Problemas de Cálculo e Álgebra

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Resolução: A derivada é \(\frac{2x}{x^2 + y^2}\), que no ponto (1,2) é \(\frac{1}{5}\). 
 
23. Problema: Determine a equação da superfície 
 
 formada pela rotação da curva \(y = x^2\) em torno do eixo \(x\). 
 Resolução: A equação da superfície é \(z = y^{\frac{1}{2}}\). 
 
24. Problema: Calcule a integral de linha de \(f(x,y) = y^2\) ao longo do segmento de reta 
do ponto (0,0) ao ponto (1,2). 
 Resolução: A integral de linha é igual a \(\frac{8}{3}\). 
 
25. Problema: Determine os valores de \(x\) para os quais a série \(\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) converge. 
 Resolução: A série converge para \(x > -2\). 
 
26. Problema: Encontre a equação da reta normal à curva \(y = e^x\) no ponto (0,1). 
 Resolução: A equação da reta normal é \(y = -x + 1\). 
 
27. Problema: Resolva a equação diferencial \(y'' + 4y = \cos(2x)\). 
 Resolução: A solução geral é \(y(x) = C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x)\). 
 
28. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = 4 - x^2\). 
 Resolução: A área é igual a \(\frac{32}{3}\). 
 
29. Problema: Calcule a integral tripla de \(\iiint_V (x + y + z) \, dV\), onde \(V\) é o sólido 
delimitado pelos planos \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\) e \(x + y + z = 2\). 
 Resolução: A integral tripla é igual a \(\frac{8}{3}\). 
 
30. Problema: Encontre a derivada parcial de \(f(x,y,z) = xyz\) em relação a \(z\) no ponto 
(1,2,3). 
 Resolução: A derivada parcial é \(xy\) no ponto (1,2,3).