Cálculos Matemáticos

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Resposta: \( f'(x) = 3x^2 - 4x + 5 \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da potência para derivar cada termo do polinômio. 
 
2. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 Resposta: \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Utilizamos as regras básicas de integração para cada termo do polinômio. 
 
3. Problema: Resolva a equação \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \). 
 Resposta: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 
- 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4} \). 
 Explicação: Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula quadrática. 
 
4. Problema: Determine o limite de \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 Resposta: O limite não está definido, pois a função tem uma forma indeterminada do 
tipo \( \frac{0}{0} \). 
 Explicação: Ao substituir \( x = 2 \) diretamente na expressão, encontramos a forma 
indeterminada. 
 
5. Problema: Calcule a derivada de \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a derivada da função logarítmica. 
 
6. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 1 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{7}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calculamos os pontos de interseção das curvas e então integramos a 
diferença entre as duas funções. 
 
7. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 Resposta: \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial em relação a \( x \).