Problemas de Cálculo Diferencial e Integral

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64. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' + 4y = 
e^{2x} \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p = \frac{1}{3}e^{2x} \). 
 **Explicação:** Usamos o método dos coeficientes a determinar. 
 
65. **Problema:** Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \tan(x) \). 
 **Resposta:** \( f''(x) = 2\sec^4(x)(\tan^2(x) + 1) \). 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia duas vezes para 
encontrar a segunda derivada. 
 
66. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x + y + z) \, dV \) sobre a esfera de raio 
\( r \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{4}{3}\pi r^4 \). 
 **Explicação:** Utilizamos coordenadas esféricas para resolver a integral. 
 
67. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = x^3 
\). 
 **Resposta:** \( y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x} + \frac{1}{6}x^3 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e encontramos uma solução 
particular. 
 
68. **Problema:** Determine o conjunto de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n} \). 
 **Resposta:** O conjunto de convergência é \( -1 \leq x \leq 1 \). 
 **Explicação:** Utilizamos o teste da razão ou o teste da raiz para encontrar o intervalo 
de convergência. 
 
69. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). 
 **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2x)e^x + \frac{1}{2}e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e adicionamos uma solução 
particular. 
 
70. **Problema:** Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \ln(1+x) \).