Exericico fixação-136

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Resposta: \( y = Ce^{\frac{x^2}{2}} \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial separando as variáveis e integrando. 
 
67. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x + 2x 
\). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^x + e^x + 2x - 3 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
68. Problema: Calcule a integral \( \iint_R (x + y) \, dA \), onde \( R \) é a região delimitada 
pela parábola \( y = x^2 \) e a linha \( y = 2x \). 
 Resposta: A integral é \( 1/6 \). 
 Explicação: Utilizamos coordenadas retangulares para avaliar a integral dupla sobre a 
região \( R \). 
 
69. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{2^n}x^n \). 
 Resposta: O raio de convergência é \( 2 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o raio de convergência. 
 
70. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = e^{x^2} \). 
 Resposta: \( y = e^{-x^2} \left( C + \int e^{x^2} e^{x^2} \, dx \right) \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial 
linear. 
 
71. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(x) + 
\cos(2x) \). 
 Resposta: \( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{5}\sin(x) + \frac{1}{17}\cos(2x) \), 
onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
72. Problema: Calcule a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+4} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \pi/2 \).