Aula exericico de matematica-166

Prévia do material em texto

Resposta: Concavo para cima em \( (-\infty, -1) \) e \( (1, \infty) \), para baixo em \( (-1, 1) 
\), ponto de inflexão em \( (-1, -2) \) e \( (1, 2) \). 
 
36. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2\ln(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( -\frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 
37. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( 
\left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \). 
 Resposta: \( y = -x + \frac{\pi}{2} \) 
 
38. Resolva a equação diferencial \( y'' - 9y = \sin(3x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x) - \frac{\sin(3x)}{6} \) 
 
39. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} 
\). 
 Resposta: \( -\frac{\pi^3}{32} \) 
 
40. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^6 - 12x^5 + 45x^4 \). 
 Resposta: \( x = 0, 3, 5 \) 
 
41. Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4 - x^2 \). 
 Resposta: \( \frac{32}{3} \) 
 
42. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = xe^{-x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-x} + xe^{-x} - 2 \) 
 
43. Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \) 
 
44. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = e^{xy^2} \) em relação a \( x \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy^2} \)