Problemas de Cálculo

Prévia do material em texto

Resposta: \( f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \). Explicação: Utilizamos a regra da potência para 
derivar a função. 
 
87. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) 
\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x + 1 \). Explicação: Calculamos a derivada 
da função e encontramos sua inclinação no ponto dado. 
 
88. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \cos(x) \). 
 Resposta: \( y = -\sin(x) + ce^{-x} \), onde \( c \) é a constante de integração. Explicação: 
Utilizamos o método de integração de fator integrante. 
 
89. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = 4 \). 
 Resposta: A área 
 
 é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. Explicação: Calculamos a integral da função no 
intervalo dado. 
 
90. Problema: Calcule o produto interno entre os vetores \( \mathbf{u} = (1, -2, 3) \) e \( 
\mathbf{v} = (2, 1, -1) \). 
 Resposta: O produto interno é \( -1 \). Explicação: Utilizamos a definição do produto 
interno entre dois vetores. 
 
91. Problema: Resolva a inequação \( \sin(x) - \cos(x) > 0 \). 
 Resposta: \( x \in (k\pi + \frac{\pi}{4}, k\pi + \frac{3\pi}{4}) \), para \( k \in \mathbb{Z} \). 
Explicação: Encontramos os intervalos onde a função é positiva. 
 
92. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 
0) \). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). Explicação: Calculamos a derivada 
da função e encontramos sua inclinação no ponto dado. 
 
93. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \).