Cálculos Matemáticos Básicos

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Explicação: A área é dada pela integral da função superior menos a integral da função 
inferior entre os limites de integração adequados. 
 
62. Problema: Calcule a derivada de \(f(x) = e^x \cos(x)\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(f'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x))\). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para encontrar a derivada da função. 
 
63. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' = \frac{1}{1 + x^2}\). 
 Resposta: A solução é \(y = \arctan(x) + C\), onde \(C\) é uma constante. 
 Explicação: Integrando ambos os lados da equação, obtemos a solução. 
 
64. Problema: Determine a soma dos primeiros \(n\) termos da sequência \(a_n = 2^n + 
3\). 
 Resposta: A soma dos primeiros \(n\) termos é \(S = (2^{n+1} - 1) + 3n\). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da soma dos termos de uma sequência geométrica 
para calcular a soma. 
 
65. Problema: Calcule o limite \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x - \frac{\pi}{2}}\). 
 Resposta: O limite é \(-\frac{2}{\pi}\). 
 Explicação: Podemos utilizar 
 
 a regra de L'Hôpital ou reescrever a função utilizando a identidade \(\cos(x) = \sin\left(x - 
\frac{\pi}{2}\right)\) e então substituir \(x = \frac{\pi}{2}\). 
 
66. Problema: Determine os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(2^x - 3^x = 0\). 
 Resposta: A solução é \(x = 0\). 
 Explicação: Podemos resolver a equação fatorando ou utilizando logaritmos. 
 
67. Problema: Encontre a área da região limitada pela curva \(y = e^x\), o eixo \(x\) e as 
retas \(x = 0\) e \(x = \ln(2)\). 
 Resposta: A área é \(2 - 1 = 1\) unidade quadrada. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função superior menos a integral da função 
inferior entre os limites de integração adequados.