Cálculos de Derivadas e Integrais

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29. Encontre a derivada da função \( f(x) = \sqrt{\ln(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}} \cdot \frac{1}{x} \). Explicação: Use a regra da 
cadeia. 
 
30. Calcule a integral definida de \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ \sin(x) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - (-1) = 2 \). Explicação: 
Aplique a regra fundamental do cálculo. 
 
31. Resolva a equação \( 2\log(x) = 4 \). 
 Resposta: \( x = 10^2 = 100 \). Explicação: A propriedade dos logaritmos permite isolar \( 
x \). 
 
32. Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \). Explicação: Use a regra do 
quociente. 
 
33. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \). 
 Resposta: \( 2\sqrt{x} + C \). Explicação: Use a regra da potência. 
 
34. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \). 
 Resposta: \( y = x^3 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Explicação: Integre 
ambos os lados em relação a \( x \). 
 
35. Determine a soma dos termos de uma série geométrica infinita com primeiro termo \( 
2 \) e razão \( \frac{1}{4} \). 
 Resposta: \( \frac{2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3} \). Explicação: Use a fórmula da soma de 
uma série geométrica infinita. 
 
36. Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \). Explicação: Use a regra do quociente e a 
derivada de \( \cos(x) \). 
 
37. Calcule a integral definida de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).