Problemas de Matemática do Ensino Superior

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Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades de área. 
 Explicação: Calculamos a área da região entre a curva e o eixo \( x \) integrando a função 
\( \ln(x) \) entre \( 1 \) e \( e \). 
 
96. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 3xy = \tan(x) + x^2 \). 
 Resposta: \( y = e^{x^2/2} \left( C + \int (\tan(x) + x^2) e^{-x^2/2} \, dx \right) \), onde \( C \) 
é uma constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial 
linear. 
 
97. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = \sin(x) + 
\cos(2x) \). 
 Resposta: \( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{5}\sin(x) + \frac{1}{17}\cos(2x) \), 
onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
98. Problema: Calcule a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \pi \). 
 Explicação: Utilizamos o método de contorno fechado para calcular a integral. 
 
99. Problema: Determine o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+3}x^{2n} \). 
 Resposta: O intervalo de convergência é \( -1 \leq x \leq 1 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência. 
 
100. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = \sin(x) + e^x \). 
 Resposta: \( y = e^{-x^2} \left( C + \int (\sin(x) + e^x) e^{x^2} \, dx \right) \), onde \( C \) é 
uma constante. 
 Explic 
 
ação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial linear. 
Claro, posso criar esses problemas para você. Aqui estão as 100 questões de matemática 
do ensino superior para o 8º período, cada uma com resposta e explicação: