Aula 04 - Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas

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1. EQUAÇÕES POLINOMIAIS (REVISÃO). 
 
Se 1 2, ,..., nx x x são raízes da equação polinomial 
1 2 2
1 2 2 1 0 0
n n n
n nx a x a x a x a x a
 
        , 
então a equação pode ser reescrita como 
 1 2( )( )...( ) 0nx x x x x x    
 
É fácil verificar quando 1, 0 e –1 são raízes de 
uma equação polinomial. 
• Se o termo independente de uma equação polinomial 
é zero, então 0x  é uma raiz da equação polinomial. 
• Se a soma dos coeficientes de uma equação 
polinomial é zero, então 1x  é uma raiz da equação 
polinomial. 
• Se a soma dos coeficientes de índice par é igual a 
soma dos coeficientes de índice ímpar de uma equação 
polinomial, então 1x   é uma raiz da equação 
polinomial. 
 
Uma raiz  é denominada raiz de 
multiplicidade m , e somente se, na decomposição da 
equação polinomial aparecer o fator ( )mx  . 
 
Exemplo 1.1. Resolver a equação abaixo, destacando a 
multiplicidade de cada raiz e o grau da equação. 
 
3 2 4( 5) ( 2) 0
3
x x x x
 
    
 
 
 
Teorema das Raízes Racionais. Se uma equação 
 
1
1 1 0 0
n n
n na x a x a x a

     
tem coeficientes inteiros e admitir uma raiz racional 
/p q , onde p e *q são primos entre si, então 
p é divisor de 0a e q é divisor de na . 
 
2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR, 
HOMOGÊNEA, DE ORDEM n COM 
COEFICIENTES CONSTANTES. 
 
Vamos agora generalizar os fatos vistos na seção 
anterior. Seja 
1
1 1 0λ λ λ 0
n n
na a a

     
a equação característica da equação diferencial ( ) 0L y  , 
cujas raízes são 1 2λ ,λ , ,λn , temos que: 
• Se todas as raízes são reais e distintas, a solução da 
equação é: 
1 2 λλ λ
1 2
nxx x
ny c e c e c e    
 
Exemplo 2.1. Resolver as seguintes equações. 
a) ''' 6 " 11 ' 6 0y y y y    . 
b) ''' " 12 ' 0y y y   . 
 
• Uma raiz λ i de multiplicidade r corresponde a 
expressão 
λ λ λ1
1 2
i i ix x xr
rc e c xe c x e
   
na solução geral 
 
Exemplo 2.2. Resolver as seguintes equações abaixo. 
a) ''' 3 " 3 ' 0y y y y    . 
b) 
(4) ''' 9 " 11 ' 4 0y y y y y     . 
 
• O que foi dito sobre raízes complexas na equações 
de 2ª ordem também é valido no caso geral. 
 
Exemplo 2.3. Resolver a equação 4 ''' 13 ' 6 0y y y   . 
 
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 
NÃO HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES 
CONSTANTES. 
 
Qualquer função py que satisfaça a equação 
diferencial 
 
( ) ( 1)
1 1 0' ( )
n n
n na y a y a y a y g x

     , (*) 
mesmo que os coeficientes não sejam constantes, é 
denominada solução (ou integral) particular. 
 
Exemplo 3.1. A função 
3
py x x  é uma solução 
particular para a 
2 3" 2 ' 8 4 6x y xy y x x    . 
 
 Agora vamos caracterizar a solução de uma 
equação no caso de uma equação linear de 2ª ordem. A 
solução para o caso geral é análoga a este caso. 
 
Teorema. A solução geral da equação: 
" ' ( )y by cy g x   
é dada por 
 h py y y  , 
onde py é uma solução particular da equação dada e hy 
é a solução da equação homogênea associada. 
 
4. MÉTODO DOS COEFICIENTES A 
DETERMINAR. 
 
Neste método supõe-se que o formato da solução 
particular seja conhecido, bastando calcular as constantes 
que acompanham esta solução, por meio da substituição 
da função e suas derivadas na equação diferencial. Aqui 
estão alguns formatos: 
1º Caso. Se ( )g x é um polinômio ( )np x de grau n , 
buscar uma solução da mesma forma, ou seja, 
 
 
2 
1
1 1 0
n n
p n ny a x a x a x a

     
onde 0, , na a  são os coeficientes a determinar. 
 
Exemplo 4.1. Resolver as seguintes equações diferenciais. 
a) 
2" ' 2 4y y y x   . 
b) 
2" 2 ' 1y y y x    . 
 
2º Caso. Se ( ) ( )x ng x e p x

, onde  é conhecido 
e ( )np x é um polinômio de grau n , buscar uma solução 
da forma: 
1
1 1 0( )
x n n
p n ny e a x a x a x a

    
 
e 0, , na a  são os coeficientes a determinar. 
 
Exemplo 4.2. Resolver as seguintes equações 
diferenciais. 
a) 
3" ' 2 xy y y e   . 
b) ''' 6 " 11 ' 6 2 xy y y y xe    . 
 
3º Caso. Se ( ) ( )senβx ng x e p x x

 onde ,β são 
conhecidos e ( )np x é um polinômio de grau n , buscar 
uma solução da forma: 
0
0
[sen ( )
cos ( )]
x n
p n
n
n
y e x a x a
x b x b
   
  
 

 
 
 
 
 
Exemplo 4.3. Resolver a seguinte equação diferencial 
" 5 ' 6 sen2y y y x   . 
 
4º Caso. Se ( ) ( )cosβx ng x e p x x

 onde ,β são 
conhecidos e ( )np x é um polinômio de grau n , buscar 
uma solução do mesmo tipo da do 3º caso. 
 
Exemplo 4.4. Resolver a seguinte equação diferencial 
" 5 ' 6 4cosy y y x   . 
 
5° caso. Se ( )g x é uma soma (ou diferença) dos casos 
anteriores, buscar uma solução que seja soma (ou 
diferença) das correspondentes soluções supostas, 
combinadas com constantes. 
 
Exemplo 4.5. Resolver as equações diferenciais abaixo. 
a) ' 5 ( 1)sen ( 1)cosy y x x x x     . 
b) 
3' 5 2 1xy y e x    . 
 
Observação. Se qualquer termo da solução suposta, 
desconsiderando-se as constantes multiplicativas, também 
for um termo de 
hy (a solução homogênea), então a 
solução suposta deve ser modificada multiplicando-a por 
mx , onde m é o menor inteiro positivo tal que o 
produto de 
mx pela solução suposta não tenha termos 
em comum com 
hy . 
 
Exemplo 4.6. Resolver as seguintes equações 
diferenciais. 
a) 2" 3 'y y x  . b) 2 5' 5 x xy y x e xe   . 
 
5. MÉTODO DA VARIAÇÃO DOS 
PARÂMETROS. 
 
 O método da variação dos parâmetros é mais 
geral que o dos coeficientes a determinar. Busca-se uma 
solução particular da forma 
 
1 1 2 2p n ny v y v y v y    
Sendo que 1 2, , , nv v v 
são funções a determinar e 
1 2, , , ny y y são soluções linearmente independente tais 
que 
 1 1 2 2h n ny c y c y c y    
é solução da equação homogênea associada. 
 
As funções 1 2, , , nv v v são obtidas resolvendo-
se o seguinte sistema linear: 
 
' ' '
1 1 2 2
' ' ' ' ' '
1 1 2 2
' ( 2) ' ( 2) ' ( 2)
1 1 2 2
' ( 1) ' ( 1) ' ( 1)
1 1 2 2
0
0
...........................................................
0
( )
n n
n n
n n n
n n
n n n
n n
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y
v y v y v y g x
  
  
    

   



   

    
 
e integrando cada 
'
iv . Não é necessário acrescentar a 
constante de integração porque o objetivo é buscar 
apenas uma solução particular. 
 
Observação 1. Como 1 2, , , ny y y são soluções 
linearmente independentes da equação associada, o 
wronskiano é diferente de zero, assim como o 
determinante da matriz dos coeficientes daquele sistema 
linear. Portanto, ele tem solução única para cada 
'
iv . 
 
Observação 2. Este método também pode ser usado 
para resolver equações diferenciais lineares em que os 
coeficientes não são constantes. 
 
Exemplo 5.1. Resolver as seguintes equações diferenciais. 
a) "' ' secy y x  . b) " 2 '
xe
y y y
x
   . 
 
e 0 0, , , , ,n na a b b  são os coeficientes a 
determinar.