Freqüência: 
É o conjunto das freqüências relativas 
observadas para um dado fenômeno 
estudado, sendo a sua representação 
gráfica o Histograma (diagrama onde o 
eixo horizontal representa faixas de 
valores da variável aleatória e o eixo 
vertical representa a freqüência relativa). 
Por uma conseqüência da Lei dos 
Grandes Números, quanto maior o 
tamanho da amostra, mais a distribuição 
de freqüência tende para a distribuição 
de probabilidade. 
 
 
 
• Testes de Aderência: 
 São procedimentos adotados para a 
identificação de uma distribuição de 
probabilidade, a partir de um conjunto 
de freqüências, usando a Lei dos 
Grandes Números. 
Essencialmente, calcula-se a chance 
da diferença entre uma distribuição de 
freqüência observada e aquela que 
seria de se esperar, a partir de uma 
dada distribuição de probabilidade 
(geralmente a Curva Normal). Uma 
distribuição de freqüência pode ser tida 
como pertencente a um dado tipo de 
distribuição se o teste de aderência 
mostrar uma probabilidade de mais de 
5% da diferença entre as duas ser 
devida ao acaso. 
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Medidas da Tendência Central: São 
indicadores que permitem que se tenha 
uma primeira idéia, um resumo, de como 
se distribuem os dados de um 
experimento, informando o valor (ou 
faixa de valores) da variável aleatória 
que ocorre mais tipicamente. Ao todo, 
são os seguintes três parâmetros: 
Média: É a soma de todos os resultados 
dividida pelo número total de casos, 
podendo ser considerada como um 
resumo da distribuição como um todo. 
Moda: É o evento ou categoria de 
eventos que ocorreu com maior 
freqüência, indicando o valor ou 
categoria mais provável. 
Mediana: É o valor da variável aleatória a 
partir do qual metade dos casos se 
encontra acima dele e metade se 
encontra abaixo 
 
 
 
Medidas de Dispersão: São medidas da 
variação de um conjunto de dados em 
torno da média, ou seja, da maior ou 
menor variabilidade dos resultados 
obtidos. Elas permitem se identificar até 
que ponto os resultados se concentram 
ou não ao redor da tendência central de 
um conjunto de observações. Incluem a 
amplitude, o desvio médio, a variância, 
o desvio padrão, o erro padrão e o 
coeficiente de variação, cada um 
expressando diferentes formas de se 
quantificar a tendência que os 
resultados de um experimento aleatório 
tem de se concentrarem ou não em 
determinados valores (quanto maior a 
dispersão, menor a concentração e 
vice-versa). 
 
A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos dados relativos a cada 
uma das variáveis, dados esses levantados através de uma amostra. 
 
Obs: Numa distribuição simétrica, 
verifica-se: 
 
Média = Moda = Mediana 
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A estatística descritiva tem tido suas aplicações bastante equivocadas na área de 
manutenção, pois a abordagem a ela associada geralmente é de natureza 
determinística e, como veremos mais adiante, os fenômenos observados em 
manutenção têm natureza aleatória, sendo melhor tratados através de uma 
abordagem probabilística. 
 
A seguir, iremos abordar alguns dos conceitos