04_Laplace

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TRANSFORMADA 
DE LAPLACE
�1
DEFINIÇÃO
TRANSFORMA DE LAPLACE
• Aplica-se para sistemas lineares contínuos invariantes no tempo. 
• A transformada de Laplace é a ferramenta para resolver EDOs de 
forma simples e para fazer a análise de sistemas no domínio da 
freqüência 
• Definição: Para um sinal x(t) , t > 0, a transformada de Laplace é: 
• Definição: Para um sinal complexo X(s), a transformada inversa de 
Laplace é:
X(s) = ℒ[x(t)] = ∫
∞
0
x(t)e−stdt
x(t) = ℒ−1[X(s)] =
1
j2π ∫
c+j∞
c−j∞
X(s)e−stds
�2
LINEARIDADE
TRANSFORMA DE LAPLACE
• A transformada de Laplace é uma operação linear:
ℒ[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1X1(s) + a2X2(s)
�3
EXEMPLO
TRANSFORMA DE LAPLACE
• Para um sinal x(t), determine a transforma de Laplace
x(t) = e−atu(t)
X(s) = ℒ[x(t)] = ∫
∞
0
e−ate−stdt
X(s) = ∫
∞
0
e−(s+a)tdt = −
1
s + a
e−(s+a)t
∞
0
=
1
s + a
t ≥ 0
�4
EXEMPLO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
• Determinar a transformada de Laplace da função x(t):
x(t) = u(t)
X(s) = ℒ[x(t)] = ∫
∞
0
e−stdt
X(s) = ∫
∞
0
e−(s+a)tdt = −
1
s
e−st
∞
0
=
1
s
t ≥ 0
t
1
�5
TABELAS T > 0
TRANSFORMA DE LAPLACE
δ(t)
x(t) X(s)
1
u(t) 1
s
t 1
s2
tn n!
sn+1
eλt 1
s − λ
t ⋅ eλt 1
(s − λ)2
tn ⋅ eλt n!
(s − λ)n+1
1
2
3
4
5
6
7
�6
TABELAS T > 0
TRANSFORMA DE LAPLACE
cos(bt)
x(t) X(s)
s
s2 + b2
sin(bt) b
s2 + b2
e−at cos(bt) s + a
(s + a)2 + b2
e−at sin(bt) b
(s + a)2 + b2
re−at cos(bt + θ) (r cos θ)s + (ar cos θ − br sin θ)
s2 + 2as + (a2 + b2)
0,5rejθ
s + a − jb
+
0,5re−jθ
s + a + jb
re−at cos(bt + θ)
8a
8b
9a
9b
10a
10b
�7
TABELAS T > 0
TRANSFORMA DE LAPLACE
re−at cos(bt + θ)
x(t) X(s)
As + B
s2 + 2as + c
r =
A2c + B2 − 2ABa
c − a2
θ = arctan ( Aa − BA c − a2 )
b = c − a2
re−at [A cos bt + B − aAb sin bt]
10c
10d
As + B
s2 + 2as + c
b = c − a2
�8
DETERMINANDO A TRANSFORMADA INVERSA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
• Podemos determinar a transformada inversa a partir das tabelas 
anteriores. 
• Para isso funcionar, precisamos expressar as funções complexas 
em sua forma expandida, lembram da revisão? 
• Se X(s) é uma função racional do tipo P(s)/Q(s), as raízes de P(s) 
são os zeros de X(x); e as raízes de Q(s) são os polos de X(s). 
�9
EXEMPLOS
TRANSFORMA INVERSA DE LAPLACE
• Determine a transformada inversa de Laplace da função: 
• As raízes de Q(s) (polos) são determinados usando a formula de 
Báskara: 
• Vamos separar: 
X(s) =
7s − 6
s2 − s − 6
X(s) =
7s − 6
(s + 2)(s − 3)
X(s) =
k1
s + 2
+
k2
s − 3
�10
EXEMPLO
TRANSFORMA INVERSA DE LAPLACE
• Usando o método de Heaviside:
X(s) =
k1
s + 2
+
k2
s − 3
k1 =
7s − 6
(s + 2)(s − 3)
(s + 2)
s=−2
=
−14 − 6
−2 − 3
= 4
k1 =
7s − 6
(s + 2)(s − 3)
(s − 3)
s=3
=
21 − 6
3 + 2
= 3
X(s) =
4
s + 2
+
3
s − 3
�11
EXEMPLO
TRANSFORMA INVERSA DE LAPLACE
• Consultando a tabela, a transformada 5 corresponde a inversa 
destas funções:
X(s) =
4
s + 2
+
3
s − 3
ℒ−1[X(s)] = x(t) = 4e−2t + 3e3t t ≥ 0
x(t) = (4e−2t + 3e3t)u(t)
Ou
�12
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de : 
• A função é biprópria m = n, neste caso podemos usar um 
processo especial: 
• Os coeficientes k são determinados como se a função fosse 
própria:
X(s) =
2s2 + 5
s2 + 3s + 2
F(x) =
bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0
xn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
F(x) = b0 +
k1
x − λ1
+
k2
x − λ2
+ … +
kn
x − λn
kr = (x − λr)F(x) |x=λr
�13
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de : 
•
X(s) =
2s2 + 5
s2 + 3s + 2
X(s) = 2 +
k1
s + 1
+
k2
s + 2
k1 =
2s2 + 5
(s + 1)(s + 2)
(s + 1)
λ=−1
=
2 + 5
−1 + 2
= 7
k1 =
2s2 + 5
(s + 1)(s + 2)
(s + 2)
λ=−2
=
8 + 5
−2 + 1
= − 13
X(s) = 2 +
7
s + 1
−
13
s + 2
�14
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Consultando a tabela das transformadas de Laplace 
•
X(s) = 2 +
7
s + 1
−
13
s + 2
ℒ−1[X(s)] = x(t) = 2δ(t) + 7e−t − 13e−2t t ≥ 0
�15
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de : 
• A raiz do denominador é complexa. A forma mais inteligente de 
separar a equação é usando um fator quadrático.
X(s) =
6(s + 34)
s(s2 + 10s + 34)
X(s) =
k1
s
+
As + B
s2 + 10s + 34
k1 =
6(s + 34)
s(s2 + 10s + 34)
s
s=0
=
6 ⋅ 34
34
= 6
X(s) =
6
s
+
As + B
s2 + 10s + 34
�16
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de : 
• X(s) =
6
s
+
As + B
s2 + 10s + 34
6(s + 34) = 6(s2 + 10s + 34) + s(As + B)
X(s) =
6(s + 34)
s(s2 + 10s + 34)
6(s + 34) = (A + 6)s2 + s(B + 60) + 204
A + 6 = 0
B + 60 = 6
A = − 6
B = − 54
X(s) =
6
s
−
6s + 54
s2 + 10s + 34
�17
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Podemos usar o par 10c ou 10d:
X(s) =
6
s
−
6s + 54
s2 + 10s + 34
re−at cos(bt + θ)
As + B
s2 + 2as + c
r =
A2c + B2 − 2ABa
c − a2
=
6234 + 542 − 2 ⋅ 6 ⋅ 54 ⋅ 5
34 − 52
= 10
θ = arctan ( Aa − BA c − a2 ) = arctan (
6 ⋅ 5 − 54
6 34 − 52 ) = − 53,13∘
b = c − a2 = 34 − (10/2)2 = 3
x(t) = 6 − (10e−5t cos(3t − 53,13∘)) = 6 + (10e−5t cos(3t − 53,13∘ + 180∘))
x(t) = 6 + 10e−5t cos(3t + 126,9∘) t ≥ 0
�18
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de:
X(s) =
8s + 10
(s + 1)(s + 2)3
X(s) =
k1
s + 1
+
a0
(s + 1)3
+
a1
(s + 2)2
+
a2
s + 1
k1 =
8s + 10
(s + 1)(s + 2)3
(s + 1)
s=−1
=
−8 + 10
(−1 + 2)3
= 2
a0 =
8s + 10
(s + 1)(s + 2)3
(s + 2)3
s=−2
=
−16 + 10
−2 + 1
= 6
a1 =
d
ds
8s + 10
(s + 1)
s=−2
=
8
s + 1
−
8s + 10
(s + 1)2
s=−2
=
8
−1
−
−16 + 10
(−1)2
= − 2
a2 =
d2
ds2
8s + 10
(s + 1)
s=−2
= −
16
(s + 1)2
+
2(8s + 10)
(s + 1)3
s=−2
= −
16
(−1)2
+
2(−16 + 10)
(−1)3
= − 2
�19
EXEMPLO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de:
X(s) =
8s + 10
(s + 1)(s + 2)3
X(s) =
3
s + 1
+
6
(s + 1)3
−
2
(s + 2)2
−
2
s + 1
ℒ−1[X(s)] = x(t) = 2−t + (3t2 − 2t − 2)e−2t t ≥ 0
�20
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• Determinar a transformada inversa de Laplace de:
X(s) =
s + 17
s2 + 4s − 5
X(s) =
3s − 5
(s + 1)(s2 + 2s + 5)
X(s) =
16s + 43
(s − 2)(s + 3)3
3et − 2e−5t −2e−t +
5
2
e−t cos(2t − 36,87∘) 3e2t + (t − 3)e−3t
�21
DESLOCAMENTO NO TEMPO
PROPRIEDADES
• A propriedade do deslocamento no tempo afirma que 
ℒ[x(t)] = X(s)
ℒ[x(t − t0)] = X(s)e−st0
�22
DESLOCAMENTO NO TEMPO
EXEMPLO
• Determinar a transforma inversa de Laplace de 
• Observe que o termo exponencial no numerador indica um atraso 
no tempo, e assim podemos separar em dois termos um com e 
outro sem o fator de atraso
X(s) =
s + 3 + 5e−2s
(s + 1)(s + 2)
X(s) =
s + 3
(s + 1)(s + 2)
+
5e−2s
(s + 1)(s + 2)
X1(s) =
s + 3
(s + 1)(s + 2)
=
2
s + 1
−
1
s + 2
X2(s) =
5
(s + 1)(s + 2)
=
5
s + 1
−
5
s + 2
�23
DESLOCAMENTO NO TEMPO
EXEMPLO
• Determinar a transforma inversa de Laplace de X(s) = s + 3 + 5e
−2s
(s + 1)(s + 2)
X1(s) =
s + 3
(s + 1)(s + 2)
=
2
s + 1
−
1
s + 2
X2(s) =
5
(s + 1)(s + 2)
=
5
s + 1
−
5
s + 2
x1(t) = 2e−t − e−2t
x2(t) = 5(e−t − e−2t)
X(s) = X1(s) + X2(s)e−2s x(t) = x1(t) + x2(t − 2)
x(t) = (2e−t − e−2t)u(t) + 5(e−t−2 − e−2(t−2))u(t − 2)
�24
DESLOCAMENTO NO TEMPO
EXERCÍCIO
• Determinar a transforma de Laplace de 
X(s) =
3e−2s
(s − 1)(s + 2)
x(t) = (2et−2 − e−2(t−2))u(t − 2)
�25
DESLOCAMENTO NA FREQÜÊNCIA 
PROPRIEDADES
• A propriedade do deslocamento na freqüência afirma que 
• Exemplo
ℒ[x(t)] = X(s)
ℒ[x(t)es0t] = X(s − s0)
cos(bt)
s
s2 + b2
e−at cos(bt)
s + a
(s + a)2 + b2
�26
DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO
PROPRIEDADES
• A propriedade da diferenciação no tempo afirma que:
ℒ [ dxdt ] = sX(s) − x(0−)
ℒ [ d
2x
dt2 ] = s2X(s) − sx(0−) − x′�(0−)
ℒ [ d
nx
dtn ] = snX(s) −
n
∑
k=1
sn−kx(k−1)(0−)
�27
INTEGRAÇÃO NO TEMPO
PROPRIEDADES
• A propriedade da diferenciação no tempo afirma que:
ℒ [∫
t
0−
x(τ)dτ] = X(s)s
�28
ESCALAMENTO
PROPRIEDADES 
• A propriedade do escalamento afirma que:
ℒ [x(at)] = 1a X ( sa )
�29
NO TEMPO E NA FREQÜÊNCIA 
CONVOLUÇÃO• Esta propriedade afirma que: 
• Se 
• Então
X1(s) = ℒ [x1(t)]
X2(s) = ℒ [x2(t)]
X1(s) ⋅ X2(s) = ℒ [x1(t) * x2(t)]
H(s) = ℒ [h(t)]
Y(s) = X(s)H(s)
�30
VALOR FINAL E VALOR INICIAL
TEOREMAS
• Em certas aplicações é necessário saber o valor de x(t) quando t 
tende a 0 e quando t tende a infinito: 
• O teorema do valor inicial afirma que se x(t) e sua derivada 
podem ser transformadas por Laplace: 
• O teorema do valor final afirma que se x(t) e sua derivada podem 
ser transformados por Laplace: 
x(0+) = lim
s→∞
sX(s)
lim
t→∞
x(t) = lim
s→0
sX(s)
�31
TEOREMA DO VALOR FINAL E INICIAL
EXEMPLO
• Determine os valores iniciais de y(t) se sua transformada de 
Laplace Y(s) é:
Y(s) =
10(2s + 3)
s(s2 + 2s + 5)
y(0+) = lim
s→∞
s
10(2s + 3)
s(s2 + 2s + 5)
= 0
lim
t→∞
y(t) = lim
s→0
s
10(2s + 3)
s(s2 + 2s + 5)
= 6
�32
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES COM TERMOS 
CONSTANTES
RESOLUÇÃO DE EDO’S
• Resolva a equação diferencial linear de segunda ordem: 
• Para as condições iniciais: 
• Reescrevendo : 
(D2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t)
y(0−) = 2; y′�(0−) = 1
x(t) = e−4tu(t)
y′�′�(t) + 5y′�(t) + 6y(t) = x′�(t) + x(t)
�33
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES COM TERMOS 
CONSTANTES
RESOLUÇÃO DE EDO’S
• Resolva a equação diferencial linear de segunda ordem: 
• Aplicando Laplace: 
(D2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t) y(0−) = 2; y′�(0−) = 1
x(t) = e−4tu(t)
y′�′�(t) + 5y′�(t) + 6y(t) = x′�(t) + x(t)
ℒ[y′�′�(t)] = s2Y(s) − sy(0−) − y′�(0) = s2Y(s) − 2s − 1
ℒ[y′�(t)] = sY(s) − y(0) = sY(s) − 2
ℒ[x(t)] =
1
s + 4
t ≥ 0
ℒ[x′�(t)] = sX(s) − x(0−) =
s
s + 4
− 0
s2Y(s) − 2s − 1 + 5(sY(s) − 2) + 6Y(s) =
1
s + 4
+
s
s + 4
�34
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES COM TERMOS 
CONSTANTES
RESOLUÇÃO DE EDO’S
• Resolva a equação diferencial linear de segunda ordem: 
• Arrumando e expandindo: 
(D2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t) y(0−) = 2; y′�(0−) = 1
x(t) = e−4tu(t)
y′�′�(t) + 5y′�(t) + 6y(t) = x′�(t) + x(t)
(s2 + 5s + 6)Y(s) − (2s + 11) =
s + 1
s + 4
(s2 + 5s + 6)Y(s) = (2s + 11) +
s + 1
s + 4
=
2s2 + 20s + 45
s + 4
Y(s) =
2s2 + 20s + 45
(s + 4)(s2 + 5s + 6)
=
2s2 + 20s + 45
(s + 2)(s + 3)(s + 4)
Y(s) =
6,5
s + 2
−
3
s + 3
−
1,5
s + 4
�35
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES COM TERMOS 
CONSTANTES
RESOLUÇÃO DE EDO’S
• Resolva a equação diferencial linear de segunda ordem: 
• 
• Aplicando a transformada inversa de Laplace: 
(D2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t) y(0−) = 2; y′�(0−) = 1
x(t) = e−4tu(t)
y′�′�(t) + 5y′�(t) + 6y(t) = x′�(t) + x(t)
Y(s) =
6,5
s + 2
−
3
s + 3
−
1,5
s + 4
ℒ−1[Y(s)] = y(t) = 6,5e−2t − 3e−3t − 1,5e−4t t ≥ 0
ℒ−1[Y(s)] = y(t) = (6,5e−2t − 3e−3t − 1,5e−4t)u(t)
�36
ENTRADA NULA E ESTADO NULO DE ENTRADA
COMPONENTES
• Observe: 
(s2 + 5s + 6)Y(s) = (2s + 11) +
s + 1
s + 4
Termos de condições iniciais 
Termos de entrada
Y(s) =
2s + 11
s2 + 5s + 6
+
s + 1
(s + 4)(s2 + 5s + 6)
Componente de entrada nula
Componente de estado nulo
�37
ENTRADA NULA E ESTADO NULO DE ENTRADA
COMPONENTES
• Observe: 
(s2 + 5s + 6)Y(s) = (2s + 11) +
s + 1
s + 4
Y(s) =
2s + 11
s2 + 5s + 6
+
s + 1
(s + 4)(s2 + 5s + 6)
Y(s) = [ 7s + 2 + 5s + 3 ] + [− 0,5s + 2 + 2s + 3 − 1.5s + 4 ]
ℒ−1[Y(s)] = y(t) = [7e−2t − 5e−3t] u(t) + [−0,5e−2t + 2e−3t − 1,5e−4t] u(t)
Resposta de entrada nula
Resposta de estado nulo
�38
FIXAÇÃO 
EXERCÍCIOS 
• Resolva a EDO para as condições de contorno: 
d2y
dt2
+ 4
dy
dt
+ 3y(t) = 2
dx
dt
+ x(t)
x(t) = u(t); y(0−) = 1; y′�(0−) = 2
y(t) =
1
3 (1 + 9e
−t − 7e−3t) u(t)�39
FIXAÇÃO 
RESPOSTA DO SISTEMA 
• Determine a resposta y(t) do sistema para as condições de contorno: 
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
+ 6y(t) =
dx
dt
+ x(t) x(t) = 3e−5t; y(0−) = y′�(0−) = 0
(D2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t)
Q(D)y(t) = P(D)x(t)
ℒ[Q(D)] = Q(s) = s2 + 5s + 6
ℒ[P(D)] = P(s) = s + 1
Q(s)Y(s) = P(s)X(s)
H(s) =
P(s)
Q(s)
=
s + 1
s2 + 5s + 6
�40
FIXAÇÃO 
RESPOSTA DO SISTEMA 
• Determine a resposta y(t) do sistema para as condições de contorno: 
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
+ 6y(t) =
dx
dt
+ x(t) x(t) = 3e−5t; y(0−) = y′�(0−) = 0
ℒ[Q(D)] = Q(s) = s2 + 5s + 6
ℒ[P(D)] = P(s) = s + 1
Q(s)Y(s) = P(s)X(s)
H(s) =
P(s)
Q(s)
=
s + 1
s2 + 5s + 6
ℒ[x(t)] = X(s) =
3
s + 5
Y(s) = H(s)X(s) =
3(s + 1)
(s + 5)(s2 + 5s + 6)
Y(s) =
3(s + 1)
(s + 5)(s + 2)(s + 3)
�41
EXEMPLO 
RESPOSTA DO SISTEMA 
• Determine a resposta y(t) do sistema para as condições de contorno: 
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
+ 6y(t) =
dx
dt
+ x(t) x(t) = 3e−5t; y(0−) = y′�(0−) = 0
ℒ[Q(D)] = Q(s) = s2 + 5s + 6
ℒ[P(D)] = P(s) = s + 1
Q(s)Y(s) = P(s)X(s)
H(s) =
P(s)
Q(s)
=
s + 1
s2 + 5s + 6
Y(s) =
3(s + 1)
(s + 5)(s + 2)(s + 3)
Y(s) = −
2
s + 5
−
1
s + 2
+
3
s + 3
ℒ−1[Y(s)] = y(t) = (−2e−5t − e−2t + 3e−3t)u(t)
�42
ATRASADOR IDEAL 
RESPOSTA DO SISTEMA 
• Um atrasador ideal de T segundos, a entrada x(t) se relaciona com 
a saída y(t) da seguinte forma:
y(t) = x(t − T )
ℒ[y(t)] = Y(s) = X(s)e−sT
H(s) =
Y(s)
X(s)
= e−sT
�43
DIFERENCIADOR IDEAL 
RESPOSTA DO SISTEMA 
• Em um diferenciador ideal, a entrada x(t) se relaciona com a saída 
y(t) da seguinte forma:
y(t) =
dx
dt
ℒ[y(t)] = Y(s) = sX(s)
H(s) =
Y(s)
X(s)
= s
x(0−) = 0
�44
INTEGRADOR IDEAL 
RESPOSTA DO SISTEMA 
• Em um integrador ideal, a entrada x(t) se relaciona com a saída 
y(t) da seguinte forma:
y(t) = ∫
t
0
x(τ)dτ
ℒ[y(t)] = Y(s) =
1
s
X(s)
H(s) =
Y(s)
X(s)
=
1
s
x(0−) = 0
Sinal casual 
�45
NO DOMINIO S
ESTABILIDADE
• O denominador de H(s) é Q(s), que é similar ao polinômio Q(λ). Isto 
quer dizer que Q(s) é o polinômio característico do sistema. 
• Todos os critérios de estabilidade anteriores podem ser adaptados: 
• Um sistema LCTI é assimptoticamente estável se e somente se todos 
os polos de sua função de transferencia H(s) estiverem no semiplano 
esquerdo. Os polos podem ser simples ou repetidos 
• Um sistema LCTI é instável se e somente se uma ou duas condições a 
seguir existirem: (i) ao menos um polo de H(s) está no semiplano 
direito; (ii) existem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário 
• Um sistema LCTI é marginalmente instável se e somente se não 
existirem polos H(s) no semiplano direito e alguns polos não repetidos 
estiverem no eixo imaginário 
�46
CIRCUITO RLC SÉRIE
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
• Determinar a corrente de malha do circuito i(t), considerando 
todas as condições iniciais nulas. 
L
di
dt
+ Ri(t) +
1
C ∫ idt = 10u(t)
sI(s) + 3I(s) +
2
s
=
10
s
I(s) =
10
s2 + 3s + 2
=
10
(s + 1)(s + 2)
=
10
s + 1
−
10
s + 2
ℒ−1[I(s)] = i(t) = 10(e−t − 2e−2t)u(t)
�47
DOMINIO S
DIAGRAMA EM BLOCOS
H(s)
X(s) Y(s)
Y(s) = X(s)H(s)
H1(s)
X(s) W(s)
H2(s)
Y(s)
H1(s)H2(s)
X(s) Y(s)
�48
DOMINIO S
DIAGRAMA EM BLOCOS
H(s)
X(s) Y(s)
Y(s) = X(s)H(s)
H1(s)
X(s)
H2(s)
Y(s)
H1(s)+H2(s)
X(s) Y(s)
+
�49
DOMINIO S
DIAGRAMA EM BLOCOS
H(s)
X(s) Y(s)
Y(s) = X(s)H(s)
G(s)X(s)
H(s)
Y(s)
X(s) Y(s)
+
-
+
G(s)
1 + G(s)H(s)
�50
FORMA DIRETA I
REALIZAÇÃO DE SISTEMAS
• Seja a função transferencia arbitrária: 
• Iremos representar a função transferencia usando integradores, 
somadores e multiplicadores. O uso de diferenciadores é 
problemático. 
• Exemplo: 
H(s) =
b0sN + b1sN−1 + … + bN−1s + bN
sN + a1sN−1 + … + aN−1s + aN
H(s) =
b0s3 + b1s2 + b2s + b3
s3 + a1s2 + a2s + a3
�51
FORMA DIRETA I
REALIZAÇÃO DE SISTEMAS
• Exemplo: 
H(s) =
b0s3 + b1s2 + b2s + b3
s3 + a1s2 + a2s + a3
H(s) =
b0 +
b1
s +
b2
s2
+
b3
s3
1 + a1s +
a2
s2
+ a3
s3
H(s) = (b0 + b1s + b2s2 + b3s3 ) 11 + a1s + a2s2 + a3s3
H1(s) H2(s)
X(s) W(s) Y(s)
�52
FORMA DIRETA I
REALIZAÇÃO DE SISTEMAS
• Exemplo: 
H(s) = (b0 + b1s + b2s2 + b3s3 ) 11 + a1s + a2s2 + a3s3
H1(s) H2(s)
X(s) W(s) Y(s)
W(s) = (b0 + b1s + b2s2 + b3s3 ) X(s)
W(s) = (1 + a1s + a2s2 + a3s3 ) Y(s)
�53
FORMA DIRETA I
REALIZAÇÃO DE SISTEMAS
• Exemplo: 
H(s) = (b0 + b1s + b2s2 + b3s3 ) 11 + a1s + a2s2 + a3s3
H1(s) H2(s)
X(s) W(s) Y(s)
Y(s) = W(s) − ( a1s + a2s2 + a3s3 ) Y(s)
Y(s) = (b0 + b1s + b2s2 + b3s3 ) X(s) − ( a1s + a2s2 + a3s3 ) Y(s)
�54
FORMA DIRETA I
REALIZAÇÃO DE SISTEMAS• Exemplo: 
X(s) W(s) Y(s)
Y(s) = (b0 + b1s + b2s2 + b3s3 ) X(s) − ( a1s + a2s2 + a3s3 ) Y(s)
1
s
1
s
1
s
∑
∑
∑
b0
b1
b2
b3
∑
∑
∑
1
s
1
s
1
s
−a1
−a2
−a3
�55
FIXAÇÃO 
EXERCÍCIOS
• Determine a realização dos sistemas
5
s + 7
s
s + 7
s + 5
s + 7
4s + 28
s2 + 6s + 5
�56
INTRODUÇÃO
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• A filtragem é uma importante área de processamento de sinais. 
• As características de um sistema são indicadas pela resposta do 
sistema a senoides de várias frequências, variando de zero a 
infinito. 
• Tais características são chamadas de resposta em freqüência 
�57
FUNDAMENTOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• Anteriormente provamos que : 
• Assim: 
• Fazendo s = jw: 
• Observe que: 
• Expressando H(s) na forma polar: 
• Em outras palavras a resposta y(t) a uma entrada senoidal é: 
y(t) = h(t) * est = estH(s)
ℒ[est] = H(s)est
ℒ[ejωt] = H( jω)ejωt
cos(ωt) = Re[ejωt]
ℒ[cos(ωt)] = Re[H(s)ejωt]
H( jω) = |H( jω) |ej∠H( jω)
y(t) = |H( jω) |cos[ωt + ∠H( jω)]
�58
OBSERVAÇÃO
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• A resposta em freqüência só é valida para sistemas estáveis. 
• A resposta de um sistema a uma cossenoide de freqüência angular 𝝎 é 
uma cossenoide de freqüência angular 𝝎, com amplitude e fase 
diferentes. 
• O módulo da função H(j 𝝎) multiplica o sinal de entrada, e ele define o 
quanto o sinal de saída é amplificado ou atenuado, chamamos ele de 
“resposta de magnitude" do sistema. 
• O angulo de H(j 𝝎) é a resposta de fase. 
• A resposta de magnitude de um sistema representa sua característica 
de filtragem. 
�59
EXEMPLO
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• Determine a resposta em freqüência de um sistema cuja função 
transferência é:
H(s) =
s + 0,1
s + 5
Solução:
H( jω) =
jω + 0,1
jω + 5
|H( jω) | =
ω2 + 0,01
ω2 + 25
∠ |H( jω) | = ϕ = arctan
ω
0,1
− arctan
ω
5
�60
EXEMPLO 
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
• Gráficos :
ω →
|H( jω) |
ω →
∠ |H( jω) |
�61
EXEMPLO
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• Determine a resposta do sistema do exemplo anterior para:
H(s) =
s + 0,1
s + 5
Solução:
H( jω) =
jω + 0,1
jω + 5
|H( j2 | =
22 + 0,01
22 + 25
= 0,372
∠ |H( jω) | = ϕ = arctan
ω
0,1
− arctan
ω
5
y(t) = cos 2t
y(t) = cos(10t − 50∘)
|H( jω) | =
ω2 + 0,01
ω2 + 25
ϕ = arctan
2
0,1
− arctan
2
5
= 87,1∘ − 21,8∘ = 65,3∘ y(t) = 0,372 cos(2t + 65,3∘)
�62
EXEMPLO
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• Determine a resposta do sistema do exemplo anterior para:
H(s) =
s + 0,1
s + 5
Solução:
H( jω) =
jω + 0,1
jω + 5
|H( j10 | =
102 + 0,01
102 + 25
= 0,894
∠ |H( jω) | = ϕ = arctan
ω
0,1
− arctan
ω
5
y(t) = cos 2t
y(t) = cos(10t − 50∘)
|H( jω) | =
ω2 + 0,01
ω2 + 25
ϕ = arctan
10
0,1
− arctan
10
5
= 26∘
y(t) = 0,894 cos(10t − 50∘ + 26∘)
y(t) = 0,894 cos(10t − 24∘)
�63
ATRASADOR IDEAL DE T SEGUNDOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• O atrasador ideal é: 
• Portando: 
• Consequentemente
H(s) = e−sT
H( jω) = e−jωT
|H( jω) | = 1
∠ |H( jω) | = ϕ = − ωT
|H( jω) |
ω →
1
∠ |H( jω) | ω →
0
�64
DIFERENCIADOR IDEAL DE T SEGUNDOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• O diferenciador ideal é: 
• Portando: 
• Consequentemente
H(s) = s
H( jω) = jω = ωejπ/2
|H( jω) | = ω
∠ |H( jω) | =
π
2
|H( jω) |
ω →0
∠ |H( jω) |
ω →
π
2
�65
INTEGRADOR IDEAL DE T SEGUNDOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
• O diferenciador ideal é: 
• Portando: 
• Consequentemente
H(s) =
1
s
H( jω) =
1
jω
=
1
ω
e−jπ/2
|H( jω) | = 1/ω
∠ |H( jω) | = −
π
2
|H( jω) |
ω →0
∠ |H( jω) |
ω →
−
π
2
�66
FIXAÇÃO
EXERCÍCIO
• Determine a resposta em freqüência de um sistema de um sistema 
LCIT especificado por: 
• Se a entrada for :
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y(t) =
dx
dt
+ 5x(t)
x(t) = 20 sin(3t + 35∘)
x(t) = 10,23 sin(3t − 61,91∘)
�67
DIAGRAMAS DE BODE
ANALISE EM FREQÜÊNCIA 
• Vamos considerar um sistema com função transferencia: 
• Onde consideramos que o termo de segunda ordem tem raizes 
complexas conjugadas. Reorganizando:
H(s) =
K(s + a1)(s + a2)
s(s + b1)(s2 + b2s + b3)
H(s) =
Ka1a2
b1b3
( sa1 + 1) ( sa2 + 1)
s ( sb1 + 1) ( s
2
b3
+ b2s
b3
+ 1)
H( jω) =
Ka1a2
b1b3
( jωa1 + 1) (
jω
a2
+ 1)
jω ( jωb1 + 1) (
( jω)2
b3
+ b2 jω
b3
+ 1)
�68
DIAGRAMAS DE BODE
ANALISE EM FREQÜÊNCIA 
• Esta equação mostra que H(j𝝎) é uma função complexa de 𝝎, a 
resposta em amplitude e fase são: 
• A função de fase é constituída pela adição de três tipos de 
termos: (i)a fase de j𝝎, que é 90o para todos valores de 𝝎; (ii) a 
fase do termo de primeira ordem 1+j𝝎/a e (iii) a fase do termo de 
segunda ordem. 
∠H( jω) = ∠( jωa1 + 1) + ∠(
jω
a2
+ 1) − ∠jω − ∠( jωb1 + 1) − ∠(
( jω)2
b3
+
b2 jω
b3
+ 1)
|H( jω) | =
Ka1a2
b1b3
jω
a1
+ 1 jωa2 + 1
jω jω
b1
+ 1 ( jω)
2
b3
+ b2 jω
b3
+ 1
�69
DIAGRAMAS DE BODE
ANALISE EM FREQÜÊNCIA 
• Podemos traçar estas três funções básicas de fase para 𝝎 na faixa de 
0 a infinito, então utilizamos estes gráficos para construir a função de 
fase de qualquer função através da adição das 3 respostas. 
• A mesma facilidade não acontece com o módulo. Mas se mudarmos 
ele para logaritmo, as somas e divisões do módulo viram contas de 
soma e subtração 
• A escala logarítmica que usamos é a de Weber-Fechner: 20log|H(j𝝎)|. 
Assim:
20 log |H( jω) | = 20 log
Ka1a2
b1b3
+ 20 log
jω
a1
+ 1 + 20 log
jω
a2
+ 1 −
−20 log jω − 20 log
jω
b1
+ 1 − 20 log
( jω)2
b3
+
b2 jω
b3
+ 1
�70
FIXAÇÃO
EXERCÍCIOS
• Lathi: 4.1-1,4.1-2,4.1-3,4.2-3,4.3-1,4.3-3
�71