Cálculos Matemáticos Avançados

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96. **Problema:** Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \sin^3(x) \). 
 **Resposta:** \( f''(x) = -3\sin(x)\cos^2(x) \). 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do produto duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
97. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x + y + z) \, dV \) sobre a esfera de raio 
\( r \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{4}{3}\pi r^4 \). 
 **Explicação:** Utilizamos coordenadas esféricas para resolver a integral. 
 
98. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = 2 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} + 1 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e encontramos uma solução 
particular. 
 
99. **Problema:** Determine o conjunto de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}x^n \). 
 **Resposta:** O conjunto de convergência é \( -1 \leq x < 1 \). 
 **Explicação:** Utilizamos o teste da razão ou o teste da raiz para encontrar o intervalo 
de convergência. 
 
100. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). 
 **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2x)e^x + \frac{1}{4}e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e adicionamos uma solução 
particular.