Aula exericico de matematica-182

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62. Calcule a derivada de \( y = \ln(3x^2 + 1) \). 
 Resposta: \( y' = \frac{6x}{3x^2 + 1} \). Explicação: Usando a regra da cadeia. 
 
63. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{1}{5}\sin(x) \). Explicação: Usando o 
método da superposição para resolver a equação não homogênea. 
 
64. Calcule a transformada de Laplace da função \( f(t) = \cosh(2t) \). 
 Resposta: \( F(s) = \frac{s}{s^2 - 4} \). Explicação: Usando as propriedades da 
transformada de Laplace. 
 
65. Determine a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x,y) = e^{xy} \) em relação a \( x 
\) e \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y^2e^{xy} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial 
y^2} = x^2e^{xy} \). Explicação: Calculando as derivadas parciais sucessivas. 
 
66. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = xe^{2x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{2x} + \frac{1}{6}xe^{2x} \). Explicação: Usando o 
método do fator integrante para equações não homogêneas. 
 
67. Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{4} \). Explicação: Usando identidades trigonométricas e 
propriedades de integrais definidas. 
 
68. Determine a solução do problema de valor inicial \( y' = \frac{y}{x} + x \), \( y(1) = 1 \). 
 Resposta: \( y(x) = x + x\ln(x) \). Explicação: Usando a técnica de separação de variáveis 
e integrando. 
 
69. Encontre a transformada de Fourier da função \( f(x) = e^{-2|x|} \). 
 Resposta: \( F(\omega) = \frac{2}{\omega^2 + 4} \). Explicação: Usando as propriedades 
da transformada de Fourier. 
 
70. Calcule a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x,y) = \sin(xy) \) em relação a \( x \) 
e \( y \).