Problemas de Cálculo Avançado

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45. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x) = x^4 - 
8x^2 + 16 \). 
 Resposta: Mínimo em \( x = 2 \). 
 Explicação: Usamos a primeira e segunda derivada para encontrar os pontos críticos e 
analisamos a concavidade. 
 
46. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (Ax + B)e^x \), onde \( A \) e \( B \) são constantes. 
 Explicação: Utilizamos o método do operador diferencial para encontrar a solução. 
 
47. Problema: Encontre a série de Taylor da função \( f(x) = \sin(x) \) centrada em \( x = 0 \). 
 Resposta: \( \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da série de Taylor e derivadas da função seno. 
 
48. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan(x)}{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{2})} = 0 \). 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite. 
 
49. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = e^{2x} 
\). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
curvas. 
 
50. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 3y = e^{3x} \). 
 Resposta: \( y(x) = Ce^{3x} - \frac{1}{2}e^{3x} \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Utilizamos o método de integração de fatores integrantes. 
 
51. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\arctan(x 
 
)}{x^2 + 1} \).