Problemas de Cálculo Matemático

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7. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
 Resposta: Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 3 \). 
 Explicação: Os pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou indefinida. 
 
8. Problema: Encontre a equação da tangente à curva \( y = e^x \) no ponto (0,1). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Usando a derivada da função exponencial, podemos encontrar a inclinação 
da tangente e, em seguida, usar o ponto dado para encontrar a equação da reta tangente. 
 
9. Problema: Calcule a série de Taylor para a função \( f(x) = \cos(x) \) centrada em \( x = 0 
\). 
 Resposta: A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \). 
 Explicação: A série de Taylor para \( \cos(x) \) é derivada da série de Maclaurin para \( 
\cos(x) \). 
 
10. Problema: Resolva a integral imprópria \( \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx \). 
 Resposta: A integral converge para 1. 
 Explicação: Esta é a integral definida da função exponencial de 0 ao infinito, que 
converge para 1. 
 
11. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}} \). 
 Resposta: O domínio é \( x > 3 \). 
 Explicação: A função é indefinida para valores de \( x \) onde o denominador se torna 
zero ou negativo. 
 
12. Problema: Encontre os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^3 - 3x \). 
 Resposta: O ponto de inflexão é \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 Explicação: Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade de uma função muda, 
ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. 
 
13. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes.