Problemas de Matemática do Ensino Superior

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94. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - x)}{x} \). 
 Resposta: Este limite é uma forma indeterminada de \(\frac{0}{0}\). Aplicando L'Hôpital, 
obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{1 - x}}{1} = -1\). 
 
95. Problema: Encontre a inversa da função \(f(x) = \sqrt{x^2 - 1}\). 
 Resposta: Para encontrar a inversa, trocamos \(x\) por \(y\) e resolvemos para \(y\). 
Assim, obtemos \(f^{-1}(x) = \sqrt{x + 1}\). 
 
96. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \tan^2(x) \). 
 Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = 2\tan(x)\sec^2(x)\). 
 
97. Proble 
 
ma: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1 + \sin(x)}{\cos(x)} \, dx \). 
 Resposta: Fazendo \(u = \cos(x)\), obtemos \(du = -\sin(x) \, dx\), transformando a 
integral em \(-\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|\cos(x)| + C\). 
 
98. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x \). 
 Resposta: Esta é uma equação diferencial não linear. Não possui uma solução analítica 
simples. 
 
99. Problema: Encontre a solução para o sistema de equações lineares: 
 \[ x + y = 1 \] 
 \[ 2x - y = -3 \] 
 Resposta: Resolvendo o sistema, encontramos \(x = -1\) e \(y = 2\). 
 
100. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{5x^2 - 2x + 1} \). 
 Resposta: Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty} \frac{4 + 
\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{4}{5}\). 
Entendo sua solicitação! Vou gerar uma variedade de problemas de matemática do 
ensino superior, garantindo que sejam únicos e sem repetições. Aqui estão 100 
problemas com suas respostas e explicações: 
 
1. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \).