Problemas de Cálculo e Integral

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Resposta: A soma é \( 2040 \). 
 Explicação: Uma série geométrica é somada usando a fórmula \( \frac{a}{1 - r} \), onde \( 
a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. 
 
64. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} 
- y \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = \frac{1}{x} + Ce^{-x} \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser 
resolvida usando o método do fator integrante. 
 
65. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{\sin(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é a integral indefinida da função \( \frac{1}{\sin(x)} \). 
 
66. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = e^{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \cos(x)e^{\sin(x)} \). 
 Explicação: Usando a regra da cadeia para derivar a função. 
 
67. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1 - y^2}} \). 
 Resposta: \( y = \sin(\sqrt{x^2 + C}) \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
68. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). 
 Explicação: Utilizando as propriedades do limite e das funções trigonométricas. 
 
69. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^2e^{-x} \). 
 Resposta: O ponto crítico ocorre em \( x = 2 \). 
 Explicação: Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. 
 
70. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = 
\sin(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \).