Cálculos de Derivadas e Integrais

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88. Determine a derivada da função \( f(x) = \arcsin(e^x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \). Explicação: Use a regra da cadeia e a 
derivada do arcsin. 
 
89. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x\ln(x)^2} \, dx \). 
 Resposta: \( -\frac{1}{\ln(x)} + C \). Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \). 
 
90. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \tan(x) \). 
 Resposta: \( y = -\ln|\cos(x)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Explicação: 
Integre ambos os lados em relação a \( x \). 
 
91. Determine a soma dos termos de uma série geométrica infinita com primeiro termo \( 
2 \) e razão \( \frac{1}{4} \). 
 Resposta: \( \frac{2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3} \). Explicação: Use a fórmula da soma de 
uma série geométrica infinita. 
 
92. Encontre a derivada da função \( f(x) = \arctan(\ln(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{1 + (\ln(x))^2} \cdot \frac{1}{x} \). Explicação: Use a regra da 
cadeia e a derivada do arctan. 
 
93. Calcule a integral definida de \( \int_1^e \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ \ln|\ln(x)| \right]_1^e = \ln|\ln(e)| - \ln|\ln(1)| = 1 - 0 = 1 \). Explicação: 
Aplique a regra fundamental do cálculo. 
 
94. Resolva a equação \( 9^x = 729 \). 
 Resposta: \( x = 2 \). Explicação: Use as propriedades dos logaritmos para resolver a 
equação exponencial. 
 
95. Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(\sqrt{x}) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2x} \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada de \( 
\ln(x) \). 
 
96. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( -\ln|\cos(x)| + C \). Explicação: Use a substituição \( u = \cos(x) \).