Exericico fixação-152

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Resposta: A equação da tangente é \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
61. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \) com a condição inicial 
\( y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{1}{1-x} \). 
 Explicação: Separe as variáveis e integre para resolver a equação diferencial, em 
seguida, use a condição inicial para encontrar a constante de integração. 
 
62. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{x^2}{1 + 
 
 x^3} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{3} \ln|1 + x^3| + C \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 Explicação: Use a substituição \( u = 1 + x^3 \) para simplificar a integral. 
 
63. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} x^n \). 
 Resposta: O raio de convergência é \( 1 \). 
 Explicação: Use o teste da razão para encontrar o raio de convergência. 
 
64. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = (c_1 + c_2 x) e^{2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
65. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( +\infty \). 
 Explicação: O numerador cresce exponencialmente enquanto o denominador cresce 
apenas linearmente.