TEMA 7 - Princípios do limite e continuidade

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Princípios do limite e continuidade
Prof.ª Ana Lúcia de Sousa
Descrição
Introdução ao estudo de limite e continuidade de funções de uma
variável, cálculo de limites de funções que apresentam indeterminações,
cálculo de limites laterais e análise da continuidade de funções.
Propósito
Compreender o conceito de limite, já que grande parte do
desenvolvimento teórico do cálculo é feita utilizando essa noção.
Objetivos
Módulo 1
Limite de funções
Identificar intuitivamente o conceito de limite de funções.
Módulo 2
Limites de funções algébricas com
indeterminações
Calcular limites de funções algébricas com indeterminações.
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Módulo 3
Limites laterais
Calcular limites laterais.
Módulo 4
Continuidade das funções
Reconhecer a continuidade de funções.
Introdução
Você já se perguntou por que é importante estudar os
princípios de limite e continuidade?
Neste vídeo, vamos entender a importância de conhecer
os princípios de limite e continuidade para os estudos de
métodos quantitativos. Confira!

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1 - Limite de funções
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car intuitivamente o conceito de limite de
funções.
Conceito de limite de funções
Agora que já conhecemos a importância dos princípios de limite e
continuidade, vamos analisar, a partir do gráfico de uma função
polinomial do primeiro grau, o comportamento da função em
determinado ponto do domínio a fim de compreender o conceito de
limite de funções.
O que é limite de funções?
Veja a seguir o conceito de limite.
Vamos relembrar?
Se se aproxima de um número real à medida que se aproxima
de um número real de ambos os lados, então é o limite de 
quando se aproxima de . Esse comportamento é representado por:

f(x) L x
a L f(x)
x a
lim
x→a
f(x) = L
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Observe que o limite de uma função polinomial pode ser determinado
por meio da substituição direta.
Agora, vamos conhecer alguns exemplos.
Exemplo 1
Determine 
Como devemos proceder? Tente resolver o problema e veja a solução a
seguir.
Dica: Basta substituir na função.
Solução:
Exemplo 2
Determine o limite 
Que tal praticar mais uma vez? Tente resolver o problema e veja a
solução a seguir.
Dica: A substituição ocorre no numerador e no denominador da função.
Solução:
Exemplo 3
Solução:
Exemplo 4
Solução:
limx→2 (2x2+ 3x− 1)
x = 2
limx→2 (2x2+ 3x− 1) = 2(2)2+ 3(2) − 1 = 2.4 + 6 − 1 = 8 + 6 − 1 = 13
limx→−1
3x2+2x−3
2x−1
lim
x→−1
3x2+ 2x− 3
2x− 1
=
3(−1)2+ 2(−1) − 3
2(−1) − 1
=
3.1 − 2.1 − 3
−2 − 1
=
3 − 2 − 3
−2 − 1
=
−2
−3
=
2
3
 Determine o limite  limx→−1( x2+x−3
2x−1 )
2
lim
x→1
( x2+ x− 3
2x− 1
)
2
= (−1
2+ 1 − 3
2.−1 − 1
)
2
= ( 1 + 1 − 3
2 − 1
)
2
= (−1
−1
)
2
= (−1)2 = 1
 Determine o limite  limx→−2√ x3+3x2−3x+3
x3+4x+2
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Depois de conhecer os limites de funções, e ver alguns exemplos,
chegou a hora de resolver algumas questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Se é uma função real de variável real, definida por
O limx→ -3 será:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
No cálculo do limite, interessa analisar o comportamento da
função quando se aproxima de e não o que ocorre com a
função quando -3. Assim temos:
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
O limite da função dada será calculado através da substituição
direta, isto é, substituindo o pelo valor para o qual ele está se
aproximando, nesse caso .
lim
x→−2
√ x3+ 3x2− 3x+ 3
x3+ 4x+ 2
=√
(−2)3+ 3(−2)2− 3(−2) + 6
(−2)3+ 4(−2) + 2
=√ −8 + 3 ⋅ 4 + 6 + 6
4 − 8 + 2
=√ −8 +
4
y = f(x)
f(x) = {−x
2+ 3x+ 9  se x ≠ −3
5  se x = −3
f(x)
x −3
x =
lim
x→−3
f(x)
lim
x→−3
−x2+ 3x+ 9 = −(−3)2+ 3(−3) + 9 = −9 − 9 + 9
 O limite  limx→2√ 2x2+3x+2
6−2x  é igual a: 
x
2
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Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
O limite da função será calculado por meio da substituição direta,
isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se
aproximando; nesse caso, 2.
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
O limite da função será calculado por meio da substituição direta,
isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se
aproximando; nesse caso, 1/2.
lim
x→2
√2x2+ 3x+ 2
6 − 2x
=√ 2(2)2+ 3(2) + 2
6 − 2(2)
=
√2.4 + 3(2
6 − 2(2
O limite  limx→2( 3x2−2x−2
−x2+2x+4 )
3
 é igual a: 
lim
x→2
( 3x2− 2x− 2
−x2+ 2x+ 4
)
3
= ( 3(2)2− 2(2) − 2
−(2)2+ 2(2) + 4
)
3
= ( 3.4
2
−4
 O limite  limx→ 1
2
2x2+5x+3
x2−5x+1  é igual a: 
lim
x→ 1
2
2x2+ 5x+ 3
x2− 5x+ 1
=
2( 12 )
2
+ 5 ( 12 )+ 3
( 12 )
2
− 5 ( 12 )+ 1
=
2 ⋅ 14 + 5 ( 12 )
( 12 )− 5 ( 12 )
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
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Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos calcular primeiro o limite da função quando $x$ se aproxima
de $2 .$
Questão 2
 (UFU) Sabendo-se que  lim
x→2
x+ 3m
x−m
=
4
3
,x ≠ m,  então podemos afirmar que: 
A m é maior do que 4.
B m é menor do que -4.
C m ∈ [1; 4]
D m ∈ [−4; 1]
E m ∈ [−1, 4]
limx→2
2 + 3m
2 −m
=
4
3
lim
x→2
x+ 3m
x−m
=
2 + 3m
2 −m
2 + 3m
2 −m
=
4
3
3 ⋅ (2 + 3m) = 4 ⋅ (2 −m)
6 + 9m = 8 − 4m
9m+ 4m = 8 − 6
9m+ 4m = 8 − 6 ⇒ 13m = 2 ⇒ m = 2/13 ∈ [−4; 1]
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Parabéns! A alternativa C está correta.
O limite da função será calculado através da substituição direta, isto
é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, 
2 - Limites de funções algébricas com indeterminações
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular limites de funções algébricas com
indeterminações.
Limites de funções algébricas com
 (UEL) O valor do limite  lim
x→2
x− 3
x+ 1
2
 é: 
A -5/2
B -3/2
C -2/5
D -1
E -2
2.
lim
x→2
x− 3
x+ 1
2
=
2 − 3
2 + 1
2
=
−1
4+1
2
=
−1
5
2
= −1 ⋅
2
5
=
−2
5
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indeterminações
Sabemos que o limite de funções pode ser calculado por meio da
substituição direta. Entretanto, há funções cujo limite nem sempre pode
ser encontrado dessa forma. Vamos conhecer um pouco mais sobre
funções algébricas com indeterminações.
Funções algébricas com
indeterminações
Veja um exemplo dessas funções.
Vamos relembrar?
No cálculo de limites de funçôes com indeterminação do tipo ,
podemos recorrer aos casos de fatoração de expressões algébricas
com a finalidade de cancelar a indeterminação. Uma vez que ela é
cancelada, podemos determinar o limite da função por meio da
substituição direta.
Antes de desenvolvermos a parte algébrica (ou usar os casos de
fatoração), devemos verificar se o cálculo do limite gera uma
indeterminação do tipo . Agora, vamos conhecer alguns exemplos.
Exemplo 1
Solução:
Dica: Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
x = 1.

0
0
0
0
 Determine o limite da função  lim
x→1
3x− 3
x2− 1
. 
lim
x→1
3x− 3
x2−1
=
3(1) − 3
(1)2− 1
=
3 − 3
1 − 1
=
0
0
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Exemplo 2
Solução:
Continuando a solução:
Legenda
Exemplo 3
Solução:
 Agora basta calcular o limite  lim
x→1
3
x+ 1
. 
lim
x→1
3
x+ 1
=
3
(1 + 1)
=
3
2
 Determine o limite da função  lim
x→4
x2− 16
x2− 4x
lim
x→4
x2− 16
x2− 4x
=
(4)2− 16
(4)2− 4(4)
=
16 − 16
16 − 16
=
0
0
 Agora basta calcular o limite  lim
x→4
(x+ 4)
x
. 
lim
x→4
(x+ 4)
x
=
4 + 4
4
=
8
4
= 2
 Determine o limite da função  lim
x→1
x3− 1
x− 1
. 
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Fatoração da expressão
Exemplo 4
Solução:
Observação:
Fatoração do trinômio: , com .
, em que e são as raízes
reais da equação 
Fatoração da expressão 
Fazendo , temos uma equação do grau com
raízes e 
lim
x→1
x3− 1
x− 1
=
(1)3− 1
(1) − 1
=
1 − 1
1 − 1
=
0
0
x3− 1
a3− b3 = (a− b) (a2+ ab+ b2)
x3− 13 = (x− 1) (x2+ x.1 + 12) = (x− 1) (x2+ x+ 1)
 Agora basta calcular o limite  lim
x→1
(x2+ x+ 1)
lim
x→1
(x2+ x+ 1) = (1)2+ 1 + 1 = 3
 Determine o limite da função  lim
x→−5
x2+ 3x− 10
x+ 5
. 
lim
x→−5
x2+ 3x− 10
x+ 5
=
(−5)2+ 3(−5) − 10
−5 + 5
=
0
0
ax2+ bx+ c a ≠ 0
ax2+ bx+ c = a (x− x1) (x− x2) x1 x2
ax2+ bx+ c = 0
x2+ 3x− 10.
x2+ 3x− 10 = 0 2∘
x1 = 2 x2 = −5
x2+ 3x− 10 = (x− 2)(x− (−5)) = (x− 2)(x+ 5)
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Depois de conhecer os limites de funções algébricas com
indeterminações, e ver alguns exemplos, chegou a hora de resolver
algumas questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Se é uma função real de variável real definida por
, entåo podemos afirmar que
 é igual a:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
No cálculo do limite de , interessa analisar o comportamento
da função quando
se aproxima de 1 e não o que ocorre com a função quando :
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
Fatoração da expressão
.
 Agora basta calcular o limite  lim
x→−5
(x− 2)
lim
x→−5
(x− 2) = −5 − 2 = −7
f(x)
f(x) = {
x2−3x+2
x−1  se x ≠ 1
3  se x = 1
limx→1 f(x)
f(x)
x
x = 1
lim
x→1
x2− 3x+ 2
x− 1
=
0
0
x = 1
x2− 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2)
limx→1
x2−3x+2
x−1 = (x−1)(x−2)
x−1 = x− 2 = 1 − 2 = −1
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Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
 O limite  lim
x→ 3
2
4x2− 9
2x− 3
 é igual a: 
lim
x→ 3
2
4x2− 9
2x− 3
=
0
0
x = 3/2
lim
x→ 3
2
4x2− 9
2x− 3
=
(2x− 3)(2x+ 3)
2x− 3
= 2x+ 3 = 2( 3
2
)+ 3
 O limite  lim
x→a
x4− a4
x− a
 é igual a: 
lim
x→a
x4− a4
x− a
=
0
0
x = a
lim
x→a
x4− a4
x− a
=
(x2− a2) (x2+ a2)
x− a
=
(x− a)(x+ a) (x2
x− a
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Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
Observação:
 O limite  lim
h→0
(3 + h)2− 9
h
 é igual a: 
lim
h→0
(3 + h)2− 9
h
=
0
0
h = 0
(3 + h)2 = (3)2+ 2.3.h+ (h)2 = 9 + 6h+ h2
lim
h→0
(3 + h)2− 9
h
=
9 + 6h+ h2− 9
h
=
6h+ h2
h
= 6 + h
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
 (PUC-SP) O limite  lim
x→2
x2− 4x+ 4
x− 2
A não existe.
B não é nenhum número real.
C vale 0.
D vale 1.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
Fatoração da expressão
.
Questão 2
Parabéns! A alternativa D está correta.
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
Fatoração da expressão .
E vale 2.
lim
x→2
x2− 4x+ 4
x− 2
=
0
0
x = 2
x2− 4x+ 4 = (x− 2)(x− 2)
lim
x→2
x2− 4x+ 4
x− 2
=
(x− 2)(x− 2)
(x− 2)
= x− 2 = 2 − 2 = 0
 O limite  lim
x→−2
8 + x3
4 − x2
 é igual a: 
A 0
B 1
C 2
D 3
E -1
lim
x→−2
8 + x3
4 − x2
=
0
0
x = −2
8 + x3
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3 - Limites laterais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular limites laterais.
Limites laterais
Vamos identificar agora o conceito de limites laterais e como calculá-los
em uma função. Além disso, vamos analisar a existência do limite a
partir dos resultados dos limites laterais.
Agora observe que:
a3+ b3 = (a+ b) (a2− ab+ b2)
8 + x3 = 23+ x3 = (2 + x) (22− 2x+ x2) = (2 + x) (4 − 2x+ x2)
lim
x→−2
8 + x3
4 − x2
=
(2 + x) (4 − 2x+ x2)
(2 − x)(2 + x)
=
(4 − 2x+ x2)
(2 − x)
=
4 − 2(−2) + (−2)2
2 − (−2)
=
4 + 4 + 4
2 + 2
=
12
4
= 3
 Considere a função f(x) = x+ 2. 
 Verificamos o limite dessa função quando (
 se aproxima de 3).
x→ 3
x
 Verificamos o limite dessa função quando (
 se aproxima de 3).
x→ 3
x
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Então, temos a seguinte função:
A partir desse comportamento, definimos limites laterais:
Limite lateral à esquerda
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), quando x se
aproxima de a pela esquerda, é L.
Usamos para indicar que os valores de são menores
que .
Limite lateral à direita
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), quando x se
aproxima de a pela direita, é L.
Usamos para indicar que os valores de são maiores
que .
 Nas duas situações, vimos que os valores de 
se aproximam de 5.
f(x)
 Concluímos que o limite da função existe, pois os
valores encontrados à direita e à esquerda de 3 são
iguais a 5.
lim
x→3
(x+ 2) = 3 + 2 = 5
x→ a− x
a
x→ a+ x
a.
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O limite da quando tende a 3 pela direita é igual a 5 e indicamos
por:
O limite da quando tende a 3 pela esquerda é igual a 5 e
indicamos por:
Observe que:
(i) Sendo , o limite de uma função existe quando os limites
laterais são iguais.
(ii) Sendo , o limite da função não existe quando os limites
laterais são diferentes.
Exemplos
Agora, vamos conhecer alguns exemplos de limites laterais.
Problema com limites laterais -
exemplo 1
Veja a solução de um problema com limites laterais.
Exemplo 2
Solução:
 Por exemplo, com relação ao limite  lim
x→3
(x+ 2) = 5, temos: 
f(x) x
lim
x→3n
+(x+ 2) = 3 + 2 = 5
f(x) x
lim
x→3n
−(x+ 2) = 3 + 2 = 5
x→ a
x→ a

 Determine, caso exista, o limite  lim
x→2
f(x)
f(x) = { 3x+ 1 se x > 2
−2x+ 4 se x ≤ 2
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Vamos verificar o valor da próximo de 2, e não em 
Para , temos:
Exemplo 3
Solução:
Vamos verificar o valor da próximo de 
Para , temos:
Note que os limites laterais são diferentes. O limite da função não existe
no ponto 2.
Depois de conhecer os limites laterais, e ver alguns exemplos, chegou a
hora de resolver algumas questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Seja uma funçåo definida por
O limite limx→ -2 é igual a:
f(x) x = 2.
x < 2, f(x) = −2x+4
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(−2x+ 4) = −2(2) + 4 = 0
 Para x > 2, f(x) = 3x+ 1,  temos: 
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(3x+ 1) = 3(2) + 1 = 7
 Veja que os limites laterais existem, mas são diferentes. Logo, o limite  lim
x→2
f(x) não existe. 
 Determine, caso exista, o limite de f(x) quando x tende para 2.
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩ x− 2 se x < 0
x2+ 1 se 0 ≤ x ≤ 2
x+ 4 se x > 2
f(x) 2.
x > 2, f(x) = x+ 4
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(x+ 4) = 2 + 4 = 6
 Para x < 2, f(x) = x2+ 1, temos: 
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x2+ 1) = (2)2+ 1 = 4 + 1 = 5
f(x)
f(x) = {5x− 3  se x ≤ −2
4x+ k  se x > −2
f(x)
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Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Verificando os limites laterais:
Para , temos:
Para , temos:
A função existe quando os limites laterais existem e são iguais,
então basta igualar os resultados para encontrar o valor de .
Atividade discursiva
Seja uma funçåo definida por
O limite é igual a:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Verificando o limite lateral à esquerda.
Para , consideramos a função .
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é,
substituindo o pelo valor para o qual ele está se aproximando;
x > −2, f(x) = 4x+ k
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
(4x+ k) = 4(−2) + k = −8 + k
x < −2, f(x) = 5x− 3
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2
(5x− 3) = 5(−2) − 3 = −10 − 3 = −1
k
−8 + k = −13 ⇒ k = −13 + 8 ⇒ k = −5
f(x)
f(x) = {1 − cosx  se x ≤ 0
x2+ 4  se x > 0
limx→0− f(x)
x < 0 f(x) = 1 − cosx
x
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nesse caso, 0 .
Atividade discursiva
Seja uma função definida por
O limite é igual a:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Verificando o limite lateral à esquerda.
Para , consideramos a função . Temos:
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é,
substituindo o x pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, .
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é,
substituindo o x pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, .
Atividade discursiva
Seja uma função definida por
O valor da constante a para que exista é:
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(1 − cosx) = 1 − cos 0 = 1 − 1 = 0
f(x)
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩ 3√1 + x  se x < −1
2√1 − x2  se  − 1 ≤ x ≤ 1
3√x− 1  se x > −1
limx→−1− f(x)
x < −1 f(x) = 3√(1 + x)
−1
−1
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
3√1 + x = 3√1 + (−1) = 3√1 − 1 = 0
f(x)
f(x) = {
2 + ax− x2  se x ≥ 2
x2−4
x−2  se x < 2
limx→2 f(x)
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Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Calculando os limites laterais:
Para , temos:
Para temos:
A função existe quando os limites laterais existem e são iguais.
Vamos igualar os resultados para encontrarmos o valor de .
x > 2, f(x) = 2 + ax− x2
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(2 + ax− x2) = 2 + a(2) − (2)2 = 2 + 2
x < 2, f(x) = x2−4
x−2
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2− 4
x− 2
=
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
= x+ 2 = 2 +
k
2a− 2 = 4 ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Dada a
marque a alternativa que indica o limite
f(x) = {x
2− 3x+ 2  se x ≤ 3
8 − 2x  se x > 3
lim
x→3
f(x).
A 0
B 1
C 2
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Para , temos:
Para , temos:
Como os limites laterais são iguais, o limite da funçăo existe.
Questão 2
Seja
marque a alternativa que indica o limite
Parabéns! A alternativa D está correta.
Verificando o limite lateral à direta:
Para , consideramos a funçåo .
D 3
E 4
x > 3, f(x) = 8 − 2x
lim
x→3
f(x) = lim
x→3
(8 − 2x) = 8 − 2(3) = 2
x < 3, f(x) = x2− 3x+ 2
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
(x2− 3x+ 2) = (3)2− 3(3) + 2 = 2
lim
x→3−
f(x) = 2
f(x) = { x− 1  se x ≤ 2
3x− 7  se x > 2
lim
x→2+
f(x)
A 0
B 1
C 2
D -1
E -2
x > 2 f(x) = 3x− 7
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O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é,
substituindo o pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, 
4 - Continuidade das funções
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a continuidade de funções.
Conceito de continuidade de funções
Quando falamos que uma função é contínua em determinado
ponto do domínio, por exemplo , queremos dizer que o gráfico
dessa função não apresenta quebras, ou buracos. Ou seja, não ocorre
nenhuma interrupção no gráfico da função no ponto .
Uma função f(x) é contínua em determinado ponto, , do domínio
se as seguintes condições são satisfeitas:
x
2.
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(3x− 7) = 3(2) − 7 = −1
f(x)
x = a
f(x) a
x = a
 A função é definida no ponto ou seja, existe;a f(a)

 limite  lim
x→a
f(x) existe; 
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Uma função não é contínua (ou descontínua) no ponto quando
não existe , se não existe , ou se
Atenção!
As funções elementares são funções contínuas.
Exemplos
Agora, vamos conhecer alguns exemplos de continuidade de funções.
Continuidade de funções - exemplo 1
Veja a solução de um problema com continuidade de funções.
Exemplo 2
Solução:

lim
x→a
f(x) = f(a)
x = a
f(a) limx→a f(x)
limx→a f(x) ≠ f(a)

 Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 2. 
f(x) = {3x+ 1 se x > 2
−2x+ 4 se x ≤ 2
 Verificar se a função f é definida no ponto x = 2. 
f(x) = −2x+ 4
f(2) = −2(2) + 4
f(2) = 0
 Verificar se o limite  lim
x→2
f(x) existe. 
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Cálculo dos limites laterais.
Para , temos:
Exemplo 3
Solução:
Verificar se a função f é definida no ponto .
Cálculo dos limites lateraís.
Para , temos:
Como os limites laterais existem e são iguais a 1, concluímos que o
limite da função existe.
Exemplo 4
x < 2, f(x) = −2x+ 4
f(x) = −2x+ 4
f(2) = −2(2) + 4
f(2) = 0
 Para x > 2, f(x) = 3x+ 1,  temos: 
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
f(3x+ 1) = 3(2) + 1 = 7
 Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 1. 
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩2x2− 3x+ 2  se x < 1
2  se x = 1
2 − x2  se x > 1
x = 1
f(1) = 2
 Verificar se o limite  limx→1 f(x) existe. 
x < 1, f(x) = 2x2− 3x+ 2
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
= (2x2− 3x+ 2) = 2(1)2− 3(1) + 2 = 1
 Para x > 1, f(x) = 2 − x2,  temos: 
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
= (2 − x2) = 2 − (1)2 = 1
lim
x→1
f(x) = 1
 Veja que  lim
x→1
f(x) ≠ f(1). Logo, a função não é contínua em x = 1.
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Solução:
Verificar se a função f é definida no ponto .
Depois de conhecer as continuidades de funções e ver alguns exemplos,
chegou a hora de resolver algumas questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Seja uma função definida por
O valor da constante k para que a funçåo seja contínua em é
igual a:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Para ser contínua em , temos que fazer
 Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 1. 
f(x) = {
x2−1
x−1  se x ≠ 1
1  se x = 1
x = 1
f(1) = 1
 Verificar se o limite  lim
x→1
f(x) existe. 
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x2− 1
x− 1
=
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
= x+ 1 = 1 + 1 = 2
lim
x→1
f(x) = 2
 Veja que  lim
x→1
f(x) ≠ f(1). Logo,a função não é contínua em x = 1. 
f(x)
f(x) = {
x2−5x+6
x−2  se x ≠ 2
k  se x = 2
x = 2
f(x) x = 2
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Atividade discursiva
Seja uma funçåo definida por
O valor da constante para que a funçåo seja contínua em é
igual a:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Para ser contínua em , temos que fazer
Cálculo dos limites laterais:
Para , temos:
Para , temos:
Atividade discursiva
As abscissas dos pontos de descontinuidade da funçăo 
formam o conjunto:
lim
x→2
f(x) = f(2)
f(x) =
x2− 5x+ 6
x− 2
=
(x− 2)(x− 3)
x− 2
= x− 3
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
x− 3 = 2 − 3 = −1
f(2) = a
lim
x→2
f(x) = f(2) ⇒ a = −1
f(x)
f(x) = {xe
x2  se x ≥ 1
kx2  se x < 1
k x = 1
f(x) x = 1
lim
x→1
f(x) = f(1)
x > 1, f(x) = xex
2
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
xex
2
= 1. e1
2
= e
x < 1, f(x) = kx2
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
kx2 = k(1)2 = k
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x) ⇒ k = e
y = x−3
x2−4x+3
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Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Fatorando a função, temos:
Logo, as abscissas dos pontos de descontinuidade formam o
conjunto .
Atividade discursiva
Seja uma funçâo definida por
O valor da constante para que a funçåo seja contínua em é
igual a:
Digite sua resposta aqui
Chave de resposta
Para ser contínua em , o limite .
Calculando os limites laterais:
Para , temos:
Para , temos:
f(x) =
x− 3
x2− 4x+ 3
=
x− 3
(x− 1)(x− 3)
[1, 3]
f(x)
f(x) = {x
2− k2  se x < 4
kx+ 20  se x ≥ 4
k x = 4
f(x) x = 4 limx→4 f(x) = f(4)
x > 4, f(x) = kx+ 20
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4+
(kx+ 2) = kx+ 20 = 4k+ 20
x < 4, f(x) = x2− k2
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
(4)2− k2 = 16 − k2
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Fazendo , temos:
Resolvendo a equação do grau encontramos .
limx→4+ f(x) = limx→4− f(x)
4k+ 20 = 16 − k2
k2+ 4k+ 20 − 16 = 0
k2+ 4k+ 4 = 0
2∘ k = −2
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(PUC-SP) Sobre a função
podemos afirmar que
Parabéns! A alternativa C está correta.
A função é definida em , pois .
Verificando os limites laterais da função dada:
Para , temos:
Para , temos:
f(x) = {1  se x ≤ 3
√x− 3  se x > 3
A é definida e contínua para todo x real.
B é definida e contínua somente para x > 3.
C
é definida para todo x real e descontínua somente
para x = 3.
D é definida e contínua somente para x ≤ 3.
E
é definida para todo x real e descontínua somente
para x = 0.
x = 3 f(3) = 1
x > 3, f(x) = √x− 3
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
√x− 3 = √3 − 3 = 0
x < 3, f(x) = 1
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
1 = 1
26/05/2024, 04:51 Princípios do limite e continuidade
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Como os limites laterais são diferentes, o limite da função não
existe.
A função é descontínua em .
Questão 2
(UF - Uberlândia-MG) A função não está definida para
. Para que a função seja contínua no ponto ,
devemos completá-la com f(I) igual a:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para ser contínua em temos que fazer
Considerações �nais
Apresentamos o conceito intuitivo de limite, por meio da análise do
comportamento de uma função, e o cálculo de limites de funções
algébricas, utilizando a substituição direta. Em seguida, verificamos
como calcular limites de funções envolvendo indeterminações. Por fim,
abordamos os limites laterais e analisamos a continuidade de algumas
funções.
x = 3
f(x) = x2−1
x3−1
x = 1 f(x) x = 1
A 0
B 1/3
C -2
D 2/3
E -2/3
f(x) x = 1
lim
x→1
f(x) = f(1)
f(x) =
x2− 1
x3− 1
=
(x− 1)(x+ 1)
(x− 1) (x2+ x+ 1)
=
x+ 1
x2+ x+ 1
lim
x→1
=
x+ 1
x2+ x+ 1
=
1 + 1
12+ 1 + 1
=
2
3
f(1) =
2
3
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Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Tradução: Claus Ivo
Doering. Porto Alegre: Bookman, 2014.
FLEMMING, D. M. Cálculo A: Funções, limite, derivação, integração. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2018.
HOFFMANN, L. D. Cálculo - um curso moderno e suas aplicações:
tópicos avançados. 11. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de
Janeiro: LTC, 2015.
LARSON, R. Cálculo aplicado: curso rápido. Tradução: Noveritis do
Brasil. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo: volume I. Tradução: Helena Maria Ávila de Castro.
São Paulo: Cengage Learning, 2016.
WAITS, B. K.; FOLEY, Q. D.; DEMANA, F. Pré-cálculo. São Paulo: Addison
Wesley, 2008.
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