Problemas de Cálculo

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} \). Determine todos os valores de \( x \) para os quais \( f(x) \) é contínua. 
 **Resposta e Explicação:** \( f(x) \) é contínua em todos os pontos onde o denominador 
não é zero e a função é definida. Portanto, \( f(x) \) é contínua para todos os valores de \( x 
\) exceto \( x = 1 \). 
 
17. **Problema:** Resolva a equação \( \sin^2(x) = \cos(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilizando a identidade \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), 
podemos reescrever a equação como \( 1 - \cos^2(x) = \cos(x) \). Isso simplifica para \( 
\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0 \). Resolvendo esta equação quadrática em \( \cos(x) \), 
encontramos \( \cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Portanto, \( x = \arccos\left(\frac{-1 + 
\sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k \) ou \( x = \arccos\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k \), onde 
\( k \) é um inteiro. 
 
18. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{1}{x^2 - x} \). Determine o intervalo de 
monotonicidade de \( f(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** Para determinar o intervalo de monotonicidade de \( f(x) \), 
precisamos encontrar onde sua derivada é positiva e onde é negativa. Primeiro, 
encontramos a derivada de \( f(x) \). \( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2 - x}\right) = \frac{-
(2x - 1)}{(x^2 - x)^2} \). A derivada é negativa para \( x < \frac{1}{2} \) e positiva para \( x > 
\frac{1}{2} \). Portanto, \( f(x) \) é decrescente em \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) e crescente em \( 
(\frac{1}{2}, \infty) \). 
 
19. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' + 3y = e^{-3x} \). 
 **Resposta e Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A 
solução geral é \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \), onde \( y_h(x) \) é a solução da equação 
homogênea e \( y_p(x) \) é uma solução particular da equação não homogênea. A solução 
da equação homogênea é \( y_h(x) = Ae^{-3x} \), onde \( A \) é uma constante. Para 
encontrar uma solução particular, tentamos uma solução da forma \( y_p(x) = Be^{-3x} \), 
onde \( B \) é uma constante a ser determinada. Substituindo \( y_p(x) \) na equação 
original, encontramos \( B = 1 \). Portanto, a solução geral é \( y(x) = Ae^{-3x} + e^{-3x} \). 
 
20. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4 - 
x^2 \). 
 **Resposta e Explicação:** A área da região é dada pela integral da diferença das 
funções ao longo do intervalo em que elas se intersectam. As funções se intersectam em 
\( x = -1 \) e \( x = 1 \). Portanto, a área é \( \int_{-1}^{1} (4 - x^2 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{1} (4 - 
2x^2) \, dx \). 
 
21. **Problema:** Se \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \), encontre a equação da reta tangente à 
curva \( y = f(x) \) no ponto onde \( x = 3 \).