Cálculos Matemáticos Avançados

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28. Calcule a derivada de \( y = \sin^2(x) \cos(x) \). 
 Resposta: \( y' = 2\sin(x)\cos^3(x) - \sin^3(x) \). Explicação: Usando a regra do produto e 
as identidades trigonométricas. 
 
29. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \sec(x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| \). Explicação: Usando o 
método da superposição para resolver a equação não homogênea. 
 
30. Calcule a integral \( \int_0^{\pi} x\sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \pi \). Explicação: Usando integração por partes. 
 
31. Determine a transformada de Fourier da função \( f(x) = \cos(2x) \). 
 Resposta: \( F(\omega) = \pi[\delta(\omega - 2) + \delta(\omega + 2)] \). Explicação: 
Usando as propriedades da transformada de Fourier. 
 
32. Encontre a solução do sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x' = -x + y \\ 
 y' = x - y 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: \( x(t) = c_1\cos(t) + c_2\sin(t) \) e \( y(t) = c_1\sin(t) - c_2\cos(t) \). Explicação: 
Resolvendo as equações diferenciais acopladas. 
 
33. Calcule a soma dos termos até o infinito da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \). 
 Resposta: \( \frac{\pi^3}{6} \). Explicação: Usando a fórmula da série de Riemann. 
 
34. Determine a solução do problema de valor inicial \( y'' + y = 0 \), \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 2 
\). 
 Resposta: \( y(x) = \cos(x) + 2\sin(x) \). Explicação: Aplicando as condições iniciais à 
solução geral da equação diferencial.